Rationele getallen worden aangegeven met een letter. Rationele getallen, definitie, voorbeelden

Set van rationale getallen

De verzameling rationale getallen wordt aangeduid en kan als volgt worden geschreven:

Het blijkt dat verschillende items dezelfde breuk kunnen vertegenwoordigen, bijvoorbeeld en , (alle breuken die van elkaar kunnen worden verkregen door te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde natuurlijke getal vertegenwoordigen hetzelfde rationale getal). Aangezien door de teller en noemer van een breuk te delen door hun grootste gemene deler, men de enige onherleidbare representatie van een rationaal getal kan verkrijgen, kan men spreken van hun verzameling als een verzameling onherleidbaar breuken met coprime gehele teller en natuurlijke noemer:

Hier is de grootste gemene deler van getallen en .

De verzameling rationale getallen is een natuurlijke veralgemening van de verzameling gehele getallen. Het is gemakkelijk in te zien dat als een rationaal getal een noemer heeft, het een geheel getal is. De verzameling rationale getallen is overal dicht op de getallenas: tussen twee verschillende rationale getallen is er minstens één rationaal getal (en dus een oneindige reeks rationale getallen). Het blijkt echter dat de verzameling rationale getallen een aftelbare kardinaliteit heeft (dat wil zeggen dat alle elementen ervan kunnen worden hernummerd). Merk trouwens op dat zelfs de oude Grieken overtuigd waren van het bestaan ​​van getallen die niet als een breuk kunnen worden weergegeven (ze hebben bijvoorbeeld bewezen dat er geen rationaal getal is waarvan het kwadraat 2 is).

Terminologie

Formele definitie

Formeel worden rationale getallen gedefinieerd als de verzameling equivalentieklassen van paren met betrekking tot de equivalentierelatie als . In dit geval worden de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen als volgt gedefinieerd:

Verwante definities

Juiste, onjuiste en gemengde breuken

juist Een breuk wordt genoemd als de modulus van de teller kleiner is dan de modulus van de noemer. Juiste breuken vertegenwoordigen rationale getallen, modulo kleiner dan één. Een breuk die niet juist is, heet mis en vertegenwoordigt een rationaal getal groter dan of gelijk aan één modulo.

Een oneigenlijke breuk kan worden weergegeven als de som van een geheel getal en een juiste breuk genaamd gemengde fractie . Bijvoorbeeld, . Een soortgelijke notatie (met een ontbrekend optelteken), hoewel gebruikt in elementaire rekenkunde, wordt vermeden in rigoureuze wiskundige literatuur vanwege de gelijkenis van de notatie voor een gemengde breuk met de notatie voor het product van een geheel getal en een breuk.

Schothoogte:

Hoogte van een gewone breuk is de som van de modulus van de teller en noemer van deze breuk. Hoogte van een rationaal getal is de som van de modulus van de teller en noemer van de onherleidbare gewone breuk die overeenkomt met dit getal.

De hoogte van een breuk is bijvoorbeeld . De hoogte van het corresponderende rationale getal is , aangezien de breuk wordt verminderd met .

Opmerking

Termijn fractioneel getal (breuk) soms [ nader toelichten] wordt gebruikt als synoniem voor de term rationaal getal, en soms een synoniem voor een niet-geheel getal. In het laatste geval zijn fractionele en rationale getallen verschillende dingen, aangezien dan niet-gehele rationale getallen gewoon zijn speciaal geval fractioneel.

Eigendommen

Basiseigenschappen

De reeks rationale getallen voldoet aan zestien basiseigenschappen die gemakkelijk kunnen worden verkregen uit de eigenschappen van gehele getallen.

1. Ordelijkheid. Voor alle rationale getallen is er een regel waarmee u op unieke wijze één en slechts één van de drie relaties kunt identificeren: "", "" of "". Deze regel heet bestelregel en is als volgt geformuleerd: twee positieve getallen en zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee gehele getallen en ; twee niet-positieve getallen en zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee niet-negatieve getallen en ; indien plotseling niet-negatief, maar - negatief, dan .

   

   optelling van breuken

2. toevoeging operatie. sommatie regel som getallen en en wordt aangeduid met , en het proces om zo'n getal te vinden heet sommatie. De sommatieregel heeft de volgende vorm: .
3. vermenigvuldiging operatie. Voor alle rationale getallen en er is een zogenaamde vermenigvuldigingsregel, waardoor ze in overeenstemming zijn met een of ander rationaal getal . Het nummer zelf wordt gebeld werk getallen en en wordt aangegeven , en het proces om zo'n getal te vinden wordt ook wel vermenigvuldiging. De vermenigvuldigingsregel heeft de volgende vorm: .
4. Transitiviteit van de orderrelatie. Voor elk triplet van rationale getallen, en indien kleiner dan en kleiner dan, dan kleiner dan, en indien gelijk aan en gelijk aan, dan gelijk aan.
5. Commutativiteit van optellen. Door een verandering in de plaatsen van rationele termen, verandert de som niet.
6. Associativiteit van optellen. De volgorde waarin drie rationale getallen worden opgeteld, heeft geen invloed op het resultaat.
7. De aanwezigheid van nul. Er is een rationaal getal 0 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt opgeteld.
8. De aanwezigheid van tegenovergestelde nummers. Elk rationaal getal heeft een tegengesteld rationaal getal, dat bij optelling 0 geeft.
9. Commutativiteit van vermenigvuldiging. Door de plaatsen van rationele factoren te veranderen, verandert het product niet.
10. Associativiteit van vermenigvuldiging. De volgorde waarin drie rationale getallen worden vermenigvuldigd, heeft geen invloed op het resultaat.
11. De aanwezigheid van een eenheid. Er is een rationaal getal 1 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt vermenigvuldigd.
12. De aanwezigheid van wederkerige. Elk rationaal getal dat niet nul is, heeft een invers rationaal getal, waarbij vermenigvuldiging 1 geeft.
13. Distributiviteit van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen. De vermenigvuldigingsbewerking is consistent met de optelbewerking via de distributiewet:
14. Verbinding van de orderrelatie met de bewerking van optellen. Naar links en rechts rationele ongelijkheid je kunt hetzelfde rationele getal toevoegen.
15. Verbinding van de orderelatie met de bewerking van vermenigvuldiging. De linker- en rechterkant van een rationale ongelijkheid kunnen worden vermenigvuldigd met hetzelfde positieve rationale getal.
16. Axioma van Archimedes. Wat het rationale getal ook is, u kunt zoveel eenheden nemen dat hun som groter zal zijn.

Extra eigenschappen

Alle andere eigenschappen die inherent zijn aan rationale getallen worden niet aangemerkt als basiseigenschappen, omdat ze over het algemeen niet langer rechtstreeks gebaseerd zijn op de eigenschappen van gehele getallen, maar kunnen worden bewezen op basis van de gegeven basiseigenschappen of rechtstreeks door de definitie van een of ander wiskundig object. Er zijn veel van dergelijke extra eigenschappen. Het is logisch om er hier slechts enkele te noemen.

Telbaarheid instellen

Om het aantal rationale getallen te schatten, moet je de kardinaliteit van hun verzameling vinden. Het is gemakkelijk te bewijzen dat de verzameling van rationale getallen aftelbaar is. Om dit te doen, volstaat het om een ​​algoritme te geven dat rationale getallen opsomt, d.w.z. een bijectie vaststelt tussen de verzamelingen van rationale en natuurlijke getallen. Het volgende eenvoudige algoritme kan als voorbeeld van een dergelijke constructie dienen. Er wordt een eindeloze tafel samengesteld gewone breuken, op elke -de rij in elke -de kolom waarvan er een breuk is. Voor de zekerheid wordt aangenomen dat de rijen en kolommen van deze tabel vanaf één zijn genummerd. Tabelcellen worden aangegeven met , waarbij het rijnummer is van de tabel waarin de cel zich bevindt en het kolomnummer.

De resulterende tabel wordt beheerd door een "slang" volgens het volgende formele algoritme.

Deze regels worden van boven naar beneden doorzocht en de volgende positie wordt geselecteerd door de eerste match.

Tijdens zo'n bypass wordt elk nieuw rationale getal toegewezen aan het volgende natuurlijke getal. Dat wil zeggen, breuken krijgen het nummer 1, breuken - het nummer 2, enz. Opgemerkt moet worden dat alleen onherleidbare breuken worden genummerd. Het formele teken van onherleidbaarheid is de gelijkheid tot eenheid van de grootste gemene deler van de teller en noemer van de breuk.

Door dit algoritme te volgen, kan men alle positieve rationale getallen opsommen. Dit betekent dat de verzameling positieve rationale getallen aftelbaar is. Het is gemakkelijk om een ​​bijectie vast te stellen tussen de verzamelingen positieve en negatieve rationale getallen, simpelweg door aan elk rationaal getal het tegenovergestelde toe te kennen. Dat. de verzameling negatieve rationale getallen is ook aftelbaar. Hun unie is ook aftelbaar door de eigenschap van aftelbare sets. De verzameling rationale getallen is ook aftelbaar als de vereniging van een aftelbare verzameling met een eindige.

Natuurlijk zijn er andere manieren om de rationale getallen op te sommen. U kunt hiervoor bijvoorbeeld constructies gebruiken zoals de Calkin - Wilf tree, de Stern - Brokaw tree of de Farey serie.

De uitspraak over de telbaarheid van de verzameling rationale getallen kan enige verbijstering veroorzaken, aangezien men op het eerste gezicht de indruk krijgt dat deze veel groter is dan de verzameling natuurlijke getallen. In feite is dit niet het geval, en er zijn genoeg natuurlijke getallen om alle rationale getallen op te sommen.

Ontoereikendheid van rationale getallen

zie ook

Hele getallen
	Rationele nummers

Echte getallen Complexe getallen Quaternions

Opmerkingen:

Literatuur

• ik. Kushnir. Handboek wiskunde voor schoolkinderen. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 d.
• P.S. Alexandrov. Inleiding tot verzamelingenleer en algemene topologie. - M.: hoofd. red. Fys.-Wiskunde. verlicht. red. "Wetenschap", 1977
• I.L. Khmelnitsky. Inleiding tot de theorie van algebraïsche systemen

Het onderwerp van rationale getallen is vrij uitgebreid. Je kunt er eindeloos over praten en hele werken schrijven, telkens verrast door nieuwe chips.

Om fouten in de toekomst te voorkomen, zullen we in deze les een beetje ingaan op het onderwerp van rationale getallen, er de nodige informatie uit halen en verder gaan.

Inhoud van de les

Wat is een rationaal getal?

Een rationaal getal is een getal dat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij: a - is de teller van een breuk b is de noemer van de breuk. En b mag niet nul zijn, aangezien delen door nul niet is toegestaan.

Rationele getallen omvatten de volgende categorieën getallen:

• gehele getallen (bijvoorbeeld -2, -1, 0 1, 2, etc.)

• decimale breuken (bijvoorbeeld 0.2 etc.)

• oneindige periodieke breuken (bijvoorbeeld 0, (3), etc.)

Elk getal in deze categorie kan worden weergegeven als een breuk.

voorbeeld 1 Het gehele getal 2 kan worden weergegeven als een breuk. Dus het getal 2 is niet alleen van toepassing op gehele getallen, maar ook op rationale.

Voorbeeld 2 Een gemengd getal kan worden weergegeven als een breuk. Deze breuk wordt verkregen door het gemengde getal om te zetten in onechte breuk

Middelen gemengd getal verwijst naar rationale getallen.

Voorbeeld 3 De decimale 0.2 kan worden weergegeven als een breuk. Deze breuk werd verkregen door de decimale breuk 0.2 om te zetten in een gewone breuk. Als je op dit punt problemen hebt, herhaal dan het onderwerp.

Omdat de decimale 0.2 kan worden weergegeven als een breuk, dus het is ook van toepassing op rationale getallen.

Voorbeeld 4 De oneindige periodieke breuk 0, (3) kan worden weergegeven als een breuk. Deze fractie wordt verkregen door een zuivere periodieke fractie om te zetten in een gewone fractie. Als je op dit punt problemen hebt, herhaal dan het onderwerp.

Aangezien de oneindige periodieke breuk 0, (3) kan worden weergegeven als een breuk, betekent dit dat het ook tot rationale getallen behoort.

In de toekomst zullen we alle getallen die als een breuk kunnen worden weergegeven, steeds vaker één zin noemen - rationele nummers.

Rationele getallen op de coördinaatlijn

We hebben de coördinaatlijn overwogen toen we negatieve getallen bestudeerden. Bedenk dat dit een rechte lijn is waarop veel punten liggen. Als volgt:

Deze figuur toont een klein fragment van de coördinaatlijn van −5 tot 5.

Het is niet moeilijk om gehele getallen van de vorm 2, 0, −3 op de coördinaatlijn te markeren.

Met de rest van de getallen is het veel interessanter: met gewone breuken, gemengde getallen, decimale breuken, enz. Deze getallen liggen tussen gehele getallen in en er zijn oneindig veel van deze getallen.

Laten we bijvoorbeeld een rationaal getal op de coördinaatlijn markeren. Dit getal ligt precies tussen nul en één.

Laten we proberen te begrijpen waarom de breuk zich plotseling tussen nul en één bevindt.

Zoals hierboven vermeld, liggen tussen gehele getallen andere getallen - gewone breuken, decimale breuken, gemengde getallen, enz. Als u bijvoorbeeld het gedeelte van de coördinaatlijn vergroot van 0 naar 1, ziet u de volgende afbeelding:

Het is te zien dat er tussen de gehele getallen 0 en 1 al andere rationale getallen zijn, die ons bekende decimale breuken zijn. Hier is ook onze breuk zichtbaar, die op dezelfde plaats staat als de decimale breuk 0,5. Een zorgvuldige bestudering van dit cijfer geeft een antwoord op de vraag waarom de breuk daar precies ligt.

Een breuk betekent 1 door 2 delen. En als we 1 door 2 delen, dan krijgen we 0,5

De decimale breuk 0,5 kan worden vermomd als andere breuken. Uit de basiseigenschap van een breuk weten we dat als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, de waarde van de breuk niet zal veranderen.

Als de teller en noemer van een breuk worden vermenigvuldigd met een willekeurig getal, bijvoorbeeld met het getal 4, dan krijgen we een nieuwe breuk, en deze breuk is ook gelijk aan 0,5

Dit betekent dat op de coördinatenlijn de breuk op dezelfde plaats kan worden geplaatst waar de breuk zich bevond

Voorbeeld 2 Laten we proberen een rationaal getal op de coördinaat te markeren. Dit nummer ligt precies tussen de nummers 1 en 2

De waarde van de breuk is 1,5

Als we het gedeelte van de coördinaatlijn vergroten van 1 naar 2, zien we de volgende afbeelding:

Het is te zien dat er tussen de gehele getallen 1 en 2 al andere rationale getallen zijn, die ons bekende decimale breuken zijn. Hier is ook onze breuk zichtbaar, die op dezelfde plaats staat als de decimale breuk 1.5.

We hebben bepaalde segmenten op de coördinatenlijn vergroot om de rest van de nummers op dit segment te zien liggen. Als resultaat vonden we decimale breuken met één cijfer achter de komma.

Maar deze waren niet enkelvoudige getallen liggend op deze segmenten. Op de coördinatenlijn liggen oneindig veel getallen.

Het is gemakkelijk te raden dat tussen decimale breuken die één cijfer achter de komma hebben, er al andere decimale breuken zijn die twee cijfers achter de komma hebben. Met andere woorden, honderdsten van een segment.

Laten we bijvoorbeeld proberen de getallen te zien die tussen de decimale breuken 0.1 en 0.2 . liggen

Een ander voorbeeld. Decimalen met twee cijfers achter de komma en tussen nul en het rationale getal 0.1 zien er als volgt uit:

Voorbeeld 3 We markeren een rationaal getal op de coördinatenlijn. Dit rationale getal zal zeer dicht bij nul zijn.

De waarde van de breuk is 0,02

Als we het segment van 0 naar 0,1 verhogen, zullen we zien waar het rationale getal zich precies bevindt

Het is te zien dat ons rationale getal zich op dezelfde plaats bevindt als de decimale breuk 0,02.

Voorbeeld 4 Laten we een rationaal getal 0 markeren op de coördinaatlijn, (3)

Het rationale getal 0, (3) is een oneindige periodieke breuk. Het fractionele deel ervan eindigt nooit, het is oneindig

En aangezien het getal 0, (3) een oneindig breukdeel heeft, betekent dit dat we de exacte plaats op de coördinatenlijn niet kunnen vinden waar dit getal zich bevindt. We kunnen deze plaats slechts bij benadering aangeven.

Het rationale getal 0.33333... zal heel dicht bij het gebruikelijke decimaal 0.3 . liggen

Deze figuur toont niet de exacte locatie van het getal 0,(3). Dit is slechts een illustratie die laat zien hoe dicht de periodieke breuk 0.(3) kan zijn bij de reguliere decimale 0.3.

Voorbeeld 5 We markeren een rationaal getal op de coördinatenlijn. Dit rationale getal bevindt zich in het midden tussen de getallen 2 en 3

Dit is 2 (twee gehele getallen) en (één seconde). Een breuk wordt ook wel een "halve" genoemd. Daarom hebben we twee hele segmenten en een andere helft van het segment gemarkeerd op de coördinaatlijn.

Als we een gemengd getal vertalen naar een oneigenlijke breuk, krijgen we een gewone breuk. Deze breuk op de coördinatenlijn bevindt zich op dezelfde plaats als de breuk

De waarde van de breuk is 2,5

Als we het gedeelte van de coördinaatlijn vergroten van 2 naar 3, zien we de volgende afbeelding:

Het is te zien dat ons rationale getal zich op dezelfde plaats bevindt als de decimale breuk 2.5

Min voor een rationaal getal

In de vorige les, die heette, leerden we gehele getallen te delen. Het dividend en de deler kunnen zowel positieve als negatieve getallen zijn.

Overweeg de eenvoudigste uitdrukking

(−6) : 2 = −3

In deze uitdrukking is het deeltal (−6) negatief nummer.

Beschouw nu de tweede uitdrukking

6: (−2) = −3

Hier is de deler (−2) al een negatief getal. Maar in beide gevallen krijgen we hetzelfde antwoord -3.

Aangezien elke deling als een breuk kan worden geschreven, kunnen we de hierboven besproken voorbeelden ook als een breuk schrijven:

En aangezien in beide gevallen de waarde van de breuk hetzelfde is, kan de min die in de teller of in de noemer staat gemeenschappelijk worden gemaakt door deze voor de breuk te plaatsen

Daarom kun je tussen de uitdrukkingen en en een gelijkteken plaatsen, omdat ze dezelfde waarde hebben

Als we in de toekomst met breuken werken, als we een min in de teller of in de noemer tegenkomen, zullen we deze min algemeen maken en voor de breuk plaatsen.

Tegenover rationale getallen

Net als een geheel getal heeft een rationaal getal zijn tegengestelde getal.

Voor een rationaal getal is het tegenovergestelde getal bijvoorbeeld . Het bevindt zich op de coördinaatlijn symmetrisch ten opzichte van de locatie ten opzichte van de oorsprong. Met andere woorden, beide getallen liggen op gelijke afstand van de oorsprong

Converteer gemengde getallen naar onechte breuken

We weten dat om een ​​gemengd getal om te zetten in een oneigenlijke breuk, je het gehele deel moet vermenigvuldigen met de noemer van het breukdeel en moet optellen bij de teller van het breukdeel. Het resulterende getal is de teller van de nieuwe breuk, terwijl de noemer hetzelfde blijft.

Laten we bijvoorbeeld een gemengd getal converteren naar een onechte breuk

Vermenigvuldig het gehele deel met de noemer van het breukdeel en voeg de teller van het breukdeel toe:

Laten we deze uitdrukking berekenen:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Het resulterende getal 5 is de teller van de nieuwe breuk en de noemer blijft hetzelfde:

Het hele proces is als volgt geschreven:

Om het originele gemengde getal terug te geven, volstaat het om het gehele deel in de breuk te selecteren

Maar deze manier om een ​​gemengd getal om te zetten in een onechte breuk is alleen van toepassing als het gemengde getal positief is. Voor een negatief getal deze methode zal niet werken.

Laten we eens kijken naar een breuk. Laten we het gehele deel van deze breuk nemen. Krijgen

Om de oorspronkelijke breuk terug te geven, moet u het gemengde getal converteren naar een oneigenlijke breuk. Maar als we de oude regel gebruiken, namelijk, we vermenigvuldigen het gehele deel met de noemer van het fractionele deel en voegen de teller van het fractionele deel toe aan het resulterende getal, dan krijgen we de volgende contradictie:

We kregen een fractie, maar we hadden een fractie moeten krijgen.

We concluderen dat het gemengde getal verkeerd vertaald is in een oneigenlijke breuk:

Om een ​​negatief gemengd getal correct om te zetten in een oneigenlijke breuk, moet je het gehele deel vermenigvuldigen met de noemer van het breukdeel en van het resulterende getal aftrekken fractionele teller. In dit geval valt alles op zijn plaats

Een negatief gemengd getal is het tegenovergestelde van een gemengd getal. Als het positieve gemengde getal zich aan de rechterkant bevindt en er zo uitziet

In deze paragraaf geven we verschillende definities van rationale getallen. Ondanks de verschillen in bewoording, hebben al deze definities dezelfde betekenis: rationale getallen combineren gehele getallen en gebroken getallen, net zoals gehele getallen natuurlijke getallen, hun tegengestelde getallen en het getal nul combineren. Met andere woorden, rationale getallen generaliseren gehele en fractionele getallen.

Laten we beginnen met definities van rationale getallen wat als het meest natuurlijk wordt ervaren.

Definitie.

Rationele nummers zijn getallen die kunnen worden geschreven als een positieve gemeenschappelijke breuk, een negatieve gemeenschappelijke breuk of het getal nul.

Uit de klinkende definitie volgt dat een rationaal getal is:

elk natuurlijk getal n. Elk natuurlijk getal kan inderdaad worden weergegeven als een gewone breuk, bijvoorbeeld 3=3/1 .

· Elk geheel getal, in het bijzonder het getal nul. Inderdaad, elk geheel getal kan worden geschreven als een positieve gemeenschappelijke breuk, als een negatieve gemeenschappelijke breuk of als nul. Bijvoorbeeld, 26=26/1 , .

Elke gewone breuk (positief of negatief). Dit wordt direct aangegeven door de gegeven definitie van rationale getallen.

· Elk gemengd nummer. Het is inderdaad altijd mogelijk om een ​​gemengd getal weer te geven als een onechte gewone breuk. Bijvoorbeeld, en.

· Elke eindige decimale breuk of oneindige periodieke breuk. Dit komt doordat de opgegeven decimale breuken worden omgezet in gewone breuken. Bijvoorbeeld, een 0,(3)=1/3 .

Het is ook duidelijk dat een oneindig niet-herhalend decimaalteken GEEN rationaal getal is, omdat het niet kan worden weergegeven als een gewone breuk.

Nu kunnen we gemakkelijk brengen voorbeelden van rationale getallen. Cijfers 4 ,903 , 100 321 zijn rationale getallen, omdat het natuurlijke getallen zijn. Hele getallen 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 zijn ook voorbeelden van rationale getallen. Gemeenschappelijke breuken 4/9 , 99/3 , zijn ook voorbeelden van rationale getallen. Rationele getallen zijn ook getallen.

Uit de bovenstaande voorbeelden blijkt dat er zowel positieve als negatieve rationale getallen zijn, en dat het rationale getal nul noch positief noch negatief is.

De bovenstaande definitie van rationale getallen kan in een kortere vorm worden geformuleerd.

Definitie.

Rationele nummers noem een ​​getal dat als een breuk kan worden geschreven z/n, waar z is een geheel getal, en n- natuurlijk nummer.

Laten we bewijzen dat deze definitie van rationale getallen gelijk is aan de vorige definitie. We weten dat we de staaf van een breuk als een teken van deling kunnen beschouwen, dan volgt uit de eigenschappen van de deling van gehele getallen en de regels voor het delen van gehele getallen de geldigheid van de volgende gelijkheden en. Dus dat is het bewijs.

We geven voorbeelden van rationale getallen op basis van deze definitie. Cijfers −5 , 0 , 3 , en zijn rationale getallen, omdat ze kunnen worden geschreven als breuken met een gehele teller en een natuurlijke noemer van de vorm en respectievelijk.

De definitie van rationale getallen kan ook in de volgende formulering worden gegeven.

Definitie.

Rationele nummers zijn getallen die kunnen worden geschreven als een eindige of oneindige periodieke decimale breuk.

Deze definitie is ook gelijk aan de eerste definitie, aangezien elke gewone breuk overeenkomt met een eindige of periodieke decimale breuk en vice versa, en elk geheel getal kan worden geassocieerd met een decimale breuk met nullen achter de komma.

Bijvoorbeeld cijfers 5 , 0 , −13 , zijn voorbeelden van rationale getallen, omdat ze kunnen worden geschreven als de volgende decimale breuken: 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 en −7,(18) .

We sluiten de theorie van deze sectie af met de volgende uitspraken:

gehele en fractionele getallen (positief en negatief) vormen de reeks rationale getallen;

Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een breuk met een gehele teller en een natuurlijke noemer, en elke breuk is een rationaal getal;

Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een eindige of oneindige periodieke decimale breuk, en elke breuk vertegenwoordigt een rationeel getal.

Bovenaan de pagina

De toevoeging van positieve rationale getallen is commutatief en associatief,

("a, b н Q +) a + b= b + een;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Voordat u de definitie van vermenigvuldiging van positieve rationale getallen formuleert, moet u rekening houden met het volgende probleem: het is bekend dat de lengte van het segment X wordt uitgedrukt als een breuk met de eenheidslengte E, en de lengte van het eenheidssegment wordt gemeten met de eenheid E 1 en wordt uitgedrukt als een breuk. Hoe vind je het getal dat de lengte van het segment X vertegenwoordigt, als je het meet met behulp van de lengte-eenheid E 1?

Aangezien X=E, dan nX=mE, en uit het feit dat E =E 1 volgt dat qE=pE 1 . We vermenigvuldigen de eerste verkregen gelijkheid met q, en de tweede met m. Dan (nq)X \u003d (mq)E en (mq)E \u003d (mp)E 1, vanwaar (nq)X \u003d (mp)E 1. Deze gelijkheid laat zien dat de lengte van het segment x op eenheidslengte wordt uitgedrukt als een breuk, en dus , =, d.w.z. vermenigvuldiging van breuken wordt geassocieerd met de overgang van de ene lengte-eenheid naar de andere bij het meten van de lengte van hetzelfde segment.

Definitie Als een positief getal a wordt weergegeven door een breuk, en een positief rationaal getal b een breuk, dan is hun product het getal a b, dat wordt weergegeven door een breuk.

Vermenigvuldiging van positieve rationale getallen commutatief, associatief en distributief met betrekking tot optellen en aftrekken. Het bewijs van deze eigenschappen is gebaseerd op de definitie van vermenigvuldiging en optelling van positieve rationale getallen, evenals op de overeenkomstige eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen.

46. ​​​​Zoals je weet aftrekken is het tegenovergestelde van optellen.

Als een a en b - positieve getallen, en vervolgens het getal b van het getal a aftrekken, betekent een getal c vinden dat, wanneer opgeteld bij het getal b, het getal a geeft.
a - b = c of c + b = a
De definitie van aftrekken geldt voor alle rationale getallen. Dat wil zeggen, het aftrekken van positieve en negatieve getallen kan worden vervangen door optellen.
Om een ​​ander van het ene getal af te trekken, moet je het tegenovergestelde getal bij de minuend optellen.
Of, op een andere manier, kunnen we zeggen dat het aftrekken van het getal b dezelfde optelling is, maar met het getal tegengesteld aan het getal b.
a - b = a + (- b)
Voorbeeld.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Voorbeeld.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Het is de moeite waard om de onderstaande uitdrukkingen te onthouden.
0 - a = - a
a - 0 = a
een - een = 0

Regels voor het aftrekken van negatieve getallen
Het aftrekken van het getal b is de optelling met het getal tegenover het getal b.
Deze regel blijft niet alleen behouden bij het aftrekken van een kleiner getal van een groter getal, maar maakt het ook mogelijk om van een kleiner getal af te trekken meer, dat wil zeggen, u kunt altijd het verschil van twee getallen vinden.
Het verschil kan een positief getal, een negatief getal of nul zijn.
Voorbeelden van het aftrekken van negatieve en positieve getallen.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Het is handig om de tekenregel te onthouden, waarmee u het aantal haakjes kunt verminderen.
Het plusteken verandert het teken van het cijfer niet, dus als er een plusteken voor het haakje staat, verandert het teken tussen de haakjes niet.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Het minteken voor de haakjes keert het teken van het getal tussen de haakjes om.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Uit de gelijkheden blijkt dat als er identieke tekens voor en tussen de haakjes staan, we "+" krijgen, en als de tekens verschillend zijn, krijgen we "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
De regel van tekens blijft ook behouden als er niet één getal tussen haakjes staat, maar een algebraïsche som van getallen.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Let op: als er meerdere cijfers tussen haakjes staan ​​en er staat een minteken voor de haakjes, dan moeten de tekens voor alle cijfers tussen deze haakjes veranderen.
Om de tekenregel te onthouden, kunt u een tabel maken om de tekens van een getal te bepalen.
Tekenregel voor getallen + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Of leer een simpele regel.
Twee negatieven maken een bevestigend,
Plus maal min is gelijk aan min.

Regels voor het delen van negatieve getallen.
Om de modulus van het quotiënt te vinden, moet je de modulus van het deeltal delen door de modulus van de deler.
Dus om twee getallen met dezelfde tekens te delen, heb je nodig:

Deel de modulus van het deeltal door de modulus van de deler;

Zet een "+" teken voor het resultaat.

Voorbeelden van het delen van getallen met verschillende tekens:

U kunt ook de volgende tabel gebruiken om het quotiëntteken te bepalen.
De regel van tekens bij het delen
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Bij het berekenen van "lange" uitdrukkingen, waarin alleen vermenigvuldiging en deling voorkomen, is het erg handig om de tekenregel te gebruiken. Om bijvoorbeeld een breuk te berekenen
U kunt erop letten dat er in de teller 2 "mintekens" staan, die bij vermenigvuldiging een "plus" geven. Er zijn ook drie mintekens in de noemer, die, wanneer vermenigvuldigd, een min opleveren. Daarom zal het resultaat uiteindelijk een minteken zijn.
Breukreductie (verdere acties met getallenmodules) wordt op dezelfde manier uitgevoerd als voorheen:
Het quotiënt van het delen van nul door een getal dat niet nul is, is nul.
0: a = 0, een ≠ 0
NIET delen door nul!
Alle eerder bekende regels voor delen door één zijn ook van toepassing op de verzameling rationale getallen.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, waarbij a een willekeurig rationaal getal is.
De afhankelijkheden tussen de resultaten van vermenigvuldigen en delen, die bekend zijn voor positieve getallen, blijven ook behouden voor alle rationale getallen (behalve voor het getal nul):
als a × b = c; a = c: b; b = c: een;
als a: b = c; a = c × b; b=a:c
Deze afhankelijkheden worden gebruikt om de onbekende factor, het deeltal en de deler te vinden (bij het oplossen van vergelijkingen), en om de resultaten van vermenigvuldigen en delen te controleren.
Een voorbeeld van het vinden van het onbekende.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Gelijkaardige informatie.

Rationele nummers

kwartalen

1. Ordelijkheid. a en b er is een regel waarmee u op unieke wijze één en slechts één van de drie relaties kunt identificeren: "< », « >' of ' = '. Deze regel heet bestelregel en is als volgt geformuleerd: twee niet-negatieve getallen en zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee gehele getallen en ; twee niet-positieve getallen a en b zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee niet-negatieve getallen en ; als plotseling a niet-negatief, en b- negatief, dan a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   optelling van breuken

2. toevoeging operatie. Voor alle rationale getallen a en b er is een zogenaamde sommatie regel c. Maar het nummer zelf c genaamd som nummers a en b en wordt aangeduid , en het proces om zo'n getal te vinden heet sommatie. De sommatieregel heeft de volgende vorm: .
3. vermenigvuldiging operatie. Voor alle rationale getallen a en b er is een zogenaamde vermenigvuldigingsregel, waardoor ze in overeenstemming zijn met een rationaal getal c. Maar het nummer zelf c genaamd werk nummers a en b en wordt aangeduid , en het proces om zo'n getal te vinden wordt ook wel vermenigvuldiging. De vermenigvuldigingsregel is als volgt: .
4. Transitiviteit van de orderrelatie. Voor elk drietal van rationale getallen a , b en c als a minder b en b minder c, dan a minder c, wat als a gelijk aan b en b gelijk aan c, dan a gelijk aan c. 6435">Commutativiteit van optellen. De som verandert niet door de plaats van rationale termen te veranderen.
5. Associativiteit van optellen. De volgorde waarin drie rationale getallen worden opgeteld, heeft geen invloed op het resultaat.
6. De aanwezigheid van nul. Er is een rationaal getal 0 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt opgeteld.
7. De aanwezigheid van tegenovergestelde nummers. Elk rationaal getal heeft een tegengesteld rationaal getal, dat bij optelling 0 geeft.
8. Commutativiteit van vermenigvuldiging. Door de plaatsen van rationele factoren te veranderen, verandert het product niet.
9. Associativiteit van vermenigvuldiging. De volgorde waarin drie rationale getallen worden vermenigvuldigd, heeft geen invloed op het resultaat.
10. De aanwezigheid van een eenheid. Er is een rationaal getal 1 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt vermenigvuldigd.
11. De aanwezigheid van wederkerige. Elk rationaal getal heeft een invers rationaal getal, dat, wanneer vermenigvuldigd, 1 geeft.
12. Distributiviteit van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen. De vermenigvuldigingsbewerking is consistent met de optelbewerking via de distributiewet:
13. Verbinding van de orderrelatie met de bewerking van optellen. Hetzelfde rationele getal kan aan de linker- en rechterkant van een rationale ongelijkheid worden toegevoegd. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma van Archimedes. Wat het rationale getal ook is a, je kunt zoveel eenheden nemen dat hun som groter is dan a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Extra eigenschappen

Alle andere eigenschappen die inherent zijn aan rationale getallen worden niet aangemerkt als basiseigenschappen, omdat ze over het algemeen niet langer rechtstreeks gebaseerd zijn op de eigenschappen van gehele getallen, maar kunnen worden bewezen op basis van de gegeven basiseigenschappen of rechtstreeks door de definitie van een of ander wiskundig object. Er zijn veel van dergelijke extra eigenschappen. Het is logisch om er hier slechts enkele te noemen.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Telbaarheid instellen

Nummering van rationale getallen

Om het aantal rationale getallen te schatten, moet je de kardinaliteit van hun verzameling vinden. Het is gemakkelijk te bewijzen dat de verzameling van rationale getallen aftelbaar is. Om dit te doen, volstaat het om een ​​algoritme te geven dat rationale getallen opsomt, dat wil zeggen een bijectie vaststelt tussen de verzamelingen van rationale en natuurlijke getallen.

De eenvoudigste van deze algoritmen is als volgt. Er wordt een oneindige tabel met gewone breuken samengesteld, op elke i-de regel in elk j waarvan de kolom een ​​breuk is. Voor de zekerheid wordt aangenomen dat de rijen en kolommen van deze tabel vanaf één zijn genummerd. Tabelcellen worden aangeduid met , waarbij i- het rijnummer van de tabel waarin de cel zich bevindt, en j- kolomnummer.

De resulterende tabel wordt beheerd door een "slang" volgens het volgende formele algoritme.

Deze regels worden van boven naar beneden doorzocht en de volgende positie wordt geselecteerd door de eerste match.

Tijdens zo'n bypass wordt elk nieuw rationale getal toegewezen aan het volgende natuurlijke getal. Dat wil zeggen, breuken 1 / 1 krijgen het nummer 1, breuken 2 / 1 - het nummer 2, enz. Opgemerkt moet worden dat alleen onherleidbare breuken worden genummerd. Het formele teken van onherleidbaarheid is de gelijkheid tot eenheid van de grootste gemene deler van de teller en noemer van de breuk.

Door dit algoritme te volgen, kan men alle positieve rationale getallen opsommen. Dit betekent dat de verzameling positieve rationale getallen aftelbaar is. Het is gemakkelijk om een ​​bijectie vast te stellen tussen de verzamelingen positieve en negatieve rationale getallen, simpelweg door aan elk rationaal getal het tegenovergestelde toe te kennen. Dat. de verzameling negatieve rationale getallen is ook aftelbaar. Hun unie is ook aftelbaar door de eigenschap van aftelbare sets. De verzameling rationale getallen is ook aftelbaar als de vereniging van een aftelbare verzameling met een eindige.

De uitspraak over de telbaarheid van de verzameling rationale getallen kan enige verbijstering veroorzaken, aangezien men op het eerste gezicht de indruk krijgt dat deze veel groter is dan de verzameling natuurlijke getallen. In feite is dit niet het geval, en er zijn genoeg natuurlijke getallen om alle rationale getallen op te sommen.

Ontoereikendheid van rationale getallen

De hypotenusa van zo'n driehoek wordt niet uitgedrukt door een rationaal getal

Rationele getallen van de vorm 1 / n in het algemeen n willekeurig kleine hoeveelheden kunnen worden gemeten. Dit feit wekt de bedrieglijke indruk dat rationale getallen alle geometrische afstanden in het algemeen kunnen meten. Het is gemakkelijk om aan te tonen dat dit niet waar is.

Opmerkingen:

Literatuur

• ik. Kushnir. Handboek wiskunde voor schoolkinderen. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 d.
• P.S. Alexandrov. Inleiding tot verzamelingenleer en algemene topologie. - M.: hoofd. red. Fys.-Wiskunde. verlicht. red. "Wetenschap", 1977
• I.L. Khmelnitsky. Inleiding tot de theorie van algebraïsche systemen

Links

Wikimedia Stichting. 2010 .

Middelbare scholieren en studenten van wiskundige specialiteiten zullen deze vraag waarschijnlijk gemakkelijk beantwoorden. Maar voor degenen die hier verre van van beroep zijn, zal het moeilijker zijn. Wat is het echt?

Essentie en aanduiding

Rationele getallen zijn getallen die kunnen worden weergegeven als een breuk. Positief, negatief en nul zijn ook inbegrepen in deze set. De teller van een breuk moet een geheel getal zijn en de noemer moet . zijn

Deze verzameling wordt in de wiskunde aangeduid als Q en wordt "het veld van rationale getallen" genoemd. Het bevat alle gehele getallen en natuurlijke getallen, respectievelijk aangeduid als Z en N. De verzameling Q zelf is opgenomen in de verzameling R. Het is deze letter die de zogenaamde reële of

Prestatie

Zoals eerder vermeld, zijn rationale getallen een verzameling die alle gehele en fractionele waarden omvat. Ze kunnen worden gepresenteerd in verschillende vormen. Ten eerste in de vorm van een gewone breuk: 5/7, 1/5, 11/15, enz. Natuurlijk kunnen gehele getallen ook in een vergelijkbare vorm worden geschreven: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, enz. Ten tweede is een ander type weergave een decimale breuk met een eind fractioneel deel: 0.01, -15.001006, etc. Dit is misschien wel een van de meest voorkomende vormen.

Maar er is ook een derde - een periodieke breuk. Dit type is niet erg gebruikelijk, maar wordt nog steeds gebruikt. De breuk 10/3 kan bijvoorbeeld worden geschreven als 3,33333... of 3,(3). In dit geval worden verschillende representaties als gelijkaardige getallen beschouwd. Gelijke breuken worden ook wel 3/5 en 6/10 genoemd. Het lijkt erop dat duidelijk is geworden wat rationale getallen zijn. Maar waarom wordt deze term gebruikt om naar hen te verwijzen?

oorsprong van naam

Het woord 'rationeel' in het moderne Russisch heeft over het algemeen een iets andere betekenis. Het is eerder "redelijk", "overwogen". Maar wiskundige termen liggen dicht bij de directe betekenis hiervan. In het Latijn is "ratio" "ratio", "fractie" of "deling". De naam weerspiegelt dus de essentie van wat rationale getallen zijn. Echter, de tweede betekenis

niet ver van de waarheid.

Acties met hen

Bij het oplossen van wiskundige problemen komen we voortdurend rationale getallen tegen zonder het zelf te weten. En ze hebben een aantal interessante eigenschappen. Ze volgen allemaal uit de definitie van een verzameling of uit acties.

Ten eerste hebben rationale getallen de eigenschap orderrelatie. Dit betekent dat er slechts één verhouding kan bestaan ​​tussen twee getallen - ze zijn ofwel gelijk aan elkaar, of de ene is groter of kleiner dan de andere. d.w.z.:

of a = b of a > b of a< b.

Bovendien impliceert deze eigenschap ook de transitiviteit van de relatie. Dat wil zeggen, als a meer b, b meer c, dan a meer c. In de taal van de wiskunde ziet het er als volgt uit:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Ten tweede zijn er rekenkundige bewerkingen met rationale getallen, dat wil zeggen optellen, aftrekken, delen en natuurlijk vermenigvuldigen. Tegelijkertijd zijn er in het proces van transformaties ook een aantal eigenschappen te onderscheiden.

• a + b = b + a (vervanging van termen, commutativiteit);
• 0 + een = een + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit);
• een + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (distributiviteit);
• een x 1 = 1 x een = een;
• a x (1 / a) = 1 (in dit geval is a niet gelijk aan 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Wanneer we zijn aan het praten over gewone, en niet of hele getallen, bewerkingen ermee kunnen bepaalde problemen veroorzaken. Dus optellen en aftrekken is alleen mogelijk als de noemers gelijk zijn. Als ze aanvankelijk verschillend zijn, zou je een gemeenschappelijke moeten vinden, door de hele breuk met bepaalde getallen te vermenigvuldigen. Vergelijking is ook meestal alleen mogelijk als aan deze voorwaarde is voldaan.

Deling en vermenigvuldiging van gewone breuken worden uitgevoerd in overeenstemming met voldoende eenvoudige regels. Reductie tot een gemene deler is niet nodig. De tellers en noemers worden afzonderlijk vermenigvuldigd, terwijl tijdens het uitvoeren van de actie, indien mogelijk, de breuk zo veel mogelijk moet worden verkleind en vereenvoudigd.

Wat betreft de verdeling, deze actie is vergelijkbaar met de eerste met een klein verschil. Voor de tweede breuk moet je de reciproke vinden, dat wil zeggen,

"draai het om. De teller van de eerste breuk moet dus worden vermenigvuldigd met de noemer van de tweede en vice versa.

Ten slotte wordt een andere eigenschap die inherent is aan rationale getallen, het axioma van Archimedes genoemd. De term "principe" komt ook vaak voor in de literatuur. Het is geldig voor de hele reeks reële getallen, maar niet overal. Dit principe werkt dus niet voor sommige verzamelingen van rationale functies. In wezen betekent dit axioma dat, gegeven het bestaan ​​van twee grootheden a en b, je altijd genoeg a kunt nemen om b te overtreffen.

Toepassingsgebied

Dus voor degenen die hebben geleerd of onthouden wat rationale getallen zijn, wordt het duidelijk dat ze overal worden gebruikt: in de boekhouding, economie, statistiek, natuurkunde, scheikunde en andere wetenschappen. Natuurlijk hebben ze ook een plaats in de wiskunde. Omdat we niet altijd weten dat we ermee te maken hebben, gebruiken we constant rationale getallen. Zelfs jonge kinderen, die voorwerpen leren tellen, een appel in stukjes snijden of andere eenvoudige handelingen uitvoeren, komen ze tegen. Ze omringen ons letterlijk. En toch zijn ze niet voldoende om sommige problemen op te lossen, met name door de stelling van Pythagoras als voorbeeld te gebruiken, kan men de noodzaak begrijpen om het concept te introduceren