Hoe de vierkantswortel van grote getallen te vinden. Vierkantswortel

Hoe de wortel te extraheren? van het nummer. In dit artikel zullen we leren hoe je de vierkantswortel van vier- en vijfcijferige getallen kunt nemen.

Laten we als voorbeeld de vierkantswortel van 1936 nemen.

Vandaar, .

Het laatste cijfer in 1936 is 6. Het kwadraat van 4 en 6 eindigt op 6. Daarom kan 1936 het kwadraat van 44 of 46 zijn. Het moet nog geverifieerd worden door middel van vermenigvuldiging.

Middelen,

Laten we de vierkantswortel van het getal 15129 extraheren.

Vandaar, .

Het laatste cijfer in 15129 is 9. De 9 eindigt met het kwadraat van 3 en 7. Daarom kan 15129 het kwadraat van 123 of 127 zijn. Laten we eens kijken met vermenigvuldiging.

Middelen,

Hoe te rooten - video

En nu stel ik voor dat je de video van Anna Denisova bekijkt - "Hoe de wortel te extraheren ", site-auteur" eenvoudige natuurkunde ", waarin ze uitlegt hoe je vierkants- en derdemachtswortels kunt extraheren zonder rekenmachine.

De video bespreekt verschillende manieren om wortels te extraheren:

1. De gemakkelijkste manier om de vierkantswortel te extraheren.

2. Matchen met het kwadraat van de som.

3. Babylonische manier.

4. Een methode om een ​​vierkantswortel in een kolom te extraheren.

5. Snelle manier het extraheren van de derdemachtswortel.

6. De methode om de derdemachtswortel in een kolom te extraheren.

De berekening (of extractie) van de vierkantswortel kan op verschillende manieren worden gedaan, maar ze zijn niet allemaal erg eenvoudig. Het is natuurlijk gemakkelijker om de hulp van een rekenmachine in te schakelen. Maar als dit niet mogelijk is (of als je de essentie van de vierkantswortel wilt begrijpen), kan ik je adviseren om de volgende weg te gaan, het algoritme is als volgt:

Als je niet de kracht, het verlangen of het geduld hebt voor zulke lange berekeningen, kun je je toevlucht nemen tot een grove selectie, het voordeel is dat het ongelooflijk snel en, met de nodige vindingrijkheid, nauwkeurig is. Voorbeeld:

Toen ik op school zat (begin jaren 60), werd ons geleerd om de vierkantswortel van elk getal te nemen. De techniek is eenvoudig, uiterlijk vergelijkbaar met column division, maar om het hier te zeggen, het kost een half uur tijd en 4-5 duizend tekens tekst. Maar waarom heb je het nodig? Heb je een telefoon of ander gadget, er is een rekenmachine in nm. In elke computer zit een rekenmachine. Persoonlijk doe ik dit soort berekeningen het liefst in Excel.

Vaak is het op school nodig om de vierkantswortels van verschillende getallen te vinden. Maar als we eraan gewend zijn om hiervoor altijd een rekenmachine te gebruiken, dan is die mogelijkheid er niet in examens, dus je moet leren hoe je de wortel kunt zoeken zonder de hulp van een rekenmachine. En dat kan in principe ook.

Het algoritme is:

Kijk eerst naar het laatste cijfer van je nummer:

Bijvoorbeeld,

Nu moet je ongeveer de waarde bepalen voor de wortel van de meest linkse groep

In het geval dat het nummer meer dan twee groepen heeft, moet je de wortel als volgt vinden:

Maar het volgende nummer moet precies het grootste zijn, je moet het als volgt oppakken:

Nu moeten we een nieuw getal A vormen door aan de rest die hierboven is verkregen, de volgende groep toe te voegen.

In onze voorbeelden:

Een kolom met najna, en wanneer er meer dan vijftien tekens nodig zijn, rusten computers en telefoons met rekenmachines meestal. Het blijft om te controleren of de beschrijving van de methodologie 4-5 duizend tekens zal duren.

Berm een ​​willekeurig nummer, vanaf een komma tellen we cijfersparen naar rechts en links

Bijvoorbeeld 1234567890.098765432100

Een paar cijfers is als een tweecijferig nummer. De wortel van een tweecijferige is een-op-een. We selecteren een waarde met één waarde, waarvan het kwadraat kleiner is dan het eerste paar cijfers. In ons geval is dat 3.

Net als bij het delen door een kolom, schrijven we onder het eerste paar dit vierkant uit en trekken we af van het eerste paar. Het resultaat is onderstreept. 12 - 9 = 3. Voeg een tweede paar cijfers toe aan dit verschil (het wordt 334). Links van het aantal bermen wordt de verdubbelde waarde van dat deel van het resultaat dat al is gevonden, aangevuld met een cijfer (we hebben 2 * 6 = 6), zodat vermenigvuldigd met het niet ontvangen getal dat wel het geval is het getal met het tweede paar cijfers niet overschrijden. We krijgen dat het gevonden cijfer vijf is. Opnieuw vinden we het verschil (9), slopen het volgende paar cijfers en krijgen 956, schrijven opnieuw het verdubbelde deel van het resultaat (70), vullen het opnieuw aan met het gewenste aantal, enzovoort totdat het stopt. Of aan de vereiste nauwkeurigheid van berekeningen.

Ten eerste, om de vierkantswortel te berekenen, moet je de tafel van vermenigvuldiging goed kennen. Meest eenvoudige voorbeelden is 25 (5 bij 5 = 25) enzovoort. Als we getallen ingewikkelder nemen, kunnen we deze tabel gebruiken, waar er horizontaal eenheden en verticaal tientallen zijn.



Er is goede manier hoe de wortel van een getal te vinden zonder de hulp van rekenmachines. Hiervoor heb je een liniaal en een kompas nodig. Het komt erop neer dat je op de liniaal de waarde vindt die je onder de wortel hebt. Plaats bijvoorbeeld een markering bij 9. Uw taak is om dit getal in een gelijk aantal segmenten te verdelen, dat wil zeggen in twee lijnen van elk 4,5 cm, en in een even segment. Het is gemakkelijk te raden dat je uiteindelijk 3 segmenten van 3 centimeter krijgt.

De methode is niet eenvoudig en grote getallen niet geschikt, maar wordt zonder rekenmachine beschouwd.

zonder de hulp van een rekenmachine werd de methode voor het extraheren van de vierkantswortel geleerd Sovjet-tijden op school in groep 8.

Om dit te doen, moet u een meercijferig getal van rechts naar links opsplitsen in vlakken van 2 cijfers :

Het eerste cijfer van de wortel is de hele wortel van de linkerkant, in dit geval 5.

Trek 5 kwadraat af van 31, 31-25=6 en voeg het volgende vlak toe aan de zes, we hebben 678.

Het volgende cijfer x wordt gekozen om de vijf te verdubbelen, zodat

10x*x was het maximum, maar minder dan 678.

x=6 omdat 106*6=636,

nu berekenen we 678 - 636 = 42 en voegen het volgende vlak 92 toe, we hebben 4292.

We zoeken opnieuw naar de maximale x, zodanig dat 112x*x lt; 4292.

Antwoord: de wortel is 563

Je kunt dus zo lang doorgaan als je wilt.

In sommige gevallen kunt u proberen het wortelgetal uit te breiden tot twee of meer kwadraten.

Het is ook handig om de tabel (of in ieder geval een deel ervan) te onthouden - vierkanten natuurlijke getallen van 10 tot 99.



Ik stel een variant voor van het extraheren van de vierkantswortel in een kolom die ik heb uitgevonden. Het verschilt van het bekende, behalve de selectie van nummers. Maar zoals ik later ontdekte, bestond deze methode al vele jaren voor mijn geboorte. De grote Isaac Newton beschreef het in zijn boek General Arithmetic of een boek over rekenkundige synthese en analyse. Dus hier presenteer ik mijn visie en reden voor het algoritme van de Newton-methode. U hoeft het algoritme niet te onthouden. Indien nodig kunt u het diagram in de afbeelding gewoon als visueel hulpmiddel gebruiken.







Met behulp van tabellen kunt u de vierkantswortels niet berekenen, maar alleen vinden uit de getallen die in de tabellen staan. De eenvoudigste manier om de wortels te berekenen is niet alleen vierkant, maar ook andere graden, door de methode van opeenvolgende benaderingen. We berekenen bijvoorbeeld de vierkantswortel van 10739, vervangen de laatste drie cijfers door nullen en extraheren de wortel van 10000, we krijgen 100 met een nadeel, dus we nemen het getal 102 en kwadrateren we, we krijgen 10404, wat ook minder is dan de opgegeven, nemen we 103*103=10609 opnieuw met een nadeel, we nemen 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25, we nemen nog meer 103.6 * 103.6 \u003d 10732, we nemen 103.7 * 103.7 \u003d 10753.69, wat al in overmaat. Je kunt de vierkantswortel van 10739 nemen om ongeveer gelijk te zijn aan 103,6. Meer precies 10739=103.629... . . Op dezelfde manier berekenen we de derdemachtswortel, eerst van 10000 krijgen we ongeveer 25 * 25 * 25 = 15625, wat meer is, we nemen 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, we nemen iets meer dan 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, wat heel dicht bij de gegeven ligt.

Studenten vragen altijd: “Waarom kan ik geen rekenmachine gebruiken bij een wiskunde-examen? Hoe de vierkantswortel van een getal te extraheren zonder rekenmachine? Laten we proberen deze vraag te beantwoorden.

Hoe de vierkantswortel van een getal extraheren zonder de hulp van een rekenmachine?

Actie vierkantswortel extractie het tegenovergestelde van kwadrateren.

√81= 9 9 2 =81

Als we de vierkantswortel van een positief getal nemen en het resultaat kwadrateren, krijgen we hetzelfde getal.

Uit kleine getallen die exacte kwadraten van natuurlijke getallen zijn, bijvoorbeeld 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kunnen verbaal vierkantswortels worden geëxtraheerd. Meestal leren ze op school een tabel met vierkanten van natuurlijke getallen tot twintig. Als je deze tabel kent, is het gemakkelijk om de vierkantswortels te extraheren uit de getallen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Van getallen groter dan 400 kun je met behulp van de selectiemethode met enkele tips extraheren. Laten we een voorbeeld proberen om deze methode te overwegen.

Voorbeeld: Extraheer de wortel van het getal 676.

We merken dat 20 2 \u003d 400, en 30 2 \u003d 900, wat 20 . betekent< √676 < 900.

Exacte vierkanten van natuurlijke getallen eindigen op 0; een; 4; 5; 6; 9.
Het getal 6 wordt gegeven door 4 2 en 6 2 .
Dus als de wortel wordt genomen uit 676, dan is het 24 of 26.

Het blijft om te controleren: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antwoord: √676 = 26 .

Meer voorbeeld: √6889 .

Sinds 80 2 \u003d 6400, en 90 2 \u003d 8100, dan 80< √6889 < 90.
Het getal 9 wordt gegeven door 3 2 en 7 2, dan is √6889 83 of 87.

Controle: 83 2 = 6889.

Antwoord: √6889 = 83 .

Als je het moeilijk vindt om het op te lossen met de selectiemethode, dan kun je de worteluitdrukking ontbinden.

Bijvoorbeeld, zoek √893025.

Laten we het getal 893025 ontbinden, onthoud, je deed het in de zesde klas.

We krijgen: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Meer voorbeeld: √20736. Laten we het getal 20736 ontbinden in factoren:

We krijgen √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Factoring vereist natuurlijk kennis van deelbaarheidscriteria en factoringvaardigheden.

En tot slot is er vierkantswortel regel. Laten we eens kijken naar deze regel met een voorbeeld.

Bereken √279841.

Om de wortel van een meercijferig geheel getal te extraheren, splitsen we het van rechts naar links in vlakken met elk 2 cijfers (er kan één cijfer in het uiterste linkervlak staan). Schrijf zo 27'98'41

Om het eerste cijfer van de wortel (5) te krijgen, extraheren we de vierkantswortel van het grootste exacte vierkant in het eerste linkervlak (27).
Dan wordt het kwadraat van het eerste cijfer van de wortel (25) afgetrokken van het eerste vlak en het volgende vlak (98) wordt toegeschreven (afgebroken) aan het verschil.
Links van het ontvangen getal 298 schrijven ze het dubbele cijfer van de wortel (10), delen het getal van alle tientallen van het eerder verkregen getal (29/2 2), ervaren het quotiënt (102 ∙ 2 = 204 mag niet meer zijn dan 298) en schrijf (2) na het eerste cijfer van de wortel.
Dan wordt het resulterende quotiënt 204 afgetrokken van 298, en het volgende facet (41) wordt toegeschreven (afgebroken) aan het verschil (94).
Links van het resulterende getal 9441 schrijven ze het dubbele product van de cijfers van de wortel (52 ∙ 2 = 104), delen door dit product het aantal van alle tientallen van het getal 9441 (944/104 ≈ 9), ervaring het quotiënt (1049 ∙ 9 = 9441) moet 9441 zijn en noteer (9) na het tweede cijfer van de wortel.

We hebben het antwoord √279841 = 529.

Op dezelfde manier extraheren wortels van decimalen. Alleen het wortelgetal moet in vlakken worden verdeeld, zodat de komma tussen de vlakken staat.

Voorbeeld. Zoek de waarde √0,00956484.

Dat moet je gewoon onthouden als: decimale heeft niet even getal decimalen, wordt de exacte vierkantswortel er niet uit gehaald.

Dus nu heb je drie manieren gezien om de wortel te extraheren. Kies degene die het beste bij je past en oefen. Om te leren hoe je problemen oplost, moet je ze oplossen. En als je vragen hebt, .

blog.site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal is een link naar de bron vereist.

Er zijn verschillende methoden om de vierkantswortel te berekenen zonder rekenmachine.

Hoe de wortel van een getal te vinden - op 1 manier

• Een methode is om het getal onder de wortel te ontbinden. Deze componenten vormen door vermenigvuldiging een wortelwaarde. De nauwkeurigheid van het verkregen resultaat hangt af van het getal onder de wortel.
• Als u bijvoorbeeld het getal 1600 neemt en het begint te ontbinden, wordt de redenering als volgt opgebouwd: dit getal is een veelvoud van 100, wat betekent dat het kan worden gedeeld door 25; aangezien de wortel van het getal 25 wordt geëxtraheerd, is het getal vierkant en geschikt voor verdere berekeningen; bij het delen krijgen we nog een getal - 64. Dit getal is ook vierkant, dus de wortel wordt goed geëxtraheerd; na deze berekeningen kun je onder de wortel het getal 1600 schrijven als een product van 25 en 64.

• Een van de regels voor het extraheren van een wortel zegt dat de wortel van het product van factoren gelijk is aan het getal dat het resultaat is van het vermenigvuldigen van de wortels van elke factor. Dit betekent dat: √(25*64) = √25 * √64. Als we de wortels uit 25 en 64 halen, krijgen we de volgende uitdrukking: 5 * 8 = 40. Dat wil zeggen, de vierkantswortel van het getal 1600 is 40.
• Maar het gebeurt dat het getal onder de wortel niet uiteenvalt in twee factoren, waaruit de hele wortel wordt geëxtraheerd. Meestal kan dit alleen voor een van de vermenigvuldigers. Daarom is het meestal onmogelijk om een ​​absoluut exact antwoord in een dergelijke vergelijking te vinden.
• In dit geval kan alleen een geschatte waarde worden berekend. Daarom moet u de wortel van de factor nemen, wat een vierkant getal is. Deze waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met de wortel van het tweede getal, wat niet de kwadratische term van de vergelijking is.
• Het ziet er zo uit, neem bijvoorbeeld het getal 320. Het kan worden ontleed in 64 en 5. Je kunt de hele wortel uit 64 halen, maar niet uit 5. Daarom ziet de uitdrukking er als volgt uit: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Indien nodig kunt u een geschatte waarde van dit resultaat vinden door te berekenen
  √5 ≈ 2.236, dus √320 = 8 * 2.236 = 17,88 ≈ 18.
• Ook kan het getal onder de wortel worden ontleed in meerdere priemfactoren, en hetzelfde kan eronder worden weggenomen. Voorbeeld: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8.66 ≈ 9.

Hoe de wortel van een getal te vinden - 2-weg

• Een andere manier is om in een kolom te verdelen. De verdeling is vergelijkbaar, maar je hoeft alleen maar naar kwadraatgetallen te zoeken, waaruit je vervolgens de wortel extraheert.
• In dit geval vierkant getal we schrijven van bovenaf en trekken het af aan de linkerkant, en de geëxtraheerde wortel van onderaf.
• Nu moet de tweede waarde worden verdubbeld en van rechtsonder worden geschreven in de vorm: number_x_=. De gaten moeten worden ingevuld met een getal dat kleiner is dan of gelijk is aan de vereiste waarde aan de linkerkant - net als bij normale deling.
• Indien nodig wordt dit resultaat weer van links afgetrokken. Dergelijke berekeningen gaan door totdat het resultaat is bereikt. Er kunnen ook nullen worden toegevoegd totdat u het gewenste aantal decimalen krijgt.