Een kwadratische vergelijking is een vergelijking die eruitziet als ax 2 + dx + c = 0... Daarin de betekenis een, in en Met alle nummers, terwijl een is niet nul.

Alle kwadratische vergelijkingen zijn onderverdeeld in verschillende typen, namelijk:

Vergelijkingen met slechts één wortel.
- Vergelijkingen met twee verschillende wortels.
- Vergelijkingen waarin er helemaal geen wortels zijn.

Dit is wat onderscheidt lineaire vergelijkingen waarin de wortel altijd één is, van vierkant. Om te begrijpen hoeveel wortels in de uitdrukking nodig zijn Discriminant van een kwadratische vergelijking.

Laten we zeggen dat onze vergelijking ax 2 + dx + c = 0. Middelen kwadratische discriminant -

D = b 2 - 4 ac

En dit moet voor altijd worden herinnerd. Met behulp van deze vergelijking bepalen we het aantal wortels in de kwadratische vergelijking. En dat doen we als volgt:

Als D kleiner is dan nul, zijn er geen wortels in de vergelijking.
- Als D nul is, is er maar één wortel.
- Wanneer D groter is dan respectievelijk nul, zijn er twee wortels in de vergelijking.
Onthoud dat de discriminant aangeeft hoeveel wortels er in de vergelijking zijn zonder van teken te veranderen.

Laten we voor de duidelijkheid overwegen:

Je moet uitzoeken hoeveel wortels in een bepaalde kwadratische vergelijking.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

We voeren de waarden in de eerste vergelijking in, we vinden de discriminant.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
De discriminant met een plusteken betekent dat er twee wortels zijn in deze gelijkheid.

Doe hetzelfde met de tweede vergelijking
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
De waarde is min, wat betekent dat er geen wortels zijn in deze gelijkheid.

We breiden de volgende vergelijking naar analogie uit.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
als gevolg daarvan hebben we één wortel in de vergelijking.

Het is belangrijk dat we in elke vergelijking de coëfficiënten opschrijven. Dit is natuurlijk geen erg langdurig proces, maar het heeft ons geholpen om niet in de war te raken en het optreden van fouten te voorkomen. Als je zulke vergelijkingen heel vaak oplost, kun je mentaal rekenen en van tevoren weten hoeveel wortels de vergelijking heeft.

Laten we nog een voorbeeld nemen:

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

We leggen de eerste neer
a = 1, b = -2, c = -3
D = (- 2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, wat groter is dan nul, het betekent twee wortels, we zullen ze weergeven
x 1 = 2+? 16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-? 16/2 * 1 = -1.

We leggen de tweede neer
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, wat groter is dan nul en ook twee wortels heeft. Laten we ze weergeven:
x 1 = 2+? 64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-? 64/2 * (- 1) = 3.

We leggen de derde neer
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 = 0, wat nul is en één wortel heeft
x = -12 +?0/2 * 1 = -6.
Het oplossen van deze vergelijkingen is niet moeilijk.

Als we een onvolledige kwadratische vergelijking krijgen. Zoals

1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

Deze vergelijkingen zijn anders dan die hierboven, omdat ze niet compleet zijn en er geen derde waarde in zit. Maar ondanks dit is het eenvoudiger dan een volledige kwadratische vergelijking en het is niet nodig om de discriminant erin te zoeken.

Wat te doen als je dringend een scriptie of abstract nodig hebt, maar geen tijd hebt om het te schrijven? Dit alles en nog veel meer kan worden besteld op de website van Deeplom.by (http://deeplom.by/) en krijgt de hoogste score.

Kwadratische vergelijkingen worden bestudeerd in groep 8, dus er is hier niets moeilijks. Het vermogen om ze op te lossen is absoluut essentieel.

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij de coëfficiënten a, b en c willekeurige getallen zijn, en a ≠ 0.

Voordat we specifieke methoden voor het oplossen bestuderen, merken we op dat alle kwadratische vergelijkingen voorwaardelijk in drie klassen kunnen worden verdeeld:

1. Heb geen wortels;
2. Heb precies één wortel;
3. Ze hebben twee verschillende wortels.

Dit is een belangrijk verschil. kwadratische vergelijkingen van lineair, waarbij de wortel altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaal je hoeveel wortels een vergelijking heeft? Hier is iets geweldigs voor - discriminerend.

discriminerend

Laat een kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0. Dan is de discriminant gewoon het getal D = b 2 - 4ac.

Deze formule moet je uit je hoofd kennen. Waar het vandaan komt - het maakt nu niet uit. Een ander ding is belangrijk: aan het teken van de discriminant kun je bepalen hoeveel wortels een kwadratische vergelijking heeft. Namelijk:

1. Als D< 0, корней нет;
2. Als D = 0, is er precies één wortel;
3. Als D> 0, zijn er twee wortels.

Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet hun tekens, zoals velen om de een of andere reden denken. Bekijk de voorbeelden - en u zult zelf alles begrijpen:

Taak. Hoeveel wortels hebben kwadratische vergelijkingen:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Laten we de coëfficiënten voor de eerste vergelijking opschrijven en de discriminant vinden:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Dus de discriminant is positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. We analyseren de tweede vergelijking op een vergelijkbare manier:
een = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

De discriminant is negatief, er zijn geen wortels. De laatste vergelijking blijft:
een = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

De discriminant is nul - er zal één wortel zijn.

Merk op dat er voor elke vergelijking coëfficiënten zijn geschreven. Ja, het is lang, ja, het is saai - maar je haalt de coëfficiënten niet door elkaar en maakt geen domme fouten. Kies zelf: snelheid of kwaliteit.

Trouwens, als je "je hand vult", hoef je na een tijdje niet meer alle coëfficiënten op te schrijven. Dergelijke operaties voer je in je hoofd uit. De meeste mensen beginnen dit ergens te doen nadat 50-70 vergelijkingen zijn opgelost - in het algemeen niet zo veel.

kwadratische wortels

Laten we nu verder gaan met de oplossing. Als de discriminant D> 0, kunnen de wortels worden gevonden door de formules:

Basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Wanneer D = 0, kunt u elk van deze formules gebruiken - u krijgt hetzelfde getal, wat het antwoord zal zijn. Tot slot, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Eerste vergelijking:
x 2 - 2x - 3 = 0 a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ de vergelijking heeft twee wortels. Laten we ze zoeken:

Tweede vergelijking:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ de vergelijking heeft weer twee wortels. Vind ze

\ [\ begin (uitlijnen) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ einde (uitlijnen) \]

Ten slotte de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 = 0 a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ de vergelijking heeft één wortel. Elke formule kan worden gebruikt. Bijvoorbeeld de eerste:

Zoals je aan de voorbeelden kunt zien, is alles heel eenvoudig. Als je de formules kent en kunt tellen, zijn er geen problemen. Meestal treden fouten op bij het vervangen van negatieve coëfficiënten in de formule. Ook hier zal de hierboven beschreven techniek helpen: kijk letterlijk naar de formule, beschrijf elke stap - en al snel zul je fouten verwijderen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Het komt voor dat de kwadratische vergelijking enigszins afwijkt van wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Het is gemakkelijk in te zien dat een van de termen in deze vergelijkingen ontbreekt. Dergelijke kwadratische vergelijkingen zijn zelfs gemakkelijker op te lossen dan standaardvergelijkingen: ze hoeven niet eens de discriminant te berekenen. Laten we daarom een ​​nieuw concept introduceren:

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 wordt een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd als b = 0 of c = 0, d.w.z. coëfficiënt bij variabele x of vrij element is gelijk aan nul.

Natuurlijk is een zeer moeilijk geval mogelijk wanneer beide coëfficiënten gelijk zijn aan nul: b = c = 0. In dit geval heeft de vergelijking de vorm ax 2 = 0. Het is duidelijk dat zo'n vergelijking één wortel heeft: x = 0.

Laten we de rest van de gevallen eens bekijken. Laat b = 0, dan krijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0. Laten we het een beetje transformeren:

sinds rekenen Vierkantswortel bestaat alleen van niet-negatief getal, de laatste gelijkheid heeft alleen zin voor (−c / a) ≥ 0. Conclusie:

1. Als de ongelijkheid (−c / a) ≥ 0 geldt in een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0, dan zijn er twee wortels. De formule is hierboven gegeven;
2. Als (−c / a)< 0, корней нет.

Zoals u kunt zien, was de discriminant niet vereist - in onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn er helemaal geen ingewikkelde berekeningen. In feite is het niet eens nodig om de ongelijkheid (−c / a) ≥ 0 te onthouden. Het is voldoende om de waarde x 2 uit te drukken en te kijken wat er aan de andere kant van het gelijkteken staat. Als er een positief getal is, zijn er twee wortels. Als het negatief is, zullen er helemaal geen wortels zijn.

Laten we nu kijken naar vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0, waarin het vrije element gelijk is aan nul. Alles is hier eenvoudig: er zullen altijd twee wortels zijn. Het is voldoende om de polynoom buiten beschouwing te laten:

Bracketing een gemeenschappelijke factor

Het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul. Vanaf hier zijn de wortels. Tot slot zullen we verschillende van dergelijke vergelijkingen analyseren:

Taak. Los kwadratische vergelijkingen op:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Er zijn geen wortels, tk. een vierkant kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Problemen voor de kwadratische vergelijking worden bestudeerd in het schoolcurriculum en op universiteiten. Ze worden opgevat als vergelijkingen van de vorm a * x ^ 2 + b * x + c = 0, waarbij x - variabel, a, b, c - constanten; een<>0. De taak is om de wortels van de vergelijking te vinden.

De geometrische betekenis van de kwadratische vergelijking

De grafiek van een functie die wordt weergegeven door een kwadratische vergelijking is een parabool. De oplossingen (wortels) van de kwadratische vergelijking zijn de snijpunten van de parabool met de abscis (x). Hieruit volgt dat er drie mogelijke gevallen zijn:
1) de parabool heeft geen snijpunten met de abscis. Dit betekent dat het zich in het bovenste vlak bevindt met takken omhoog of lager met takken naar beneden. In dergelijke gevallen heeft de kwadratische vergelijking geen echte wortels (hij heeft twee complexe wortels).

2) de parabool heeft één snijpunt met de Os-as. Zo'n punt wordt de top van de parabool genoemd en de kwadratische vergelijking daarin krijgt zijn minimale of maximale waarde. In dit geval heeft de kwadratische vergelijking één echte wortel (of twee identieke wortels).

3) Het laatste geval is in de praktijk interessanter - er zijn twee snijpunten van de parabool met de abscis-as. Dit betekent dat er twee echte wortels van de vergelijking zijn.

Op basis van de analyse van de coëfficiënten bij de graden van de variabelen kunnen interessante conclusies worden getrokken over de plaatsing van de parabool.

1) Als de coëfficiënt a groter is dan nul, dan is de parabool naar boven gericht, indien negatief, zijn de parabooltakken naar beneden gericht.

2) Als de coëfficiënt b groter is dan nul, dan ligt het hoekpunt van de parabool in het linker halfvlak, als het een negatieve waarde heeft, dan rechts.

Afleiding van een formule voor het oplossen van een kwadratische vergelijking

Verplaats de constante van de kwadratische vergelijking

voor het gelijkteken krijgen we de uitdrukking

Vermenigvuldig beide zijden met 4a

Om naar links te gaan vol plein voeg b ^ 2 toe in beide delen en voer de transformatie uit

Vanaf hier vinden we

Formule voor de discriminant en wortels van een kwadratische vergelijking

De discriminant wordt de waarde van de worteluitdrukking genoemd. Als deze positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels, berekend met de formule Als de discriminant nul is, heeft de kwadratische vergelijking één oplossing (twee samenvallende wortels), die gemakkelijk kan worden verkregen uit de bovenstaande formule als D = 0. Als de discriminant negatief is, heeft de vergelijking geen echte wortels. Er worden echter oplossingen van een kwadratische vergelijking in het complexe vlak gevonden en hun waarde wordt berekend met de formule

Stelling van Vieta

Overweeg twee wortels van een kwadratische vergelijking en construeer op basis daarvan een kwadratische vergelijking. De stelling van Vieta volgt gemakkelijk uit de notatie: als we een kwadratische vergelijking van de vorm hebben dan is de som van zijn wortels gelijk aan de coëfficiënt p, genomen met het tegenovergestelde teken, en is het product van de wortels van de vergelijking gelijk aan de vrije term q. De formele notatie van het bovenstaande ziet eruit als: Als in de klassieke vergelijking de constante a niet nul is, moet je de hele vergelijking erdoor delen en vervolgens de stelling van Vieta toepassen.

Plan een kwadratische vergelijking voor factoren

Stel het probleem: ontbind een kwadratische vergelijking. Om het uit te voeren, lossen we eerst de vergelijking op (zoek de wortels). Vervolgens vervangen we de gevonden wortels in de formule voor de uitbreiding van de kwadratische vergelijking.Dit zal het probleem oplossen.

Kwadratische vergelijkingsproblemen

Doelstelling 1. Vind de wortels van een kwadratische vergelijking

x^ 2-26x + 120 = 0.

Oplossing: we schrijven de coëfficiënten op en vervangen ze in de discriminantformule

Wortel van gegeven waarde gelijk is aan 14, het is gemakkelijk te vinden met een rekenmachine, of te onthouden bij veelvuldig gebruik, maar voor het gemak zal ik u aan het einde van het artikel een lijst geven met vierkanten van getallen die vaak in dergelijke taken te vinden zijn.
We vervangen de gevonden waarde in de basisformule

en we krijgen

Doelstelling 2. Los De vergelijking op

2x 2 + x-3 = 0.

Oplossing: We hebben een volledige kwadratische vergelijking, schrijven de coëfficiënten uit en vinden de discriminant


Door bekende formules vind de wortels van de kwadratische vergelijking

Doelstelling 3. Los De vergelijking op

9x 2 -12x + 4 = 0.

Oplossing: we hebben een volledige kwadratische vergelijking. Bepaal de discriminant

We hebben een geval waarin de wortels hetzelfde zijn. We vinden de waarden van de wortels door de formule

Taak 4. Los De vergelijking op

x ^ 2 + x-6 = 0.

Oplossing: In gevallen waar er kleine coëfficiënten zijn bij x, is het raadzaam om de stelling van Vieta toe te passen. Door zijn voorwaarde verkrijgen we twee vergelijkingen

Uit de tweede voorwaarde halen we dat het product gelijk moet zijn aan -6. Dit betekent dat een van de wortels negatief is. We hebben het volgende mogelijke paar oplossingen (-3; 2), (3; -2). Rekening houdend met de eerste voorwaarde, verwerpen we het tweede paar oplossingen.
De wortels van de vergelijking zijn gelijk

Opgave 5. Bereken de lengte van de zijden van een rechthoek als de omtrek 18 cm is en de oppervlakte 77 cm 2.

Oplossing: De helft van de omtrek van de rechthoek is de som van de aangrenzende zijden. Laten we x aanduiden - de grote kant, dan is 18-x de kleinere kant. De oppervlakte van de rechthoek is gelijk aan het product van deze lengtes:
x (18-x) = 77;
of
x 2 -18x + 77 = 0.
Vind de discriminant van de vergelijking

Bereken de wortels van de vergelijking

Als x = 11, dan 18en = 7, integendeel, het is ook waar (als x = 7, dan 21-x = 9).

Opgave 6. Factor de 10x 2 -11x + 3 = 0 kwadratenvergelijkingen.

Oplossing: We berekenen de wortels van de vergelijking, hiervoor vinden we de discriminant

Vervang de gevonden waarde in de hoofdformule en bereken

We passen de formule toe voor de uitbreiding van een kwadratische vergelijking in wortels

Door de haakjes uit te vouwen, krijgen we een identiteit.

Kwadratische vergelijking met parameter

Voorbeeld 1. Voor welke waarden van de parameter een , heeft de vergelijking (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 één wortel?

Oplossing: Door directe vervanging van de waarde a = 3 zien we dat er geen oplossing is. Vervolgens zullen we het feit gebruiken dat voor nuldiscriminant de vergelijking één multipliciteitswortel heeft. Laten we de discriminant opschrijven

vereenvoudig het en stel het gelijk aan nul

Kreeg een kwadratische vergelijking voor de parameter a, waarvan de oplossing gemakkelijk te verkrijgen is door de stelling van Vieta. De som van de wortels is 7 en hun product is 12. Door eenvoudige optelling stellen we vast dat de getallen 3,4 de wortels van de vergelijking zullen zijn. Aangezien we de oplossing a = 3 aan het begin van de berekeningen al hebben verworpen, is de enige juiste - een = 4. Dus voor a = 4 heeft de vergelijking één wortel.

Voorbeeld 2. Voor welke waarden van de parameter een , de vergelijking a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 heeft meer dan één wortel?

Oplossing: Beschouw eerst de singuliere punten, dit zijn de waarden a = 0 en a = -3. Wanneer a = 0, wordt de vergelijking vereenvoudigd tot de vorm 6x-9 = 0; x = 3/2 en er zal één wortel zijn. Voor a = -3 krijgen we de identiteit 0 = 0.
We berekenen de discriminant

en vind de waarden van a waarbij het positief is

Uit de eerste voorwaarde krijgen we a> 3. Voor de tweede vinden we de discriminant en de wortels van de vergelijking


Laten we de intervallen definiëren waar de functie duurt positieve waarden... Als we het punt a = 0 substitueren, krijgen we 3>0 . Dus buiten het interval (-3; 1/3) is de functie negatief. Vergeet het punt niet een = 0, die moet worden uitgesloten, omdat de oorspronkelijke vergelijking erin één wortel heeft.
Als resultaat krijgen we twee intervallen die voldoen aan de voorwaarde van het probleem

In de praktijk zullen er veel vergelijkbare taken zijn, probeer zelf de taken te achterhalen en vergeet niet rekening te houden met de voorwaarden die elkaar uitsluiten. Leer de formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen goed, ze zijn vaak nodig bij berekeningen in verschillende problemen en wetenschappen.

Met dit wiskundeprogramma kun je: kwadratische vergelijking oplossen.

Het programma geeft niet alleen een antwoord op het probleem, maar geeft ook het oplossingsproces op twee manieren weer:
- gebruik van de discriminant
- gebruik maken van de stelling van Vieta (indien mogelijk).

Bovendien wordt het antwoord nauwkeurig weergegeven, niet bij benadering.
Voor de vergelijking \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) wordt het antwoord bijvoorbeeld in deze vorm weergegeven:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ en niet zo: \ (x_1 = 0.247; \ viertal x_2 = -0,05 \)

Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren ter voorbereiding op: controle werkt en examens, bij het controleren van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk doen huiswerk in wiskunde of algebra? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Op deze manier kunt u uw eigen onderwijs geven en/of het onderwijs van uw jongere broers en zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van de op te lossen problemen stijgt.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van een vierkante polynoom, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van een vierkante veelterm

Elke Latijnse letter kan als variabele worden gebruikt.
Bijvoorbeeld: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) enz.

Getallen kunnen worden ingevoerd als gehele of fractionele getallen.
Bovendien kunnen fractionele getallen niet alleen in de vorm van een decimaal worden ingevoerd, maar ook in de vorm van een gewone breuk.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
decimale breuken fractie kan van het geheel worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld invoeren decimalen dus: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan worden gebruikt als de teller, de noemer en het hele deel van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
Hele deel gescheiden van de breuk door een ampersand: &
Invoer: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultaat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Bij het invoeren van een uitdrukking beugels kunnen worden gebruikt... In dit geval wordt bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de geïntroduceerde uitdrukking vereenvoudigd.
Bijvoorbeeld: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Beslissen

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Misschien heb je AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

JavaScript is uitgeschakeld in uw browser.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht alsjeblieft zie ...

als jij merkte een fout op in de beslissing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt en wat? vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Kwadratische vergelijking en zijn wortels. Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Elk van de vergelijkingen
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
heeft de vorm
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
waarbij x een variabele is, a, b en c getallen zijn.
In de eerste vergelijking a = -1, b = 6 en c = 1,4, in de tweede a = 8, b = -7 en c = 0, in de derde a = 1, b = 0 en c = 4/9. Dergelijke vergelijkingen worden genoemd kwadratische vergelijkingen.

Definitie.
Kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen zijn, en \ (a \ neq 0 \).

De getallen a, b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. Het getal a wordt de eerste coëfficiënt genoemd, het getal b - de tweede coëfficiënt en het getal c - de vrije term.

In elk van de vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij \ (a \ neq 0 \), is de grootste macht van de variabele x het kwadraat. Vandaar de naam: kwadratische vergelijking.

Merk op dat een kwadratische vergelijking ook een vergelijking van de tweede graad wordt genoemd, omdat de linkerkant ervan een polynoom van de tweede graad is.

Een kwadratische vergelijking waarin de coëfficiënt bij x 2 gelijk is aan 1 heet gereduceerde kwadratische vergelijking... De gereduceerde kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld de vergelijkingen
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Als in de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 tenminste één van de coëfficiënten b of c gelijk is aan nul, dan heet zo'n vergelijking onvolledige kwadratische vergelijking... Dus de vergelijkingen -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen. In de eerste b = 0, in de tweede c = 0, in de derde b = 0 en c = 0.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van drie soorten:
1) ax 2 + c = 0, waarbij \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, waarbij \ (b \ neq 0 \);
3) bijl 2 = 0.

Laten we eens kijken naar de oplossing van vergelijkingen van elk van deze typen.

Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 voor \ (c \ neq 0 \) op te lossen, verplaatst u de vrije term naar de rechterkant en deelt u beide zijden van de vergelijking door a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Pijl naar rechts x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Aangezien \ (c \ neq 0 \), dan \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Als \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), dan heeft de vergelijking twee wortels.

Als \ (- \ frac (c) (a) Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 op te lossen met \ (b \ neq 0 \) ontbind je de linkerkant in factoren en verkrijg je de vergelijking
\ (x (ax + b) = 0 \ Pijl-rechts \ links \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ rechts. \ Pijl-rechts \ links \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ rechts. \)

Dit betekent dat een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 voor \ (b \ neq 0 \) altijd twee wortels heeft.

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 = 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 = 0 en heeft daarom een ​​unieke wortel 0.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu eens kijken hoe kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin zowel de coëfficiënten van de onbekenden als de vrije term niet nul zijn.

Los de kwadratische vergelijking op in algemeen beeld en als resultaat krijgen we de formule voor de wortels. Dan kan deze formule worden toegepast om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 . op

Door beide delen te delen door a, verkrijgen we de equivalente gereduceerde kwadratische vergelijking
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

We transformeren deze vergelijking door het kwadraat van de binomiaal te selecteren:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Pijl naar rechts \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ links (\ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ links (\ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (\ links (x + \ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Pijl naar rechts \ links (x + \ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Pijl naar rechts x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

De radicale uitdrukking heet de discriminant van de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 ("discriminant" in het Latijn - discriminator). Het wordt aangeduid met de letter D, d.w.z.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, met behulp van de notatie van de discriminant, herschrijven we de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), waarbij \ (D = b ^ 2-4ac \)

Het is duidelijk dat:
1) Als D> 0, dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels.
2) Als D = 0, dan heeft de kwadratische vergelijking één wortel \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Als D Dus, afhankelijk van de waarde van de discriminant, kan de kwadratische vergelijking twee wortels hebben (voor D> 0), één wortel (voor D = 0) of geen wortels hebben (voor D Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van deze formule, is het raadzaam om als volgt te werk te gaan:
1) bereken de discriminant en vergelijk deze met nul;
2) als de discriminant positief of gelijk aan nul is, gebruik dan de wortelformule, als de discriminant negatief is, noteer dan dat er geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

De gegeven kwadratische vergelijking ax 2 -7x + 10 = 0 heeft wortels 2 en 5. De som van de wortels is 7 en het product is 10. We zien dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term. Elke gegeven kwadratische vergelijking met wortels bezit deze eigenschap.

De som van de wortels van de gegeven kwadratische vergelijking is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term.

Die. De stelling van Vieta stelt dat de wortels x 1 en x 2 van de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 + px + q = 0 de eigenschap hebben:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

V moderne samenleving de mogelijkheid om acties uit te voeren met vergelijkingen die een gekwadrateerde variabele bevatten, kan nuttig zijn op veel werkterreinen en wordt in de praktijk veel gebruikt bij wetenschappelijke en technische ontwikkeling. Dit wordt bewezen door het ontwerp van mariene en rivierschepen, vliegtuigen en raketten. Met behulp van dergelijke berekeningen worden de bewegingsbanen van een grote verscheidenheid aan lichamen, inclusief ruimtevoorwerpen, bepaald. Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden niet alleen gebruikt in economische prognoses, bij het ontwerp en de constructie van gebouwen, maar ook in de meest gewone alledaagse omstandigheden. Ze kunnen nodig zijn in wandeltochten, bij sportevenementen, in winkels tijdens het winkelen en in andere veel voorkomende situaties.

Laten we de uitdrukking opsplitsen in zijn samenstellende factoren

De graad van een vergelijking wordt bepaald door de maximale waarde van de graad van de variabele die de gegeven uitdrukking bevat. Als het gelijk is aan 2, dan wordt zo'n vergelijking kwadraat genoemd.

Als we de taal van formules gebruiken, dan kunnen deze uitdrukkingen, hoe ze er ook uitzien, altijd herleid worden tot de vorm wanneer de linkerkant van de uitdrukking uit drie termen bestaat. Onder hen: ax 2 (dat wil zeggen een variabele in het kwadraat met zijn coëfficiënt), bx (een onbekende zonder kwadraat met zijn coëfficiënt) en c (een vrije component, dat wil zeggen een gewoon getal). Dit alles aan de rechterkant is gelijk aan 0. In het geval dat een soortgelijke polynoom een ​​van zijn samenstellende termen mist, met uitzondering van ax 2, wordt dit een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd. Voorbeelden met de oplossing van dergelijke problemen, waarvan de waarde van variabelen gemakkelijk te vinden is, moeten eerst worden overwogen.

Als de uitdrukking er zo uitziet dat er twee termen aan de rechterkant van de uitdrukking staan, meer bepaald ax 2 en bx, is het het gemakkelijkst om x te vinden door de variabele buiten de haakjes te plaatsen. Nu ziet onze vergelijking er als volgt uit: x (ax + b). Verder wordt het duidelijk dat ofwel x = 0, ofwel het probleem wordt gereduceerd tot het vinden van een variabele uit de volgende uitdrukking: ax + b = 0. Dit wordt bepaald door een van de eigenschappen van vermenigvuldiging. De regel is dat het product van twee factoren alleen in 0 resulteert als een van hen gelijk is aan nul.

Voorbeeld

x = 0 of 8x - 3 = 0

Als resultaat krijgen we twee wortels van de vergelijking: 0 en 0,375.

Dergelijke vergelijkingen kunnen de beweging beschrijven van lichamen onder invloed van de zwaartekracht, die begonnen te bewegen vanaf een bepaald punt dat als oorsprong wordt beschouwd. Hier heeft de wiskundige notatie de volgende vorm: y = v 0 t + gt 2/2. Door de benodigde waarden in te vullen, de rechterkant gelijk te stellen aan 0 en mogelijke onbekenden te vinden, kunt u de tijd achterhalen die verstrijkt vanaf het moment dat het lichaam opkomt tot het moment dat het valt, evenals vele andere grootheden. Maar we zullen hier later over praten.

Factoring van een uitdrukking

De hierboven beschreven regel maakt het mogelijk om de aangegeven taken in meer moeilijke gevallen... Laten we eens kijken naar voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen van dit type.

X 2 - 33x + 200 = 0

Deze vierkante trinominaal is voltooid. Laten we eerst de uitdrukking transformeren en factoriseren. Er zijn er twee: (x-8) en (x-25) = 0. Als resultaat hebben we twee wortels 8 en 25.

Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen in rang 9 stellen deze methode in staat om een ​​variabele te vinden in uitdrukkingen, niet alleen van de tweede, maar zelfs van de derde en vierde orde.

Bijvoorbeeld: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Als je de rechterkant ontbindt in factoren met een variabele, zijn er drie, namelijk (x + 1), (x-3) en (x + 3).

Als resultaat wordt het duidelijk dat deze vergelijking drie wortels heeft: -3; -een; 3.

Extractie van de vierkantswortel

Een ander geval van een onvolledige tweede-ordevergelijking is een uitdrukking die in de lettertaal zo is weergegeven dat de rechterkant is opgebouwd uit de componenten ax 2 en c. Hier, om de waarde van de variabele te verkrijgen, wordt de vrije term naar de rechterkant overgebracht en vervolgens wordt de vierkantswortel aan beide zijden van de gelijkheid geëxtraheerd. Opgemerkt moet worden dat er in dit geval meestal twee wortels van de vergelijking zijn. De enige uitzonderingen zijn gelijkheden die de term c helemaal niet bevatten, waarbij de variabele gelijk is aan nul, evenals varianten van uitdrukkingen wanneer de rechterkant negatief blijkt te zijn. In het laatste geval zijn er helemaal geen oplossingen, omdat bovenstaande acties niet met wortels kunnen worden uitgevoerd. Voorbeelden van oplossingen voor kwadratische vergelijkingen van dit type moeten worden overwogen.

In dit geval zijn de wortels van de vergelijking de getallen -4 en 4.

Berekening van de oppervlakte van het perceel

De behoefte aan dit soort berekeningen verscheen in de oudheid, omdat de ontwikkeling van de wiskunde in veel opzichten in die verre tijden het gevolg was van de noodzaak om met de grootste nauwkeurigheid de oppervlakten en omtrekken van landpercelen te bepalen.

Voorbeelden met de oplossing van kwadratische vergelijkingen, samengesteld op basis van dit soort problemen, moeten door ons worden overwogen.

Dus, laten we zeggen dat er een rechthoekig stuk land is, waarvan de lengte 16 meter langer is dan de breedte. Vind de lengte, breedte en omtrek van de site als bekend is dat de oppervlakte 612 m2 is.

Om aan de slag te gaan, laten we eerst de nodige vergelijking opstellen. Laten we de breedte van de sectie met x aangeven, dan is de lengte (x + 16). Uit hetgeen is geschreven volgt dat de oppervlakte wordt bepaald door de uitdrukking x (x + 16), die, volgens de conditie van ons probleem, 612 is. Dit betekent dat x (x + 16) = 612.

De oplossing van complete kwadratische vergelijkingen, en deze uitdrukking is precies dat, kan niet op dezelfde manier worden gedaan. Waarom? Hoewel de linkerkant ervan nog steeds twee factoren bevat, is het product helemaal niet gelijk aan 0, dus hier zijn andere methoden van toepassing.

discriminerend

Allereerst maken we de nodige transformaties, dan verschijning van deze uitdrukking ziet er als volgt uit: x 2 + 16x - 612 = 0. Dit betekent dat we een uitdrukking hebben gekregen in de vorm die overeenkomt met de eerder gespecificeerde standaard, waarbij a = 1, b = 16, c = -612.

Dit kan een voorbeeld zijn van het oplossen van kwadratische vergelijkingen via de discriminant. Hier noodzakelijke berekeningen geproduceerd volgens het schema: D = b 2 - 4ac. Deze hulpgrootheid maakt het niet alleen mogelijk om de benodigde grootheden in de tweede-ordevergelijking te vinden, het bepaalt ook de grootheid mogelijke opties... Als D> 0 zijn er twee; voor D = 0 is er één wortel. Als D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Over wortels en hun formule

In ons geval is de discriminant: 256 - 4 (-612) = 2704. Dit geeft aan dat ons probleem een ​​antwoord heeft. Als je k weet, moet de oplossing van kwadratische vergelijkingen worden voortgezet met de onderstaande formule. Hiermee kunt u de wortels berekenen.

Dit betekent dat in het gepresenteerde geval: x 1 = 18, x 2 = -34. De tweede optie in dit dilemma kan geen oplossing zijn, omdat de afmetingen van het perceel niet in negatieve waarden kunnen worden gemeten, wat betekent dat x (dat wil zeggen de breedte van het perceel) 18 m is. Vanaf hier berekenen we de lengte: 18 + 16 = 34, en de omtrek 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Voorbeelden en taken

We blijven kwadratische vergelijkingen bestuderen. Voorbeelden en een gedetailleerde oplossing voor een aantal daarvan zullen hieronder worden gegeven.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

We brengen alles over naar de linkerkant van de gelijkheid, maken een transformatie, dat wil zeggen, we krijgen de vorm van de vergelijking, die meestal standaard wordt genoemd, en stellen deze gelijk aan nul.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Door soortgelijke toe te voegen, definiëren we de discriminant: D = 49 - 48 = 1. Dit betekent dat onze vergelijking twee wortels zal hebben. Laten we ze berekenen volgens de bovenstaande formule, wat betekent dat de eerste gelijk is aan 4/3 en de tweede 1.

2) Nu zullen we de raadsels van een ander soort onthullen.

Laten we eens kijken of er hier wortels zijn x 2 - 4x + 5 = 1? Laten we, om een ​​uitputtend antwoord te krijgen, de polynoom in de juiste bekende vorm brengen en de discriminant berekenen. In dit voorbeeld is de oplossing van de kwadratische vergelijking niet nodig, omdat de essentie van het probleem hier helemaal niet in zit. In dit geval is D = 16 - 20 = -4, wat betekent dat er echt geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

Het is handig om kwadratische vergelijkingen op te lossen met behulp van de bovenstaande formules en de discriminant, wanneer de vierkantswortel wordt geëxtraheerd uit de waarde van de laatste. Maar dit is niet altijd het geval. Er zijn echter veel manieren om in dit geval de waarden van variabelen te krijgen. Voorbeeld: kwadratische vergelijkingen oplossen met de stelling van Vieta. Ze is vernoemd naar een man die in het 16e-eeuwse Frankrijk leefde en een schitterende carrière maakte dankzij zijn wiskundig talent en connecties aan het hof. Zijn portret is te zien in het artikel.

Het patroon dat door de beroemde Fransman werd opgemerkt, was als volgt. Hij bewees dat de wortels van de vergelijking in de som numeriek gelijk zijn aan -p = b / a, en dat hun product overeenkomt met q = c / a.

Laten we nu eens kijken naar specifieke taken.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Laten we voor de eenvoud de uitdrukking transformeren:

x 2 + 7x - 18 = 0

We zullen de stelling van Vieta gebruiken, dit geeft ons het volgende: de som van de wortels is -7 en hun product is -18. Hieruit halen we dat de wortels van de vergelijking de getallen -9 en 2 zijn. Na een controle te hebben uitgevoerd, zullen we ervoor zorgen dat deze waarden van de variabelen echt in de uitdrukking passen.

Paraboolgrafiek en vergelijking

De concepten van een kwadratische functie en kwadratische vergelijkingen zijn nauw verwant. Voorbeelden hiervan zijn al eerder gegeven. Laten we nu wat meer in detail kijken naar enkele wiskundige raadsels. Elke vergelijking van het beschreven type kan worden gevisualiseerd. Zo'n relatie, getekend in de vorm van een grafiek, wordt een parabool genoemd. De verschillende typen zijn weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Elke parabool heeft een hoekpunt, dat wil zeggen een punt van waaruit de takken tevoorschijn komen. Als a> 0, gaan ze hoog naar oneindig, en wanneer a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuele representaties van functies helpen bij het oplossen van alle vergelijkingen, ook kwadratische. Deze methode wordt grafisch genoemd. En de waarde van de variabele x is de abscis-coördinaat op de punten waar de grafieklijn 0x snijdt. De coördinaten van het hoekpunt zijn te vinden met de zojuist gegeven formule x 0 = -b / 2a. En als je de resulterende waarde in de oorspronkelijke vergelijking van de functie vervangt, kun je y 0 vinden, dat wil zeggen de tweede coördinaat van het hoekpunt van de parabool, behorend tot de ordinaat-as.

Het snijpunt van de takken van de parabool met de as van de abscis

Er zijn veel voorbeelden met het oplossen van kwadratische vergelijkingen, maar er zijn ook algemene patronen. Laten we ze eens bekijken. Het is duidelijk dat het snijpunt van de grafiek met de 0x-as voor a> 0 alleen mogelijk is als y 0 negatieve waarden heeft. en voor een<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Anders, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

De wortels kunnen ook worden bepaald uit de paraboolgrafiek. Het omgekeerde is ook waar. Dat wil zeggen, als het niet gemakkelijk is om een ​​visueel beeld van een kwadratische functie te krijgen, kun je de rechterkant van de uitdrukking gelijkstellen aan 0 en de resulterende vergelijking oplossen. En als je de snijpunten met de 0x-as kent, is het gemakkelijker om een ​​grafiek te maken.

uit de geschiedenis

Met behulp van vergelijkingen met een variabele in het kwadraat maakten ze vroeger niet alleen wiskundige berekeningen en bepaalden ze de oppervlakte van geometrische vormen. De Ouden hadden zulke berekeningen nodig voor grootse ontdekkingen op het gebied van natuurkunde en astronomie, maar ook voor het maken van astrologische voorspellingen.

Zoals moderne wetenschappers aannemen, behoorden de inwoners van Babylon tot de eersten die kwadratische vergelijkingen oplosten. Het gebeurde vier eeuwen voor onze jaartelling. Natuurlijk waren hun berekeningen fundamenteel anders dan die welke momenteel worden geaccepteerd en bleken ze veel primitiever te zijn. De Mesopotamische wiskundigen hadden bijvoorbeeld geen idee van het bestaan ​​van negatieve getallen. Ze waren ook niet bekend met andere subtiliteiten van die welke elk schoolkind van onze tijd kent.

Misschien zelfs eerder dan de wetenschappers van Babylon, nam de wijze uit India Baudhayama de oplossing van kwadratische vergelijkingen ter hand. Het gebeurde ongeveer acht eeuwen voor de komst van het tijdperk van Christus. Toegegeven, de vergelijkingen van de tweede orde, de oplossingsmethoden die hij gaf, waren de eenvoudigste. Naast hem waren vroeger ook Chinese wiskundigen geïnteresseerd in soortgelijke vragen. In Europa begonnen kwadratische vergelijkingen pas aan het begin van de 13e eeuw op te lossen, maar later werden ze in hun werk gebruikt door grote wetenschappers als Newton, Descartes en vele anderen.