Vergelijk het fractionele deel van een decimaalteken met één. Vergelijking van eindige en oneindige decimalen: regels, voorbeelden, oplossingen

26.09.2019

In dit artikel zullen we kijken naar het onderwerp " decimalen vergelijken" Laten we eerst bespreken algemeen principe vergelijking van decimale breuken. Hierna zullen we uitzoeken welke decimale breuken gelijk zijn en welke ongelijk zijn. Vervolgens zullen we leren bepalen welke decimale breuk groter is en welke kleiner. Om dit te doen, zullen we de regels bestuderen voor het vergelijken van eindige, oneindige periodieke en oneindige niet-periodieke breuken. We zullen de hele theorie voorzien van voorbeelden gedetailleerde oplossingen. Laten we tot slot eens kijken naar de vergelijking van decimale breuken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen.

Laten we meteen zeggen dat we het hier alleen zullen hebben over het vergelijken van positieve decimale breuken (zie positieve en negatieve getallen). De overige gevallen worden besproken in de artikelen Vergelijking van rationale getallen en vergelijking van reële getallen.

Paginanavigatie.

Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken

Op basis van dit vergelijkingsprincipe worden regels voor het vergelijken van decimale breuken afgeleid die het mogelijk maken om te doen zonder de vergeleken decimale breuken om te zetten in gewone breuken. In de volgende paragrafen bespreken we deze regels, evenals voorbeelden van de toepassing ervan.

Volgens een soortgelijk principe definitief decimalen of oneindige periodieke decimalen met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen: de getallen die worden vergeleken, worden vervangen door de overeenkomstige gewone breuken, en de gewone breuken worden vervolgens vergeleken.

Betreft vergelijkingen van oneindige niet-periodieke decimalen, dan komt het meestal neer op het vergelijken van eindige decimale breuken. Om dit te doen, moet u rekening houden met het aantal tekens van de vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken waarmee u het resultaat van de vergelijking kunt verkrijgen.

Gelijke en ongelijke decimalen

Eerst introduceren wij definities van gelijke en ongelijke decimale breuken.

Definitie.

De twee eindigende decimale breuken worden genoemd gelijkwaardig, als hun overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn, anders worden deze decimale breuken genoemd ongelijk.

Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om de volgende bewering te rechtvaardigen: als je meerdere cijfers 0 optelt of weglaat aan het einde van een gegeven decimale breuk, krijg je een decimale breuk die gelijk is aan deze breuk. Bijvoorbeeld 0,3=0,30=0,300=… en 140,000=140,00=140,0=140.

Het toevoegen of weggooien van een nul aan het einde van een decimale breuk aan de rechterkant komt overeen met het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en de noemer van de overeenkomstige gewone breuk. En we kennen de basiseigenschap van een breuk, die stelt dat het vermenigvuldigen of delen van de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde natuurlijke getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk. Dit bewijst dat het toevoegen of weggooien van nullen aan de rechterkant in het fractionele deel van een decimaal getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

De decimale breuk 0,5 komt bijvoorbeeld overeen met de gewone breuk 5/10, na het toevoegen van een nul aan de rechterkant komt de decimale breuk 0,50 overeen, wat overeenkomt met de gewone breuk 50/100, en. Dus 0,5=0,50. Omgekeerd, als we in de decimale breuk 0,50 de 0 aan de rechterkant weggooien, dan krijgen we de breuk 0,5, dus van de gewone breuk 50/100 komen we bij de breuk 5/10, maar . Daarom is 0,50=0,5.

Laten we verder gaan naar bepaling van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.

Definitie.

Twee oneindige periodieke breuken gelijkwaardig, als de overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn; als de gewone breuken die ermee corresponderen niet gelijk zijn, dan zijn de vergeleken periodieke breuken dat ook niet gelijk.

Uit deze definitie volgen drie conclusies:

Als de notaties van periodieke decimale breuken volledig samenvallen, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke decimalen 0,34(2987) en 0,34(2987) zijn bijvoorbeeld gelijk.
Als de perioden van de vergeleken decimale periodieke breuken vanaf dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een periode van 0, de tweede een periode van 9 en is de waarde van het cijfer voorafgaand aan periode 0 één groter dan de waarde van het cijfer voorafgaand aan periode 9, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke breuken 8,3(0) en 8,2(9) zijn bijvoorbeeld gelijk, en de breuken 141,(0) en 140,(9) zijn ook gelijk.
Elke twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Hier zijn voorbeelden van ongelijke oneindige periodieke decimale breuken: 9,0(4) en 7,(21), 0,(12) en 0,(121), 10,(0) en 9,8(9).

Het blijft om te behandelen gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Zoals bekend kunnen dergelijke decimale breuken niet worden omgezet in gewone breuken (dergelijke decimale breuken vertegenwoordigen irrationele getallen), daarom kan de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken niet worden gereduceerd tot de vergelijking van gewone breuken.

Definitie.

Twee oneindige niet-periodieke decimalen gelijkwaardig, als hun gegevens volledig overeenkomen.

Maar er is één voorbehoud: het is onmogelijk om het "voltooide" record van eindeloze niet-periodieke decimale breuken te zien, daarom is het onmogelijk om zeker te zijn van de volledige samenloop van hun records. Hoe te zijn?

Alleen bij het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimale breuken laatste nummer tekenen van de breuken die worden vergeleken, waardoor we de nodige conclusies kunnen trekken. De vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken wordt dus gereduceerd tot de vergelijking van eindige decimale breuken.

Met deze benadering kunnen we alleen over de gelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken praten tot aan het betreffende cijfer. Laten we voorbeelden geven. De oneindige niet-periodieke decimalen 5,45839... en 5,45839... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdduizendste, aangezien de eindige decimalen 5,45839 en 5,45839 gelijk zijn; niet-periodieke decimale breuken 19.54... en 19.54810375... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdste, aangezien ze gelijk zijn aan de breuken 19.54 en 19.54.

Met deze benadering wordt de ongelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken vrij definitief vastgesteld. De oneindige niet-periodieke decimalen 5,6789... en 5,67732... zijn bijvoorbeeld niet gelijk, aangezien de verschillen in hun notaties duidelijk zijn (de eindige decimalen 5,6789 en 5,6773 zijn niet gelijk). De oneindige decimalen 6,49354... en 7,53789... zijn ook niet gelijk.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken, voorbeelden, oplossingen

Nadat je hebt vastgesteld dat twee decimale breuken ongelijk zijn, moet je vaak uitzoeken welke van deze breuken groter is en welke kleiner dan de andere. Nu zullen we kijken naar de regels voor het vergelijken van decimale breuken, zodat we de gestelde vraag kunnen beantwoorden.

In veel gevallen is het voldoende om hele delen van de te vergelijken decimale breuken te vergelijken. Het volgende is waar regel voor het vergelijken van decimalen: groter dan die decimale breuk, hele deel die groter is, en die kleiner is dan de decimale breuk waarvan het hele deel kleiner is.

Deze regel is van toepassing op zowel eindige als oneindige decimale breuken. Laten we eens kijken naar de oplossingen voor de voorbeelden.

Voorbeeld.

Vergelijk de decimalen 9,43 en 7,983023….

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze decimalen niet gelijk zijn. Het gehele deel van de eindige decimale breuk 9,43 is gelijk aan 9, en het gehele deel van de oneindige niet-periodieke breuk 7,983023... is gelijk aan 7. Sinds 9>7 (zie vergelijking van natuurlijke getallen), dan 9,43>7,983023.

Antwoord:

9,43>7,983023 .

Voorbeeld.

Welke decimale breuk 49.43(14) en 1045.45029... is kleiner?

Oplossing.

Het gehele deel van de periodieke breuk 49.43(14) is kleiner dan het gehele deel van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 1045.45029..., dus 49.43(14)<1 045,45029… .

Antwoord:

49,43(14) .

Als de hele delen van de decimale breuken die worden vergeleken gelijk zijn, moet je de breukdelen vergelijken om erachter te komen welke groter en welke kleiner is. Vergelijking van delen van decimale breuken wordt beetje bij beetje uitgevoerd- van de categorie van tienden naar de lagere.

Laten we eerst eens kijken naar een voorbeeld van het vergelijken van twee eindige decimale breuken.

Voorbeeld.

Vergelijk de einddecimalen 0,87 en 0,8521.

Oplossing.

De gehele delen van deze decimale breuken zijn gelijk (0=0), dus we gaan verder met het vergelijken van de breukdelen. De waarden van de tienden zijn gelijk (8=8), en de waarde van de honderdsten van een breuk is 0,87 groter dan de waarde van de honderdsten van een breuk 0,8521 (7>5). Daarom 0,87>0,8521.

Antwoord:

0,87>0,8521 .

Soms, om een vergelijking uit te voeren van decimale breuken met verschillende bedragen decimalen, breuken met minder decimalen moeten rechts worden toegevoegd met een aantal nullen. Het is best handig om het aantal decimalen gelijk te maken voordat u begint met het vergelijken van de uiteindelijke decimale breuken, door een bepaald aantal nullen rechts van een ervan toe te voegen.

Voorbeeld.

Vergelijk de einddecimalen 18.00405 en 18.0040532.

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze breuken ongelijk zijn, omdat hun notatie verschillend is, maar tegelijkertijd gelijke gehele delen hebben (18 = 18).

Voordat we de breuken van deze breuken bitsgewijze vergelijken, maken we het aantal decimalen gelijk. Om dit te doen, voegen we twee cijfers 0 toe aan het einde van de breuk 18.00405, en we krijgen een gelijke decimale breuk 18.0040500.

De waarden van de decimalen van de breuken 18.0040500 en 18.0040532 zijn gelijk tot honderdduizendsten, en de waarde van de miljoenste plaats van de breuk 18.0040500 is kleiner dan de waarde van de overeenkomstige plaats van de breuk 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Antwoord:

18,00405<18,0040532 .

Bij het vergelijken van een eindige decimale breuk met een oneindige breuk wordt de eindige breuk vervangen door een gelijke oneindige periodieke breuk met een periode van 0, waarna een vergelijking per cijfer wordt gemaakt.

Voorbeeld.

Vergelijk het eindige decimaal 5,27 met het oneindige niet-periodieke decimaal 5,270013... .

Oplossing.

De hele delen van deze decimale breuken zijn gelijk. De waarden van de tienden en honderdsten van deze breuken zijn gelijk, en om verdere vergelijking uit te voeren vervangen we de eindige decimale breuk door een gelijke oneindige periodieke breuk met periode 0 van de vorm 5,270000.... Tot op de vijfde decimaal zijn de waarden van de decimalen 5.270000... en 5.270013... gelijk, en op de vijfde decimaal hebben we 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Antwoord:

5,27<5,270013… .

Vergelijking van oneindige decimale breuken wordt ook plaatselijk uitgevoerd, en eindigt zodra de waarden van sommige cijfers anders blijken te zijn.

Voorbeeld.

Vergelijk de oneindige decimalen 6.23(18) en 6.25181815….

Oplossing.

De hele delen van deze breuken zijn gelijk, en de waarden op de tiende plaats zijn ook gelijk. En de waarde van het honderdste cijfer van een periodieke breuk 6.23(18) is kleiner dan het honderdste cijfer van een oneindige niet-periodieke decimale breuk 6.25181815..., dus 6.23(18)<6,25181815… .

Antwoord:

6,23(18)<6,25181815… .

Voorbeeld.

Welke van de oneindige periodieke decimalen 3,(73) en 3,(737) is groter?

Oplossing.

Het is duidelijk dat 3,(73)=3,73737373... en 3,(737)=3,737737737... . Op de vierde decimaal eindigt de bitsgewijze vergelijking, aangezien we daar 3 hebben<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Antwoord:

3,(737) .

Vergelijk decimalen met natuurlijke getallen, breuken en gemengde getallen.

Het resultaat van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal kan worden verkregen door het gehele deel van een gegeven breuk te vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. In dit geval moeten periodieke breuken met perioden van 0 of 9 eerst worden vervangen door eindige decimale breuken die daaraan gelijk zijn.

Het volgende is waar regel voor het vergelijken van decimale breuken en natuurlijke getallen: als het hele deel van een decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de hele breuk kleiner dan dit natuurlijke getal; als het gehele deel van een breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van de toepassing van deze vergelijkingsregel.

Voorbeeld.

Vergelijk het natuurlijke getal 7 met de decimale breuk 8,8329….

Oplossing.

Omdat een bepaald natuurlijk getal kleiner is dan het gehele deel van een gegeven decimale breuk, is dit getal kleiner dan een gegeven decimale breuk.

Antwoord:

7<8,8329… .

Voorbeeld.

Vergelijk het natuurlijke getal 7 en de decimale breuk 7.1.

In dit onderwerp wordt zowel het algemene schema voor het vergelijken van decimale breuken behandeld als een gedetailleerde analyse van het principe van het vergelijken van eindige en oneindige breuken. We zullen het theoretische deel versterken door typische problemen op te lossen. We zullen ook kijken naar voorbeelden van het vergelijken van decimale breuken met natuurlijke of gemengde getallen en gewone breuken.

Laten we een verduidelijking maken: in theorie zal hieronder de vergelijking van alleen positieve decimale breuken worden besproken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken

Voor elke eindige decimale en oneindige periodieke decimaal zijn er bepaalde gewone breuken die daarmee corresponderen. Bijgevolg kan een vergelijking van eindige en oneindige periodieke breuken worden gemaakt als een vergelijking van de overeenkomstige gewone breuken. Eigenlijk is deze verklaring het algemene principe voor het vergelijken van decimale periodieke breuken.

Op basis van het algemene principe worden regels voor het vergelijken van decimale breuken geformuleerd, waarbij het mogelijk is om de vergeleken decimale breuken niet in gewone breuken om te zetten.

Hetzelfde kan gezegd worden over gevallen waarin een decimale periodieke breuk wordt vergeleken met natuurlijke getallen of gemengde getallen, gewone breuken - de gegeven getallen moeten worden vervangen door de overeenkomstige gewone breuken.

Als we het hebben over het vergelijken van oneindige niet-periodieke breuken, wordt dit meestal beperkt tot het vergelijken van eindige decimale breuken. Ter overweging wordt een dergelijk aantal tekens van de vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken genomen, waardoor het resultaat van de vergelijking kan worden verkregen.

Gelijke en ongelijke decimalen

Definitie 1

Gelijke decimalen- dit zijn twee eindige decimale breuken waarvan de overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn. Anders zijn het decimalen ongelijk.

Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om de volgende bewering te rechtvaardigen: als u aan het einde van een bepaalde decimale breuk meerdere cijfers 0 tekent of, omgekeerd, weggooit, krijgt u een decimale breuk die gelijk is aan deze breuk. Bijvoorbeeld: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = …. Of: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. In wezen betekent het toevoegen of laten vallen van een nul aan het einde van een breuk aan de rechterkant het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en de noemer van de overeenkomstige gewone breuk. Laten we aan wat er is gezegd de basiseigenschap van breuken toevoegen (door de teller en de noemer van een breuk te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde natuurlijke getal, verkrijgen we een breuk die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk) en we hebben een bewijs van de bovenstaande bewering.

De decimale breuk 0,7 komt bijvoorbeeld overeen met de gewone breuk 7 10. Door nul aan de rechterkant toe te voegen, krijgen we de decimale breuk 0, 70, die overeenkomt met de gewone breuk 70 100, 7 70 100: 10 . Dat wil zeggen: 0,7 = 0,70. En omgekeerd: als we de nul aan de rechterkant in de decimale breuk 0, 70 weggooien, krijgen we de breuk 0, 7 - dus van de decimale breuk 70 100 gaan we naar de breuk 7 10, maar 7 10 = 70: 10 100 : 10 Dan: 0, 70 = 0 , 7 .

Beschouw nu de inhoud van het concept van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.

Definitie 2

Gelijke oneindige periodieke breuken zijn oneindige periodieke breuken waarvan de overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn. Als de gewone breuken die ermee corresponderen niet gelijk zijn, dan zijn de ter vergelijking gegeven periodieke breuken dat ook ongelijk.

Deze definitie laat ons toe de volgende conclusies te trekken:

Als de notaties van de gegeven periodieke decimale breuken samenvallen, zijn dergelijke breuken gelijk. De periodieke decimale breuken 0,21 (5423) en 0,21 (5423) zijn bijvoorbeeld gelijk;

Als in de gegeven decimale periodieke breuken de punten vanaf dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een punt van 0 en de tweede - 9; de waarde van het cijfer voorafgaande aan periode 0 één groter is dan de waarde van het cijfer voorafgaande aan periode 9, dan zijn dergelijke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke breuken 91, 3 (0) en 91, 2 (9), evenals de breuken: 135, (0) en 134, (9) zijn bijvoorbeeld gelijk;

Elke twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Bijvoorbeeld: 8, 0 (3) en 6, (32); 0, (42) en 0, (131), enz.

Rest ons nog rekening te houden met gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Dergelijke breuken zijn dat wel irrationele nummers, en ze kunnen niet worden omgezet in gewone breuken. Bijgevolg wordt de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken niet gereduceerd tot de vergelijking van gewone breuken.

Definitie 3

Gelijke oneindige niet-periodieke decimalen- dit zijn niet-periodieke decimale breuken, waarvan de invoer volledig samenvalt.

De logische vraag zou zijn: hoe kunnen we records vergelijken als het onmogelijk is om het “voltooide” record van dergelijke breuken te zien? Wanneer u oneindige niet-periodieke decimale breuken vergelijkt, hoeft u alleen rekening te houden met een bepaald eindig aantal tekens van de breuken die voor vergelijking zijn opgegeven, zodat u een conclusie kunt trekken. Die. In wezen is het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimalen het vergelijken van eindige decimalen.

Deze benadering maakt het mogelijk om de gelijkheid van oneindige niet-periodieke breuken alleen tot het betreffende cijfer te beweren. De breuken 6, 73451... en 6, 73451... zijn bijvoorbeeld gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdduizendste, omdat de laatste decimale breuken 6, 73451 en 6, 7345 zijn gelijk. De breuken 20, 47... en 20, 47... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdsten, omdat de breuken 20, 47 en 20, 47 enzovoort zijn gelijk.

De ongelijkheid van oneindige niet-periodieke breuken wordt vrij specifiek vastgesteld met duidelijke verschillen in de notatie. De breuken 6, 4135... en 6, 4176... of 4, 9824... en 7, 1132... enzovoort zijn bijvoorbeeld ongelijk.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken. Voorbeelden oplossen

Als wordt vastgesteld dat twee decimale breuken ongelijk zijn, moet meestal ook worden bepaald welke groter en welke kleiner is. Laten we eens kijken naar de regels voor het vergelijken van decimale breuken, die het mogelijk maken om het bovenstaande probleem op te lossen.

Heel vaak is het voldoende om hele delen van de ter vergelijking opgegeven decimale breuken met elkaar te vergelijken.

Definitie 4

De decimale breuk waarvan het hele deel groter is, is de grootste. De kleinere fractie is degene waarvan het hele deel kleiner is.

Deze regel is van toepassing op zowel eindige als oneindige decimale breuken.

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om de decimale breuken te vergelijken: 7, 54 en 3, 97823....

Oplossing

Het is vrij duidelijk dat de gegeven decimale breuken niet gelijk zijn. Hun hele delen zijn respectievelijk gelijk: 7 en 3. Omdat 7 > 3, dan 7, 54 > 3, 97823….

Antwoord: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

In het geval dat de gehele delen van de breuken die ter vergelijking worden gegeven gelijk zijn, wordt de oplossing van het probleem beperkt tot het vergelijken van de breukdelen. De vergelijking van fractionele delen wordt beetje bij beetje uitgevoerd - van de plaats van de tienden tot de lagere.

Laten we eerst het geval bekijken waarin we eindige decimale breuken moeten vergelijken.

Voorbeeld 2

Het is noodzakelijk om de laatste decimale breuken 0,65 en 0,6411 te vergelijken.

Oplossing

Het is duidelijk dat de gehele delen van de gegeven breuken gelijk zijn (0 = 0). Laten we de breukdelen vergelijken: op de tienden zijn de waarden gelijk (6 = 6), maar op de honderdsten is de waarde van de breuk 0,65 groter dan de waarde van de honderdsten in de breuk 0,6411 (5 > 4) . Dus 0,65 > 0,6411.

Antwoord: 0 , 65 > 0 , 6411 .

Bij sommige problemen bij het vergelijken van eindige decimale breuken met verschillende aantallen decimalen, is het noodzakelijk om het vereiste aantal nullen rechts op te tellen bij de breuk met minder decimalen. Het is handig om op deze manier het aantal decimalen in bepaalde breuken gelijk te maken, zelfs voordat u met de vergelijking begint.

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om de laatste decimale breuken 67, 0205 en 67, 020542 te vergelijken.

Oplossing

Deze breuken zijn uiteraard niet gelijk, omdat hun gegevens zijn verschillend. Bovendien zijn hun gehele delen gelijk: 67 = 67. Voordat we beginnen met de bitsgewijze vergelijking van de breukdelen van gegeven breuken, gaan we eerst het aantal decimalen gelijk maken door nullen aan de rechterkant toe te voegen in breuken met minder decimalen. Dan krijgen we de breuken ter vergelijking: 67, 020500 en 67, 020542. We voeren een bitsgewijze vergelijking uit en zien dat in de plaats van honderdduizendsten de waarde in de breuk 67.020542 groter is dan de overeenkomstige waarde in de breuk 67.020500 (4 > 0). Dus 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Antwoord: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Als het nodig is om een eindige decimale breuk te vergelijken met een oneindige, dan wordt de eindige breuk vervangen door een oneindige breuk, gelijk daaraan met een periode van 0. Vervolgens wordt een bitsgewijze vergelijking uitgevoerd.

Voorbeeld 4

Het is noodzakelijk om de eindige decimale breuk 6, 24 te vergelijken met de oneindige niet-periodieke decimale breuk 6, 240012 ...

Oplossing

We zien dat de gehele delen van de gegeven breuken gelijk zijn (6 = 6). Op de plaatsen van tienden en honderdsten zijn de waarden van beide breuken ook gelijk. Om een conclusie te kunnen trekken, gaan we verder met de vergelijking, waarbij we de eindige decimale breuk vervangen door een gelijke oneindige breuk met een periode van 0 en we krijgen: 6, 240000 .... Als we de vijfde decimaal hebben bereikt, vinden we het verschil: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Antwoord: 6, 24< 6 , 240012 … .

Bij het vergelijken van oneindige decimale breuken wordt ook een plaats-voor-plaats-vergelijking gebruikt, die eindigt wanneer de waarden op een bepaalde plaats van de gegeven breuken verschillend blijken te zijn.

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om de oneindige decimale breuken 7, 41 (15) en 7, 42172 te vergelijken....

Oplossing

In de gegeven breuken zijn er gelijke gehele delen, de waarden van de tienden zijn ook gelijk, maar op de plaats van honderdsten zien we een verschil: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Antwoord: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de oneindige periodieke breuken 4, (13) en 4, (131) te vergelijken.

Oplossing:

De gelijkheden zijn duidelijk en waar: 4, (13) = 4, 131313... en 4, (133) = 4, 131131.... We vergelijken de gehele delen en de bitsgewijze breukdelen, en op de vierde decimaal noteren we de discrepantie: 3 > 1. Vervolgens: 4, 131313... > 4, 131131..., en 4, (13) > 4, (131).

Antwoord: 4 , (13) > 4 , (131) .

Om het resultaat te krijgen van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal, moet je het hele deel van een gegeven breuk vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. Houd er rekening mee dat periodieke breuken met perioden van 0 of 9 eerst moeten worden weergegeven in de vorm van eindige decimale breuken die daaraan gelijk zijn.

Definitie 5

Als het gehele deel van een gegeven decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de gehele breuk kleiner ten opzichte van het gegeven natuurlijke getal. Als het gehele deel van een gegeven breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.

Voorbeeld 7

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 8 en de decimale breuk 9, 3142, te vergelijken....

Oplossing:

Het gegeven natuurlijke getal is kleiner dan het gehele deel van de gegeven decimale breuk (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Antwoord: 8 < 9 , 3142 … .

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 5 en de decimale breuk 5, 6 te vergelijken.

Oplossing

Het gehele deel van een gegeven breuk is gelijk aan een bepaald natuurlijk getal en dan, volgens de bovenstaande regel, 5< 5 , 6 .

Antwoord: 5 < 5 , 6 .

Voorbeeld 9

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 4 en de periodieke decimale breuk 3, (9) te vergelijken.

Oplossing

De periode van een gegeven decimale breuk is 9, wat betekent dat het vóór de vergelijking noodzakelijk is om de gegeven decimale breuk te vervangen door een eindig of natuurlijk getal dat daaraan gelijk is. In dit geval: 3, (9) = 4. De oorspronkelijke gegevens zijn dus gelijk.

Antwoord: 4 = 3, (9).

Om een decimale breuk te vergelijken met een breuk of een gemengd getal, moet u:

Schrijf een gewone breuk of gemengd getal als decimaal en voer vervolgens een decimale vergelijking uit, of
- schrijf een decimale breuk als een gewone breuk (met uitzondering van een oneindige niet-periodieke breuk), en voer vervolgens een vergelijking uit met een gegeven gewone breuk of gemengd getal.

Voorbeeld 10

Het is noodzakelijk om de decimale breuk 0,34 en de gewone breuk 1 3 te vergelijken.

Oplossing

Laten we het probleem op twee manieren oplossen.

Laten we de gegeven gewone breuk 1 3 schrijven in de vorm van een gelijke periodieke decimale breuk: 0, 33333.... Dan wordt het noodzakelijk om de decimale breuken 0, 34 en 0, 33333 te vergelijken.... We krijgen: 0, 34 > 0, 33333 ..., wat betekent 0, 34 > 1 3.
Laten we de gegeven decimale breuk 0, 34 schrijven als een gewone breuk die gelijk is aan deze breuk. Dat wil zeggen: 0, 34 = 34.100 = 17,50. Laten we gewone breuken vergelijken met verschillende noemers en we krijgen: 17 50 > 1 3 . Dus 0, 34 > 1 3.

Antwoord: 0 , 34 > 1 3 .

Voorbeeld 11

Het is noodzakelijk om de oneindige niet-periodieke decimale breuk 4, 5693 ... en een gemengd getal te vergelijken 4 3 8 .

Oplossing

Een oneindige niet-periodieke decimale breuk kan niet worden weergegeven als een gemengd getal, maar het is wel mogelijk om een gemengd getal om te zetten in onechte breuk en schrijf het op zijn beurt op in de vorm van een decimale breuk die gelijk is aan dit getal. Dan: 4 3 8 = 35 8 en

Die.: 4 3 8 = 35 8 = 4,375. Laten we de decimale breuken vergelijken: 4, 5693 ... en 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) en krijgen: 4, 5693 ... > 4 3 8.

Antwoord: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Het segment AB is gelijk aan 6 cm, dat wil zeggen 60 mm. Aangezien 1 cm = dm, dan is 6 cm = dm. Dit betekent dat AB 0,6 dm is. Omdat 1 mm = dm, dan 60 mm = dm. Dit betekent AB = 0,60 dm.
Dus AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Dit betekent dat de decimale breuken 0,6 en 0,60 de lengte van hetzelfde segment in decimeters uitdrukken. Deze breuken zijn aan elkaar gelijk: 0,6 = 0,60.

Als je een nul toevoegt of de nul aan het einde van de decimale breuk weggooit, krijg je fractie, gelijk aan dit.
Bijvoorbeeld,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Laten we twee decimale breuken 5,345 en 5,36 vergelijken. Laten we het aantal decimalen gelijk maken door een nul toe te voegen rechts van het getal 5,36. We krijgen de breuken 5,345 en 5,360.

Laten we ze in de vorm van onechte breuken schrijven:

Deze breuken hebben dezelfde noemers. Dit betekent dat degene met de grootste teller groter is.
Sinds 5345< 5360, то wat betekent 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Om twee decimale breuken te vergelijken, moet u eerst het aantal decimalen gelijk maken door nullen toe te voegen aan een van de breuken aan de rechterkant. Vervolgens, waarbij u de komma weggooit, vergelijkt u de resulterende breuken. gehele getallen.

Decimale breuken kunnen worden weergegeven door gecoördineerde straal net als gewone breuken.
Als we bijvoorbeeld de decimale breuk 0,4 op een gecoördineerde straal willen weergeven, geven we deze eerst weer als een gewone breuk: 0,4 = Vervolgens zetten we vier tienden van een eenheidssegment opzij vanaf het begin van de straal. We verkrijgen punt A(0,4) (Fig. 141).

Gelijke decimale breuken worden op de coördinatenstraal weergegeven door hetzelfde punt.

De breuken 0,6 en 0,60 worden bijvoorbeeld weergegeven door één punt B (zie figuur 141).

De kleinere decimale breuk ligt op gecoördineerde straal links van de grotere, en de grotere rechts van de kleinere.

Bijvoorbeeld 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Zal een decimaal veranderen als er een nul aan het einde wordt toegevoegd?
A6 nullen?
Formuleer een vergelijkingsregel decimale breuken.

1172. Schrijf de decimale breuk:

a) met vier decimalen, gelijk aan 0,87;
b) met vijf decimalen, gelijk aan 0,541;
c) met drie cijfers na bezet, gelijk aan 35;
d) met twee decimalen, gelijk aan 8,40000.

1173. Door nullen aan de rechterkant toe te voegen, maakt u het aantal decimalen in decimale breuken gelijk: 1,8; 13,54 en 0,789.

1174. Schrijf kortere breuken: 2,5000; 3,02000; 20.010.

85,09 en 67,99; 55,7 en 55,7000; 0,5 en 0,724; 0,908 en 0,918; 7,6431 en 7,6429; 0,0025 en 0,00247.

1176. Rangschik de getallen in oplopende volgorde:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

rangschikken in aflopende volgorde.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Vergelijk de waarden:

a) 98,52 m en 65,39 m; e) 0,605 t en 691,3 kg;
b) 149,63 kg en 150,08 kg; f) 4,572 km en 4671,3 m;
c) 3,55°C en 3,61°C; g) 3.835 hectare en 383,7 a;
d) 6,781 uur en 6,718 uur; h) 7.521 l en 7538 cm3.

Is het mogelijk om 3,5 kg en 8,12 m te vergelijken? Geef enkele voorbeelden van hoeveelheden die niet met elkaar te vergelijken zijn.

1185. Mondeling berekenen:

1186. Herstel de keten van berekeningen

1187. Is het mogelijk om te zeggen hoeveel cijfers er achter de komma staan in een decimale breuk als de naam ervan eindigt met het woord:

a) honderdsten; b) tienduizendste; c) tienden; d) miljoenste?

Inhoud van de les lesaantekeningen ondersteunende frameleinteractieve technologieën Oefening taken en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, diagrammen, humor, anekdotes, grappen, strips, gelijkenissen, gezegden, kruiswoordraadsels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen trucs voor nieuwsgierigen kribben leerboeken basis- en aanvullend woordenboek met termen overige Verbetering van leerboeken en lessenhet corrigeren van fouten in het leerboek het bijwerken van een fragment in een leerboek, elementen van innovatie in de les, het vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar richtlijnen discussieprogramma's Geïntegreerde lessen

Het doel van de les:

voorwaarden creëren voor het afleiden van de regel voor het vergelijken van decimale breuken en de mogelijkheid om deze toe te passen;
herhaal het schrijven van gewone breuken als decimalen, waarbij decimalen worden afgerond;
ontwikkelen logisch denken vermogen om te generaliseren, onderzoeksvaardigheden, toespraak.

Tijdens de lessen

Jongens, laten we onthouden wat we in de vorige lessen met jullie hebben gedaan?

Antwoord: bestudeerde decimale breuken, schreef gewone breuken als decimalen en vice versa, afgeronde decimalen.

Wat zou je vandaag willen doen?

(Studenten antwoorden.)

Maar wat we in de les gaan doen, hoor je binnen een paar minuten. Open uw notitieboekjes en noteer de datum. Een leerling gaat naar het bestuur en gaat ermee aan de slag achterkant planken. Ik bied je taken aan die je mondeling afwerkt. Noteer uw antwoorden in uw notitieboekje op een regel gescheiden door een puntkomma. Een leerling aan het bord schrijft in een column.

Ik lees de taken die vooraf op het bord staan:

Laten we het controleren. Wie heeft andere antwoorden? Onthoud de regels.

Gekregen: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Breng een patroon tot stand en ga door met de resulterende reeks voor nog eens 2 cijfers. Laten we het controleren.

Neem het transcript en plaats onder elk nummer (de persoon die antwoordt aan het bord een letter naast het nummer) de bijbehorende letter. Lees het woord.

Uitleg:

Dus, wat gaan we doen in de klas?

Antwoord: vergelijking.

Ter vergelijking! Oké, ik ga nu bijvoorbeeld mijn handen, 2 schoolboeken, 3 linialen vergelijken. Wat wil je vergelijken?

Antwoord: decimale breuken.

Welk onderwerp van de les gaan we opschrijven?

Ik schrijf het onderwerp van de les op het bord en de leerlingen schrijven het in hun notitieboekje: ‘Decimalen vergelijken.’

Oefening: vergelijk de cijfers (geschreven op het bord)

18.625 en 5.784		15.200 en 15.200
3.0251 en 21.02		7,65 en 7,8
23,0521 en 0,0521		0,089 en 0,0081

Eerst openen we de linkerkant. Hele delen zijn verschillend. We trekken een conclusie over het vergelijken van decimale breuken met verschillende gehele delen. Open de rechterkant. Hele delen - dezelfde cijfers. Hoe vergelijken?

Aanbod: schrijf decimalen als breuken en vergelijk.

Schrijf een vergelijking van gewone breuken. Als je elke decimale breuk omzet in een gewone breuk en 2 breuken vergelijkt, kost dat veel tijd. Misschien kunnen we een vergelijkingsregel bedenken? (Studenten suggereren.) Ik heb de regel voor het vergelijken van decimale breuken opgeschreven, wat de auteur suggereert. Laten we vergelijken.

Er zijn 2 regels afgedrukt op een vel papier:

Als de hele delen van decimale breuken verschillend zijn, dan is de breuk met het grootste hele deel groter.
Als de hele delen van decimale breuken hetzelfde zijn, dan is de grootste breuk de breuk waarvan de eerste van de niet-overeenkomende decimalen groter is.

Jij en ik hebben een ontdekking gedaan. En deze ontdekking is de regel voor het vergelijken van decimale breuken. Het viel samen met de regel voorgesteld door de auteur van het leerboek.

Ik heb gemerkt dat de regels zeggen welke van de twee breuken groter is. Kunt u mij vertellen welke van de twee decimale breuken kleiner is?

Compleet in notitieboekje nr. 785(1, 2) op pagina 172. De taak wordt op het bord geschreven. De leerlingen geven commentaar en de leraar maakt gebaren.

Oefening: vergelijken

3,4208 en 3,4028

Dus wat hebben we vandaag geleerd? Laten we onszelf controleren. Werk op stukjes papier met carbonpapier.

Leerlingen vergelijken decimale breuken met >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Onafhankelijk werk.

(Check - antwoorden op de achterkant van het bord.)

Vergelijken

148,05 en 14,805

6.44806 en 6.44863

35.601 en 35.6010

De eerste die dit doet, krijgt taak (voert uit vanaf de achterkant van het bord) nr. 786(1, 2):

Zoek het patroon en noteer het volgende nummer in de reeks. In welke reeksen staan de getallen in oplopende volgorde, en in welke volgorde zijn ze in aflopende volgorde?

Antwoord:

0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – afnemend
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – neemt toe.

Nadat de laatste leerling het werk heeft ingeleverd, controleert u het.

De leerlingen vergelijken hun antwoorden.

Degenen die alles goed hebben gedaan, geven zichzelf een cijfer van "5", degenen die 1-2 fouten hebben gemaakt - "4", 3 fouten - "3". Ontdek bij welke vergelijkingen fouten zijn gemaakt, op welke regel.

Schrijf je huiswerk op: nr. 813, nr. 814 (clausule 4, p. 171). Opmerking. Als u tijd heeft, vult u nr. 786(1, 3), nr. 793(a) in.

Samenvatting van de les.