Bepaling van de snelheden van punten van een vlakke figuur met behulp van het momentane centrum van snelheden. In de richting van de snelheid Stelling op de projecties van de snelheden van twee punten van het lichaam
Visie: dit artikel is 11766 keer gelezen
Pdf Selecteer taal... Russisch Oekraïens Engels
Korte beoordeling
Het volledige materiaal wordt hierboven gedownload, na het selecteren van de taal
Vlak-parallel of vlakke beweging van een star lichaam is een beweging waarbij alle punten van het lichaam bewegen in vlakken die evenwijdig zijn aan een onbeweeglijk vlak (basis).
De studie van de vlakke beweging van een absoluut stijf lichaam zal worden teruggebracht tot de studie van één sectie van een vlakke figuur, die wordt bepaald door de beweging van drie punten die niet op één rechte lijn liggen.
Door de rotatiehoek van het lichaam in te stellen rond een rechte lijn die door de pool A loodrecht op het doorsnedevlak gaat, verkrijgen we de wet van de planparallelle beweging
De planparallelle beweging van een star lichaam bestaat uit translatie, waarbij de punten van het lichaam samen met de pool bewegen, en rotatiebeweging rond de pool.
De belangrijkste kinematische kenmerken van de vliegtuigbeweging van het lichaam:
- snelheid en versnelling van de translatiebeweging van de pool,
- hoeksnelheid en hoekversnelling van rotatiebeweging rond de paal.
De baan van een willekeurig punt van een platte figuur wordt bepaald door de afstand van het punt tot de pool A en de rotatiehoek rond de pool.
De snelheden van punten van een vlakke figuur bepalen
Snelheid van een willekeurig punt is gelijk aan de geometrische som van de snelheid van het punt, dat als een pool wordt genomen, en de rotatiesnelheid van dit punt in zijn rotatiebeweging samen met het lichaam rond de pool.
De module en de snelheidsrichting worden gevonden door het bijbehorende parallellogram te construeren.
Momentane centrum van snelheden (MVS)
Onmiddellijk centrum van snelheid
(MCS) - een punt waarvan de snelheid op een bepaald moment nul is. MCC wordt beschouwd als een pool.
- De snelheid van een willekeurig punt van het lichaam, dat tot een platte figuur behoort, is gelijk aan zijn rotatiesnelheid rond het momentane centrum van snelheden. De snelheidsmodulus van een willekeurig punt A is gelijk aan het product van de hoeksnelheid van het lichaam en de lengte van het segment van het punt tot de MCS. De vector is loodrecht gericht op het segment van het punt naar de MCS in de draairichting van het lichaam
- Modules van snelheden van lichaamspunten zijn evenredig met hun afstand tot de MCS
Gevallen van het bepalen van het momentane centrum van snelheden
- Als de snelheid van één punt van het lichaam en de rotatiesnelheid van het lichaam bekend zijn, dan is het om de MCS (P) te vinden nodig om de snelheidsvector van het punt in de draairichting met 900 te roteren en in te stellen opzij het segment AR op de gevonden straal
- Als de snelheden van twee punten van het lichaam evenwijdig zijn aan en loodrecht staan op de lijn die door deze punten gaat, dan bevindt de MCC zich op het snijpunt van deze lijn en de lijn die de uiteinden van de snelheidsvectoren verbindt
- Als de richtingen van de snelheden van twee punten van het lichaam bekend zijn en hun richtingen niet evenwijdig zijn, dan bevindt de MCS zich op het punt Р van het snijpunt van de loodlijnen op de snelheden op deze punten
- Als het wiel op een onbeweeglijk oppervlak rolt zonder te slippen, dan bevindt de MCC (P) zich op het contactpunt van het wiel met het onbeweeglijke oppervlak
In gevallen 2 en 3, mogelijke uitzonderingen (onmiddellijke voorwaartse beweging of onmiddellijke rust).
Complexe puntbeweging
Complexe puntbeweging - een beweging waarbij een punt tegelijkertijd deelneemt aan meerdere bewegingen.
Relatieve beweging - beweging ten opzichte van een bewegend referentiekader.
draagbare beweging - beweging vanuit een bewegend referentiesysteem (draagmedium) samen met een punt ten opzichte van een vast referentiesysteem.
Absolute beweging- verplaatsing van een punt ten opzichte van een vast referentiekader
De absolute beweging van een punt is een complexe beweging, omdat bestaat uit relatieve en figuratieve bewegingen.
Bij een complexe beweging is de absolute snelheid van een punt gelijk aan de geometrische som van zijn relatieve en translatiesnelheden
Bepaling van puntversnellingen
De absolute versnelling van een punt is gelijk aan de geometrische som van drie vectoren: relatieve versnelling, die de verandering in relatieve snelheid in relatieve beweging kenmerkt; draagbare versnelling, die de verandering in de draagbare snelheid van het punt in de draagbare beweging kenmerkt, en Coriolis-versnelling, die de verandering in de relatieve snelheid van het punt in de draagbare beweging en de draagbare snelheid in de relatieve beweging kenmerkt.
De Coriolis-versnelling van een punt is het dubbele vectorproduct van de hoeksnelheid van het medium en de relatieve snelheid van het punt.
Formaat: pdf
Taal: Russisch, Oekraïens
Een voorbeeld van de berekening van een tandwiel
Een voorbeeld van de berekening van een tandwiel. De materiaalkeuze, de berekening van toelaatbare spanningen, de berekening van contact en buigsterkte werden uitgevoerd.
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het buigen van de balk:
In het voorbeeld worden diagrammen van dwarskrachten en buigmomenten uitgezet, wordt een gevaarlijke sectie gevonden en wordt een I-balk geselecteerd. In het probleem werd de constructie van diagrammen met behulp van differentiële afhankelijkheden geanalyseerd, een vergelijkende analyse van verschillende balkdoorsneden uitgevoerd.
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van astorsie
De taak is om de sterkte van een stalen as te testen voor een gegeven diameter, materiaal en toelaatbare spanningen. Tijdens de oplossing worden diagrammen van koppels, schuifspanningen en draaihoeken gebouwd. Er wordt geen rekening gehouden met het eigen gewicht van de as
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van spanningscompressie van een staaf
De taak is om de sterkte van een stalen staaf te testen bij gegeven toelaatbare spanningen. Tijdens de oplossing worden grafieken van langskrachten, normaalspanningen en verplaatsingen gebouwd. Er wordt geen rekening gehouden met het eigen gewicht van de stang
Toepassing van de stelling van het behoud van kinetische energie
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het toepassen van de stelling over het behoud van kinetische energie van een mechanisch systeem
Bepaling van de snelheid en versnelling van een punt volgens de gegeven bewegingsvergelijkingen
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het bepalen van de snelheid en versnelling van een punt volgens de gegeven bewegingsvergelijkingen
Bepaling van snelheden en versnellingen van punten van een star lichaam tijdens planparallelle beweging
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het bepalen van de snelheden en versnellingen van punten van een star lichaam tijdens planparallelle beweging
Bepaling van krachten in vlakke spanten
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem van het bepalen van de krachten in de staven van een platte truss door de Ritter-methode en de knoopsnijmethode
3.5.1. pool methode:
Aangezien de beweging van een platte figuur kan worden beschouwd als een samenstelling van de translatie, wanneer alle punten van de figuur op dezelfde manier bewegen als de pool MAAR met snelheid en roterende beweging rond de paal, dan de snelheid van elk punt BIJ de figuren worden gedefinieerd door de vectorsom van de snelheden (Fig. 23).
, (65)
waar is de snelheid van de puntpool MAAR;
Punt snelheid BIJ bij het roteren van een figuur rond de pool van een punt MAAR(ervan uitgaande dat het vast is) is numeriek gelijk aan
BIJ loodrecht VA in de draairichting van de hoeksnelheid (Fig. 23).
Numerieke waarde van puntsnelheid BIJ definiëren door de wet van cosinus
waar is de hoek tussen de vectoren en , .
De gelijkheid van projecties is een gevolg van de invariantie van de afstand tussen punten MAAR en BIJ behorend tot een star lichaam, dus de gelijkheid geldt voor elke beweging van een star lichaam.
3.5.2. Methode van het momentane centrum van snelheden (IMS)
Het momentane centrum van snelheden is het punt R een platte figuur waarvan de snelheid op een bepaald moment nul is. De snelheden van alle andere punten van een platte figuur op een bepaald moment worden bepaald alsof de beweging van de figuur roterend is ten opzichte van het punt R(Afb. 25).
|
Volgens de poolmethode puntsnelheid BIJ zal gelijk zijn aan
. (69)
Aangezien de snelheid van de pool (MCS) punten R is gelijk aan nul (), dan
De snelheidsvector is gericht vanuit het punt BIJ loodrecht BP in de draairichting van de hoeksnelheid w.
Een soortgelijke gelijkheid kan worden weergegeven voor alle punten van een vlakke figuur, dus de snelheden van de punten van een vlakke figuur zijn evenredig met hun afstand tot de MCS.
Om de positie (MCS) van een platte figuur te bepalen, is het nodig om de richting te kennen van de lijnen waarlangs de snelheidsvectoren van de punten werken MAAR en BIJ( en ). De MCC voor deze figuur bevindt zich op het snijpunt van de loodlijnen die op deze lijnen zijn hersteld.
Om de snelheid van een punt te vinden BIJ, volgens Fig. 25, is het vereist om de snelheid van het punt te kennen MAAR. Dan is de hoeksnelheid van de figuur op een bepaald moment
waar AR– punt afstand MAAR ter zake R, wordt bepaald op basis van de initiële gegevens.
Hoeksnelheid onder invloed van snelheid ten opzichte van de pool van een punt R met de klok mee gericht.
Punt snelheid BIJ op dit moment zal zijn
Puntsnelheidsvector BIJ() loodrecht op de lijn gericht RV in de draairichting van de hoeksnelheid w (Fig. 25).
3.5.2.1. Het concept van zwaartepunten
Het traject dat de MCS samen met de bewegende figuur beschrijft, wordt het bewegende zwaartepunt genoemd (wanneer het wiel bijvoorbeeld langs het oppervlak beweegt zonder te slippen (tabel 2), is de buitenomtrek van het wiel het bewegende zwaartepunt).
Geometrische locus van de MCS, puntposities R op een vast vlak, wordt een vast zwaartepunt genoemd (wanneer het wiel op een oppervlak beweegt zonder te slippen (zie tabel 2), is het vaste zwaartepunt het vaste oppervlak waarop het wiel rolt).
3.5.2.2. Speciale gevallen van MCS
Tafel 2.
| Onmiddellijke voorwaartse beweging van de link AB | Wielbeweging op het oppervlak (geen slip) | Bewegende blokbeweging |
 |  |  |
| Punt BIJ in een rechte lijn bewegen x-x, vandaar de snelheid V B gericht langs de as, teken een loodrecht op de as x-x. Omdat de loodlijnen elkaar niet snijden, is de link AB in ogenblikkelijke translatiebeweging is, zijn de snelheden van alle punten van deze verbinding gelijk, de MCS bevindt zich op oneindig, . | De MCC bevindt zich op het punt waar het wiel het vaste oppervlak raakt waarop het wiel rolt, de punt R. De hoeksnelheid van het wiel zal zijn  . Puntsnelheden BIJ, VAN
 | MCS (punt R) is op het snijpunt van het segment AB en een rechte lijn die door de uiteinden van de vectoren en gaat. De positie van een punt bepalen R. Hoeksnelheid blokkeren  |
 |  |  |
VLIEGTUIG BEWEGING VAN EEN STIJF LICHAAM
Studie vragen:
1. Vergelijkingen van vliegtuigbeweging van een star lichaam.
2. Snelheid van punten van een plat figuur
3. Onmiddellijk centrum van snelheden
4. Versnellingen van punten van een vlakke figuur
1. Vergelijkingen van vliegtuigbeweging van een star lichaam
Vlakke beweging van een star lichaamnoem hetbeweging waarbij alle punten van het lichaamsdeel in hun eigen vlak bewegen.
Laat het vaste 1 maakt een vlakke beweging.
secant vlak 
in lichaam 1
vormt een sectie П, die in het snijvlak beweegt 
.
Indien evenwijdig aan het vliegtuig 
andere delen van het lichaam uitvoeren, bijvoorbeeld via punten 
enz. liggend op dezelfde loodrecht op de secties, dan zullen al deze punten en alle secties van het lichaam op dezelfde manier bewegen.
Bijgevolg wordt de beweging van het lichaam in dit geval volledig bepaald door de beweging van een van zijn secties in een van de evenwijdige vlakken, en de positie van de sectie wordt bepaald door de positie van twee punten van deze sectie, bijvoorbeeld MAAR en BIJ.
Sectie positie P in het vliegtuig Ohu bepaal de positie van het segment AB, in dit onderdeel uitgevoerd. Positie van twee punten op een vlak MAAR(
)
en BIJ(
)
gekenmerkt door vier parameters (coördinaten), waarop één beperking wordt opgelegd - de vergelijking van communicatie in de vorm van de lengte van het segment AB:
Daarom kan de positie van de sectie P in het vlak worden ingesteld drie onafhankelijke parameters - coördinaten
puntenMAAR
en hoek
,
die een segment vormt AB met as Oh. Punt MAAR, gekozen om de positie van de sectie P te bepalen, genaamd POOL.
Wanneer het lichaamsdeel beweegt, zijn de kinematische parameters functies van de tijd
De vergelijkingen zijn kinematische vergelijkingen van vlakke (vlak-parallelle) beweging van een star lichaam. Nu zullen we laten zien dat, in overeenstemming met de verkregen vergelijkingen, het lichaam in vlakke beweging translatie- en rotatiebewegingen uitvoert. Laat in afb. sectie van een lichaam gegeven door een segment 
in coördinatenstelsel Ohu verplaatst van de startpositie 1
naar eindpositie 2.
Laten we twee manieren laten zien van mogelijke verplaatsing van het lichaam vanuit de positie 1 naar positie 2.
Eerste manier. Laten we een punt nemen als een paal 
.Het segment verplaatsen 
parallel aan zichzelf, d.w.z. geleidelijk, langs het traject 
,
voor het matchen van punten 
en 
. De positie van het segment verkrijgen 
.
op de hoek 
en we krijgen de uiteindelijke positie van de platte figuur, gegeven door het segment 
.
De tweede manier. Laten we een punt nemen als een paal 
. Het segment verplaatsen 
parallel aan zichzelf, d.w.z. geleidelijk langs het traject 
voor het matchen van punten 
en 
.We krijgen de positie van het segment 
.
Draai vervolgens dit segment rond de paal 
op de
hoek 
en we krijgen de uiteindelijke positie van de platte figuur, gegeven door het segment 
.
Laten we de volgende conclusies trekken.
1. Vliegtuigbeweging, in volledige overeenstemming met de vergelijkingen, is een combinatie van translatie- en rotatiebewegingen, en het model van vliegtuigbeweging van een lichaam kan worden beschouwd als translatiebeweging van alle punten van het lichaam samen met de pool en rotatie van de lichaam ten opzichte van de paal.
2. De banen van de translatiebeweging van het lichaam hangen af van de keuze van de pool
.
Op afb. 13.3 in het beschouwde geval zien we dat in de eerste bewegingsmethode, toen een punt als een pool werd genomen 
, translationeel traject 
significant verschillend van het traject 
voor de andere pool BIJ.
3. De rotatie van het lichaam is niet afhankelijk van de keuze van de paal. Hoek
rotatie van het lichaam blijft constant in modulus en draairichting
. In beide gevallen, beschouwd in Fig. 13.3, de rotatie was tegen de klok in.
De belangrijkste kenmerken van het lichaam in vliegtuigbeweging zijn: de baan van de paal, de rotatiehoek van het lichaam rond de paal, de snelheid en versnelling van de paal, de hoeksnelheid en hoekversnelling van het lichaam. Extra assen 
in translatiebeweging bewegen ze met de pool MAAR evenwijdig aan de hoofdassen Ohu langs het pad van de paal.
De snelheid van de pool van een vlakke figuur kan worden bepaald met behulp van de tijdsafgeleiden van de vergelijkingen:
Op dezelfde manier worden de hoekkarakteristieken van het lichaam bepaald: de hoeksnelheid 
;
hoekversnelling
.
Op afb. bij de paal MAAR projecties van de snelheidsvector worden getoond 
op as Ooh ooh Rotatiehoek van het lichaam: 
, hoeksnelheid 
en hoekversnelling 
weergegeven door boogpijlen rond het punt MAAR. Vanwege de onafhankelijkheid van de rotatiekarakteristieken van beweging van de keuze van de paal, zijn de hoekkarakteristieken 
,
,
kan op elk punt van een platte figuur worden weergegeven met boogpijlen, bijvoorbeeld in punt B.
Er werd opgemerkt dat de beweging van een platte figuur kan worden beschouwd als een som van translatiebewegingen, waarbij alle punten van de figuur bewegen met de snelheid van de pool MAAR, en van een roterende beweging rond die paal. Laten we aantonen dat de snelheid van elk punt M de figuren zijn geometrisch gevormd uit de snelheden die het punt in elk van deze bewegingen ontvangt.
Inderdaad, de positie van elk punt M figuren zijn gedefinieerd in relatie tot de assen Ohu straalvector (Fig. 30), waar is de straalvector van de pool MAAR, - vector die de positie van het punt definieert M over assen die met de paal meebewegen MAAR translationeel (de beweging van de figuur ten opzichte van deze assen is een rotatie rond de pool) MAAR). Dan
In de resulterende gelijkheid is de hoeveelheid de snelheid van de pool MAAR; de waarde is gelijk aan de snelheid waarmee het punt M ontvangt op, d.w.z. rond de assen, of, met andere woorden, wanneer de figuur rond de paal draait MAAR. Het volgt dus echt uit de vorige gelijkheid dat:
snelheidspunt M verkregen door de figuur rond de paal te draaien MAAR:
waar is de hoeksnelheid van de figuur.
Dus de snelheid van elk punt M vlakke figuur is geometrisch samengesteld uit de snelheid van een ander punt MAAR genomen als een paal, en de snelheid waarmee het punt M ontvangt wanneer de figuur rond deze paal draait. De module en de snelheidsrichting worden gevonden door het bijbehorende parallellogram te construeren (Fig. 31).
Afb.30 Afb.31
23. In feite is de vergelijking van de translatiebeweging van een star lichaam de vergelijking van de tweede wet van Newton: Met behulp van de vergelijkingen:
En we krijgen.
24. In dit geval de componenten
- moment van meegestuurde externe krachten x en ja, worden gecompenseerd door de krachtmomenten van de pinning-reactie.
Rotatie rond een as z komt alleen voor onder
6.4 
6.5 
Laat een lichaam rond een as draaien z.Verkrijg de vergelijking van de dynamiek voor een bepaald punt ik ben dit lichaam op afstand R i vanaf de rotatie-as. Onthoud tegelijkertijd dat:
Altijd gericht langs de rotatie-as z, dus in wat volgt zullen we het pictogram weglaten z.
Omdat alle punten verschillend zijn, introduceren we de vector van hoeksnelheid en
Omdat het lichaam absoluut stijf is, in het proces van rotatie ik ben en R i ongewijzigd zal blijven. Dan:
aanduiden ik ik - traagheidsmoment punten op een afstand R vanaf de rotatie-as:
Aangezien het lichaam uit een enorm aantal punten bestaat en ze zich allemaal op verschillende afstanden van de rotatie-as bevinden, is het traagheidsmoment van het lichaam is:
waar R- afstand van de as z doen m. Zoals je kunt zien, het traagheidsmoment l is een scalaire grootheid.
Alles samenvattend i- punten,
krijgen of - Dit hoofdvergelijking
dynamiek van een lichaam dat rond een vaste as draait.
26) Impulsmoment van een star lichaam.
Het impulsmoment is de vectorsom van het impulsmoment van alle materiële punten van het lichaam ten opzichte van de vaste as.
Als de rotatie-as van een star lichaam vast is, dan zal het krachtmoment loodrecht op deze as () als gevolg van de wrijvingskrachten in de lagers altijd nul zijn.
De veranderingssnelheid van het impulsmoment van een star lichaam langs de rotatieas, die vast is, is gelijk aan het resulterende moment van externe krachten die langs deze as zijn gericht.
- traagheidsmoment.
28) Het moment van rollende wrijvingskrachten is de wet van Coulomb. Rollende wrijvingscoëfficiënt.
Rollende wrijving. Het bestaan van rolwrijving kan experimenteel worden vastgesteld, bijvoorbeeld bij het bestuderen van het rollen van een zware cilinder met een straal op een horizontaal vlak.
Als de cilinder en het vlak vaste lichamen zijn met ruwe oppervlakken (Fig. 55, a), dan zal hun contact plaatsvinden op een punt, de kracht N balanceert de zwaartekracht P, en de horizontale kracht Q en de wrijvingskracht F vormen een paar krachten (Q, F) waaronder de cilinder moet beginnen te bewegen bij elke grootte van de kracht Q. In werkelijkheid begint de cilinder te bewegen nadat de grootte van de kracht Q de grenswaarde Ql overschrijdt.
Dit feit kan worden verklaard als we aannemen dat de cilinder en het vlak vervormd zijn. Dan zal hun contact plaatsvinden langs een klein gebied of gat (in Fig. 55, b, wordt een klein gebied getoond door zijn sectie). Naarmate de kracht Q toeneemt, zal het drukpunt zich van het midden van de sectie naar rechts verplaatsen. Hierdoor wordt een krachtenpaar (P,N) gevormd dat verhindert dat de cilinder gaat bewegen. In de toestand van limietevenwicht werkt een krachtenpaar (Ql,F) met een moment Ql·r en een paar (P,N) in evenwicht met een moment N·δ op de cilinder, waarbij δ de waarde is van de maximale verplaatsing. Uit de gelijkheid van de momenten van krachtparen vinden we (6)
terwijl Q
Meestal rijst. 55, b wordt vereenvoudigd door daarop niet de verplaatsing van het aangrijpingspunt van de normale reactie weer te geven, waardoor de krachten in Fig. 55, een aantal krachten die voorkomen dat de cilinder gaat rollen, zoals weergegeven in fig. 55, blz.
Het moment van dit krachtenpaar heet rollend wrijvingsmoment, is gelijk aan het moment van een krachtenpaar (P,N): (7)
De waarde van de maximale verplaatsing van het aangrijpingspunt van de normale reactie opgenomen in formules (6) en (7) δ wordt de rolwrijvingscoëfficiënt genoemd. Het heeft de afmeting van lengte en wordt experimenteel bepaald. Hier zijn de geschatte waarden van deze coëfficiënt (in meters) voor sommige materialen: hout op hout δ = 0,0005-0,0008; zacht staal op staal (wiel op rail) - 0.00005; gehard staal op staal (kogellager) - 0.00001.
De verhouding δ/r in formule (6) is voor de meeste materialen veel kleiner dan de statische wrijvingscoëfficiënt f0. Daarom hebben ze in de technologie, waar mogelijk, de neiging om glijden te vervangen door rollen (wielen, rollen, kogellagers, enz.).
Wet van Amonton-Coulomb
Hoofd artikel: de wet van Coulomb (mechanica)
Niet te verwarren met de wet van Coulomb!
Het belangrijkste kenmerk van wrijving is de wrijvingscoëfficiënt μ, die wordt bepaald door de materialen waaruit de oppervlakken van de op elkaar inwerkende lichamen zijn gemaakt.
In de eenvoudigste gevallen zijn de wrijvingskracht F en de normale belasting (of normale reactiekracht) Nnormaal gerelateerd door een ongelijkheid die alleen in gelijkheid verandert in aanwezigheid van relatieve beweging. Deze verhouding wordt de wet van Amonton-Coulomb genoemd.
De snelheden van punten van een vlakke figuur bepalen
Er werd opgemerkt dat de beweging van een vlakke figuur kan worden beschouwd als een som van translatiebewegingen, waarbij alle punten van de figuur met een snelheid polen MAAR, en van een roterende beweging rond die paal. Laten we aantonen dat de snelheid van elk punt M de figuren zijn geometrisch gevormd uit de snelheden die het punt in elk van deze bewegingen ontvangt.
Inderdaad, de positie van elk punt M figuren zijn gedefinieerd in relatie tot de assen Ohu straal vector(Fig. 3), waar - straalvector van de pool MAAR , - een vector die de positie van een punt definieert M over de assenbewegen met de paal MAAR translationeel (de beweging van de figuur ten opzichte van deze assen is een rotatie rond de pool) MAAR). Dan
In de resulterende gelijkheid, de hoeveelheidis de snelheid van de pool MAAR; de magnitude gelijk aan snelheid , welk punt? M ontvangt bij, d.w.z. over de assen, of, met andere woorden, wanneer de figuur rond de paal draait MAAR. Het volgt dus echt uit de vorige gelijkheid dat:
Snelheid , welk punt? M verkregen door de figuur rond de paal te draaien MAAR :
waar is de hoeksnelheid van de figuur.
Dus de snelheid van elk punt M vlakke figuur is geometrisch samengesteld uit de snelheid van een ander punt MAAR genomen als een paal, en de snelheid waarmee het punt M ontvangt wanneer de figuur rond deze paal draait. Module en richting van snelheidworden gevonden door het overeenkomstige parallellogram te construeren (Fig. 4).
Afb.3Afb.4
Stelling over de projecties van de snelheden van twee punten van het lichaam
Het bepalen van de snelheden van de punten van een platte figuur (of een lichaam dat op een planparallelle manier beweegt) gaat meestal gepaard met vrij complexe berekeningen. Er kan echter een aantal andere, praktisch handiger en eenvoudiger methoden worden verkregen om de snelheden van de punten van een figuur (of lichaam) te bepalen.
Afb.5
Een van dergelijke methoden wordt gegeven door de stelling: de projecties van de snelheden van twee punten van een star lichaam op de as die door deze punten gaat, zijn gelijk aan elkaar. Overweeg twee punten: MAAR en BIJ platte figuur (of lichaam). Een punt pakken MAAR per pool (Fig. 5), krijgen we. Vandaar dat beide delen van de gelijkheid worden geprojecteerd op de as die langs is gericht AB, en aangezien de vectorloodrecht AB, we vinden
en de stelling is bewezen.
Bepaling van de snelheden van punten van een vlakke figuur met behulp van het momentane centrum van snelheden.
Een andere eenvoudige en illustratieve methode voor het bepalen van de snelheden van punten van een vlakke figuur (of een lichaam in een vlakke beweging) is gebaseerd op het concept van het momentane centrum van snelheden.
Onmiddellijk centrum van snelheden Een punt op een vlakke figuur wordt genoemd, waarvan de snelheid op een gegeven moment gelijk is aan nul.
Het is gemakkelijk te verifiëren dat als de figuur beweegt onverzettelijk, dan zo'n punt op elk moment tbestaat en is uniek. Laat op dit moment t punten MAAR en BIJ vliegtuigfiguren hebben snelheden en , niet evenwijdig aan elkaar (Fig. 6). dan het punt: R liggend op het snijpunt van loodlijnen Ah naar de vector en BIJ b naar de vector , en zal het momentane centrum van snelheden zijn sinds. Inderdaad, als we aannemen dat, dan door de snelheidsprojectiestelling de vectormoet zowel loodrecht als AR(omdat) en BP(omdat), wat onmogelijk is. Uit dezelfde stelling blijkt dat geen enkel ander punt van de figuur op dit moment een snelheid gelijk aan nul kan hebben.
Afb.6
Als we nu op een bepaald moment een punt nemen R per pool, dan de snelheid van het punt MAAR zal zijn
omdat . Een soortgelijk resultaat wordt verkregen voor elk ander punt van de figuur. Dientengevolge worden de snelheden van de punten van een platte figuur op een bepaald moment bepaald alsof de beweging van de figuur een rotatie rond het momentane snelheidscentrum is. Waarin
Uit de gelijkheden volgt ook datpunten van een platte figuur zijn evenredig met hun afstand tot de MCS.
De verkregen resultaten leiden tot de volgende conclusies.
1. Om het momentane centrum van snelheden te bepalen, hoef je alleen de richting van de snelheden te kennen en twee willekeurige punten MAAR en BIJ een platte figuur (of trajecten van deze punten); het momentane centrum van snelheden is op het snijpunt van de loodlijnen geconstrueerd uit de punten MAAR en BIJ aan de snelheden van deze punten (of aan de raaklijnen aan de banen).
2. Om de snelheid van een willekeurig punt van een vlakke figuur te bepalen, moet u de modulus en richting van de snelheid van een willekeurig punt kennen MAAR cijfers en de richting van de snelheid van het andere punt BIJ. Dan, na te hebben gereconstrueerd uit de punten MAAR en BIJ loodrecht op en , construeren we het momentane centrum van snelheden R en richtingbepaal de draairichting van de figuur. Daarna, wetende, vind de snelheidenig punt M platte figuur. gerichte vectorloodrecht RM in de draairichting van de figuur.
3. Hoeksnelheid:vlakke figuur is op elk moment gelijk aan de verhouding van de snelheid van een bepaald punt van de figuur tot zijn afstand tot het momentane snelheidscentrum R :
Laten we eens kijken naar enkele specifieke gevallen van het bepalen van het momentane centrum van snelheden.
a) Als een planparallelle beweging wordt uitgevoerd door te rollen zonder een cilindrisch lichaam op het oppervlak van een ander stationair lichaam te laten glijden, dan is het punt R van een rollend lichaam dat een vast oppervlak raakt (Fig. 7), heeft op een bepaald moment, vanwege de afwezigheid van slip, een snelheid gelijk aan nul (), en daarom is het momentane centrum van snelheden. Een voorbeeld is het rollen van een wiel op een rail.
b) Als de snelheden van de punten MAAR en BIJ platte figuur zijn evenwijdig aan elkaar, en de lijn AB niet loodrecht(Fig. 8, a), dan ligt het momentane centrum van snelheden op oneindig en zijn de snelheden van alle punten evenwijdig. In dit geval volgt uit de snelheidsprojectiestelling dat: d.w.z. ; een gelijkaardig resultaat wordt verkregen voor alle andere punten. Daarom zijn in het onderhavige geval de snelheden van alle punten van de figuur op een bepaald moment aan elkaar gelijk, zowel in absolute waarde als in richting, d.w.z. de figuur heeft een instantane translationele verdeling van snelheden (een dergelijke bewegingstoestand van het lichaam wordt ook instant translationeel genoemd). hoeksnelheidlichaam op dit moment, zoals te zien is, nul is.
Afb.7
Afb.8
c) Als de snelheden van de punten MAAR en BIJ platte figuur zijn evenwijdig aan elkaar en tegelijkertijd de lijn AB loodrecht, dan het momentane centrum van snelheden R wordt bepaald door de constructie getoond in figuur 8b. De geldigheid van de constructies volgt uit de verhouding. In dit geval, in tegenstelling tot de vorige, om het midden te vinden R naast richtingen, moet je ook de modules van snelheden kennen.
d) Als de snelheidsvector bekend iseen punt BIJ figuur en zijn hoeksnelheid, dan de positie van het momentane centrum van snelheden R liggend loodrecht op(Fig. 8b) is te vinden als.
Problemen oplossen om de snelheid te bepalen.
Om de gewenste kinematische kenmerken te bepalen (de hoeksnelheid van een lichaam of de snelheden van zijn punten), is het noodzakelijk om de modulus en richting van de snelheid van een bepaald punt en de richting van de snelheid van een ander punt in de sectie van dit lichaam. De oplossing zou moeten beginnen met het bepalen van deze kenmerken volgens de probleemgegevens.
Het mechanisme, waarvan de beweging wordt onderzocht, moet op de tekening worden afgebeeld in de positie waarvoor het nodig is om de juiste kenmerken te bepalen. Bij het berekenen moet er rekening mee worden gehouden dat het concept van het momentane centrum van snelheden plaatsvindt voor een bepaald star lichaam. In een mechanisme dat uit meerdere lichamen bestaat, heeft elk niet-translationeel bewegend lichaam op een bepaald moment zijn eigen momentane centrum van snelheden R en zijn hoeksnelheid.
voorbeeld 1Een spoelvormig lichaam rolt met zijn middelste cilinder langs een vast vlak zodat:(cm). Cilinderradii:R= 4 massa media r= 2 cm (afb. 9). .
Afb.9
Oplossing.Bepaal de snelheid van de punten A, B en VAN.
Het momentane centrum van snelheden is op het punt waar de spoel het vlak raakt.
Pole snelheid VAN .
|
|
Puntsnelheden MAAR en BIJ loodrecht gericht op de lijnsegmenten die deze punten verbinden met het momentane centrum van snelheden. Snelheidswaarde:
Voorbeeld 2Radius wiel R= 0,6 m rollen zonder te schuiven langs een recht stuk van de baan (Fig. 9.1); de snelheid van het middelpunt C is constant en gelijk aanvc
= 12 m/s. Vind de hoeksnelheid van het wiel en de snelheid van de uiteinden M 1 , M 2 , M 3 , M 4 verticale en horizontale wieldiameters.
Afb.9.1
Oplossing. Het wiel maakt een planparallelle beweging. Het momentane centrum van wielsnelheden ligt in het contactpunt M1 met het horizontale vlak, d.w.z.
wiel snelheid
We vinden de snelheden van de punten M2, M3 en M4
Voorbeeld3 . Radius auto aandrijfwiel R= 0,5 m rollen met schuiven (met slippen) langs een recht stuk snelweg; de snelheid van het centrum VAN constant en gelijkvc
= 4 m/s. Het momentane centrum van snelheden van het wiel is in het punt R op afstand h = 0,3 m van het rollende vlak. Vind de hoeksnelheid van het wiel en de snelheden van de punten MAAR en BIJ zijn verticale diameter.
Afb.9.2
Oplossing.wiel snelheid
De snelheden van punten vinden MAAR en BIJ
Voorbeeld 4Vind de hoeksnelheid van de drijfstang AB en snelheidspunten BIJ en C van het krukmechanisme (Fig. 9.3, a). Gezien de hoeksnelheid van de kruk OA en afmetingen: ω OA \u003d 2 s -1, OA =AB = 0,36 m AC= 0,18 meter.
a)
b)
Afb.9.3
Oplossing. krukas OAmaakt een draaiende beweging AB- planparallelle beweging (Fig. 9.3, b).
De snelheid van een punt vinden MAAR koppeling
OA
Punt snelheid BIJ horizontaal gericht. De richting van de snelheden van de punten kennen MAAR en BIJ drijfstang AB, bepaal de positie van het momentane centrum van snelheden - het punt R AV.
Link snelheid AB en snelheidspunten BIJ en C:
Voorbeeld 5Kernel AB schuift met zijn uiteinden langs onderling loodrechte rechte lijnen zodat onder een hoek snelheid (Afb. 10). Staaflengte: AB= ik. Bepaal de snelheid van het einde MAAR en de hoeksnelheid van de staaf.
Afb.10
Oplossing.Het is gemakkelijk om de richting van de snelheidsvector van het punt te bepalen MAAR glijden langs een verticale rechte lijn. Dangelegen op het snijpunt van loodlijnen en (afb. 10).
hoeksnelheid
Punt snelheid MAAR :
|
|
Snelheidsplan.
Laat de snelheden van verschillende punten van het vlakke gedeelte van het lichaam bekend zijn (Fig. 11). Als deze snelheden vanaf een bepaald punt worden geschaald O en hun uiteinden verbinden met rechte lijnen, krijg je een afbeelding die een snelheidsplan wordt genoemd. (Op de afbeelding)) .
Afb.11
Eigenschappen van het snelheidsplan.
|
|
Werkelijk, . Maar qua snelheid
. Middelen en loodrecht AB, en daarom. Precies hetzelfde als .
b) De zijden van het snelheidsplan zijn evenredig met de corresponderende segmenten van rechte lijnen op het vlak van het lichaam.
Omdat
, dan volgt hieruit dat de zijden van het snelheidsplan evenredig zijn met de lijnsegmenten op het vlak van het lichaam.Door de eigenschappen te combineren, kunnen we concluderen dat het snelheidsplan vergelijkbaar is met de overeenkomstige figuur op het lichaam en ten opzichte daarvan 90˚ in de draairichting is gedraaid. Met deze eigenschappen van het snelheidsplan kun je de snelheden van de punten van het lichaam grafisch.
Voorbeeld 6Figuur 12 toont het mechanisme op schaal. Bekende hoeksnelheid koppeling OA.
Afb.12
Oplossing.Om een snelheidsplan te maken, moet de snelheid van een punt en ten minste de richting van de snelheidsvector van een ander bekend zijn. In ons voorbeeld kunnen we de snelheid van een punt bepalen MAAR : en richting van zijn vector.
Afb.13
|
|
snelheidspunt E is gelijk aan nul, dus het punt e op het snelheidsplan valt samen met het punt O.
Volgende.Zou moeten zijn
en . We tekenen deze lijnen, vinden hun snijpuntd.Lijnstuk over d bepaal de snelheidsvector.Voorbeeld 7in gearticuleerd vier-linkOABC krukas rijdenOAcm draait gelijkmatig rond een as O met hoeksnelheidω \u003d 4 s -1 en met behulp van een drijfstang AB= 20 cm draait de slinger zon rond de as VAN(afb.13.1, a). Bepaal puntsnelheden MAAR en BIJ, evenals de hoeksnelheid van de drijfstang AB en zwengel Zon.
a)
b)
Afb.13.1
Oplossing.Punt snelheid MAAR zwengel OA
Een punt pakken MAAR per pool stellen we een vectorvergelijking op
waar
De grafische oplossing van deze vergelijking wordt gegeven in Fig. 13.1 ,b(snelheidsplan).
Met behulp van het snelheidsplan krijgen we
Drijfstang hoeksnelheid AB
Punt snelheid BIJ kan worden gevonden met behulp van de stelling op de projecties van de snelheden van twee punten van het lichaam op de rechte lijn die ze verbindt
V en hoeksnelheid van de kruk SW
Bepaling van versnellingen van punten van een vlakke figuur
Laten we aantonen dat de versnelling van elk punt M van een vlakke figuur (evenals snelheid) is de som van de versnellingen die een punt ontvangt tijdens de translatie- en rotatiebewegingen van deze figuur. Punt positie M ten opzichte van de assen O xy (zie afb. 30) wordt bepaald straal vector- hoek tussen vectoren segmenteren MA(Afb. 14).
Dus de versnelling van elk punt M platte figuur is geometrisch samengesteld uit de versnelling van een ander punt MAAR, genomen als een pool, en versnelling, wat een punt is M ontvangt wanneer de figuur rond deze paal draait. Modulus en richting van versnelling, worden gevonden door het overeenkomstige parallellogram te construeren (Fig. 23).
Echter, de berekening en versnelling een punt MAAR dit cijfer op dit moment; 2) de baan van een ander punt BIJ figuren. In sommige gevallen is het voldoende om de positie van het momentane snelheidscentrum te kennen in plaats van het traject van het tweede punt van de figuur.
Bij het oplossen van problemen moet het lichaam (of mechanisme) worden afgebeeld in de positie waarvoor het nodig is om de versnelling van het overeenkomstige punt te bepalen. De berekening begint met het bepalen van de snelheid en versnelling van een punt dat als pool wordt genomen op basis van de probleemgegevens.
Oplossingsplan (als de snelheid en versnelling van een punt van een vlakke figuur en de richting van snelheid en versnelling van een ander punt van de figuur worden gegeven):
1) We vinden het momentane centrum van snelheden door loodlijnen te herstellen op de snelheden van twee punten van een platte figuur.
2) Bepaal de momentane hoeksnelheid van de figuur.
3) We bepalen de centripetale versnelling van een punt rond de pool, gelijk aan nul de som van de projecties van alle termen van de versnellingen op de as loodrecht op de bekende versnellingsrichting.
4) We vinden de module van rotatieversnelling, gelijk aan nul de som van de projecties van alle termen van versnellingen op de as loodrecht op de bekende versnellingsrichting.
5) Bepaal de momentane hoekversnelling van een platte figuur uit de gevonden rotatieversnelling.
6) We vinden de versnelling van een punt van een platte figuur met behulp van de formule voor de verdeling van versnellingen.
Bij het oplossen van problemen kunt u de "stelling op de projecties van de versnellingsvectoren van twee punten van een absoluut star lichaam" toepassen:
"De projecties van de versnellingsvectoren van twee punten van een absoluut stijf lichaam dat een planparallelle beweging uitvoert op een rechte lijn die is geroteerd ten opzichte van een rechte lijn die door deze twee punten gaat, in het bewegingsvlak van dit lichaam onder een hoekin de richting van de hoekversnelling gelijk zijn.
Deze stelling is handig om toe te passen als de versnellingen van slechts twee punten van een absoluut star lichaam zowel in absolute waarde als in richting bekend zijn, alleen de richtingen van de versnellingsvectoren van andere punten van dit lichaam bekend zijn (de geometrische afmetingen van het lichaam zijn niet bekend), zijn niet bekend en - respectievelijk de projecties van de vectoren van de hoeksnelheid en hoekversnelling van dit lichaam op een as loodrecht op het bewegingsvlak, de snelheden van de punten van dit lichaam zijn niet bekend.
Er zijn nog 3 manieren om de versnellingen van punten van een vlakke figuur te bepalen:
1) De methode is gebaseerd op het twee keer differentiëren in de tijd van de wetten van de planparallelle beweging van een absoluut star lichaam.
2) De methode is gebaseerd op het gebruik van het momentane versnellingscentrum van een absoluut stijf lichaam (het momentane versnellingscentrum van een absoluut stijf lichaam zal hieronder worden besproken).
3) De methode is gebaseerd op het gebruik van een absoluut rigide carrosserieversnellingsplan.
