Oplossing van de theorie van trigonometrische vergelijkingen. Goniometrische vergelijkingen oplossen

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee in contact te komen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder volgen enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, acties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om u belangrijke mededelingen en berichten te sturen.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u meedoet aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke incentive, kunnen we de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures, en/of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van algemeen belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de relevante derde partij opvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Behoud van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingspraktijken met onze medewerkers en handhaven we strikt de privacypraktijken.

Les en presentatie over het onderwerp: "Oplossing van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, feedback, suggesties achter te laten! Alle materialen worden gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Handleidingen en simulatoren in de online winkel "Integral" voor rang 10 vanaf 1C
We lossen problemen in de geometrie op. Interactieve taken voor het bouwen in de ruimte
Software-omgeving "1C: Wiskundige constructor 6.1"

Wat gaan we bestuderen:
1. Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

3. Twee hoofdmethoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.
4. Homogene trigonometrische vergelijkingen.
5. Voorbeelden.

Wat zijn trigonometrische vergelijkingen?

Jongens, we hebben de arcsinus, arccosinus, arctangens en arccotangens al bestudeerd. Laten we nu eens kijken naar trigonometrische vergelijkingen in het algemeen.

Goniometrische vergelijkingen– een vergelijking waarin de variabele onder het teken van de trigonometrische functie staat.

We herhalen de vorm van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen:

1) Als |а|≤ 1, dan heeft de vergelijking cos(x) = a een oplossing:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Als |а|≤ 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a een oplossing:

3) Als |a| > 1, dan heeft de vergelijking sin(x) = a en cos(x) = a geen oplossingen 4) De vergelijking tg(x)=a heeft een oplossing: x=arctg(a)+ πk

5) De vergelijking ctg(x)=a heeft een oplossing: x=arcctg(a)+ πk

Voor alle formules is k een geheel getal

De eenvoudigste goniometrische vergelijkingen hebben de vorm: Т(kx+m)=a, T- elke goniometrische functie.

Voorbeeld.

Los vergelijkingen op: a) sin(3x)= √3/2

Oplossing:

A) Laten we 3x=t aanduiden, dan zullen we onze vergelijking herschrijven in de vorm:

De oplossing van deze vergelijking is: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Uit de tabel met waarden halen we: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Laten we teruggaan naar onze variabele: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dan x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwoord: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, waarbij n een geheel getal is. (-1)^n - min één tot de macht n.

Meer voorbeelden van goniometrische vergelijkingen.

Los de vergelijkingen op: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Oplossing:

A) Deze keer gaan we direct naar de berekening van de wortels van de vergelijking:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dan x/5= πk => x=5πk

Antwoord: x=5πk, waarbij k een geheel getal is.

B) We schrijven in de vorm: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. We weten dat: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwoord: x=2π/9 + πk/3, waarbij k een geheel getal is.

Los vergelijkingen op: cos(4x)= √2/2. En vind alle wortels op het segment.

Oplossing:

We beslissen in algemeen beeld onze vergelijking: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Laten we nu eens kijken welke wortels op ons segment vallen. Voor k Voor k=0, x= π/16, bevinden we ons in het gegeven segment .
Met k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 slaan ze opnieuw.
Voor k=2, x= π/16+ π=17π/16, maar hier hebben we niet geraakt, wat betekent dat we ook niet voor grote k zullen slaan.

Antwoord: x= π/16, x= 9π/16

Twee belangrijke oplossingsmethoden.

We hebben de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen overwogen, maar er zijn meer complexe. Om ze op te lossen, worden de methode van het introduceren van een nieuwe variabele en de factorisatiemethode gebruikt. Laten we naar voorbeelden kijken.

Laten we de vergelijking oplossen:

Oplossing:
Om onze vergelijking op te lossen, gebruiken we de methode van het introduceren van een nieuwe variabele, aangeduid met: t=tg(x).

Als resultaat van de vervanging krijgen we: t 2 + 2t -1 = 0

Vind de wortels van de kwadratische vergelijking: t=-1 en t=1/3

Dan tg(x)=-1 en tg(x)=1/3, we hebben de eenvoudigste trigonometrische vergelijking, laten we de wortels ervan vinden.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwoord: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Een voorbeeld van het oplossen van een vergelijking

Los vergelijkingen op: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Oplossing:

Laten we de identiteit gebruiken: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Onze vergelijking wordt: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Laten we de vervanging introduceren t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=2 en t=-1/2

Dan cos(x)=2 en cos(x)=-1/2.

Omdat cosinus kan geen waarden aannemen die groter zijn dan één, dan heeft cos(x)=2 geen wortels.

Voor cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwoord: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische vergelijkingen.

Definitie: Een vergelijking van de vorm a sin(x)+b cos(x) wordt homogene trigonometrische vergelijkingen van de eerste graad genoemd.

Vergelijkingen van de vorm

homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad.

Om een ​​homogene trigonometrische vergelijking van de eerste graad op te lossen, delen we deze door cos(x): Het is onmogelijk om te delen door cosinus als deze gelijk is aan nul, laten we ervoor zorgen dat dit niet zo is:
Laat cos(x)=0, dan asin(x)+0=0 => sin(x)=0, maar sinus en cosinus zijn niet tegelijkertijd gelijk aan nul, we hebben een contradictie, dus we kunnen veilig delen door nul.

Los De vergelijking op:
Voorbeeld: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Oplossing:

Haal de gemeenschappelijke factor weg: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dan moeten we twee vergelijkingen oplossen:

cos(x)=0 en cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 voor x= π/2 + πk;

Beschouw de vergelijking cos(x)+sin(x)=0 Deel onze vergelijking door cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwoord: x= π/2 + πk en x= -π/4+πk

Hoe homogene trigonometrische vergelijkingen van de tweede graad op te lossen?
Jongens, houd je altijd aan deze regels!

1. Kijk waar de coëfficiënt a gelijk aan is, als a \u003d 0 dan heeft onze vergelijking de vorm cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), waarvan een voorbeeld van de oplossing op de vorige staat dia

2. Als a≠0, dan moet je beide delen van de vergelijking delen door de gekwadrateerde cosinus, we krijgen:

We maken de verandering van variabele t=tg(x) we krijgen de vergelijking:

Los voorbeeld #:3 . op

Los De vergelijking op:
Oplossing:

Deel beide zijden van de vergelijking door cosinuskwadraat:

We wijzigen variabele t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Vind de wortels van de kwadratische vergelijking: t=-3 en t=1

Dan: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwoord: x=-arctg(3) + πk en x= π/4+ πk

Los voorbeeld #:4 . op

Los De vergelijking op:

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

We kunnen dergelijke vergelijkingen oplossen: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Antwoord: x= - π/4 + 2πk en x=5π/4 + 2πk

Los voorbeeld #:5 . op

Los De vergelijking op:

Oplossing:
Laten we onze uitdrukking transformeren:

We introduceren de vervanging tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

De oplossing voor onze kwadratische vergelijking zijn de wortels: t=-2 en t=1/2

Dan krijgen we: tg(2x)=-2 en tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwoord: x=-arctg(2)/2 + πk/2 en x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Taken voor onafhankelijke oplossing.

1) Los de vergelijking op

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1,7

2) Los vergelijkingen op: sin(3x)= √3/2. En zoek alle wortels op het segment [π/2; ].

3) Los de vergelijking op: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Los de vergelijking op: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Los de vergelijking op: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Los de vergelijking op: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Het concept van het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

• Om een ​​goniometrische vergelijking op te lossen, converteert u deze naar een of meer trigonometrische basisvergelijkingen. Het oplossen van de trigonometrische vergelijking komt uiteindelijk neer op het oplossen van de vier basis trigonometrische vergelijkingen.

Oplossing van trigonometrische basisvergelijkingen.

• Er zijn 4 soorten trigonometrische basisvergelijkingen:
• zonde x = een; cos x = a
• tan x = een; ctg x = a
• Het oplossen van trigonometrische basisvergelijkingen omvat het kijken naar de verschillende x-posities op de eenheidscirkel en het gebruik van een conversietabel (of rekenmachine).
• Voorbeeld 1. sin x = 0,866. Met behulp van een conversietabel (of rekenmachine) krijg je het antwoord: x = π/3. De eenheidscirkel geeft een ander antwoord: 2π/3. Onthoud: alle trigonometrische functies zijn periodiek, dat wil zeggen dat hun waarden worden herhaald. Bijvoorbeeld, de periodiciteit van sin x en cos x is 2πn, en de periodiciteit van tg x en ctg x is πn. Het antwoord is dus als volgt geschreven:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Voorbeeld 2 cos x = -1/2. Met behulp van een conversietabel (of rekenmachine) krijg je het antwoord: x = 2π/3. De eenheidscirkel geeft een ander antwoord: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Voorbeeld 3. tg (x - π/4) = 0.
• Antwoord: x \u003d π / 4 + n.
• Voorbeeld 4. ctg 2x = 1.732.
• Antwoord: x \u003d π / 12 + n.

Transformaties die worden gebruikt bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

• Om trigonometrische vergelijkingen te transformeren, worden algebraïsche transformaties gebruikt (factoring, reductie homogene leden enz.) en trigonometrische identiteiten.
• Voorbeeld 5. Met behulp van trigonometrische identiteiten wordt de vergelijking sin x + sin 2x + sin 3x = 0 omgezet in de vergelijking 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Dus de volgende trigonometrische basisvergelijkingen moeten worden opgelost: cos x = 0; zonde (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hoeken zoeken uit bekende waarden van functies.

  • Voordat u leert hoe u trigonometrische vergelijkingen kunt oplossen, moet u leren hoe u hoeken kunt vinden op basis van bekende waarden van functies. Dit kan met behulp van een conversietabel of een rekenmachine.
  • Voorbeeld: cos x = 0,732. De rekenmachine geeft het antwoord x = 42,95 graden. De eenheidscirkel geeft extra hoeken, waarvan de cosinus ook gelijk is aan 0,732.

• Zet de oplossing op de eenheidscirkel opzij.

  • U kunt oplossingen van de trigonometrische vergelijking op de eenheidscirkel plaatsen. De oplossingen van de trigonometrische vergelijking op de eenheidscirkel zijn de hoekpunten van een regelmatige veelhoek.
  • Voorbeeld: De oplossingen x = π/3 + πn/2 op de eenheidscirkel zijn de hoekpunten van het vierkant.
  • Voorbeeld: De oplossingen x = π/4 + πn/3 op de eenheidscirkel zijn de hoekpunten van een regelmatige zeshoek.

• Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

  • Als de gegeven goniometrische vergelijking slechts één goniometrische functie bevat, los deze vergelijking dan op als een trigonometrische basisvergelijking. Als deze vergelijking twee of meer trigonometrische functies bevat, zijn er 2 methoden om een ​​dergelijke vergelijking op te lossen (afhankelijk van de mogelijkheid van transformatie).
    • Methode 1
  • Transformeer deze vergelijking in een vergelijking van de vorm: f(x)*g(x)*h(x) = 0, waarbij f(x), g(x), h(x) de trigonometrische basisvergelijkingen zijn.
  • Voorbeeld 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Oplossing. Gebruik de dubbele hoekformule sin 2x = 2*sin x*cos x, vervang sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Los nu twee trigonometrische basisvergelijkingen op: cos x = 0 en (sin x + 1) = 0.
  • Voorbeeld 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Oplossing: Gebruik trigonometrische identiteiten om deze vergelijking om te zetten in een vergelijking van de vorm: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Los nu twee trigonometrische basisvergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2cos x + 1) = 0.
  • Voorbeeld 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Oplossing: Transformeer deze vergelijking met behulp van trigonometrische identiteiten in een vergelijking van de vorm: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Los nu twee trigonometrische basisvergelijkingen op: cos 2x = 0 en (2sin x + 1) = 0.
    • Methode 2
  • Zet de gegeven goniometrische vergelijking om in een vergelijking die slechts één goniometrische functie bevat. Vervang deze goniometrische functie dan door een onbekende, bijvoorbeeld t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Voorbeeld 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Oplossing. Vervang in deze vergelijking (cos^2 x) door (1 - sin^2 x) (volgens de identiteit). De getransformeerde vergelijking ziet er als volgt uit:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Vervang sin x door t. De vergelijking is nu: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dit is een kwadratische vergelijking met twee wortels: t1 = -1 en t2 = 9/5. De tweede wortel t2 voldoet niet aan het bereik van de functie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Voorbeeld 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Oplossing. Vervang tg x door t. Herschrijf de oorspronkelijke vergelijking als volgt: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Zoek nu t en zoek dan x voor t = tg x.

De videocursus "Get an A" bevat alle onderwerpen die nodig zijn voor een succesvolle slagen voor het examen in wiskunde voor 60-65 punten. Volledig alle taken 1-13 profiel examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basis GEBRUIK in de wiskunde. Als je het examen met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het examen voor de klassen 10-11, evenals voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het examen wiskunde (de eerste 12 opgaven) en opgave 13 (driehoeksmeting) op te lossen. En dit is meer dan 70 punten op het Unified Staatsexamen, en noch een honderdpuntige student noch een humanist kan zonder.

Alle benodigde theorie. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het examen. Alle relevante taken van deel 1 van de Bank of FIPI-taken zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van de USE-2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanuit het niets gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden examentaken. Tekstproblemen en kansrekening. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten USE-taken. Stereometrie. Lastige trucs oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot taak 13. Begrijpen in plaats van proppen. Visuele uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Basis voor het oplossen van complexe problemen van het 2e deel van het examen.

Bij het oplossen van veel wiskundeproblemen, vooral degenen die vóór graad 10 plaatsvinden, is de volgorde van uitgevoerde acties die tot het doel zullen leiden duidelijk gedefinieerd. Dergelijke taken omvatten bijvoorbeeld lineaire en kwadratische vergelijkingen, lineaire en kwadratische ongelijkheden, fractionele vergelijkingen en vergelijkingen die reduceren tot kwadratisch. Het principe van een succesvolle oplossing van elk van de genoemde taken is als volgt: het is noodzakelijk om vast te stellen tot welk type probleem het moet worden opgelost, onthoud noodzakelijke volgorde acties die tot het gewenste resultaat leiden, d.w.z. beantwoord en volg deze stappen.

Het is duidelijk dat het succes of falen bij het oplossen van een bepaald probleem voornamelijk afhangt van hoe correct het type van de op te lossen vergelijking wordt bepaald, hoe correct de volgorde van alle fasen van de oplossing wordt gereproduceerd. In dit geval is het natuurlijk noodzakelijk om over de vaardigheden te beschikken om identieke transformaties en berekeningen uit te voeren.

Een andere situatie doet zich voor bij: trigonometrische vergelijkingen. Het is niet moeilijk om vast te stellen dat de vergelijking trigonometrisch is. Er doen zich moeilijkheden voor bij het bepalen van de volgorde van acties die tot het juiste antwoord zouden leiden.

Door uiterlijk vergelijkingen soms is het moeilijk om het type te bepalen. En zonder het type vergelijking te kennen, is het bijna onmogelijk om de juiste te kiezen uit enkele tientallen trigonometrische formules.

Om de trigonometrische vergelijking op te lossen, moeten we proberen:

1. breng alle functies in de vergelijking naar "dezelfde hoeken";
2. breng de vergelijking naar "dezelfde functies";
3. Ontbind de linkerkant van de vergelijking, enz.

Beschouwen basismethoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

I. Reductie tot de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen

Oplossingsschema

Stap 1. Druk de goniometrische functie uit in termen van bekende componenten.

Stap 2 Zoek functieargument met formules:

cos x = een; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

zonde x = een; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = een; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = een; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Stap 3 Zoek een onbekende variabele.

Voorbeeld.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Oplossing.

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwoord: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabele substitutie

Oplossingsschema

Stap 1. Breng de vergelijking naar een algebraïsche vorm met betrekking tot een van de trigonometrische functies.

Stap 2 Geef de resulterende functie aan met de variabele t (introduceer zo nodig beperkingen op t).

Stap 3 Schrijf de resulterende algebraïsche vergelijking op en los deze op.

Stap 4 Maak een omgekeerde vervanging.

Stap 5 Los de eenvoudigste trigonometrische vergelijking op.

Voorbeeld.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Oplossing.

1) 2(1 - zonde 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Laat sin (x/2) = t, waarbij |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 of e = -3/2 voldoet niet aan de voorwaarde |t| 1.

4) zonde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Z.

Antwoord: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode voor het verminderen van de volgorde van de vergelijking:

Oplossingsschema

Stap 1. Vervang deze vergelijking door een lineaire met behulp van de formules voor vermogensreductie:

zonde 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Stap 2 Los de resulterende vergelijking op met behulp van methoden I en II.

Voorbeeld.

cos2x + cos2x = 5/4.

Oplossing.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 omdat 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + πn, n Z.

Antwoord: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene vergelijkingen

Oplossingsschema

Stap 1. Breng deze vergelijking naar de vorm

a) een zonde x + b cos x = 0 ( homogene vergelijking eerste graad)

of naar het uitzicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene vergelijking van de tweede graad).

Stap 2 Deel beide zijden van de vergelijking door

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

en krijg de vergelijking voor tg x:

a) een tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Stap 3 Los de vergelijking op met bekende methoden.

Voorbeeld.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Oplossing.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Laat tg x = t, dan

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 of t = -4, dus

tg x = 1 of tg x = -4.

Uit de eerste vergelijking x = π/4 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwoord: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode voor het transformeren van een vergelijking met behulp van trigonometrische formules

Oplossingsschema

Stap 1. Allerlei gebruiken trigonometrische formules, breng deze vergelijking naar de vergelijking die is opgelost met methoden I, II, III, IV.

Stap 2 Los de resulterende vergelijking op met behulp van bekende methoden.

Voorbeeld.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Oplossing.

1) (zonde x + zonde 3x) + zonde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) zonde 2x (2cos x + 1) = 0;

zonde 2x = 0 of 2cos x + 1 = 0;

Uit de eerste vergelijking 2x = π/2 + πn, n Є Z; uit de tweede vergelijking cos x = -1/2.

We hebben x = π/4 + πn/2, n Є Z; uit de tweede vergelijking x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als resultaat, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Antwoord: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Het vermogen en de vaardigheden om trigonometrische vergelijkingen op te lossen zijn erg belangrijk, hun ontwikkeling vergt veel inspanning, zowel van de leerling als van de leraar.

Veel problemen op het gebied van stereometrie, natuurkunde, enz. worden geassocieerd met het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Het proces van het oplossen van dergelijke problemen bevat als het ware veel van de kennis en vaardigheden die worden verworven bij het bestuderen van de elementen van trigonometrie.

Goniometrische vergelijkingen nemen belangrijke plek in het proces van het onderwijzen van wiskunde en persoonlijkheidsontwikkeling in het algemeen.

Heb je nog vragen? Weet je niet hoe je trigonometrische vergelijkingen moet oplossen?
Om hulp te krijgen van een tutor -.
De eerste les is gratis!

blog.site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal is een link naar de bron vereist.