Decimale vergelijkingsregel. Les "vergelijking van decimale breuken"
We noemen een breuk een of meer gelijke delen van een geheel. Een breuk wordt geschreven met twee natuurlijke getallen, die worden gescheiden door een lijn. Bijvoorbeeld 1/2, 14/4, ¾, 5/9, enz.
Het getal dat boven de lijn wordt geschreven, wordt de teller van de breuk genoemd en het getal dat onder de lijn wordt geschreven, wordt de noemer van de breuk genoemd.
Voor fractionele getallen waarvan de noemer 10, 100, 1000, enz. overeengekomen om het nummer zonder noemer te schrijven. Om dit te doen, schrijft u eerst het gehele deel van het getal, plaatst u een komma en schrijft u het breukdeel van dit getal, dat wil zeggen de teller van het breukdeel.
In plaats van 6 * (7/10) schrijven ze bijvoorbeeld 6,7.
Zo'n record wordt decimale breuk genoemd.
Hoe twee decimalen te vergelijken
Laten we eens kijken hoe we twee decimale breuken kunnen vergelijken. Om dit te doen, verifiëren we eerst één hulpfeit.
De lengte van een bepaald segment is bijvoorbeeld 7 centimeter of 70 mm. Ook 7 cm = 7 / 10 dm of in decimale notatie 0,7 dm.
Aan de andere kant, 1 mm = 1/100 dm, dan 70 mm = 70/100 dm, of in decimale notatie 0,70 dm.
We krijgen dus dat 0,7 = 0,70.
Hieruit concluderen we dat als nul wordt toegevoegd of weggegooid aan het einde van de decimale breuk, een breuk gelijk aan de gegeven breuk wordt verkregen. Met andere woorden, de waarde van de breuk verandert niet.
Breuken met dezelfde noemers
Laten we zeggen dat we twee decimalen 4.345 en 4.36 moeten vergelijken.
Eerst moet u het aantal decimalen gelijk maken door nullen aan de rechterkant toe te voegen of weg te laten. Je krijgt 4.345 en 4.360.
Nu moet je ze als onechte breuken schrijven:
- 4,345 = 4345 / 1000 ;
- 4,360 = 4360 / 1000 .
De resulterende breuken hebben dezelfde noemers. Door de regel van het vergelijken van breuken weten we dat in dit geval de grotere breuk degene is met de grotere teller. Dus de breuk 4.36 is groter dan de breuk 4.345.
Dus om twee decimale breuken te vergelijken, moet u eerst hun aantal decimalen gelijkmaken, nullen toewijzen aan een van hen aan de rechterkant en vervolgens de komma weggooien om de resulterende natuurlijke getallen te vergelijken.
Decimalen kunnen worden weergegeven als punten op een getallenlijn. En daarom zeggen ze soms, in het geval dat het ene getal groter is dan het andere, dat dit getal zich rechts van het andere bevindt, of als het kleiner is, dan links.
Als twee decimale breuken gelijk zijn, dan worden ze met hetzelfde punt op de getallenlijn weergegeven.
Het segment AB is 6 cm, dat is 60 mm. Aangezien 1 cm = ds, dan is 6 cm = ds. Dus AB is 0,6 dm. Aangezien 1 mm = ds, dan 60 mm = ds. Dus AB = 0,60 dm.
Dus AB \u003d 0,6 dm \u003d 0,60 dm. Dit betekent dat de decimale breuken 0,6 en 0,60 de lengte van hetzelfde segment in decimeters uitdrukken. Deze breuken zijn aan elkaar gelijk: 0,6 = 0,60.
Als nul wordt toegevoegd aan het einde van de decimale breuk of nul wordt weggegooid, dan krijgen we fractie, gelijk aan de gegeven.
Bijvoorbeeld,
0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.
Laten we twee decimalen 5.345 en 5.36 vergelijken. Laten we het aantal decimalen gelijk maken door nul toe te voegen aan het getal 5,36 aan de rechterkant. We krijgen breuken 5.345 en 5.360.
We schrijven ze als onechte breuken:
Deze breuken hebben dezelfde noemers. Dit betekent dat degene met de grotere teller groter is.
sinds 5345< 5360, то 
wat betekent 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Om twee decimale breuken te vergelijken, moet u eerst hun aantal decimalen gelijk maken door nullen toe te kennen aan een van hen aan de rechterkant, en vervolgens, de komma weggooiend, de resulterende vergelijking vergelijken gehele getallen.
Decimalen kunnen worden weergegeven in coördinaatstraal net als gewone breuken.
Bijvoorbeeld om af te beelden op de coördinatenstraal decimale 0,4, we stellen het eerst voor als een gewone breuk: 0,4 = Dan leggen we vier tienden van een eenheidssegment opzij vanaf het begin van de balk. We krijgen punt A(0,4) (Fig. 141).
Gelijke decimale breuken worden door hetzelfde punt op de coördinaatstraal afgebeeld.
De breuken 0,6 en 0,60 worden bijvoorbeeld weergegeven door één punt B (zie Fig. 141).
De kleinste decimaal ligt op coördinaatstraal links van de grotere en de grotere rechts van de kleinere.
Bijvoorbeeld 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).
Verandert een decimaal als er een nul aan het einde wordt toegevoegd?
A6 nullen?
Formuleer een vergelijkingsregel decimale fracties.
1172. Schrijf een decimale breuk:
a) met vier decimalen, gelijk aan 0,87;
b) met vijf decimalen, gelijk aan 0,541;
c) met drie cijfers na bezet, gelijk aan 35;
d) met twee decimalen, gelijk aan 8.40000.
1173. Nadat u rechts nullen hebt toegewezen, maakt u het aantal decimalen gelijk aan decimale breuken: 1,8; 13,54 en 0,789.
1174. Schrijf kortere breuken: 2.5000; 3.02000; 20.010.
85,09 en 67,99; 55.7 en 55.7000; 0,5 en 0,724; 0,908 en 0,918; 7.6431 en 7.6429; 0,0025 en 0,00247.
1176. Rangschik de nummers in oplopende volgorde:
3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.
0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091
in aflopende volgorde rangschikken.
a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2,7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.
1184. Vergelijk de waarden:
a) 98,52 m en 65,39 m; e) 0,605 t en 691,3 kg;
b) 149,63 kg en 150,08 kg; f) 4.572 km en 4671,3 m;
c) 3,55°C en 3,61°C; g) 3.835 ha en 383.7 a;
d) 6.781 uur en 6.718 uur; h) 7.521 l en 7538 cm3.
Is het mogelijk om 3,5 kg en 8,12 m te vergelijken? Geef enkele voorbeelden van hoeveelheden die niet te vergelijken zijn.
1185. Bereken mondeling:
1186. Herstel de keten van berekeningen
1187. Is het mogelijk om te zeggen hoeveel cijfers achter de komma in een decimale breuk zitten als de naam eindigt met het woord:
a) honderdsten; b) tienduizendsten; c) tienden; d) miljoenen?
Inhoud van de les les samenvatting ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Oefening opdrachten en oefeningen zelfonderzoek workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van leerlingen Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen afbeeldingen, tabellen, schema's humor, anekdotes, grappen, strips, gelijkenissen, gezegden, kruiswoordpuzzels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierige ledikanten leerboeken basis- en aanvullende woordenlijst overige Leerboeken en lessen verbeterenfouten in het leerboek corrigeren een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar richtlijnen discussieprogramma's Geïntegreerde lessenSECTIE 7 DECIMALE FRACTIES EN ACTIES MET HEN
In de sectie leer je:
wat is een decimale breuk en wat is de structuur ervan;
hoe decimalen te vergelijken;
wat zijn de regels voor het optellen en aftrekken van decimale breuken;
hoe het product en het quotiënt van twee decimale breuken te vinden;
wat is een getal afronden en hoe getallen af te ronden;
hoe de geleerde stof in de praktijk toe te passen?
§ 29. WAT IS EEN DECIMALE FRACTIE. VERGELIJKING VAN DECIMALE FRACTIES
Kijk naar figuur 220. Je kunt zien dat de lengte van het segment AB 7 mm is en de lengte van het segment DC 18 mm. Om de lengte van deze segmenten in centimeters te geven, moet u breuken gebruiken: 
U kent vele andere voorbeelden waar breuken met noemers 10,100, 1000 en dergelijke worden gebruikt. Dus, 
Dergelijke breuken worden decimalen genoemd. Om ze op te nemen, gebruiken ze een handiger vorm, die wordt voorgesteld door de liniaal van uw accessoires. Laten we eens kijken naar het voorbeeld in kwestie.
U weet dat de lengte van het segment DC (Fig. 220) kan worden uitgedrukt als een gemengd getal
Als we een komma plaatsen achter het gehele deel van dit getal, en daarna de teller van het fractionele deel, dan krijgen we een compactere notatie: 1,8 cm Voor het segment AB krijgen we: 0,7 cm Inderdaad, de breuk is correct, het is minder dan één, dus zijn hele deel is 0. De getallen 1.8 en 0.7 zijn voorbeelden van decimale breuken.
De decimale breuk 1.8 wordt als volgt gelezen: "een komma acht", en de breuk 0.7 - "nul komma zeven".
Hoe breuken te schrijven 
in decimale vorm? Om dit te doen, moet u de structuur van de decimale notatie kennen.
In decimale notatie is er altijd een geheel getal en een breukdeel. ze worden gescheiden door een komma. In het gehele deel zijn klassen en cijfers hetzelfde als voor natuurlijke getallen. U weet dat dit klassen van eenheden zijn, duizenden, miljoenen, enz., en elk van hen heeft 3 cijfers - eenheden, tientallen en honderden. In het fractionele deel van een decimale breuk worden klassen niet onderscheiden, en er kunnen zoveel cijfers zijn als je wilt, hun namen komen overeen met de namen van de noemers van breuken - tienden, honderdsten, duizendsten, tienduizendsten, honderdduizendsten, miljoensten , tienmiljoensten, enz. De tiende plaats is de oudste in het fractionele deel van een decimaal.
In tabel 40 zie je de namen van de decimalen en het getal "honderddrieëntwintig gehele getallen en vierduizend vijfhonderdzeshonderdduizendste" of 
De naam van het fractionele deel van "honderdduizendsten" in een gewone breuk bepaalt de noemer, en in decimaal - het laatste cijfer van het fractionele deel. Dat zie je in de teller van het breukdeel van het getal 
één cijfer minder dan nullen in de noemer. Als hier geen rekening mee wordt gehouden, krijgen we een fout bij het schrijven van het fractionele deel - in plaats van 4506 honderdduizendsten schrijven we 4506 tienduizendsten, maar 
Daarom, als u dit getal als een decimale breuk schrijft, moet u 0 achter de komma zetten (op de tiende plaats): 123.04506.
Opmerking:
in een decimale breuk moeten er net zoveel cijfers achter de komma staan als er nullen in de noemer van de overeenkomstige gewone breuk staan.
We kunnen nu breuken schrijven
in de vorm van decimalen.
Decimalen kunnen op dezelfde manier worden vergeleken als natuurlijke getallen. Als er veel cijfers in decimale breuken zijn, worden speciale regels gebruikt. Denk aan voorbeelden.
Een taak. Vergelijk breuken: 1) 96.234 en 830.123; 2) 3.574 en 3.547.
Oplossingen. 1, Het gehele deel van de eerste breuk is het tweecijferige getal 96, en het gehele deel van de breuk van de tweede is het driecijferige getal 830, dus:
96,234 < 830,123.
2. In de invoer van breuken 3.574 en 3.547 zijn de hele delen gelijk. Daarom vergelijken we hun breukdelen beetje bij beetje. Om dit te doen, schrijven we deze breuken onder elkaar:
Elke breuk heeft 5 tienden. Maar in de eerste fractie zijn er 7 honderdsten, en in de tweede - slechts 4 honderdsten. Daarom is de eerste breuk groter dan de tweede: 3,574 > 3,547.
Regels voor het vergelijken van decimale breuken.
1. Van twee decimale breuken is die met het grootste gehele deel groter.
2. Als de gehele delen van decimale breuken gelijk zijn, dan worden hun breukdelen bit voor bit vergeleken, beginnend bij het meest significante cijfer.
Net als gewone breuken kunnen decimale breuken op de coördinatenlijn worden geplaatst. In figuur 221 zie je dat de punten A, B en C coördinaten hebben: A (0.2), B (0.9), C (1.6).
Meer te weten komen
Decimalen zijn gerelateerd aan het decimale positienummersysteem. Hun uiterlijk heeft echter een langere geschiedenis en wordt geassocieerd met de naam van de uitstekende wiskundige en astronoom al-Kashi ( voor-en achternaam-Jamshid ibn-Masudal-Kashi). In zijn werk "The Key to Arithmetic" (XV eeuw) formuleerde hij eerst de regels voor acties met decimale breuken, gaf hij voorbeelden van het uitvoeren van acties met hen. De Vlaamse wiskundige en ingenieur Simon Stevin, die niets wist van de ontdekking van al-Kashi, 'ontdekte' decimale breuken voor de tweede keer, ongeveer 150 jaar later. In het werk "Decimal" (1585 p.) schetste S. Stevin de theorie van decimale breuken. Hij promootte ze op alle mogelijke manieren en benadrukte het gemak van decimale breuken voor praktische berekeningen.
Het scheiden van het gehele deel van de fractionele decimale breuk werd op verschillende manieren voorgesteld. Dus al-Kashi schreef de gehele en fractionele delen in verschillende inkt of zette er een verticale lijn tussen. S. Stevin plaatste een nul in een cirkel om het gehele deel van het fractionele deel te scheiden. De in onze tijd geaccepteerde komma werd voorgesteld door de beroemde Duitse astronoom Johannes Kepler (1571 - 1630).
LOS DE UITDAGINGEN OP
1173. Noteer in centimeters de lengte van het segment AB als:
1)AB = 5 mm; 2)AB = 8 mm; 3)AB = 9 mm; 4)AB = 2 mm.
1174. Lees breuken:
1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;
2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.
Naam: a) het hele deel van de breuk; b) het fractionele deel van de fractie; c) cijfers van een breuk.
1175. Geef een voorbeeld van een decimale breuk waarin de komma is:
1) één cijfer; 2) twee cijfers; 3) drie cijfers.
1176. Hoeveel decimalen heeft een decimale breuk als de noemer van de overeenkomstige gewone breuk gelijk is aan:
1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?
1177. Welke van de breuken heeft het grotere gehele getal:
1) 12,5 of 115,2; 4) 789.154 of 78.4569;
2) 5,25 of 35,26; 5) 1258.00265 of 125.0333;
3) 185,25 of 56,325; 6) 1269.569 of 16.12?
1178. Scheid in het nummer 1256897 het laatste cijfer met een komma en lees het nummer dat je hebt gekregen. Verplaats de komma vervolgens achtereenvolgens één cijfer naar links en noem de breuken die u hebt ontvangen.
1179. Lees de breuken en schrijf ze op als een decimale breuk:
1180 Lees de breuken en schrijf ze op als een decimaal:
1181. Schrijf in gewone breuk:
1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;
2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;
3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.
1182. Schrijf in gewone breuk:
1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.
1183. Schrijf in decimale breuk op:
1) 8 hele 3 tienden; 5) 145 punt 14;
2) 12 hele 5 tienden; 6) 125 punt 19;
3) 0 hele 5 tienden; 7) 0 hele 12 honderdsten;
4) 12 hele 34 honderdsten; 8) 0 hele 3 honderdsten.
1184. Schrijf in decimale breuk:
1) nul maar liefst achtduizendste;
2) twintig komma vier honderdsten;
3) dertien komma vijf honderdsten;
4) honderdvijfenveertig komma twee honderdsten.
1185. Schrijf het aandeel als een breuk en vervolgens als een decimaal:
1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;
2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.
1186. Schrijf als een gemengd getal en vervolgens als een decimaal:
1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;
2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.
1187. Schrijf als een gemengd getal en vervolgens als een decimaal:
1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;
2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.
1188. Express in hryvnia's:
1) 35 k.; 2) 6k.; 3) 12 UAH 35 kopeken; 4) 123k.
1189. Express in hryvnia's:
1) 58 k.; 2) 2 tot.; 3) 56 UAH 55 kopeken; 4) 175k.
1190. Schrijf in hryvnia's en kopeken op:
1) 10,34 UAH; 2) UAH 12.03; 3) 0,52 UAH; 4) UAH 126,05
1191. Druk uit in meters en noteer het antwoord als decimale breuk: 1) 5 m 7 dm; 2) 15m 58cm; 3) 5 m2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.
1192. Druk uit in kilometers en noteer het antwoord in decimale breuken: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 meter.
1193. Noteer in meters en centimeters:
1) 12,55 m; 2) 2,06 meter; 3) 0,25 m; 4) 0,08 meter.
1194. De grootste diepte van de Zwarte Zee is 2.211 km. Druk de diepte van de zee uit in meters.
1195. Vergelijk breuken:
1) 15,5 en 16,5; 5) 4.2 en 4.3; 9) 1.4 en 1.52;
2) 12.4 en 12.5; 6) 14,5 en 15,5; 10) 4.568 en 4.569;
3) 45,8 en 45,59; 7) 43.04 en 43.1; 11)78.45178.458;
4) 0,4 en 0,6; 8) 1.23 en 1.364; 12) 2.25 en 2.243.
1196. Vergelijk breuken:
1) 78,5 en 79,5; 3) 78,3 en 78,89; 5) 25.03 en 25.3;
2) 22,3 en 22,7; 4) 0,3 en 0,8; 6) 23.569 en 23.568.
1197. Noteer de decimale breuken in oplopende volgorde:
1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;
2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.
1198. Noteer de decimale breuken in aflopende volgorde:
15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.
1199. Express in vierkante meters en schrijf als een decimaal:
1) 5dm2; 2) 15 cm2; 3) 5dm212cm2.
1200 . De kamer heeft de vorm van een rechthoek. De lengte is 90 dm en de breedte is 40 dm. Zoek het gebied van de kamer. Schrijf je antwoord in vierkante meters.
1201 . Vergelijk breuken:
1) 0,04 en 0,06; 5) 1.003 en 1.03; 9) 120.058 en 120.051;
2) 402.0022 en 40.003; 6) 1.05 en 1.005; 10) 78,05 en 78,58;
3) 104,05 en 105,05; 7) 4.0502 en 4.0503; 11) 2.205 en 2.253;
4) 40.04 en 40.01; 8) 60.4007-60.04007; 12) 20.12 en 25.12.
1202. Vergelijk breuken:
1) 0,03 en 0,3; 4) 6.4012 en 6.404;
2) 5.03 en 5.003; 5) 450,025 en 450,2054;
1203. Schrijf vijf decimale breuken op die tussen de breuken op de coördinatenbalk liggen:
1) 6.2 en 6.3; 2) 9.2 en 9.3; 3) 5.8 en 5.9; 4) 0,4 en 0,5.
1204. Schrijf vijf decimale breuken op die tussen de breuken op de coördinatenbalk liggen: 1) 3.1 en 3.2; 2) 7.4 en 7.5.
1205. Waartussen twee aangrenzende natuurlijke getallen een decimale breuk is geplaatst:
1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?
1206. Schrijf vijf decimale breuken op waarvoor de ongelijkheid waar is:
1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;
2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.
1207. Noteer vijf decimale breuken waarvoor de ongelijkheid waar is:
1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.
1208. Noteer de grootste decimale breuk:
1) met twee cijfers achter de komma, kleiner dan 2;
2) met één cijfer achter de komma kleiner dan 3;
3) met drie cijfers achter de komma, kleiner dan 4;
4) met vier cijfers achter de komma, kleiner dan 1.
1209. Noteer de kleinste decimale breuk:
1) met twee cijfers achter de komma, die groter is dan 2;
2) met drie cijfers achter de komma, die groter is dan 4.
1210. Schrijf alle getallen op die in plaats van een asterisk kunnen worden gezet om de juiste ongelijkheid te krijgen:
1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;
2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.
1211. Welk getal kan in plaats van een asterisk worden geplaatst om de juiste ongelijkheid te krijgen:
1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?
1212. Noteer alle decimale breuken, waarvan het hele deel 6 is, en het breukdeel bevat drie decimalen, geschreven als 7 en 8. Schrijf deze breuken in aflopende volgorde.
1213. Schrijf zes decimale breuken op, waarvan het hele deel 45 is, en het breukdeel bestaat uit vier verschillende getallen: 1, 2, 3, 4. Schrijf deze breuken in oplopende volgorde.
1214. Hoeveel decimale breuken kunnen worden gevormd, waarvan het hele deel gelijk is aan 86, en het breukdeel bestaat uit drie verschillende cijfers: 1,2,3?
1215. Hoeveel decimale breuken kunnen worden gevormd, waarvan het hele deel gelijk is aan 5, en het breukdeel is driecijferig, geschreven als 6 en 7? Schrijf deze breuken in aflopende volgorde.
1216. Doorstreep drie nullen in het getal 50.004007 zodat het vormt:
1) grootste getal; 2) het kleinste getal.
TOEPASSING IN DE PRAKTIJK
1217. Meet de lengte en breedte van je notitieboekje in millimeters en schrijf je antwoord op in decimeters.
1218. Noteer je lengte in meters met een decimale breuk.
1219. Meet de afmetingen van uw kamer en bereken de omtrek en oppervlakte. Schrijf je antwoord in meters en vierkante meters.
HERHALEN TAKEN
1220. Voor welke waarden van x is een breuk ongepast?
1221. Los de vergelijking op:
1222. De winkel moest 714 kg appels verkopen. Voor de eerste dag werden alle appels verkocht, en voor de tweede - van wat er op de eerste dag werd verkocht. Hoeveel appels zijn er in 2 dagen verkocht?
1223. De rand van een kubus werd met 10 cm verkleind en er werd een kubus verkregen met een volume van 8 dm3. Zoek het volume van de eerste kubus.
In dit artikel behandelen we het onderwerp decimale vergelijking". Laten we eerst bespreken algemeen principe decimalen vergelijken. Daarna gaan we uitzoeken welke decimale breuken gelijk zijn en welke ongelijk. Vervolgens zullen we leren hoe we kunnen bepalen welke decimale breuk groter is en welke kleiner. Om dit te doen, zullen we de regels bestuderen voor het vergelijken van eindige, oneindig periodieke en oneindige niet-periodieke breuken. Laten we de hele theorie van voorbeelden voorzien met gedetailleerde beslissingen. Laten we tot slot stilstaan bij de vergelijking van decimale breuken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde nummers.
Laten we meteen zeggen dat we het hier alleen zullen hebben over het vergelijken van positieve decimale breuken (zie positieve en negatieve getallen). De overige gevallen worden geanalyseerd in de artikelen waarin rationale getallen worden vergeleken en vergelijking van reële getallen.
Paginanavigatie.
Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken
Op basis van dit vergelijkingsprincipe worden de regels voor het vergelijken van decimale breuken afgeleid, waardoor het mogelijk is om de vergeleken decimale breuken niet om te zetten in gewone breuken. Deze regels, evenals voorbeelden van hun toepassing, zullen we in de volgende paragrafen analyseren.
Volgens een soortgelijk principe worden eindige decimale breuken of oneindig periodieke decimale breuken vergeleken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen: de vergeleken getallen worden vervangen door hun overeenkomstige gewone breuken, waarna gewone breuken worden vergeleken.
Met betrekking tot vergelijkingen van oneindige eenmalige decimalen, dan komt het meestal neer op het vergelijken van definitieve decimale breuken. Om dit te doen, moet u rekening houden met een dergelijk aantal tekens van vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken, waarmee u het resultaat van de vergelijking kunt krijgen.
Gelijke en ongelijke decimalen
Eerst introduceren we definities van gelijke en ongelijke einddecimaaltekens.
Definitie.
De twee laatste decimalen heten Gelijk als hun corresponderende gemeenschappelijke breuken gelijk zijn, anders worden deze decimale breuken genoemd ongelijke.
Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om de volgende verklaring te rechtvaardigen: als we aan het einde van een bepaalde decimale breuk meerdere cijfers 0 toekennen of weggooien, dan krijgen we een decimale breuk die daaraan gelijk is. Bijvoorbeeld 0.3=0.30=0.300=… en 140.000=140.00=140.0=140 .
Inderdaad, het toevoegen of weggooien van nul aan het einde van de decimale breuk aan de rechterkant komt overeen met het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en noemer van de overeenkomstige gewone breuk. En we kennen de basiseigenschap van een breuk, die zegt dat het vermenigvuldigen of delen van de teller en noemer van een breuk met hetzelfde natuurlijke getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke. Dit bewijst dat het toevoegen of weggooien van nullen naar rechts in het fractionele deel van een decimale breuk een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke.
Een decimale breuk 0,5 komt bijvoorbeeld overeen met een gewone breuk 5/10, na toevoeging van nul aan de rechterkant, wordt een decimale breuk 0,50 verkregen, die overeenkomt met een gewone breuk 50/100, en. Dus 0,5=0,50 . Omgekeerd, als in decimale breuk 0,50 0 aan de rechterkant weggooit, krijgen we een breuk 0,5, dus van een gewone breuk 50/100 komen we tot een breuk 5/10, maar 
. Daarom 0,50=0,5 .
Laten we verder gaan met definitie van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.
Definitie.
Twee oneindige periodieke breuken Gelijk, als de gewone breuken die ermee overeenkomen gelijk zijn; als de gewone breuken die ermee overeenkomen niet gelijk zijn, dan zijn de vergeleken periodieke breuken ook niet gelijk.
Uit deze definitie volgen drie conclusies:
- Als de records van periodieke decimale breuken precies hetzelfde zijn, dan zijn dergelijke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke decimalen 0,34(2987) en 0,34(2987) zijn bijvoorbeeld gelijk.
- Als de punten van de vergeleken decimale periodieke breuken op dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een punt van 0 , de tweede een punt van 9 en is de waarde van het cijfer voorafgaand aan punt 0 één groter dan de waarde van het cijfer voorafgaande periode 9 , dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. Zo zijn de periodieke breuken 8.3(0) en 8.2(9) gelijk, en zijn de breuken 141,(0) en 140,(9) ook gelijk.
- Twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Hier zijn voorbeelden van ongelijke oneindige periodieke decimale breuken: 9.0(4) en 7,(21) , 0, (12) en 0, (121) , 10,(0) en 9.8(9) .
Het blijft om mee om te gaan gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Zoals u weet, kunnen dergelijke decimale breuken niet worden omgezet in gewone breuken (dergelijke decimale breuken vertegenwoordigen irrationele getallen), dus de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken kan niet worden teruggebracht tot een vergelijking van gewone breuken.
Definitie.
Twee oneindige eenmalige decimalen Gelijk als hun invoer exact overeenkomt.
Maar er is één nuance: het is onmogelijk om het "voltooide" record van oneindige niet-periodieke decimale breuken te zien, daarom is het onmogelijk om zeker te zijn van het volledige samenvallen van hun records. Hoe te zijn?
Alleen bij het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimale breuken: eindig getal tekenen van vergeleken breuken, waarmee u de nodige conclusies kunt trekken. Zo wordt de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken gereduceerd tot de vergelijking van eindige decimale breuken.
Met deze benadering kunnen we praten over de gelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken tot het beschouwde cijfer. Laten we voorbeelden geven. Oneindige niet-periodieke decimale breuken 5.45839 ... en 5.45839 ... zijn gelijk aan binnen honderdduizendsten, aangezien de uiteindelijke decimale breuken 5.45839 en 5.45839 gelijk zijn; eenmalige decimale breuken 19,54 ... en 19,54810375 ... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdste, aangezien de breuken 19,54 en 19,54 gelijk zijn.
De ongelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken met deze benadering is vrij zeker vastgesteld. Bijvoorbeeld, de oneindige niet-periodieke decimale breuken 5.6789... en 5.67732... zijn niet gelijk, omdat de verschillen in hun records duidelijk zijn (de uiteindelijke decimale breuken 5.6789 en 5.6773 zijn niet gelijk). De oneindige decimalen 6.49354... en 7.53789... zijn ook niet gelijk.
Regels voor het vergelijken van decimale breuken, voorbeelden, oplossingen
Nadat is vastgesteld dat twee decimale breuken niet gelijk zijn, is het vaak nodig om uit te zoeken welke van deze breuken groter is en welke kleiner dan de andere. Nu zullen we de regels analyseren voor het vergelijken van decimale breuken, zodat we de gestelde vraag kunnen beantwoorden.
In veel gevallen is het voldoende om de gehele delen van de vergeleken decimalen te vergelijken. Het volgende is waar: decimale vergelijkingsregel: groter dan de decimale breuk, waarvan het gehele deel groter is, en kleiner dan de decimale breuk, waarvan het gehele deel kleiner is.
Deze regel is van toepassing op zowel eindige decimalen als oneindige decimalen. Laten we eens kijken naar voorbeelden.
Voorbeeld.
Vergelijk decimalen 9,43 en 7,983023….
Oplossing.
Het is duidelijk dat deze decimale breuken niet gelijk zijn. Het gehele deel van de laatste decimale breuk 9,43 is gelijk aan 9, en het gehele deel van de oneindige niet-periodieke breuk 7.983023 ... is gelijk aan 7. Sinds 9>7 (zie vergelijking van natuurlijke getallen), dan 9,43>7,983023.
Antwoorden:
9,43>7,983023 .
Voorbeeld.
Welke van de decimalen 49.43(14) en 1045.45029... is minder?
Oplossing.
Het gehele deel van de periodieke breuk 49.43(14) is kleiner dan het gehele deel van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 1 045.45029…, daarom 49.43(14)<1 045,45029… .
Antwoorden:
49,43(14) .
Als de gehele delen van de vergeleken decimale breuken gelijk zijn, moet men de breukdelen vergelijken om erachter te komen welke groter en welke kleiner is. Vergelijking fractionele delen decimale breuken worden bit voor bit uitgevoerd- van de categorie van tienden tot de jongere.
Laten we eerst eens kijken naar een voorbeeld van het vergelijken van twee laatste decimale breuken.
Voorbeeld.
Vergelijk de einddecimaaltekens 0,87 en 0,8521 .
Oplossing.
De gehele delen van deze decimale breuken zijn gelijk (0=0 ), dus laten we verder gaan met het vergelijken van de breuken. De waarden van de tiende plaats zijn gelijk (8=8) en de waarde van de honderdsten van de breuk 0,87 is groter dan de waarde van de honderdsten van de breuk 0,8521 (7>5). Daarom 0,87>0,8521.
Antwoorden:
0,87>0,8521 .
Soms, om achterlopende decimalen te vergelijken met ander bedrag decimalen, moet een breuk met minder decimalen worden toegevoegd met een bepaald aantal nullen aan de rechterkant. Het is heel handig om het aantal decimalen gelijk te maken voordat u begint met het vergelijken van de laatste decimale breuken door een bepaald aantal nullen toe te voegen aan de rechterkant van een ervan.
Voorbeeld.
Vergelijk de achterste decimalen 18.00405 en 18.0040532.
Oplossing.
Het is duidelijk dat deze breuken ongelijk zijn, omdat hun records verschillend zijn, maar tegelijkertijd hebben ze gelijke gehele delen (18=18).
Voordat we de fractionele delen van deze breuken bitsgewijs vergelijken, maken we het aantal decimalen gelijk. Om dit te doen, kennen we twee cijfers 0 toe aan het einde van de breuk 18.00405, terwijl we de decimale breuk krijgen die gelijk is aan 18.0040500.
De decimalen van 18.0040500 en 18.0040532 zijn gelijk tot honderdduizendsten, en de waarde van de miljoenste plaats van 18.0040500 is kleiner dan de waarde van de overeenkomstige breukplaats van 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Antwoorden:
18,00405<18,0040532 .
Bij het vergelijken van een eindige decimale breuk met een oneindige, wordt de laatste breuk vervangen door een oneindige periodieke breuk die er gelijk aan is met een periode van 0, waarna een vergelijking wordt gemaakt met cijfers.
Voorbeeld.
Vergelijk het laatste decimaal 5.27 met het oneindige eenmalige decimaal 5.270013….
Oplossing.
De gehele delen van deze decimalen zijn gelijk. De waarden van de cijfers van de tienden en honderdsten van deze breuken zijn gelijk, en om verdere vergelijking uit te voeren, vervangen we de laatste decimale breuk door een oneindige periodieke breuk die gelijk is aan deze met een periode van 0 van de vorm 5.270000 . .. . Voor de vijfde decimaal zijn de waarden van de decimalen 5.270000... en 5.270013... gelijk, en op de vijfde decimaal hebben we 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Antwoorden:
5,27<5,270013… .
Vergelijking van oneindige decimale breuken wordt ook bit voor bit uitgevoerd, en eindigt zodra de waarden van een bit anders zijn.
Voorbeeld.
Vergelijk de oneindige decimalen 6.23(18) en 6.25181815….
Oplossing.
De gehele delen van deze breuken zijn gelijk, de waarden van de tiende plaats zijn ook gelijk. En de waarde van de honderdsten van de periodieke breuk 6.23(18) is kleiner dan de honderdsten van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 6.25181815…, daarom 6.23(18)<6,25181815… .
Antwoorden:
6,23(18)<6,25181815… .
Voorbeeld.
Welke van de oneindige periodieke decimalen 3,(73) en 3,(737) is groter?
Oplossing.
Het is duidelijk dat 3,(73)=3.73737373… en 3,(737)=3.737737737… . Op de vierde decimaal eindigt de bitsgewijze vergelijking, want daar hebben we 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Antwoorden:
3,(737) .
Vergelijk decimalen met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen.
Om het resultaat te krijgen van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal, kun je het gehele deel van deze breuk vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. In dit geval moeten periodieke breuken met punten van 0 of 9 eerst worden vervangen door hun gelijke definitieve decimale breuken.
Het volgende is waar: regel voor het vergelijken van decimale breuken en natuurlijk getal: als het gehele deel van een decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de hele breuk kleiner dan dit natuurlijke getal; als het gehele deel van een breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.
Bekijk voorbeelden van de toepassing van deze vergelijkingsregel.
Voorbeeld.
Vergelijk natuurlijk getal 7 met decimale breuk 8.8329….
Oplossing.
Aangezien het gegeven natuurlijke getal kleiner is dan het gehele deel van de gegeven decimale breuk, is dit getal kleiner dan de gegeven decimale breuk.
Antwoorden:
7<8,8329… .
Voorbeeld.
Vergelijk het natuurlijke getal 7 en het decimale getal 7.1.
Een les in het beheersen en consolideren van nieuwe kennis
Onderwerp : Decimale vergelijking
Dambaeva Valentina Matveevna
wiskunde leraar
MAOU "Secundaire school nr. 25", Ulan-Ude
Onderwerp. Vergelijking van decimale breuken.
Didactisch doel: leer de leerlingen twee decimale breuken te vergelijken. Laat de leerlingen kennismaken met de vergelijkingsregel. Het vermogen vormen om een grote (kleinere) breuk te vinden.
educatieve doel. De creatieve activiteit van studenten ontwikkelen bij het oplossen van voorbeelden. Ontwikkel interesse in wiskunde door verschillende soorten taken te selecteren. Cultiveer vindingrijkheid, vindingrijkheid, ontwikkel flexibel denken. Bij de leerlingen het vermogen om zelfkritisch te relateren aan de resultaten van het uitgevoerde werk blijven ontwikkelen.
Lesmateriaal. Hand-out. Signaalkaarten, taakkaarten, carbonpapier.
Visuele hulpmiddelen. Taaktabellen, posterregels.
Klasse soort. Assimilatie van nieuwe kennis. Consolideren van nieuwe kennis.
Lesplan
Tijd organiseren. 1 minuut.
Huiswerk nakijken. 3 minuten
Herhaling. 8 minuten
Uitleg over het nieuwe onderwerp. 18-20 minuten
consolidatie. 25-27 minuten
Samenvattend het werk. 3 minuten
Huiswerk. 1 minuut.
Express dictaat. 10-13 minuten
Tijdens de lessen.
1. Organisatorisch moment.
2. Huiswerk nakijken. Collectie notitieboekjes.
3. Herhaling(mondeling).
a) gewone breuken vergelijken (werk met signaalkaarten).
4/5 en 3/5; 4/4 en 13/40; 1 en 3/2; 4/2 en 12/20; 3 5/6 en 5 5/6;
b) In welke categorie vallen 4 eenheden, 2 eenheden ... ..?
57532, 4081
c) natuurlijke getallen vergelijken
99 en 1111; 5 4 4 en 5 3 4, 556 en 55 9 ; 4 366 en 7 366;
Hoe getallen met hetzelfde aantal cijfers vergelijken?
(Getallen met hetzelfde aantal cijfers worden beetje bij beetje vergeleken, te beginnen met het meest significante cijfer. Poster-regel).
Het is denkbaar dat de cijfers van dezelfde naam "concurreren", waarvan de cijferterm groter is: één met enen, tientallen met tientallen, enz.
4. Uitleg van het nieuwe onderwerp.
a) Welk teken (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.
Poster opdracht
3425, 672678 ? 3425, 672478
14, 24000 ? 14, 24
Om deze vraag te beantwoorden, moet u leren hoe u decimale breuken kunt vergelijken.
12, 3 < 15,3
72.1 > 68.4 Waarom?
Van twee decimale breuken is die met het grotere gehele deel groter.
13,5 > 13,4
0, 327 > 0,321
Waarom?
Als de gehele delen van de vergeleken breuken gelijk zijn aan elkaar, dan wordt hun breukdeel vergeleken met cijfers.
3. 0,800 ? 0,8
1,32 ? 1,3
Maar wat als er verschillende nummers van deze nummers zijn? Als een of meer nullen worden toegevoegd aan de decimale breuk aan de rechterkant, verandert de waarde van de breuk niet.
Omgekeerd, als de decimale breuk op nullen eindigt, dan kunnen deze nullen worden weggegooid, de waarde van de breuk verandert hierdoor niet.
Overweeg drie decimalen:
1,25 1,250 1,2500
Hoe verschillen ze van elkaar?
Alleen het aantal nullen aan het einde van het record.
Welke getallen vertegenwoordigen ze?
Om daar achter te komen, moet je voor elk van de breuken de som van de bittermen opschrijven.
1,25 = 1+ 2/10 + 5/100
1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25
1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100
In alle gelijkheden staat rechts hetzelfde bedrag. Dus alle drie de breuken vertegenwoordigen hetzelfde getal. Anders zijn deze drie breuken gelijk: 1.25 = 1.250 = 1.2500.
Decimale breuken kunnen op dezelfde manier op de coördinatenstraal worden weergegeven als gewone breuken. Bijvoorbeeld om de decimale breuk 0,5 op de coördinatenbundel weer te geven. Laten we het eerst als een gewone breuk voorstellen: 0,5 = 5/10. Daarna leggen we vijf tienden van een enkel segment opzij vanaf het begin van de balk. Krijg punt A(0.5)
Gelijke decimale breuken worden door hetzelfde punt op de coördinaatstraal afgebeeld.
De kleinere decimale breuk ligt op de coördinaatstraal links van de grotere en de grotere ligt rechts van de kleinere.
b) Werk met het leerboek, met de regel.
Probeer nu de vraag te beantwoorden die aan het begin van de uitleg werd gesteld: welk teken (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.
5. Bevestiging.
№1
Vergelijken: Werken met signaalkaarten
85.09 en 67.99
55.7 en 55.700
0,0025 en 0,00247
98,52 m en 65,39 m
149,63 kg en 150,08 kg
3,55 0 en 3,61 0 С
6.784 uur en 6.718 uur
№ 2
Schrijf een decimaal
a) met vier decimalen, gelijk aan 0,87
b) met vijf decimalen, gelijk aan 0,541
c) met drie decimalen, gelijk aan 35
d) met twee decimalen, gelijk aan 8.40000
2 studenten werken aan individuele borden
№ 3
Smekalkin maakte zich klaar om getallen te vergelijken en kopieerde verschillende paren getallen in een notitieboekje, waartussen je een teken moet plaatsen > of<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:
a) 4.3** en 4.7**
b) **, 412 en *, 9*
c) 0,742 en 0,741*
d)*, *** en **,**
e) 95,0** en *4.*3*
Smekalkin vond het leuk dat hij de taak met uitgesmeerde cijfers kon voltooien. In plaats van een taak bleken er immers raadsels. Hij besloot zelf raadsels met besmeurde cijfers te bedenken en biedt je aan. In de volgende vermeldingen zijn sommige cijfers uitgesmeerd. Je moet raden wat deze cijfers zijn.
a) 2.*1 en 2.02
b) 6.431 en 6.4 * 8
c) 1,34 en 1,3*
d) 4.*1 en 4.41
e) 4,5 * 8 en 4, 593
f) 5.657* en 5.68
Taak op de poster en op individuele kaarten.
Verificatie-rechtvaardiging van elk ingesteld merkteken.
№ 4
ik bevestig:
a) 3.7 is kleiner dan 3.278
omdat het eerste getal minder cijfers heeft dan het tweede.
b) 25,63 is gelijk aan 2,563
Ze hebben immers dezelfde nummers in dezelfde volgorde.
Corrigeer mijn bewering
"Tegenvoorbeeld" (mondeling)
№ 5
Welke natuurlijke getallen zijn tussen getallen (geschreven).
a) 3, 7 en 6.6
b) 18,2 en 19,8
c) 43 en 45.42
d) 15 en 18
6. Het resultaat van de les.
Hoe vergelijk je twee decimalen met verschillende gehele getallen?
Hoe vergelijk je twee decimalen met dezelfde gehele getallen?
Hoe vergelijk je twee decimalen met hetzelfde aantal decimalen?
7. Huiswerk.
8. Express dictaat.
Schrijf de cijfers korter
0,90 1,40
10,72000 61,610000
breuken vergelijken
0,3 en 0,31 0,4 en 0,43
0,46 en 0,5 0,38 en 0,4
55.7 en 55.700 88,4 en 88.400
In volgorde schikken
Aflopend Oplopend
3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453
Wat zijn de natuurlijke getallen tussen de getallen?
7,5 en 9,1 3,25 en 5,5
84 en 85.001 0.3 en 4
Zet de getallen om de ongelijkheid waar te maken:
15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3
6,99 6,8
Snel dictaat controleren vanaf het bord
Extra taak.
1. Schrijf 3 voorbeelden naar je buurman en check!
Literatuur:
Stratilatov P.V. "Over het werksysteem van een wiskundeleraar" Moskou "Verlichting" 1984
Kabalevsky Yu.D. "Onafhankelijk werk van studenten in het proces van het onderwijzen van wiskunde" 1988
Bulanova LM, Dudnitsyn Yu.P. "Testtaken in de wiskunde",
Moskou "Toewijding" 1992
V.G. Kovalenko "Didactische spellen in wiskundelessen" Moskou "Verlichting" 1990
Minaeva SS "Berekeningen in de klas en buitenschoolse activiteiten in de wiskunde" Moskou "Prosveshchenie" 1983
