Voorbeelden van factorisatie. Veeltermen ontbinden in factoren

13.10.2019

Bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden is het vaak nodig om een polynoom waarvan de graad drie of hoger is in factoren te ontbinden. In dit artikel zullen we kijken naar de eenvoudigste manier om dit te doen.

Laten we, zoals gewoonlijk, de theorie raadplegen voor hulp.

De stelling van Bezout stelt dat de rest bij het delen van een polynoom door een binomiaal gelijk is aan .

Maar wat voor ons belangrijk is, is niet de stelling zelf, maar daaruit voortvloeiende:

Als het getal de wortel is van een polynoom, dan is de polynoom zonder rest deelbaar door de binomiaal.

We worden geconfronteerd met de taak om op de een of andere manier ten minste één wortel van de polynoom te vinden en deze vervolgens te delen door , waar de wortel van de polynoom ligt. Als resultaat verkrijgen we een polynoom waarvan de graad één minder is dan de graad van de oorspronkelijke. En dan kunt u, indien nodig, het proces herhalen.

Deze taak valt uiteen in twee: hoe je de wortel van een polynoom kunt vinden, en hoe je een polynoom kunt delen door een binomiaal.

Laten we deze punten eens nader bekijken.

1. Hoe je de wortel van een polynoom kunt vinden.

Eerst controleren we of de getallen 1 en -1 wortels zijn van de polynoom.

De volgende feiten zullen ons hierbij helpen:

Als de som van alle coëfficiënten van een polynoom nul is, dan is het getal de wortel van de polynoom.

In een polynoom is de som van de coëfficiënten bijvoorbeeld nul: . Het is gemakkelijk om te controleren wat de wortel van een polynoom is.

Als de som van de coëfficiënten van een polynoom bij even machten gelijk is aan de som van de coëfficiënten bij oneven machten, dan is het getal de wortel van de polynoom. De vrije term wordt beschouwd als een coëfficiënt voor een even graad, aangezien a een even getal is.

In een polynoom is de som van de coëfficiënten voor even machten bijvoorbeeld: , en de som van de coëfficiënten voor oneven machten is: . Het is gemakkelijk om te controleren wat de wortel van een polynoom is.

Als noch 1, noch -1 wortels van de polynoom zijn, gaan we verder.

Voor een gereduceerde polynoom van graad (dat wil zeggen een polynoom waarin de leidende coëfficiënt - de coëfficiënt at - gelijk is aan eenheid), is de Vieta-formule geldig:

Waar zijn de wortels van de polynoom.

Er zijn ook Vieta-formules die betrekking hebben op de overige coëfficiënten van de polynoom, maar wij zijn hierin geïnteresseerd.

Uit deze Vieta-formule volgt dat als de wortels van een polynoom gehele getallen zijn, dan zijn ze delers van de vrije term ervan, die ook een geheel getal is.

Op basis hiervan, we moeten de vrije term van de polynoom in factoren ontbinden, en achtereenvolgens, van klein naar groot, controleren welke van de factoren de wortel van de polynoom is.

Neem bijvoorbeeld de polynoom

Delers van de vrije term: ; ; ;

De som van alle coëfficiënten van een polynoom is gelijk aan , daarom is het getal 1 niet de wortel van de polynoom.

Som van coëfficiënten voor even machten:

Som van coëfficiënten voor oneven machten:

Daarom is het getal -1 ook geen wortel van de polynoom.

Laten we eens kijken of het getal 2 de wortel is van het polynoom: daarom is het getal 2 de wortel van het polynoom. Dit betekent, volgens de stelling van Bezout, dat de polynoom deelbaar is door een binomiaal zonder rest.

2. Hoe een polynoom in een binomiaal te verdelen.

Een polynoom kan door een kolom in een binomiaal worden verdeeld.

Verdeel de polynoom door een binomiaal met behulp van een kolom:

Er is een andere manier om een polynoom te delen door een binomiaal: het schema van Horner.

Bekijk deze video om het te begrijpen hoe je een polynoom deelt door een binomiaal met een kolom, en het diagram van Horner gebruikt.

Ik merk op dat als bij het delen door een kolom een bepaalde mate van het onbekende ontbreekt in de oorspronkelijke polynoom, we 0 op zijn plaats schrijven - op dezelfde manier als bij het samenstellen van een tabel voor het schema van Horner.

Dus als we een polynoom moeten delen door een binomiaal en als resultaat van de deling krijgen we een polynoom, dan kunnen we de coëfficiënten van de polynoom vinden met behulp van het schema van Horner:

Wij kunnen ook gebruiken Horner-schema om te controleren of een bepaald getal de wortel is van een polynoom: als het getal de wortel is van een polynoom, dan is de rest bij het delen van de polynoom door gelijk aan nul, dat wil zeggen in de laatste kolom van de tweede rij van Horner's diagram krijgen we 0.

Met behulp van het schema van Horner slaan we ‘twee vliegen in één klap’: we gaan tegelijkertijd na of het getal de wortel is van een polynoom en delen deze polynoom door een binomiaal.

Voorbeeld. Los De vergelijking op:

1. Laten we de delers van de vrije term opschrijven en de wortels van de polynoom zoeken onder de delers van de vrije term.

Delers van 24:

2. Laten we controleren of het getal 1 de wortel is van de polynoom.

De som van de coëfficiënten van een polynoom, dus het getal 1 is de wortel van de polynoom.

3. Verdeel de oorspronkelijke polynoom in een binomiaal volgens het schema van Horner.

A) Laten we de coëfficiënten van de oorspronkelijke polynoom in de eerste rij van de tabel opschrijven.

Omdat de bevattende term ontbreekt, schrijven we in de kolom van de tabel waarin de coëfficiënt moet worden geschreven 0. Aan de linkerkant schrijven we de gevonden wortel: het getal 1.

B) Vul de eerste rij van de tabel in.

In de laatste kolom kregen we, zoals verwacht, nul; we deelden de oorspronkelijke polynoom door een binomiaal zonder rest. De coëfficiënten van de polynoom die het resultaat zijn van deling, worden in blauw weergegeven in de tweede rij van de tabel:

Het is gemakkelijk om te controleren of de getallen 1 en -1 geen wortels van de polynoom zijn

B) Laten we doorgaan met de tabel. Laten we eens kijken of het getal 2 de wortel is van de polynoom:

Dus de graad van de polynoom, die wordt verkregen als resultaat van deling door één, is kleiner dan de graad van de oorspronkelijke polynoom, daarom zijn het aantal coëfficiënten en het aantal kolommen één minder.

In de laatste kolom kregen we -40 - een getal dat niet gelijk is aan nul, daarom is het polynoom deelbaar door een binomiaal met een rest, en het getal 2 is niet de wortel van het polynoom.

C) Laten we eens kijken of het getal -2 de wortel is van de polynoom. Omdat de vorige poging mislukte, zal ik, om verwarring met de coëfficiënten te voorkomen, de regel wissen die overeenkomt met deze poging:

Geweldig! We kregen nul als rest, daarom werd de polynoom verdeeld in een binomiaal zonder rest, daarom is het getal -2 de wortel van de polynoom. De coëfficiënten van de polynoom die worden verkregen door een polynoom te delen door een binomiaal, worden in de tabel in het groen weergegeven.

Als resultaat van deling krijgen we een kwadratische trinominaal , waarvan de wortels gemakkelijk kunnen worden gevonden met behulp van de stelling van Vieta:

De wortels van de oorspronkelijke vergelijking zijn dus:

{}

Antwoord: ( }

Gezien de vermenigvuldiging van polynomen hebben we verschillende formules onthouden, namelijk: formules voor (a + b)², voor (a – b)², voor (a + b) (a – b), voor (a + b)³ en voor (a – b)³.

Als een gegeven polynoom blijkt samen te vallen met een van deze formules, dan is het mogelijk om deze te ontbinden in factoren. We weten bijvoorbeeld dat de polynoom a² – 2ab + b² gelijk is aan (a – b)² [of (a – b) · (a – b), d.w.z. we zijn erin geslaagd a² – 2ab + b² in 2 factoren te ontbinden ]; Ook

Laten we naar het tweede van deze voorbeelden kijken. We zien dat de hier gegeven polynoom overeenkomt met de formule die wordt verkregen door het kwadraat van het verschil van twee getallen (het kwadraat van het eerste getal, minus het product van twee door het eerste getal en het tweede, plus het kwadraat van het tweede getal): x 6 is het kwadraat van het eerste getal, en daarom is het eerste getal zelf x 3, het kwadraat van het tweede getal is de laatste term van de gegeven polynoom, d.w.z. 1, het tweede getal zelf is daarom ook 1; het product van twee door het eerste getal en het tweede is de term –2x 3, omdat 2x 3 = 2 x 3 1. Daarom werd onze polynoom verkregen door het verschil tussen de getallen x 3 en 1 te kwadrateren, d.w.z. het is gelijk aan (x 3 – 12 . Laten we nog een vierde voorbeeld bekijken. We zien dat dit polynoom a 2 b 2 – 25 kan worden beschouwd als het verschil tussen de kwadraten van twee getallen, namelijk het kwadraat van het eerste getal is a 2 b 2, daarom is het eerste getal zelf ab, het kwadraat van het het tweede getal is 25, waarom is het tweede getal zelf 5. Daarom kan onze polynoom worden beschouwd als verkregen door de som van twee getallen te vermenigvuldigen met hun verschil, d.w.z.

(ab + 5) (ab – 5).

Soms komt het voor dat in een gegeven polynoom de termen bijvoorbeeld niet in de volgorde zijn gerangschikt die we gewend zijn.

9a 2 + b 2 + 6ab – mentaal kunnen we de tweede en derde term herschikken, en dan zal het ons duidelijk worden dat onze trinominaal = (3a + b) 2.

... (we herschikken mentaal de eerste en tweede term).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, enz.

Laten we een andere polynoom bekijken

a 2 + 2ab + 4b 2 .

We zien dat de eerste term het kwadraat is van het getal a en de derde term het kwadraat is van het getal 2b, maar de tweede term is niet het product van twee door het eerste getal en het tweede - zo'n product zou gelijk zijn aan 2 een 2b = 4ab. Daarom is het onmogelijk om de formule voor het kwadraat van de som van twee getallen op dit polynoom toe te passen. Als iemand zou schrijven dat a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, dan zou dit onjuist zijn - je moet alle termen van de polynoom zorgvuldig overwegen voordat je er factorisatie op toepast met behulp van formules.

40. Een combinatie van beide technieken. Soms moet je bij het ontbinden van polynomen zowel de techniek van het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor als de techniek van het gebruik van formules combineren. Hier zijn voorbeelden:

1. 2a 3 – 2ab 2. Laten we eerst de gemeenschappelijke factor 2a tussen haakjes zetten, en we krijgen 2a (a 2 – b 2). De factor a 2 – b 2 wordt op zijn beurt volgens de formule ontleed in de factoren (a + b) en (a – b).

Soms moet je de formule-ontledingstechniek meerdere keren gebruiken:

1. een 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

We zien dat de eerste factor a 2 + b 2 in geen van de bekende formules past; Bovendien zullen we, door speciale gevallen van deling (item 37) in herinnering te roepen, vaststellen dat a 2 + b 2 (de som van de kwadraten van twee getallen) helemaal niet in factoren kan worden ontbonden. De tweede van de resulterende factoren a 2 – b 2 (het verschil in het kwadraat van twee getallen) wordt ontleed in de factoren (a + b) en (a – b). Dus,

41. Sollicitatie speciale gelegenheden divisies. Op basis van paragraaf 37 kunnen we meteen schrijven dat bijvoorbeeld

De concepten 'polynoom' en 'ontbinding van een polynoom' komen in de algebra heel vaak voor, omdat je ze moet kennen om gemakkelijk berekeningen met grote meercijferige getallen uit te kunnen voeren. Dit artikel beschrijft verschillende ontledingsmethoden. Ze zijn allemaal vrij eenvoudig te gebruiken; je hoeft alleen maar de juiste te kiezen voor elk specifiek geval.

Het concept van een polynoom

Een polynoom is een som van monomialen, dat wil zeggen uitdrukkingen die alleen de bewerking van vermenigvuldiging bevatten.

2 * x * y is bijvoorbeeld een monomiaal, maar 2 * x * y + 25 is een polynoom dat uit 2 monomialen bestaat: 2 * x * y en 25. Dergelijke polynomen worden binomials genoemd.

Soms moet een uitdrukking, voor het gemak van het oplossen van voorbeelden met waarden met meerdere waarden, worden getransformeerd, bijvoorbeeld ontleed in een bepaald aantal factoren, dat wil zeggen getallen of uitdrukkingen waartussen de vermenigvuldigingsactie wordt uitgevoerd. Er zijn een aantal manieren om een polynoom in factoren te ontbinden. Het is de moeite waard om ze te overwegen, te beginnen met de meest primitieve, die op de basisschool wordt gebruikt.

Groeperen (record in algemene vorm)

Formule voor het ontbinden van een polynoom met behulp van de groeperingsmethode algemeen beeld het lijkt hierop:

ac + bd + bc + advertentie = (ac + bc) + (advertentie + bd)

Het is noodzakelijk om de monomialen zo te groeperen dat elke groep een gemeenschappelijke factor heeft. In de eerste schijf is dit de factor c, en in de tweede schijf - d. Dit moet worden gedaan om het vervolgens uit de beugel te verplaatsen, waardoor de berekeningen worden vereenvoudigd.

Ontledingsalgoritme met behulp van een specifiek voorbeeld

Het eenvoudigste voorbeeld van het ontbinden van een polynoom met behulp van de groeperingsmethode wordt hieronder gegeven:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

In de eerste beugel moet je de termen met de factor a nemen, wat gebruikelijk zal zijn, en in de tweede - met de factor b. Let op de + en - tekens in de voltooide uitdrukking. We plaatsten voor de monomial het teken dat in de oorspronkelijke uitdrukking stond. Dat wil zeggen dat u niet met de uitdrukking 25a moet werken, maar met de uitdrukking -25. Het minteken lijkt te zijn “gelijmd” aan de uitdrukking erachter en er wordt altijd rekening mee gehouden bij het berekenen.

In de volgende stap moet u de vermenigvuldiger, wat gebruikelijk is, tussen haakjes zetten. Dit is precies waar de groepering voor is. Buiten de haakjes zetten betekent dat je vóór de haakjes schrijft (zonder het vermenigvuldigingsteken) al die factoren die precies worden herhaald in alle termen die tussen de haakjes staan. Als er niet 2, maar 3 of meer termen in een haakje staan, moet de gemeenschappelijke factor in elk van deze termen voorkomen, anders kan deze niet uit het haakje worden gehaald.

In ons geval staan er slechts 2 termen tussen haakjes. De totale vermenigvuldiger is onmiddellijk zichtbaar. In het eerste haakje is dat a, in het tweede haakje is dat b. Hier moet je letten op de digitale coëfficiënten. In het eerste haakje zijn beide coëfficiënten (10 en 25) een veelvoud van 5. Dit betekent dat niet alleen a, maar ook 5a uit het haakje gehaald kan worden. Schrijf vóór de haak 5a en deel vervolgens elk van de termen tussen haakjes door de gemeenschappelijke factor die is verwijderd, en schrijf ook het quotiënt tussen haakjes, en vergeet de tekens + en - niet. Doe hetzelfde met de tweede haak, neem uit 7b, evenals 14 en 35 veelvoud van 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

We hebben 2 termen: 5a(2c - 5) en 7b(2c - 5). Elk van hen bevat een gemeenschappelijke factor (de hele uitdrukking tussen haakjes is hier hetzelfde, wat betekent dat het een gemeenschappelijke factor is): 2c - 5. Het moet ook uit de haak worden gehaald, dat wil zeggen dat de termen 5a en 7b blijven bestaan in de tweede beugel:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

De volledige uitdrukking is dus:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Het polynoom 10ac + 14bc - 25a - 35b wordt dus opgesplitst in 2 factoren: (2c - 5) en (5a + 7b). Het vermenigvuldigingsteken ertussen kan bij het schrijven worden weggelaten

Soms zijn er uitdrukkingen van dit type: 5a 2 + 50a 3, hier kun je niet alleen a of 5a tussen haakjes zetten, maar zelfs 5a 2. Je moet altijd proberen de grootste gemene deler buiten beschouwing te laten. Als we in ons geval elke term delen door een gemeenschappelijke factor, krijgen we:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(bij het berekenen van het quotiënt van meerdere machten met gelijke basen wordt het grondtal behouden en wordt de exponent afgetrokken). De eenheid blijft dus in de haak (je mag in geen geval vergeten er een te schrijven als je een van de termen uit de haak haalt) en het delingsquotiënt: 10a. Het blijkt dat:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Vierkante formules

Voor het gemak van de berekening zijn er verschillende formules afgeleid. Dit worden verkorte vermenigvuldigingsformules genoemd en worden vrij vaak gebruikt. Deze formules helpen bij het ontbinden van polynomen die machten bevatten. Dit is er nog een effectieve manier factorisatie. Dus hier zijn ze:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - een formule die het "kwadraat van de som" wordt genoemd, aangezien als resultaat van de ontbinding in een vierkant de som van de getallen tussen haakjes wordt genomen, dat wil zeggen dat de waarde van deze som 2 keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, en daarom een vermenigvuldiger.
a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - de formule voor het kwadraat van het verschil, deze is vergelijkbaar met de vorige. Het resultaat is het verschil, tussen haakjes, vervat in de kwadratische macht.
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- dit is een formule voor het verschil in vierkanten, aangezien de polynoom aanvankelijk bestaat uit 2 vierkanten met getallen of uitdrukkingen, waartussen wordt afgetrokken. Misschien wordt het van de drie genoemde het meest gebruikt.

Voorbeelden van berekeningen met vierkante formules

De berekeningen voor hen zijn vrij eenvoudig. Bijvoorbeeld:

25x 2 + 20xy + 4j 2 - gebruik de formule “kwadraat van de som”.
25x 2 is het kwadraat van 5x. 20xy is het dubbele product van 2*(5x*2y), en 4y 2 is het kwadraat van 2y.
Dus 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Dit polynoom wordt opgesplitst in 2 factoren (de factoren zijn hetzelfde, dus wordt het geschreven als een uitdrukking met een kwadratische macht).

Acties die gebruik maken van de kwadratische verschilformule worden op dezelfde manier uitgevoerd. De resterende formule is het verschil in vierkanten. Voorbeelden van deze formule zijn heel gemakkelijk te definiëren en te vinden tussen andere uitdrukkingen. Bijvoorbeeld:

25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Omdat 25a 2 = (5a) 2, en 400 = 20 2
36x 2 - 25j 2 = (6x - 5j) (6x + 5j). Sinds 36x 2 = (6x) 2, en 25y 2 = (5y 2)
c2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Sinds 169b 2 = (13b) 2

Het is belangrijk dat elk van de termen een vierkant is van een bepaalde uitdrukking. Vervolgens moet dit polynoom worden ontbonden met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten. Hiervoor is het niet nodig dat de tweede graad boven het getal ligt. Er zijn polynomen die grote graden bevatten, maar toch in deze formules passen.

een 8 +10a 4 +25 = (een 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (een 4 +5) 2

IN in dit voorbeeld en 8 kan worden weergegeven als (a 4) 2, dat wil zeggen het kwadraat van een bepaalde uitdrukking. 25 is 5 2 en 10a is 4 - dit is het dubbelproduct van de termen 2 * a 4 * 5. Dat wil zeggen dat deze uitdrukking, ondanks de aanwezigheid van graden met grote exponenten, kan worden opgesplitst in 2 factoren om er vervolgens mee te werken.

Kubusformules

Dezelfde formules bestaan voor het ontbinden van polynomen die kubussen bevatten. Ze zijn iets ingewikkelder dan die met vierkanten:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- deze formule wordt de som van kubussen genoemd, omdat de polynoom in zijn oorspronkelijke vorm de som is van twee uitdrukkingen of getallen die in een kubus zijn ingesloten.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - een formule die identiek is aan de vorige wordt aangeduid als het verschil in kubussen.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kubus van een som, als resultaat van berekeningen wordt de som van getallen of uitdrukkingen tussen haakjes geplaatst en 3 keer met zichzelf vermenigvuldigd, dat wil zeggen, gelegen in een kubus
a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - de formule, samengesteld naar analogie met de vorige, waarbij slechts enkele tekens van wiskundige bewerkingen (plus en min) worden gewijzigd, wordt de "verschilkubus" genoemd.

De laatste twee formules worden praktisch niet gebruikt voor het ontbinden van een polynoom, omdat ze complex zijn, en het is zeldzaam genoeg om polynomen te vinden die volledig overeenkomen met precies deze structuur, zodat ze kunnen worden ontbonden met behulp van deze formules. Maar je moet ze nog steeds kennen, omdat ze nodig zijn als je in de tegenovergestelde richting werkt - bij het openen van haakjes.

Voorbeelden van kubusformules

Laten we eens kijken naar een voorbeeld: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Hier worden vrij eenvoudige getallen genomen, zodat je meteen kunt zien dat 64a 3 (4a) 3 is, en 8b 3 (2b) 3. Dit polynoom wordt dus uitgebreid volgens de formule van het kubusverschil in 2 factoren. Acties waarbij de formule voor de som van kubussen wordt gebruikt, worden naar analogie uitgevoerd.

Het is belangrijk om te begrijpen dat niet alle polynomen op minstens één manier kunnen worden uitgebreid. Maar er zijn uitdrukkingen die grotere machten bevatten dan een vierkant of een kubus, maar die kunnen ook worden uitgebreid tot verkorte vermenigvuldigingsvormen. Bijvoorbeeld: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 jaar + 25 jaar 2).

Dit voorbeeld bevat maar liefst de 12e graad. Maar zelfs dit kan worden ontbonden in factoren met behulp van de formule voor de som van de kubussen. Om dit te doen, moet je x 12 voorstellen als (x 4) 3, dat wil zeggen als een kubus van een of andere uitdrukking. Nu moet je in plaats van a deze in de formule vervangen. Welnu, de uitdrukking 125y 3 is een kubus van 5y. Vervolgens moet u het product samenstellen met behulp van de formule en berekeningen uitvoeren.

In eerste instantie, of in geval van twijfel, kunt u altijd controleren door omgekeerde vermenigvuldiging. U hoeft alleen maar de haakjes in de resulterende uitdrukking te openen en acties met vergelijkbare termen uit te voeren. Deze methode is van toepassing op alle genoemde reductiemethoden: zowel voor het werken met een gemeenschappelijke factor en groepering, als voor het werken met formules van kubussen en kwadratische machten.

Het factoriseren van polynomen is een identiteitstransformatie, waardoor een polynoom wordt getransformeerd in het product van verschillende factoren: polynomen of monomialen.

Er zijn verschillende manieren om polynomen te ontbinden.

Methode 1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Deze transformatie is gebaseerd op de distributieve wet van vermenigvuldiging: ac + bc = c(a + b). De essentie van de transformatie is om de gemeenschappelijke factor in de twee componenten in kwestie te isoleren en deze tussen haakjes te ‘halen’.

Laten we de polynoom 28x 3 – 35x 4 in factoren ontbinden.

Oplossing.

1. Zoek een gemeenschappelijke deler voor de elementen 28x3 en 35x4. Voor 28 en 35 is dit 7; voor x 3 en x 4 – x 3. Met andere woorden, onze gemeenschappelijke factor is 7x 3.

2. We vertegenwoordigen elk van de elementen als een product van factoren, waarvan er één
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. We halen de gemeenschappelijke factor tussen haakjes
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Methode 2. Gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules. De “beheersing” van het gebruik van deze methode is het opmerken van een van de verkorte vermenigvuldigingsformules in de uitdrukking.

Laten we de polynoom x 6 – 1 in factoren ontbinden.

Oplossing.

1. We kunnen de formule voor het verschil in vierkanten op deze uitdrukking toepassen. Om dit te doen, stel je x 6 voor als (x 3) 2, en 1 als 1 2, d.w.z. 1. De uitdrukking heeft de vorm:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. We kunnen de formule voor de som en het verschil van kubussen toepassen op de resulterende uitdrukking:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Dus,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).

Methode 3. Groeperen. De groeperingsmethode is om de componenten van een polynoom zo te combineren dat het gemakkelijk is om er bewerkingen op uit te voeren (optellen, aftrekken, aftrekken van een gemeenschappelijke factor).

Laten we de polynoom x 3 – 3x 2 + 5x – 15 ontbinden.

Oplossing.

1. Laten we de componenten op deze manier groeperen: 1e met 2e en 3e met 4e
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. In de resulterende uitdrukking halen we de gemeenschappelijke factoren tussen haakjes: x 2 in het eerste geval en 5 in het tweede geval.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. We nemen de gemeenschappelijke factor x – 3 tussen haakjes en krijgen:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Dus,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Laten we het materiaal veiligstellen.

Ontbind de polynoom a 2 – 7ab + 12b 2 in factoren.

Oplossing.

1. Laten we de monomiale 7ab voorstellen als de som 3ab + 4ab. De uitdrukking zal de vorm aannemen:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Laten we de haakjes openen en krijgen:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Laten we de componenten van de polynoom op deze manier groeperen: 1e met 2e en 3e met 4e. We krijgen:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Laten we de gemeenschappelijke factoren tussen haakjes zetten:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Laten we de gemeenschappelijke factor (a – 3b) tussen haakjes zetten:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Dus,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= een 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= een 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.

Wat is er gebeurd factorisatie? Dit is een manier om van een ongemakkelijk en complex voorbeeld een eenvoudig en schattig voorbeeld te maken.) Een zeer krachtige techniek! Het wordt aangetroffen bij elke stap in zowel de elementaire als de hogere wiskunde.

Dergelijke transformaties worden in de wiskundige taal identieke transformaties van uitdrukkingen genoemd. Voor degenen die het nog niet weten: bekijk de link. Er is heel weinig, eenvoudig en nuttig.) De betekenis van elke identiteitstransformatie is het vastleggen van de uitdrukking in een andere vorm met behoud van de essentie.

Betekenis factorisatie uiterst eenvoudig en duidelijk. Al vanaf de naam zelf. Je vergeet misschien (of weet niet) wat een vermenigvuldiger is, maar je kunt erachter komen dat dit woord afkomstig is van het woord ‘vermenigvuldigen’?) Factoring betekent: vertegenwoordigen een uitdrukking in de vorm van iets met iets vermenigvuldigen. Moge de wiskunde en de Russische taal mij vergeven...) Dat is alles.

U moet bijvoorbeeld het getal 12 uitbreiden. U kunt veilig schrijven:

Daarom presenteerden we het getal 12 als een vermenigvuldiging van 3 bij 4. Let op: de getallen aan de rechterkant (3 en 4) zijn totaal anders dan aan de linkerkant (1 en 2). Maar we begrijpen heel goed dat 12 en 3 4 dezelfde. De essentie van het getal 12 uit transformatie is niet veranderd.

Is het mogelijk om 12 anders te ontbinden? Gemakkelijk!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

De ontbindingsmogelijkheden zijn eindeloos.

Het ontbinden van getallen is een nuttig iets. Het helpt bijvoorbeeld veel bij het werken met wortels. Maar het ontbinden van algebraïsche uitdrukkingen is niet alleen nuttig, dat is het ook nodig! Gewoon bijvoorbeeld:

Makkelijker maken:

Degenen die niet weten hoe ze een uitdrukking moeten verwerken, staan aan de zijlijn. Degenen die weten hoe - vereenvoudigen en krijgen:

Het effect is geweldig, toch?) Trouwens, de oplossing is vrij eenvoudig. Je zult het hieronder zelf zien. Of bijvoorbeeld deze taak:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

Het wordt trouwens in de geest besloten. Factorisatie gebruiken. We zullen dit voorbeeld hieronder oplossen. Antwoord: x1 = 0; x2 = 1.

Of hetzelfde, maar dan voor de oudere):

Los De vergelijking op:

In deze voorbeelden heb ik het laten zien belangrijkste doel factorisatie: het vereenvoudigen van fractionele uitdrukkingen en het oplossen van sommige soorten vergelijkingen. Ik raad je aan het te onthouden vuistregel:

Als we een enge gebroken uitdrukking voor ons hebben, kunnen we proberen de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Heel vaak wordt de breuk verkleind en vereenvoudigd.

Als we een vergelijking voor ons hebben, waarbij aan de rechterkant nul is, en aan de linkerkant, ik begrijp niet wat, kunnen we proberen de linkerkant te ontbinden in factoren. Soms helpt het).

Basismethoden voor factorisatie.

Hier zijn ze, de meest populaire methoden:

4. Uitbreiding van een kwadratische trinominaal.

Deze methoden moeten onthouden worden. Precies in die volgorde. Complexe voorbeelden worden gecontroleerd voor iedereen mogelijke manieren ontleding. En het is beter om het op volgorde te controleren, om niet in de war te raken... Laten we dus op volgorde beginnen.)

1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Eenvoudig en betrouwbare manier. Er komt niets slechts van hem! Het is goed of helemaal niet.) Daarom komt hij op de eerste plaats. Laten we het uitzoeken.

Iedereen kent (geloof ik!) de regel:

a(b+c) = ab+ac

Of, algemener:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Alle gelijkheden werken zowel van links naar rechts als omgekeerd, van rechts naar links. Je kan schrijven:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+advertentie+.... = a(b+c+d+.....)

Dat is het hele punt van het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor.

Aan de linkerkant A - gemeenschappelijke vermenigvuldiger voor alle termen. Vermenigvuldigd met alles wat bestaat). Rechts is het meest A bevindt zich al buiten de beugels.

Praktisch gebruik Laten we de methode bekijken met behulp van voorbeelden. In eerste instantie is de optie eenvoudig, zelfs primitief.) Maar over deze optie zal ik opmerken ( groente) Erg belangrijke punten voor elke factorisatie.

Factoriseren:

ah+9x

Welke algemeen verschijnt de vermenigvuldiger in beide termen? Natuurlijk! We halen het uit de beugels. Laten we dit doen. We schrijven X onmiddellijk buiten de haakjes:

bijl+9x=x(

En tussen haakjes schrijven we het resultaat van de deling elke termijn op deze X. In volgorde:

Dat is alles. Het is natuurlijk niet nodig om het zo gedetailleerd te beschrijven, dit gebeurt in de geest. Maar het is raadzaam om te begrijpen wat wat is). We registreren in het geheugen:

We schrijven de gemeenschappelijke factor buiten de haakjes. Tussen haakjes schrijven we de resultaten van het delen van alle termen door deze gemeenschappelijke factor. In volgorde.

Daarom hebben we de uitdrukking uitgebreid ah+9x door vermenigvuldigers. Ik heb het omgezet in x vermenigvuldigen met (a+9). Ik merk op dat er in de oorspronkelijke uitdrukking ook een vermenigvuldiging was, zelfs twee: a·x en 9·x. Maar het werd niet gefactoriseerd! Want naast vermenigvuldigen bevatte deze uitdrukking ook optelling, het “+” teken! En qua expressie x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldiging!

Hoe komt het!? - Ik hoor de verontwaardigde stem van het volk - En tussen haakjes!?)

Ja, er staat een toevoeging tussen haakjes. Maar de truc is dat we de haakjes wel in overweging nemen, ook al zijn ze niet geopend als één letter. En we doen alle acties geheel tussen haakjes, zoals bij één letter. In deze zin, in de uitdrukking x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldigen. Dit is het hele punt van factorisatie.

Is het trouwens mogelijk om op de een of andere manier te controleren of we alles goed hebben gedaan? Gemakkelijk! Het is voldoende om wat u hebt weergegeven (x) tussen haakjes te vermenigvuldigen en te kijken of het werkt origineel uitdrukking? Als het werkt, is alles geweldig!)

x(a+9)=bijl+9x

Gebeurd.)

Er zijn geen problemen in dit primitieve voorbeeld. Maar als er meerdere termen zijn, en zelfs met verschillende tekens... Kortom, elke derde student verprutst het). Daarom:

Controleer indien nodig de factorisatie door inverse vermenigvuldiging.

Factoriseren:

3ax+9x

We zijn op zoek naar een gemeenschappelijke factor. Nou, alles is duidelijk met X, het kan eruit worden gehaald. Is er meer algemeen factor? Ja! Dit is een drie. Je kunt de uitdrukking als volgt schrijven:

3ax+3 3x

Hier is het meteen duidelijk dat de gemeenschappelijke factor zal zijn 3x. Hier halen we het eruit:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Verspreiden.

Wat gebeurt er als je het eruit haalt alleen x? Niets speciaals:

3ax+9x=x(3a+9)

Ook dit zal een factorisatie zijn. Maar hierin spannend proces Het is gebruikelijk om alles zoveel mogelijk uit te leggen zolang het nog kan. Hier tussen haakjes is er de mogelijkheid om een drie neer te zetten. Het zal blijken:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hetzelfde, alleen met één extra actie.) Onthoud:

Wanneer we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes verwijderen, proberen we deze eruit te halen maximaal gemeenschappelijke vermenigvuldiger.

Zullen we doorgaan met de pret?)

Factor de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Wat gaan we meenemen? Drie, X? Nee... Dat kun je niet. Ik herinner u eraan dat u alleen kunt afhalen algemeen vermenigvuldiger dus in alles termen van de uitdrukking. Daarom hij algemeen. Zo'n vermenigvuldiger bestaat hier niet... Wat, je hoeft hem niet uit te breiden!? Nou ja, we waren zo blij... Maak kennis met:

2. Groeperen.

Eigenlijk is het moeilijk om de groep een naam te geven op een onafhankelijke manier factorisatie. Het is meer een manier om eruit te komen complex voorbeeld.) We moeten de voorwaarden groeperen zodat alles goed komt. Dit kan alleen aan de hand van een voorbeeld worden aangetoond. We hebben dus de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Het is duidelijk dat er enkele veel voorkomende letters en cijfers zijn. Maar... Algemeen er is geen vermenigvuldiger in alle termen. Laten we de moed niet verliezen en breek de uitdrukking in stukken. Groepering. Zodat elk stuk een gemeenschappelijke factor heeft, valt er iets weg te nemen. Hoe kunnen we het doorbreken? Ja, we hebben alleen haakjes gezet.

Ik wil u eraan herinneren dat haakjes overal kunnen worden geplaatst en hoe u maar wilt. Even de essentie van het voorbeeld is niet veranderd. U kunt dit bijvoorbeeld doen:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x)-(8a+24)

Let op de tweede haakjes! Ze worden voorafgegaan door een minteken, en 8a En 24 positief geworden! Als we, om dit te controleren, de haakjes terug openen, veranderen de borden en krijgen we origineel uitdrukking. Die. de essentie van de uitdrukking tussen haakjes is niet veranderd.

Maar als u zojuist haakjes hebt ingevoegd zonder rekening te houden met de tekenwijziging, bijvoorbeeld als volgt:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

het zou een vergissing zijn. Aan de rechterkant - al ander uitdrukking. Open de haakjes en alles wordt zichtbaar. Je hoeft niet verder te beslissen, ja...)

Maar laten we terugkeren naar factorisatie. Laten we naar de eerste haakjes kijken (3ax+9x) en we denken: is er iets dat we eruit kunnen halen? Welnu, we hebben dit voorbeeld hierboven opgelost, we kunnen het aan 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Laten we de tweede haakjes bestuderen, we kunnen daar een acht toevoegen:

(8a+24)=8(a+3)

Onze hele uitdrukking zal zijn:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Gefactoriseerd? Nee. Het resultaat van de ontbinding zou moeten zijn alleen vermenigvuldiging Maar bij ons bederft het minteken alles. Maar... Beide termen hebben een gemeenschappelijke factor! Dit (a+3). Ik zei niet voor niets dat de hele haakjes als het ware één letter zijn. Dit betekent dat deze beugels uit de beugels gehaald kunnen worden. Ja, dat is precies hoe het klinkt.)

Wij doen zoals hierboven beschreven. We schrijven de gemeenschappelijke factor (a+3), tussen de tweede haakjes schrijven we de resultaten van het delen van de termen door (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Alle! Er is niets aan de rechterkant behalve vermenigvuldigen! Dit betekent dat de factorisatie met succes is voltooid!) Hier is het:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Laten we kort de essentie van de groep herhalen.

Als de uitdrukking dat niet doet algemeen vermenigvuldiger voor iedereen termen, delen we de uitdrukking op tussen haakjes, zodat binnen de haakjes de gemeenschappelijke factor staat was. Wij halen het eruit en kijken wat er gebeurt. Als je geluk hebt en er staan absoluut identieke uitdrukkingen tussen haakjes, dan verplaatsen we deze haakjes uit de haakjes.

Ik zal hieraan toevoegen dat groeperen een creatief proces is). Het lukt niet altijd de eerste keer. Het is ok. Soms moet je termen uitwisselen en nadenken verschillende varianten groepen totdat er een succesvolle is gevonden. Het belangrijkste hier is om de moed niet te verliezen!)

Voorbeelden.

Nu je jezelf hebt verrijkt met kennis, kun je lastige voorbeelden oplossen.) Aan het begin van de les waren er drie van deze...

Makkelijker maken:

In wezen hebben we dit voorbeeld al opgelost. Zonder dat we het weten.) Ik herinner je eraan: als we een verschrikkelijke breuk krijgen, proberen we de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Andere vereenvoudigingsopties gewoon nee.

Welnu, de noemer wordt hier niet uitgebreid, maar de teller... We hebben de teller al tijdens de les uitgebreid! Soortgelijk:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

We schrijven het resultaat van de uitbreiding in de teller van de breuk:

Volgens de regel van het reduceren van breuken (de belangrijkste eigenschap van een breuk), kunnen we (tegelijkertijd!) de teller en de noemer delen door hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Fractie hiervan verandert niet. Dus delen we de teller en de noemer door de uitdrukking (3x-8). En hier en daar zullen we er eentje krijgen. Het eindresultaat van de vereenvoudiging:

Ik zou vooral willen benadrukken: het verkleinen van een breuk is mogelijk als en slechts als in de teller en de noemer, naast het vermenigvuldigen van uitdrukkingen er is niets. Dat is de reden waarom de transformatie van de som (verschil) in vermenigvuldiging zo belangrijk voor vereenvoudiging. Natuurlijk, als de uitdrukkingen verschillend, dan wordt er niets verlaagd. Het zal gebeuren. Maar factorisatie geeft een kans. Deze kans zonder ontbinding is er eenvoudigweg niet.

Voorbeeld met vergelijking:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

We halen de gemeenschappelijke factor eruit x 4 buiten haakjes. We krijgen:

x4 (x-1)=0

We realiseren ons dat het product van factoren gelijk is aan nul toen en alleen dan, wanneer een van deze nul is. Als je twijfelt, zoek dan een paar getallen die niet nul zijn en die, vermenigvuldigd, nul opleveren.) Dus schrijven we eerst de eerste factor:

Bij een dergelijke gelijkheid gaat de tweede factor ons niet aan. Dat kan iedereen zijn, maar uiteindelijk zal het nog steeds nul zijn. Welk getal tot de vierde macht geeft nul? Slechts nul! En geen ander... Daarom:

We hebben de eerste factor ontdekt en één wortel gevonden. Laten we naar de tweede factor kijken. Nu geven we niets om de eerste vermenigvuldiger.):

Hier hebben we een oplossing gevonden: x1 = 0; x2 = 1. Elk van deze wortels past in onze vergelijking.

Erg belangrijke notitie. Houd er rekening mee dat we de vergelijking hebben opgelost stuk voor stuk! Elke factor was gelijk aan nul, ongeacht andere factoren. Trouwens, als er in zo'n vergelijking niet twee factoren zijn, zoals de onze, maar drie, vijf, zoveel als je wilt, zullen we het oplossen vergelijkbaar. Stuk voor stuk. Bijvoorbeeld:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Degene die de haakjes opent en alles vermenigvuldigt, blijft voor altijd vastzitten aan deze vergelijking.) De juiste leerling zal onmiddellijk zien dat er aan de linkerkant niets anders is dan vermenigvuldigen, en aan de rechterkant is er nul. En hij zal beginnen (in zijn gedachten!) alle haakjes gelijk te stellen tot nul. En hij krijgt (in 10 seconden!) de juiste oplossing: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x4 = -2.

Geweldig, toch?) Dit elegante oplossing mogelijk als de linkerkant van de vergelijking gefactoriseerd. Snap je de hint?)

Nou, nog een laatste voorbeeld, voor de oudere):

Los De vergelijking op:

Het lijkt enigszins op de vorige, vind je niet?) Natuurlijk. Het is tijd om te onthouden dat in de algebra van de zevende klas sinussen, logaritmen en al het andere verborgen kunnen worden onder de letters! Factoring werkt in de hele wiskunde.

We halen de gemeenschappelijke factor eruit lg 4x buiten haakjes. We krijgen:

log4x=0

Dit is één wortel. Laten we naar de tweede factor kijken.

Hier is het definitieve antwoord: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ik hoop dat je de kracht van factoring hebt gerealiseerd bij het vereenvoudigen van breuken en het oplossen van vergelijkingen.)

In deze les hebben we geleerd over gemeenschappelijke factoring en groepering. Het blijft nodig om de formules voor verkorte vermenigvuldiging en de kwadratische trinominaal te begrijpen.