Ik zal het examenprofielniveau oplossen. GEBRUIK opdrachten profiel wiskunde - waar te zoeken
Het Unified State Exam in Mathematics is de belangrijkste discipline die door alle afgestudeerden wordt afgelegd. De examentest is verdeeld in twee niveaus - basis en gespecialiseerd. De tweede is alleen vereist voor degenen die van plan zijn om wiskunde het hoofdvak van studie in het hoger onderwijs te maken. onderwijsinstelling... Het basisniveau wordt door alle anderen ingenomen. Het doel van deze test is om het niveau van vaardigheden en kennis van afstudeerders te toetsen op naleving van normen en standaarden. De indeling in profiel- en basisniveau is in 2017 voor het eerst toegepast, zodat studenten die geen geavanceerde wiskunde nodig hebben om naar een universiteit te gaan, geen tijd verliezen met het voorbereiden van moeilijke taken.
Om een certificaat te krijgen en documenten in te dienen bij de universiteit, moet je de taken naar tevredenheid voltooien basis niveau... De voorbereiding omvat een herhaling van het schoolcurriculum in algebra en meetkunde. Taken in het Unified State Exam van het basisniveau zijn beschikbaar voor scholieren met verschillende kennisniveaus. Het basisniveau kan worden gevolgd door schoolkinderen die gewoon aandachtig waren in de klas.
De belangrijkste aanbevelingen voor de voorbereiding zijn als volgt:
- Het is de moeite waard om van tevoren met een systematische voorbereiding te beginnen, zodat u niet nerveus hoeft te zijn en alle taken 1-2 maanden voor het examen onder de knie hebt. De periode die nodig is voor kwaliteitstraining is afhankelijk van het initiële kennisniveau.
- Als je niet zeker weet of je de taken zelf onder de knie zult krijgen, vraag dan om hulp van een bijlesdocent - hij zal je helpen je kennis te ordenen.
- Oefen het oplossen van problemen, voorbeelden, opdrachten, volgens het programma.
- Los taken online op - "Solve the Unified State Exam" helpt bij regelmatige training en voorbereiding op het examen. Met een tutor kun je fouten analyseren, taken uitzoeken die speciale problemen veroorzaken.
Los tijdens het voorbereidingsproces zoveel mogelijk taken van verschillende complexiteit op en ga geleidelijk aan een tijdje door met het voltooien van taken. Leren kennen .
Bereidingsmethoden
- Studie van het vak op school;
- Zelfstudie - problemen oplossen door het voorbeeld;
- Lessen met een tutor;
- Trainingslessen;
- Online voorbereiding.
Er zijn 20 taken (het aantal kan van jaar tot jaar verschillen), waarop korte antwoorden moeten worden gegeven. Dit is genoeg voor een student die van plan is om naar een instelling voor hoger onderwijs te gaan voor humanitaire specialismen.
Het onderwerp krijgt 3 uur om de taken te voltooien. Voordat u aan het werk gaat, moet u de instructies zorgvuldig lezen en handelen in overeenstemming met de bepalingen ervan. Bij het examenschrift zijn referentiematerialen aanwezig die nodig zijn voor het behalen van de examentoets. Voor de succesvolle voltooiing van alle taken worden 5 punten gegeven, het minimum, drempelscore is 3.
Het gemiddelde algemene educatie
UMK lijn GK Muravin. Algebra en het begin van wiskundige analyse (10-11) (diepgaand)
UMK Merzlyak-lijn. Algebra en het begin van analyse (10-11) (U)
Wiskunde
Voorbereiding op het examen wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en uitleg
We analyseren taken en lossen voorbeelden op met een leraarexamen papier het profielniveau duurt 3 uur 55 minuten (235 minuten).
Minimale drempel- 27 punten.
Het examenwerk bestaat uit twee delen, die verschillen in inhoud, complexiteit en aantal taken.
Het bepalende kenmerk van elk deel van het werk is de vorm van opdrachten:
- deel 1 bevat 8 taken (taken 1-8) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk;
- Deel 2 bevat 4 taken (taken 9-12) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk en 7 taken (taken 13-19) met een gedetailleerd antwoord (een volledig verslag van de beslissing met motivering van de uitgevoerde handelingen).
Panova Svetlana Anatolievna, leraar wiskunde van de hoogste categorie van de school, werkervaring 20 jaar:
“Om een schoolcertificaat te krijgen, moet een afgestudeerde slagen voor twee verplichte examens in de vorm van het Unified State Exam, waarvan wiskunde er één is. In overeenstemming met het concept voor de ontwikkeling van wiskundig onderwijs in Russische Federatie Het examen wiskunde is verdeeld in twee niveaus: basis en gespecialiseerd. Vandaag gaan we kijken naar opties voor het profielniveau."
Taak nummer 1- test het vermogen van de USE-deelnemers om de vaardigheden die in de loop van 5-9 leerjaren in elementaire wiskunde zijn verworven in praktische activiteiten toe te passen. De deelnemer moet rekenvaardigheden hebben, kunnen werken met rationele nummers, kunnen ronden decimalen, in staat zijn om de ene maateenheid naar de andere te converteren.
Voorbeeld 1. In het appartement waar Peter woont is een onkostenmeter geïnstalleerd koud water(balie). Op 1 mei gaf de meter een verbruik aan van 172 kubieke meter. m water, en op 1 juni - 177 kubieke meter. m. Welk bedrag moet Peter betalen voor koud water voor mei, als de prijs van 1 kubieke meter is. m koud water is 34 roebel 17 kopeken? Geef je antwoord in roebels.
Oplossing:
1) Laten we de hoeveelheid water per maand vinden:
177 - 172 = 5 (kubieke meter)
2) Laten we eens kijken hoeveel geld er zal worden betaald voor het verbruikte water:
34.17 5 = 170.85 (wrijven)
Antwoord: 170,85.
Taak nummer 2- is een van de eenvoudigste examentaken. De meeste afgestudeerden gaan er met succes mee om, wat getuigt van het bezit van de definitie van het begrip functie. Type taak nummer 2 volgens de vereistencodeerder is een taak voor het gebruik van de verworven kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven. Taak nummer 2 bestaat uit de beschrijving met behulp van functies van verschillende reële relaties tussen grootheden en de interpretatie van hun grafieken. Taak nummer 2 test het vermogen om informatie te extraheren die wordt gepresenteerd in tabellen, diagrammen, grafieken. Afgestudeerden moeten de waarde van een functie kunnen bepalen aan de hand van de waarde van het argument wanneer: verschillende manieren het toewijzen van een functie en het beschrijven van het gedrag en de eigenschappen van de functie volgens zijn schema. Het is ook nodig om de grootste of kleinste waarde op de grafiek van de functie te kunnen vinden en de grafieken van de bestudeerde functies te plotten. De gemaakte fouten zijn willekeurig bij het lezen van de probleemstelling, het lezen van het diagram.
# ADVERTISING_INSERT #
Voorbeeld 2. De figuur toont de evolutie van de marktwaarde van één aandeel van een mijnbouwonderneming in de eerste helft van april 2017. Op 7 april verwierf de zakenman 1.000 aandelen van dit bedrijf. Op 10 april verkocht hij driekwart van de ingekochte aandelen en op 13 april de rest. Hoeveel heeft de zakenman als gevolg van deze operaties verloren?
Oplossing:
2) 1000 3/4 = 750 (aandelen) - vormen 3/4 van alle gekochte aandelen.
6) 247500 + 77500 = 325000 (roebel) - de zakenman ontving na de verkoop 1000 aandelen.
7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (roebel) - de zakenman verloor als gevolg van alle operaties.
Antwoord: 15000.
Taak nummer 3- is een taak van het basisniveau van het eerste deel, controleert het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen over de inhoud van de cursus "Planimetrie". In taak 3 wordt het vermogen getest om het gebied van een figuur op geruit papier te berekenen, het vermogen om de mate van hoeken te berekenen, de omtrekken te berekenen, enz.
Voorbeeld 3. Zoek het gebied van een rechthoek afgebeeld op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm (zie afbeelding). Geef je antwoord in vierkante centimeters.
Oplossing: Om de oppervlakte van een gegeven figuur te berekenen, kunt u de Pick-formule gebruiken:
Om de oppervlakte van deze rechthoek te berekenen, gebruiken we de Pick-formule:
|
S= B + |
G | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Zie ook: Unified State Exam in Physics: Oscillatieproblemen oplossen
Taak nummer 4- de opdracht van het opleidingsonderdeel "Kansrekening en statistiek". Het vermogen om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis in de eenvoudigste situatie te berekenen, wordt getest.
Voorbeeld 4. Er zijn 5 rode en 1 blauwe punten gemarkeerd op de cirkel. Bepaal welke polygonen meer zijn: die met alle hoekpunten zijn rood, of die met een van de hoekpunten blauw. Geef in uw antwoord aan hoeveel van sommige meer zijn dan andere.
Oplossing: 1) We gebruiken de formule voor het aantal combinaties van N elementen door k:
waarin alle hoekpunten rood zijn.
3) Een vijfhoek met alle hoekpunten rood.
4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonen met alle hoekpunten rood.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
8) Eén zeshoek, met rode pieken met één blauwe piek.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonen waarin alle hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
10) 42 - 16 = 26 polygonen met de blauwe punt.
11) 26 - 16 = 10 polygonen - hoeveel polygonen met een van de hoekpunten - een blauw punt, meer dan polygonen met alle hoekpunten alleen rood.
Antwoord: 10.
Taak nummer 5- het basisniveau van het eerste deel test het vermogen om de eenvoudigste vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, trigonometrisch, logaritmisch).
Voorbeeld 5. Los de vergelijking op 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .
Oplossing. Deel beide zijden van deze vergelijking door 5 3 + x≠ 0, we krijgen
| 2 3 + x | = 0,4 of | 2 | 3 + x | = | 2 | , | ||
| 5 3 + x | 5 | 5 |
waaruit volgt dat 3 + x = 1, x = –2.
Antwoord: –2.
Taak nummer 6 op planimetrie voor het vinden van geometrische grootheden (lengtes, hoeken, gebieden), het modelleren van reële situaties in de taal van de meetkunde. Onderzoek van de geconstrueerde modellen met behulp van geometrische concepten en stellingen. De bron van moeilijkheden is in de regel onwetendheid of onjuiste toepassing van de noodzakelijke planimetriestellingen.
Oppervlakte van een driehoek abc is gelijk aan 129. DE- de middelste lijn evenwijdig aan de zijkant AB... Vind het gebied van een trapezium EEN BED.
Oplossing. Driehoek CDE als een driehoek TAXI in twee hoeken, aangezien de tophoek C algemeen, hoek CDE gelijk aan de hoek TAXI als de overeenkomstige hoeken bij DE || AB secans AC... Omdat DE- de middelste lijn van de driehoek op voorwaarde, dan op eigenschap middenlijn | DE = (1/2)AB... Dit betekent dat de coëfficiënt van overeenkomst 0,5 is. De gebieden van dergelijke figuren zijn gerelateerd als het kwadraat van de coëfficiënt van overeenkomst, dus
Vandaar, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Taak nummer 7- controleert de toepassing van de afgeleide op de studie van de functie. Voor succesvolle implementatie zinvolle, geen formele kennis van het begrip afgeleide is noodzakelijk.
Voorbeeld 7. Ga naar functiegrafiek ja = F(x) op het punt met de abscis x 0 wordt een raaklijn getrokken die loodrecht staat op de rechte die door de punten (4; 3) en (3; –1) van deze grafiek gaat. Vinden F′( x 0).
Oplossing. 1) Laten we de vergelijking gebruiken van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat en de vergelijking zoeken van een rechte lijn die door de punten (4; 3) en (3; –1) gaat.
(ja – ja 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(ja 2 – ja 1)
(ja – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(ja – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–ja + 3 = –4x+ 16 | · (-een)
ja – 3 = 4x – 16
ja = 4x- 13, waar k 1 = 4.
2) Vind de helling van de raaklijn k 2, die loodrecht staat op de rechte lijn ja = 4x- 13, waar k 1 = 4, volgens de formule:
3) De helling van de raaklijn is de afgeleide van de functie op het raakpunt. Middelen, F′( x 0) = k 2 = –0,25.
Antwoord: –0,25.
Taak nummer 8- toetst de deelnemers aan het examen kennis van elementaire stereometrie, het kunnen toepassen van formules voor het vinden van de oppervlakten van vlakken en volumes van figuren, tweevlakshoeken, het vergelijken van de volumes van gelijkaardige figuren, het kunnen uitvoeren van handelingen met geometrische figuren, coördinaten en vectoren, enz.
Het volume van de beschreven kubus rond de bol is 216. Bepaal de straal van de bol.
Oplossing. 1) V kubus = een 3 (waar een Is de lengte van de rand van de kubus), dus
een 3 = 216
een = 3 √216
2) Aangezien de bol is ingeschreven in een kubus, betekent dit dat de lengte van de diameter van de bol gelijk is aan de lengte van de rand van de kubus, dus D = een, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.
Taak nummer 9- Vereist de afgestudeerde om algebraïsche uitdrukkingen te converteren en te vereenvoudigen. Taak nummer 9 verhoogd niveau moeite met een kort antwoord. Taken uit de sectie "Berekeningen en Transformaties" in het examen zijn onderverdeeld in verschillende typen:
- het omzetten van numerieke / alfabetische trigonometrische uitdrukkingen.
numeriek converteren rationele uitdrukkingen;
transformaties van algebraïsche uitdrukkingen en breuken;
het omzetten van numerieke / alfabetische irrationele uitdrukkingen;
acties met graden;
transformatie van logaritmische uitdrukkingen;
Voorbeeld 9. Bereken tgα als bekend is dat cos2α = 0,6 en
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Oplossing. 1) Laten we de formule van het dubbele argument gebruiken: cos2α = 2 cos 2 α - 1 en vind
| tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Dus tg 2 α = ± 0,5.
3) Op voorwaarde
| 3π | < α < π, |
| 4 |
daarom is α de hoek van het II-kwartier en tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.
Antwoord: –0,5.
# ADVERTISING_INSERT # Taak nummer 10- toetst het vermogen van leerlingen om vroeg opgedane kennis en vaardigheden toe te passen in de praktijk en het dagelijks leven. We kunnen zeggen dat dit problemen zijn in de natuurkunde, en niet in de wiskunde, maar alle noodzakelijke formules en hoeveelheden worden gegeven in de voorwaarde. De taken worden gereduceerd tot het oplossen van een lineaire of kwadratische vergelijking, of lineaire of vierkante ongelijkheid. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen en het antwoord te bepalen. Het antwoord moet een geheel getal of een definitieve decimale breuk zijn.
Twee lichamen wegen m= 2 kg elk, bewegend met dezelfde snelheid v= 10 m/s onder een hoek van 2α met elkaar. De energie (in joules) die vrijkomt tijdens hun absoluut inelastische botsing wordt bepaald door de uitdrukking Q = mv 2 zonde 2 . Wat is de kleinste hoek 2α (in graden) als de lichamen bewegen zodat er minimaal 50 joule vrijkomt als gevolg van de botsing?
Oplossing. Om het probleem op te lossen, moeten we de ongelijkheid Q ≥ 50 oplossen, op het interval 2α ∈ (0 °; 180 °).
mv 2 zonde 2 α ≥ 50
2 10 2 zonde 2 α ≥ 50
200 zonde 2 α ≥ 50
Sinds α ∈ (0 °; 90 °), zullen we alleen oplossen
Laten we de oplossing van de ongelijkheid grafisch weergeven:
Aangezien, door hypothese, α ∈ (0 °; 90 °), betekent dit 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Taak nummer 11- is typisch, maar blijkt lastig voor studenten. De grootste moeilijkheid is het construeren van een wiskundig model (het opstellen van een vergelijking). Taak nummer 11 test het vermogen om woordproblemen op te lossen.
Voorbeeld 11. Tijdens de voorjaarsvakantie moest Vasya van groep 11 560 trainingsproblemen oplossen om zich voor te bereiden op het Unified State Exam. Op 18 maart, op de laatste schooldag, loste Vasya 5 problemen op. Vervolgens loste hij elke dag hetzelfde aantal problemen meer op dan de vorige dag. Bepaal hoeveel problemen Vasya op 2 april op de laatste dag van de vakantie heeft opgelost.
Oplossing: wij duiden een 1 = 5 - het aantal problemen dat Vasya op 18 maart heeft opgelost, D- het dagelijkse aantal taken dat door Vasya wordt opgelost, N= 16 - het aantal dagen van 18 maart tot en met 2 april, S 16 = 560 - het totale aantal taken, een 16 - het aantal problemen dat Vasya op 2 april heeft opgelost. Wetende dat Vasya elke dag hetzelfde aantal problemen meer oploste in vergelijking met de vorige dag, dan kun je de formules gebruiken om de som van een rekenkundige reeks te vinden:560 = (5 + een 16) 8,
5 + een 16 = 560: 8,
5 + een 16 = 70,
een 16 = 70 – 5
een 16 = 65.
Antwoord: 65.
Taak nummer 12- het vermogen van leerlingen om handelingen met functies uit te voeren testen, een afgeleide kunnen toepassen op de studie van een functie.
Vind het maximale punt van een functie ja= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.
Oplossing: 1) Zoek het domein van de functie: x + 9 > 0, x> –9, dat wil zeggen, x ∈ (–9; ∞).
2) Zoek de afgeleide van de functie:
4) Het gevonden punt hoort bij het interval (–9; ∞). Laten we de tekens van de afgeleide van de functie bepalen en het gedrag van de functie in de figuur weergeven:
Op zoek naar maximale punt x = –8.
Download gratis een werkprogramma wiskunde voor de lijn van lesmethoden van G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Download gratis leermiddelen voor algebraTaak nummer 13-verhoogde moeilijkheidsgraad met een gedetailleerd antwoord, dat het vermogen test om vergelijkingen op te lossen, de meest succesvol opgeloste taken met een gedetailleerd antwoord met een verhoogd niveau van complexiteit.
a) Los de vergelijking 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0
b) Zoek alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen.
Oplossing: a) Laat log 3 (2cos x) = t, dan 2 t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3 (2cos x) = | 2 | ⇔ |
|
2cos x = 9 | ⇔ |
|
omdat x = | 4,5 | sinds | cos x| ≤ 1, |
| log 3 (2cos x) = | 1 | 2cos x = √3 | omdat x = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| dan cos x = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2π k |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2π k, k ∈ Z | |
| 6 |
b) Zoek de wortels die op het segment liggen.
Uit de figuur is te zien dat de wortels
| 11 | en | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Antwoord: een) | π | + 2π k; – | π | + 2π k, k ∈ Z; B) | 11 | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
De diameter van de omtrek van de basis van de cilinder is 20, de beschrijvende lijn van de cilinder is 28. Het vlak snijdt zijn basis langs koorden van lengte 12 en 16. De afstand tussen de koorden is 2√197.
a) Bewijs dat de middelpunten van de basis van de cilinder aan één kant van dit vlak liggen.
b) Bereken de hoek tussen dit vlak en het vlak van de basis van de cilinder.
Oplossing: a) Een koorde met een lengte van 12 bevindt zich op een afstand = 8 van het middelpunt van de basiscirkel, en een akkoord met een lengte van 16 bevindt zich eveneens op een afstand van 6. Daarom is de afstand tussen hun projecties op een vlak evenwijdig aan de basis van de cilinders is ofwel 8 + 6 = 14, of 8 - 6 = 2.
Dan is de afstand tussen de akkoorden ofwel
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
Door voorwaarde werd het tweede geval gerealiseerd, waarbij de projecties van de akkoorden aan één kant van de cilinderas liggen. Dit betekent dat de as dit vlak binnen de cilinder niet snijdt, dat wil zeggen dat de bases aan één kant ervan liggen. Wat moest worden bewezen.
b) Laten we de middelpunten van de basen voor O 1 en O 2 aangeven. Laten we vanuit het midden van het grondtal met een koorde van lengte 12 een middelste loodrecht op dit akkoord tekenen (het heeft een lengte van 8, zoals reeds opgemerkt) en vanuit het midden van het andere grondtal naar het andere akkoord. Ze liggen in hetzelfde vlak β, loodrecht op deze akkoorden. We noemen het middelpunt van het kleinere akkoord B groter dan A en de projectie van A op het tweede grondtal H (H ∈ β). Dan staan AB, AH ∈ β en dus AB, AH loodrecht op de koorde, dat wil zeggen de snijlijn van de basis met het gegeven vlak.
Daarom is de vereiste hoek
| ∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = boogg14. |
| bh | 8 – 6 |
Taak nummer 15- een verhoogde moeilijkheidsgraad met een gedetailleerd antwoord, test het vermogen om ongelijkheden op te lossen, het meest succesvol opgelost onder taken met een gedetailleerd antwoord met een verhoogd niveau van complexiteit.
Voorbeeld 15. Ongelijkheid oplossen | x 2 – 3x| Logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Oplossing: Het domein van deze ongelijkheid is het interval (–1; + ∞). Beschouw drie gevallen afzonderlijk:
1) Laten we x 2 – 3x= 0, d.w.z. x= 0 of x= 3. In dit geval wordt deze ongelijkheid waar, daarom worden deze waarden in de oplossing opgenomen.
2) Laten we nu x 2 – 3x> 0, d.w.z. x∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Bovendien kan deze ongelijkheid worden herschreven als ( x 2 – 3x) Logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 en delen door positief x 2 – 3x... We krijgen log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 of x≤ –0,5. Rekening houdend met het domein van de definitie, hebben we: x ∈ (–1; –0,5].
3) Overweeg tot slot: x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). In dit geval wordt de oorspronkelijke ongelijkheid herschreven als (3 x – x 2) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Na deling door positieve uitdrukking 3 x – x 2, we krijgen log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Rekening houdend met de regio, hebben we x ∈ (0; 1].
Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Antwoord: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Taak nummer 16- gevorderd niveau verwijst naar de taken van het tweede deel met een gedetailleerd antwoord. De taak test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen, coördinaten en vectoren. De taak bevat twee items. In de eerste alinea moet de taak worden bewezen en in de tweede alinea moet deze worden berekend.
In een gelijkbenige driehoek ABC met een hoek van 120° op apex A wordt een bissectrice BD getekend. Rechthoek DEFH is ingeschreven in driehoek ABC, zodat zijde FH op segment BC ligt en hoekpunt E op segment AB ligt. a) Bewijs dat FH = 2DH. b) Zoek de oppervlakte van de rechthoek DEFH als AB = 4.
Oplossing: een)
1) ΔBEF - rechthoekig, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, dan EF = BE door de eigenschap van het been dat tegenover de hoek van 30 ° ligt.
2) Laat EF = DH = x, dan BE = 2 x, BF = x√3 volgens de stelling van Pythagoras.
3) Aangezien ΔABC gelijkbenig is, betekent dit dat ∠B = ∠C = 30˚.
BD is de bissectrice van ∠B, dus ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Beschouw ΔDBH - rechthoekig, aangezien DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x(√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 - √3
2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)
S DEFH = 24 - 12√3.
Antwoord: 24 – 12√3.
Taak nummer 17- een taak met een gedetailleerd antwoord, deze taak test de toepassing van kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven, het vermogen om te bouwen en te onderzoeken wiskundige modellen... Deze opdracht is een tekstprobleem met economische inhoud.
Voorbeeld 17. Het is de bedoeling dat de aanbetaling van 20 miljoen roebel gedurende vier jaar wordt geopend. Aan het einde van elk jaar verhoogt de bank haar deposito met 10% in vergelijking met haar omvang aan het begin van het jaar. Bovendien vult de deposant aan het begin van het derde en vierde jaar het depot jaarlijks aan met x miljoen roebel, waar? x - geheel nummer. Vind de grootste waarde x, waarin de bank in vier jaar minder dan 17 miljoen roebel op het deposito zal opbouwen.
Oplossing: Aan het einde van het eerste jaar is de bijdrage 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoen roebel, en aan het einde van het tweede - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoen roebel. Aan het begin van het derde jaar wordt de bijdrage (in miljoen roebel) (24,2 + .) x), en aan het einde - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 x). Aan het begin van het vierde jaar wordt de bijdrage (26,62 + 2,1 .) X), en aan het einde - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x) 0,1 = (29.282 + 2.31 x). Per hypothese moet je het grootste gehele getal x vinden waarvoor de ongelijkheid
(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
De grootste gehele oplossing van deze ongelijkheid is 24.
Antwoord: 24.
Taak nummer 18- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige opleiding van aanvragers. Oefening hoog niveau moeilijkheid is een taak, niet op het gebruik van één oplossingsmethode, maar op een combinatie verschillende methoden... Voor het succesvol afronden van taak 18 is naast gedegen wiskundige kennis ook een hoog niveau van wiskundige cultuur vereist.
Onder wat een systeem van ongelijkheden
| x 2 + ja 2 ≤ 2ay – een 2 + 1 | |
| ja + een ≤ |x| – een |
heeft precies twee oplossingen?
Oplossing: Dit systeem kan worden herschreven als:
| x 2 + (ja– een) 2 ≤ 1 | |
| ja ≤ |x| – een |
Als we op het vlak de verzameling oplossingen van de eerste ongelijkheid tekenen, krijgen we het binnenste van een cirkel (met een grens) met straal 1 gecentreerd op het punt (0, een). De verzameling oplossingen voor de tweede ongelijkheid is het deel van het vlak dat onder de grafiek van de functie ligt ja = |
x| –
een,
en de laatste is de functiegrafiek
ja = |
x|
verschoven door een... De oplossing voor dit systeem is het snijpunt van de oplossingsverzamelingen voor elk van de ongelijkheden.
Bijgevolg heeft dit systeem alleen twee oplossingen in het geval dat wordt getoond in Fig. een.
De raakpunten van de cirkel met rechte lijnen zijn twee oplossingen van het systeem. Elk van de rechte lijnen helt ten opzichte van de assen in een hoek van 45°. Dus de driehoek PQR- rechthoekige gelijkbenige. Punt Q heeft coördinaten (0, een), en het punt R- coördinaten (0, - een). Daarnaast zijn de segmenten PR en PQ zijn gelijk aan de straal van de cirkel gelijk aan 1. Dus,
| Qr= 2een = √2, een = | √2 | . |
| 2 |
| Antwoord: een = | √2 | . |
| 2 |
Taak nummer 19- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige opleiding van aanvragers. Een taak van hoge complexiteit is geen taak voor het toepassen van één oplossingsmethode, maar voor een combinatie van verschillende methoden. Voor de succesvolle voltooiing van taak 19 is het noodzakelijk om naar een oplossing te kunnen zoeken, verschillende benaderingen te kiezen uit de bekende, en de bestudeerde methoden aan te passen.
Laat sn som P leden van de rekenkundige reeks ( een). Het is bekend dat S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.
a) Geef de formule aan P het lid van deze progressie.
b) Vind de kleinste modulo som S n.
c) Vind de kleinste P waarbij S n zal het kwadraat van een geheel getal zijn.
Oplossing: a) Het is duidelijk dat een = S n – S n- een . Met behulp van deze formule krijgen we:
S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,
S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27
middelen, een = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.
B) Sinds S n = 2N 2 – 25N, beschouw dan de functie S(x) = | 2x 2 – 25x |... De grafiek ervan is te zien in de figuur.
Het is duidelijk dat de kleinste waarde wordt bereikt bij de gehele punten die het dichtst bij de nullen van de functie liggen. Dit zijn natuurlijk punten x= 1, x= 12 en x= 13. Sinds, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, dan is de kleinste waarde 12.
c) Uit het vorige punt volgt dat: sn positief beginnend bij N= 13. Sinds S n = 2N 2 – 25N = N(2N- 25), dan wordt het voor de hand liggende geval wanneer deze uitdrukking een perfect vierkant is, gerealiseerd wanneer N = 2N- 25, dat wil zeggen, op P= 25.
Het blijft om de waarden van 13 tot 25 te controleren:
S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 2321, S 24 = 24 23.
Het blijkt dat voor kleinere waarden P vol plein wordt niet bereikt.
Antwoord: een) een = 4N- 27; b) 12; c) 25.
________________
* Sinds mei 2017 maakt de gezamenlijke uitgeverijgroep "DROFA-VENTANA" deel uit van de onderneming "Russisch leerboek". Het bedrijf omvat ook de uitgeverij Astrel en het digitale onderwijsplatform LECTA. De directeur-generaal benoemd tot Alexander Brychkin, afgestudeerd aan de Financiële Academie onder de regering van de Russische Federatie, kandidaat voor economische wetenschappen, hoofd van innovatieve projecten van de uitgeverij DROFA op het gebied van digitaal onderwijs (elektronische vormen van leerboeken, Russische elektronische school, digitaal onderwijs platform LECTA). Voordat hij bij uitgeverij DROFA in dienst trad, bekleedde hij de functie van vice-president voor strategische ontwikkeling en investeringen van de EKSMO-AST Publishing Holding. Vandaag heeft de uitgeverij Russian Textbook de grootste portefeuille met leerboeken die zijn opgenomen in de federale lijst - 485 titels (ongeveer 40%, exclusief leerboeken voor correctionele school). De uitgeverijen van het bedrijf bezitten de reeksen leerboeken die het meest gevraagd worden door Russische scholen over natuurkunde, tekenen, biologie, scheikunde, technologie, aardrijkskunde en astronomie - kennisgebieden die nodig zijn om het productiepotentieel van het land te ontwikkelen. De portefeuille van het bedrijf omvat studieboeken en zelfstudies voor Lagere school bekroond met de presidentiële prijs in het onderwijs. Dit zijn leerboeken en handleidingen over vakgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke, technische en productiepotentieel van Rusland.
Het Unified State Exam in Mathematics is een van de belangrijkste tests voor afgestudeerden voordat ze een certificaat behalen en naar een instelling voor hoger onderwijs gaan. Deze versie van kennisbeheersing wordt gebruikt om kennis te beoordelen in de disciplines die in het proces zijn verkregen scholing... Het verenigde staatsexamen vindt plaats in de vorm van testen, voorbereiding van taken voor de laatste test wordt uitgevoerd door Rosobrnadzor en anderen bevoegde instanties op het gebied van onderwijs. De slaagscore voor wiskunde hangt af van de individuele vereisten van de universiteit waar je solliciteertafstuderen. Het behalen van het high grade examen is een belangrijke factor in uw succes bij toelating.
De wiskunde van het profielniveau is noodzakelijk voor toelating tot universiteiten met een technische, economische oriëntatie. De basis van de examenopgaven is het basisniveau, complexere opgaven en voorbeelden worden hieraan toegevoegd. Korte en gedetailleerde antwoorden worden voorgesteld:
- De eerste taken vereisen geen geavanceerde kennis - dit is een test van kennis van het basisniveau;
- De volgende 5 zijn moeilijker, een gemiddeld en hoog niveau van beheersing van het onderwerp is vereist. Deze taken worden gecontroleerd met een computer, omdat het antwoord erop kort is.
Als een student voor dit niveau kiest, impliceert dit de wens om in de toekomst de exacte wetenschappen verder te studeren aan een instelling voor hoger onderwijs. De keuze voor het profielexamen geeft ook aan dat het kennisniveau van de student vrij hoog is, met andere woorden dat een fundamentele voorbereiding niet nodig is.
Het voorbereidingsproces omvat herhaling van de hoofdsecties, het oplossen van problemen van verhoogde complexiteit die een niet-standaard, creatieve benadering vereisen.
Bereidingsmethoden
- Basistraining wordt gegeven op de school, waar de student de basis leert, soms geeft de leraar extra keuzevakken voor afgestudeerden. Belangrijkste aanbeveling:- alle onderwerpen zorgvuldig en grondig beheersen, vooral in de laatste les.
- Zelfstandig werk: Dit vereist speciale zelfdiscipline, wilskracht en zelfbeheersing. Je moet goed lezen ... Het probleem is in de richting - alleen een specialist kan de toekomstige aanvrager competent doorverwijzen naar die onderwerpen waaraan aandacht moet worden besteed.
- Bijles: een professionele specialist helpt je om complexe taken efficiënt en snel op te lossen.
- Cursussen en online trainingen: een moderne en bewezen manier die tijd en geld bespaart. Een belangrijk voordeel:: u kunt online tests doen, snel antwoorden krijgen, op verschillende taken trainen.
Secundair algemeen onderwijs
UMK lijn GK Muravin. Algebra en het begin van wiskundige analyse (10-11) (diepgaand)
UMK Merzlyak-lijn. Algebra en het begin van analyse (10-11) (U)
Wiskunde
Voorbereiding op het examen wiskunde (profielniveau): opdrachten, oplossingen en uitleg
We analyseren taken en lossen voorbeelden op met een leraarHet examenwerk op profielniveau duurt 3 uur 55 minuten (235 minuten).
Minimale drempel- 27 punten.
Het examenwerk bestaat uit twee delen, die verschillen in inhoud, complexiteit en aantal taken.
Het bepalende kenmerk van elk deel van het werk is de vorm van opdrachten:
- deel 1 bevat 8 taken (taken 1-8) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk;
- Deel 2 bevat 4 taken (taken 9-12) met een kort antwoord in de vorm van een geheel getal of een laatste decimale breuk en 7 taken (taken 13-19) met een gedetailleerd antwoord (een volledig verslag van de beslissing met motivering van de uitgevoerde handelingen).
Panova Svetlana Anatolievna, leraar wiskunde van de hoogste categorie van de school, werkervaring 20 jaar:
“Om een schoolcertificaat te krijgen, moet een afgestudeerde slagen voor twee verplichte examens in de vorm van het Unified State Exam, waarvan wiskunde er één is. In overeenstemming met het concept voor de ontwikkeling van wiskundig onderwijs in de Russische Federatie, is het Unified State Exam in Mathematics verdeeld in twee niveaus: basis en gespecialiseerd. Vandaag gaan we kijken naar opties voor het profielniveau."
Taak nummer 1- test het vermogen van de USE-deelnemers om de vaardigheden die in de loop van 5-9 leerjaren in elementaire wiskunde zijn verworven in praktische activiteiten toe te passen. De deelnemer moet rekenvaardigheden hebben, kunnen werken met rationale getallen, decimale breuken kunnen afronden, de ene meeteenheid naar de andere kunnen converteren.
Voorbeeld 1. In het appartement waar Peter woont is een koudwatermeter (meter) geplaatst. Op 1 mei gaf de meter een verbruik aan van 172 kubieke meter. m water, en op 1 juni - 177 kubieke meter. m. Welk bedrag moet Peter betalen voor koud water voor mei, als de prijs van 1 kubieke meter is. m koud water is 34 roebel 17 kopeken? Geef je antwoord in roebels.
Oplossing:
1) Laten we de hoeveelheid water per maand vinden:
177 - 172 = 5 (kubieke meter)
2) Laten we eens kijken hoeveel geld er zal worden betaald voor het verbruikte water:
34.17 5 = 170.85 (wrijven)
Antwoord: 170,85.
Taak nummer 2- is een van de eenvoudigste examentaken. De meeste afgestudeerden gaan er met succes mee om, wat getuigt van het bezit van de definitie van het begrip functie. Type taak nummer 2 volgens de vereistencodeerder is een taak voor het gebruik van de verworven kennis en vaardigheden in praktische activiteiten en het dagelijks leven. Taak nummer 2 bestaat uit de beschrijving met behulp van functies van verschillende reële relaties tussen grootheden en de interpretatie van hun grafieken. Taak nummer 2 test het vermogen om informatie te extraheren die wordt gepresenteerd in tabellen, diagrammen, grafieken. Afgestudeerden moeten in staat zijn om de waarde van een functie te bepalen aan de hand van de waarde van het argument op verschillende manieren om een functie te definiëren en het gedrag en de eigenschappen van een functie volgens zijn schema te beschrijven. Het is ook nodig om de grootste of kleinste waarde op de grafiek van de functie te kunnen vinden en de grafieken van de bestudeerde functies te plotten. De gemaakte fouten zijn willekeurig bij het lezen van de probleemstelling, het lezen van het diagram.
# ADVERTISING_INSERT #
Voorbeeld 2. De figuur toont de evolutie van de marktwaarde van één aandeel van een mijnbouwonderneming in de eerste helft van april 2017. Op 7 april verwierf de zakenman 1.000 aandelen van dit bedrijf. Op 10 april verkocht hij driekwart van de ingekochte aandelen en op 13 april de rest. Hoeveel heeft de zakenman als gevolg van deze operaties verloren?
Oplossing:
2) 1000 3/4 = 750 (aandelen) - vormen 3/4 van alle gekochte aandelen.
6) 247500 + 77500 = 325000 (roebel) - de zakenman ontving na de verkoop 1000 aandelen.
7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (roebel) - de zakenman verloor als gevolg van alle operaties.
Antwoord: 15000.
Taak nummer 3- is een opdracht van het basisniveau van het eerste deel, toetst de vaardigheid om handelingen uit te voeren met geometrische vormen volgens de inhoud van de cursus "Planimetrie". In taak 3 wordt het vermogen getest om het gebied van een figuur op geruit papier te berekenen, het vermogen om de mate van hoeken te berekenen, de omtrekken te berekenen, enz.
Voorbeeld 3. Zoek het gebied van een rechthoek afgebeeld op geruit papier met een celgrootte van 1 cm bij 1 cm (zie afbeelding). Geef je antwoord in vierkante centimeters.
Oplossing: Om de oppervlakte van een gegeven figuur te berekenen, kunt u de Pick-formule gebruiken:
Om de oppervlakte van deze rechthoek te berekenen, gebruiken we de Pick-formule:
|
S= B + |
G | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Zie ook: Unified State Exam in Physics: Oscillatieproblemen oplossen
Taak nummer 4- de opdracht van het opleidingsonderdeel "Kansrekening en statistiek". Het vermogen om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis in de eenvoudigste situatie te berekenen, wordt getest.
Voorbeeld 4. Er zijn 5 rode en 1 blauwe punten gemarkeerd op de cirkel. Bepaal welke polygonen meer zijn: die met alle hoekpunten zijn rood, of die met een van de hoekpunten blauw. Geef in uw antwoord aan hoeveel van sommige meer zijn dan andere.
Oplossing: 1) We gebruiken de formule voor het aantal combinaties van N elementen door k:
waarin alle hoekpunten rood zijn.
3) Een vijfhoek met alle hoekpunten rood.
4) 10 + 5 + 1 = 16 polygonen met alle hoekpunten rood.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
waarvan de hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
8) Eén zeshoek, met rode pieken met één blauwe piek.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygonen waarin alle hoekpunten rood zijn of met één blauw hoekpunt.
10) 42 - 16 = 26 polygonen met de blauwe punt.
11) 26 - 16 = 10 polygonen - hoeveel polygonen met een van de hoekpunten - een blauw punt, meer dan polygonen met alle hoekpunten alleen rood.
Antwoord: 10.
Taak nummer 5- het basisniveau van het eerste deel test het vermogen om de eenvoudigste vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, trigonometrisch, logaritmisch).
Voorbeeld 5. Los de vergelijking op 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .
Oplossing. Deel beide zijden van deze vergelijking door 5 3 + x≠ 0, we krijgen
| 2 3 + x | = 0,4 of | 2 | 3 + x | = | 2 | , | ||
| 5 3 + x | 5 | 5 |
waaruit volgt dat 3 + x = 1, x = –2.
Antwoord: –2.
Taak nummer 6 op planimetrie voor het vinden van geometrische grootheden (lengtes, hoeken, gebieden), het modelleren van reële situaties in de taal van de meetkunde. Onderzoek van de geconstrueerde modellen met behulp van geometrische concepten en stellingen. De bron van moeilijkheden is in de regel onwetendheid of onjuiste toepassing van de noodzakelijke planimetriestellingen.
Oppervlakte van een driehoek abc is gelijk aan 129. DE- de middelste lijn evenwijdig aan de zijkant AB... Vind het gebied van een trapezium EEN BED.
Oplossing. Driehoek CDE als een driehoek TAXI in twee hoeken, aangezien de tophoek C algemeen, hoek CDE gelijk aan de hoek TAXI als de overeenkomstige hoeken bij DE || AB secans AC... Omdat DE- de middelste lijn van de driehoek door de voorwaarde, dan door de eigenschap van de middelste lijn | DE = (1/2)AB... Dit betekent dat de coëfficiënt van overeenkomst 0,5 is. De gebieden van dergelijke figuren zijn gerelateerd als het kwadraat van de coëfficiënt van overeenkomst, dus
Vandaar, S ABED = S Δ abc – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Taak nummer 7- controleert de toepassing van de afgeleide op de studie van de functie. Voor een succesvolle implementatie is een zinvolle, niet-formele kennis van het concept van een derivaat vereist.
Voorbeeld 7. Ga naar functiegrafiek ja = F(x) op het punt met de abscis x 0 wordt een raaklijn getrokken die loodrecht staat op de rechte die door de punten (4; 3) en (3; –1) van deze grafiek gaat. Vinden F′( x 0).
Oplossing. 1) Laten we de vergelijking gebruiken van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat en de vergelijking zoeken van een rechte lijn die door de punten (4; 3) en (3; –1) gaat.
(ja – ja 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(ja 2 – ja 1)
(ja – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(ja – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–ja + 3 = –4x+ 16 | · (-een)
ja – 3 = 4x – 16
ja = 4x- 13, waar k 1 = 4.
2) Vind de helling van de raaklijn k 2, die loodrecht staat op de rechte lijn ja = 4x- 13, waar k 1 = 4, volgens de formule:
3) De helling van de raaklijn is de afgeleide van de functie op het raakpunt. Middelen, F′( x 0) = k 2 = –0,25.
Antwoord: –0,25.
Taak nummer 8- toetst de deelnemers aan het examen kennis van elementaire stereometrie, het kunnen toepassen van formules voor het vinden van de oppervlakten van vlakken en volumes van figuren, tweevlakshoeken, het vergelijken van de volumes van gelijkaardige figuren, het kunnen uitvoeren van handelingen met geometrische figuren, coördinaten en vectoren, enz.
Het volume van de beschreven kubus rond de bol is 216. Bepaal de straal van de bol.
Oplossing. 1) V kubus = een 3 (waar een Is de lengte van de rand van de kubus), dus
een 3 = 216
een = 3 √216
2) Aangezien de bol is ingeschreven in een kubus, betekent dit dat de lengte van de diameter van de bol gelijk is aan de lengte van de rand van de kubus, dus D = een, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.
Taak nummer 9- Vereist de afgestudeerde om algebraïsche uitdrukkingen te converteren en te vereenvoudigen. Taak nummer 9 van verhoogde moeilijkheidsgraad met een kort antwoord. Taken uit de sectie "Berekeningen en Transformaties" in het examen zijn onderverdeeld in verschillende typen:
- het omzetten van numerieke / alfabetische trigonometrische uitdrukkingen.
het omzetten van numerieke rationale uitdrukkingen;
transformaties van algebraïsche uitdrukkingen en breuken;
het omzetten van numerieke / alfabetische irrationele uitdrukkingen;
acties met graden;
transformatie van logaritmische uitdrukkingen;
Voorbeeld 9. Bereken tgα als bekend is dat cos2α = 0,6 en
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Oplossing. 1) Laten we de formule van het dubbele argument gebruiken: cos2α = 2 cos 2 α - 1 en vind
| tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Dus tg 2 α = ± 0,5.
3) Op voorwaarde
| 3π | < α < π, |
| 4 |
daarom is α de hoek van het II-kwartier en tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.
Antwoord: –0,5.
# ADVERTISING_INSERT # Taak nummer 10- toetst het vermogen van leerlingen om vroeg opgedane kennis en vaardigheden toe te passen in de praktijk en het dagelijks leven. We kunnen zeggen dat dit problemen zijn in de natuurkunde, en niet in de wiskunde, maar alle noodzakelijke formules en hoeveelheden worden gegeven in de voorwaarde. De taken worden gereduceerd tot het oplossen van een lineaire of kwadratische vergelijking, of een lineaire of kwadratische ongelijkheid. Daarom is het noodzakelijk om dergelijke vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen en het antwoord te bepalen. Het antwoord moet een geheel getal of een definitieve decimale breuk zijn.
Twee lichamen wegen m= 2 kg elk, bewegend met dezelfde snelheid v= 10 m/s onder een hoek van 2α met elkaar. De energie (in joules) die vrijkomt tijdens hun absoluut inelastische botsing wordt bepaald door de uitdrukking Q = mv 2 zonde 2 . Wat is de kleinste hoek 2α (in graden) als de lichamen bewegen zodat er minimaal 50 joule vrijkomt als gevolg van de botsing?
Oplossing. Om het probleem op te lossen, moeten we de ongelijkheid Q ≥ 50 oplossen, op het interval 2α ∈ (0 °; 180 °).
mv 2 zonde 2 α ≥ 50
2 10 2 zonde 2 α ≥ 50
200 zonde 2 α ≥ 50
Sinds α ∈ (0 °; 90 °), zullen we alleen oplossen
Laten we de oplossing van de ongelijkheid grafisch weergeven:
Aangezien, door hypothese, α ∈ (0 °; 90 °), betekent dit 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Taak nummer 11- is typisch, maar blijkt lastig voor studenten. De grootste moeilijkheid is het construeren van een wiskundig model (het opstellen van een vergelijking). Taak nummer 11 test het vermogen om woordproblemen op te lossen.
Voorbeeld 11. Tijdens de voorjaarsvakantie moest Vasya van groep 11 560 trainingsproblemen oplossen om zich voor te bereiden op het Unified State Exam. Op 18 maart, op de laatste schooldag, loste Vasya 5 problemen op. Vervolgens loste hij elke dag hetzelfde aantal problemen meer op dan de vorige dag. Bepaal hoeveel problemen Vasya op 2 april op de laatste dag van de vakantie heeft opgelost.
Oplossing: wij duiden een 1 = 5 - het aantal problemen dat Vasya op 18 maart heeft opgelost, D- het dagelijkse aantal taken dat door Vasya wordt opgelost, N= 16 - het aantal dagen van 18 maart tot en met 2 april, S 16 = 560 - het totale aantal taken, een 16 - het aantal problemen dat Vasya op 2 april heeft opgelost. Wetende dat Vasya elke dag hetzelfde aantal problemen meer oploste in vergelijking met de vorige dag, dan kun je de formules gebruiken om de som van een rekenkundige reeks te vinden:560 = (5 + een 16) 8,
5 + een 16 = 560: 8,
5 + een 16 = 70,
een 16 = 70 – 5
een 16 = 65.
Antwoord: 65.
Taak nummer 12- het vermogen van leerlingen om handelingen met functies uit te voeren testen, een afgeleide kunnen toepassen op de studie van een functie.
Vind het maximale punt van een functie ja= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.
Oplossing: 1) Zoek het domein van de functie: x + 9 > 0, x> –9, dat wil zeggen, x ∈ (–9; ∞).
2) Zoek de afgeleide van de functie:
4) Het gevonden punt hoort bij het interval (–9; ∞). Laten we de tekens van de afgeleide van de functie bepalen en het gedrag van de functie in de figuur weergeven:
Op zoek naar maximale punt x = –8.
Download gratis een werkprogramma wiskunde voor de lijn van lesmethoden van G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Download gratis leermiddelen voor algebraTaak nummer 13-verhoogde moeilijkheidsgraad met een gedetailleerd antwoord, dat het vermogen test om vergelijkingen op te lossen, de meest succesvol opgeloste taken met een gedetailleerd antwoord met een verhoogd niveau van complexiteit.
a) Los de vergelijking 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0
b) Zoek alle wortels van deze vergelijking die bij het segment horen.
Oplossing: a) Laat log 3 (2cos x) = t, dan 2 t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3 (2cos x) = | 2 | ⇔ |
|
2cos x = 9 | ⇔ |
|
omdat x = | 4,5 | sinds | cos x| ≤ 1, |
| log 3 (2cos x) = | 1 | 2cos x = √3 | omdat x = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| dan cos x = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2π k |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2π k, k ∈ Z | |
| 6 |
b) Zoek de wortels die op het segment liggen.
Uit de figuur is te zien dat de wortels
| 11 | en | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Antwoord: een) | π | + 2π k; – | π | + 2π k, k ∈ Z; B) | 11 | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
De diameter van de omtrek van de basis van de cilinder is 20, de beschrijvende lijn van de cilinder is 28. Het vlak snijdt zijn basis langs koorden van lengte 12 en 16. De afstand tussen de koorden is 2√197.
a) Bewijs dat de middelpunten van de basis van de cilinder aan één kant van dit vlak liggen.
b) Bereken de hoek tussen dit vlak en het vlak van de basis van de cilinder.
Oplossing: a) Een koorde met een lengte van 12 bevindt zich op een afstand = 8 van het middelpunt van de basiscirkel, en een akkoord met een lengte van 16 bevindt zich eveneens op een afstand van 6. Daarom is de afstand tussen hun projecties op een vlak evenwijdig aan de basis van de cilinders is ofwel 8 + 6 = 14, of 8 - 6 = 2.
Dan is de afstand tussen de akkoorden ofwel
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
Door voorwaarde werd het tweede geval gerealiseerd, waarbij de projecties van de akkoorden aan één kant van de cilinderas liggen. Dit betekent dat de as dit vlak binnen de cilinder niet snijdt, dat wil zeggen dat de bases aan één kant ervan liggen. Wat moest worden bewezen.
b) Laten we de middelpunten van de basen voor O 1 en O 2 aangeven. Laten we vanuit het midden van het grondtal met een koorde van lengte 12 een middelste loodrecht op dit akkoord tekenen (het heeft een lengte van 8, zoals reeds opgemerkt) en vanuit het midden van het andere grondtal naar het andere akkoord. Ze liggen in hetzelfde vlak β, loodrecht op deze akkoorden. We noemen het middelpunt van het kleinere akkoord B groter dan A en de projectie van A op het tweede grondtal H (H ∈ β). Dan staan AB, AH ∈ β en dus AB, AH loodrecht op de koorde, dat wil zeggen de snijlijn van de basis met het gegeven vlak.
Daarom is de vereiste hoek
| ∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = boogg14. |
| bh | 8 – 6 |
Taak nummer 15- een verhoogde moeilijkheidsgraad met een gedetailleerd antwoord, test het vermogen om ongelijkheden op te lossen, het meest succesvol opgelost onder taken met een gedetailleerd antwoord met een verhoogd niveau van complexiteit.
Voorbeeld 15. Ongelijkheid oplossen | x 2 – 3x| Logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Oplossing: Het domein van deze ongelijkheid is het interval (–1; + ∞). Beschouw drie gevallen afzonderlijk:
1) Laten we x 2 – 3x= 0, d.w.z. x= 0 of x= 3. In dit geval wordt deze ongelijkheid waar, daarom worden deze waarden in de oplossing opgenomen.
2) Laten we nu x 2 – 3x> 0, d.w.z. x∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Bovendien kan deze ongelijkheid worden herschreven als ( x 2 – 3x) Logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 en delen door positief x 2 – 3x... We krijgen log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 of x≤ –0,5. Rekening houdend met het domein van de definitie, hebben we: x ∈ (–1; –0,5].
3) Overweeg tot slot: x 2 – 3x < 0, при этом x(0; 3). In dit geval wordt de oorspronkelijke ongelijkheid herschreven als (3 x – x 2) logboek 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Na deling door positieve uitdrukking 3 x – x 2, we krijgen log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Rekening houdend met de regio, hebben we x ∈ (0; 1].
Door de verkregen oplossingen te combineren, verkrijgen we x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Antwoord: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Taak nummer 16- gevorderd niveau verwijst naar de taken van het tweede deel met een gedetailleerd antwoord. De taak test het vermogen om acties uit te voeren met geometrische vormen, coördinaten en vectoren. De taak bevat twee items. In de eerste alinea moet de taak worden bewezen en in de tweede alinea moet deze worden berekend.
In een gelijkbenige driehoek ABC met een hoek van 120° op apex A wordt een bissectrice BD getekend. Rechthoek DEFH is ingeschreven in driehoek ABC, zodat zijde FH op segment BC ligt en hoekpunt E op segment AB ligt. a) Bewijs dat FH = 2DH. b) Zoek de oppervlakte van de rechthoek DEFH als AB = 4.
Oplossing: een)
1) ΔBEF - rechthoekig, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, dan EF = BE door de eigenschap van het been dat tegenover de hoek van 30 ° ligt.
2) Laat EF = DH = x, dan BE = 2 x, BF = x√3 volgens de stelling van Pythagoras.
3) Aangezien ΔABC gelijkbenig is, betekent dit dat ∠B = ∠C = 30˚.
BD is de bissectrice van ∠B, dus ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Beschouw ΔDBH - rechthoekig, aangezien DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x(√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 - √3
2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)
S DEFH = 24 - 12√3.
Antwoord: 24 – 12√3.
Taak nummer 17- een taak met een gedetailleerd antwoord, deze taak test de toepassing van kennis en vaardigheden in de praktijk en het dagelijks leven, het vermogen om wiskundige modellen te bouwen en te verkennen. Deze opdracht is een tekstprobleem met economische inhoud.
Voorbeeld 17. Het is de bedoeling dat de aanbetaling van 20 miljoen roebel gedurende vier jaar wordt geopend. Aan het einde van elk jaar verhoogt de bank haar deposito met 10% in vergelijking met haar omvang aan het begin van het jaar. Bovendien vult de deposant aan het begin van het derde en vierde jaar het depot jaarlijks aan met x miljoen roebel, waar? x - geheel nummer. Vind de grootste waarde x, waarin de bank in vier jaar minder dan 17 miljoen roebel op het deposito zal opbouwen.
Oplossing: Aan het einde van het eerste jaar is de bijdrage 20 + 20 · 0,1 = 22 miljoen roebel, en aan het einde van het tweede - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 miljoen roebel. Aan het begin van het derde jaar wordt de bijdrage (in miljoen roebel) (24,2 + .) x), en aan het einde - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 x). Aan het begin van het vierde jaar wordt de bijdrage (26,62 + 2,1 .) X), en aan het einde - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x) 0,1 = (29.282 + 2.31 x). Per hypothese moet je het grootste gehele getal x vinden waarvoor de ongelijkheid
(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
De grootste gehele oplossing van deze ongelijkheid is 24.
Antwoord: 24.
Taak nummer 18- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige opleiding van aanvragers. Een taak van hoge complexiteit is geen taak voor het toepassen van één oplossingsmethode, maar voor een combinatie van verschillende methoden. Voor het succesvol afronden van taak 18 is naast gedegen wiskundige kennis ook een hoog niveau van wiskundige cultuur vereist.
Onder wat een systeem van ongelijkheden
| x 2 + ja 2 ≤ 2ay – een 2 + 1 | |
| ja + een ≤ |x| – een |
heeft precies twee oplossingen?
Oplossing: Dit systeem kan worden herschreven als:
| x 2 + (ja– een) 2 ≤ 1 | |
| ja ≤ |x| – een |
Als we op het vlak de verzameling oplossingen van de eerste ongelijkheid tekenen, krijgen we het binnenste van een cirkel (met een grens) met straal 1 gecentreerd op het punt (0, een). De verzameling oplossingen voor de tweede ongelijkheid is het deel van het vlak dat onder de grafiek van de functie ligt ja = |
x| –
een,
en de laatste is de functiegrafiek
ja = |
x|
verschoven door een... De oplossing voor dit systeem is het snijpunt van de oplossingsverzamelingen voor elk van de ongelijkheden.
Bijgevolg heeft dit systeem alleen twee oplossingen in het geval dat wordt getoond in Fig. een.
De raakpunten van de cirkel met rechte lijnen zijn twee oplossingen van het systeem. Elk van de rechte lijnen helt ten opzichte van de assen in een hoek van 45°. Dus de driehoek PQR- rechthoekige gelijkbenige. Punt Q heeft coördinaten (0, een), en het punt R- coördinaten (0, - een). Daarnaast zijn de segmenten PR en PQ zijn gelijk aan de straal van de cirkel gelijk aan 1. Dus,
| Qr= 2een = √2, een = | √2 | . |
| 2 |
| Antwoord: een = | √2 | . |
| 2 |
Taak nummer 19- een taak van een verhoogd niveau van complexiteit met een gedetailleerd antwoord. Deze taak is bedoeld voor competitieve selectie voor universiteiten met verhoogde eisen voor de wiskundige opleiding van aanvragers. Een taak van hoge complexiteit is geen taak voor het toepassen van één oplossingsmethode, maar voor een combinatie van verschillende methoden. Voor de succesvolle voltooiing van taak 19 is het noodzakelijk om naar een oplossing te kunnen zoeken, verschillende benaderingen te kiezen uit de bekende, en de bestudeerde methoden aan te passen.
Laat sn som P leden van de rekenkundige reeks ( een). Het is bekend dat S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.
a) Geef de formule aan P het lid van deze progressie.
b) Vind de kleinste modulo som S n.
c) Vind de kleinste P waarbij S n zal het kwadraat van een geheel getal zijn.
Oplossing: a) Het is duidelijk dat een = S n – S n- een . Met behulp van deze formule krijgen we:
S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,
S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27
middelen, een = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.
B) Sinds S n = 2N 2 – 25N, beschouw dan de functie S(x) = | 2x 2 – 25x |... De grafiek ervan is te zien in de figuur.
Het is duidelijk dat de kleinste waarde wordt bereikt bij de gehele punten die het dichtst bij de nullen van de functie liggen. Dit zijn natuurlijk punten x= 1, x= 12 en x= 13. Sinds, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, dan is de kleinste waarde 12.
c) Uit het vorige punt volgt dat: sn positief beginnend bij N= 13. Sinds S n = 2N 2 – 25N = N(2N- 25), dan wordt het voor de hand liggende geval wanneer deze uitdrukking een perfect vierkant is, gerealiseerd wanneer N = 2N- 25, dat wil zeggen, op P= 25.
Het blijft om de waarden van 13 tot 25 te controleren:
S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 2321, S 24 = 24 23.
Het blijkt dat voor kleinere waarden P volledig vierkant wordt niet bereikt.
Antwoord: een) een = 4N- 27; b) 12; c) 25.
________________
* Sinds mei 2017 maakt de gezamenlijke uitgeverijgroep "DROFA-VENTANA" deel uit van de onderneming "Russisch leerboek". Het bedrijf omvat ook de uitgeverij Astrel en het digitale onderwijsplatform LECTA. Alexander Brychkin, afgestudeerd aan de Financiële Academie onder de regering van de Russische Federatie, doctor in de economie, hoofd van innovatieve projecten van de uitgeverij DROFA op het gebied van digitaal onderwijs (elektronische vormen van leerboeken, Russische elektronische school, digitale onderwijsplatform LECTA) is aangesteld als algemeen directeur. Voordat hij bij uitgeverij DROFA in dienst trad, bekleedde hij de functie van vice-president voor strategische ontwikkeling en investeringen van de EKSMO-AST Publishing Holding. Tegenwoordig heeft de uitgeverij "Russian Textbook" de grootste portefeuille met schoolboeken die zijn opgenomen in de federale lijst - 485 titels (ongeveer 40%, exclusief schoolboeken voor een speciale school). De uitgeverijen van het bedrijf bezitten de reeksen leerboeken die het meest gevraagd worden door Russische scholen over natuurkunde, tekenen, biologie, scheikunde, technologie, aardrijkskunde en astronomie - kennisgebieden die nodig zijn om het productiepotentieel van het land te ontwikkelen. De portefeuille van het bedrijf omvat schoolboeken en leermiddelen voor het basisonderwijs die de President's Education Prize hebben ontvangen. Dit zijn leerboeken en handleidingen over vakgebieden die nodig zijn voor de ontwikkeling van het wetenschappelijke, technische en productiepotentieel van Rusland.
De cursus Get A Video bevat alle onderwerpen die je nodig hebt om succesvol te zijn. slagen voor het examen in wiskunde met 60-65 punten. Voltooi alle taken 1-13 van het profiel Unified State Exam in Mathematics. Ook geschikt voor het behalen van het Basisexamen wiskunde. Als je het examen voor 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!
Voorbereidingscursus voor het examen voor de klassen 10-11, evenals voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het examen wiskunde (eerste 12 opgaven) en opgave 13 (driehoeksmeting) op te lossen. En dat is meer dan 70 punten op het examen, en noch een honderdpuntige student noch een student geesteswetenschappen kan zonder.
Alle theorie die je nodig hebt. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het examen. Alle relevante taken van deel 1 gedemonteerd van de takenbank van de FIPI. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het examen 2018.
De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanuit het niets gegeven, eenvoudig en duidelijk.
Honderden examenopdrachten. Woordproblemen en kansrekening. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten USE-opdrachten. Stereometrie. Lastige trucs oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Visuele uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, graden en logaritmen, functie en afgeleide. De basis voor het oplossen van complexe problemen van het 2e deel van het examen.
