Logaritmische vergelijkingen met een onbekende basis zijn voorbeelden. Logaritmische vergelijking: basisformules en technieken

Invoering

De toename van de mentale belasting in wiskundelessen doet ons nadenken over hoe we de belangstelling van leerlingen voor de stof die wordt bestudeerd, hun activiteit gedurende de les kunnen behouden. In dit verband wordt gezocht naar nieuwe effectieve onderwijsmethoden en dergelijke methodologische technieken die het denken van studenten zouden activeren, zouden hen stimuleren om zelfstandig kennis op te doen.

De opkomst van belangstelling voor wiskunde bij een aanzienlijk aantal studenten hangt in grotere mate af van de methodologie van het onderwijs, van hoe vakkundig het educatieve werk zal worden opgebouwd. Tijdig de aandacht van studenten vestigen op wat wiskunde aan het bestuderen is algemene eigenschappen objecten en fenomenen van de omringende wereld, niet met objecten, maar met abstracte concepten omgaat, is het mogelijk om te begrijpen dat wiskunde de verbinding met de werkelijkheid niet verbreekt, maar het integendeel mogelijk maakt om deze dieper te bestuderen, om gegeneraliseerde theoretische conclusies trekken die in de praktijk veel worden gebruikt.

Deelname aan het festival van pedagogische ideeën "Open Les" 2004-2005 schooljaar, heb ik een lescollege gegeven over het onderwerp "Logaritmische functie" (diploma nr. 204044). Ik denk dat deze methode in dit specifieke geval het meest succesvol is. Als resultaat van het onderzoek hebben de studenten een gedetailleerde samenvatting en een korte schets van het onderwerp, waardoor ze zich gemakkelijker kunnen voorbereiden op de volgende lessen. In het bijzonder over het onderwerp "Oplossing van logaritmische vergelijkingen", dat volledig is gebaseerd op de studie logaritmische functie en zijn eigenschappen.

Bij het vormen van fundamentele wiskundige concepten is het belangrijk om bij studenten een idee te creëren over de opportuniteit van het introduceren van elk van hen en de mogelijkheid van hun toepassing. Hiervoor is het noodzakelijk dat bij het formuleren van de definitie van een concept, werkend aan de logische structuur, vragen worden gesteld over de geschiedenis van de opkomst van dit concept. Deze benadering zal studenten helpen te beseffen dat het nieuwe concept dient als een veralgemening van de feiten van de werkelijkheid.

De geschiedenis van de opkomst van logaritmen wordt in detail gepresenteerd in het werk van het afgelopen jaar.

Gezien het belang van continuïteit in het wiskundeonderwijs in een gespecialiseerde secundaire onderwijsinstelling en aan een universiteit en de noodzaak om hieraan te voldoen uniforme vereisten voor studenten, acht ik het gepast om de volgende methode te gebruiken om studenten vertrouwd te maken met het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

Vergelijkingen met een variabele onder het teken van de logaritme (in het bijzonder in de basis van de logaritme) worden genoemd logaritmisch. Overweeg logaritmische vergelijkingen van de vorm:

De oplossing van deze vergelijkingen is gebaseerd op de volgende stelling.

Stelling 1. De vergelijking is gelijk aan het systeem

(2)

Om vergelijking (1) op te lossen, volstaat het om de vergelijking op te lossen

en zijn oplossingen worden gesubstitueerd in het systeem van ongelijkheden

het definiëren van het domein van de definitie van vergelijking (1).

De wortels van vergelijking (1) zullen alleen die oplossingen van vergelijking (3) zijn die voldoen aan systeem (4), d.w.z. behoren tot het domein van de definitie van vergelijking (1).

Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen kan een uitbreiding van het definitiedomein (verwerving van vreemde wortels) of vernauwing (verlies van wortels) optreden. Daarom substitutie van de wortels van vergelijking (3) in systeem (4), d.w.z. verificatie van de oplossing is vereist.

Voorbeeld 1: los De vergelijking op

Oplossing:

beide betekenissen x voldoen aan de voorwaarden van het systeem.

Antwoord:

Beschouw vergelijkingen van de vorm:

Hun oplossing is gebaseerd op de volgende stelling:

Stelling 2: Vergelijking (5) is gelijk aan het systeem

(6)

De wortels van vergelijking (5) zijn alleen die wortels van de vergelijking die

behoren tot het domein van de definitie gegeven door de voorwaarden.

Een logaritmische vergelijking van de vorm (5) kan op verschillende manieren worden opgelost. Laten we de belangrijkste bekijken.

1. POTENTIFICATIE (toepassen van de eigenschappen van de logaritme).

Voorbeeld 2: los De vergelijking op

Oplossing: Op grond van Stelling 2 is deze vergelijking equivalent aan het systeem:

Laten we de vergelijking oplossen:

Slechts één wortel voldoet aan alle voorwaarden van het systeem. Antwoord:

2. DE DEFINITIE VAN DE LOGARITHM GEBRUIKEN .

Voorbeeld 3: Vinden x, als

Oplossing:

Betekenis x= 3 behoort tot het domein van de vergelijking. Antwoord x = 3

3. VERMINDERING NAAR EEN KWADRATISCHE VERGELIJKING.

Voorbeeld 4: los De vergelijking op

beide betekenissen x zijn de wortels van de vergelijking.

Antwoord:

4. LOGARITH.

Voorbeeld 5: los De vergelijking op

Oplossing: We nemen de logaritme van beide zijden van de vergelijking in grondtal 10 en passen de eigenschap "logaritme van graad" toe.

Beide wortels behoren tot het bereik van toegestane waarden van de logaritmische functie.

Antwoord: x = 0,1; x = 100

5. VERMINDERING NAAR ÉÉN BASIS.

Voorbeeld 6: los De vergelijking op

Laten we de formule gebruiken en geef in alle termen door aan de logaritme in grondtal 2:

Dan zal deze vergelijking de vorm aannemen:

Sinds , dan is dit de wortel van de vergelijking.

Antwoord: x = 16

Instructie

Schrijf de gegeven logaritmische uitdrukking op. Als de uitdrukking de logaritme van 10 gebruikt, wordt de notatie ervan verkort en ziet er als volgt uit: lg b is de decimale logaritme. Als de logaritme het getal e als grondtal heeft, dan wordt de uitdrukking geschreven: ln b is de natuurlijke logaritme. Het is duidelijk dat het resultaat van elke de macht is waartoe het grondtal moet worden verheven om het getal b te krijgen.

Als je twee functies uit de som vindt, hoef je ze alleen maar een voor een te onderscheiden en de resultaten op te tellen: (u+v)" = u"+v";

Bij het vinden van de afgeleide van het product van twee functies, is het noodzakelijk om de afgeleide van de eerste functie met de tweede te vermenigvuldigen en de afgeleide van de tweede functie op te tellen, vermenigvuldigd met de eerste functie: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Om de afgeleide van het quotiënt van twee functies te vinden, is het noodzakelijk om van het product van de afgeleide van het deeltal vermenigvuldigd met de delerfunctie het product van de afgeleide van de deler vermenigvuldigd met de delerfunctie af te trekken en te delen dit alles door de delerfunctie in het kwadraat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Als een complexe functie wordt gegeven, dan is het noodzakelijk om de afgeleide van de binnenste functie en de afgeleide van de buitenste te vermenigvuldigen. Zij y=u(v(x)), dan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Met behulp van het bovenstaande kunt u bijna elke functie onderscheiden. Laten we dus een paar voorbeelden bekijken:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Er zijn ook taken voor het berekenen van de afgeleide op een punt. Laat de functie y=e^(x^2+6x+5) gegeven worden, je moet de waarde van de functie vinden op het punt x=1.
1) Zoek de afgeleide van de functie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Bereken de waarde van de functie op het gegeven punt y"(1)=8*e^0=8

Gerelateerde video's

Nuttig advies

Leer de tabel van elementaire afgeleiden. Dit zal veel tijd besparen.

bronnen:

• constante afgeleide

Dus, wat is het verschil tussen? rationale vergelijking van rationeel? Als de onbekende variabele onder het teken staat vierkantswortel, dan wordt de vergelijking als irrationeel beschouwd.

Instructie

De belangrijkste methode voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen is de methode om beide delen te verhogen vergelijkingen tot een vierkant. Echter. dit is natuurlijk, de eerste stap is om van het teken af ​​te komen. Technisch gezien is deze methode niet moeilijk, maar soms kan het tot problemen leiden. Bijvoorbeeld de vergelijking v(2x-5)=v(4x-7). Door beide zijden te kwadrateren, krijg je 2x-5=4x-7. Zo'n vergelijking is niet moeilijk op te lossen; x=1. Maar de nummer 1 wordt niet gegeven vergelijkingen. Waarom? Vervang de eenheid in de vergelijking in plaats van de waarde x. En de rechter- en linkerkant zullen uitdrukkingen bevatten die niet logisch zijn, dat wil zeggen. Een dergelijke waarde is niet geldig voor een vierkantswortel. Daarom is 1 een vreemde wortel en daarom heeft deze vergelijking geen wortels.

Dus de irrationele vergelijking wordt opgelost met behulp van de methode van het kwadrateren van beide delen. En nadat de vergelijking is opgelost, moeten externe wortels worden afgesneden. Om dit te doen, vervangt u de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking.

Overweeg een andere.
2x+vx-3=0
Natuurlijk kan deze vergelijking worden opgelost met dezelfde vergelijking als de vorige. Verbindingen overbrengen vergelijkingen, die geen vierkantswortel hebben, naar de rechterkant en gebruik dan de kwadratuurmethode. los de resulterende rationale vergelijking en wortels op. Maar een andere, elegantere. Voer een nieuwe variabele in; vx=y. Dienovereenkomstig krijgt u een vergelijking als 2y2+y-3=0. Dat wil zeggen, de gebruikelijke kwadratische vergelijking. Vind zijn wortels; y1=1 en y2=-3/2. Los vervolgens twee op vergelijkingen vx=1; vx \u003d -3/2. De tweede vergelijking heeft geen wortels, uit de eerste vinden we dat x=1. Vergeet niet de noodzaak om de wortels te controleren.

Het oplossen van identiteiten is vrij eenvoudig. Dit vereist het maken van identieke transformaties totdat het doel is bereikt. Met behulp van de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen zal de taak dus worden opgelost.

Je zal nodig hebben

• - papier;
• - pen.

Instructie

De eenvoudigste dergelijke transformaties zijn algebraïsche verkorte vermenigvuldigingen (zoals het kwadraat van de som (verschil), het verschil van kwadraten, de som (verschil), de derde macht van de som (verschil)). Bovendien zijn er veel trigonometrische formules die in wezen dezelfde identiteiten hebben.

Inderdaad, het kwadraat van de som van twee termen is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus tweemaal het product van de eerste en de tweede plus het kwadraat van de tweede, dat wil zeggen, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereenvoudig beide

Algemene principes van oplossing

Herhaal vanuit een leerboek over wiskundige analyse of hogere wiskunde, wat een duidelijke integraal is. Zoals je weet, is de oplossing van een bepaalde integraal een functie waarvan de afgeleide een integrand geeft. Deze functie: wordt primitief genoemd. Door dit principe en de basisintegralen worden geconstrueerd.
Bepaal aan de hand van de vorm van de integrand welke van de tabelintegralen in dit geval geschikt is. Het is niet altijd mogelijk om dit direct vast te stellen. Vaak wordt de tabelvorm pas merkbaar na verschillende transformaties om de integrand te vereenvoudigen.

Variabele vervangingsmethode

Als de integrand een trigonometrische functie is waarvan het argument een polynoom is, probeer dan de methode voor het wijzigen van variabelen. Om dit te doen, vervangt u de polynoom in het argument van de integrand door een nieuwe variabele. Bepaal op basis van de verhouding tussen de nieuwe en oude variabele de nieuwe integratiegrenzen. Door deze uitdrukking te differentiëren, vind je een nieuw differentieel in . Zo ontvang je de nieuwe soort de voormalige integraal, dichtbij of zelfs overeenkomend met een tabel.

Oplossing van integralen van de tweede soort

Als de integraal een integraal is van de tweede soort, de vectorvorm van de integrand, dan moet je de regels gebruiken om van deze integralen naar scalaire integralen te gaan. Een van die regels is de Ostrogradsky-Gauss-ratio. Deze wet maakt het mogelijk om van de rotorstroom van een vectorfunctie over te gaan naar een drievoudige integraal over de divergentie van een bepaald vectorveld.

Substitutie van integratiegrenzen

Na het vinden van het antiderivaat, is het noodzakelijk om de limieten van integratie te vervangen. Vervang eerst de waarde van de bovengrens in de uitdrukking voor de primitieve. Je krijgt een nummer. Trek vervolgens van het resulterende getal een ander verkregen getal af ondergrens tot primitief. Als een van de integratielimieten oneindig is, dan is het bij het substitueren ervan in de antiderivaatfunctie noodzakelijk om naar de limiet te gaan en te vinden waar de uitdrukking naar neigt.
Als de integraal tweedimensionaal of driedimensionaal is, moet u de geometrische limieten van integratie weergeven om te begrijpen hoe u de integraal kunt berekenen. Immers, bij bijvoorbeeld een driedimensionale integraal kunnen de integratiegrenzen hele vlakken zijn die het te integreren volume begrenzen.

Met deze video begin ik aan een lange reeks lessen over logaritmische vergelijkingen. Nu heb je drie voorbeelden tegelijk, op basis waarvan we zullen leren de eenvoudigste taken op te lossen, die zo worden genoemd - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Laat me je eraan herinneren dat de eenvoudigste logaritmische vergelijking de volgende is:

log a f(x) = b

Het is belangrijk dat de variabele x alleen aanwezig is binnen het argument, dus alleen in de functie f(x). En de getallen a en b zijn gewoon getallen, en in geen geval zijn functies die de variabele x bevatten.

Basis oplossingsmethoden

Er zijn veel manieren om dergelijke structuren op te lossen. De meeste leraren op school stellen bijvoorbeeld deze manier voor: Druk onmiddellijk de functie f ( x ) uit met behulp van de formule F( x ) = een b. Dat wil zeggen, wanneer u de eenvoudigste constructie ontmoet, kunt u onmiddellijk doorgaan naar de oplossing zonder aanvullende acties en constructies.

Ja, natuurlijk, de beslissing zal correct blijken te zijn. Het probleem met deze formule is echter dat de meeste studenten begrijp ik niet, waar komt het vandaan en waarom precies verheffen we de letter a naar de letter b.

Daardoor zie ik vaak zeer beledigende fouten, bijvoorbeeld wanneer deze letters worden verwisseld. Deze formule moet ofwel worden begrepen of uit het hoofd worden geleerd, en de tweede methode leidt tot fouten op de meest ongelegen en meest cruciale momenten: bij examens, tests, enz.

Daarom raad ik al mijn leerlingen aan om de standaard schoolformule te verlaten en de tweede benadering te gebruiken om logaritmische vergelijkingen op te lossen, die, zoals je waarschijnlijk al geraden hebt uit de naam, wordt genoemd canonieke vorm.

Het idee van de canonieke vorm is eenvoudig. Laten we onze taak nog eens bekijken: aan de linkerkant hebben we log a , terwijl de letter a precies het getal betekent, en in geen geval de functie die de variabele x bevat. Daarom is deze letter onderworpen aan alle beperkingen die worden opgelegd op basis van de logaritme. namelijk:

1 ≠ a > 0

Aan de andere kant zien we uit dezelfde vergelijking dat de logaritme gelijk moet zijn aan het getal b, en er worden geen beperkingen opgelegd aan deze letter, omdat deze elke waarde kan aannemen - zowel positief als negatief. Het hangt allemaal af van welke waarden de functie f(x) aanneemt.

En hier herinneren we ons onze prachtige regel dat elk getal b kan worden weergegeven als een logaritme in grondtal a van a tot de macht van b:

b = log a a b

Hoe deze formule te onthouden? Ja, heel eenvoudig. Laten we de volgende constructie schrijven:

b = b 1 = b log a a

Natuurlijk ontstaan ​​in dit geval alle beperkingen die we in het begin hebben opgeschreven. En laten we nu de basiseigenschap van de logaritme gebruiken, en de factor b invoeren als de macht van a. We krijgen:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Als gevolg hiervan wordt de oorspronkelijke vergelijking in de volgende vorm herschreven:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Dat is alles. Nieuwe functie bevat geen logaritme meer en wordt opgelost met standaard algebraïsche technieken.

Natuurlijk zal iemand nu bezwaar maken: waarom was het überhaupt nodig om met een soort canonieke formule te komen, waarom twee extra onnodige stappen uitvoeren, als het mogelijk was om meteen van de oorspronkelijke constructie naar de definitieve formule te gaan? Ja, al was het maar omdat de meeste studenten niet begrijpen waar deze formule vandaan komt en daardoor regelmatig fouten maken bij het toepassen ervan.

Maar zo'n reeks acties, bestaande uit drie stappen, stelt je in staat om de oorspronkelijke logaritmische vergelijking op te lossen, zelfs als je niet begrijpt waar die uiteindelijke formule vandaan komt. Trouwens, dit item wordt de canonieke formule genoemd:

log a f(x) = log a a b

Het gemak van de canonieke vorm ligt ook in het feit dat het kan worden gebruikt om een ​​zeer brede klasse van logaritmische vergelijkingen op te lossen, en niet alleen de eenvoudigste die we vandaag overwegen.

Voorbeelden van oplossingen

En laten we nu eens kijken echte voorbeelden. Dus laten we beslissen:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Laten we het als volgt herschrijven:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Veel studenten hebben haast en proberen het getal 0,5 meteen te verhogen tot de macht die bij het oorspronkelijke probleem naar ons toe kwam. En inderdaad, als je al goed getraind bent in het oplossen van dergelijke problemen, kun je deze stap meteen uitvoeren.

Als u nu echter net begint met het bestuderen van dit onderwerp, is het beter om nergens heen te haasten om geen aanstootgevende fouten te maken. We hebben dus de canonieke vorm. We hebben:

3x - 1 = 0,5 -3

Dit is niet langer een logaritmische vergelijking, maar een lineaire met betrekking tot de variabele x. Om het op te lossen, behandelen we eerst het getal 0,5 tot de macht −3. Merk op dat 0,5 1/2 is.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alles decimalen converteren naar normaal wanneer u een logaritmische vergelijking oplost.

We herschrijven en krijgen:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Alles wat we kregen het antwoord. De eerste taak is opgelost.

Tweede taak

Laten we verder gaan met de tweede taak:

Zoals je kunt zien, is deze vergelijking niet langer de eenvoudigste. Al was het maar omdat het verschil links zit, en geen enkele logaritme in één grondtal.

Daarom moet je op de een of andere manier van dit verschil afkomen. In dit geval is alles heel eenvoudig. Laten we de basen eens nader bekijken: aan de linkerkant staat het getal onder de wortel:

Algemene aanbeveling: probeer in alle logaritmische vergelijkingen radicalen te verwijderen, dwz van records met wortels en schakel over naar machtsfuncties, simpelweg omdat de exponenten van deze machten gemakkelijk uit het teken van de logaritme kunnen worden gehaald en uiteindelijk zo'n notatie vereenvoudigt en versnelt berekeningen aanzienlijk. Laten we het zo schrijven:

Nu herinneren we ons de opmerkelijke eigenschap van de logaritme: zowel uit het argument als uit het grondtal kun je graden halen. Bij basen gebeurt het volgende:

log a k b = 1/k loga b

Met andere woorden, het getal dat in de graad van de basis stond, wordt naar voren gebracht en tegelijkertijd omgedraaid, dat wil zeggen, het wordt het omgekeerde van het getal. In ons geval was er een graad van basis met een indicator van 1/2. Daarom kunnen we het eruit halen als 2/1. We krijgen:

5 2 stam 5 x − stam 5 x = 18
10 stam 5 x − stam 5 x = 18

Let op: bij deze stap mag u in geen geval de logaritmen verwijderen. Denk terug aan wiskunde van groep 4-5 en de volgorde van bewerkingen: eerst wordt vermenigvuldigd en pas daarna worden optellen en aftrekken uitgevoerd. In dit geval trekken we één van dezelfde elementen af ​​van 10 elementen:

9 logboek 5 x = 18
log 5 x = 2

Nu ziet onze vergelijking eruit zoals het hoort. Deze eenvoudigste ontwerp, en we lossen het op met de canonieke vorm:

stam 5 x = stam 5 5 2
x = 5 2
x=25

Dat is alles. Het tweede probleem is opgelost.

derde voorbeeld

Laten we verder gaan met de derde taak:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Denk aan de volgende formule:

log b = log 10 b

Als u om de een of andere reden in de war raakt door lg b te schrijven, kunt u bij het uitvoeren van alle berekeningen eenvoudig log 10 b schrijven. U kunt op dezelfde manier met decimale logaritmen werken als met anderen: machten weghalen, optellen en elk getal weergeven als lg 10.

Het zijn precies deze eigenschappen die we nu zullen gebruiken om het probleem op te lossen, aangezien het niet de eenvoudigste is die we aan het begin van onze les hebben opgeschreven.

Merk om te beginnen op dat de factor 2 vóór lg 5 kan worden ingevoegd en een macht van grondtal 5 wordt. Bovendien kan de vrije term 3 ook worden weergegeven als een logaritme - dit is heel gemakkelijk waar te nemen vanuit onze notatie.

Oordeel zelf: elk getal kan worden weergegeven als log naar grondtal 10:

3 = stam 10 10 3 = stam 10 3

Laten we het oorspronkelijke probleem herschrijven, rekening houdend met de ontvangen wijzigingen:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Voor ons is opnieuw de canonieke vorm, en we hebben deze verkregen zonder het stadium van transformaties te omzeilen, d.w.z. de eenvoudigste logaritmische vergelijking kwam nergens bij ons voor.

Dat is waar ik het aan het begin van de les over had. De canonieke vorm maakt het mogelijk een bredere klasse van problemen op te lossen dan de standaard schoolformule, die door de meeste schoolleraren wordt gegeven.

Dat is alles, weg met het teken decimale logaritme, en we krijgen een eenvoudige lineaire constructie:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Alles! Probleem opgelost.

Een opmerking over het bereik

Hier zou ik willen brengen belangrijke notitie over de reikwijdte. Nu zijn er zeker studenten en docenten die zullen zeggen: "Als we uitdrukkingen met logaritmen oplossen, is het absoluut noodzakelijk om te onthouden dat het argument f (x) groter dan nul moet zijn!" In dit verband rijst een logische vraag: waarom hebben we in geen van de beschouwde problemen geëist dat aan deze ongelijkheid wordt voldaan?

Geen zorgen. In deze gevallen zullen er geen extra wortels verschijnen. En dit is nog een geweldige truc waarmee je de oplossing kunt versnellen. Weet alleen dat als in het probleem de variabele x slechts op één plaats voorkomt (of liever, in het enige argument van de enige echte logaritme), en nergens anders in ons geval de variabele x, schrijf dan het domein niet nodig omdat het automatisch wordt uitgevoerd.

Oordeel zelf: in de eerste vergelijking hebben we dat 3x - 1, d.w.z. het argument moet gelijk zijn aan 8. Dit betekent automatisch dat 3x - 1 groter is dan nul.

Met hetzelfde succes kunnen we schrijven dat in het tweede geval x gelijk moet zijn aan 5 2, d.w.z. het is zeker groter dan nul. En in het derde geval, waar x + 3 = 25.000, d.w.z. opnieuw duidelijk groter dan nul. Met andere woorden, het bereik is automatisch, maar alleen als x alleen voorkomt in het argument van slechts één logaritme.

Dat is alles wat u moet weten om eenvoudige problemen op te lossen. Deze regel alleen, samen met de transformatieregels, stelt u in staat een zeer brede reeks problemen op te lossen.

Maar laten we eerlijk zijn: om deze techniek eindelijk te begrijpen, om de canonieke vorm van de logaritmische vergelijking toe te passen, volstaat het niet om slechts één videoles te bekijken. Dus download nu de opties voor onafhankelijke beslissing, die bij deze videozelfstudie zijn gevoegd en begin met het oplossen van ten minste één van deze twee onafhankelijke werken.

Het kost u slechts een paar minuten. Maar het effect van zo'n training zal veel groter zijn in vergelijking met het bekijken van deze video-tutorial.

Ik hoop dat deze les je zal helpen logaritmische vergelijkingen te begrijpen. Pas de canonieke vorm toe, vereenvoudig uitdrukkingen met behulp van de regels voor het werken met logaritmen - en u zult niet bang zijn voor taken. En dat is alles wat ik heb voor vandaag.

Reikwijdteoverweging

Laten we het nu hebben over het domein van de logaritmische functie en hoe dit de oplossing van logaritmische vergelijkingen beïnvloedt. Overweeg een constructie van het formulier

log a f(x) = b

Zo'n uitdrukking wordt de eenvoudigste genoemd - hij heeft maar één functie, en de getallen a en b zijn gewoon getallen, en zijn in geen geval een functie die afhangt van de variabele x. Het is heel simpel opgelost. Je hoeft alleen de formule te gebruiken:

b = log a a b

Deze formule is een van de belangrijkste eigenschappen van de logaritme, en bij het substitueren in onze oorspronkelijke uitdrukking krijgen we het volgende:

log a f(x) = log a a b

f(x) = een b

Dit is al een bekende formule uit schoolboeken. Veel studenten zullen waarschijnlijk een vraag hebben: aangezien de functie f ( x ) in de originele uitdrukking onder het log-teken staat, worden de volgende beperkingen opgelegd:

f(x) > 0

Deze beperking is geldig omdat de logaritme van negatieve getallen niet bestaat. Dus misschien moet u vanwege deze beperking een controle op antwoorden invoeren? Misschien moeten ze in de bron worden vervangen?

Nee, in de eenvoudigste logaritmische vergelijkingen is een extra controle niet nodig. En dat is waarom. Bekijk onze definitieve formule:

f(x) = een b

Feit is dat het getal a in ieder geval groter is dan 0 - deze eis wordt ook gesteld door de logaritme. Het getal a is de basis. In dit geval worden er geen beperkingen gesteld aan het nummer b. Maar dit maakt niet uit, want in welke mate we een positief getal ook verhogen, we krijgen nog steeds een positief getal aan de uitgang. Aan de eis f (x) > 0 wordt dus automatisch voldaan.

Wat echt de moeite waard is om te controleren, is de reikwijdte van de functie onder het log-teken. Er kunnen behoorlijk complexe ontwerpen zijn en tijdens het oplossen ervan moet je ze zeker volgen. Laten we eens kijken.

Eerste taak:

Eerste stap: converteer de breuk aan de rechterkant. We krijgen:

We verwijderen het teken van de logaritme en krijgen de gebruikelijke irrationele vergelijking:

Van de verkregen wortels past alleen de eerste bij ons, aangezien de tweede wortel kleiner is dan nul. Het enige antwoord is het cijfer 9. Dat is het, het probleem is opgelost. Er zijn geen aanvullende controles nodig dat de uitdrukking onder het logaritmeteken groter is dan 0, omdat het niet alleen groter is dan 0, maar door de voorwaarde van de vergelijking gelijk is aan 2. Daarom wordt de vereiste "groter dan nul" automatisch tevreden.

Laten we verder gaan met de tweede taak:

Alles is hetzelfde hier. We herschrijven de constructie en vervangen de triple:

We verwijderen de tekens van de logaritme en krijgen een irrationele vergelijking:

We kwadrateren beide delen, rekening houdend met de beperkingen, en we krijgen:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

We lossen de resulterende vergelijking op via de discriminant:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Maar x = −6 past niet bij ons, want als we dit getal vervangen door onze ongelijkheid, krijgen we:

−6 + 4 = −2 < 0

In ons geval is het vereist dat het groter is dan 0 of, in extreme gevallen, gelijk is. Maar x = −1 past bij ons:

−1 + 4 = 3 > 0

Het enige antwoord in ons geval is x = -1. Dat is de enige oplossing. Laten we teruggaan naar het allereerste begin van onze berekeningen.

De belangrijkste conclusie van deze les is dat het niet nodig is om de limieten voor een functie in de eenvoudigste logaritmische vergelijkingen te controleren. Omdat tijdens het oplossen van alle beperkingen automatisch worden uitgevoerd.

Dit betekent echter geenszins dat u verificatie helemaal kunt vergeten. Tijdens het werken aan een logaritmische vergelijking, kan het heel goed een irrationele vergelijking worden, die zijn eigen beperkingen en vereisten voor de rechterkant zal hebben, die we vandaag in twee verschillende voorbeelden hebben gezien.

Voel je vrij om dergelijke problemen op te lossen en wees vooral voorzichtig als er een wortel in het argument zit.

Logaritmische vergelijkingen met verschillende basen

We blijven logaritmische vergelijkingen bestuderen en analyseren nog twee nogal interessante trucs waarmee het in de mode is om meer op te lossen complexe structuren. Maar laten we eerst onthouden hoe de eenvoudigste taken worden opgelost:

log a f(x) = b

In deze notatie zijn a en b gewoon getallen, en in de functie f (x) moet de variabele x aanwezig zijn, en alleen daar, dat wil zeggen, x mag alleen in het argument voorkomen. We zullen dergelijke logaritmische vergelijkingen transformeren met behulp van de canonieke vorm. Hiervoor merken we op dat:

b = log a a b

En een b is slechts een argument. Laten we deze uitdrukking als volgt herschrijven:

log a f(x) = log a a b

Dit is precies wat we proberen te bereiken, zodat er zowel links als rechts een logaritme is met het grondtal a. In dit geval kunnen we, figuurlijk gesproken, de tekens van log schrappen, en vanuit het oogpunt van wiskunde kunnen we zeggen dat we eenvoudig de argumenten gelijkstellen:

f(x) = een b

Als resultaat krijgen we een nieuwe uitdrukking die veel gemakkelijker zal worden opgelost. Laten we deze regel toepassen op onze taken van vandaag.

Dus het eerste ontwerp:

Allereerst merk ik op dat er rechts een breuk is, waarvan de noemer log is. Als je een uitdrukking als deze ziet, is het de moeite waard om de prachtige eigenschap van logaritmen te onthouden:

Vertaald in het Russisch betekent dit dat elke logaritme kan worden weergegeven als een quotiënt van twee logaritmen met elk grondtal c. Natuurlijk, 0< с ≠ 1.

Dus: deze formule heeft er een prachtig speciaal geval wanneer de variabele c gelijk is aan de variabele B. In dit geval krijgen we een constructie van de vorm:

Het is deze constructie die we waarnemen vanaf het teken rechts in onze vergelijking. Laten we deze constructie vervangen door log a b , we krijgen:

Met andere woorden, in vergelijking met de oorspronkelijke taak hebben we het argument en de basis van de logaritme verwisseld. In plaats daarvan moesten we de breuk omdraaien.

We herinneren ons dat elke graad uit de basis kan worden gehaald volgens de volgende regel:

Met andere woorden, de coëfficiënt k, die de graad van het grondtal is, wordt eruit gehaald als een omgekeerde breuk. Laten we het eruit halen als een omgekeerde breuk:

De fractionele factor kan niet vooraan worden gelaten, omdat we in dit geval deze invoer niet als canonieke vorm kunnen weergeven (in de canonieke vorm staat er immers geen extra factor vóór de tweede logaritme). Laten we daarom de breuk 1/4 in het argument plaatsen als een macht:

Nu stellen we de argumenten gelijk waarvan de basissen hetzelfde zijn (en we hebben echt dezelfde basissen), en schrijven:

x + 5 = 1

x = −4

Dat is alles. We hebben het antwoord op de eerste logaritmische vergelijking. Let op: in het oorspronkelijke probleem komt de variabele x slechts in één log voor, en het is in zijn argument. Daarom is het niet nodig om het domein te controleren, en ons getal x = −4 is inderdaad het antwoord.

Laten we nu verder gaan met de tweede uitdrukking:

stam 56 = stam 2 stam 2 7 − 3 stam (x + 4)

Hier zullen we, naast de gebruikelijke logaritmen, met lg f (x) moeten werken. Hoe een dergelijke vergelijking op te lossen? Het lijkt misschien voor een onvoorbereide student dat dit een soort blik is, maar in feite is alles elementair opgelost.

Kijk eens goed naar de term lg 2 log 2 7. Wat kunnen we erover zeggen? De bases en argumenten van log en lg zijn hetzelfde, en dit zou enkele aanwijzingen moeten geven. Laten we nog eens onthouden hoe de graden onder het teken van de logaritme vandaan worden gehaald:

log a b n = nlog a b

Met andere woorden, wat was de macht van het getal b in het argument, wordt een factor voor log zelf. Laten we deze formule toepassen op de uitdrukking lg 2 log 2 7. Wees niet bang voor lg 2 - dit is de meest voorkomende uitdrukking. Je kunt het als volgt herschrijven:

Voor hem zijn alle regels die van toepassing zijn op een andere logaritme geldig. Met name de factor vooraan kan in de kracht van het argument worden geïntroduceerd. Laten we schrijven:

Heel vaak zien studenten deze actie niet, omdat het niet goed is om het ene logboek onder het teken van een ander te zetten. In feite is hier niets crimineels aan. Bovendien krijgen we een formule die gemakkelijk te berekenen is als je een belangrijke regel herinnert:

Deze formule kan zowel als een definitie als als een van zijn eigenschappen worden beschouwd. In ieder geval, als je een logaritmische vergelijking converteert, zou je deze formule op dezelfde manier moeten kennen als de weergave van een willekeurig getal in de vorm van log.

We keren terug naar onze taak. We herschrijven het, rekening houdend met het feit dat de eerste term rechts van het gelijkteken gewoon gelijk zal zijn aan lg 7. We hebben:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Laten we LG 7 naar links verplaatsen, we krijgen:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

We trekken de uitdrukkingen aan de linkerkant af omdat ze hetzelfde grondtal hebben:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

Laten we nu de vergelijking die we hebben eens nader bekijken. Het is praktisch de canonieke vorm, maar er is een factor −3 aan de rechterkant. Laten we het in het juiste lg-argument plaatsen:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Voor ons is de canonieke vorm van de logaritmische vergelijking, dus we schrappen de tekens van lg en stellen de argumenten gelijk:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Dat is alles! We hebben de tweede logaritmische vergelijking opgelost. In dit geval zijn er geen extra controles nodig, omdat in de oorspronkelijke opgave x in slechts één argument aanwezig was.

Ik zal weer een lijst maken belangrijkste punten deze les.

De belangrijkste formule die wordt bestudeerd in alle lessen op deze pagina die zijn gewijd aan het oplossen van logaritmische vergelijkingen, is de canonieke vorm. En laat je niet afschrikken door het feit dat de meeste schoolboeken je leren hoe je dit soort problemen anders kunt oplossen. Deze tool werkt zeer efficiënt en stelt je in staat een veel bredere klasse van problemen op te lossen dan de eenvoudigste die we aan het begin van onze les hebben bestudeerd.

Om logaritmische vergelijkingen op te lossen, is het bovendien handig om de basiseigenschappen te kennen. Namelijk:

1. De formule om naar één basis te gaan en een speciaal geval wanneer we het logboek omdraaien (dit was erg handig voor ons in de eerste taak);
2. De formule voor het in- en uitschakelen van krachten onder het teken van de logaritme. Hier lopen veel studenten vast en zien niet direct dat de uitgenomen en ingebrachte stroom zelf log f(x) kan bevatten. Daar is niets mis mee. We kunnen een log invoeren volgens het teken van een ander en tegelijkertijd de oplossing van het probleem aanzienlijk vereenvoudigen, wat we in het tweede geval waarnemen.

Tot slot zou ik willen toevoegen dat het niet nodig is om de scope in elk van deze gevallen te controleren, omdat de variabele x overal aanwezig is in slechts één teken van log, en tegelijkertijd in zijn argument. Als gevolg hiervan wordt automatisch aan alle domeinvereisten voldaan.

Problemen met variabele basis

Vandaag zullen we logaritmische vergelijkingen bekijken, die voor veel studenten niet-standaard lijken, zo niet volledig onoplosbaar. Het gaat over over uitdrukkingen die niet gebaseerd zijn op getallen, maar op variabelen en zelfs functies. We zullen dergelijke constructies oplossen met behulp van onze standaardtechniek, namelijk via de canonieke vorm.

Laten we om te beginnen eens kijken hoe de eenvoudigste problemen worden opgelost, die gebaseerd zijn op gewone getallen. Dus de eenvoudigste constructie heet

log a f(x) = b

Om dergelijke problemen op te lossen, kunnen we de volgende formule gebruiken:

b = log a a b

We herschrijven onze oorspronkelijke uitdrukking en krijgen:

log a f(x) = log a a b

Dan stellen we de argumenten gelijk, d.w.z. we schrijven:

f(x) = een b

Zo verwijderen we het log-teken en lossen we het gebruikelijke probleem op. In dit geval zijn de wortels die in de oplossing worden verkregen, de wortels van de oorspronkelijke logaritmische vergelijking. Bovendien wordt het record, wanneer zowel links als rechts op dezelfde logaritme met hetzelfde grondtal staan, de canonieke vorm genoemd. Het is naar dit record dat we zullen proberen de constructies van vandaag te verminderen. Dus laten we gaan.

Eerste taak:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Vervang 1 door log x − 2 (x − 2) 1 . De mate die we in de redenering waarnemen is in feite het getal b , dat rechts van het gelijkteken stond. Dus laten we onze uitdrukking herschrijven. We krijgen:

stam x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = stam x - 2 (x - 2)

Wat zien we? Voor ons is de canonieke vorm van de logaritmische vergelijking, dus we kunnen de argumenten veilig gelijkstellen. We krijgen:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Maar daar houdt de oplossing niet op, want deze vergelijking is niet gelijk aan de oorspronkelijke. De resulterende constructie bestaat immers uit functies die op de gehele getallenlijn zijn gedefinieerd, en onze oorspronkelijke logaritmen zijn niet overal en niet altijd gedefinieerd.

Daarom moeten we het domein van de definitie apart opschrijven. Laten we niet wijzer zijn en eerst alle vereisten opschrijven:

Ten eerste moet het argument van elk van de logaritmen groter zijn dan 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Ten tweede moet het grondtal niet alleen groter zijn dan 0, maar ook verschillen van 1:

x − 2 ≠ 1

Als resultaat krijgen we het systeem:

Maar wees niet gealarmeerd: bij het verwerken van logaritmische vergelijkingen kan zo'n systeem sterk worden vereenvoudigd.

Oordeel zelf: aan de ene kant moeten we de kwadratische functie groter dan nul hebben, en aan de andere kant wordt deze kwadratische functie gelijkgesteld aan een bepaalde lineaire uitdrukking, die ook vereist is dat deze groter is dan nul.

In dit geval, als we eisen dat x − 2 > 0, dan wordt automatisch voldaan aan de eis 2x 2 − 13x + 18 > 0. Daarom kunnen we veilig de ongelijkheid wegstrepen die kwadratische functie. Het aantal uitdrukkingen in ons systeem wordt dus teruggebracht tot drie.

We kunnen natuurlijk net zo goed doorstrepen lineaire ongelijkheid, d.w.z. doorstrepen x − 2 > 0 en vereisen dat 2x 2 − 13x + 18 > 0. Maar je moet het ermee eens zijn dat het veel sneller en gemakkelijker is om de eenvoudigste lineaire ongelijkheid op te lossen dan dit systeem, we krijgen dezelfde wortels.

Probeer in het algemeen berekeningen waar mogelijk te optimaliseren. En in het geval van logaritmische vergelijkingen, streep de moeilijkste ongelijkheden door.

Laten we ons systeem herschrijven:

Hier is zo'n systeem van drie uitdrukkingen, waarvan we er in feite al twee hebben bedacht. Laten we de kwadratische vergelijking afzonderlijk uitschrijven en oplossen:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Voor ons staat een gereduceerde vierkante trinominaal en daarom kunnen we de Vieta-formules gebruiken. We krijgen:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nu, terug naar ons systeem, vinden we dat x = 2 niet bij ons past, omdat we x strikt groter dan 2 moeten hebben.

Maar x \u003d 5 past heel goed bij ons: het getal 5 is groter dan 2 en tegelijkertijd is 5 niet gelijk aan 3. Daarom is de enige oplossing voor dit systeem x \u003d 5.

Alles, de taak is opgelost, ook rekening houdend met de ODZ. Laten we verder gaan met de tweede vergelijking. Hier wachten we op meer interessante en zinvolle berekeningen:

De eerste stap: net als de vorige keer brengen we al deze zaken in een canonieke vorm. Om dit te doen, kunnen we het getal 9 als volgt schrijven:

De basis met de wortel kan niet worden aangeraakt, maar het is beter om het argument te transformeren. Laten we van de wortel naar de macht gaan met een rationele exponent. Laten we schrijven:

Laat me onze hele grote logaritmische vergelijking niet herschrijven, maar meteen de argumenten gelijkstellen:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Voor ons is de opnieuw gereduceerde vierkante trinominaal, we zullen de Vieta-formules gebruiken en schrijven:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Dus we hebben de wortels, maar niemand garandeerde ons dat ze in de oorspronkelijke logaritmische vergelijking zouden passen. Log-tekens leggen immers extra beperkingen op (hier zouden we het systeem moeten opschrijven, maar vanwege de omslachtigheid van de hele constructie heb ik besloten om het definitiedomein apart te berekenen).

Bedenk allereerst dat de argumenten groter dan 0 moeten zijn, namelijk:

Dit zijn de eisen die het domein van de definitie stelt.

We merken meteen op dat, aangezien we de eerste twee uitdrukkingen van het systeem aan elkaar gelijkstellen, we ze allemaal kunnen doorstrepen. Laten we de eerste doorstrepen omdat deze er dreigender uitziet dan de tweede.

Merk bovendien op dat de oplossingen van de tweede en derde ongelijkheden dezelfde verzamelingen zullen zijn (de derde macht van een getal is groter dan nul, als dit getal zelf groter is dan nul; op dezelfde manier als de wortel van de derde graad - deze ongelijkheden zijn volledig vergelijkbaar, dus een van hen kunnen we doorstrepen).

Maar met de derde ongelijkheid zal dit niet werken. Laten we het teken van de radicaal aan de linkerkant weglaten, waarvoor we beide delen tot een kubus verheffen. We krijgen:

We krijgen dus de volgende eisen:

−2 ≠ x > −3

Welke van onze wortels: x 1 = -3 of x 2 = -1 voldoet aan deze eisen? Uiteraard geldt alleen x = −1, want x = −3 voldoet niet aan de eerste ongelijkheid (omdat onze ongelijkheid strikt is). In totaal, terugkerend naar ons probleem, krijgen we één wortel: x = -1. Dat is het, probleem opgelost.

Nogmaals, de belangrijkste punten van deze taak:

1. Voel je vrij om logaritmische vergelijkingen toe te passen en op te lossen met behulp van de canonieke vorm. Studenten die een dergelijke notatie maken, in plaats van direct van het oorspronkelijke probleem naar een constructie zoals log a f (x ) = b te gaan, laten veel minder fouten dan degenen die ergens haast hebben en tussenstappen van berekeningen overslaan;
2. Zodra een variabele basis in de logaritme verschijnt, is het probleem niet meer het eenvoudigst. Daarom moet bij het oplossen ervan rekening worden gehouden met het definitiedomein: de argumenten moeten groter zijn dan nul en de basen moeten niet alleen groter zijn dan 0, maar ze mogen ook niet gelijk zijn aan 1.

De laatste eisen kunt u op verschillende manieren aan de definitieve antwoorden stellen. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een ​​heel systeem op te lossen met alle domeinvereisten. Aan de andere kant kun je eerst het probleem zelf oplossen, en dan het domein van de definitie onthouden, het afzonderlijk in de vorm van een systeem uitwerken en toepassen op de verkregen wortels.

Welke manier u kiest bij het oplossen van een bepaalde logaritmische vergelijking, is aan u. Het antwoord zal in ieder geval hetzelfde zijn.

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee in contact te komen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, acties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en berichten te sturen.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures, en/of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is om veiligheidsredenen, wetshandhaving of andere redenen van algemeen belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.

Veel studenten lopen vast bij dit soort vergelijkingen. Tegelijkertijd zijn de taken zelf geenszins ingewikkeld - het is voldoende om een ​​competente variabelevervanging uit te voeren, waarvoor u moet leren stabiele uitdrukkingen te isoleren.

Naast deze les vind je een vrij omvangrijk zelfstandig werk, bestaande uit twee opties met elk 6 taken.

Groeperingsmethode:

Vandaag zullen we twee logaritmische vergelijkingen analyseren, waarvan er één niet "overal" kan worden opgelost en speciale transformaties vereist, en de tweede ... ik zal echter niet alles tegelijk vertellen. Bekijk de video, download zelfstandig werk - en leer complexe problemen op te lossen.

Dus groeperen en de gemeenschappelijke factoren uit de beugel halen. Daarnaast zal ik je vertellen welke valkuilen het domein van de definitie van logaritmen met zich meebrengt, en hoe kleine opmerkingen over het domein van definities zowel de wortels als de hele oplossing aanzienlijk kunnen veranderen.

Laten we beginnen met de groepering. We moeten de volgende logaritmische vergelijking oplossen:

stam 2 x stam 2 (x − 3) + 1 = stam 2 (x 2 − 3x )

Allereerst merken we op dat x 2 − 3x kan worden ontbonden:

stam 2 x (x − 3)

Dan herinneren we ons de prachtige formule:

log a fg = log a f + log a g

Meteen een kleine opmerking: deze formule werkt prima als a, f en g gewone getallen zijn. Maar als er in plaats daarvan functies zijn, zijn deze uitdrukkingen niet langer gelijk in rechten. Stel je deze hypothetische situatie voor:

F< 0; g < 0

In dit geval zal het product fg positief zijn, dus log a ( fg ) zal bestaan, maar log a f en log a g zullen niet afzonderlijk bestaan, en we zullen zo'n transformatie niet kunnen uitvoeren.

Het negeren van dit gegeven leidt tot een vernauwing van het definitiedomein en daarmee tot het verlies van wortels. Daarom is het voor het uitvoeren van een dergelijke transformatie noodzakelijk om er van tevoren zeker van te zijn dat de functies f en g positief zijn.

In ons geval is alles eenvoudig. Aangezien er een functie log 2 x in de oorspronkelijke vergelijking zit, dan is x > 0 (de variabele x zit immers in het argument). Er is ook log 2 (x − 3), dus x − 3 > 0.

Daarom, in log functies 2 x (x − 3) elke factor zal groter zijn dan nul. Daarom kunnen we het product veilig ontleden in de som:

stam 2 x stam 2 (x − 3) + 1 = stam 2 x + stam 2 (x − 3)

stam 2 x stam 2 (x − 3) + 1 − stam 2 x − stam 2 (x − 3) = 0

Op het eerste gezicht lijkt het misschien dat het er niet eenvoudiger op is geworden. Integendeel: het aantal termen is alleen maar toegenomen! Om te begrijpen hoe verder te gaan, introduceren we nieuwe variabelen:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 een b = 0

En nu groeperen we de derde term met de eerste:

(a b - a) + (1 - b) = 0

een (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Merk op dat zowel de eerste als de tweede haakjes b − 1 bevatten (in het tweede geval moet je de "min" uit de haak halen). Laten we onze constructie ontbinden in factoren:

a (1 b 1) − (b 1) = 0

(b 1)(a 1 − 1) = 0

En nu herinneren we ons onze prachtige regel: het product is gelijk aan nul wanneer ten minste één van de factoren gelijk is aan nul:

b 1 = 0 ⇒ b = 1;

een 1 = 0 ⇒ een = 1.

Laten we onthouden wat b en a zijn. We krijgen twee eenvoudige logaritmische vergelijkingen waarin het enige dat overblijft is om de tekens van log te verwijderen en de argumenten gelijk te stellen:

stam 2 x = 1 stam 2 x = stam 2 2 ⇒ x 1 =2;

logboek 2 (x − 3) = 1 logboek 2 (x − 3) = logboek 2 2 ⇒ x 2 = 5

We hebben twee wortels, maar dit is geen oplossing voor de oorspronkelijke logaritmische vergelijking, maar alleen kandidaten voor het antwoord. Laten we nu het domein controleren. Voor het eerste argument:

x > 0

Beide wortels voldoen aan de eerste eis. Laten we verder gaan met het tweede argument:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Maar hier al bevredigt x = 2 ons niet, maar x = 5 past heel goed bij ons. Daarom is het enige antwoord x = 5.

We gaan over naar de tweede logaritmische vergelijking. Op het eerste gezicht is het veel eenvoudiger. Bij het oplossen ervan zullen we echter subtiele punten in overweging nemen die verband houden met het domein van de definitie, waarvan de onwetendheid het leven van beginnende studenten aanzienlijk compliceert.

stam 0,7 (x 2 - 6x + 2) = stam 0,7 (7 - 2x)

Voor ons staat de canonieke vorm van de logaritmische vergelijking. U hoeft niets om te zetten - zelfs de basis is hetzelfde. Daarom stellen we eenvoudig de argumenten gelijk aan:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Voor ons staat de gegeven kwadratische vergelijking, deze is gemakkelijk op te lossen met behulp van de Vieta-formules:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = -1.

Maar deze wortels zijn nog geen definitieve antwoorden. Het is noodzakelijk om het domein van de definitie te vinden, aangezien er twee logaritmen in de oorspronkelijke vergelijking zijn, d.w.z. het is strikt noodzakelijk om rekening te houden met het domein van de definitie.

Laten we dus het domein van de definitie uitschrijven. Enerzijds moet het argument van de eerste logaritme groter zijn dan nul:

x 2 − 6x + 2 > 0

Aan de andere kant moet het tweede argument ook groter zijn dan nul:

7 − 2x > 0

Aan deze eisen moet tegelijkertijd worden voldaan. En hier begint het meest interessante. Natuurlijk kunnen we elk van deze ongelijkheden oplossen, ze vervolgens snijden en het domein van de hele vergelijking vinden. Maar waarom het jezelf zo moeilijk maken?

Laten we een subtiliteit opmerken. Door logborden te verwijderen, stellen we argumenten gelijk. Dit houdt in dat de eisen x 2 − 6x + 2 > 0 en 7 − 2x > 0 equivalent zijn. Als gevolg hiervan kan elk van de twee ongelijkheden worden doorgestreept. Laten we de moeilijkste doorstrepen en de gebruikelijke lineaire ongelijkheid voor onszelf laten:

-2x > -7

x< 3,5

Aangezien we beide delen hebben opgedeeld in: negatief nummer, is het ongelijkheidsteken veranderd.

We hebben dus de ODZ gevonden zonder vierkante ongelijkheden, discriminanten en kruispunten. Nu blijft het alleen om de wortels te kiezen die op dit interval liggen. Uiteraard past alleen x = −1 bij ons, want x = 5 > 3,5.

Je kunt het antwoord opschrijven: x = 1 is de enige oplossing voor de oorspronkelijke logaritmische vergelijking.

De conclusies van deze logaritmische vergelijking zijn als volgt:

1. Wees niet bang om logaritmen te ontbinden en vervolgens de som van logaritmen te ontbinden. Onthoud echter dat door het product op te splitsen in de som van twee logaritmen, je daarmee het definitiedomein verkleint. Controleer daarom, voordat u een dergelijke conversie uitvoert, wat de scopevereisten zijn. Meestal ontstaan ​​er geen problemen, maar het kan geen kwaad om nog een keer op veilig te spelen.
2. Probeer bij het wegwerken van de canonieke vorm de berekeningen te optimaliseren. In het bijzonder, als van ons wordt verlangd dat f > 0 en g > 0, maar in de vergelijking zelf f = g , dan schrappen we brutaal een van de ongelijkheden en laten alleen de eenvoudigste voor onszelf over. In dit geval zal het domein van definitie en antwoorden op geen enkele manier lijden, maar het aantal berekeningen zal aanzienlijk worden verminderd.

Dat is eigenlijk alles wat ik wilde vertellen over de groepering. :)

Typische fouten bij het oplossen

Vandaag zullen we twee typische logaritmische vergelijkingen analyseren waar veel studenten over struikelen. Aan de hand van het voorbeeld van deze vergelijkingen zullen we zien welke fouten het vaakst worden gemaakt bij het oplossen en transformeren van de oorspronkelijke uitdrukkingen.

Fractionele-rationele vergelijkingen met logaritmen

Er moet meteen worden opgemerkt dat dit een nogal verraderlijk type vergelijking is, waarbij een breuk met een logaritme ergens in de noemer niet altijd direct aanwezig is. Tijdens het transformatieproces zal echter noodzakelijkerwijs zo'n breuk ontstaan.

Wees tegelijkertijd voorzichtig: tijdens het transformatieproces kan het initiële domein van de definitie van logaritmen aanzienlijk veranderen!

We wenden ons tot nog meer rigide logaritmische vergelijkingen die breuken en variabele basen bevatten. Om meer te doen in één korte les, zal ik geen elementaire theorie vertellen. Laten we direct naar de taken gaan:

4 stam 25 (x − 1) − stam 3 27 + 2 stam x − 1 5 = 1

Als iemand naar deze vergelijking kijkt, zal iemand vragen: "Wat heeft de fractionele rationale vergelijking ermee te maken? Waar is de breuk in deze vergelijking? Laten we niet haasten en elke term nader bekijken.

Eerste termijn: 4 log 25 (x − 1). Het grondtal van de logaritme is een getal, maar het argument is een functie van x . We kunnen hier nog niets aan doen. Doe Maar.

De volgende term is log 3 27. Bedenk dat 27 = 3 3 . Daarom kunnen we de volledige logaritme als volgt herschrijven:

logboek 3 27 = 3 3 = 3

Dus de tweede term is slechts een drie. De derde term: 2 log x − 1 5. Ook hier is niet alles eenvoudig: het grondtal is een functie, het argument is een gewoon getal. Ik stel voor om de hele logaritme om te draaien volgens de volgende formule:

log a b = 1/log b a

Zo'n transformatie kan alleen worden uitgevoerd als b ≠ 1. Anders bestaat de logaritme die in de noemer van de tweede breuk wordt verkregen gewoon niet. In ons geval, b = 5, dus alles is in orde:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Laten we de oorspronkelijke vergelijking herschrijven, rekening houdend met de verkregen transformaties:

4 stam 25 (x − 1) − 3 + 2/ stam 5 (x − 1) = 1

We hebben log 5 (x − 1) in de noemer van de breuk, en log 25 (x − 1) in de eerste term. Maar 25 \u003d 5 2, dus we halen het vierkant uit de basis van de logaritme volgens de regel:

Met andere woorden, de exponent aan de basis van de logaritme wordt de breuk aan de voorkant. En de uitdrukking wordt als volgt herschreven:

4 1/2 stam 5 (x − 1) − 3 + 2/ stam 5 (x − 1) − 1 = 0

We eindigden met een lange vergelijking met een heleboel identieke logaritmen. Laten we een nieuwe variabele introduceren:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Maar dit is al een fractioneel-rationele vergelijking, die wordt opgelost door middel van algebra van de klassen 8-9. Laten we het eerst in tweeën splitsen:

t 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Het exacte vierkant staat tussen haakjes. Laten we het oprollen:

(t 1) 2 /t = 0

Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet nul. Vergeet dit feit nooit:

(t 1) 2 = 0

t=1

t 0

Laten we onthouden wat t is:

log 5 (x − 1) = 1

logboek 5 (x − 1) = logboek 5 5

We verwijderen de log-tekens, stellen hun argumenten gelijk en we krijgen:

x 1 = 5 ⇒ x = 6

Alles. Probleem opgelost. Maar laten we teruggaan naar de oorspronkelijke vergelijking en onthouden dat er twee logaritmen waren met de variabele x tegelijk. Daarom moet u het domein van de definitie uitschrijven. Aangezien x − 1 in het logaritme-argument staat, moet deze uitdrukking groter zijn dan nul:

x − 1 > 0

Aan de andere kant is dezelfde x − 1 ook aanwezig in de basis, dus het moet van één verschillen:

x − 1 ≠ 1

Daarom concluderen we:

x > 1; x ≠ 2

Aan deze eisen moet tegelijkertijd worden voldaan. De waarde x = 6 voldoet aan beide vereisten, dus x = 6 is de uiteindelijke oplossing van de logaritmische vergelijking.

Laten we verder gaan met de tweede taak:

Nogmaals, laten we niet overhaasten en naar elke term kijken:

log 4 (x + 1) - er is een vier aan de basis. Het gebruikelijke nummer, en je kunt het niet aanraken. Maar de vorige keer stuitten we op een exact vierkant aan de basis, dat er onder het teken van de logaritme vandaan moest worden gehaald. Laten we nu hetzelfde doen:

stam 4 (x + 1) = 1/2 stam 2 (x + 1)

De truc is dat we al een logaritme hebben met variabele x , zij het in de basis - het is de inverse van de logaritme die we zojuist hebben gevonden:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

De volgende term is log 2 8. Dit is een constante, aangezien zowel het argument als het grondtal gewone getallen zijn. Laten we de waarde zoeken:

stam 2 8 = stam 2 2 3 = 3

We kunnen hetzelfde doen met de laatste logaritme:

Laten we nu de oorspronkelijke vergelijking herschrijven:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Laten we alles naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Voor ons is weer een fractioneel-rationele vergelijking. Laten we een nieuwe variabele introduceren:

t = log 2 (x + 1)

Laten we de vergelijking herschrijven, rekening houdend met de nieuwe variabele:

Wees voorzichtig: bij deze stap heb ik de voorwaarden verwisseld. De teller van de breuk is het kwadraat van het verschil:

Net als de vorige keer is een breuk nul wanneer de teller nul is en de noemer niet nul:

(t 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t 0

We hebben één wortel die aan alle vereisten voldoet, dus we keren terug naar de variabele x:

log 2 (x + 1) = 4;

stam 2 (x + 1) = stam 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Dat is het, we hebben de vergelijking opgelost. Maar aangezien er verschillende logaritmen in de oorspronkelijke vergelijking waren, is het noodzakelijk om het domein van de definitie uit te schrijven.

Dus de uitdrukking x + 1 zit in het argument van de logaritme. Daarom is x + 1 > 0. Anderzijds is x + 1 ook aanwezig in de basis, d.w.z. x + 1 1. Totaal:

0 ≠ x > −1

Voldoet de gevonden wortel aan deze eisen? Ongetwijfeld. Daarom is x = 15 de oplossing van de oorspronkelijke logaritmische vergelijking.

Tot slot zou ik het volgende willen zeggen: als je naar de vergelijking kijkt en begrijpt dat je iets complexs en niet-standaards moet oplossen, probeer dan stabiele structuren te benadrukken, die later door een andere variabele zullen worden aangegeven. Als sommige termen de variabele x helemaal niet bevatten, kunnen ze vaak eenvoudig worden berekend.

Dat is alles waar ik het vandaag over wilde hebben. Ik hoop dat deze les je zal helpen bij het oplossen van complexe logaritmische vergelijkingen. Bekijk andere video-tutorials, download en los op onafhankelijk werk en tot ziens in de volgende video!