Trapeziumvormige diagonalen. Mediaanlijn van het trapezium

Een vierhoek met slechts twee evenwijdige zijden heet trapeze.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden zijn . genoemd gronden, en die zijden die niet evenwijdig zijn, worden genoemd zijkanten. Als de zijden gelijk zijn, dan is zo'n trapezium gelijkbenig. De afstand tussen de bases wordt de hoogte van het trapezium genoemd.

Middelste lijn van het trapezium

De middenlijn is een segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt. De middellijn van een trapezium is evenwijdig aan de basis.

Stelling:

Als een rechte lijn die het midden van een zijde snijdt, evenwijdig is aan de basis van het trapezium, dan snijdt het de tweede zijde van het trapezium in tweeën.

Stelling:

De lengte van de middellijn is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de lengtes van de basis

MN || AB || gelijkstroom
AM=MD; BN=NC

MN midden lijn, AB en CD - bases, AD en BC - zijden

MN=(AB+DC)/2

Stelling:

De lengte van de middellijn van een trapezium is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de lengtes van de bases.

De belangrijkste taak: Bewijs dat de middellijn van een trapezium een ​​segment doorsnijdt waarvan de uiteinden in het midden van de basis van de trapezium liggen.

Middelste lijn van de driehoek

Het lijnstuk dat de middelpunten van de twee zijden van een driehoek verbindt, wordt de middellijn van de driehoek genoemd. Het is evenwijdig aan de derde zijde en de lengte is de helft van de lengte van de derde zijde.
Stelling: Als een lijn die het middelpunt van een zijde van een driehoek snijdt, evenwijdig is aan de andere zijde van de gegeven driehoek, dan deelt hij de derde zijde in tweeën.

AM = MC en BN = NC =>

Eigenschappen van driehoekige en trapeziumvormige middenlijn toepassen

Een segment delen door een bepaald bedrag Gelijke delen.
Taak: Verdeel segment AB in 5 gelijke delen.
Oplossing:
Laat p een willekeurige straal zijn waarvan de oorsprong punt A is en die niet op lijn AB ligt. We stellen consequent 5 . uit gelijke segmenten op p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
We verbinden A 5 met B en trekken lijnen door A 4 , A 3 , A 2 en A 1 die evenwijdig zijn aan A 5 B. Ze snijden AB in respectievelijk B 4 , B 3 , B 2 en B 1. Deze punten verdelen segment AB in 5 gelijke delen. Inderdaad, uit het trapezium BB 3 A 3 A 5 zien we dat BB 4 = B 4 B 3 . Op dezelfde manier krijgen we uit het trapezium B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Terwijl van de trapezium B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Dan volgt uit B 2 AA 2 dat B 2 B 1 = B 1 A. Concluderend krijgen we:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Het is duidelijk dat om het segment AB in een ander aantal gelijke delen te verdelen, we hetzelfde aantal gelijke segmenten op de straal p moeten projecteren. En ga dan verder op de hierboven beschreven manier.

Het concept van de middellijn van de trapezium

Laten we eerst onthouden welke figuur een trapezium wordt genoemd.

Definitie 1

Een trapezium is een vierhoek waarvan twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet evenwijdig.

In dit geval worden parallelle zijden de basis van het trapezium genoemd, en niet parallel - de zijkanten van het trapezium.

definitie 2

De middellijn van een trapezium is een lijnsegment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt.

Trapezium middellijn stelling

We introduceren nu de stelling op de middellijn van een trapezium en bewijzen deze met de vectormethode.

Stelling 1

De middenlijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan de helft van hun som.

Een bewijs.

Laten we een trapezium $ABCD$ krijgen met de basen $AD\ en\ BC$. En laat $MN$ de middellijn zijn van dit trapezium (Fig. 1).

Figuur 1. De middelste lijn van de trapezium

Laten we bewijzen dat $MN||AD\ en\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Beschouw de vector $\overrightarrow(MN)$. Vervolgens gebruiken we de veelhoekregel voor het optellen van vectoren. Aan de ene kant snappen we dat

Aan de andere kant

Als we de laatste twee gelijkheden toevoegen, krijgen we

Aangezien $M$ en $N$ de middelpunten zijn van de zijkanten van het trapezium, hebben we

We krijgen:

Vervolgens

Uit dezelfde gelijkheid (aangezien $\overrightarrow(BC)$ en $\overrightarrow(AD)$ co-directioneel zijn en dus collineair), krijgen we die $MN||AD$.

De stelling is bewezen.

Voorbeelden van taken op het concept van de middellijn van een trapezium

voorbeeld 1

De zijkanten van het trapezium zijn respectievelijk $15\cm$ en $17\cm$. De omtrek van het trapezium is $52\cm$. Zoek de lengte van de middellijn van het trapezium.

Oplossing.

Geef de middellijn van het trapezium aan met $n$.

De som van de zijden is

Daarom, aangezien de omtrek $52\ cm$ is, is de som van de basen

Daarom verkrijgen we volgens stelling 1

Antwoorden:$ 10\cm$.

Voorbeeld 2

De uiteinden van de diameter van de cirkel zijn respectievelijk $ 9 cm en $ 5 cm vanaf de raaklijn. Bepaal de diameter van deze cirkel.

Oplossing.

Laten we een cirkel krijgen met middelpunt $O$ en diameter $AB$. Teken de raaklijn $l$ en construeer de afstanden $AD=9\ cm$ en $BC=5\ cm$. Laten we de straal $OH$ tekenen (Fig. 2).

Figuur 2.

Aangezien $AD$ en $BC$ de afstanden tot de raaklijn zijn, dan is $AD\bot l$ en $BC\bot l$ en aangezien $OH$ de straal is, dan $OH\bot l$, dus $OH | \left|AD\right||BC$. Uit dit alles halen we dat $ABCD$ een trapezium is, en $OH$ de middellijn is. Bij stelling 1 krijgen we

Trapeze is speciaal geval een vierhoek met één paar zijden evenwijdig. De term "trapezium" komt van het Griekse woord τράπεζα, wat "tafel", "tafel" betekent. In dit artikel zullen we de soorten trapezium en de eigenschappen ervan bekijken. Bovendien zullen we uitzoeken hoe we de afzonderlijke elementen hiervan kunnen berekenen. Bijvoorbeeld de diagonaal gelijkbenig trapezium, middellijn, gebied, enz. Het materiaal wordt gepresenteerd in de stijl van elementaire populaire geometrie, dat wil zeggen in een gemakkelijk toegankelijke vorm.

Algemene informatie

Laten we eerst eens kijken wat een vierhoek is. Deze figuur is een speciaal geval van een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten. Twee hoekpunten van een vierhoek die niet aangrenzend zijn, worden tegenovergesteld genoemd. Hetzelfde kan gezegd worden over twee niet-aangrenzende zijden. De belangrijkste soorten vierhoeken zijn parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant, trapezium en deltaspier.

Dus terug naar de trapeze. Zoals we al zeiden, heeft deze figuur twee zijden die evenwijdig zijn. Ze worden basen genoemd. De andere twee (niet-parallel) zijn de zijkanten. In examenmaterialen en diverse controle werkt heel vaak kun je taken vinden die verband houden met trapezoïden, waarvan de oplossing vaak vereist dat de student kennis heeft die niet door het programma wordt geboden. De cursus geometrie op school laat studenten kennismaken met de eigenschappen van hoeken en diagonalen, evenals de middellijn gelijkbenige trapezium. Maar daarnaast heeft de genoemde geometrische figuur nog andere kenmerken. Maar daarover later meer...

Soorten trapezium

Er zijn veel soorten van deze figuur. Meestal is het echter gebruikelijk om er twee te overwegen - gelijkbenig en rechthoekig.

1. Een rechthoekig trapezium is een figuur waarvan een van de zijden loodrecht op de basis staat. Het heeft twee hoeken die altijd negentig graden zijn.

2. Een gelijkbenige trapezium is een geometrische figuur waarvan de zijden gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat de hoeken aan de basis ook paarsgewijs gelijk zijn.

De belangrijkste principes van de methodologie voor het bestuderen van de eigenschappen van een trapezium

Het belangrijkste principe is het gebruik van de zogenaamde taakbenadering. In wezen is het niet nodig om in te typen theoretische cursus geometrie van de nieuwe eigenschappen van deze figuur. Ze kunnen worden ontdekt en geformuleerd tijdens het oplossen van verschillende problemen (beter dan systemische). Tegelijkertijd is het erg belangrijk dat de docent weet welke taken op een bepaald moment voor studenten moeten worden ingesteld. onderwijsproces. Bovendien kan elke eigenschap van het trapezium worden weergegeven als een sleuteltaak in het taaksysteem.

Het tweede principe is de zogenaamde spiraalvormige organisatie van de studie van de "opmerkelijke" eigenschappen van het trapezium. Dit impliceert een terugkeer in het leerproces naar individuele kenmerken van een gegeven geometrische figuur. Het is dus gemakkelijker voor studenten om ze te onthouden. Bijvoorbeeld de eigenschap van vier punten. Het kan zowel in de studie van gelijkenis als vervolgens met behulp van vectoren worden bewezen. En het gelijke gebied van driehoeken grenzend aan de zijden van de figuur kan worden bewezen door niet alleen de eigenschappen van driehoeken met gelijke hoogte toe te passen op de zijden die op dezelfde rechte lijn liggen, maar ook door de formule S = 1/ 2(ab*sinα). Bovendien kun je trainen op een ingeschreven trapezium of een rechthoekige driehoek op een omgeschreven trapezium, enz.

Het gebruik van "buiten het programma" kenmerken van een geometrische figuur in de inhoud van een schoolcursus is een taaktechnologie om ze te onderwijzen. Het constante beroep op de bestudeerde eigenschappen bij het doorlopen van andere onderwerpen stelt studenten in staat een diepere kennis van het trapezium op te doen en zorgt voor het succes van het oplossen van de taken. Dus laten we beginnen met het bestuderen van dit prachtige figuur.

Elementen en eigenschappen van een gelijkbenige trapezium

Zoals we al hebben opgemerkt, zijn de zijkanten van deze geometrische figuur gelijk. Het is ook bekend als de juiste trapezium. Waarom is het zo opmerkelijk en waarom heeft het zo'n naam gekregen? De kenmerken van deze figuur zijn onder meer het feit dat niet alleen de zijkanten en hoeken aan de basis gelijk zijn, maar ook de diagonalen. Ook is de som van de hoeken van een gelijkbenige trapezium 360 graden. Maar dat is niet alles! Van alle bekende trapezoïden is alleen rond een gelijkbenige een cirkel te beschrijven. Dit komt door het feit dat de som van de tegenovergestelde hoeken van deze figuur 180 graden is, en alleen onder deze voorwaarde kan een cirkel rond de vierhoek worden beschreven. De volgende eigenschap van de beschouwde geometrische figuur is dat de afstand van het basishoekpunt tot de projectie van het tegenoverliggende hoekpunt op de rechte lijn die deze basis bevat, gelijk zal zijn aan de middellijn.

Laten we nu eens kijken hoe we de hoeken van een gelijkbenig trapezium kunnen vinden. Overweeg een oplossing voor dit probleem, op voorwaarde dat de afmetingen van de zijkanten van de figuur bekend zijn.

Oplossing

Gewoonlijk wordt een vierhoek meestal aangeduid met de letters A, B, C, D, waarbij BS en AD de basis zijn. Bij een gelijkbenig trapezium zijn de zijkanten gelijk. We nemen aan dat hun grootte X is en dat de afmetingen van de basen Y en Z zijn (respectievelijk kleiner en groter). Om de berekening uit te voeren, is het noodzakelijk om vanuit hoek B een hoogte H te tekenen. Het resultaat is een rechthoekige driehoek ABN, waarbij AB de hypotenusa is en BN en AN de benen. We berekenen de grootte van het been AN: we trekken de kleinere af van de grotere basis en delen het resultaat door 2. We schrijven het in de vorm van een formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Nu, om de scherpe hoek van de driehoek gebruiken we de cos-functie. We krijgen het volgende record: cos(β) = Х/F. Nu berekenen we de hoek: β=arcos (Х/F). Verder, als we één hoek kennen, kunnen we de tweede bepalen, hiervoor voeren we een elementaire rekenkundige bewerking uit: 180 - β. Alle hoeken zijn gedefinieerd.

Er is ook een tweede oplossing voor dit probleem. In het begin verlagen we de hoogte H vanuit de hoek B. We berekenen de waarde van het BN-been. We weten dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen. We krijgen: BN \u003d √ (X2-F2). Vervolgens gebruiken we de goniometrische functie tg. Als resultaat hebben we: β = arctg (BN / F). Scherpe hoek gevonden. Vervolgens bepalen we op dezelfde manier als de eerste methode.

Eigenschap van de diagonalen van een gelijkbenige trapezium

Laten we eerst vier regels opschrijven. Als de diagonalen in een gelijkbenig trapezium loodrecht staan, dan:

De hoogte van de figuur is gelijk aan de som van de basen gedeeld door twee;

De hoogte en middenlijn zijn gelijk;

Het middelpunt van de cirkel is het punt waar de ;

Als de zijkant door het contactpunt wordt gedeeld in segmenten H en M, dan is deze gelijk aan vierkantswortel producten van deze segmenten;

De vierhoek, die werd gevormd door de raakpunten, het hoekpunt van het trapezium en het middelpunt van de ingeschreven cirkel, is een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan de straal;

De oppervlakte van een figuur is gelijk aan het product van de bases en het product van de helft van de som van de bases en de hoogte ervan.

Vergelijkbare trapeziums

Dit onderwerp is erg handig om de eigenschappen van deze te bestuderen.De diagonalen verdelen bijvoorbeeld de trapezium in vier driehoeken, en die grenzend aan de basis zijn gelijkaardig, en die grenzend aan de zijkanten zijn gelijk. Deze verklaring kan een eigenschap worden genoemd van de driehoeken waarin het trapezium is verdeeld door zijn diagonalen. Het eerste deel van deze bewering wordt bewezen door het criterium van overeenkomst in twee hoeken. Om het tweede deel te bewijzen, is het beter om de onderstaande methode te gebruiken.

Bewijs van de stelling

We accepteren dat de figuur ABSD (AD en BS - de basis van het trapezium) wordt gedeeld door de diagonalen VD en AC. Hun snijpunt is O. We krijgen vier driehoeken: AOS - aan de onderkant, BOS - aan de bovenkant, ABO en SOD aan de zijkanten. Driehoeken SOD en BOS hebben een gemeenschappelijke hoogte als de segmenten BO en OD hun basis zijn. We krijgen dat het verschil tussen hun gebieden (P) gelijk is aan het verschil tussen deze segmenten: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dus PSOD = PBOS / K. Evenzo hebben de BOS- en AOB-driehoeken een gemeenschappelijke hoogte. We nemen de segmenten CO en OA als basis. We krijgen PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K en PAOB \u003d PBOS / K. Hieruit volgt dat PSOD = PAOB.

Om het materiaal te consolideren, wordt de studenten aangeraden om een ​​verband te vinden tussen de gebieden van de resulterende driehoeken, waarin het trapezium wordt gedeeld door zijn diagonalen, door het volgende probleem op te lossen. Het is bekend dat de gebieden van driehoeken BOS en AOD gelijk zijn, het is noodzakelijk om het gebied van de trapezium te vinden. Sinds PSOD \u003d PAOB, betekent dit dat PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Uit de overeenkomst van de driehoeken BOS en AOD volgt dat BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Daarom is PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). We krijgen PSOD = √ (PBOS * PAOD). Dan PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

gelijkenis eigenschappen

Als we dit onderwerp blijven ontwikkelen, kunnen we het andere bewijzen interessante functies trapezium. Dus, met behulp van gelijkenis, kun je de eigenschap bewijzen van een segment dat door een punt gaat dat wordt gevormd door het snijpunt van de diagonalen van deze geometrische figuur, evenwijdig aan de basis. Om dit te doen, lossen we het volgende probleem op: het is noodzakelijk om de lengte te vinden van het segment RK, dat door het punt O gaat. Uit de overeenkomst van driehoeken AOD en BOS volgt dat AO/OS=AD/BS. Uit de gelijkenis van driehoeken AOP en ASB volgt dat AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Vanaf hier krijgen we dat RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Evenzo volgt uit de gelijkenis van de driehoeken DOK en DBS dat OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Vanaf hier krijgen we dat RO=OK en RK=2*BS*AD/(BS+AD). Het segment dat door het snijpunt van de diagonalen gaat, evenwijdig aan de basis en de twee zijden verbindt, wordt door het snijpunt in tweeën gedeeld. De lengte is het harmonische gemiddelde van de basis van de figuur.

Beschouw de volgende eigenschap van een trapezium, die de eigenschap van vier punten wordt genoemd. De snijpunten van de diagonalen (O), de snijpunten van de voortzetting van de zijden (E), evenals de middelpunten van de basissen (T en W) liggen altijd op dezelfde lijn. Dit is eenvoudig te bewijzen door middel van de similariteitsmethode. De resulterende driehoeken BES en AED zijn vergelijkbaar, en in elk van hen verdelen de medianen ET en EZH de hoek bij het hoekpunt E in gelijke delen. Daarom liggen de punten E, T en W op dezelfde rechte lijn. Op dezelfde manier liggen de punten T, O en G op dezelfde rechte lijn Dit alles volgt uit de overeenkomst van de driehoeken BOS en AOD. Hieruit concluderen we dat alle vier de punten - E, T, O en W - op één rechte lijn zullen liggen.

Met behulp van vergelijkbare trapezoïden kan de leerlingen worden gevraagd om de lengte van het segment (LF) te vinden dat de figuur in twee vergelijkbare segmenten verdeelt. Dit segment moet evenwijdig aan de basis zijn. Aangezien de resulterende trapezoïden ALFD en LBSF vergelijkbaar zijn, is BS/LF=LF/AD. Hieruit volgt dat LF=√(BS*BP). We krijgen dat het segment dat de trapezium in twee gelijke verdeelt, een lengte heeft die gelijk is aan het geometrische gemiddelde van de lengtes van de basis van de figuur.

Beschouw de volgende overeenkomsteigenschap. Het is gebaseerd op een segment dat de trapezium verdeelt in twee figuren van gelijke grootte. We accepteren dat de trapeziumvormige ABSD door het segment EN in twee soortgelijke wordt verdeeld. Van het hoekpunt B wordt de hoogte weggelaten, die door het segment EH in twee delen wordt verdeeld - B1 en B2. We krijgen: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 en PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Vervolgens stellen we een systeem samen waarvan de eerste vergelijking is (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 en de tweede (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Hieruit volgt dat B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) en BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). We krijgen dat de lengte van het segment dat het trapezium in twee gelijke deelt, gelijk is aan het gemiddelde kwadraat van de lengtes van de basen: √ ((BS2 + AD2) / 2).

gelijkenis gevolgtrekkingen

Zo hebben we bewezen dat:

1. Het segment dat de middelpunten van de zijden van het trapezium verbindt, is evenwijdig aan AD en BS en is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van BS en AD (de lengte van de basis van het trapezium).

2. De lijn die door het punt O van het snijpunt van de diagonalen evenwijdig aan AD en BS gaat, is gelijk aan het harmonische gemiddelde van de getallen AD en BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Het segment dat de trapezium in gelijke delen verdeelt, heeft de lengte van het geometrische gemiddelde van de basen BS en AD.

4. Een element dat een figuur in twee gelijke verdeelt, heeft de lengte van de gemiddelde kwadraten AD en BS.

Om het materiaal te consolideren en het verband tussen de beschouwde segmenten te begrijpen, moet de student ze bouwen voor een specifiek trapezium. Hij kan gemakkelijk de middellijn en het segment dat door het punt O gaat - het snijpunt van de diagonalen van de figuur - evenwijdig aan de basis weergeven. Maar waar zullen de derde en vierde zijn? Dit antwoord zal de student leiden tot het ontdekken van de gewenste relatie tussen de gemiddelden.

Een lijnstuk dat de middelpunten van de diagonalen van een trapezium verbindt

Beschouw de volgende eigenschap van deze figuur. We aanvaarden dat het segment MH evenwijdig is aan de basissen en de diagonalen in tweeën deelt. Laten we de snijpunten W en W noemen. Dit segment zal gelijk zijn aan het halve verschil van de basen. Laten we dit in meer detail analyseren. MSH - de middelste lijn van de driehoek ABS, deze is gelijk aan BS / 2. MS - de middelste lijn van de driehoek ABD, deze is gelijk aan AD / 2. Dan krijgen we dat ShShch = MShch-MSh, dus Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Zwaartepunt

Laten we eens kijken hoe dit element wordt bepaald voor een bepaalde geometrische figuur. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de bases in tegengestelde richtingen uit te breiden. Wat betekent het? Het is noodzakelijk om de onderste basis aan de bovenste basis toe te voegen - aan een van de zijkanten, bijvoorbeeld aan de rechterkant. En de onderkant wordt verlengd met de lengte van de bovenkant naar links. Vervolgens verbinden we ze met een diagonaal. Het snijpunt van dit segment met de middelste lijn van de figuur is het zwaartepunt van het trapezium.

Ingeschreven en omschreven trapezoïden

Laten we de kenmerken van dergelijke figuren opsommen:

1. Een trapezium kan alleen in een cirkel worden ingeschreven als het gelijkbenig is.

2. Een trapezium kan beschreven worden rond een cirkel, op voorwaarde dat de som van de lengtes van hun basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

Gevolgen van de ingeschreven cirkel:

1. De hoogte van het beschreven trapezium is altijd gelijk aan twee stralen.

2. De zijkant van het beschreven trapezium wordt vanuit het middelpunt van de cirkel in een rechte hoek bekeken.

Het eerste gevolg ligt voor de hand en om het tweede te bewijzen is het nodig om vast te stellen dat de SOD-hoek juist is, wat in feite ook niet moeilijk zal zijn. Maar kennis van deze eigenschap stelt ons in staat om een ​​rechthoekige driehoek te gebruiken bij het oplossen van problemen.

Nu specificeren we deze gevolgen voor een gelijkbenig trapezium, dat is ingeschreven in een cirkel. We krijgen dat de hoogte het geometrische gemiddelde is van de basis van de figuur: H=2R=√(BS*AD). Door de belangrijkste techniek voor het oplossen van problemen voor trapezoïden te oefenen (het principe van het tekenen van twee hoogten), moet de student de volgende taak oplossen. We accepteren dat BT de hoogte is van het gelijkbenige getal ABSD. Het is noodzakelijk om de segmenten AT en TD te vinden. Met behulp van de hierboven beschreven formule zal dit niet moeilijk zijn.

Laten we nu eens kijken hoe we de straal van een cirkel kunnen bepalen met behulp van het gebied van de omgeschreven trapezium. We verlagen de hoogte van top B naar de basis AD. Omdat de cirkel is ingeschreven in een trapezium, dan is BS + AD \u003d 2AB of AB \u003d (BS + AD) / 2. Uit de driehoek ABN vinden we sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. We krijgen PABSD \u003d (BS + HELL) * R, hieruit volgt dat R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Alle formules van de middellijn van een trapezium

Nu is het tijd om verder te gaan met het laatste element van deze geometrische figuur. Laten we uitzoeken waar de middelste lijn van de trapezium (M) gelijk aan is:

1. Door de bases: M \u003d (A + B) / 2.

2. Door hoogte, basis en hoeken:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Door hoogte, diagonalen en de hoek daartussen. D1 en D2 zijn bijvoorbeeld de diagonalen van een trapezium; α, β - hoeken ertussen:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Door de oppervlakte en hoogte: M = P/N.

VIERKANTEN.

§ 49. TRAPEZE.

Een vierhoek waarin twee overstaande zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet evenwijdig, wordt een trapezium genoemd.

In tekening 252 is de vierhoek ABDC AB || cd, wisselstroom || BD ABDC - trapezium.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden zijn . genoemd gronden; AB en CD zijn de basis van het trapezium. De andere twee kanten worden genoemd zijkanten trapezium; AC en BD zijn de zijkanten van het trapezium.

Als de zijden gelijk zijn, wordt een trapezium genoemd gelijkbenig.

De trapezium ABOM is gelijkbenig, aangezien AM=BO (Fig. 253).

Een trapezium waarbij een van de zijden loodrecht op de basis staat, wordt genoemd rechthoekig(dev. 254).

De middenlijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt.

Stelling. De middellijn van een trapezium is evenwijdig aan elk van zijn bases en is gelijk aan hun halve som.

Gegeven: OS - de middelste lijn van het ABDK-trapezium, d.w.z. OK \u003d OA en BC \u003d CD (Fig. 255).

We moeten bewijzen:

1) Besturingssysteem || KD en OS || AB;
2)

Een bewijs. Trek een lijn door de punten A en C die de voortzetting van de basis KD op een punt E snijdt.

In driehoeken ABC en DCE:
BC \u003d CD - op voorwaarde;
/ 1 = / 2 als verticaal,
/ 4 = / 3, als intern kruiselings liggend met parallel AB en KE en secans BD. Vervolgens, /\ ABC = /\ DSE.

Vandaar dat AC = CE, d.w.z. OS is de middellijn van de driehoek KAE. Vandaar (§ 48):

1) Besturingssysteem || KE en dus OS || KD en OS || AB;
2) , maar DE \u003d AB (van de gelijkheid van driehoeken ABC en DCE), dus het segment DE kan worden vervangen door het segment AB dat daaraan gelijk is. Dan krijgen we:

De stelling is bewezen.

Opdrachten.

1. Bewijs dat de som interne hoeken trapezium grenzend aan elke zijde is 2 d.

2. Bewijs dat de hoeken aan de basis van een gelijkbenig trapezium gelijk zijn.

3. Bewijs dat als de hoeken aan de basis van een trapezium gelijk zijn, dit trapezium gelijkbenig is.

4. Bewijs dat de diagonalen van een gelijkbenig trapezium gelijk zijn aan elkaar.

5. Bewijs dat als de diagonalen van een trapezium gelijk zijn, dit trapezium gelijkbenig is.

6. Bewijs dat de omtrek van de figuur gevormd door de segmenten die de middelpunten van de zijden van de vierhoek verbinden, gelijk is aan de som van de diagonalen van deze vierhoek.

7. Bewijs dat een rechte lijn die door het midden van een van de zijden van een trapezium evenwijdig aan de basis loopt, de andere zijde van de trapezium halveert.