Basisconcepten en axioma's definitie van een natuurlijk getal. Axiomatische theorie van natuurlijke getallen

OZO WISKUNDE 1 cursus 2 semester

Voorbeeld 1: Laten we de keuze van de actie rechtvaardigen bij het oplossen van het probleem: “We kochten 4 pakken gekleurd papier en nog 3 pakken wit. Hoeveel pakken wit papier heb je gekocht?

Oplossing. Het probleem gaat over twee sets. Laat A een set pakken gekleurd papier zijn, B een set pakken wit papier. Per conditie is het aantal pakken gekleurd papier bekend, d.w.z. n(A)=4, en het nummer van verzameling B moet gevonden worden. Bovendien kan, afhankelijk van de toestand van het probleem, in set B een subset C worden onderscheiden, waarvan het aantal 3 is, d.w.z. n(C)=3. Laten we dit bijvoorbeeld doen zoals getoond in Fig. een.

Foto 1

Dan is het verschil B \ C \u003d B 1 gelijk aan de set A, d.w.z. n(B1) = n(A).

Zo is verzameling B de vereniging van verzamelingen B 1 en C, waarbij B 1 C=Æ.

Het probleem wordt teruggebracht tot het bepalen van de grootte van de vereniging van twee niet-snijdende verzamelingen en wordt opgelost door de optelactie: n(B) = n(B 1 C) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.

Voorbeeld 2: Door het concept van het getal als maatstaf voor grootte te gebruiken, rechtvaardigen we de keuze van de actie bij het oplossen van het probleem: "Er werd 3 m stof gebruikt voor een rok en 2 m voor een blouse. Hoeveel meter stof ging er in het hele kostuum?

Oplossing: In het probleem hebben we het over een hoeveelheid - lengte, die wordt gemeten met een eenheid van 1 meter, omdat. Aangezien de lengte continu is, zullen we de keuze van de actie uitleggen bij het oplossen van het probleem met behulp van segmenten (Fig. 2).

Laat e \u003d 1m, het segment a toont de lengte van de stof die voor de rok is gebruikt, a \u003d 3e. Het segment in toont de lengte van de stof die voor de blouse is gebruikt, in = 2e. Omdat in het probleem is het nodig om de hoeveelheid van al het opgebruikte weefsel te achterhalen, dan geeft het segment c de hoeveelheid van al het opgebruikte weefsel aan: c \u003d a + c.

Figuur 2

a \u003d 3e c \u003d 2e m e (c) \u003d m e (a) + m e (c) m e (c) \u003d 2 + 3 m e (c) \u003d 5 Antwoord: 5 m.

Voorbeeld 3: Door het concept van een getal als een maat voor de grootte te gebruiken, rechtvaardigen we de keuze van de actie bij het oplossen van het probleem: “De eerste doos bevatte 12 kg koekjes en de tweede doos bevatte 3 kg minder. Hoeveel kilo koekjes zat er in de tweede doos?

Oplossing: In het probleem hebben we het over de waarde van massa, waarvan de eenheid 1 kilogram is, e \u003d 1 kg, omdat grootte, massa is continu, dan zullen we de keuze van actie uitleggen bij het oplossen van het probleem met behulp van segmenten (Fig. 3).

Laat e = 1kg, segment a geeft aan hoeveel kilogram koekjes er in de eerste doos zaten, a = 12e.

Segment b laat zien hoeveel kilo koekjes er in de tweede doos minder waren dan in de eerste, in = 3e.

Het segment c laat zien hoeveel kilogram koekjes er in de tweede doos zaten, m e (c) - ? Het is bekend dat er 3 kg minder koekjes in de tweede doos zitten dan in de eerste, d.w.z. hetzelfde, maar 3 minder.

Zij d=a, dan c = d – b. a = 12e, dus d = 12e. m e (c)= m e (d)-m e (c) m e (c)=12-3 m e (c)=9

figuur 3

Antwoord: In de tweede doos zat 9 kilo koekjes.

GOUVPO

Tula State Pedagogische Universiteit

vernoemd naar Leo Tolstoj

NUMERIEKE SYSTEMEN

Tula 2008

Numerieke systemen

De handleiding is bedoeld voor studenten van wiskundige specialiteiten van een pedagogische universiteit en is ontwikkeld in overeenstemming met de staatsnorm voor de cursus "Numerieke systemen". De theoretische stof wordt gepresenteerd. Oplossingen van typische taken worden geanalyseerd. Oefeningen voor het oplossen in praktijklessen worden gegeven.

samengesteld door -

Kandidaat Fysische en Wiskundige Wetenschappen, universitair hoofddocent van de afdeling Algebra en Meetkunde, Avicenna TSPU L. N. Tolstoj Yu. A. Ignatov

recensent -

Kandidaat Fysische en Wiskundige Wetenschappen, Professor van de Afdeling Wiskundige Analyse, TSPU vernoemd naar L. N. Tolstoj I. V. Denisov

Educatieve editie

Numerieke systemen

Compiler

IGNATOV Joeri Alexandrovich

© Yu. Ignatov, 2008

NUMERIEKE SYSTEMEN

Deze cursus behandelt de grondslagen van de wiskunde. Het geeft een strikt axiomatische constructie van de basisgetalsystemen: natuurlijk, integer, rationeel, reëel, complex en ook quaternionen. Het is gebaseerd op de theorie van formele axiomatische systemen, beschouwd in de loop van de wiskundige logica.

In elke subsectie worden de stellingen eerst genummerd. Als het nodig is om vanuit een ander punt naar een stelling te verwijzen, wordt stapsgewijze nummering gebruikt: het nummer van het punt wordt vóór het nummer van de stelling geplaatst. Stelling 1.2.3 is bijvoorbeeld Stelling 3 in paragraaf 1.2.

gehele getallen

Axiomatische theorie van natuurlijke getallen

Een axiomatische theorie wordt gedefinieerd door de volgende elementen:

Set van constanten;

Een set functiesymbolen om bewerkingen aan te duiden;

Een reeks predikaatsymbolen om relaties aan te duiden;

Een lijst van axioma's met betrekking tot de bovenstaande elementen.

Voor een formele axiomatische theorie worden ook afleidingsregels aangegeven, met behulp waarvan stellingen worden bewezen. In dit geval zijn alle uitspraken geschreven in de vorm van formules, waarvan de betekenis er niet toe doet, en deze formules worden getransformeerd volgens de gegeven regels. In een zinvolle axiomatische theorie zijn de inferentieregels niet gespecificeerd. De bewijzen worden uitgevoerd op basis van gewone logische constructies, rekening houdend met de betekenis van de te bewijzen beweringen.

In deze cursus worden betekenisvolle theorieën over de belangrijkste getalsystemen gebouwd.

De belangrijkste vereiste voor een axiomatische theorie is de consistentie ervan. Het bewijs van consistentie wordt uitgevoerd door een model van een theorie in een andere theorie te construeren. Vervolgens wordt de consistentie van de beschouwde theorie teruggebracht tot de consistentie van de theorie waarin het model is gebouwd.

Voor het systeem van gehele getallen is het model gebouwd in het kader van het systeem van natuurlijke getallen, voor rationale getallen - in het systeem van gehele getallen, enz. Het blijkt een aaneenschakeling van axiomatische theorieën, waarbij elke theorie op de vorige vertrouwt. Maar voor de eerste theorie in deze keten, namelijk de theorie van natuurlijke getallen, is er nergens een model te bouwen. Daarom zou men voor een systeem van natuurlijke getallen een theorie moeten construeren waarvoor het bestaan ​​van een model buiten twijfel staat, hoewel het onmogelijk is om dit rigoureus te bewijzen.

De theorie moet heel eenvoudig zijn. Hiertoe beschouwen we het systeem van natuurlijke getallen alleen als een hulpmiddel voor het tellen van objecten. De bewerkingen van optellen, vermenigvuldigen en de orderelatie moeten worden gedefinieerd nadat de theorie in de aangegeven vorm is geconstrueerd.

Voor de behoeften van het tellen moet het systeem van natuurlijke getallen een reeks zijn waarin het eerste element (één) is gedefinieerd en voor elk element het volgende nadat het is gedefinieerd. Zo komen we tot de volgende theorie.

Constante: 1 een).

functie symbool: "¢". Geeft de unaire operatie "volgen", d.w.z. a¢ is het volgende nummer a. Tegelijkertijd is het nummer a genaamd vorig voor a¢.

Er zijn geen speciale predikaatsymbolen. De gebruikelijke gelijkheidsrelatie en set-theoretische relaties worden gebruikt. Axioma's daarvoor worden niet aangegeven.

De set waarop de theorie is gebouwd, wordt aangegeven N.

Axioma's:

(N1)(" a) a¢ ¹ 1 (men volgt geen enkel nummer).

(N2)(" a)("b) (a¢ = b¢ ® a = b) (elk nummer heeft maximaal één voorgaand nummer).

(N3) M Í N, 1О M, ("a)(aÎ M ® a¢Î M) Þ M = N(axioma van wiskundige inductie).

Bovenstaande axiomatiek werd (met kleine wijzigingen) voorgesteld door de Italiaanse wiskundige Peano aan het einde van de 19e eeuw.

Het is gemakkelijk om enkele stellingen uit de axioma's af te leiden.

Stelling 1. (Methode van wiskundige inductie). Laten R(n) is een predikaat gedefinieerd op de set N. Laat het waar zijn R(1) en (" n)(P(n)® P(n)). Dan R(n) is een identiek waar predikaat op N.

Een bewijs. Laten M- de verzameling natuurlijke getallen n, waarvoor R(n) is waar. dan 1О M volgens de stelling. Volgende, als nÎ M, dan P(n) is per definitie waar M, P(n¢) is waar volgens de hypothese van de stelling, en n¢Î M per definitie M. Aan alle premissen van het axioma van inductie is dus voldaan, M = N. Per definitie M, het betekent dat R(n) geldt voor alle getallen van N. De stelling is bewezen.

Stelling 2. Elk nummer a¹ 1 heeft een antecedent, en slechts één.

Een bewijs. Laten M is de verzameling natuurlijke getallen met 1 en alle getallen met een voorafgaande. dan 1О M. Als een aÎ M, dan a¢Î M, omdat a¢ heeft een voorgaande (de voorwaarde wordt hier niet eens gebruikt) aÎ M). Dus, volgens het axioma van inductie M = N. De stelling is bewezen.

Stelling 3. Elk nummer is anders dan het volgende.

Een oefening. Na het definiëren van natuurlijke getallen 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, bewijs dat 2 ¹ 6.

Optellen van natuurlijke getallen

De volgende recursieve definitie wordt gegeven voor het optellen van natuurlijke getallen.

Definitie. Het optellen van natuurlijke getallen is een binaire bewerking die: a en b komt overeen met het nummer a+b, die de eigenschappen heeft:

(S1) a + 1 = a voor iedereen a;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ voor elke a en b.

Het is nodig om te bewijzen dat deze definitie correct is, dat wil zeggen dat er een bewerking bestaat die aan de gegeven eigenschappen voldoet. Deze taak lijkt heel eenvoudig: het volstaat om inductie uit te voeren op b tellen a gemaakt. Dit vereist een set van M waarden b, waarvoor de operatie a+b is gedefinieerd en voldoet aan de voorwaarden (S1) en (S2). Als we de inductieve overgang uitvoeren, moeten we aannemen dat voor b bewerking is uitgevoerd en bewijzen dat deze is uitgevoerd voor: b. Maar in het pand (S2) moet dat waar zijn voor b, er is al een link naar a+b. Vandaar dat deze eigenschap automatisch het bestaan ​​van een operatie aanneemt en for a+b¢, en dus ook voor volgnummers: immers for a+b¢ eigenschap (S2) moet ook gelden. Je zou kunnen denken dat dit de taak alleen maar gemakkelijker maakt door de inductieve stap triviaal te maken: de bewering die wordt bewezen, herhaalt eenvoudig de inductieve veronderstelling. Maar de moeilijkheid ligt hier in het bewijs voor de basis van de inductie. Voor waarde b= 1, eigenschappen (S1) en (S2) moeten ook gelden. Maar eigenschap (S2), zoals getoond, impliceert het bestaan ​​van een bewerking voor alle waarden na 1. Daarom impliceert de verificatie van de basis van de inductie een bewijs niet voor eenheid, maar voor alle getallen, en de inductie verliest zijn betekenis: de basis van de inductie valt samen met de bewering die wordt bewezen.

Bovenstaande redenering betekent niet dat recursieve definities onjuist zijn of elke keer een zorgvuldige rechtvaardiging behoeven. Om ze te rechtvaardigen, is het noodzakelijk om de eigenschappen van natuurlijke getallen te gebruiken, die pas in dit stadium worden vastgesteld. Zodra deze zijn vastgesteld, kan de geldigheid van de recursieve definities worden bewezen. Ondertussen bewijzen we het bestaan ​​van optellen door inductie op a: in formules (S1) en (S2) is er geen verband tussen de optelling voor a en a¢.

Stelling 1. De toevoeging van natuurlijke getallen is altijd mogelijk en uniek.

Een bewijs. a) Eerst bewijzen we de uniciteit. Laten we repareren a. Dan het resultaat van de operatie a+b er is een functie van b. Stel dat er twee van dergelijke functies zijn f(b) en g(b) met eigenschappen (S1) en (S2). Laten we bewijzen dat ze gelijk zijn.

Laten M– set van waarden b, waarvoor f(b) = g(b). Per eigenschap (S1)
f(1) = a + 1 = a en g(1) = a + 1 = a¢ betekent f(1) = g(1), en 1О M.

Laat nu bÎ M, dat is f(b) = g(b). Per eigenschap (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),

middelen, b¢Î M. Volgens het axioma van inductie M = N. De uniciteit is bewezen.

b) Nu door inductie aan a bewijs het bestaan ​​van de operatie a+b. Laten M is de verzameling van die waarden a, waarvoor de operatie a+b met eigenschappen (S1) en (S2) is gedefinieerd voor alle b.

Laten a= 1. Laten we een voorbeeld geven van een dergelijke operatie. Per definitie stellen we 1 + b== b. Laten we aantonen dat eigenschappen (S1) en (S2) gelden voor deze bewerking. (S1) heeft de vorm 1 + 1 = 1¢, wat overeenkomt met de definitie. Controle (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, en (S2) is voldaan. Vandaar, 1О M.

Laat nu aÎ M. Laten we dat bewijzen a¢Î M. We nemen per definitie aan:
a¢ +b = (a + b)¢. Dan

a¢ + 1 = (een+ 1)¢ = ( a¢)¢,

a¢ +b¢ = ( a + b¢)¢ = (( a + b)¢)¢ = ( a¢ +b)¢,

en eigenschappen (S1) en (S2) gelden.

Op deze manier, M = N, en optellen is gedefinieerd voor alle natuurlijke getallen. De stelling is bewezen.

Stelling 2. De toevoeging van natuurlijke getallen is associatief, dat wil zeggen,

(a+b) + c = a + (b+c).

Een bewijs. Laten we repareren a en b en voer inductie uit op Met. Laten M- de verzameling van die getallen Met, waarvoor de gelijkheid waar is. We hebben door eigenschappen (S1) en (S2):

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = een +(b+ 1) Þ 1О M.

Laat nu MetÎ M. Dan

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( een +(b + c))¢ = een +(b + c)¢ = een +(b + c¢),

en c¢Î M. Per axioma (N3) M = N. De stelling is bewezen.

Stelling 3. De toevoeging van natuurlijke getallen is commutatief, dat wil zeggen,

a + b = b + a. (1)

Een bewijs. Laten we repareren a en voer inductie uit op b.

Laten b= 1, dat wil zeggen, het is vereist om de gelijkheid te bewijzen

a + 1 = 1 + a. (2)

We bewijzen deze gelijkheid door inductie op a.

Bij a= 1 gelijkheid is triviaal. Laat het gedaan worden voor a, we zullen het bewijzen voor a. Wij hebben

a¢ + 1 = ( a + 1) + 1 = (1 + a) + 1 = (1 + a)¢ = 1 + a¢.

De inductieve overgang is voltooid. Volgens het principe van wiskundige inductie geldt gelijkheid (2) voor iedereen a. Dit bewijst de bewering van de basis van inductie op b.

Laat nu aan formule (1) worden voldaan voor b. Laten we het bewijzen voor b. Wij hebben

a +b¢ = ( a +b)¢ = ( b + a)¢ = b + a¢ = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = b¢ + a.

Door het principe van wiskundige inductie wordt de stelling bewezen.

Stelling 4.a + b ¹ b.

Het bewijs is als een oefening.

Stelling 5. Voor alle nummers a en b een en slechts een van de volgende gebeurt:

1) a = b.

2) Er is een nummer k zoals dat a = b + k.

3) Er is een nummer ik zoals dat b = een + l.

Een bewijs. Uit Stelling 4 volgt dat hoogstens één van deze gevallen plaatsvindt, aangezien uiteraard gevallen 1) en 2), evenals 1) en 3) niet gelijktijdig kunnen voorkomen. Als gevallen 2) en 3) gelijktijdig plaatsvonden, dan: a = b + k=
= (a + ik) + k = a+ (ik + k), wat weer in tegenspraak is met Stelling 4. Laten we bewijzen dat er altijd minstens één van deze gevallen plaatsvindt.

Laat een nummer kiezen a en M - veel van die b, voor elk van die, gegeven a geval 1), 2) of 3) plaatsvindt.

Laten b= 1. Als a= 1, dan hebben we geval 1). Als een a¹ 1, dan hebben we volgens Stelling 1.1.2

a = k" = k + 1 = 1 + k,

dat wil zeggen, we hebben geval 2) voor b= 1. Vandaar dat 1 behoort tot M.

Laten b behoort tot M. Dan zijn de volgende gevallen mogelijk:

- a = b, middelen, b" = b + 1 = a+ 1, dat wil zeggen, we hebben geval 3) voor b";

- a = b+k, en als k= 1, dan a = b+ 1 = b", dat wil zeggen, geval 1) voor b";

als k¹ 1, dan k = t" en

a \u003d b + t" \u003d b + (t + 1)= b + (1+ m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

dat wil zeggen, er is geval 2) voor b";

- b = een + ik, en b" =(een + l)¢ = a + ik¢, dat wil zeggen, we hebben geval 3) voor b".

In alle gevallen b" behoort tot M. De stelling is bewezen.

Een oefening. Bewijs met de definitie van de som dat 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Vermenigvuldiging van natuurlijke getallen

Definitie. Vermenigvuldiging van natuurlijke getallen wordt een binaire bewerking genoemd, welke natuurlijke getallen a en b komt overeen met het nummer ab(of a×b) die de volgende eigenschappen heeft:

(P1) a×1 = a voor iedereen a;

(P2) ab" = ab + a voor enige a en b.

Wat betreft de definitie van vermenigvuldiging blijven alle opmerkingen die in de vorige paragraaf zijn gemaakt met betrekking tot de definitie van optellen geldig. Met name blijkt daaruit nog niet dat er een match is met de gegevens in de eigenschapsdefinitie. Daarom is de volgende stelling, analoog aan Stelling 1.2.1, van groot fundamenteel belang.

Stelling 1. Er is maar één vermenigvuldiging van natuurlijke getallen. Met andere woorden, vermenigvuldiging is altijd mogelijk en uniek.

Het bewijs lijkt veel op het bewijs van Stelling 1.2.1 en wordt aangeboden als een oefening.

Het is gemakkelijk om de eigenschappen van vermenigvuldiging, geformuleerd in de volgende stellingen, te bewijzen. Het bewijs van elke stelling is gebaseerd op de vorige.

Stelling 2.(Juiste distributiviteitswet): ( a+b)c = ac + bc.

Stelling 3. Vermenigvuldigen is commutatief: ab=ba.

Stelling 4.(Linker wet van distributiviteit): c(a+b)= ca + cb.

Stelling 5. Vermenigvuldiging is associatief: a(bc) = (ab)c.

Definitie. Een semiring is een systeem , waarbij + en × binaire bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen zijn die voldoen aan de axioma's:

(1) is een commutatieve semigroep, dat wil zeggen, optellen is commutatief en associatief;

(2) is een semigroep, dat wil zeggen, vermenigvuldiging is associatief;

(3) rechts en links distributiviteit houden.

Algebraïsch gezien vormt het stelsel van natuurlijke getallen met betrekking tot optellen en vermenigvuldigen een halvering.

Een oefening. Bewijs op basis van de definitie van een product dat:
2x2 = 4, 2x3 = 6.

Opdrachten

Bewijs de identiteiten:

1. 1 2 + 2 2 + ... + n 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .

Zoek het bedrag:

3. .

4. .

5. .

6. 1×1! + 2×2! + ... + n×n!.

Bewijs de ongelijkheden:

7. n 2 < 2n для n > 4.

8. 2n < n! voor n 4.

9. (1 + x)n³ 1 + nx, waar x > –1.

10. Bij n > 1.

11. Bij n > 1.

12. .

13. Zoek de fout in het bewijs door inductie dat alle getallen gelijk zijn. We bewijzen een equivalente bewering: in elke set van n getallen, alle getallen zijn gelijk. Bij n= 1 de bewering is waar. Moge het waar zijn voor n = k, we zullen het bewijzen voor n = k+ 1. Neem een ​​reeks willekeurige
(k+ 1) nummers. Laten we er één nummer uit halen a. Links k getallen, volgens de inductieve hypothese zijn ze gelijk. In het bijzonder zijn twee getallen gelijk b en Met. Laten we nu een nummer uit de set verwijderen Met en zet aan a. In de resulterende set, zoals eerder, k getallen, dus ze zijn ook gelijk aan elkaar. Vooral, a = b. Middelen, a=b=c, en alles ( k+ 1) de getallen zijn gelijk. De inductieve stap is voltooid en de bewering is bewezen.

14. Bewijs het sterke principe van wiskundige inductie:

Laten EEN(n) is een predikaat op de verzameling natuurlijke getallen. Laten MAAR(1) waar en uit waarheid EEN(k) voor alle nummers k < m volgt de waarheid EEN(m). Dan EEN(n) geldt voor iedereen n.

Bestelde sets

We herinneren ons de belangrijkste definities met betrekking tot de orderrelatie.

Definitie. Relatie f ("hoger") op de set M genaamd bestelling relatie, of gewoon in volgorde als deze relatie transitief en antisymmetrisch is. Systeem a M, fñ heet bestelde set.

Definitie. strikte volgorde, als het antireflexief is, en losse bestelling, indien reflexief.

Definitie. De relatie van orde f heet de relatie lineaire volgorde, als het is aangesloten, dat is a ¹ bÞ a f bÚ b f a. Een orde die niet lineair is heet gedeeltelijk.

Definitie. laat een M MAAR- subgroep M. Element t sets MAAR genaamd minst als het kleiner is dan alle andere elementen van de verzameling MAAR, dat is

("XÎ MAAR)(X ¹ t® X f t).

Definitie. laat een M, fñ is een geordende set, MAAR- subgroep M. Element t sets MAAR genaamd minimaal, indien in de set MAAR er is geen kleiner element, d.w.z. (" XÎ MAAR)(X ¹ t® Ø t f X).

De maximale en maximale elementen worden op dezelfde manier gedefinieerd.

Opdrachten

1. Bewijs dat een transitieve en antireflexieve relatie een orderelatie is.

2. Bewijs dat de deelbaarheidsrelatie van M op de verzameling N is een partiële orderelatie.

3. Bewijs dat een verzameling hoogstens één grootste en hoogstens één kleinste element kan hebben.

4. Vind alle minimale, maximale, grootste en kleinste elementen in de verzameling (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) voor de deelbaarheidsratio.

5. Bewijs dat als een verzameling een kleinste element heeft, dit het enige minimale element is.

6. Op hoeveel manieren kan een lineaire volgorde worden gedefinieerd op een set van drie elementen? lineair en streng? lineair en niet-streng?

7. laat een M, fñ is een lineair geordende verzameling. Bewijs dat de relatie > bepaald door de voorwaarde

a > b Û a f b & a¹ b

is een relatie van strikt lineaire orde.

8. laat een M, fñ is een lineair geordende verzameling. Bewijs dat de relatie ³ gedefinieerd door de voorwaarde

a ³ b Û a f b Ú a= b,

is een relatie van niet-strikte lineaire orde.

Definitie. Lineair geordende set á M, fñ, waarin elke niet-lege deelverzameling een minste element heeft, heet vrij ordelijk. De relatie f heet in dit geval de relatie Maak bestelling af.

Volgens Stelling 1.4.6 is het stelsel van natuurlijke getallen een goed geordende verzameling.

Definitie. laat een M Het interval gescheiden door het element a, heet de set R a alle onderstaande elementen a en anders dan a, dat is

R a = {x Î Mï a f x, x¹ a}.

In het bijzonder, als a is het minimumelement, dan R a = Æ.

Stelling 1.(Principe van transfiniete inductie). laat een M, fñ is een goed geordende set, en MAAR Í M. Laat voor elk element a van M van behoren tot MAAR alle elementen van het interval R a volgt dat aÎ MAAR. Dan A = M.

Een bewijs.

Laten MAAR" = M\MAAR is het verzamelingstheoretische verschil van verzamelingen M en MAAR. Als een MAAR"= Æ, dan MAAR = M, en aan de bewering van de stelling is voldaan. Als een MAAR"¹ Æ , dan, omdat M is een goed geordende set, dan is de set MAAR" bevat het kleinste element t. In dit geval zijn alle elementen voorafgaand aan t en anders dan t, horen niet thuis MAAR" en daarom behoren tot MAAR. Op deze manier, P m Í MAAR. Daarom, door de hypothese van de stelling t Î MAAR, en daarom t Ï MAAR", tegen de veronderstelling in.

laat een MAAR; fñ is een geordende set. We gaan ervan uit dat MAAR is een eindige verzameling. Met elk element a sets MAAR vergelijk elk punt T (a) van het gegeven vlak zodat als het element a volgt onmiddellijk het element b, wijs dan T (a) bevindt zich boven het punt T(b) en verbind ze met een lijn. Als resultaat krijgen we een grafiek die overeenkomt met de gegeven geordende verzameling.

Opdrachten

9. laat een M, fñ is een goed geordende set, b Î MevrouwÎ M. Bewijs dat of Pb = Rs, of Pb Ì Rs, of R s Ì Pb.

10. laat een M, f 1 с en а L, f 2 с zijn goed geordende verzamelingen zodat
M Ç L=Æ . in veelvoud M È L we definiëren de binaire relatie f door de volgende voorwaarden:

1) als een, bÎ M, dan, a f b Û a f1 b;

2) als een, bÎ L dan, a f b Û a f2 b;

3) als aÎ M, bÎ L dan, a f b.

Bewijs dat systeem á MÈ L, fñ is een goed geordende set.

Bestelde halve groepen

Definitie.halve groep heet de algebra á MAAR, *ñ, waarbij * een associatieve binaire bewerking is.

Definitie. Semigroep á MAAR, *ñ wordt een annulatie-semigroep genoemd als het aan de eigenschappen voldoet

a*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.

Definitie.bestelde halve groep heet systeem á MAAR, +, fñ, waar:

1) systeem á MAAR, +ñ is een semigroep;

2) systeem á MAAR, fñ is een geordende set;

3) de relatie f is monotoon met betrekking tot de semigroepbewerking, d.w.z.
a f b Þ a+c f b+c, c+a f c+b.

De bestelde semigroep á MAAR, +, fñ worden genoemd bestelde groep, als systeem á MAAR, +ñ is een groep.

In overeenstemming met de soorten orderrelaties, lineair geordende semigroep, lineair geordende groep, gedeeltelijk geordende semigroep, strikt geordende semigroep enz.

Stelling 1. In de geordende halve groep á MAAR, +, fñ ongelijkheden kunnen worden toegevoegd, dat wil zeggen, a f b, c f d Þ a+c f b+d.

Een bewijs. Wij hebben

a f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d

vanwaar door transitiviteit a+c f b+d. De stelling is bewezen.

Oefening 1. Bewijs dat het systeem van natuurlijke getallen een gedeeltelijk geordende semigroep is met betrekking tot vermenigvuldiging en deelbaarheid.

Het is gemakkelijk in te zien dat het systeem á N, +, >ñ is een sterk geordende semigroep, á N, +, ³ñ is een niet-strikt geordende semigroep. Men kan een voorbeeld geven van een dergelijke ordening van de semigroep á N, +ñ, waarin de volgorde noch strikt noch niet-strikt is.

Oefening 2. We definiëren de volgorde van f in het stelsel van natuurlijke getallen als volgt: a f b Û a ³ b & a¹ 1. Bewijs dat á N, +, fñ is een geordende semigroep waarin de volgorde noch strikt noch niet-strikt is.

voorbeeld 1 Laten MAAR- de verzameling natuurlijke getallen die niet gelijk is aan één. Laten we de relatie definiëren f in MAAR op de volgende manier:

a f b Û ($ kÎ N)(a = b+k) & b 3.

Bewijs dat systeem á MAAR, +, fñ is een gedeeltelijk en strikt geordende semigroep.

Een bewijs. Laten we de transitiviteit controleren:

a f b, b f c Þ a = b + k, b 3, b = c + l, c 3 a = c +(k+l), c 3 a f c.

Omdat a f b Þ a > b, dan geldt antireflexiviteit. Uit oefening 2.1.1 volgt dat f een strikte orderelatie is. De volgorde is gedeeltelijk, aangezien elementen 3 en 4 geen enkele relatie hebben.

Er is voldaan aan de monotoniciteit van de relatie f met betrekking tot optellen. Inderdaad, de voorwaarde a f b Þ a+c f b+c kan alleen worden verbroken wanneer:
b+c= 3. Maar de som kan gelijk zijn aan 3, aangezien in de MAAR geen eenheid.

Een groep van twee elementen kan niet lineair en strikt worden geordend. Inderdaad, laat 0 en 1 zijn elementen zijn (0 is de nul van de groep). Stel dat 1 > 0. Dan krijgen we 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Stelling 2. Elke lineair geordende annulatie-semigroep kan lineair en strikt worden besteld.

Een bewijs. laat een MAAR, +, fñ is een geordende semigroep. De strikte volgorderelatie > is gedefinieerd zoals in Oefening 2.1.5: a > b Û a f b & a¹ b. Laten we aantonen dat aan voorwaarde 3) uit de definitie van een geordende semigroep is voldaan.

a > b Þ a f b, a¹ bÞ a+c f b+c.

Als een a+c = b+c dan, verminderend, krijgen we a = b, wat in tegenspraak is met de voorwaarde
a > b. Middelen, a+c ¹ b+c, en a+c > b+c. Het tweede deel van voorwaarde 3) wordt op dezelfde manier geverifieerd, wat de stelling bewijst.

Stelling 3. Als een MAAR, +, fñ is een lineair en strikt geordende semigroep, dan:

1) a + Met = b + c Û a = b Û c + a = Met + b;

2) a + Met f b + c Û a f b Û Met + a f Met + b.

Een bewijs. Laten a + Met = b + c. Als een a ¹ b, dan vanwege de verbinding a f b of
b f a. Maar dan dienovereenkomstig a + Met f b+ c of b + Met f a+ c, wat in tegenspraak is met de voorwaarde a + Met = b + c. Andere gevallen worden op dezelfde manier behandeld.

Elke lineair en strikt geordende semigroep is dus een annuleringssemigroep.

Definitie. laat een MAAR, +, fñ is een geordende semigroep. Element a sets MAAR positief (negatief) genoemd als een + a¹ a en een + a f a(respectievelijk a f een + a).

Voorbeeld 2 Bewijs dat een element van een geordende commutatieve opheffende semigroep groter dan een positief element niet noodzakelijk positief is.

Oplossing. Laten we voorbeeld 1 gebruiken. We hebben 2 + 2 f 2, dus 2 is een positief element. 3 = 2 + 1, dus 3 f 2. Tegelijkertijd geldt de relatie 3 + 3 f 3 niet, dus 3 is geen positief element.

Stelling 4. De som van positieve elementen van een commutatieve semigroep met annulering is positief.

Een bewijs. Als een een + a f a en b+b f b, dan door Stelling 1

een + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f een + b.

Het blijft om te controleren dat ( a + b)+ (a+b)¹ een + b. Wij hebben:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Laten we doen alsof ( a + b)+ (a+b)=een + b. Substitueren in (1), verkrijgen we

a+b+b f a+b+a+b Þ a f een + a.

Vanwege de antisymmetrie a = a + a. Dit is in strijd met het feit dat het element a positief.

Stelling 5. Als een a is een positief element van een lineair en strikt geordende semigroep, dan voor any b wij hebben a+b f b, b+a f b.

Een bewijs. Wij hebben een + a f a Þ a+ a+ b f a + b. Als het niet waar is dat a + b f b, dan, als gevolg van lineariteit, a+b=b of b f a + b. Links toevoegen a, verkrijgen we respectievelijk a+ a+ b= a + b of a + b f a + a + b. Deze voorwaarden zijn in tegenspraak met de antisymmetrie en striktheid van de orderelatie.

Stelling 6. laat een MAAR, +, fñ is een lineair en strikt geordende semigroep, aÎ MAAR en a+ a¹ a. Dan de elementen:

a, 2*a, 3*a, ...

iedereen is anders. Als bovendien het systeem á MAAR, +, fñ is een groep, dan zijn alle elementen verschillend:

0, a,–a, 2*a, - 2*a, 3*a, –3*a, ...

(onder k*a, kÎ N , aÎ EEN, wat de som betekent a+ …+ a bevattende k voorwaarden)

Een bewijs. Als een a + a f a, dan a + a + a f een + a, enz. Als resultaat krijgen we een ketting … f ka f... f 4 a f3 a f2 a f a. Op grond van transitiviteit en antisymmetrie zijn alle elementen daarin verschillend. In een groep kan de keten in de andere richting worden voortgezet door een element toe te voegen - a.

Gevolg. Een eindige opheffende semigroep, als het aantal elementen ervan minimaal 2 is, kan niet lineair worden geordend.

Stelling 7. laat een MAAR, +, fñ is een lineair geordende groep. Dan

a f a Û b f b.

Het bewijs is als een oefening.

Elke lineair geordende groep is dus sterk of niet strikt geordend. Om deze orders aan te duiden, zullen we respectievelijk de tekens > en ³ gebruiken.

Opdrachten

3. Bewijs dat de som van positieve elementen van een lineair en sterk geordende semigroep positief is.

4. Bewijs dat elk element van een lineair en strikt geordende semigroep groter dan een positief element zelf positief is.

5. Bewijs dat een geordende semigroep lineair geordend is dan en slechts dan als een eindige verzameling van zijn elementen slechts één grootste element heeft.

6. Bewijs dat de verzameling positieve elementen van een lineair geordende groep niet leeg is.

7. laat een MAAR, +, fñ is een lineair en strikt geordende groep. Bewijs dat het element a systemen MAAR is positief als en slechts als a > 0.

8. Bewijs dat er slechts één lineaire en strikte volgorde bestaat in de additieve semigroep van natuurlijke getallen waarin de verzameling positieve elementen niet leeg is.

9. Bewijs dat de multiplicatieve semigroep van gehele getallen niet lineair kan worden geordend.

Bestelde ringen

Definitie. Systeem a MAAR, +, ×, fñ heet bestelde halvering, als

1) systeem á MAAR, +, ×ñ is een halvering;

2) systeem á MAAR, +, fñ is een geordende semigroep met een niet-lege verzameling MAAR+ positieve elementen;

3) monotoniciteit wordt voldaan met betrekking tot vermenigvuldiging met positieve elementen, dat wil zeggen, als MetÎ MAAR+ en a f b, dan ac f bc, ca f cb.

positief element bestelde halvering MAAR is elk positief element van de geordende semigroep á MAAR, +, fn.

Bestelde halvering á MAAR, +, ×, fñ heet bestelde ring (veld) als de halve ring á MAAR, +, ×ñ is een ring (respectievelijk een veld).

Definitie. laat een MAAR, +, ×, fñ is een geordende halvering. Bestel f van het systeem MAAR genaamd Archimedisch, en het systeem MAAR - Archimedische bevolen, als, ongeacht de positieve elementen a en b systemen MAAR, kunt u zo'n natuurlijk getal opgeven P, wat nee f b.

voorbeeld 1 De halvering van natuurlijke getallen met de verhouding > (groter dan) is een lineair, strikt en Archimedisch geordende halvering.

Voor een lineair geordende ring á MAAR, +, ×, 0, fñ systeem á MAAR, +, 0, fñ is een lineair geordende groep. Dit impliceert, volgens Stelling 2.2.7, dat de volgorde van f strikt of niet-strikt is. in veelvoud MAAR men kan (Oefeningen 2.1.5 en 2.1.6) een nieuwe lineaire volgorde invoeren, die strikt zal zijn als de volgorde van f niet-strikt is, en niet-strikt als de volgorde van f strikt is. In verband met deze opmerking, in een lineair geordende ring MAAR overwegen meestal twee binaire orderelaties, waarvan er één, strikt, wordt aangegeven met het teken >, en het tweede, niet-strikte, teken ³.

Voor wat volgt, is het nuttig eraan te herinneren dat in een lineair geordende ring het element a is positief als en slechts als a> 0 (oefening 2.2.7).

Stelling 1. Laat het systeem á MAAR, +, ×, 0, >ñ is een lineair geordende ring. Dan voor elk element a van MAAR of a = 0, of a> 0, of - a > 0.

Een bewijs. Vanwege de lineariteit en strengheid tussen de elementen
een + a en aéén en slechts één van de relaties geldt een + a>a, a+ a = a, a+ a < a. In het eerste geval a is een positief element. In de tweede voegen we aan beide delen toe - a en we krijgen a= 0. In het derde geval voegen we aan beide delen toe - een - een - een en we krijgen -a < -a-a, waar -a is een positief element.

Stelling 2. De som en het product van positieve elementen van een lineair geordende ring zijn positief.

Het bewijs is als een oefening.

Stelling 3. In een lineair geordende ring is het kwadraat van elk niet-nul element positief.

Het bewijs is als een oefening.

Stelling 4. In een lineair geordend veld, als a> 0, dan a –1 > 0.

Het bewijs is als een oefening.

Stelling 5. ( Bestelcriterium) . Bel a MAAR, +, ×, 0ñ als en alleen dan kan men lineair en strikt bestellen (d.w.z. een lineaire en strikte volgorde introduceren) als de verzameling MAAR heeft een subset MAAR+ , voldoet aan de voorwaarden:

1) aÎ MAAR + Þ a¹ 0 & – aÏ MAAR + ;

a¹ 0 Þ aÎ MAAR + Ú – aÎ MAAR + ;

2)een, bÎ MAAR + Þ a + bÎ MAAR + & abÎ MAAR + .

Een bewijs. Laat eerst á MAAR, +, ×, 0, >ñ is een lineair geordende ring. Als de gewenste subset MAAR+ in dit geval kan er op grond van Stellingen 1 en 2 een reeks positieve elementen van het systeem zijn MAAR.

Laat nu MAAR+ is een deelverzameling van de ring á MAAR, +, ×, 0ñ voldoen aan de voorwaarden van de stelling. Laten we proberen een lineaire volgorde in te voeren > in de ring á MAAR, +, ×, 0ñ. Laten we deze relatie als volgt definiëren:

a > b Û een - b Î MAAR + .

Het is gemakkelijk te controleren of de door ons geïntroduceerde relatie verbonden, antireflexief, antisymmetrisch, transitief, monotoon is onder optellen en vermenigvuldigen met elk element uit MAAR + .

Veel MAAR+ met de eigenschappen genoemd in de voorwaarde van Stelling 4 heet het positieve deel van de ring á MAAR, +, ×, 0ñ. In de toekomst zullen we bij het introduceren van orde in een ring zoeken naar het "positieve deel" erin. Als een dergelijk onderdeel in de ring aanwezig is, kan de ring worden besteld, zo niet, dan is het onmogelijk, als er meerdere van dergelijke niet-samenvallende positieve onderdelen zijn, dan kan deze op verschillende manieren worden besteld.

Uit wat is gezegd volgt dat bij het definiëren van een lineair geordende ring als de basisrelatie, in plaats van de binaire relatie >, men de unaire relatie "positief" kan nemen.

Stelling 6. ( Criterium voor de uniciteit van een lineaire orde) . Laten MAAR+ en MAAR++ zijn de positieve delen van de ring á MAAR, +, ×, 0ñ. Dan

MAAR + = MAAR ++ Û MAAR + Í MAAR ++ .

In de axiomatische constructie van elke theorie worden bepaalde regels in acht genomen:

sommige concepten van de theorie worden gekozen als: basis, en worden zonder definitie geaccepteerd en worden ongedefinieerd genoemd.

axioma's worden geformuleerd - zinnen die in deze theorie zonder bewijs worden geaccepteerd; ze onthullen de eigenschappen van de basisconcepten;

elk concept van de theorie, dat niet is opgenomen in de lijst met basisconcepten, wordt gegeven definitie, het verklaart de betekenis ervan met behulp van basis- en voorafgaande concepten;

elke zin van de theorie die niet in de lijst met axioma's staat, moet worden bewezen; zulke proposities worden stellingen genoemd en bewijzen ze op basis van de axioma's en stellingen die voorafgaan aan de beschouwde.

In de axiomatische constructie van een theorie worden in wezen alle uitspraken door bewijs afgeleid uit de axioma's. Daarom worden er speciale eisen gesteld aan het systeem van axioma's. Allereerst moet het consistent en onafhankelijk zijn.

Het systeem van axioma's heet consequent als twee elkaar uitsluitende zinnen er niet logisch uit kunnen worden afgeleid.

Een consistent systeem van axioma's heet onafhankelijk als geen van de axioma's van dit systeem een ​​gevolg is van andere axioma's van dit systeem.

Axioma's zijn in de regel een weerspiegeling van de eeuwenoude praktische activiteiten van mensen, en dit bepaalt hun geldigheid.

Als basisconcept in de axiomatische constructie van de rekenkunde van natuurlijke getallen, wordt de relatie "direct volgen" genomen, gegeven op een niet-lege verzameling N. Ook bekend zijn de concepten van een verzameling, een element van een verzameling en andere verzamelingentheoretische concepten, evenals de regels van de logica.

Het element dat onmiddellijk volgt op het element a, aanwijzen a". De essentie van de "direct volgen"-relatie wordt onthuld in de volgende axioma's voorgesteld door de Italiaanse wiskundige J. Peano in 1891.

Axioma 1. in veelvoud N er is een element dat niet onmiddellijk volgt op een element van deze set. Het wordt een eenheid genoemd en wordt aangegeven met het symbool 1.

Axioma 2. Voor elk element a van N er is maar één element a", onmiddellijk volgend a.

Axioma 3. Voor elk element een van N er is maximaal één element direct gevolgd door a.

Axioma 4. (Axioma van inductie). elke subset M sets N valt samen met N als het de volgende eigenschappen heeft: 1) 1 zit in M; 2) uit het feit dat elk element a Verpakt in M, hieruit volgt dat en a" Verpakt in M.

De geformuleerde axioma's worden vaak Peano's axioma's genoemd, en het vierde axioma wordt het axioma van inductie genoemd.

Laten we deze axioma's in symbolische vorm opschrijven.

MAAR 1 )( 1  N)( a N)a"  1;

MAAR 2 )( a N)( !b N)a"=b

MAAR 3 ) ( a,b,Met N)с = a" с = b"  a= b;

A4) M N 1  M (a M a"  M)  M=N

Met behulp van de "onmiddellijk volgen"-relatie en Peano's axioma's 1-4, kan de volgende definitie van een natuurlijk getal worden gegeven.

Definitie 1. De verzameling N. waarvan de elementen de relatie "onmiddellijk volgen" is vastgesteld, die voldoet aan de axioma's 1-4, wordt de verzameling natuurlijke getallen genoemd, en de elementen ervan natuurlijke getallen.

___________________________________________________________________

definitie 2 . Als een natuurlijk getalbvolgt onmiddellijk het nummer a, dan wordt het nummer a gebeld onmiddellijk voorafgaand aan (voorafgaand aan) het nummerb.

______________________________________________________________________________________________

Stelling 1. De eenheid heeft geen voorafgaand natuurlijk getal (de waarheid van de stelling volgt onmiddellijk uit het axioma MAAR 1 ).

Stelling 2. Elk natuurlijk getal a, anders dan één heeft een voorgaand nummer b , zodanig dat b " = a.

De definitie van een natuurlijk getal zegt niets over de aard van de elementen van de verzameling N. Ze kan dus alles zijn. Het standaardmodel van het systeem van Peano's axioma's is een reeks getallen die ontstond in het proces van de historische ontwikkeling van de samenleving:

1, 2, 3, 4, 5 ,..,

Elk nummer van deze serie heeft zijn eigen aanduiding en naam, die we als bekend zullen beschouwen.

Het is belangrijk op te merken dat bij de definitie van een natuurlijk getal geen van de axioma's kan worden weggelaten.

1 a b c d

    …

b

Rijst. 16 Rijst. 17

Taak 1.

In de figuren is elk element door een pijl verbonden met het erop volgende element.

Bepaal welke van de in figuur 15 en 16 getoonde verzamelingen modellen zijn van het stelsel van Peano's axioma's.

1. In afb. 16 toont een verzameling waarin axioma's 2 en 3 gelden, maar axioma 1 niet.

Axioma 4 slaat nergens op, aangezien er geen element in de verzameling is dat niet onmiddellijk op een ander volgt.

2. Op afb. 17 toont de verzameling waarin aan de axioma's 1, 2, 3 is voldaan, maar aan axioma 4 is niet voldaan - de verzameling punten die op de straal ligt, bevat 1, en samen met elk nummer bevat het het nummer dat er direct op volgt, maar dat is niet het geval samenvallen met alle in de afbeelding getoonde instelpunten. Conclusie: geen van de sets afgebeeld in Fig. 16 en 17 kunnen niet worden beschouwd als modellen van het systeem van Peano's axioma's.

Taak 2.

Laten we bewijzen dat elk natuurlijk getal anders is dan het onmiddellijk volgende natuurlijke getal, d.w.z. ( X )X X"

Een bewijs

We gebruiken het axioma van inductie - MAAR 4 .

Laten M=(x/x , X X"}, omdat . X  M N.

Het bewijs bestaat uit twee delen.

Laten we dat bewijzen 1  M, die. 1  1" . Dit volgt uit MAAR 1 .

Laten we dat bewijzen X M=> X" M. Laten  X M die. X X". Laten we dat bewijzen X" M, d.w.z. X"  (X")". En axioma's MAAR 3 zou moeten X" (X")". inderdaad, door MAAR 3 , als x" = (x")" dan x = x", en aangezien door inductie propositie x  M, dan x  X", daarom komen we tot een contradictie. Middelen, X" (X")" ,  X" M.

Hier wordt de regel van contrapositie (PC) toegepast, die veel wordt gebruikt in bewijs "door tegenspraak".

Dus we kregen:

M N (1  M (x M => x " M))  M = N, d.w.z. bewering x  x" geldt voor elk natuurlijk getal.

Testvragen

Wat is de essentie van de axiomatische constructie van de theorie?

Wat zijn de basisconcepten van de cursus planimetrie op school. Denk aan het systeem van axioma's van deze cursus. Welke eigenschappen van concepten worden erin beschreven?

Formuleer en noteer in symbolische vorm de axioma's van Peano. "

Formuleer een axiomatische definitie van een natuurlijk getal.

Ga door met de definitie van een natuurlijk getal: "Een natuurlijk getal is een element van een verzameling" N,... » .

Geef voorbeelden uit wiskundeboeken op de basisschool waarin:

a) een nieuw (voor studenten) nummer fungeert als voortzetting van het ontvangen segment van de natuurlijke reeks;

b) vaststaat dat elk natuurlijk getal onmiddellijk wordt gevolgd door slechts één ander natuurlijk getal.

Opdrachten

285. De elementen van een verzameling zijn groepen streepjes (I, II, III, IIII,...). Voldoet deze set aan de axioma's van Peano? Zoals hier gedefinieerd, volgt de relatie "onmiddellijk volgen". Beschouw dezelfde vragen voor de verzameling (0, 00, 000, 0000,...).

Rijst. 17

286. In figuur 17a) is elk element door een pijl verbonden met het volgende element. Kan de verzameling worden beschouwd als een model van het systeem van Peano's axioma's? Dezelfde vragen voor de sets in figuren 17 b), c), d).

287. Is de reeks getallen (1, 2, 3 P, ...), als de volgende relatie erin is gedefinieerd als volgt:

1 3  5 7….

2  4  6 8….

288. Geef voorbeelden van opdrachten uit wiskundeboeken voor de lagere klassen, waarin de juistheid van de opdrachten wordt verklaard door de axioma's van Peano.

Ministerie van Onderwijs van de administratie van het Kirovsky-district van Volgograd

Gemeentelijke onderwijsinstelling

gymnasium №9

Wiskunde sectie

Over dit onderwerp:gehele getallen

leerlingen van het 6de leerjaar

Shanina Liza

Leidinggevende:

wiskunde leraar

Datum van schrijven van het werk:

Handtekening manager:

Volgograd 2013

Introductie pagina 3

§een. Basisconcepten en definities pagina 4

§2. Axiomatiek van een natuurlijk getal pagina 5

§3. "OVER ENKELE GEHEIMEN DIE CIJFERS BEWAREN" p.8

vier. Grote wiskundigen pagina 10

Conclusie pagina 12

Referenties pagina 13

Invoering

Wat zijn natuurlijke getallen? Allemaal! O wat goed. En wie kan het uitleggen? Um, um, "positieve gehele getallen", nee, dat werkt niet. We zullen moeten uitleggen wat "hele getallen" zijn, en dit is ingewikkelder. Zijn er meer versies? Aantal appels? We lijken niet te begrijpen waarom we het moeten uitleggen.

Natuurlijke getallen zijn enkele wiskundige objecten, om er uitspraken over te doen, om bewerkingen op te introduceren (optellen, vermenigvuldigen), hebben we een soort formele definitie nodig. Anders blijft de opteloperatie hetzelfde informele, op het niveau van "er waren twee stapels appels, leg ze in één." En het zal onmogelijk worden om stellingen te bewijzen die optellen gebruiken, wat triest is.

Ja, ja, het is absoluut correct om te onthouden dat punten en lijnen ondefinieerbare concepten zijn. Maar we hebben axioma's die eigenschappen definiëren waarop kan worden vertrouwd in bewijzen. Bijvoorbeeld: "door twee willekeurige punten op een vlak kun je een rechte lijn tekenen en bovendien maar één." Enzovoort, ik zou graag zoiets willen.

In dit artikel zullen we natuurlijke getallen, Peano's axioma's en mysteries van getallen beschouwen.

Relevantie en nieuwheid van het werk is dat het gebied van de axioma's van Peano niet wordt onthuld in schoolboeken en hun rol niet wordt getoond.

Het doel van dit werk is: de studie van de kwestie van het natuurlijke getal en het mysterie van getallen.

De belangrijkste hypothese van het werk is Peano's axioma's en de mysteries van getallen.

§een. Basisconcepten en definities

Nummer - het is een uitdrukking van een bepaalde hoeveelheid.

Natuurlijk nummer een element van een oneindig doorlopende reeks.

Natuurlijke getallen (natuurlijke getallen) - getallen die van nature ontstaan ​​bij het tellen (zowel in de zin van optellen als in de zin van calculus).

Er zijn twee benaderingen voor de definitie van natuurlijke getallen - de getallen die worden gebruikt in:

opsomming (nummering) van items (eerste, tweede, derde, ...);

aanduiding van het aantal items (geen items, één item, twee items, ...).

Axioma – dit zijn de fundamentele uitgangspunten (vanzelfsprekende principes) van een bepaalde theorie, waaruit, door deductie, dat wil zeggen met zuiver logische middelen, de rest van de inhoud van deze theorie wordt afgeleid.

Een getal dat slechts twee delers heeft (het getal zelf en één) wordt genoemd - gemakkelijk nummer.

Samengesteld nummer is een getal dat meer dan twee delers heeft.

§2. Axiomatiek van een natuurlijk getal

Natuurlijke getallen worden verkregen door objecten te tellen en hoeveelheden te meten. Maar als er tijdens de meting andere dan natuurlijke getallen verschijnen, leidt de berekening alleen tot natuurlijke getallen. Om de telling bij te houden, hebt u een reeks getallen nodig die met één begint en waarmee u zo vaak als nodig van het ene naar het andere cijfer kunt gaan. Met andere woorden, we hebben een segment van de natuurlijke reeks nodig. Daarom was het bij het oplossen van het probleem van het onderbouwen van het systeem van natuurlijke getallen allereerst noodzakelijk om de vraag te beantwoorden wat een getal is als een element van de natuurlijke reeks. Het antwoord hierop werd gegeven in het werk van twee wiskundigen - Duitse Grassmann en Italiaanse Peano. Ze stelden een axiomatisch voor waarin: het natuurlijke getal werd gerechtvaardigd als een element van een oneindig doorlopende reeks.

De axiomatische constructie van een stelsel van natuurlijke getallen wordt uitgevoerd volgens de geformuleerde regels .

De vijf axioma's kunnen worden gezien als een axiomatische definitie van de basisbegrippen:

1 is een natuurlijk getal;

Het volgende natuurlijke getal is een natuurlijk getal;

1 volgt geen natuurlijk getal;

Als een natuurlijk getal a volgt natuurlijk getal b en voor een natuurlijk getal Met, dan b en Met identiek;

Als een propositie is bewezen voor 1 en als uit de veronderstelling dat het waar is voor een natuurlijk getal n, volgt hieruit dat het waar is voor het volgende: n natuurlijk getal, dan geldt deze stelling voor alle natuurlijke getallen.

Eenheid is het eerste getal van de natuurlijke reeks , evenals een van de cijfers in het decimale getalsysteem.

Er wordt aangenomen dat de aanduiding van een eenheid van elke categorie met hetzelfde teken (vrij dicht bij modern) voor het eerst verscheen in het oude Babylon, ongeveer 2000 jaar voor Christus. e.

De oude Grieken, die alleen natuurlijke getallen als getallen beschouwden, beschouwden elk van hen als een verzameling eenheden. De eenheid zelf krijgt een speciale plek: het werd niet als een nummer beschouwd.

I. Newton schreef: "... met getal bedoelen we niet zozeer een verzameling eenheden, maar een abstracte verhouding van de ene hoeveelheid tot een andere hoeveelheid, die door ons conventioneel als een eenheid wordt aanvaard." Zo heeft de eenheid onder andere nummers al zijn rechtmatige plaats ingenomen.

Rekenkundige bewerkingen op getallen hebben verschillende eigenschappen. Ze kunnen in woorden worden beschreven, bijvoorbeeld: "De som verandert niet door een verandering in de plaats van de termen." Kan met letters worden geschreven: a+b = b+a. Kan in specifieke termen worden uitgedrukt.

We passen de basiswetten van de rekenkunde vaak uit gewoonte toe zonder het te beseffen:

1) commutatieve wet (commutativiteit), - een eigenschap van optellen en vermenigvuldigen van getallen, uitgedrukt door identiteiten:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) associatieve wet (associativiteit), - een eigenschap van optellen en vermenigvuldigen van getallen, uitgedrukt door identiteiten:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) distributieve wet (distributiviteit), - een eigenschap die de optelling en vermenigvuldiging van getallen verbindt en wordt uitgedrukt door identiteiten:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Na het bewijzen van de commutatieve, associatieve en distributieve (met betrekking tot optelling) wetten van de actie van vermenigvuldiging, levert de verdere constructie van de theorie van rekenkundige bewerkingen op natuurlijke getallen geen fundamentele problemen op.

Op dit moment doen we in het hoofd of op een stuk papier alleen de eenvoudigste berekeningen, waarbij we steeds complexer rekenwerk toevertrouwen aan rekenmachines, computers. De werking van alle computers - eenvoudig en complex - is echter gebaseerd op de eenvoudigste bewerking - het optellen van natuurlijke getallen. Het blijkt dat de meest complexe berekeningen kunnen worden teruggebracht tot optellen, alleen moet deze bewerking vele miljoenen keren worden uitgevoerd.

§3. . "OVER ENKELE GEHEIMEN DIE NUMMERS HOUDEN"

Mersenne-nummers.

De zoektocht naar priemgetallen is al eeuwen aan de gang.

Een getal dat slechts twee delers heeft (het getal zelf en één) wordt een priemgetal genoemd.

Een samengesteld getal is een getal dat meer dan twee delers heeft. Bijvoorbeeld: de Franse monnik Maren Mersenne (1g.) schreef de formule op voor het getal "voor de eenvoud", dat het Mersenne-getal werd genoemd.

Dit zijn getallen van de vorm M p \u003d 2P -1, waarbij p \u003d priemgetal.

Ik heb gecontroleerd: is deze formule geldig voor alle priemgetallen?

Tot nu toe zijn getallen groter dan 2 getest op priemgetallen voor alle p tot en met 50.000. Als resultaat zijn er meer dan 30 Mersenne-priemgetallen ontdekt.

3.1 Perfecte getallen.

Onder de samengestelde getallen valt zo'n groep getallen op, die ■ perfect wordt genoemd, als het getal gelijk was aan de som van al zijn delers (exclusief het getal zelf). Bijvoorbeeld:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

3.2. vriendelijke nummers

De wetenschapper Pythagoras reisde veel in de landen van het Oosten: hij was in Egypte en in Babylon. Daar maakte Pythagoras kennis met de oosterse wiskunde. Pythagoras geloofde dat het geheim van de wereld verborgen is in numerieke patronen, getallen hebben hun eigen speciale levensbetekenis. Onder de samengestelde getallen bevinden zich paren getallen, die elk gelijk zijn aan de som van de delers van de ander.

Bijvoorbeeld: 220 en 284

220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

234=1+2+4+71+142=220

Ik heb een rekenmachine gebruikt om een ​​paar vriendelijkere getallen te vinden.

Bijvoorbeeld: 1184 en 1210

1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210=1+2+5+10+1,1+22+55+110+121+242+605=1184 en. enz.

Vriendelijke nummers- twee natuurlijke getallen waarvan de som van alle delers van het eerste getal (behalve zichzelf) gelijk is aan het tweede getal en de som van alle delers van het tweede getal (behalve zichzelf) gelijk is aan het eerste getal.. Meestal gesproken van vriendelijke getallen, ze betekenen paren van twee verschillend nummers.

vriendelijke nummers

Vriendelijke getallen - een paar getallen, die elk gelijk zijn aan de som van de delers (bijvoorbeeld 220 en 284).

vier. Grote wiskundigen

Hermann Günther Grassmann ( Duits Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) - natuurkundige, wiskundige en filoloog.

Nadat Grassmann in Stetin was opgeleid, ging hij naar de Universiteit van Berlijn, de faculteit theologie. Nadat hij met succes voor beide examens in de theologie was geslaagd, liet hij lange tijd de gedachte niet los om zich aan het werk van een prediker te wijden, en behield zijn verlangen naar theologie tot het einde van zijn leven. Tegelijkertijd raakte hij geïnteresseerd in wiskunde. In 1840 slaagde hij voor een aanvullend examen om het recht te verwerven om wiskunde, natuurkunde, mineralogie en scheikunde te doceren. .

Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark"> differentiaalvergelijkingen, definitie en reikwijdte van het concept van een curve, enz.) en de formele logische basis van de wiskunde. De axiomatiek van de natuurlijke reeks van getallen is algemeen gebruikt. Bekend is zijn voorbeeld van een continue (Jordanische) curve die een vierkant volledig vult.

Meneer Isaac Newton (Eng. Sir Isaac Newton, 25 december 1642 - 20 maart 1727 volgens de Juliaanse kalender die van kracht was in Engeland tot 1752; of 4 januari 1643 - 31 maart 1727 volgens de Gregoriaanse kalender) - Engelse natuurkundige, wiskundige en astronoom, een van de grondleggers van de klassieke natuurkunde. De auteur van het fundamentele werk "Mathematical Principles of Natural Philosophy", waarin hij de wet van universele zwaartekracht en de drie wetten van de mechanica schetste, die de basis werden van de klassieke mechanica. Hij ontwikkelde differentiaal- en integraalrekening, kleurentheorie en vele andere wiskundige en natuurkundige theorieën.

Marin Mersenne - Franse wiskundige, natuurkundige, filosoof en theoloog. Tijdens de eerste helft van de 17e eeuw was hij in wezen de coördinator van het wetenschappelijke leven van Europa, waarbij hij actief correspondeerde met bijna alle vooraanstaande wetenschappers van die tijd. Hij heeft ook serieuze persoonlijke wetenschappelijke prestaties op het gebied van akoestiek, wiskunde en muziektheorie.

Conclusie

We komen overal cijfers tegen en zijn er zo aan gewend geraakt dat we ons nauwelijks realiseren hoe belangrijk ze zijn in ons leven. Cijfers maken deel uit van het menselijk denken.

Nadat ik dit werk had voltooid, leerde ik de axioma's van natuurlijke getallen, grote wiskundigen, enkele geheimen over getallen. Er zijn in totaal tien cijfers en de getallen die met hun hulp kunnen worden weergegeven, zijn oneindig.

Wiskunde is ondenkbaar zonder getallen. Verschillende manieren om een ​​getal weer te geven, helpen wetenschappers bij het maken van wiskundige modellen, theorieën die onopgeloste natuurlijke fenomenen verklaren.

Bibliografie

1. Kordemsky-schoolkinderen in wiskunde: (Materiaal voor klassikale en buitenschoolse activiteiten). – M.: Verlichting, 1981. – 112 p.

2., Shore rekenkundige problemen van verhoogde moeilijkheidsgraad. – M.: Verlichting, 1968. – 238 p.

3. Perelman rekenen. - M.: AO Century, 1994. - 164 p.

4. Malygin-historisme bij het onderwijzen van wiskunde op de middelbare school. - M.: Staatseducatieve en pedagogische uitgeverij van het Ministerie van Onderwijs van de RSFSR, 1963. - 223 p.

5. Sjevkin. - M.: UC pre-universitair onderwijs van de Staatsuniversiteit van Moskou, 1996. - 303 p.

6. Wiskundig encyclopedisch woordenboek. / Ch. red. ; Ed. nummer: , . – M.: Sov. Encyclopedie, 1988. - 847 p.

7. Savin-woordenboek van een jonge wiskundige. - M.: Pedagogiek, 1985. - 352 d.