Formule voor een homogene vergelijking. Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Stoppen! Laten we toch proberen deze omslachtige formule te achterhalen.

In de eerste plaats moet de eerste variabele in de graad met een bepaalde coëfficiënt zijn. In ons geval is het

In ons geval wel. Zoals we ontdekten, betekent dit dat hier de graad bij de eerste variabele convergeert. En de tweede variabele in de eerste graad is op zijn plaats. Coëfficiënt.

We hebben het.

De eerste variabele is in macht, en de tweede variabele is gekwadrateerd, met een coëfficiënt. Dit is de laatste term in de vergelijking.

Zoals je kunt zien, past onze vergelijking in de definitie van een formule.

Laten we eens kijken naar het tweede (verbale) deel van de definitie.

We hebben twee onbekenden en. Het komt hier samen.

Overweeg alle voorwaarden. In hen moet de som van de graden van de onbekenden hetzelfde zijn.

De som van de graden is.

De som van de graden is gelijk aan (voor en voor).

De som van de graden is.

Zoals je ziet past het allemaal!

Laten we nu oefenen met het definiëren van homogene vergelijkingen.

Bepaal welke van de vergelijkingen homogeen zijn:

Homogene vergelijkingen - genummerde vergelijkingen:

Laten we de vergelijking afzonderlijk bekijken.

Als we elke term delen door elke term uit te breiden, krijgen we

En deze vergelijking valt volledig onder de definitie van homogene vergelijkingen.

Hoe homogene vergelijkingen op te lossen?

Voorbeeld 2.

Deel de vergelijking door.

Door voorwaarde kan y niet gelijk zijn aan ons. Daarom kunnen we veilig delen door:

Door te vervangen, krijgen we een eenvoudige kwadratische vergelijking:

Aangezien dit een gereduceerde kwadratische vergelijking is, gebruiken we de stelling van Vieta:

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben gemaakt, krijgen we het antwoord

Antwoord:

Voorbeeld 3.

Deel de vergelijking door (per voorwaarde).

Antwoord:

Voorbeeld 4.

Zoek als.

Hier hoef je niet te delen, maar te vermenigvuldigen. Laten we de hele vergelijking vermenigvuldigen met:

Laten we de vervanging maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben gemaakt, krijgen we het antwoord:

Antwoord:

Het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen.

Het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen verschilt niet van de hierboven beschreven oplossingen. Alleen hier moet je onder andere een beetje trigonometrie kennen. En kunnen beslissen trigonometrische vergelijkingen(hiervoor kunt u de paragraaf lezen).

Laten we dergelijke vergelijkingen aan de hand van voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 5.

Los De vergelijking op.

We zien een typische homogene vergelijking: en zijn onbekenden, en de som van hun krachten in elke term is gelijk.

Dergelijke homogene vergelijkingen zijn niet moeilijk op te lossen, maar overweeg voordat u de vergelijkingen indeelt, het geval waarin:

In dit geval zal de vergelijking de vorm aannemen:, dan. Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn, omdat volgens de basis trigonometrische identiteit. Daarom kunnen we er veilig in verdelen:

Aangezien de vergelijking wordt verminderd, dan door de stelling van Vieta:

Antwoord:

Voorbeeld 6.

Los De vergelijking op.

Net als in het voorbeeld moet je de vergelijking delen door. Overweeg het geval wanneer:

Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn, omdat volgens de basis trigonometrische identiteit. Dus.

Laten we de substitutie maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

Laten we de omgekeerde vervanging maken en vinden en:

Antwoord:

Het oplossen van homogene exponentiële vergelijkingen.

Homogene vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost als hierboven. Als u bent vergeten hoe u exponentiële vergelijkingen moet oplossen, raadpleeg dan de overeenkomstige sectie ()!

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 7.

Los De vergelijking op

Laten we ons voorstellen hoe:

We zien een typische homogene vergelijking, met twee variabelen en een som van graden. Verdeel de vergelijking in:

Zoals je kunt zien, krijgen we bij de vervanging de gereduceerde kwadratische vergelijking (in dit geval hoef je niet bang te zijn om door nul te delen - het is altijd strikt groter dan nul):

Volgens de stelling van Vieta:

Antwoord: .

Voorbeeld 8.

Los De vergelijking op

Laten we ons voorstellen hoe:

Verdeel de vergelijking in:

Laten we de vervanging maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

De wortel voldoet niet aan de voorwaarde. Laten we een omgekeerde vervanging maken en vinden:

Antwoord:

HOMOGENE VERGELIJKINGEN. GEMIDDELD NIVEAU

Ten eerste, met één probleem als voorbeeld, wil ik u eraan herinneren wat zijn homogene vergelijkingen en wat is de oplossing van homogene vergelijkingen.

Het probleem oplossen:

Zoek als.

Hier kun je iets merkwaardigs opmerken: als je elke term deelt door, krijgen we:

Dat wil zeggen, nu zijn er geen afzonderlijke en, - nu is de variabele in de vergelijking de gewenste waarde. En dit is een gewone kwadratische vergelijking die gemakkelijk kan worden opgelost met de stelling van Vieta: het product van de wortels is gelijk, en de som is de getallen en.

Antwoord:

Vergelijkingen van de vorm

homogeen genoemd. Dat wil zeggen, het is een vergelijking met twee onbekenden, waarvan elke term dezelfde som van de machten van deze onbekenden heeft. In het bovenstaande voorbeeld is dit bedrag bijvoorbeeld. De oplossing van homogene vergelijkingen wordt uitgevoerd door te delen door een van de onbekenden in deze mate:

En de daaropvolgende vervanging van variabelen:. We krijgen dus een graadvergelijking met één onbekende:

Meestal zullen we vergelijkingen van de tweede graad tegenkomen (dat wil zeggen, kwadratisch), en we kunnen ze oplossen:

Merk op dat het delen (en vermenigvuldigen) van de hele vergelijking door een variabele alleen mogelijk is als we ervan overtuigd zijn dat deze variabele niet nul kan zijn! Als ons bijvoorbeeld wordt gevraagd om te vinden, begrijpen we dat meteen, omdat delen door onmogelijk is. In gevallen waar het niet zo voor de hand ligt, is het nodig om afzonderlijk te controleren of deze variabele gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld:

Los De vergelijking op.

Oplossing:

We zien hier een typische homogene vergelijking: en zijn onbekenden, en de som van hun krachten in elke term is gelijk.

Maar voordat we delen door en een kwadratische vergelijking krijgen, moeten we het geval overwegen wanneer. In dit geval zal de vergelijking de vorm aannemen:, vandaar. Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, omdat volgens de belangrijkste trigonometrische identiteit:. Daarom kunnen we er veilig in verdelen:

Hoop dat deze oplossing helemaal duidelijk is? Zo niet, lees dan de sectie. Als het niet duidelijk is waar het vandaan komt, moet je nog eerder terugkeren - naar de sectie.

Beslis voor jezelf:

1. Zoek als.
2. Zoek als.
3. Los De vergelijking op.

Hier zal ik in het kort direct de oplossing van homogene vergelijkingen schrijven:

Oplossingen:

Antwoord: .

En hier moeten we niet delen, maar vermenigvuldigen:

Antwoord:

Als je nog geen goniometrische vergelijkingen hebt gemaakt, kun je dit voorbeeld overslaan.

Aangezien we hier moeten delen door, laten we er eerst voor zorgen dat het niet gelijk is aan nul:

Dit is onmogelijk.

Antwoord: .

HOMOGENE VERGELIJKINGEN. KORT OVER DE HOOFDSTUK

De oplossing van alle homogene vergelijkingen wordt gereduceerd tot delen door een van de onbekenden in macht en verder door de variabelen te veranderen.

Algoritme:

Bijvoorbeeld de functie
is een homogene functie van de eerste meting, aangezien

is een homogene functie van de derde dimensie, aangezien

is een homogene functie van nulmeting, aangezien

, d.w.z.
.

Definitie 2. Differentiaalvergelijking van de eerste orde ja" = F(x, ja) heet homogeen als de functie F(x, ja) is een homogene functie van nuldimensie met betrekking tot x en ja, of, zoals ze zeggen, F(x, ja) Is een homogene functie van graad nul.

Het kan worden weergegeven als

waarmee we een homogene vergelijking kunnen definiëren als een differentiële die kan worden omgezet in de vorm (3.3).

Vervanging
leidt een homogene vergelijking tot een vergelijking met scheidbare variabelen. Inderdaad, na de vervanging y =xz krijgen
,
Als we de variabelen scheiden en integreren, vinden we:

,

Voorbeeld 1: Los een vergelijking op.

Wij zetten y =zx,
Vervang deze uitdrukkingen ja en verdorie in deze vergelijking:
of
Variabelen scheiden:
en integreren:
,

vervangen z op de , we krijgen
.

Voorbeeld 2. Vinden gemeenschappelijke beslissing vergelijkingen.

Δ In deze vergelijking P (x,ja) =x 2 -2ja 2 ,Q(x,ja) =2xy- homogene functies van de tweede dimensie, daarom is deze vergelijking homogeen. Het kan worden weergegeven als
en los het op dezelfde manier op als hierboven. Maar we gebruiken een andere vorm van notatie. We zetten ja = zx, waar verdorie = zdx + xdz... Als we deze uitdrukkingen in de oorspronkelijke vergelijking substitueren, krijgen we:

dx+2 zxdz = 0 .

Variabelen scheiden door te tellen

.

We integreren deze vergelijking term voor term

, waar

dat is
... Terugkeren naar de oude functie
een algemene oplossing vinden


Voorbeeld 3 . Vind de algemene oplossing van de vergelijking
.

Δ Transformatieketen: ,ja = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

College 8.

4. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde De lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde heeft de vorm

Hier is de vrije term, ook wel de rechterkant van de vergelijking genoemd. In deze vorm zullen we overwegen: lineaire vergelijking verder.

Als
0, dan wordt vergelijking (4.1a) lineair inhomogeen genoemd. Als
0, dan heeft de vergelijking de vorm

en wordt lineair homogeen genoemd.

De naam van vergelijking (4.1a) wordt verklaard door het feit dat de onbekende functie ja en zijn afgeleide voer het lineair in, d.w.z. in de eerste graad.

In een lineaire homogene vergelijking worden de variabelen gescheiden. Herschrijven als
waar
en integreren, krijgen we:
,die.

Wanneer gedeeld door we verliezen de oplossing
... Het kan echter worden opgenomen in de gevonden familie van oplossingen (4.3) als we aannemen dat: MET kan ook de waarde 0 aannemen.

Er zijn verschillende methoden om vergelijking (4.1a) op te lossen. Volgens Bernoulli-methode, wordt de oplossing gezocht in de vorm van een product van twee functies van x:

Een van deze functies kan willekeurig worden gekozen, omdat alleen het product uv moet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking, de andere wordt bepaald op basis van vergelijking (4.1a).

Als we beide zijden van gelijkheid differentiëren (4.4), vinden we:
.

De resulterende uitdrukking vervangen door de afgeleide en ook de waarde Bij in vergelijking (4.1a), verkrijgen we
, of

die. als een functie v we nemen de oplossing van de homogene lineaire vergelijking (4.6):

(Hier C zorg ervoor dat u schrijft, anders krijgt u geen algemene, maar een bijzondere oplossing).

We zien dus dat als resultaat van de gebruikte substitutie (4.4) vergelijking (4.1a) wordt gereduceerd tot twee vergelijkingen met scheidbare variabelen (4.6) en (4.7).

vervangen
en v(x) in formule (4.4), krijgen we uiteindelijk

,

.

Voorbeeld 1. Vind de algemene oplossing van de vergelijking

Zet
, dan
... Uitdrukkingen vervangen en in de oorspronkelijke vergelijking, krijgen we
of
(*)

Laten we de coëfficiënt at . gelijkstellen aan nul :

Als we de variabelen in de resulterende vergelijking scheiden, hebben we:


(willekeurige constante) C schrijf niet), vanaf hier v= x... Gevonden waarde v vervang in de vergelijking (*):

,
,
.

Vandaar,
algemene oplossing van de oorspronkelijke vergelijking.

Merk op dat de vergelijking (*) in een equivalente vorm kan worden geschreven:

.

Willekeurig een functie kiezen jij, maar niet v, we zouden kunnen geloven
... Deze oplossing verschilt van de oplossing die alleen wordt overwogen door te vervangen v op de jij(en daarom jij op de v), zodat de uiteindelijke waarde Bij blijkt hetzelfde te zijn.

Op basis van het bovenstaande verkrijgen we een algoritme voor het oplossen van een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde.

Merk verder op dat soms een eerste-orde vergelijking lineair wordt als Bij als een onafhankelijke variabele worden beschouwd, en x- afhankelijk, d.w.z. van rol veranderen x en ja... Dit kan op voorwaarde dat: x en dx voer de vergelijking lineair in.

Voorbeeld 2 . Los De vergelijking op
.

Qua uiterlijk is deze vergelijking niet lineair met betrekking tot de functie Bij.

Als we echter overwegen: x als functie van Bij, dan, gezien het feit dat
, het kan worden teruggebracht tot de vorm

(4.1 B)

vervangen op de , we krijgen
of
... Beide zijden van de laatste vergelijking delen door het product ydy, laten we het naar de vorm brengen

, of
. (**)

Hier P (y) =,
... Dit is een lineaire vergelijking met betrekking tot x... We geloven
,
... Als we deze uitdrukkingen in (**) substitueren, krijgen we

of
.

We kiezen v zodat
,
, waar
;
... Verder hebben we
,
,
.

Omdat
, dan komen we tot de algemene oplossing van deze vergelijking in de vorm

.

Merk op dat in vergelijking (4.1a) P(x) en Q (x) kan niet alleen worden ingevoerd in de vorm van functies van x, maar ook constanten: P= een,Q= B... Lineaire vergelijking

kan ook worden opgelost met de substitutie y = uv en het scheiden van variabelen:

;
.

Vanaf hier
;
;
; waar
... Als we ons bevrijden van de logaritme, krijgen we de algemene oplossing van de vergelijking

(hier
).

Bij B= 0 komen we bij de oplossing van de vergelijking

(zie de exponentiële groeivergelijking (2.4) voor
).

Eerst integreren we de overeenkomstige homogene vergelijking (4.2). Zoals hierboven aangegeven, heeft de oplossing de vorm (4.3). We zullen de factor overwegen: MET in (4.3) als functie van x, d.w.z. in wezen de variabele verandering doen

vanwaar, integrerend, vinden we

Merk op dat volgens (4.14) (zie ook (4.9)), de algemene oplossing van de inhomogene lineaire vergelijking gelijk is aan de som van de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking (4.3) en de specifieke oplossing van de inhomogene vergelijking bepaald door de tweede term in (4.14) (en in (4.9)).

Bij het oplossen van specifieke vergelijkingen moeten de bovenstaande berekeningen worden herhaald, in plaats van de omslachtige formule (4.14) te gebruiken.

We passen de Lagrange-methode toe op de vergelijking die wordt beschouwd in voorbeeld 1 :

.

We integreren de overeenkomstige homogene vergelijking
.

Als we de variabelen scheiden, krijgen we
en verder
... Een uitdrukking oplossen met een formule ja = Cx... We zoeken de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking in de vorm ja = C(x)x... Als we deze uitdrukking in de gegeven vergelijking substitueren, krijgen we
;
;
,
... De algemene oplossing van de oorspronkelijke vergelijking heeft de vorm

.

Concluderend merken we op dat de Bernoulli-vergelijking wordt gereduceerd tot een lineaire vergelijking

, ( )

die kan worden geschreven als

.

Vervanging
het wordt teruggebracht tot een lineaire vergelijking:

,
,
.

De vergelijkingen van Bernoulli worden ook opgelost met de bovenstaande methoden.

Voorbeeld 3 . Vind de algemene oplossing van de vergelijking
.

 Keten van transformaties:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Klaar antwoorden op voorbeelden voor homogene differentiaalvergelijkingen Veel studenten zijn op zoek naar de eerste orde (1e orde DP's zijn de meest voorkomende in het onderwijs), dan kun je ze in detail demonteren. Maar voordat u verdergaat met het overwegen van voorbeelden, raden we u aan het korte theoretische materiaal zorgvuldig te lezen.
Vergelijkingen van de vorm P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, waarbij de functies P (x, y) і Q (x, y) homogene functies van dezelfde orde zijn, worden genoemd homogene differentiaalvergelijking(ODR).

Schema voor het oplossen van een homogene differentiaalvergelijking

1. Eerst moet je de substitutie y = z * x toepassen, waarbij z = z (x) een nieuwe onbekende functie is (dus de oorspronkelijke vergelijking wordt gereduceerd tot een differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen.
2. De afgeleide van het product is gelijk aan y "= (z * x)" = z "* x + z * x" = z "* x + z of in differentiëlen dy = d (zx) = z * dx + x * dz.
3. Vervang vervolgens nieuwe functie y en zijn afgeleide y "(of dy) in DU met scheidbare variabelen met betrekking tot x en z.
4. Nadat we de differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen hebben opgelost, maken we de inverse vervanging y = z * x, dus z = y / x, en we krijgen algemene oplossing (algemene integraal) van een differentiaalvergelijking.
5. Indien ingesteld begintoestand y (x 0) = y 0, dan vinden we een bepaalde oplossing van het Cauchy-probleem. In theorie klinkt dit eenvoudig, maar in de praktijk is niet iedereen zo leuk in het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Overweeg daarom, om onze kennis te verdiepen, veelvoorkomende voorbeelden. Er is niet veel om je te leren over gemakkelijke taken, dus laten we meteen naar de moeilijkere gaan.

Berekeningen van homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Voorbeeld 1.

Oplossing: We delen de rechterkant van de vergelijking door de variabele, wat een factor is in de buurt van de afgeleide. Hierdoor komen we bij homogene differentiaalvergelijking van orde 0

En hier raakten misschien velen geïnteresseerd, hoe de volgorde van een functie van een homogene vergelijking te bepalen?
De vraag is relevant genoeg en het antwoord daarop is als volgt:
aan de rechterkant vervangen we de waarde t * x, t * y in plaats van de functie en het argument. Met vereenvoudiging wordt de parameter "t" tot op zekere hoogte k verkregen, wat de volgorde van de vergelijking wordt genoemd. In ons geval wordt "t" geannuleerd, wat overeenkomt met de 0e graad of de nulde orde van de homogene vergelijking.
Verder aan de rechterkant kunnen we naar de nieuwe variabele y = zx; z = y / x.
Vergeet tegelijkertijd niet om de afgeleide "y" uit te drukken in termen van de afgeleide van de nieuwe variabele. Volgens de regel van het deel vinden we

Differentiaalvergelijkingen zal de vorm aannemen

We annuleren de gezamenlijke voorwaarden aan de rechter- en linkerkant en gaan naar differentiaalvergelijking met gescheiden variabelen.

We zullen beide delen van de DE . integreren

Voor het gemak van verdere transformaties introduceren we onmiddellijk de constante onder de logaritme

Volgens de eigenschappen van logaritmen, de verkregen logaritmische vergelijking gelijk aan het volgende:

Dit bericht is nog geen oplossing (antwoord), het is noodzakelijk om terug te keren naar de uitgevoerde wijziging van variabelen

Dus vind algemene oplossing van differentiaalvergelijkingen... Als je de vorige lessen aandachtig hebt gelezen, zeiden we dat je het schema vrij moet kunnen gebruiken voor het berekenen van vergelijkingen met gescheiden variabelen en dat dit soort vergelijkingen moet worden berekend voor complexere typen DE.

Voorbeeld 2. Vind de integraal van een differentiaalvergelijking

Oplossing: U bent nu bekend met het schema voor het berekenen van homogene en gecombineerde DE's. Verplaats de variabele naar de rechterkant van de vergelijking, en ook in de teller en noemer, haal x 2 weg als een gemeenschappelijke factor

Zo verkrijgen we een homogene nulde-orde differentiaalvergelijking.
De volgende stap is om de verandering van variabelen z = y / x, y = z * x te introduceren, waar we je constant aan zullen herinneren, zodat je het kunt onthouden

Hierna schrijven we de DE in differentiëlen

Vervolgens transformeren we de afhankelijkheid naar differentiaalvergelijking met gescheiden variabelen

en we lossen het op door integratie.

De integralen zijn eenvoudig, de rest van de transformaties worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van de logaritme. De laatste stap omvat het blootleggen van de logaritme. Ten slotte gaan we terug naar de oorspronkelijke vervanging en schrijven in de vorm

Constante "C" kan elke waarde zijn. Iedereen die bij verstek studeert, heeft tijdens examens problemen met dit soort vergelijkingen, dus kijk goed naar het rekenschema en onthoud het.

Voorbeeld 3. Los differentiaalvergelijking op

Oplossing: Zoals uit de bovenstaande methodologie volgt, lossen differentiaalvergelijkingen van dit type op: door een nieuwe variabele in te voeren. Laten we de afhankelijkheid herschrijven zodat de afgeleide geen variabele heeft

Verder zien we, volgens de analyse van de rechterkant, dat er overal een deel is - het en we duiden het aan als een nieuwe onbekende
z = y / x, y = z * x.
Vind de afgeleide van y

Rekening houdend met de vervanging, herschrijven we de initiële DE in de vorm

We vereenvoudigen de identieke termen en reduceren alle ontvangen tot de DE met gescheiden variabelen

Door beide kanten van gelijkheid te integreren

we komen tot een oplossing in de vorm van logaritmen

Door de afhankelijkheden bloot te leggen, vinden we: algemene oplossing van een differentiaalvergelijking

die, na het vervangen van de initiële verandering van variabelen erin, de vorm aanneemt

Hier is C een constante die kan worden uitgebreid vanuit de Cauchy-conditie. Als het Cauchy-probleem niet gespecificeerd is, krijgt het een willekeurige reële waarde.
Dat is alle wijsheid bij het berekenen van homogene differentiaalvergelijkingen.

Ik denk dat we moeten beginnen met de geschiedenis van zo'n glorieus wiskundig hulpmiddel als differentiaalvergelijkingen. Zoals alle differentiaal- en integraalrekening, werden deze vergelijkingen aan het einde van de 17e eeuw uitgevonden door Newton. Hij vond zijn ontdekking zo belangrijk dat hij zelfs een bericht versleutelde dat tegenwoordig als volgt kan worden vertaald: "Alle natuurwetten worden beschreven door differentiaalvergelijkingen." Dit lijkt misschien overdreven, maar dat is het wel. Elke wet van natuurkunde, scheikunde en biologie kan worden beschreven door deze vergelijkingen.

De wiskundigen Euler en Lagrange hebben een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en totstandkoming van de theorie van differentiaalvergelijkingen. Al in de 18e eeuw ontdekten en ontwikkelden ze wat nu wordt bestudeerd in de hogere jaren van universiteiten.

Een nieuwe mijlpaal in de studie van differentiaalvergelijkingen begon dankzij Henri Poincaré. Hij creëerde de "kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen", die, in combinatie met de theorie van functies van een complexe variabele, een belangrijke bijdrage leverde aan de basis van de topologie - de wetenschap van de ruimte en zijn eigenschappen.

Wat zijn differentiaalvergelijkingen?

Velen zijn bang voor één zin. In dit artikel zullen we echter de hele essentie van dit zeer nuttige wiskundige apparaat in detail beschrijven, dat eigenlijk niet zo ingewikkeld is als de naam doet vermoeden. Om te beginnen praten over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, moet u eerst kennis maken met de basisconcepten die inherent zijn aan deze definitie. En we beginnen met het differentieel.

differentieel

Veel mensen kennen dit concept van school. Laten we er echter in meer detail op ingaan. Stel je een grafiek van een functie voor. We kunnen het zo vergroten dat elk segment ervan de vorm aanneemt van een rechte lijn. Daarop nemen we twee punten die oneindig dicht bij elkaar liggen. Het verschil tussen hun coördinaten (x of y) zal oneindig klein zijn. Het wordt het differentieel genoemd en wordt aangeduid met de tekens dy (differentieel van y) en dx (differentieel van x). Het is erg belangrijk om te begrijpen dat het differentieel geen eindige waarde is, en dit is zijn betekenis en hoofdfunctie.

En nu is het noodzakelijk om het volgende element te overwegen, dat nuttig voor ons zal zijn bij het uitleggen van het concept van een differentiaalvergelijking. Dit is een afgeleide.

Derivaat

We hebben dit concept waarschijnlijk allemaal op school gehoord. Men zegt dat de afgeleide de snelheid is waarmee een functie stijgt of daalt. Uit deze definitie wordt echter veel onbegrijpelijk. Laten we proberen de afgeleide uit te leggen in termen van differentiëlen. Laten we teruggaan naar het oneindig kleine segment van een functie met twee punten die op een minimale afstand van elkaar liggen. Maar zelfs voor deze afstand heeft de functie tijd om enigszins te veranderen. En om deze verandering te beschrijven en een afgeleide te bedenken, die anders kan worden geschreven als de verhouding van differentiëlen: f (x) "= df / dx.

Nu is het de moeite waard om de basiseigenschappen van het derivaat te overwegen. Er zijn er maar drie:

1. De afgeleide van de som of het verschil kan worden weergegeven als de som of het verschil van de afgeleiden: (a + b) "= a" + b "en (a-b)" = a "-b".
2. De tweede eigenschap heeft betrekking op vermenigvuldiging. De afgeleide van een product is de som van de producten van de ene functie door de afgeleide van een andere: (a * b) "= a" * b + a * b ".
3. De afgeleide van het verschil kan worden geschreven als de volgende gelijkheid: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b 2.

Al deze eigenschappen zullen voor ons nuttig zijn bij het vinden van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.

Er zijn ook partiële afgeleiden. Laten we zeggen dat we een functie z hebben die afhangt van de variabelen x en y. Om de partiële afgeleide van deze functie te berekenen, bijvoorbeeld met betrekking tot x, moeten we de variabele y als een constante nemen en alleen differentiëren.

Integraal

Een ander belangrijk begrip is de integraal. In feite is dit precies het tegenovergestelde van een afgeleide. Integralen zijn van verschillende typen, maar om de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen op te lossen, hebben we de meest triviale nodig

Dus, laten we zeggen dat we enige afhankelijkheid van f van x hebben. We nemen de integraal ervan en krijgen de functie F (x) (vaak de primitieve genoemd), waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Dus F (x) "= f (x). Hieruit volgt ook dat de integraal van de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het erg belangrijk om de betekenis en functie van de integraal te begrijpen, omdat je ze heel vaak zult moeten nemen om een ​​oplossing te vinden.

Vergelijkingen zijn verschillend afhankelijk van hun aard. In de volgende sectie zullen we kijken naar de soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, en dan zullen we leren hoe we ze kunnen oplossen.

Klassen van differentiaalvergelijkingen

"Diffures" worden verdeeld volgens de volgorde van de derivaten die ermee gemoeid zijn. Zo is er de eerste, tweede, derde en meer orde. Ze kunnen ook worden onderverdeeld in verschillende klassen: gewone en partiële afgeleiden.

In dit artikel zullen we kijken naar gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. In de volgende paragrafen zullen we ook voorbeelden bespreken en hoe u deze kunt oplossen. We zullen alleen ODE's beschouwen, omdat dit de meest voorkomende soorten vergelijkingen zijn. Gewone zijn onderverdeeld in ondersoorten: met scheidbare variabelen, homogeen en heterogeen. Vervolgens leer je hoe ze van elkaar verschillen en hoe je ze kunt oplossen.

Bovendien kunnen deze vergelijkingen worden gecombineerd, zodat we een stelsel van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde krijgen. We zullen ook dergelijke systemen overwegen en leren hoe ze op te lossen.

Waarom kijken we alleen naar de eerste bestelling? Omdat je eenvoudig moet beginnen, en het is gewoon onmogelijk om alles met betrekking tot differentiaalvergelijkingen in één artikel te beschrijven.

Scheidbare vergelijkingen

Dit zijn misschien wel de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Deze omvatten voorbeelden die als volgt kunnen worden geschreven: y "= f (x) * f (y). Om deze vergelijking op te lossen, hebben we een formule nodig om de afgeleide weer te geven als een verhouding van differentiëlen: y" = dy / dx. Als we het gebruiken, krijgen we de volgende vergelijking: dy / dx = f (x) * f (y). Nu kunnen we ons wenden tot de oplossingsmethode standaard voorbeelden: we zullen de variabelen in delen verdelen, dat wil zeggen, we zullen alles van de y-variabele overzetten naar het deel waar dy zich bevindt, en hetzelfde doen met de x-variabele. We krijgen een vergelijking van de vorm: dy / f (y) = f (x) dx, die wordt opgelost door integralen van beide delen te nemen. Vergeet de constante niet, die moet worden ingesteld na het nemen van de integraal.

De oplossing voor elke "diffusie" is een functie van de afhankelijkheid van x van y (in ons geval) of, als er een numerieke voorwaarde is, dan is het antwoord in de vorm van een getal. Laten we analyseren op specifiek voorbeeld het hele verloop van de oplossing:

We verplaatsen variabelen in verschillende richtingen:

Nu nemen we de integralen. Ze zijn allemaal te vinden in een speciale tabel met integralen. En we krijgen:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Indien nodig kunnen we "spel" uitdrukken als een functie van "x". Nu kunnen we zeggen dat onze differentiaalvergelijking is opgelost als de voorwaarde niet is gespecificeerd. Er kan een voorwaarde worden opgegeven, bijvoorbeeld y (n / 2) = e. Dan vervangen we eenvoudig de waarde van deze variabelen in de oplossing en vinden de waarde van de constante. In ons voorbeeld is het gelijk aan 1.

Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Laten we nu verder gaan met het moeilijkere deel. Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kunnen worden geschreven in algemeen beeld dus: y "= z (x, y). Opgemerkt moet worden dat de juiste functie van twee variabelen homogeen is en niet kan worden verdeeld in twee afhankelijkheden: z op x en z op y. Het is vrij eenvoudig om te controleren of de vergelijking is homogeen of niet: we maken de vervanging x = k * x en y = k * y. Nu annuleren we alle k. Als al deze letters zijn geannuleerd, dan is de vergelijking homogeen en kunnen we veilig beginnen met het oplossen ervan. Vooruitkijkend, laten we zeggen: het principe van het oplossen van deze voorbeelden is ook heel eenvoudig...

We moeten een vervanging maken: y = t (x) * x, waarbij t een functie is die ook van x afhangt. Dan kunnen we de afgeleide uitdrukken: y "= t" (x) * x + t. Door dit alles in onze oorspronkelijke vergelijking in te vullen en te vereenvoudigen, krijgen we een voorbeeld met scheidbare variabelen t en x. We lossen het op en krijgen de afhankelijkheid t (x). Wanneer we het krijgen, vervangen we eenvoudigweg y = t (x) * x in onze vorige vervanging. Dan krijgen we de afhankelijkheid van y van x.

Laten we, om het duidelijker te maken, naar een voorbeeld kijken: x * y "= y-x * e y / x.

Bij controle en vervanging wordt alles gereduceerd. Dit betekent dat de vergelijking echt homogeen is. Nu maken we nog een vervanging, waar we het over hadden: y = t (x) * x en y "= t" (x) * x + t (x). Na vereenvoudiging krijgen we de volgende vergelijking: t "(x) * x = -et. Los het resulterende voorbeeld op met gescheiden variabelen en krijg: e -t = ln (C * x). We hoeven alleen t te vervangen door y / x (immers, als y = t * x, dan t = y / x), en we krijgen het antwoord: e -y / x = ln (x * С).

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Het is tijd om een ​​ander breed onderwerp te overwegen. We zullen eerste orde inhomogene differentiaalvergelijkingen analyseren. Waarin verschillen ze van de vorige twee? Laten we het uitzoeken. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in algemene vorm kunnen als volgt worden geschreven: y "+ g (x) * y = z (x). Het is de moeite waard om te verduidelijken dat z (x) en g (x) constante waarden kunnen zijn.

En nu een voorbeeld: y "- y * x = x 2.

Er zijn twee manieren om dit op te lossen, en we zullen beide in volgorde bespreken. De eerste is de methode van variatie van willekeurige constanten.

Om de vergelijking op deze manier op te lossen, moet u eerst de rechterkant gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking oplossen, die na het overbrengen van de delen de vorm zal aannemen:

ln | y | = x 2/2 + C;

y = e x2 / 2 * y C = C 1 * e x2 / 2.

Nu moeten we de constante C 1 vervangen door de functie v (x), die we moeten vinden.

Laten we de afgeleide vervangen:

y "= v" * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.

En we vervangen deze uitdrukkingen in de oorspronkelijke vergelijking:

v "* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.

Links ziet u dat er twee termijnen vervallen. Als dit in een voorbeeld niet is gebeurd, dan heb je iets verkeerd gedaan. Laten we doorgaan:

v "* e x2 / 2 = x 2.

Nu lossen we de gebruikelijke vergelijking op waarin we de variabelen moeten scheiden:

dv / dx = x 2 / e x2 / 2;

dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.

Om de integraal te extraheren, moeten we hier partiële integratie toepassen. Dit is echter niet het onderwerp van ons artikel. Als je geïnteresseerd bent, kun je leren hoe je deze dingen zelf kunt doen. Het is niet moeilijk en met voldoende vaardigheid en aandacht kost het niet veel tijd.

Laten we eens kijken naar de tweede methode voor het oplossen van inhomogene vergelijkingen: de Bernoulli-methode. Welke aanpak sneller en gemakkelijker is, is aan jou.

Dus als we de vergelijking met deze methode oplossen, moeten we een substitutie maken: y = k * n. Hierin zijn k en n enkele x-afhankelijke functies. Dan ziet de afgeleide er als volgt uit: y "= k" * n + k * n "Vervang beide substituties in de vergelijking:

k "* n + k * n" + x * k * n = x 2.

Wij groeperen:

k "* n + k * (n" + x * n) = x 2.

Nu moeten we gelijkstellen aan nul wat tussen haakjes staat. Als je nu de twee resulterende vergelijkingen combineert, krijg je een stelsel van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde dat moet worden opgelost:

We lossen de eerste gelijkheid op als een gewone vergelijking. Om dit te doen, moet u de variabelen scheiden:

We nemen de integraal en krijgen: ln (n) = x 2/2. Als we dan n uitdrukken:

Nu vervangen we de resulterende gelijkheid in de tweede vergelijking van het systeem:

k "* e x2 / 2 = x 2.

En als we converteren, krijgen we dezelfde gelijkheid als bij de eerste methode:

dk = x 2 / e x2 / 2.

Verdere acties zullen we ook niet analyseren. Het moet gezegd worden dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde aanvankelijk aanzienlijke problemen veroorzaakt. Naarmate je echter dieper in het onderwerp duikt, begint het steeds beter te worden.

Waar worden differentiaalvergelijkingen gebruikt?

Differentiaalvergelijkingen worden zeer actief gebruikt in de natuurkunde, aangezien bijna alle basiswetten in differentiaalvorm zijn geschreven en de formules die we zien de oplossing van deze vergelijkingen zijn. In de scheikunde worden ze om dezelfde reden gebruikt: met hun hulp worden de basiswetten afgeleid. In de biologie worden differentiaalvergelijkingen gebruikt om het gedrag van systemen, zoals een roofdier-prooi, te modelleren. Ze kunnen ook worden gebruikt om kweekmodellen te maken voor bijvoorbeeld een microbiële kolonie.

Hoe kunnen differentiaalvergelijkingen je helpen in je leven?

Het antwoord op deze vraag is simpel: niets. Als u geen wetenschapper of ingenieur bent, is het onwaarschijnlijk dat ze nuttig voor u zijn. Voor algemene ontwikkeling kan het echter geen kwaad om te weten wat een differentiaalvergelijking is en hoe deze wordt opgelost. En dan de vraag van een zoon of dochter "wat is een differentiaalvergelijking?" zal je niet in verwarring brengen. Welnu, als je een wetenschapper of ingenieur bent, dan begrijp je zelf het belang van dit onderwerp in elke wetenschap. Maar het belangrijkste is dat nu de vraag "hoe een eerste-orde differentiaalvergelijking op te lossen?" je kunt altijd een antwoord geven. Mee eens, het is altijd fijn als je begrijpt wat mensen zelfs bang zijn om te begrijpen.

De belangrijkste problemen in de studie

Het grootste probleem bij het begrijpen van dit onderwerp is een slechte vaardigheid in het integreren en differentiëren van functies. Als je niet goed bent in het nemen van afgeleiden en integralen, dan is het waarschijnlijk de moeite waard om meer te leren, onder de knie te krijgen verschillende methoden integratie en differentiatie, en ga dan pas verder met de studie van het materiaal dat in het artikel werd beschreven.

Sommige mensen zijn verbaasd als ze ontdekken dat dx kan worden overgedragen, omdat eerder (op school) werd gezegd dat de breuk dy / dx ondeelbaar is. Hier moet je de literatuur over de afgeleide lezen en begrijpen dat het de verhouding van oneindig kleine hoeveelheden is die kan worden gemanipuleerd bij het oplossen van vergelijkingen.

Veel mensen realiseren zich niet meteen dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde vaak een functie of niet-triviale integraal is, en deze waanvoorstelling bezorgt hen veel problemen.

Wat kun je nog meer bestuderen voor een beter begrip?

Het is het beste om je verdere onderdompeling in de wereld van differentiaalrekening te beginnen met gespecialiseerde studieboeken, bijvoorbeeld in wiskundige analyse voor studenten van niet-wiskundige specialiteiten. Dan kun je doorstromen naar meer gespecialiseerde literatuur.

Het is de moeite waard om te zeggen dat er naast differentiaalvergelijkingen ook integraalvergelijkingen zijn, dus je zult altijd iets hebben om naar te streven en wat je moet bestuderen.

Gevolgtrekking

We hopen dat je na het lezen van dit artikel een idee hebt van wat differentiaalvergelijkingen zijn en hoe je ze correct kunt oplossen.

In ieder geval zal wiskunde op de een of andere manier nuttig voor ons zijn in het leven. Het ontwikkelt logica en aandacht, zonder welke elke persoon als geen handen is.

Momenteel wordt, volgens het basisniveau van wiskunde studeren, slechts 4 uur voorzien voor de studie van wiskunde op de middelbare school (2 uur algebra, 2 uur meetkunde). In landelijke kleine scholen proberen ze het aantal uren te verhogen ten koste van de schoolcomponent. Maar als de klas humanitair is, wordt de schoolcomponent toegevoegd aan de studie van onderwerpen van de humanitaire richting. In een klein dorp hoeft een scholier vaak niet te kiezen, hij studeert in die klas; wat de school heeft. Maar hij gaat geen advocaat, historicus of journalist worden (er zijn zulke gevallen), maar wil ingenieur of econoom worden, dus hij moet slagen voor het examen wiskunde voor hoge scores. Onder dergelijke omstandigheden moet de wiskundeleraar zijn weg uit deze situatie vinden, en bovendien wordt, volgens het leerboek van Kolmogorov, de studie van het onderwerp "homogene vergelijkingen" niet verstrekt. In de afgelopen jaren had ik twee dubbele lessen nodig om dit onderwerp te introduceren en te consolideren. Helaas verbood de audit van het onderwijstoezicht in ons land dubbele lessen op school, dus het aantal oefeningen moest worden teruggebracht tot 45 minuten en dienovereenkomstig werd de moeilijkheidsgraad van de oefeningen teruggebracht tot gemiddeld. Ik breng een lesoverzicht over dit onderwerp onder uw aandacht in klas 10 met: basislijn wiskunde studeren in een landelijke kleine complete school.

Lestype: traditioneel.

Doel: Leer typische homogene vergelijkingen op te lossen.

Taken:

Cognitief:

ontwikkelen:

Leerzaam:

• Het bevorderen van bedrijvigheid door het geduldig voltooien van opdrachten, een gevoel van kameraadschap door te werken in paren en groepen.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch fase(3 minuten)

II. Testen van de kennis die nodig is om nieuw materiaal onder de knie te krijgen (10 min.)

Identificeer de belangrijkste problemen bij de verdere analyse van de voltooide taken. De jongens voeren naar keuze 3 opties uit. Taken, gedifferentieerd naar moeilijkheidsgraad en paraatheid van de kinderen, gevolgd door een toelichting op het bord.

1e niveau... Los de vergelijkingen op:

1. 3 (x + 4) = 12,
2. 2 (x-15) = 2x-30
3. 5 (2-x) = - 3x-2 (x + 5)
4. x 2 -10x + 21 = 0 Antwoorden: 7; 3

2e niveau... Los de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen en de bikwadratische vergelijking op:

antwoorden:

b) x 4 -13x 3 + 36 = 0 Antwoorden: -2; 2; -3; 3

Niveau 3. Vergelijkingen oplossen door variabelen te veranderen:

b) x 6 -9x 3 + 8 = 0 Antwoorden:

III. Een onderwerp posten, doelen stellen.

Onderwerp: homogene vergelijkingen

Doel: leer typische homogene vergelijkingen op te lossen

Taken:

Cognitief:

• maak kennis met homogene vergelijkingen, leer hoe u de meest voorkomende typen van dergelijke vergelijkingen kunt oplossen.

ontwikkelen:

• Ontwikkeling van analytisch denken.
• Ontwikkeling van wiskundige vaardigheden: leer de belangrijkste kenmerken te benadrukken waardoor homogene vergelijkingen verschillen van andere vergelijkingen, in staat zijn om de overeenkomst van homogene vergelijkingen in hun verschillende verschijningsvormen vast te stellen.

IV. Assimilatie van nieuwe kennis (15 min.)

1. Lezingsmoment.

Definitie 1(We schrijven het op in een notitieboekje). Een vergelijking van de vorm P (x; y) = 0 wordt homogeen genoemd als P (x; y) een homogeen polynoom is.

Een polynoom in twee variabelen x en y wordt homogeen genoemd als de graad van elk van zijn termen gelijk is aan hetzelfde getal k.

definitie 2(Gewoon een introductie). Vergelijkingen van de vorm

heet een homogene vergelijking van graad n met betrekking tot u (x) en v (x). Door beide zijden van de vergelijking te delen door (v (x)) n, kunnen we, met behulp van de vervanging, de vergelijking verkrijgen

Waardoor je de oorspronkelijke vergelijking kunt vereenvoudigen. Het geval v (x) = 0 moet apart worden beschouwd, aangezien je niet kunt delen door 0.

2. Voorbeelden van homogene vergelijkingen:

Leg uit waarom ze homogeen zijn, geef je voorbeelden van dergelijke vergelijkingen.

3. De taak om homogene vergelijkingen te bepalen:

Bepaal onder de gegeven vergelijkingen homogene vergelijkingen en leg uw keuze uit:

Nadat ze hun keuze bij een van de voorbeelden hebben uitgelegd, laat je een manier zien om een ​​homogene vergelijking op te lossen:

4. Beslis zelf:

Antwoord:

b) 2sin x - 3 cos x = 0

Deel beide zijden van de vergelijking door cos x, we krijgen 2 tg x -3 = 0, tg x = ⅔, x = arctan⅔ +

5. Toon de oplossing voor het voorbeeld uit de brochure"PV Chulkov. Vergelijkingen en ongelijkheden in de school wiskunde cursus. Moskou Pedagogische Universiteit"1 september" 2006 p.22 ". Als een mogelijk voorbeeld GEBRUIK niveau MET.

V... Oplossen voor consolidatie volgens het leerboek van Bashmakov

pagina 183 nr. 59 (1.5) of volgens het leerboek uitgegeven door Kolmogorov: pagina 81 nr. 169 (a, c)

antwoorden:

VI. Test, zelfstandig werk (7 min.)

Optie 1	Optie 2
Los vergelijkingen op:
a) zonde 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x = 0	a) 3sin 2 x + 2sin x cos x-2cos 2 x = 0
b) cos 2 -3sin 2 = 0	B)

Antwoorden op taken:

Optie 1 a) Antwoord: arctg2 + πn, n € Z; b) Antwoord: ± π / 2 + 3πn, n € Z; v)

Optie 2 a) Antwoord: arctg (-1 ± 31/2) + πn, n € Z; b) Antwoord: -arctg3 + πn, 0.25π + πk,; c) (-5; -2); (5; 2)

Vii. Huiswerk

Nr. 169 volgens Kolmogorov, nr. 59 volgens Bashmakov.

2) 3sin 2 x + 2sin x cos x = 2 Hint: gebruik aan de rechterkant de trigonometrische basisidentiteit 2 (sin 2 x + cos 2 x)

Antwoord: arctan (-1 ± √3) + πn,

Referenties:

1. PV Chulkov. Vergelijkingen en ongelijkheden in de school wiskunde cursus. - M.: Pedagogische Universiteit "Eerste september", 2006. blz. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrie. - M.: "AST-PRESS", 1998, blz. 389
3. Algebra voor graad 8 bewerkt door N. Ya. Vilenkin. - M.: "Onderwijs", 1997.
4. Algebra voor graad 9 bewerkt door N. Ya. Vilenkin. Moskou "Onderwijs", 2001.
5. MI. Basjmakov. Algebra en het begin van analyse. Voor rangen 10-11 - M.: "Onderwijs" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra en het begin van analyse. Voor de groepen 10-11. - M.: "Onderwijs", 1990.
7. AG Mordkovitsj. Algebra en het begin van analyse. Deel 1 Leerboek cijfers 10-11. - M.: "Mnemosyne", 2004.