Compleet en gereduceerd systeem van aftrekposten. Compleet systeem van inhoudingen

19.06.2022

m- een set samengesteld uit alle nummers van het complete systeem van residuen modulo m, coprime met m. Gereduceerd systeem van residuen modulo m bestaat uit φ( m) getallen, waarbij φ( m) is de Euler-functie. Als een gereduceerd systeem van residuen modulo m worden meestal relatief prime genomen met m getallen van 0 tot m - 1 .

Wikimedia Stichting. 2010 .

slepen en neerzetten
2S25 "Sprut-SD"

Zie wat het "Verlaagd systeem van aftrekposten" is in andere woordenboeken:

Het verlaagde systeem van aftrekposten- een deel van het complete systeem van residuen (Zie. Compleet systeem van residuen), bestaande uit co-priemgetallen met modulus m. P.s. in. bevat φ(m) getallen [φ(m) is het aantal getallen relatief priem tot m en kleiner dan m]. Alle φ(m) getallen die niet vergelijkbaar zijn modulo m en ... ... Grote Sovjet Encyclopedie

Gereduceerd systeem van inhoudingen- Het gereduceerde systeem van residuen modulo m is een verzameling die bestaat uit alle getallen van het volledige systeem van residuen modulo m die relatief priem zijn tot m. Het gereduceerde systeem van residuen modulo m bestaat uit φ(m) getallen, waarbij φ(m) de Euler-functie is. Zoals gegeven ... ... Wikipedia

Multiplicatieve residu ringgroep- Het gereduceerde systeem van residuen modulo m is de verzameling van alle getallen van het volledige systeem van residuen modulo m coprime met m. Het gereduceerde systeem van residuen modulo m bestaat uit φ(m) getallen, waarbij φ( ) de Euler-functie is. Als een verminderd systeem van inhoudingen ... ... Wikipedia

Euler-functie- Niet te verwarren met de priemgetalverdelingsfunctie. De eerste duizend waarden De Euler-functie φ (n) is multiplicatief ... Wikipedia

Modulo vergelijking- Vergelijking modulo een natuurlijk getal n in de getaltheorie is een equivalentierelatie op de ring van gehele getallen gerelateerd aan deelbaarheid door n. Een quotiëntring met betrekking tot deze relatie wordt een residuring genoemd. De reeks corresponderende identiteiten en ... ... Wikipedia

eind groep- De symmetrie van een sneeuwvlok wordt geassocieerd met een groep rotaties met een hoek die een veelvoud is van 60. Een eindige groep is een algebraïsche groep die een eindig aantal elementen bevat (dit aantal wordt de volgorde genoemd). Verder wordt aangenomen dat de groep multiplicatief is, dat wil zeggen de bewerking in ... ... Wikipedia

Klein Viervoudige Groep- De viervoudige groep van Klein is een groep van de vierde orde die een belangrijke rol speelt in de hogere algebra. Inhoud 1 Definitie 2 Notatie 3 ... Wikipedia

In het bijzonder zullen we hebben (p a) = p a - p a-1 , (p) = p-1.

Voorbeelden. (60) = 60

(81) = 81-27 = 54

Multiplicatieve functie

Een functie (a) wordt multiplicatief genoemd als deze aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

Deze functie is gedefinieerd voor alle positieve gehele getallen a en is niet nul voor ten minste één zo'n a.

Voor elke positieve coprime a 1 en a 2 hebben we:

(a 1 a 2) = (a 1) (a 2) .

Basisconcepten van de theorie van vergelijkingen

Vergelijkingseigenschappen

We zullen gehele getallen in verband met de resten beschouwen nadat we ze hebben gedeeld door een bepaald positief geheel getal m, dat we de modulus zullen noemen.

Elk geheel getal komt overeen met een bepaalde rest na te hebben gedeeld door m. Als twee gehele getallen a en b overeenkomen met dezelfde rest r, dan worden ze equiresiduele modulo m genoemd.

Vergelijkbaarheid van getallen a en b modulo m wordt geschreven:

Vergelijkbaarheid van getallen a en b modulo m is gelijk aan:

Mogelijkheid om a weer te geven als a = b + mt, waarbij t een geheel getal is.

Deelbaarheid van a b door m.

Inderdaad, uit a b (mod m) volgt:

a = mq + r, b = mq 1 + r, 0<= r

vandaar a - b \u003d m (q - q 1), a \u003d b + mt, t \u003d q - q 1.

Omgekeerd, van a = b + mt, wat staat voor b as

b = mq 1 + r , 0<=r

we leiden a = mq + r, q = q 1 + t af, d.w.z. a b (mod m).

Beide beweringen zijn bewezen.

Twee getallen die vergelijkbaar zijn met een derde zijn vergelijkbaar met elkaar.

Vergelijkingen kunnen per term worden toegevoegd.

Inderdaad, laten we

A 1 b 1 (mod m) , a 2 b 2 (mod m) , …, a k b k (mod m) (1).

Dan a 1 = b 1 + mt 1 , a 2 = b 2 + mt 2 , …, a k = b k + mt k (2),

Waarvan a 1 + a 2 + ... + a k = b 1 + b 2 + ... + b k + m (t 1 + t 2 + ... + t k), of

a 1 + a 2 + … + a k b 1 + b 2 + … + b k (mod m).

Vergelijkingen kunnen term voor term worden vermenigvuldigd.

Overweeg (1) en (2). Door gelijkheden (2) term voor term te vermenigvuldigen, krijgen we:

a 1 a 2 …a k b 1 b 2 …b k + mN,

waarbij N een geheel getal is.

Vandaar: a 1 a 2 …ak b 1 b 2 …b k (mod m).

Beide delen van de vergelijking kunnen tot dezelfde macht worden verheven.

Beide delen van de vergelijking kunnen met hetzelfde gehele getal worden vermenigvuldigd.

Inderdaad, door de vergelijking a b (mod m) te vermenigvuldigen met de voor de hand liggende vergelijking k k (mod m), verkrijgen we ak bk (mod m).

Beide delen van de vergelijking kunnen worden gedeeld door hun gemeenschappelijke deler als deze relatief priem is ten opzichte van de modulus.

Inderdaad, uit a b (mod m), a \u003d a 1 d, b \u003d b 1 d, (d, m) \u003d 1, volgt dat het verschil a - b, gelijk is aan (a 1 - b 1) d, is deelbaar door m, d.w.z. a 1 b 1 (mod m) .

inhoudingen. Volledige en gereduceerde aftreksystemen

Equidistante getallen, of wat hetzelfde is, vergelijkbare modulo m, vormen een klasse van getallen modulo m.

Uit deze definitie volgt dat dezelfde rest r overeenkomt met alle getallen van de klasse, en we krijgen alle getallen van de klasse als we q dwingen door alle gehele getallen te lopen in de vorm mq + r.

Volgens m verschillende waarden van r hebben we m klassen van getallen modulo m.

Elk nummer van een klasse wordt een residu modulo m genoemd met betrekking tot alle nummers van dezelfde klasse. Het residu verkregen bij q = 0, gelijk aan de rest r zelf, wordt het kleinste niet-negatieve residu genoemd.

Door van elke klasse één residu te nemen, verkrijgen we een compleet systeem van residuen modulo m. Meestal worden de kleinste niet-negatieve resten 0, 1, ..., m-1 of ook de absoluut kleinste resten gebruikt als een compleet systeem van resten. De laatste, zoals uit het bovenstaande volgt, in het geval van oneven m worden weergegeven naast

1, 0, 1, ...,

en in het geval van even m door een van de twee rijen

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Alle m-getallen die paarsgewijs onvergelijkbaar zijn modulo m vormen een compleet systeem van residuen modulo m.

Omdat ze onvergelijkbaar zijn, behoren deze getallen dus tot verschillende klassen, en aangezien er m zijn, d.w.z. zoveel als er klassen zijn, dan zal elke klasse waarschijnlijk één nummer bevatten.

Als (a, m) = 1 en x door het volledige systeem van residuen modulo m loopt, dan loopt ax + b, waarbij b een willekeurig geheel getal is, ook door het volledige systeem van residuen modulo m.

Er zullen inderdaad net zoveel getallen ax + b zijn als er getallen x zijn, d.w.z. m. Volgens de vorige bewering blijft het daarom alleen over om aan te tonen dat twee willekeurige getallen ax 1 + b en ax 2 + b die overeenkomen met onvergelijkbare x 1 en x 2 zelf onvergelijkbare modulo m zullen zijn.

Maar aannemende dat ax 1 + b ax 2 + b (mod m), komen we tot de vergelijking ax 1 = ax 2 (mod m), vanwaar, vanwege (a, m) = 1, krijgen we

x 1 x 2 (mod m),

wat in tegenspraak is met de veronderstelling dat de getallen x 1 en x 2 onvergelijkbaar zijn.

Getallen van dezelfde klasse modulo m hebben dezelfde grootste gemene deler met de modulus. Bijzonder belangrijk zijn de klassen waarvoor deze deler gelijk is aan één, d.w.z. klassen met getallen coprime met modulus.

Door één residu uit elke dergelijke klasse te nemen, verkrijgen we het gereduceerde systeem van residuen modulo m. Het gereduceerde systeem van residuen kan daarom worden samengesteld uit de getallen van het volledige systeem, coprime met de modulus. Gewoonlijk wordt het gereduceerde systeem van residuen geïsoleerd uit het systeem van de kleinste niet-negatieve residuen: 0, 1, ..., m-1. Aangezien onder deze getallen het getal coprime met m (m) is, dan is het aantal getallen van het gereduceerde stelsel, evenals het aantal klassen met getallen dat coprime is met de modulus, (m).

Voorbeeld. Het gereduceerde systeem van residuen modulo 42 zal 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 zijn.

Alle (m) getallen die paarsgewijs onvergelijkbaar zijn modulo m en relatief priem met de modulus vormen een gereduceerd systeem van residuen modulo m.

Omdat ze onvergelijkbaar zijn en gelijk zijn aan de modulus, behoren deze getallen dus tot verschillende klassen die getallen bevatten die gelijk zijn aan de modulus, en aangezien hun (m), d.w.z. zoveel als er klassen van het gespecificeerde type zijn, dan zal elke klasse waarschijnlijk één nummer bevatten.

Als (a, m) = 1 en x door het gereduceerde residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax ook door het gereduceerde residusysteem modulo m.

Er zullen inderdaad net zoveel getallen ax zijn als er getallen x zijn, d.w.z. (m). Volgens de vorige eigenschap blijft het daarom alleen om aan te tonen dat de getallen ax modulo m onvergelijkbaar zijn en overeenstemmen met de modulus. De eerste volgt uit de eigenschap van vergelijkingen (als de vergelijking modulo m plaatsvindt, dan vindt deze ook plaats modulo d gelijk aan een willekeurige deler van m) voor getallen van een meer algemene vorm ax + b, terwijl de tweede volgt uit (a, m) = 1, (x, m) = 1.

De stellingen van Euler en Fermat

Stelling van Euler (2.5.3.1).

Voor m>1 en (a, m) = 1 hebben we a (m) 1 (mod m).

Een bewijs. Inderdaad, als x door het gereduceerde systeem van residuen loopt

x = r 1 , r 2 , ..., r c ; c = (m),

samengesteld uit de kleinste niet-negatieve resten, dan lopen de kleinste niet-negatieve resten 1 , 2 , ..., van de getallen ax door hetzelfde systeem, maar in het algemeen in een andere volgorde (1).

Term-per-term vergelijkingen vermenigvuldigen

ar 1 1 (mod m), ar 2 2 (mod m), ..., ar c c (mod m),

we krijgen een c 1 (mod m).

Stelling van Fermat (2.5.3.2).

Voor p prime en a niet deelbaar door p, hebben we

a p-11 (mod p). (2)

Een bewijs. Deze stelling is een gevolg van de stelling van Euler voor m = p. De stelling van Fermat kan een handiger vorm krijgen door beide zijden van de vergelijking (2) te vermenigvuldigen met a, we krijgen de vergelijking a p a (mod p), die al geldt voor alle gehele getallen a, aangezien ze ook geldt voor een deelbaar door p. De stelling is bewezen.

Stelling (2.5.3.3). Als n = pq, (p en q zijn verschillende priemgetallen), dan is (n) = (p-1)(q-1).

Stelling (2.5.3.4). Als n = pq, (p en q zijn verschillende priemgetallen) en x is priem met betrekking tot p en q, dan is x(n) = 1 (mod n).

Punt 17. Volledige en beperkte aftreksystemen.

In de vorige paragraaf werd opgemerkt dat de verhouding m vergelijkbaarheid modulo m is een equivalentierelatie op de verzameling gehele getallen. Deze equivalentierelatie leidt tot een verdeling van de verzameling gehele getallen in klassen van equivalente elementen, d.w.z. getallen worden gecombineerd in één klasse, gevend wanneer gedeeld door m dezelfde restjes. Aantal equivalentieklassen m(experts zullen zeggen - "equivalentie-index" m") is precies gelijk aan m .

Definitie. Elk nummer uit de equivalentieklasse m zal de residu modulo worden genoemd m. Set residuen genomen uit elke equivalentieklasse m, heet het complete systeem van residuen modulo m(in het volledige systeem van aftrekkingen dus het totaal m stukjes cijfers). Direct de resten zelf wanneer gedeeld door m worden de minst niet-negatieve residuen genoemd en vormen natuurlijk een compleet systeem van residuen modulo m. Van een residu r wordt gezegd dat het absoluut de minste is als rp de minste is van de residumodules van de gegeven klasse.

Voorbeeld: Laten m= 5 . Dan:

0, 1, 2, 3, 4 - de kleinste niet-negatieve resten;

2, -1, 0, 1, 2 zijn absoluut de kleinste resten.

Beide gereduceerde reeksen getallen vormen complete systemen van residuen modulo 5 .

Lemma 1. 1) Elke m stukken in paren niet vergelijkbaar in modulus m getallen vormen een compleet systeem van residuen modulo m .

2) Als a en m coprime, en x m, dan de waarden van de lineaire vorm bijl+b, waar b- elk geheel getal, ook doorlopen het volledige systeem van residuen modulo m .

Een bewijs. Bewering 1) ligt voor de hand. Laten we bewering 2) bewijzen. Cijfers bijl+b zacht m dingen. Laten we aantonen dat ze niet met elkaar vergelijkbaar zijn modulo m. Nou laat voor wat anders x 1 en x2 uit het volledige systeem van aftrekposten bleek dat bijl 1 +b є bijl 2 +b(mod m). Dan, door de eigenschappen van vergelijkingen uit de vorige paragraaf, krijgen we:

bijl 1 - bijl 2 (mod m)

x 1 x 2 (mod m)

- een tegenstelling met wat? x 1 en x2 zijn verschillend en overgenomen uit het volledige systeem van aftrekposten.

Aangezien alle getallen van een gegeven equivalentieklasse є worden verkregen uit één getal van een gegeven klasse door een getal toe te voegen dat een veelvoud is van m, dan hebben alle getallen uit deze klasse modulo m dezelfde grootste gemene deler. Om sommige redenen zijn die inhoudingen die bij de module horen m de grootste gemene deler gelijk aan één, d.w.z. residuen die relatief prime zijn voor de modulus.

Definitie. Het gereduceerde systeem van residuen modulo m is de verzameling van alle residuen van het volledige systeem coprime met de modulus m .

Het gereduceerde systeem wordt meestal gekozen uit de kleinste niet-negatieve resten. Het is duidelijk dat het gereduceerde systeem van residuen modulo m bevat j ( m) stukjes resten, waarbij j ( m) is de Euler-functie, het aantal getallen kleiner dan m en coprime met m. Als je op dit punt de Euler-functie al bent vergeten, kijk dan naar paragraaf 14 en zorg ervoor dat daar iets over is gezegd.

Voorbeeld. Laten m= 42. Dan is het gereduceerde systeem van residuen:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemma 2. 1) Elke j ( m) getallen die paarsgewijs onvergelijkbaar zijn modulo m en relatief prime voor de modulus, vormen een gereduceerd systeem van residuen modulo m .

2) Als (a, m) = 1 en x loopt door het gereduceerde systeem van residuen modulo m, dan bijl loopt ook door het gereduceerde systeem van residuen modulo m .

Een bewijs. Bewering 1) ligt voor de hand. Laten we bewering 2) bewijzen. Cijfers bijl paarsgewijze onvergelijkbaar zijn (dit wordt op dezelfde manier bewezen als in lemma 1 van deze subparagraaf), zijn er precies j ( m) dingen. Het is ook duidelijk dat ze allemaal relatief prime zijn voor de module, omdat (a,m)=1, (x,m)=1 X (ax.m)=1. Dus de cijfers bijl vormen het gereduceerde systeem van aftrekposten.

Dit zijn de definities en basiseigenschappen van de volledige en gereduceerde systemen van residuen, maar in de bagage van wiskundige kennis zijn er nog een aantal zeer interessante en bruikbare feiten met betrekking tot de systemen van residuen. Als we er in deze paragraaf over zwijgen, zal dit, vrees ik, een directe schending zijn van de informatiewet van de Russische Federatie, waarvan het kwaadwillig verzwijgen volgens deze wet een administratieve en zelfs strafrechtelijke straf is handelen. Bovendien zal paragraaf 17, zonder bekend te zijn met verdere belangrijke eigenschappen van aftreksystemen, erg kort blijken te zijn. Laten we doorgaan.

Lemma 3. Laten m 1 , m 2 , ..., m k zijn paarsgewijs coprime en m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k, waar

1) Als x 1 , x 2 , ..., x k doorloop complete systemen van residuen modulo m 1 , m 2 , ..., m k respectievelijk, dan de waarden van de lineaire vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k het volledige systeem van residuen doorlopen modulo m=m 1 m 2 ...m k .

2) Als x 1 , x 2 , ..., x k doorlopen de gereduceerde systemen van residuen modulo m 1 , m 2 , ..., m k respectievelijk, dan de waarden van de lineaire vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k doorlopen het gereduceerde systeem van residuen modulo m=m 1 m 2 ...m k .

Een bewijs.

1) Vorm M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k neemt duidelijk m 1 m 2 ... m k = m waarden. Laten we laten zien dat deze waarden paarsgewijs onvergelijkbaar zijn. Nou, laten we

M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k є M 1 x 1 C +M 2 x 2 C + ...+M k x k C (mod m)

Iets Mjo, anders dan Mevrouw, meerdere Mevrouw. Het verwijderen van de linker- en rechtertermen in de laatste vergelijking, veelvouden van Mevrouw, we krijgen:

M s x s є M s x s C (mod m s) Yu x s є x s C (mod m s)

- een tegenstelling met wat? x s loopt door het volledige systeem van residuen modulo Mevrouw .

2). Het formulier M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k neemt duidelijk j ( m 1) j ( m2) Ch ... Ch j ( m k) = j ( m 1 m 2 W ... W m k)= j ( m) (de Euler-functie is multiplicatief!) van verschillende waarden, die modulo m=m 1 m 2 ...m k paarsgewijs onvergelijkbaar. Dit laatste kan gemakkelijk worden bewezen door argumenten die vergelijkbaar zijn met die gebruikt in het bewijs van bewering 1) van dit lemma. Omdat ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=(M s x s ,m s)=1 voor iedereen 1 J s J k, dan ( M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k ,m s)=1, vandaar de reeks waarden van het formulier M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k vormt een gereduceerd systeem van residuen modulo m .

Lemma 4. Laten x 1 , x 2 , ..., xk , x vol lopen, en x 1 , x 2 ,..., x k , x– doorloop de gereduceerde systemen van residuen in modules m 1 , m 2 , ..., m k en m=m 1 m 2 ...m k respectievelijk, waar? (m ik m j)=1 Bij ik j. dan breuken (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k ) match met breuken (x/m), en breuken ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) match met breuken (x/m) .

Een bewijs. Het bewijs van beide beweringen van Lemma 4 is eenvoudig te verkrijgen door het vorige Lemma 3 toe te passen nadat je elke som hebt gegeven (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k ) en ( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k ) naar een gemene deler:

(x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) ;

( x 1 /m 1 + x 2 /m 2 +...+ x k /m k )=((M 1 x 1 +M 2 x 2 +...+M k x k)/m) ,

waar M j =m 1 ...m j-1 m j+1 ...m k .

Als we er nu rekening mee houden dat de fractionele delen van de getallen die worden verkregen door te delen door de modulus m twee willekeurige getallen vergelijkbaar in modulus m, zijn hetzelfde (ze zijn gelijk r/m, waar r is de kleinste niet-negatieve rest van de gegeven klasse), dan worden de beweringen van het huidige lemma duidelijk.

In de rest van dit gedeelte zal het meest interessante gebeuren - we zullen de complexe wortels optellen m de kracht van eenheid, en we zullen verbazingwekkende verbanden ontdekken tussen wortelsommen, residusystemen en de al bekende multiplicatieve Möbius-functie m ( m) .

Geef aan met e k k-de wortel m- oh graad van eenheid:

Deze vormen van het schrijven van complexe getallen herinneren we ons nog goed vanaf het eerste jaar. Hier k=0,1,...,m-1– loopt door het volledige systeem van residuen modulo m .

Bedenk dat het bedrag e 0 + e 1 +...+ e m-1 alle wortels m de eenheidsmacht is nul voor willekeurig m. Inderdaad, laten we e 0 + e 1 +...+ e m-1 =a. Laten we deze som vermenigvuldigen met een niet-nul getal e 1 . Zo'n vermenigvuldiging geometrisch in het complexe vlak betekent de rotatie van de juiste m-gon, op de hoekpunten waarvan de wortels zich bevinden e 0 , e 1 ,..., e m-1, tot een hoek die niet nul is 2p/m. Het is duidelijk dat in dit geval de wortel e 0 ga naar root e 1, wortel e 1 ga naar root e 2, enz., en de root e m-1 ga naar root e 0, d.w.z. som e 0 + e 1 +...+ e m-1 Zal niet veranderen. Wij hebben e 1 a=a, waar a=0 .

Stelling 1. Laten m>0- een geheel getal, een O Z , x loopt door het volledige systeem van residuen modulo m. dan als a meerdere m, dan

anders, wanneer? a geen veelvoud m ,

Een bewijs. Bij a meerdere m wij hebben: a=md en

Bij a niet deelbaar door m, deel de teller en de noemer van de breuk ben op de d is de grootste gemene deler a en m, krijgen we een onherleidbare breuk een 1 /m 1. Dan, door Lemma 1, een 1x zal het volledige systeem van residuen doorlopen modulo m. Wij hebben:

omdat de som van alle wortels van de graad m 1 van eenheid is gelijk aan nul.

Onthoud dat de wortel e k m de eenheidsmacht wordt antiderivatief genoemd als de index k wederzijds eenvoudig met m. In dit geval, zoals bewezen in het eerste jaar, opeenvolgende graden e k 1 , e k 2 ,..., e k m-1 wortel e k vormen de hele set wortels m de kracht van eenheid of, met andere woorden, e k is een generator van de cyclische groep van alle wortels m e graad van eenheid.

Het is duidelijk dat het aantal verschillende primitieve wortels m de eenheidsmacht is gelijk aan j ( m), waarbij j de Euler-functie is, aangezien de indices bij de primitieve wortels een gereduceerd systeem van residuen modulo vormen m .

Stelling 2. Laten m>0 is een geheel getal, x loopt door het gereduceerde systeem van residuen modulo m. Dan (de som van de primitieve wortels van de graad) m):

waar ik ( m) is de Möbius-functie.

Een bewijs. Laten m=p 1 a 1 p 2 a 2 ...p k a k is de canonieke uitbreiding van het getal m ; m 1 \u003d p 1 een 1 , m 2 \u003d p 2 een 2 , m 3 \u003d p 3 een 3; x i loopt door het gereduceerde systeem van residuen modulo ik ben. Wij hebben:

Bij een s = 1 het blijkt dat alleen de wortel e 0 =1 is niet primitief, dus de som van alle primitieve wortels is de som van alle wortels minus één:

dus indien m vrij van vierkanten (d.w.z. niet deelbaar door r2, Bij r>1), dan

Indien een indicator: net zo groter dan één (d.w.z. m gedeeld door r2, Bij r>1), dan de som van alle primitieve wortels van de graad Mevrouw is de som van alle wortels van de graad Mevrouw minus de som van alle niet-primitieve wortels, d.w.z. alle wortels in zekere mate minder Mevrouw. precies, als m s = p s m s *, dan:

Nu, beste lezers, wanneer ik u een vrij aanzienlijke hoeveelheid informatie over de volledige en verminderde aftreksystemen heb voorgelegd, kan niemand mij beschuldigen van het opzettelijk schenden van de wet van de Russische Federatie op informatie door deze achter te houden, dus ik beëindig deze paragraaf met tevredenheid.

puzzels

1 . Noteer op een stuk papier alle kleinste niet-negatieve resten en alle absoluut kleinste resten

a) module 6,

b) module 8.

Noteer hieronder de gegeven aftreksystemen voor deze modules. Teken afzonderlijk op het complexe vlak de wortels van de zesde en achtste eenheidswortel, in beide figuren omcirkelen ze de primitieve wortels en vinden in elk geval hun som.

2 . Laten e- primitieve wortel 2n van een eenheid.

Zoek het bedrag: 1+ e + e 2 +...+ e n-1 .

3 . Vind de som van alle primitieve wortels: a) 15e; b) 24e; c) 30e graad van eenheid.

4 . Vind de som van alle mogelijke producten van primitieve wortels n e graad van één, genomen door twee.

5 . vind de som k-x krachten van alle wortels n e graad van eenheid.

6 . Laten m>1 , (a, m)=1 , b is een geheel getal, X loopt door het volledige en x loopt door het gereduceerde systeem van residuen modulo m. Bewijs dat:

7 . Bewijs dat:

waar R loopt door alle priemdelers van een getal a .

of een opeenvolgende p nummers.

Dit systeem heet een compleet systeem van getallen die niet vergelijkbaar zijn in modulus p of compleet systeem van residuen modulo p. Het is duidelijk dat elke p opeenvolgende nummers vormen zo'n systeem.

Alle getallen die tot dezelfde klasse behoren, hebben veel gemeenschappelijke eigenschappen, daarom kunnen ze in relatie tot de modulus als één getal worden beschouwd. Elk getal dat als sommatie of factor in de vergelijking is opgenomen, kan, zonder de vergelijking te schenden, worden vervangen door een daarmee vergelijkbaar getal, d.w.z. met een nummer dat tot dezelfde klasse behoort.

Het andere element dat alle getallen van een bepaalde klasse gemeen hebben, is de grootste gemene deler van elk element van deze klasse en module p.

Laten a en b vergelijkbare module p, dan

Stelling 1. Als in bijl+b in plaats van x laten we alles in orde brengen p leden van het volledige systeem van getallen

Daarom alle nummers bijl+b, waar x=1,2,...p-1 zijn niet vergelijkbaar modulo p(anders, nummers 1,2,... p-1 zou vergelijkbaar zijn modulo p.

Opmerkingen:

1) In dit artikel betekent het woord getal een geheel getal.

Literatuur

1. K. Ierland, M. Rosen. Klassieke inleiding tot de moderne getaltheorie - M: Mir, 1987.
2. G. Davenport. Hogere rekenkunde - M: Nauka, 1965.
3. PG Lejeune Dirichlet. Lezingen over getaltheorie. − Moskou, 1936.

afstudeerwerk

2.5.2 Inhoudingen. Volledige en gereduceerde aftreksystemen

Equidistante getallen, of wat hetzelfde is, vergelijkbare modulo m, vormen een klasse van getallen modulo m.

Volgens m verschillende waarden van r hebben we m klassen van getallen modulo m.

1, 0, 1, ...,

en in het geval van even m door een van de twee rijen

1, 0, 1, ...,

1, 0, 1, ..., .

Alle m-getallen die paarsgewijs onvergelijkbaar zijn modulo m vormen een compleet systeem van residuen modulo m.

Als (a, m) = 1 en x door het volledige systeem van residuen modulo m loopt, dan loopt ax + b, waarbij b een willekeurig geheel getal is, ook door het volledige systeem van residuen modulo m.

Maar aannemende dat ax 1 + b ax 2 + b (mod m), komen we tot de vergelijking ax 1 = ax 2 (mod m), vanwaar, vanwege (a, m) = 1, krijgen we

x 1 x 2 (mod m),

wat in tegenspraak is met de veronderstelling dat de getallen x 1 en x 2 onvergelijkbaar zijn.

Voorbeeld. Het gereduceerde systeem van residuen modulo 42 zal 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 zijn.

Alle (m) getallen die paarsgewijs onvergelijkbaar zijn modulo m en relatief priem met de modulus vormen een gereduceerd systeem van residuen modulo m.

Als (a, m) = 1 en x door het gereduceerde residusysteem modulo m loopt, dan loopt ax ook door het gereduceerde residusysteem modulo m.

Algebraïsch eigenwaardeprobleem voor matrices van een speciale vorm en de bijbehorende software

Bij het stellen van het probleem van eigenwaarden voor matrices waarvan de elementen bij benadering worden gegeven, rijst natuurlijk de vraag over de stabiliteit van de verkregen oplossing, met andere woorden, de vraag of ...

MS Access-database

Databasesoftware wordt al geruime tijd op personal computers gebruikt. Helaas waren deze programma's ofwel rudimentaire opslagmanagers en misten ze tools voor applicatieontwikkeling...

Bestandssysteem defragmentatie

De methode van volledige defragmentatie of defragmentatie van vrije ruimte was een van de eerste die werd gebruikt. Deze methode defragmenteert alle bestanden en plaatst ze aan het begin van de partitie, zodat u zoveel mogelijk vrije schijfruimte kunt vrijmaken...

Computersimulatie van robotica-apparaten

In dit cursuswerk is het noodzakelijk om de modellering van robotica-apparaten te bestuderen door de volgende methoden: 1. Het MathCAD-systeem gebruiken - om het gedrag van één link van de robot te onderzoeken ...

Methoden en middelen om computerinformatie te beschermen

Rijndael-codering is geïmplementeerd in de vorm van de volgende pseudocode. Argumenten worden behandeld als verwijzingen naar velden van bytes of woorden van vier bytes. Interpretatie van velden, variabelen en functies wordt gegeven in tabellen 11-13...

Beschrijving van de implementatie van het basismodel van het elektrische circuit

In deze cursus moet u het volgende uitvoeren: 1. Bereken met behulp van het MathCAD-systeem de waarde van de laadfunctie op een condensator in een bepaald elektrisch circuit. Construeer grafieken van de capaciteitsfunctie van de condensator en de laadfunctie. 2...

Windows-toepassingen: Grafische editor Paint

Door te dubbelklikken op een cel van het palet, kunt u er een kleur voor selecteren uit het volledige kleurenpalet...

Toepassing van computersimulatiesystemen om het wiskundige model van het RLC-circuit te bestuderen

Toepassing van de Mathcad- en Matlab-systemen om het wiskundige model van de elektriciteit te bestuderen, inclusief de bron van EMF, weerstand R, capaciteit C en inductor L. Volledige probleemstelling: 1. Met behulp van de Mathcad 1...

Toepassing van het MathCAD-systeem om een model van een elektrisch circuit met variabele inductantie te bestuderen

Toepassing van het MathCAD-systeem voor het bestuderen van een model van een elektrisch circuit met een variabele inductantie, grafisch weergegeven. Taakdefinitie: 1...

Toepassing van het MathCAD-systeem om de reactie van een elektrisch circuit op externe invloeden te bestuderen

Toepassing van het Mathcad-systeem om de respons van een elektrisch circuit op een externe invloed te bestuderen. Probleemstelling 1. Bereken met behulp van het Mathcad-systeem de waarden van de responsfunctie u(t) op de impact e(t). Construeer grafieken van functies u(t) en e(t). 2...

Programma voor het oplossen van een stelsel gewone differentiaalvergelijkingen

Ontwikkeling van een algoritme en een Pascal-programma voor het berekenen van een bepaalde functie

Laten we een compleet Pascal-programma schrijven in overeenstemming met het ontwikkelde algoritme, dat wordt gegeven in Bijlage A. Programma n_33; var m, n, j: geheel getal; b, an, mult, h: echt; x: array van echt; y: array van echt; c: array van echt; gd,gm,n,m,i,j:geheel getal; s,b,srk,min,max,y1:echt; Begin clrscr; schrijven (vvedite kol-vo chlenov c,x); lees (n...

Synthese van algoritmen voor consistente controle van ruimtelijke beweging door een onbemand luchtvoertuig

Het is bekend dat een van de belangrijkste punten bij het samenstellen of ontwikkelen van een wiskundig model van een vliegtuig het aannemen van verschillende veronderstellingen is die het werkelijke proces vereenvoudigen en schematisch weergeven. Aannames doen is een ingenieurstaak, van correctheid...

Projectmanagement voor de implementatie van een geautomatiseerd informatiesysteem voor LLC "Rim"

APCS als systeem bestaat uit een groot aantal elementen van verschillende niveaus en voor verschillende doeleinden. Deze omvatten subsystemen, modules, controle-eenheden, taken, beheersprocedures, functies, operaties, enz. Basissystemen zoals ERP ...

keer bekeken

VKontakte opslaan