Het is bekend dat men in de wiskunde niet zonder het vereenvoudigen van uitdrukkingen kan. Dit is nodig voor de juiste en snelle oplossing van een breed scala aan problemen, evenals verschillende soorten vergelijkingen. De besproken vereenvoudiging impliceert een vermindering van het aantal acties dat nodig is om het doel te bereiken. Hierdoor worden berekeningen merkbaar vereenvoudigd en wordt er aanzienlijk tijd bespaard. Maar hoe de uitdrukking te vereenvoudigen? Hiervoor worden gevestigde wiskundige relaties gebruikt, vaak formules genoemd, of wetten waarmee u uitdrukkingen veel korter kunt maken, waardoor berekeningen worden vereenvoudigd.

Het is geen geheim dat het tegenwoordig niet moeilijk is om de uitdrukking online te vereenvoudigen. Hier zijn links naar enkele van de meer populaire:

Dit is echter niet bij elke uitdrukking mogelijk. Daarom zullen we meer traditionele methoden in meer detail bekijken.

Een gemeenschappelijke deler eruit halen

In het geval dat er in één uitdrukking monomials zijn die dezelfde factoren hebben, kun je de som van de coëfficiënten ermee vinden en vervolgens vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke factor voor hen. Deze bewerking wordt ook wel "een gemeenschappelijke deler aftrekken" genoemd. Door consequent deze methode te gebruiken, kunt u de uitdrukking soms aanzienlijk vereenvoudigen. Algebra is immers in het algemeen, als geheel, gebouwd op het groeperen en hergroeperen van factoren en delers.

De eenvoudigste formules voor verkorte vermenigvuldiging

Een van de gevolgen van de eerder beschreven methode zijn de gereduceerde vermenigvuldigingsformules. Hoe uitdrukkingen met hun hulp te vereenvoudigen, is veel duidelijker voor degenen die deze formules niet eens uit hun hoofd hebben geleerd, maar weten hoe ze zijn afgeleid, dat wil zeggen, waar ze vandaan komen, en, dienovereenkomstig, hun wiskundige aard. De vorige stelling blijft in principe geldig in alle moderne wiskunde, van het eerste leerjaar tot de hogere vakken van de afdelingen Mechanica en Wiskunde. Het verschil van kwadraten, het kwadraat van het verschil en de som, de som en het verschil van kubussen - al deze formules worden veel gebruikt in zowel elementaire als hogere wiskunde, in gevallen waarin het nodig is om de uitdrukking te vereenvoudigen om de problemen op te lossen . Voorbeelden van dergelijke transformaties zijn gemakkelijk te vinden in elk schoolboek over algebra, of, nog eenvoudiger, op de uitgestrektheid van het wereldwijde web.

Graadwortels

Elementaire wiskunde, als je het als geheel bekijkt, is gewapend met niet zo veel manieren waarop je de uitdrukking kunt vereenvoudigen. Graden en acties met hen zijn in de regel relatief eenvoudig voor de meeste studenten. Pas nu hebben veel moderne schoolkinderen en studenten aanzienlijke problemen wanneer het nodig is om de uitdrukking met wortels te vereenvoudigen. En het is totaal ongegrond. Omdat de wiskundige aard van de wortels niet verschilt van de aard van dezelfde graden, waarmee in de regel veel minder moeilijkheden zijn. Het is bekend dat Vierkantswortel van een getal, variabele of uitdrukking niets anders is dan hetzelfde getal, dezelfde variabele of uitdrukking tot de macht van de helft, de derdemachtswortel is hetzelfde tot de macht van een derde, enzovoort, in overeenstemming.

Uitdrukkingen vereenvoudigen met breuken

Overweeg ook een veelvoorkomend voorbeeld van het vereenvoudigen van een uitdrukking met breuken. In gevallen waarin de uitdrukkingen natuurlijke breuken zijn, moet een gemeenschappelijke factor worden onderscheiden van de noemer en teller, en vervolgens moet de breuk ermee worden verminderd. Wanneer de monomials dezelfde vermenigvuldigers tot machten hebben, is het noodzakelijk om de gelijkheid van de bevoegdheden te controleren bij het optellen ervan.

Vereenvoudiging van de eenvoudigste trigonometrische uitdrukkingen

Een deel van het gesprek gaat over hoe te vereenvoudigen trigonometrische uitdrukking. Het breedste deel van trigonometrie is misschien wel de eerste fase waarin wiskundestudenten enigszins abstracte concepten, problemen en methoden om ze op te lossen zullen tegenkomen. Hier zijn er overeenkomstige formules, waarvan de eerste de trigonometrische basisidentiteit is. Met een voldoende wiskundige mentaliteit kan men de systematische afleiding van deze identiteit van alle belangrijke trigonometrische identiteiten en formules traceren, inclusief formules voor het verschil en de som van argumenten, dubbele, drievoudige argumenten, reductieformules en vele andere. Natuurlijk mogen hier de allereerste methoden, zoals het weghalen van een gemeenschappelijke factor, niet worden vergeten, die volledig worden gebruikt samen met nieuwe methoden en formules.

Om samen te vatten, volgen hier enkele algemene tips voor de lezer:

• Veeltermen moeten worden ontbonden, dat wil zeggen, ze moeten worden weergegeven in de vorm van een product van een bepaald aantal factoren - monomials en polynomen. Als een dergelijke mogelijkheid bestaat, moet de gemeenschappelijke factor tussen haakjes worden verwijderd.
• Het is beter om alle verkorte vermenigvuldigingsformules zonder uitzondering te onthouden. Er zijn er niet zo veel, maar ze vormen de basis voor het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. Vergeet ook de selectiemethode niet. volle vierkanten in trinomialen, wat de inverse actie is van een van de verkorte vermenigvuldigingsformules.
• Alle bestaande breuken in de uitdrukking moeten zo vaak mogelijk worden verkleind. Vergeet daarbij niet dat alleen vermenigvuldigers worden verlaagd. Wanneer de noemer en teller algebraïsche breuken vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat verschilt van nul, veranderen de waarden van de breuken niet.
• Over het algemeen kunnen alle uitdrukkingen worden getransformeerd door acties of door een ketting. De eerste methode heeft meer de voorkeur, omdat. de resultaten van tussentijdse acties zijn gemakkelijker te verifiëren.
• Heel vaak moet je in wiskundige uitdrukkingen de wortels eruit halen. Er moet aan worden herinnerd dat de wortels van even graden alleen kunnen worden geëxtraheerd uit niet-negatief getal of uitdrukkingen, en de wortels van oneven bevoegdheden zijn volledig van uitdrukkingen of getallen.

We hopen dat ons artikel u in de toekomst zal helpen wiskundige formules te begrijpen en u te leren hoe u ze in de praktijk kunt toepassen.

Eerste level

Expressie conversie. Gedetailleerde theorie (2019)

Expressie conversie

Vaak horen we deze onaangename uitdrukking: "vereenvoudig de uitdrukking." Meestal hebben we in dit geval een soort monster zoals dit:

“Ja, veel makkelijker”, zeggen we, maar zo’n antwoord werkt meestal niet.

Nu zal ik je leren niet bang te zijn voor dergelijke taken. Bovendien vereenvoudig je aan het einde van de les zelf dit voorbeeld tot een (gewoon!) gewoon getal (ja, naar de hel met deze letters).

Maar voordat je aan deze les begint, moet je kunnen omgaan met breuken en factorpolynomen. Daarom, als je dit nog niet eerder hebt gedaan, zorg er dan voor dat je de onderwerpen "" en "" onder de knie hebt.

Lezen? Zo ja, dan ben je klaar.

Basisvereenvoudigingsbewerkingen

Nu zullen we de belangrijkste technieken analyseren die worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

De eenvoudigste is:

1. Gelijkaardig meebrengen

Wat zijn vergelijkbaar? Je hebt dit meegemaakt in de 7e klas, toen letters voor het eerst in wiskunde verschenen in plaats van cijfers. Vergelijkbaar zijn termen (mononomen) met hetzelfde lettergedeelte. Bijvoorbeeld, in de som zijn gelijke termen en.

Herinnerd?

Gelijke termen brengen betekent meerdere gelijkaardige termen aan elkaar toevoegen en één term krijgen.

Maar hoe kunnen we letters samenvoegen? - je vraagt.

Dit is heel gemakkelijk te begrijpen als je je voorstelt dat de letters een soort objecten zijn. De brief is bijvoorbeeld een stoel. Wat is dan de uitdrukking? Twee stoelen plus drie stoelen, hoeveel kost het? Dat klopt, stoelen: .

Probeer nu deze uitdrukking:

Laat verschillende letters verschillende objecten aanduiden om niet in de war te raken. Bijvoorbeeld, - dit is (zoals gewoonlijk) een stoel, en - dit is een tafel. Dan:

stoelen tafels stoel tafels stoelen stoelen tafels

De cijfers waarmee de letters in dergelijke termen worden vermenigvuldigd, worden genoemd coëfficiënten. In de monomiaal is de coëfficiënt bijvoorbeeld gelijk. En hij is gelijk.

Dus de regel voor het brengen van soortgelijke:

Voorbeelden:

Breng vergelijkbaar mee:

antwoorden:

2. (en zijn vergelijkbaar, omdat deze termen daarom hetzelfde lettergedeelte hebben).

2. Factorisatie

Dit is meestal het belangrijkste onderdeel bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen. Nadat u soortgelijke hebt gegeven, moet de resulterende uitdrukking meestal worden meegenomen, dat wil zeggen, gepresenteerd als een product. Dit is vooral van belang bij breuken: om een ​​breuk te verkleinen moeten teller en noemer immers als product worden weergegeven.

Je hebt de gedetailleerde methoden voor het ontbinden van uitdrukkingen in het onderwerp "" doorgenomen, dus hier hoef je alleen maar te onthouden wat je hebt geleerd. Om dit te doen, los een paar op voorbeelden(af te halen):

Oplossingen:

3. Fractiereductie.

Welnu, wat is er mooier dan een deel van de teller en noemer door te strepen en ze uit je leven te gooien?

Dat is het mooie van afkortingen.

Het is makkelijk:

Als de teller en noemer dezelfde factoren bevatten, kunnen ze worden verminderd, dat wil zeggen, verwijderd uit de breuk.

Deze regel volgt uit de basiseigenschap van een breuk:

Dat wil zeggen, de essentie van de reductieoperatie is dat: We delen de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal (of door dezelfde uitdrukking).

Om een ​​breuk te verkleinen, heb je nodig:

1) teller en noemer ontbinden in factoren

2) als de teller en noemer bevatten veel voorkomende factoren, kunnen ze worden verwijderd.

Het principe is volgens mij duidelijk?

Ik wil er één onder de aandacht brengen typische fout bij het verminderen. Hoewel dit onderwerp eenvoudig is, doen veel mensen alles verkeerd, zonder dat te beseffen snee- dit betekent verdeling teller en noemer door hetzelfde getal.

Geen afkortingen als de teller of noemer de som is.

Bijvoorbeeld: je moet vereenvoudigen.

Sommigen doen dit: wat absoluut verkeerd is.

Een ander voorbeeld: verminderen.

"De slimste" zal dit doen:.

Vertel me wat hier mis is? Het lijkt erop: - dit is een vermenigvuldiger, dus je kunt verminderen.

Maar nee: - dit is een factor van slechts één term in de teller, maar de teller zelf als geheel is niet ontleed in factoren.

Hier is nog een voorbeeld: .

Deze uitdrukking wordt ontleed in factoren, wat betekent dat je de teller en noemer kunt verkleinen, dat wil zeggen, delen door, en dan door:

Je kunt direct delen door:

Om dergelijke fouten te voorkomen, onthoud: makkelijke manier hoe te bepalen of een uitdrukking is ontbonden:

De rekenkundige bewerking die het laatst wordt uitgevoerd bij het berekenen van de waarde van de uitdrukking is de "hoofd". Dat wil zeggen, als je enkele (willekeurige) cijfers vervangt in plaats van letters, en probeert de waarde van de uitdrukking te berekenen, en als de laatste actie vermenigvuldiging is, dan hebben we een product (de uitdrukking wordt ontleed in factoren). Als de laatste actie optellen of aftrekken is, betekent dit dat de uitdrukking niet in factoren is ontbonden (en dus niet kan worden verminderd).

Los het zelf een paar keer op om het te repareren voorbeelden:

antwoorden:

1. Ik hoop dat je niet meteen haastte om te snijden en? Het was nog steeds niet genoeg om eenheden als volgt te "verminderen":

De eerste stap zou moeten zijn om te factoriseren:

4. Optellen en aftrekken van breuken. Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.

Optellen en aftrekken van gewone breuken is een bekende bewerking: we zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/aftrekken tellers. Laat ons herdenken:

antwoorden:

1. De noemers en zijn coprime, dat wil zeggen dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Daarom is de LCM van deze getallen gelijk aan hun product. Dit zal de gemene deler zijn:

2. Hier is de gemene deler:

3. Eerste ding hier gemengde breuken verander ze in verkeerde, en dan - volgens het gebruikelijke schema:

Het is iets heel anders als de breuken letters bevatten, bijvoorbeeld:

Laten we simpel beginnen:

a) Noemers bevatten geen letters

Hier is alles hetzelfde als bij gewone numerieke breuken: we vinden een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/trekken de tellers af:

nu kun je in de teller soortgelijke, indien aanwezig, meenemen en ze ontbinden:

Probeer het zelf:

b) Noemers bevatten letters

Laten we het principe onthouden van het vinden van een gemeenschappelijke noemer zonder letters:

Allereerst bepalen we de gemeenschappelijke factoren;

Dan schrijven we alle gemeenschappelijke factoren een keer uit;

en vermenigvuldig ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Om de gemeenschappelijke factoren van de noemers te bepalen, ontleden we ze eerst in eenvoudige factoren:

We benadrukken de gemeenschappelijke factoren:

Nu schrijven we de gemeenschappelijke factoren één keer uit en voegen daar alle niet-gewone (niet onderstreepte) factoren aan toe:

Dit is de gemene deler.

Laten we teruggaan naar de letters. De noemers worden op precies dezelfde manier gegeven:

We ontleden de noemers in factoren;

gemeenschappelijke (identieke) vermenigvuldigers bepalen;

schrijf alle gemeenschappelijke factoren een keer op;

We vermenigvuldigen ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Dus, in volgorde:

1) ontbind de noemers in factoren:

2) bepaal de gemeenschappelijke (identieke) factoren:

3) schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op en vermenigvuldig ze met alle andere (niet onderstreepte) factoren:

Dus de gemene deler is hier. De eerste breuk moet worden vermenigvuldigd met, de tweede - met:

Er is trouwens één truc:

Bijvoorbeeld: .

We zien dezelfde factoren in de noemers, alleen allemaal met verschillende indicatoren. De gemeenschappelijke noemer zal zijn:

voorzover

voorzover

voorzover

in graad.

Laten we de taak ingewikkelder maken:

Hoe zorg je ervoor dat breuken dezelfde noemer hebben?

Laten we de basiseigenschap van een breuk onthouden:

Nergens wordt gezegd dat hetzelfde getal kan worden afgetrokken (of opgeteld) van de teller en noemer van een breuk. Omdat het niet waar is!

Kijk zelf maar: neem bijvoorbeeld een willekeurige breuk en voeg bijvoorbeeld een getal toe aan de teller en noemer. Wat is er geleerd?

Dus nog een onwrikbare regel:

Wanneer u breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengt, gebruik dan alleen de vermenigvuldigingsbewerking!

Maar wat moet je vermenigvuldigen om te krijgen?

Hier op en vermenigvuldigen. En vermenigvuldig met:

Uitdrukkingen die niet kunnen worden ontbonden, worden "elementaire factoren" genoemd. Is bijvoorbeeld een elementaire factor. - te. Maar - nee: het is ontleed in factoren.

Hoe zit het met expressie? Is het elementair?

Nee, omdat het kan worden ontbonden:

(je hebt al gelezen over factorisatie in het onderwerp "").

Dus de elementaire factoren waarin je de uitdrukking met letters ontleedt, zijn analoog priemfactoren waarin je de getallen ontleedt. En we zullen hetzelfde met hen doen.

We zien dat beide noemers een factor hebben. Het gaat naar de gemene deler in de macht (weet je nog waarom?).

De vermenigvuldiger is elementair en ze hebben deze niet gemeen, wat betekent dat de eerste breuk er gewoon mee moet worden vermenigvuldigd:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Voordat u deze noemers in paniek vermenigvuldigt, moet u nadenken over hoe u ze kunt ontbinden? Beide vertegenwoordigen:

Uitstekend! Dan:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Zoals gebruikelijk ontbinden we de noemers. In de eerste noemer zetten we het gewoon tussen haakjes; in de tweede - het verschil van vierkanten:

Het lijkt erop dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn. Maar als je goed kijkt, lijken ze al zo op elkaar ... En de waarheid is:

Dus laten we schrijven:

Dat wil zeggen, het bleek als volgt: binnen de haakjes hebben we de termen verwisseld en tegelijkertijd veranderde het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Let op, dit zul je vaak moeten doen.

Nu komen we bij een gemeenschappelijke noemer:

Ik snap het? Laten we nu eens kijken.

Taken voor zelfstandige oplossing:

antwoorden:

Hier moeten we nog een ding onthouden - het verschil van kubussen:

Houd er rekening mee dat de noemer van de tweede breuk niet de formule "kwadraat van de som" bevat! Het kwadraat van de som ziet er als volgt uit:

A is het zogenaamde onvolledige kwadraat van de som: de tweede term daarin is het product van de eerste en de laatste, en niet hun verdubbelde product. Het onvolledige kwadraat van de som is een van de factoren bij de uitbreiding van het verschil van kubussen:

Wat als er al drie breuken zijn?

Ja hetzelfde! Laten we er allereerst voor zorgen dat maximaal aantal factoren in de noemers waren hetzelfde:

Let op: als je de tekens binnen één haakje verandert, verandert het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Als we de tekens in het tweede haakje veranderen, wordt het teken voor de breuk weer omgekeerd. Hierdoor is hij (het teken voor de breuk) niet veranderd.

We schrijven de eerste noemer volledig uit in de gemeenschappelijke noemer, en dan voegen we alle factoren toe die nog niet zijn geschreven, vanaf de tweede, en dan vanaf de derde (en zo verder, als er meer breuken zijn). Dat wil zeggen, het gaat als volgt:

Hmm ... Met breuken is het duidelijk wat je moet doen. Maar hoe zit het met de twee?

Het is simpel: je weet hoe je breuken moet optellen, toch? Dus je moet ervoor zorgen dat de twee een breuk wordt! Onthoud: een breuk is een delingsoperatie (de teller wordt gedeeld door de noemer, voor het geval je het ineens vergeten bent). En er is niets makkelijker dan een getal delen door. In dit geval verandert het getal zelf niet, maar verandert het in een breuk:

Precies wat nodig is!

5. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Nou, het moeilijkste is nu voorbij. En voor ons ligt de eenvoudigste, maar tegelijkertijd de belangrijkste:

Procedure

Wat is de procedure voor het berekenen van een numerieke uitdrukking? Denk eraan, gezien de waarde van een dergelijke uitdrukking:

Heb je geteld?

Het zou moeten werken.

Dus, ik herinner je eraan.

De eerste stap is het berekenen van de graad.

De tweede is vermenigvuldigen en delen. Als er meerdere vermenigvuldigingen en delingen tegelijk zijn, kun je ze in willekeurige volgorde doen.

En tot slot voeren we optellen en aftrekken uit. Nogmaals, in willekeurige volgorde.

Maar: de uitdrukking tussen haakjes wordt in de verkeerde volgorde geëvalueerd!

Als meerdere haakjes met elkaar worden vermenigvuldigd of gedeeld, evalueren we eerst de uitdrukking in elk van de haakjes en vermenigvuldigen of delen we deze vervolgens.

Wat als er andere haakjes tussen de haakjes staan? Laten we eens nadenken: er staat een uitdrukking tussen haakjes. Wat is het eerste dat u moet doen bij het evalueren van een uitdrukking? Dat klopt, haakjes berekenen. Nou, we hebben het uitgezocht: eerst berekenen we de binnenste haakjes, dan al het andere.

De volgorde van acties voor de bovenstaande uitdrukking is dus als volgt (de huidige actie is rood gemarkeerd, dat wil zeggen, de actie die ik nu aan het uitvoeren ben):

Oké, het is allemaal simpel.

Maar dat is toch niet hetzelfde als een uitdrukking met letters?

Nee, het is hetzelfde! Alleen in plaats van rekenkundige bewerkingen is het nodig om algebraïsche bewerkingen uit te voeren, dat wil zeggen de bewerkingen die in de vorige sectie zijn beschreven: soortgelijke brengen, breuken optellen, breuken verkleinen, enzovoort. Het enige verschil is de werking van het ontbinden van veeltermen (we gebruiken het vaak bij het werken met breuken). Meestal moet je voor factorisatie i gebruiken of gewoon de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen.

Meestal is ons doel om een ​​uitdrukking weer te geven als een product of quotiënt.

Bijvoorbeeld:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen.

1) Eerst vereenvoudigen we de uitdrukking tussen haakjes. Daar hebben we het verschil van breuken, en ons doel is om het weer te geven als een product of quotiënt. Dus brengen we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer en voegen toe:

Het is onmogelijk om deze uitdrukking verder te vereenvoudigen, alle factoren zijn hier elementair (weet je nog wat dit betekent?).

2) We krijgen:

Vermenigvuldigen van breuken: wat is er makkelijker.

3) Nu kunt u inkorten:

Oké, het is nu allemaal voorbij. Niets ingewikkelds, toch?

Een ander voorbeeld:

Vereenvoudig de uitdrukking.

Probeer het eerst zelf op te lossen en kijk dan pas naar de oplossing.

Laten we eerst de procedure definiëren. Laten we eerst de breuken tussen haakjes optellen, in plaats van twee breuken, zal er één uitkomen. Daarna gaan we de breuken delen. Welnu, we voegen het resultaat toe met de laatste breuk. Ik zal de stappen schematisch nummeren:

Nu zal ik het hele proces laten zien, waarbij ik de huidige actie rood kleur:

Tot slot geef ik je nog twee handige tips:

1. Als er soortgelijke zijn, moeten deze onmiddellijk worden gebracht. Op welk moment we ook soortgelijke hebben, het is aan te raden deze meteen mee te nemen.

2. Hetzelfde geldt voor het verkleinen van fracties: zodra de mogelijkheid zich voordoet om te verkleinen, moet deze worden benut. De uitzondering zijn breuken die je optelt of aftrekt: als ze nu dezelfde noemers hebben, laat je de reductie voor later.

Hier zijn enkele taken die u zelf kunt oplossen:

En beloofd aan het begin:

Oplossingen (kort):

Als je tenminste de eerste drie voorbeelden hebt behandeld, dan heb je het onderwerp onder de knie.

Nu aan het leren!

UITDRUKKING CONVERSIE. SAMENVATTING EN BASISFORMULE

Basis vereenvoudigingsoperaties:

• Gelijkaardig meenemen: om soortgelijke termen toe te voegen (te verminderen), moet u hun coëfficiënten toevoegen en het lettergedeelte toewijzen.
• Factorisatie: de gemene deler uit de haakjes halen, toepassen, etc.
• breuk reductie: de teller en noemer van een breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, waarbij de waarde van de breuk niet verandert.
  1) teller en noemer ontbinden in factoren
  2) als er gemeenschappelijke factoren zijn in de teller en noemer, kunnen deze worden doorgestreept.

  BELANGRIJK: alleen vermenigvuldigers kunnen worden verlaagd!

• Optellen en aftrekken van breuken:
  ;
• Vermenigvuldigen en delen van breuken:
  ;

Math-Calculator-Online v.1.0

De rekenmachine voert de volgende bewerkingen uit: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, werken met decimalen, de wortel extraheren, verheffen tot een macht, percentages berekenen en andere bewerkingen.

Oplossing:

Hoe de rekenmachine te gebruiken

Sleutel	Aanduiding	Uitleg
5	cijfers 0-9	Arabische cijfers. Voer natuurlijke gehele getallen in, nul. Om een ​​negatief geheel getal te krijgen, drukt u op de +/- toets
.	puntkomma)	Een decimaal scheidingsteken. Als er geen cijfer voor de punt (komma) staat, vervangt de rekenmachine automatisch een nul voor de punt. Bijvoorbeeld: .5 - 0.5 wordt geschreven
+	plusteken	Optellen van getallen (gehele, decimale breuken)
-	minteken	Aftrekken van getallen (gehele, decimale breuken)
÷	divisie teken	Deling van getallen (gehele, decimale breuken)
X	vermenigvuldigingsteken	Vermenigvuldiging van getallen (gehele getallen, decimalen)
√	wortel	De wortel uit een getal halen. Wanneer u nogmaals op de "root"-knop drukt, wordt de wortel berekend uit het resultaat. Bijvoorbeeld: vierkantswortel van 16 = 4; vierkantswortel van 4 = 2
x2	kwadrateren	Een getal kwadrateren. Als u nogmaals op de knop "kwadraat" drukt, wordt het resultaat gekwadrateerd, bijvoorbeeld: vierkant 2 = 4; vierkant 4 = 16
1/x	fractie	Uitvoer naar decimalen. In de teller 1, in de noemer het invoergetal
%	procent	Krijg een percentage van een getal. Om te werken, moet u invoeren: het getal van waaruit het percentage wordt berekend, het teken (plus, min, delen, vermenigvuldigen), hoeveel procent in numerieke vorm, de knop "%"
(	open haakje	Een open haakje om de evaluatieprioriteit in te stellen. Een gesloten haakje is vereist. Voorbeeld: (2+3)*2=10
)	gesloten haakje	Een gesloten haakje om de evaluatieprioriteit in te stellen. Verplicht open haakje
±	plus minus	Verandert teken in tegenovergestelde
=	gelijk aan	Geeft het resultaat van de oplossing weer. Ook worden tussentijdse berekeningen en het resultaat boven de rekenmachine weergegeven in het veld "Oplossing".
←	een teken verwijderen	Verwijdert het laatste teken
VAN	resetten	Reset knop. Zet de rekenmachine volledig terug op "0"

Het algoritme van de online rekenmachine met voorbeelden

Toevoeging.

geheel getal optellen natuurlijke getallen { 5 + 7 = 12 }

Toevoeging van hele natuurlijke en negatieve getallen { 5 + (-2) = 3 }

Optellen van decimale fractionele getallen ( 0.3 + 5.2 = 5.5 )

aftrekken.

Aftrekken van gehele natuurlijke getallen (7 - 5 = 2)

Aftrekken van hele natuurlijke en negatieve getallen (5 - (-2) = 7)

Aftrekken van decimale fractionele getallen (6.5 - 1.2 = 4.3)

Vermenigvuldiging.

Product van hele natuurlijke getallen (3 * 7 = 21)

Product van hele natuurlijke en negatieve getallen ( 5 * (-3) = -15 )

Product van decimale fractionele getallen (0,5 * 0,6 = 0,3)

Divisie.

Deling van hele natuurlijke getallen ( 27 / 3 = 9 )

Deling van hele natuurlijke en negatieve getallen ( 15 / (-3) = -5 )

Deling van decimale fractionele getallen ( 6.2 / 2 = 3.1 )

De wortel uit een getal halen.

De wortel van een geheel getal extraheren ( root(9) = 3 )

De wortel extraheren uit decimale breuken( wortel(2.5) = 1.58)

De wortel extraheren uit de som van getallen ( wortel (56 + 25) = 9 )

De wortel van het verschil in getallen extraheren ( wortel (32 - 7) = 5 )

Een getal kwadrateren.

Een geheel getal kwadrateren ( (3) 2 = 9 )

Decimaaltekens kwadrateren ( (2.2) 2 = 4.84 )

Converteren naar decimale breuken.

Percentages van een getal berekenen

Verhoog 230 met 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Verlaag het getal 510 met 35% (510 - 510 * 0.35 = 331.5)

18% van het getal 140 is ( 140 * 0.18 = 25.2 )

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, belangrijke plek zijn sommen van monomialen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2j + 9x^3 - 7j^2 + 6x + 5j - 2 \)

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden leden van de polynoom genoemd. Mononomen worden ook wel polynomen genoemd, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom bestaande uit één lid.

Bijvoorbeeld polynoom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereenvoudigd kan worden.

We vertegenwoordigen alle termen in de vorm van monomials standaardweergave:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

We geven vergelijkbare termen in de resulterende polynoom:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Het resultaat is een polynoom, waarvan alle leden monomials zijn van de standaardvorm, en onder hen zijn er geen vergelijkbare. Dergelijke veeltermen worden genoemd veeltermen van standaardvorm.

Per polynomiale graad standaardvorm nemen de grootste van de bevoegdheden van haar leden. Dus de binominale \(12a^2b - 7b \) heeft de derde graad, en de trinomiale \(2b^2 -7b + 6 \) heeft de tweede.

Gewoonlijk zijn de termen van polynomen in standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van zijn exponenten. Bijvoorbeeld:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

De som van meerdere polynomen kan (vereenvoudigd) worden omgezet in een standaardvormpolynoom.

Soms moeten de leden van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes het tegenovergestelde zijn van haakjes, is het gemakkelijk te formuleren: openingsregels tussen haakjes:

Als het +-teken voor de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als een "-"-teken voor de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes geschreven met tegengestelde tekens.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kan men het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van deze monomiaal en elk van de termen van de polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet men deze monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van de polynoom.

We hebben deze regel herhaaldelijk gebruikt om te vermenigvuldigen met een som.

Het product van veeltermen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

In het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Gebruik meestal de volgende regel.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Som, verschil en verschilvierkanten

Sommige uitdrukkingen in algebraïsche transformaties moeten vaker worden behandeld dan andere. Misschien zijn de meest voorkomende uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) en \(a^2 - b^2 \), dat wil zeggen, het kwadraat van de som, de kwadraat van het verschil, en kwadraat verschil. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken, dus bijvoorbeeld \((a + b)^2 \) is natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b. Het kwadraat van de som van a en b is echter niet zo gebruikelijk, in plaats van de letters a en b bevat het in de regel verschillende, soms behoorlijk complexe uitdrukkingen.

Uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) zijn eenvoudig om te zetten (vereenvoudigen) naar veeltermen van de standaardvorm, in feite heb je zo'n taak al gehad bij het vermenigvuldigen van veeltermen :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

De resulterende identiteiten zijn handig om te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbele product.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - het kwadraat van het verschil is de som van de kwadraten zonder het product te verdubbelen.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - het verschil van kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het bij transformaties mogelijk om hun linkerdelen te vervangen door rechterdelen en vice versa - rechterdelen door linkerdelen. Het moeilijkste in dit geval is om de corresponderende uitdrukkingen te zien en te begrijpen wat de variabelen a en b daarin zijn vervangen. Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Eerste level

Expressie conversie. Gedetailleerde theorie (2019)

Vaak horen we deze onaangename zin: "vereenvoudig de uitdrukking." Meestal hebben we in dit geval een soort monster zoals dit:

“Ja, veel makkelijker”, zeggen we, maar zo’n antwoord werkt meestal niet.

Nu zal ik je leren niet bang te zijn voor dergelijke taken.

Bovendien vereenvoudig je aan het einde van de les zelf dit voorbeeld tot een (gewoon!) gewoon getal (ja, naar de hel met deze letters).

Maar voordat je aan deze les begint, moet je in staat zijn om: omgaan met breuken en veeltermen ontbinden.

Daarom, als je dit nog niet eerder hebt gedaan, zorg er dan voor dat je de onderwerpen "" en "" onder de knie hebt.

Lezen? Zo ja, dan ben je klaar.

Laten we gaan laten we gaan!)

Belangrijke notitie!Als je in plaats van formules wartaal ziet, wis dan je cache. Om dit te doen, drukt u op CTRL+F5 (onder Windows) of Cmd+R (op Mac)

Basisbewerkingen voor het vereenvoudigen van expressies

Nu zullen we de belangrijkste technieken analyseren die worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

De eenvoudigste is:

1. Gelijkaardig meebrengen

Wat zijn vergelijkbaar? Je hebt dit meegemaakt in de 7e klas, toen letters voor het eerst in wiskunde verschenen in plaats van cijfers.

Vergelijkbaar zijn termen (mononomen) met hetzelfde lettergedeelte.

Bijvoorbeeld, in de som zijn gelijke termen en.

Herinnerd?

Breng soortgelijke- middelen om meerdere vergelijkbare termen bij elkaar te voegen en één term te krijgen.

Maar hoe kunnen we letters samenvoegen? - je vraagt.

Dit is heel gemakkelijk te begrijpen als je je voorstelt dat de letters een soort objecten zijn.

De brief is bijvoorbeeld een stoel. Wat is dan de uitdrukking?

Twee stoelen plus drie stoelen, hoeveel kost het? Dat klopt, stoelen: .

Probeer nu deze uitdrukking:

Laat verschillende letters verschillende objecten aanduiden om niet in de war te raken.

Bijvoorbeeld, - dit is (zoals gewoonlijk) een stoel, en - dit is een tafel.

stoelen tafels stoel tafels stoelen stoelen tafels

De cijfers waarmee de letters in dergelijke termen worden vermenigvuldigd, worden genoemd coëfficiënten.

In de monomiaal is de coëfficiënt bijvoorbeeld gelijk. En hij is gelijk.

Dus de regel voor het brengen van soortgelijke:

Voorbeelden:

Breng vergelijkbaar mee:

antwoorden:

2. (en zijn vergelijkbaar, omdat deze termen daarom hetzelfde lettergedeelte hebben).

2. Factorisatie

Dit is meestal het belangrijkste onderdeel bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Nadat u soortgelijke hebt gegeven, is meestal de resulterende uitdrukking nodig ontbinden in factoren, d.w.z. vertegenwoordigen als een product.

Vooral dit belangrijk in breuken: want om de fractie te verminderen, de teller en noemer moeten worden uitgedrukt als een product.

Je hebt de gedetailleerde methoden voor het ontbinden van uitdrukkingen in het onderwerp "" doorgenomen, dus hier hoef je alleen maar te onthouden wat je hebt geleerd.

Om dit te doen, los je een paar voorbeelden op (je moet factoriseren)

Voorbeelden:

Oplossingen:

3. Fractiereductie.

Welnu, wat is er mooier dan een deel van de teller en noemer door te strepen en ze uit je leven te gooien?

Dat is het mooie van afkortingen.

Het is makkelijk:

Als de teller en noemer dezelfde factoren bevatten, kunnen ze worden verminderd, dat wil zeggen, verwijderd uit de breuk.

Deze regel volgt uit de basiseigenschap van een breuk:

Dat wil zeggen, de essentie van de reductieoperatie is dat: We delen de teller en noemer van een breuk door hetzelfde getal (of door dezelfde uitdrukking).

Om een ​​breuk te verkleinen, heb je nodig:

1) teller en noemer ontbinden in factoren

2) als de teller en noemer bevatten veel voorkomende factoren, kunnen ze worden verwijderd.

Voorbeelden:

Het principe is volgens mij duidelijk?

Ik zou uw aandacht willen vestigen op een typische fout in de afkorting. Hoewel dit onderwerp eenvoudig is, doen veel mensen alles verkeerd, zonder dat te beseffen snee- dit betekent verdeling teller en noemer door hetzelfde getal.

Geen afkortingen als de teller of noemer de som is.

Bijvoorbeeld: je moet vereenvoudigen.

Sommigen doen dit: wat absoluut verkeerd is.

Een ander voorbeeld: verminderen.

De "slimste" zal dit doen:

Vertel me wat hier mis is? Het lijkt erop: - dit is een vermenigvuldiger, dus je kunt verminderen.

Maar nee: - dit is een factor van slechts één term in de teller, maar de teller zelf als geheel is niet ontleed in factoren.

Hier is nog een voorbeeld: .

Deze uitdrukking wordt ontleed in factoren, wat betekent dat je de teller en noemer kunt verkleinen, dat wil zeggen, delen door, en dan door:

Je kunt direct delen door:

Om dergelijke fouten te voorkomen, moet u een eenvoudige manier onthouden om te bepalen of een uitdrukking is meegewogen:

De rekenkundige bewerking die het laatst wordt uitgevoerd bij het berekenen van de waarde van de uitdrukking is de "hoofd".

Dat wil zeggen, als je enkele (willekeurige) cijfers vervangt in plaats van letters, en probeert de waarde van de uitdrukking te berekenen, en als de laatste actie vermenigvuldiging is, dan hebben we een product (de uitdrukking wordt ontleed in factoren).

Als de laatste actie optellen of aftrekken is, betekent dit dat de uitdrukking niet in factoren is ontbonden (en dus niet kan worden verminderd).

Om het zelf op te lossen, een paar voorbeelden:

Voorbeelden:

Oplossingen:

1. Ik hoop dat je niet meteen haastte om te snijden en? Het was nog steeds niet genoeg om eenheden als volgt te "verminderen":

De eerste stap zou moeten zijn om te factoriseren:

4. Optellen en aftrekken van breuken. Breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.

Optellen en aftrekken van gewone breuken is een bekende bewerking: we zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/aftrekken tellers.

Laat ons herdenken:

antwoorden:

1. De noemers en zijn coprime, dat wil zeggen dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Daarom is de LCM van deze getallen gelijk aan hun product. Dit zal de gemene deler zijn:

2. Hier is de gemene deler:

3. Hier veranderen we allereerst gemengde breuken in onechte, en dan - volgens het gebruikelijke schema:

Het is iets heel anders als de breuken letters bevatten, bijvoorbeeld:

Laten we simpel beginnen:

a) Noemers bevatten geen letters

Hier is alles hetzelfde als bij gewone numerieke breuken: we vinden een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en tellen/trekken de tellers af:

nu kun je in de teller soortgelijke, indien aanwezig, meenemen en ze ontbinden:

Probeer het zelf:

antwoorden:

b) Noemers bevatten letters

Laten we het principe onthouden van het vinden van een gemeenschappelijke noemer zonder letters:

Allereerst bepalen we de gemeenschappelijke factoren;

Dan schrijven we alle gemeenschappelijke factoren een keer uit;

en vermenigvuldig ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Om de gemeenschappelijke factoren van de noemers te bepalen, ontleden we ze eerst in eenvoudige factoren:

We benadrukken de gemeenschappelijke factoren:

Nu schrijven we de gemeenschappelijke factoren één keer uit en voegen daar alle niet-gewone (niet onderstreepte) factoren aan toe:

Dit is de gemene deler.

Laten we teruggaan naar de letters. De noemers worden op precies dezelfde manier gegeven:

We ontleden de noemers in factoren;

gemeenschappelijke (identieke) vermenigvuldigers bepalen;

schrijf alle gemeenschappelijke factoren een keer op;

We vermenigvuldigen ze met alle andere factoren, niet met gewone.

Dus, in volgorde:

1) ontbind de noemers in factoren:

2) bepaal de gemeenschappelijke (identieke) factoren:

3) schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op en vermenigvuldig ze met alle andere (niet onderstreepte) factoren:

Dus de gemene deler is hier. De eerste breuk moet worden vermenigvuldigd met, de tweede - met:

Er is trouwens één truc:

Bijvoorbeeld: .

We zien dezelfde factoren in de noemers, alleen allemaal met verschillende indicatoren. De gemeenschappelijke noemer zal zijn:

voorzover

voorzover

voorzover

in graad.

Laten we de taak ingewikkelder maken:

Hoe zorg je ervoor dat breuken dezelfde noemer hebben?

Laten we de basiseigenschap van een breuk onthouden:

Nergens wordt gezegd dat hetzelfde getal kan worden afgetrokken (of opgeteld) van de teller en noemer van een breuk. Omdat het niet waar is!

Kijk zelf maar: neem bijvoorbeeld een willekeurige breuk en voeg bijvoorbeeld een getal toe aan de teller en noemer. Wat is er geleerd?

Dus nog een onwrikbare regel:

Wanneer u breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengt, gebruik dan alleen de vermenigvuldigingsbewerking!

Maar wat moet je vermenigvuldigen om te krijgen?

Hier op en vermenigvuldigen. En vermenigvuldig met:

Uitdrukkingen die niet kunnen worden ontbonden, worden "elementaire factoren" genoemd.

Is bijvoorbeeld een elementaire factor. - te. Maar - nee: het is ontleed in factoren.

Hoe zit het met expressie? Is het elementair?

Nee, omdat het kan worden ontbonden:

(je hebt al gelezen over factorisatie in het onderwerp "").

Dus de elementaire factoren waarin je een uitdrukking met letters ontbindt, zijn analoog aan de eenvoudige factoren waarin je getallen ontbindt. En we zullen hetzelfde met hen doen.

We zien dat beide noemers een factor hebben. Het gaat naar de gemene deler in de macht (weet je nog waarom?).

De vermenigvuldiger is elementair en ze hebben deze niet gemeen, wat betekent dat de eerste breuk er gewoon mee moet worden vermenigvuldigd:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Voordat u deze noemers in paniek vermenigvuldigt, moet u nadenken over hoe u ze kunt ontbinden? Beide vertegenwoordigen:

Uitstekend! Dan:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Zoals gebruikelijk ontbinden we de noemers. In de eerste noemer zetten we het gewoon tussen haakjes; in de tweede - het verschil van vierkanten:

Het lijkt erop dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn. Maar als je goed kijkt, lijken ze al zo op elkaar ... En de waarheid is:

Dus laten we schrijven:

Dat wil zeggen, het bleek als volgt: binnen de haakjes hebben we de termen verwisseld en tegelijkertijd veranderde het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Let op, dit zul je vaak moeten doen.

Nu komen we bij een gemeenschappelijke noemer:

Ik snap het? Laten we nu eens kijken.

Taken voor zelfstandige oplossing:

antwoorden:

Hier moeten we nog een ding onthouden - het verschil van kubussen:

Houd er rekening mee dat de noemer van de tweede breuk niet de formule "kwadraat van de som" bevat! Het kwadraat van de som ziet er als volgt uit:

A is het zogenaamde onvolledige kwadraat van de som: de tweede term daarin is het product van de eerste en de laatste, en niet hun verdubbelde product. Het onvolledige kwadraat van de som is een van de factoren bij de uitbreiding van het verschil van kubussen:

Wat als er al drie breuken zijn?

Ja hetzelfde! Allereerst zorgen we ervoor dat het maximale aantal factoren in de noemers gelijk is:

Let op: als je de tekens binnen één haakje verandert, verandert het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Als we de tekens in het tweede haakje veranderen, wordt het teken voor de breuk weer omgekeerd. Hierdoor is hij (het teken voor de breuk) niet veranderd.

We schrijven de eerste noemer volledig uit in de gemeenschappelijke noemer, en dan voegen we alle factoren toe die nog niet zijn geschreven, vanaf de tweede, en dan vanaf de derde (en zo verder, als er meer breuken zijn). Dat wil zeggen, het gaat als volgt:

Hmm ... Met breuken is het duidelijk wat je moet doen. Maar hoe zit het met de twee?

Het is simpel: je weet hoe je breuken moet optellen, toch? Dus je moet ervoor zorgen dat de twee een breuk wordt! Onthoud: een breuk is een delingsoperatie (de teller wordt gedeeld door de noemer, voor het geval je het ineens vergeten bent). En er is niets makkelijker dan een getal delen door. In dit geval verandert het getal zelf niet, maar verandert het in een breuk:

Precies wat nodig is!

5. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Nou, het moeilijkste is nu voorbij. En voor ons ligt de eenvoudigste, maar tegelijkertijd de belangrijkste:

Procedure

Wat is de procedure voor het berekenen van een numerieke uitdrukking? Denk eraan, gezien de waarde van een dergelijke uitdrukking:

Heb je geteld?

Het zou moeten werken.

Dus, ik herinner je eraan.

De eerste stap is het berekenen van de graad.

De tweede is vermenigvuldigen en delen. Als er meerdere vermenigvuldigingen en delingen tegelijk zijn, kun je ze in willekeurige volgorde doen.

En tot slot voeren we optellen en aftrekken uit. Nogmaals, in willekeurige volgorde.

Maar: de uitdrukking tussen haakjes wordt in de verkeerde volgorde geëvalueerd!

Als meerdere haakjes met elkaar worden vermenigvuldigd of gedeeld, evalueren we eerst de uitdrukking in elk van de haakjes en vermenigvuldigen of delen we deze vervolgens.

Wat als er andere haakjes tussen de haakjes staan? Laten we eens nadenken: er staat een uitdrukking tussen haakjes. Wat is het eerste dat u moet doen bij het evalueren van een uitdrukking? Dat klopt, haakjes berekenen. Nou, we hebben het uitgezocht: eerst berekenen we de binnenste haakjes, dan al het andere.

De volgorde van acties voor de bovenstaande uitdrukking is dus als volgt (de huidige actie is rood gemarkeerd, dat wil zeggen, de actie die ik nu aan het uitvoeren ben):

Oké, het is allemaal simpel.

Maar dat is toch niet hetzelfde als een uitdrukking met letters?

Nee, het is hetzelfde! Alleen in plaats van rekenkundige bewerkingen is het nodig om algebraïsche bewerkingen uit te voeren, dat wil zeggen de bewerkingen die in de vorige sectie zijn beschreven: soortgelijke brengen, breuken optellen, breuken verkleinen, enzovoort. Het enige verschil is de werking van het ontbinden van veeltermen (we gebruiken het vaak bij het werken met breuken). Meestal moet je voor factorisatie i gebruiken of gewoon de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen.

Meestal is ons doel om een ​​uitdrukking weer te geven als een product of quotiënt.

Bijvoorbeeld:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen.

1) Eerst vereenvoudigen we de uitdrukking tussen haakjes. Daar hebben we het verschil van breuken, en ons doel is om het weer te geven als een product of quotiënt. Dus brengen we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer en voegen toe:

Het is onmogelijk om deze uitdrukking verder te vereenvoudigen, alle factoren zijn hier elementair (weet je nog wat dit betekent?).

2) We krijgen:

Vermenigvuldigen van breuken: wat is er makkelijker.

3) Nu kunt u inkorten:

Oké, het is nu allemaal voorbij. Niets ingewikkelds, toch?

Een ander voorbeeld:

Vereenvoudig de uitdrukking.

Probeer het eerst zelf op te lossen en kijk dan pas naar de oplossing.

Oplossing:

Laten we eerst de procedure definiëren.

Laten we eerst de breuken tussen haakjes optellen, in plaats van twee breuken, zal er één uitkomen.

Daarna gaan we de breuken delen. Welnu, we voegen het resultaat toe met de laatste breuk.

Ik zal de stappen schematisch nummeren:

Nu zal ik het hele proces laten zien, waarbij ik de huidige actie rood kleur:

Tot slot geef ik je nog twee handige tips:

1. Als er soortgelijke zijn, moeten deze onmiddellijk worden gebracht. Op welk moment we ook soortgelijke hebben, het is aan te raden deze meteen mee te nemen.

2. Hetzelfde geldt voor het verkleinen van fracties: zodra de mogelijkheid zich voordoet om te verkleinen, moet deze worden benut. De uitzondering zijn breuken die je optelt of aftrekt: als ze nu dezelfde noemers hebben, laat je de reductie voor later.

Hier zijn enkele taken die u zelf kunt oplossen:

En beloofd aan het begin:

antwoorden:

Oplossingen (kort):

Als je tenminste de eerste drie voorbeelden hebt behandeld, dan heb je het onderwerp onder de knie.

Nu aan het leren!

UITDRUKKING CONVERSIE. SAMENVATTING EN BASISFORMULE

Basis vereenvoudigingsoperaties:

• Gelijkaardig meenemen: om soortgelijke termen toe te voegen (te verminderen), moet u hun coëfficiënten toevoegen en het lettergedeelte toewijzen.
• Factorisatie: de gemene deler uit de haakjes halen, toepassen, etc.
• breuk reductie: de teller en noemer van een breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, waarbij de waarde van de breuk niet verandert.
  1) teller en noemer ontbinden in factoren
  2) als er gemeenschappelijke factoren zijn in de teller en noemer, kunnen deze worden doorgestreept.

  BELANGRIJK: alleen vermenigvuldigers kunnen worden verlaagd!

• Optellen en aftrekken van breuken:
  ;
• Vermenigvuldigen en delen van breuken:
  ;