Alle nummers z. Soorten nummers

De zin " getallenreeksen’ komt vrij veel voor in wiskundeboeken. Je vindt vaak zinnen als deze:

"Blah blah blah, waar hoort bij de verzameling natuurlijke getallen."

Vaak kunt u dit item zien in plaats van een zin te beëindigen. Het betekent hetzelfde als de tekst een beetje hoger - een getal behoort tot de verzameling natuurlijke getallen. Velen letten vaak niet op welke set deze of gene variabele is gedefinieerd. Als gevolg hiervan worden volledig verkeerde methoden gebruikt bij het oplossen van een probleem of het bewijzen van een stelling. Dit komt door het feit dat de eigenschappen van getallen die tot verschillende sets behoren, kunnen verschillen.

Er zijn niet zoveel cijfers. Hieronder ziet u de definities van verschillende cijferreeksen.

De verzameling natuurlijke getallen omvat alle gehele getallen groter dan nul - positieve gehele getallen.

Bijvoorbeeld: 1, 3, 20, 3057. De set bevat niet het cijfer 0.

Deze getallenset bevat alle gehele getallen groter dan en kleiner dan nul, evenals nul.

Bijvoorbeeld: -15, 0, 139.

Rationele getallen zijn over het algemeen een reeks breuken die niet opheffen (als de breuk opheft, is het al een geheel getal, en in dit geval is het niet de moeite waard om nog een reeks getallen in te voeren).

Een voorbeeld van getallen in een rationale verzameling: 3/5, 9/7, 1/2.

,

waar is een eindige reeks cijfers van het gehele deel van een getal dat behoort tot de verzameling reële getallen. Deze reeks is eindig, dat wil zeggen, het aantal cijfers in het gehele deel van een reëel getal is eindig.

- een oneindige reeks getallen die zich in het fractionele deel van een reëel getal bevinden. Het blijkt dat er in het fractionele deel een oneindig aantal getallen is.

Dergelijke getallen kunnen niet worden weergegeven als een breuk. Anders zou zo'n getal kunnen worden toegeschreven aan de verzameling rationale getallen.

Voorbeelden van reële getallen:

Laten we de waarde van de wortel van twee eens nader bekijken. Het integer-gedeelte bevat slechts één cijfer - 1, dus we kunnen schrijven:

In het fractionele deel (na de punt) volgen de cijfers 4, 1, 4, 2, enzovoort in volgorde. Daarom kunnen we voor de eerste vier cijfers schrijven:

Ik durf te hopen dat de definitie van de verzameling reële getallen nu duidelijker is geworden.

Conclusie

Houd er rekening mee dat dezelfde functie totaal verschillende eigenschappen kan hebben, afhankelijk van tot welke set de variabele behoort. Dus onthoud de basis - je hebt ze nodig.

Berichtweergaven: 5 198

De informatie in dit artikel vormt een algemeen beeld van hele getallen. Eerst wordt de definitie van gehele getallen gegeven en worden voorbeelden gegeven. Vervolgens worden de gehele getallen op de getallenlijn bekeken, waaruit duidelijk wordt welke getallen positieve gehele getallen worden genoemd en welke negatieve gehele getallen. Daarna wordt getoond hoe veranderingen in hoeveelheden worden beschreven met gehele getallen, en negatieve gehele getallen worden beschouwd in de zin van schuld.

Paginanavigatie.

Gehele getallen - definitie en voorbeelden

Definitie.

Hele getallen zijn natuurlijke getallen, het getal nul, evenals getallen die tegenovergesteld zijn aan natuurlijke getallen.

De definitie van gehele getallen stelt dat elk van de getallen 1, 2, 3, …, het getal 0, en ook elk van de getallen −1, −2, −3, … een geheel getal is. Nu kunnen we gemakkelijk brengen integer voorbeelden. Het getal 38 is bijvoorbeeld een geheel getal, het getal 70 040 is ook een geheel getal, nul is een geheel getal (onthoud dat nul GEEN natuurlijk getal is, nul is een geheel getal), de getallen −999 , −1 , −8 934 832 zijn ook voorbeelden van gehele getallen.

Het is handig om alle gehele getallen weer te geven als een reeks gehele getallen, die de volgende vorm heeft: 0, ±1, ±2, ±3, … De reeks gehele getallen kan ook als volgt worden geschreven: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Uit de definitie van gehele getallen volgt dat de verzameling natuurlijke getallen een deelverzameling is van de verzameling gehele getallen. Daarom, elke natuurlijk nummer is een geheel getal, maar niet elk geheel getal is een natuurlijk getal.

Gehele getallen op de coördinatenlijn

Definitie.

Gehele positieve getallen zijn gehele getallen die groter zijn dan nul.

Definitie.

Integer negatieve getallen zijn gehele getallen die kleiner zijn dan nul.

Gehele positieve en negatieve getallen kunnen ook worden bepaald door hun positie op de coördinaatlijn. Op een horizontale coördinatenlijn liggen punten waarvan de coördinaten positieve gehele getallen zijn rechts van de oorsprong. Op hun beurt bevinden punten met negatieve integer-coördinaten zich links van het punt O .

Het is duidelijk dat de verzameling van alle positieve gehele getallen de verzameling natuurlijke getallen is. Op zijn beurt is de verzameling van alle negatieve gehele getallen de verzameling van alle getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen.

Los daarvan vestigen we uw aandacht op het feit dat we elk natuurlijk getal veilig een geheel getal kunnen noemen, en we kunnen GEEN enkel geheel getal een natuurlijk getal noemen. We kunnen natuurlijk alleen elk positief geheel getal noemen, aangezien negatieve gehele getallen en nul niet natuurlijk zijn.

Integer niet-positieve en integere niet-negatieve getallen

Laten we definities geven van niet-positieve gehele getallen en niet-negatieve gehele getallen.

Definitie.

Alle positieve gehele getallen samen met nul heten gehele niet-negatieve getallen.

Definitie.

Integer niet-positieve getallen zijn allemaal negatieve gehele getallen samen met het getal 0 .

Met andere woorden, een niet-negatief geheel getal is een geheel getal dat groter is dan of gelijk is aan nul, en een niet-positief geheel getal is een geheel getal dat kleiner is dan of gelijk is aan nul.

Voorbeelden van niet-positieve gehele getallen zijn de getallen -511, -10 030, 0, -2, en als voorbeelden van niet-negatieve gehele getallen geven we de getallen 45, 506, 0, 900 321.

Meestal worden de termen "niet-positieve gehele getallen" en "niet-negatieve gehele getallen" gebruikt voor de beknoptheid. In plaats van de zin "het getal a is een geheel getal en a is groter dan nul of gelijk aan nul", kunt u bijvoorbeeld zeggen "a is een niet-negatief geheel getal".

Beschrijving van het wijzigen van waarden met behulp van gehele getallen

Het is tijd om te praten over waar gehele getallen voor zijn.

Het belangrijkste doel van gehele getallen is dat het met hun hulp handig is om de verandering in het aantal items te beschrijven. Laten we dit aan de hand van voorbeelden behandelen.

Stel dat er een bepaald aantal onderdelen op voorraad is. Als er bijvoorbeeld 400 onderdelen meer naar het magazijn worden gebracht, dan zal het aantal onderdelen in het magazijn toenemen en het getal 400 drukt deze verandering in hoeveelheid uit in positieve kant(in de richting van de stijging). Als er bijvoorbeeld 100 onderdelen uit het magazijn worden gehaald, dan zal het aantal onderdelen in het magazijn afnemen en zal het getal 100 de verandering in de hoeveelheid in een negatieve richting (in de richting van afname) uitdrukken. Er worden geen onderdelen naar het magazijn gebracht en er worden geen onderdelen uit het magazijn gehaald, dan kunnen we praten over de invariantie van het aantal onderdelen (dat wil zeggen, we kunnen praten over een nulverandering in hoeveelheid).

In de gegeven voorbeelden kan de verandering in het aantal delen worden beschreven met respectievelijk de gehele getallen 400 , -100 en 0. Een positief geheel getal 400 geeft een positieve verandering in hoeveelheid (toename) aan. Het negatieve gehele getal −100 drukt een negatieve verandering in hoeveelheid uit (afname). Het gehele getal 0 geeft aan dat de hoeveelheid niet is gewijzigd.

Het gemak van het gebruik van gehele getallen in vergelijking met het gebruik van natuurlijke getallen is dat het niet nodig is om expliciet aan te geven of de hoeveelheid toeneemt of afneemt - het gehele getal specificeert de verandering kwantitatief en het teken van het gehele getal geeft de richting van de verandering aan.

Gehele getallen kunnen ook niet alleen een verandering in hoeveelheid uitdrukken, maar ook een verandering in een bepaalde waarde. Laten we dit behandelen aan de hand van het voorbeeld van temperatuurverandering.

Een temperatuurstijging van bijvoorbeeld 4 graden wordt uitgedrukt als een positief geheel getal 4 . Een temperatuurdaling met bijvoorbeeld 12 graden kan worden beschreven met een negatief geheel getal −12. En de invariantie van temperatuur is de verandering, bepaald door het gehele getal 0.

Afzonderlijk moet gezegd worden over de interpretatie van negatieve gehele getallen als het bedrag van de schuld. Als we bijvoorbeeld 3 appels hebben, dan staat het positieve gehele getal 3 voor het aantal appels dat we bezitten. Aan de andere kant, als we 5 appels aan iemand moeten geven, en we hebben ze niet beschikbaar, dan kan deze situatie worden beschreven met een negatief geheel getal −5. In dit geval "bezitten" we −5 appels, het minteken geeft de schuld aan en het getal 5 kwantificeert de schuld.

Het begrip van een negatief geheel getal als een schuld maakt het bijvoorbeeld mogelijk om de regel voor het optellen van negatieve gehele getallen te rechtvaardigen. Laten we een voorbeeld nemen. Als iemand 2 appels schuldig is aan een persoon en een appel aan een ander, dan is de totale schuld 2+1=3 appels, dus −2+(−1)=−3 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. enz. Wiskunde. Graad 6: leerboek voor onderwijsinstellingen.

Tot hele getallen omvatten natuurlijke getallen, nul en getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen.

gehele getallen zijn positieve gehele getallen.

Bijvoorbeeld: 1, 3, 7, 19, 23, enz. We gebruiken zulke getallen om te tellen (er liggen 5 appels op tafel, de auto heeft 4 wielen, enz.)

Latijnse letter \mathbb(N) - aangeduid reeks natuurlijke getallen.

Natuurlijke getallen kunnen geen negatieve (een stoel kan geen negatief aantal poten hebben) en fractionele getallen (Ivan kon geen 3,5 fietsen verkopen).

Getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen zijn negatieve gehele getallen: -8, -148, -981, ....

Rekenkundige bewerkingen met gehele getallen

Wat kun je doen met gehele getallen? Ze kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd, opgeteld en van elkaar worden afgetrokken. Laten we elke bewerking op een specifiek voorbeeld analyseren.

geheel getal optellen

Twee gehele getallen met dezelfde tekens worden als volgt toegevoegd: de modules van deze getallen worden opgeteld en de resulterende som wordt voorafgegaan door het laatste teken:

(+11) + (+9) = +20

Aftrekken van gehele getallen

Twee gehele getallen met verschillende tekens worden als volgt toegevoegd: vanuit de module meer de modulus van de kleinere wordt afgetrokken en het teken van het grotere modulo-getal wordt voor het ontvangen antwoord geplaatst:

(-7) + (+8) = +1

Integer vermenigvuldiging

Om het ene geheel getal met het andere te vermenigvuldigen, moet je de modules van deze getallen vermenigvuldigen en het "+" teken voor het ontvangen antwoord plaatsen als de originele getallen met dezelfde tekens waren, en het "-" teken als de originele getallen waren met verschillende tekens:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

U moet het volgende onthouden: regel voor vermenigvuldiging van hele getallen:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Er is een regel voor het vermenigvuldigen van meerdere gehele getallen. Laten we het onthouden:

Het teken van het product is "+" als het aantal factoren met een negatief teken even is en "-" als het aantal factoren met een negatief teken oneven is.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Deling van gehele getallen

De deling van twee gehele getallen wordt als volgt uitgevoerd: de modulus van het ene getal wordt gedeeld door de modulus van het andere, en als de tekens van de getallen hetzelfde zijn, wordt het "+"-teken voor het resulterende quotiënt geplaatst , en als de tekens van de originele nummers anders zijn, dan wordt het "−" teken geplaatst.

(-25) : (+5) = -5

Eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van gehele getallen

Laten we de basiseigenschappen van optellen en vermenigvuldigen analyseren voor alle gehele getallen a , b en c :

1. a + b = b + a - commutatieve eigenschap van optellen;
2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - de associatieve eigenschap van optellen;
3. a \cdot b = b \cdot a - commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c is de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging.

Als we het getal 0 links van een reeks natuurlijke getallen optellen, krijgen we een reeks positieve gehele getallen:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Integer negatieve getallen

Beschouwen klein voorbeeld. De figuur links toont een thermometer die een temperatuur van 7°C aangeeft. Als de temperatuur met 4° daalt, geeft de thermometer 3° warmte aan. Een temperatuurdaling komt overeen met een aftrekactie:

Als de temperatuur 7° daalt, geeft de thermometer 0° aan. Een temperatuurdaling komt overeen met een aftrekactie:

Daalt de temperatuur met 8°, dan geeft de thermometer -1° aan (1° vorst). Maar het resultaat van het aftrekken van 7 - 8 kan niet worden geschreven met natuurlijke getallen en nul.

Laten we de aftrekking illustreren op een reeks positieve gehele getallen:

1) We tellen 4 getallen naar links vanaf het getal 7 en krijgen 3:

2) We tellen 7 getallen links vanaf het getal 7 en krijgen 0:

Het is onmogelijk om 8 getallen te tellen in een reeks positieve gehele getallen vanaf het getal 7 naar links. Om actie 7 - 8 mogelijk te maken, breiden we de reeks positieve gehele getallen uit. Om dit te doen, schrijven we links van nul (van rechts naar links) alle natuurlijke getallen in volgorde, waarbij we aan elk van hen een - teken toevoegen, wat aangeeft dat dit getal links van nul staat.

De vermeldingen -1, -2, -3, ... lezen min 1 , min 2 , min 3 , etc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

De resulterende reeks getallen heet naast gehele getallen. De stippen links en rechts in dit item betekenen dat de reeks naar rechts en links oneindig kan worden voortgezet.

Rechts van het cijfer 0 in deze rij staan ​​de nummers die worden genoemd natuurlijk of heel positief(kort - positief).

Links van het cijfer 0 in deze rij staan ​​de nummers die worden genoemd geheel negatief(kort - negatief).

Het getal 0 is een geheel getal maar is noch positief noch negatief nummer. Het scheidt positieve en negatieve getallen.

Vervolgens, een reeks gehele getallen bestaat uit negatieve gehele getallen, nul en positieve gehele getallen.

geheel getal vergelijking

Vergelijk twee gehele getallen- middelen om erachter te komen welke groter is, welke kleiner is, of om te bepalen dat de getallen gelijk zijn.

U kunt gehele getallen vergelijken met behulp van een rij gehele getallen, aangezien de getallen daarin van klein naar groot worden gerangschikt als u van links naar rechts over de rij beweegt. Daarom kunt u in een reeks gehele getallen komma's vervangen door een kleiner dan-teken:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Vervolgens, Van twee gehele getallen is de rechter de grootste en de linker de kleinste., middelen:

1) Elk positief getal is groter dan nul en groter dan elk negatief getal:

1 > 0; 15 > -16

2) Elk negatief getal kleiner dan nul:

7 < 0; -357 < 0

3) Van de twee negatieve getallen is het getal dat rechts in de reeks gehele getallen staat groter.

In dit artikel zullen we een reeks gehele getallen definiëren, waarbij we overwegen welke gehele getallen positief worden genoemd en welke negatief. We zullen ook laten zien hoe gehele getallen worden gebruikt om de verandering in sommige grootheden te beschrijven. Laten we beginnen met de definitie en voorbeelden van gehele getallen.

Yandex.RTB RA-339285-1

Hele getallen. Definitie, voorbeelden

Laten we eerst de natuurlijke getallen ℕ oproepen. De naam zelf suggereert dat dit getallen zijn die van nature al sinds mensenheugenis worden gebruikt om te tellen. Om het concept van gehele getallen te dekken, moeten we de definitie van natuurlijke getallen uitbreiden.

Definitie 1. Gehele getallen

Gehele getallen zijn de natuurlijke getallen, hun tegenpolen en het getal nul.

De verzameling gehele getallen wordt aangegeven met de letter ℤ .

De verzameling natuurlijke getallen ℕ is een deelverzameling van gehele getallen ℤ. Elk natuurlijk getal is een geheel getal, maar niet elk geheel getal is een natuurlijk getal.

Uit de definitie volgt dat elk van de getallen 1 , 2 , 3 een geheel getal is. . , het cijfer 0 , evenals de cijfers - 1 , - 2 , - 3 , . .

Daarom geven we voorbeelden. De getallen 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 zijn gehele getallen.

Laat de coördinaatlijn horizontaal worden getrokken en naar rechts worden gericht. Laten we er eens naar kijken om de locatie van gehele getallen op een rechte lijn te visualiseren.

Het referentiepunt op de coördinaatlijn komt overeen met het getal 0 en de punten die aan beide zijden van nul liggen, komen overeen met positieve en negatieve gehele getallen. Elk punt komt overeen met één geheel getal.

Elk punt op een rechte lijn waarvan de coördinaat een geheel getal is, kan worden bereikt door een bepaald aantal eenheidssegmenten van de oorsprong opzij te zetten.

Positieve en negatieve gehele getallen

Van alle gehele getallen is het logisch om onderscheid te maken tussen positieve en negatieve gehele getallen. Laten we hun definities geven.

Definitie 2. Positieve gehele getallen

Positieve gehele getallen zijn gehele getallen met een plusteken.

Het getal 7 is bijvoorbeeld een geheel getal met een plusteken, dat wil zeggen een positief geheel getal. Op de coördinatenlijn ligt dit getal rechts van het referentiepunt, waarvoor het getal 0 is genomen. Andere voorbeelden van positieve gehele getallen: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definitie 3. Negatieve gehele getallen

Negatieve gehele getallen zijn gehele getallen met een minteken.

Voorbeelden van negatieve gehele getallen: - 528 , - 2568 , - 1 .

Het getal 0 scheidt positieve en negatieve gehele getallen en is zelf noch positief noch negatief.

Elk getal dat het tegenovergestelde is van een positief geheel getal is per definitie een negatief geheel getal. Het omgekeerde is ook waar. Het omgekeerde van elk negatief geheel getal is een positief geheel getal.

Het is mogelijk om andere formuleringen van de definities van negatieve en positieve gehele getallen te geven, door hun vergelijking met nul te gebruiken.

Definitie 4. Positieve gehele getallen

Positieve gehele getallen zijn gehele getallen die groter zijn dan nul.

Definitie 5. Negatieve gehele getallen

Negatieve gehele getallen zijn gehele getallen die kleiner zijn dan nul.

Dienovereenkomstig liggen positieve getallen rechts van de oorsprong op de coördinaatlijn en negatieve gehele getallen links van nul.

Eerder zeiden we dat natuurlijke getallen een deelverzameling zijn van gehele getallen. Laten we dit punt verduidelijken. De verzameling natuurlijke getallen zijn positieve gehele getallen. Op zijn beurt is de verzameling negatieve gehele getallen de verzameling getallen die tegenovergesteld is aan de natuurlijke.

Belangrijk!

Elk natuurlijk getal kan een geheel getal worden genoemd, maar elk geheel getal kan geen natuurlijk getal worden genoemd. Als je de vraag beantwoordt of negatieve getallen natuurlijk zijn, moet je stoutmoedig zeggen - nee, dat zijn ze niet.

Niet-positieve en niet-negatieve gehele getallen

Laten we definities geven.

Definitie 6. Niet-negatieve gehele getallen

Niet-negatieve gehele getallen zijn positieve gehele getallen en het getal nul.

Definitie 7. Niet-positieve gehele getallen

Niet-positieve gehele getallen zijn negatieve gehele getallen en het getal nul.

Zoals je kunt zien, is het getal nul noch positief noch negatief.

Voorbeelden van niet-negatieve gehele getallen: 52 , 128 , 0 .

Voorbeelden van niet-positieve gehele getallen: - 52 , - 128 , 0 .

Een niet-negatief getal is een getal groter dan of gelijk aan nul. Dienovereenkomstig is een niet-positief geheel getal een getal kleiner dan of gelijk aan nul.

De termen "niet-positief getal" en "niet-negatief getal" worden kortheidshalve gebruikt. In plaats van bijvoorbeeld te zeggen dat het getal a een geheel getal groter dan of gelijk aan nul is, kun je zeggen: a is een niet-negatief geheel getal.

Gehele getallen gebruiken bij het beschrijven van veranderingen in waarden

Waar worden gehele getallen voor gebruikt? Allereerst is het met hun hulp handig om de verandering in het aantal objecten te beschrijven en te bepalen. Laten we een voorbeeld nemen.

Laat een bepaald aantal krukassen in het magazijn staan. Als er nog eens 500 krukassen naar het magazijn worden gebracht, zal hun aantal toenemen. Het getal 500 drukt alleen de verandering (toename) in het aantal onderdelen uit. Als er dan 200 onderdelen uit het magazijn worden gehaald, dan zal dit aantal ook de verandering in het aantal krukassen karakteriseren. Deze keer in de richting van reductie.

Als er niets uit het magazijn wordt gehaald en niets wordt gebracht, geeft het cijfer 0 de onveranderlijkheid van het aantal onderdelen aan.

Het voor de hand liggende gemak van het gebruik van gehele getallen, in tegenstelling tot natuurlijke getallen, is dat hun teken duidelijk de richting van verandering in grootte aangeeft (toename of afname).

Een temperatuurdaling met 30 graden kan worden gekenmerkt door een negatief getal - 30 en een stijging met 2 graden - door een positief geheel getal 2 .

Hier is nog een voorbeeld met gehele getallen. Stel je voor dat we deze keer 5 munten aan iemand moeten geven. Dan kunnen we zeggen dat we - 5 munten hebben. Het cijfer 5 beschrijft het bedrag van de schuld, en het minteken geeft aan dat we de munten moeten teruggeven.

Als we 2 munten verschuldigd zijn aan de ene persoon en 3 aan de andere, dan kan de totale schuld (5 munten) worden berekend door de regel van het optellen van negatieve getallen:

2 + (- 3) = - 5

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter