Differentiaalvergelijking in partiële afgeleiden. UMF

Overweeg een relatief eenvoudige partiële differentiaalvergelijking:

Classificatie

Dimensie

Gelijk aan het aantal onafhankelijke variabelen. Moet minimaal 2 zijn (bij 1 wordt een gewone differentiaalvergelijking verkregen).

lineariteit

Er zijn lineaire en niet-lineaire vergelijkingen. Een lineaire vergelijking kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van afgeleiden van onbekende functies. De coëfficiënten kunnen in dit geval constante of bekende functies zijn.

Lineaire vergelijkingen zijn goed onderzocht, voor de oplossing van individuele typen niet lineaire vergelijkingen Er zijn millenniumprijzen toegekend.

Uniformiteit

Een vergelijking is niet-homogeen als er een term is die niet afhankelijk is van onbekende functies.

Bestellen

De volgorde van de vergelijking wordt bepaald door de maximale volgorde van de afgeleide. Orders in alle variabelen zijn van belang.

Classificatie van tweede orde vergelijkingen

Tweede-orde lineaire vergelijkingen in partiële afgeleiden zijn onderverdeeld in parabolische, elliptische en hyperbolische.

Een lineaire vergelijking van de tweede orde die twee onafhankelijke variabelen bevat, heeft de vorm:

waar EEN, B, C- coëfficiënten afhankelijk van variabelen x en ja, en het weglatingsteken betekent termen die afhankelijk zijn van x, ja, jij en partiële afgeleiden eerste bestelling: en . Deze vergelijking is vergelijkbaar met de kegelsnedevergelijking:

Net zoals kegelsneden zijn verdeeld in ellipsen, parabolen en hyperbolen, worden, afhankelijk van het teken van de discriminant, tweede-ordevergelijkingen op een bepaald punt geclassificeerd:

Wanneer alle coëfficiënten EEN, B, C- constanten, de vergelijking heeft hetzelfde type op alle punten in het vlak van variabelen x en ja. Als de coëfficiënten EEN, B, C continu afhankelijk van x en ja, vormt de verzameling punten waarop de gegeven vergelijking van het hyperbolische (elliptische) type is een open gebied op het vlak, hyperbolisch (elliptisch) genoemd, en de verzameling punten waarop de vergelijking van het parabolische type is, is gesloten. De vergelijking heet gemengd (gemengd type ) als het op sommige punten van het vlak hyperbolisch is en op sommige punten elliptisch. In dit geval vormen de parabolische punten in de regel een lijn genaamd typ wijzigingsregel of degeneratie lijn.

In het algemene geval, wanneer de vergelijking van de tweede orde afhankelijk is van veel onafhankelijke variabelen:

Niet-gedegenereerde lineaire transformatie

de kwadratische vorm kan altijd worden teruggebracht tot de canonieke vorm:

Bovendien is volgens de traagheidsstelling het aantal positieve, negatieve en nulcoëfficiënten in de canonieke vorm van een kwadratische vorm een ​​invariant en hangt het niet af van een lineaire transformatie. Op basis hiervan wordt de classificatie (op het punt ) van de beschouwde vergelijking gemaakt:

Bij veel onafhankelijke variabelen kan een meer gedetailleerde classificatie worden uitgevoerd (waaraan de noodzaak zich niet voordoet in het geval van twee onafhankelijke variabelen):

1. hyperbolisch type
   1. Normaal hyperbolisch type, als een coëfficiënt van het ene teken, en de rest van het andere.
   2. Ultrahyperbolisch type, als de coëfficiënten van zowel het ene teken als het andere meer dan één zijn.
2. parabolisch type kan verder worden onderverdeeld in:
   1. Elliptisch parabolisch type:, als slechts één coëfficiënt gelijk is aan nul, en de rest hetzelfde teken heeft.
   2. Hyperbolisch-parabolisch type, als slechts één coëfficiënt gelijk is aan nul, en de rest verschillende tekens heeft. Net als bij het hyperbolische type kan het worden onderverdeeld in:
      1. Normaal hyperbolisch-parabolisch type
      2. Ultrahyperbolisch-parabolisch type
   3. Ultraparabolisch type: als meer dan één coëfficiënt nul is. Hier is verdere classificatie ook mogelijk, afhankelijk van de tekens van coëfficiënten die niet nul zijn.

Bestaan ​​en uniciteit van een oplossing

Hoewel het antwoord op de vraag naar het bestaan ​​en de uniciteit van een oplossing van een gewone differentiaalvergelijking een volledig uitputtend antwoord heeft (de stelling van Picard-Lindelöf), is er geen eenduidig ​​antwoord op deze vraag voor een partiële differentiaalvergelijking. Er is een algemene stelling (de stelling van Cauchy-Kovalevskaya), die stelt dat het Cauchy-probleem voor elke partiële differentiaalvergelijking die analytisch is met betrekking tot onbekende functies en hun afgeleiden een unieke analytische oplossing heeft. Er zijn echter voorbeelden van lineaire partiële differentiaalvergelijkingen waarvan de coëfficiënten afgeleiden hebben van alle orden en geen oplossing hebben (Levi (1957)). Zelfs als de oplossing bestaat en uniek is, kan deze ongewenste eigenschappen hebben.

Overweeg een reeks Cauchy-problemen (afhankelijk van n) voor de Laplace-vergelijking:

waar n- geheel. Functie afgeleide jij door variabele ja neigt uniform naar 0 x met toenemende n, maar de oplossing van de vergelijking is

De oplossing neigt naar oneindig als nx geen veelvoud van een waarde die niet nul is ja. Het Cauchy-probleem voor de Laplace-vergelijking wordt slecht gesteld of onjuist genoemd, omdat er geen continue afhankelijkheid van de oplossing van de initiële gegevens is.

In deze sectie ontbreken verwijzingen naar informatiebronnen. Informatie moet verifieerbaar zijn, anders kan deze in twijfel worden getrokken en verwijderd. U kunt dit artikel bewerken om links naar gezaghebbende bronnen op te nemen. Dit teken is ingesteld 12 mei 2011.

Bijna-oplossing van een partiële differentiaalvergelijking- een concept geïntroduceerd door V. M. Miklyukov in verband met de studie van oplossingen met onverwijderbare singulariteiten.

Voor een selectie van artikelen over de beschrijving van de eigenschappen van bijna-oplossingen (het maximumprincipe, de ongelijkheid van Harnack, enz.), zie http://www.uchimsya.info .

Voorbeelden

Eendimensionale warmtevergelijking

De vergelijking die de voortplanting van warmte in een homogene staaf beschrijft, heeft de vorm

waar jij(t,x) is de temperatuur, en α is een positieve constante die de snelheid van warmtevoortplanting beschrijft. Het Cauchy-probleem wordt als volgt gesteld:

waar f(x) is een willekeurige functie.

String vibratie vergelijking

Hier jij(t,x) - verplaatsing van de snaar vanuit de evenwichtspositie, of overmatige luchtdruk in de pijp, of magnitude elektromagnetisch veld in de pijp en c- golfvoortplantingssnelheid. Om het Cauchy-probleem op het begintijdstip te formuleren, moet men de verplaatsing en snelheid van de snaar op het begintijdstip specificeren:

Tweedimensionale Laplace-vergelijking

Relatie met analytische functies

De reële en imaginaire delen van een holomorfe functie van een complexe variabele zijn: geconjugeerde harmonische functies: ze voldoen allebei aan de Laplace-vergelijking en hun gradiënten zijn orthogonaal. Als een f=jij+iv, dan stellen de Cauchy-Riemann-voorwaarden het volgende:

Als we de vergelijkingen van elkaar optellen en aftrekken, krijgen we:

Het kan ook worden aangetoond dat elke harmonische functie het echte deel is van een analytische functie.

Grensproblemen

Grensproblemen worden als volgt gesteld: vind een functie jij, die voldoet aan de Laplace-vergelijking op alle interne punten van de regio S, en op de grens van de regio - tot een bepaalde voorwaarde. Afhankelijk van het type conditie worden de volgende grensproblemen onderscheiden:

Vergelijkingen van wiskundige fysica oplossen

Er zijn twee soorten oplossingsmethoden: van dit type vergelijkingen:

• analytisch, waarbij het resultaat wordt afgeleid door verschillende wiskundige transformaties;
• numeriek, waarbij het verkregen resultaat met een bepaalde nauwkeurigheid overeenkomt met het werkelijke resultaat, maar dat veel routineberekeningen vereist en daarom alleen kan worden uitgevoerd met computertechnologie(COMPUTER).

Analytische oplossing

Oscillatie vergelijking

Beschouw het probleem van trillingen van een snaar van lengte. We nemen aan dat de functie verdwijnt aan de uiteinden van de string:

Op het eerste moment stellen we de beginvoorwaarden:

Laten we de oplossing weergeven in de vorm:

Na substitutie in de oorspronkelijke vergelijking van oscillaties, delen we door het product, krijgen we:

De rechterkant van deze vergelijking hangt af van , de linkerkant - op , daarom kan deze vergelijking alleen worden vervuld als beide delen gelijk zijn aan een constante waarde, die we aanduiden met:

Vanaf hier vinden we de vergelijking voor:

Niet-triviale oplossingen van deze vergelijking onder homogene randvoorwaarden zijn alleen mogelijk voor en hebben de vorm:

Beschouw de vergelijking voor het vinden van:

Zijn oplossing:

Daarom is elke functie van de vorm

is een oplossing voor de golfvergelijking.

Om aan de oplossing van de beginvoorwaarden te voldoen, stellen we een reeks samen:

Substitueren in de beginvoorwaarden geeft:

De laatste formules vertegenwoordigen de uitbreiding van de functies en in een Fourierreeks op het interval. De uitzettingscoëfficiënten worden berekend met de formules:

Numerieke oplossing

String vibratie vergelijking

Deze oplossing heet volgens de methode van eindige differentiëlen. Het is vrij eenvoudig te implementeren met behulp van programmeren.

Deze methode is gebaseerd op de definitie van een afgeleide van een functie:

Als er een functie is, is de partiële afgeleide de volgende:

Omdat we een vrij kleine gebruiken, kunnen de limiettekens worden weggelaten. Dan krijgen we de volgende uitdrukkingen:

Voor het gemak gebruiken we de volgende notatie:

,

Dan kunnen de vorige uitdrukkingen worden geschreven als:

Deze uitdrukkingen heten Rechtsaf differentiëlen. Ze kunnen ook op een andere manier worden geschreven: links differentiëlen.

Als we beide uitdrukkingen optellen, krijgen we het volgende:

waarvan volgt:

Beide uitdrukkingen worden de differentiaal in . genoemd centraal punt. Ze benaderen de afgeleide nauwkeuriger.

Evenzo kunnen we differentiëlen van de tweede orde verkrijgen:

De snaartrillingsvergelijking wordt in de volgende vorm geschreven: .

Aanvullende voorwaarden worden gespecificeerd als: , , , ,

Waar en zijn de posities van de uiteinden (bevestigingen) van de snaar in de tijd, en en zijn de begintoestand en snelheid van de snaar waaruit we de toestand van de snaar op het volgende tijdstip kunnen verkrijgen met behulp van de formule (zie Euler methode):

In het volgende gaan we ervan uit dat de lezer al bekend is met de grondbeginselen van de theorie van het gewone differentiaalvergelijkingen, d.w.z. vergelijkingen die betrekking hebben op een onbekende functie van een onafhankelijke variabele, zijn afgeleiden en de onafhankelijke variabele zelf. We zullen alleen de meest elementaire informatie verstrekken.

Een differentiaalvergelijking van de eerste orde van de vorm heeft een oneindig aantal oplossingen gedefinieerd door een formule die één willekeurige constante bevat: . Evenzo bevat de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de tweede orde twee willekeurige constanten: de selectie van een bepaalde oplossing kan worden gedaan door de beginvoorwaarden in te stellen, die voor een vergelijking van de tweede orde meestal de vorm hebben Deze waarden in de algemene oplossing en in zijn afgeleide, we verkrijgen twee vergelijkingen voor het vinden van willekeurige constanten Q en C. Als de rechterkant van de vergelijking - een functie - continu is in een bepaalde buurt van waarden en daar continue partiële afgeleiden heeft, dan er is een unieke specifieke oplossing die voldoet aan de gegeven beginvoorwaarden (bestaansstelling en uniciteit van de oplossing).

In wat volgt, zullen met name tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen veelvuldig worden aangetroffen.

Voor de homogene vergelijking

de algemene oplossing is een lineaire combinatie van zijn twee private

oplossingen, tenzij deze oplossingen lineair onafhankelijk zijn (d.w.z. waar k een constante is):

Algemene oplossing van de inhomogene vergelijking

is de som van een van zijn specifieke oplossingen en de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking.

Dit boek zal partiële differentiaalvergelijkingen bestuderen, dat wil zeggen vergelijkingen die een onbekende functie van verschillende variabelen en hun partiële afgeleiden bevatten. Meestal heeft men te maken met vergelijkingen voor functies van twee of drie onafhankelijke variabelen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke vergelijkingen - onafhankelijke variabelen, u is een onbekende functie):

De eerste regel bevat vergelijkingen met partiële afgeleiden van alleen de eerste orde. Dergelijke vergelijkingen worden eerste-ordevergelijkingen genoemd. Dienovereenkomstig zijn de vergelijkingen die in de tweede regel zijn geschreven voorbeelden van vergelijkingen van de tweede orde.

We stellen ons niet tot taak om in het algemeen de methoden voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen te bestuderen. We zullen alleen die specifieke vergelijkingen (en zelfs dan niet alle) beschouwen die essentieel zijn voor natuurkunde, mechanica en technologie. Het zijn deze vergelijkingen die differentiaalvergelijkingen van de wiskundige fysica worden genoemd.

Vooraf zullen we, zonder bewijzen, kennis maken met de eenvoudigste eigenschappen van partiële differentiaalvergelijkingen; We nemen aan dat de onbekende functie i afhangt van twee variabelen x en y.

Neem de vergelijking

Het is duidelijk dat de vereiste functie niet afhankelijk is van de variabele, maar elke functie van y kan zijn.

Inderdaad, door de functie te differentiëren met betrekking tot we krijgen nul, wat betekent dat gelijkheid (1) wordt waargenomen. Daarom bevat oplossing (2) van vergelijking (1) één willekeurige functie. Dit is het fundamentele verschil tussen de oplossing van een vergelijking met partiële afgeleiden van de eerste orde en de algemene oplossing van een gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde, die alleen een willekeurige constante bevat. Naar analogie zal de oplossing (2) die één willekeurige functie bevat, de algemene oplossing van vergelijking (1) worden genoemd.

Overweeg een complexere vergelijking

waar is een bepaalde functie. Alle functies die voldoen aan vergelijking (3) hebben de vorm

waar is een willekeurige functie van Dit kan worden gecontroleerd door beide zijden van gelijkheid te onderscheiden (4) maar y. De gevonden oplossing van vergelijking (3) hangt af van één willekeurige functie, d.w.z. het is algemeen.

Het is gemakkelijk om te controleren of de vergelijking een algemene oplossing heeft, waarbij een willekeurige differentieerbare functie is.

Hiertoe herinneren we aan de regel voor het differentiëren van een complexe functie van meerdere variabelen (zie § 116). Als , waar zijn functies van variabelen dan

Vergelijkbare formules gelden ook voor afgeleiden met betrekking tot Het aantal tussenliggende argumenten , evenals het aantal onafhankelijke variabelen, kan elk zijn.

In ons voorbeeld, waar . Dat is waarom

Door deze uitdrukkingen in de vergelijking te plaatsen, verkrijgen we de identiteit

Evenzo kan men controleren of de vergelijking een algemene oplossing heeft en de vergelijking een algemene oplossing heeft, waarbij een willekeurige differentieerbare functie is.

Laten we nu vergelijkingen van de tweede orde bekijken. Laten

We stellen in. Dan zal vergelijking (5) de vorm aannemen . De algemene oplossing van de vergelijking zal een willekeurige functie zijn. Terugkerend naar de functie en, verkrijgen we opnieuw de eerste-orde vergelijking

Volgens (4) is de algemene oplossing de functie

Aangezien het een willekeurige functie van y is, is de integraal ervan ook een willekeurige functie, die we aanduiden met . Als gevolg hiervan hebben we een oplossing in de vorm

waar zijn willekeurige differentieerbare functies. Het is gemakkelijk om te controleren of functie (6) inderdaad voldoet aan vergelijking (5).

Tot dusver hebben we de kwestie van het vinden van specifieke oplossingen niet aan de orde gesteld. Later zal worden verduidelijkt welke aanvullende voorwaarden moeten worden gespecificeerd, zodat met hun hulp een bepaalde oplossing kan worden onderscheiden, dat wil zeggen een functie die zowel aan de differentiaalvergelijking als aan aanvullende voorwaarden voldoet.

Het blijkt dat de differentiaalvergelijkingen van de wiskundige fysica, die we in de toekomst zullen behandelen, nogal wat wisselwerking tussen hen hebben. veelvoorkomende eigenschappen: ze zijn allemaal van de tweede orde en lineair met betrekking tot de onbekende functie en zijn partiële afgeleiden.

Meestal zijn alle coëfficiënten voor een functie en zijn afgeleiden constante getallen. De algemene vorm van dergelijke vergelijkingen voor een functie u afhankelijk van twee variabelen x en y is als volgt:

waarbij A, B, C, D, E en F constante getallen zijn, en de rechterkant een gegeven functie is van de variabelen x en y.

We merken op dat het karakter en het gedrag van de oplossingen van deze vergelijking in wezen afhangen van de coëfficiënten. We zullen hier tot slot over praten, nadat we kennis hebben gemaakt met de eenvoudigste vergelijkingen van het type (7) en methoden om ze op te lossen 1).

Laat X 1 , X 2 , ..., X n - voorgedefinieerde functies variabelen x 1 , x 2 , ..., x n.

Om een ​​lineaire homogene partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen:

het is noodzakelijk om een ​​stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen (kenmerkenvergelijking):
:
Vervolgens moet u de oplossing in het formulier presenteren:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C 2,
..................
n- 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ) = C n-1,
waarbij C k constanten zijn.
Dan krijgen we meteen de algemene oplossing:
,
waarbij F een willekeurige functie is van n - 1 argumenten.

Als je een bepaalde oplossing met bepaalde randvoorwaarden moet krijgen, dan moet je de waarden van de variabelen uit de randvoorwaarden in de algemene oplossing vervangen en de vorm van de functie F vinden.

Lineaire inhomogene partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Laat X 1 , X 2 , ..., X n+1- gegeven functies van variabelen x 1 , x 2 , ..., x n en z.

Om een ​​lineaire inhomogene partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen:
,
het is noodzakelijk om de vergelijking van kenmerken op te lossen:
.
De oplossing voor dit systeem moet in de volgende vorm worden gepresenteerd:
φ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 1,
φ 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C 2,
..................
nee (x 1 , x 2 , ..., x n , z ) = C n.
Daarna krijgen we onmiddellijk de algemene integraal in impliciete vorm:

waarbij F een willekeurige functie is. Ook kan de algemene integraal worden weergegeven in verschillende opties, bijvoorbeeld:
φ 1 = F(φ 2 , φ 3 , ..., φ n ),
φ 2 = F(φ 1 , φ 3 , ..., φ n ),
enz.

Voorbeelden van oplossingen voor lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

homogene vergelijking

De taak

Vind een algemene oplossing van een lineaire homogene partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde en los het Cauchy-probleem op met de gespecificeerde randvoorwaarde:
,
Bij .

Oplossing

Dit is een lineaire homogene partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde. We stellen de vergelijking van kenmerken samen:

Deze prestatievergelijking bevat drie vergelijkingen:
;
;
.
We moeten er twee kiezen en oplossen. Dan wordt de derde automatisch uitgevoerd.

We kiezen en lossen de eerste vergelijking op:

Hier zijn de variabelen al gescheiden, laten we integreren:

Tabel integralen,

potentiëren:

Vanaf hier

Of:

integrerende factor. Vermenigvuldig met x -1 en transformeer:



Wij integreren:

Vervang de eerder verkregen uitdrukking C 1 = x y 2 :

De algemene oplossing van de oorspronkelijke partiële differentiaalvergelijking heeft de vorm:

waarbij F een willekeurige functie is van twee argumenten F(φ 1 , φ 2) . Laten we de vorm ervan vinden aan de hand van de randvoorwaarde
Bij .

We overwegen een oplossing aan de grens.
Laat x y = -1 :


Vanaf hier


Op de grens
.

F (φ 1 , φ 2 ) = φ 1 φ 2.
Het heeft dezelfde uitstraling in de hele regio.
vervangen
;
,
we krijgen een bepaalde oplossing van de oorspronkelijke partiële differentiaalvergelijking met een gegeven randvoorwaarde:

Antwoorden

Gemeenschappelijke beslissing:

waarbij F een willekeurige functie is van twee argumenten F (φ 1 , φ 2 ).

Privé oplossing:

Inhomogene vergelijking

De taak

Zoek een oppervlak dat voldoet aan de gegeven vergelijking
,
en door de gegeven cirkel gaan x + y + z = 0 , x 2 + y2 + z2 = a2.

Oplossing

Dit is een lineaire inhomogene partiële differentiaalvergelijking van de eerste orde. We stellen de vergelijking van kenmerken samen:

Het bevat drie vergelijkingen:
;
;
.
We moeten er twee kiezen en oplossen. Dan wordt automatisch aan de derde voldaan. We kiezen de eerste en tweede vergelijking.

We lossen de vergelijking op:

Vermenigvuldig met 2 z en integreer:

Tabel integralen,

potentiëren:

Vanaf hier
x=C 1 jaar

Substitueer in de tweede vergelijking:


Of:

Dat merken we dan

Dit is een lineaire vergelijking. We lossen op met behulp van de integrerende factor . Deel door y 2 en transformeer:


Wij integreren:

Vervang de eerder verkregen uitdrukking en transformeer:

We hebben dus twee integralen van de vergelijking van kenmerken gevonden:

Voor het gemak van verdere berekeningen merken we op dat een functie van een constante ook een constante is. Daarom schrijven we de integralen in de vorm:

De algemene integraal van de oorspronkelijke partiële differentiaalvergelijking heeft de vorm:
F (φ 1, φ 2) = 0
Maar aangezien F een willekeurige functie is van twee argumenten, kan de algemene integraal ook worden geschreven als:
φ 1 = F(φ 2),
waarbij F een willekeurige functie is van één argument.

Laten we de vorm van deze functie zoeken, kijken naar de oplossing aan de grens.
Op de grens, x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , .
Uit de vergelijking x + y + z = 0, z = - (x+y). Vervang in x 2 + y 2 + z 2 = a 2 en transformeer:
x2+y2+ (x + y) 2 = een 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2xy + y2 = a2
2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 = een 2
Delen door y 2 , we hebben

Dus vonden we dat op de grens:

.
Substitueer in de uitdrukking van de algemene integraal:
φ 1 = F(φ 2)
.
Laten we een vervanging maken
:
.

We hebben dus gevonden dat op de grens de functie F de vorm heeft:
.
In de hele regio ziet het er dan ook hetzelfde uit
.
We vervangen uitdrukkingen voor φ 1 en φ 2:


.
Vermenigvuldigen met een 2 y 2 .

Partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde Hoorcollege №3-4

Onderwerp : Vergelijkingen in partiële afgeleiden van de tweede orde.

Vragen:

1. Algemeen beeld van de tweede orde vergelijking. Tweede orde lineaire vergelijkingen in partiële afgeleiden. Lineaire homogene en lineaire inhomogene vergelijkingen.

2. Eigenschappen van oplossingen van lineaire homogene en lineaire niet-homogene vergelijkingen.

3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.

4. Reductie van een lineaire vergelijking tot een canonieke vorm: hyperbolisch type, parabolisch type en elliptisch type.

5. Verklaring van de belangrijkste problemen voor lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.

Typ vergelijking

is een differentiaalvergelijking van de tweede orde met de vereiste functie z van twee variabelen X en Bij.

Vergelijkingen van wiskundige fysica in tegenstelling tot partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde algemeen beeld(3.1) zijn lineair, d.w.z. lineair afhankelijk van de gewenste functie en zijn partiële afgeleiden. In het geval van twee onafhankelijke variabelen hebben ze bijvoorbeeld de vorm

Vergelijking (3.2) wordt homogeen genoemd als
. Als een
, dan wordt vergelijking (3.2) inhomogeen genoemd.

Geef de linkerkant van vergelijking (3.2) aan met
, dan kan (3.2) worden geschreven als:

. (3.3)

De bijbehorende homogene vergelijking heeft de vorm

. (3.4)

is een lineaire differentiaaloperator. Controleer onafhankelijk de lineariteitseigenschappen van de operator
.

Van de lineariteitseigenschappen van de operator
De volgende beweringen volgen direct:

Stelling 3.1. Als een
is een oplossing van de lineaire homogene vergelijking (3.4), dan is de functie
is ook een oplossing van vergelijking (3.4), waarbij VAN een willekeurige constante is.

Stelling 3.2. Als een
en
zijn oplossingen van de lineaire homogene vergelijking (3.4), dan is de som
+

Gevolg. Lineaire combinatie met willekeurige constante coëfficiënten k oplossingen van vergelijking (3.4)
is ook een oplossing voor deze vergelijking.

In tegenstelling tot gewone lineaire homogene differentiaalvergelijkingen, die een eindig aantal lineair onafhankelijke deeloplossingen hebben, waarvan de lineaire combinatie een algemene oplossing voor deze vergelijking geeft, kunnen partiële differentiaalvergelijkingen een oneindig aantal lineair onafhankelijke deeloplossingen hebben.

Bijvoorbeeld. De vergelijking

heeft een algemene oplossing
, dus de oplossingen zijn bijvoorbeeld de functies
.

Voor een lineair inhomogeen

. (3.5)

vergelijkingen zijn de volgende beweringen waar:

Stelling 3.3. Als een
is de oplossing van de lineaire inhomogene vergelijking (3.5), en
is de oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking (3.4), de som
is ook een oplossing van de inhomogene vergelijking (3.5).

Stelling 3.4. Als een
- oplossing van de vergelijking
, a
- oplossing van de vergelijking
, dan de som
+
is een oplossing van de vergelijking
.

Beschouwen classificatie differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met twee onafhankelijke variabelen.

Definitie. Tweede orde lineaire differentiaalvergelijking (3.2) in een bepaald domein
aan de oppervlakte hoi genaamd

De eenvoudigste van de vergelijkingen van het hyperbolische type is de golfvergelijking

.

Het komt voor bij taken die verband houden met oscillerende processen.

De eenvoudigste van de elliptische vergelijkingen is de Laplace-vergelijking

.

De integratie van deze vergelijking komt in de studie van stationaire processen.

De eenvoudigste vergelijking van het parabolische type is de warmtevergelijking (Fourier-vergelijking)

.

Het wordt vaak aangetroffen in de studie van warmtegeleiding en diffusieprocessen.

Later zullen we deze vergelijkingen in meer detail bekijken.

De cursus wiskundige natuurkunde bestudeert ook de golfvergelijking, de Laplace-vergelijking en de Fourier-vergelijking van een meer algemene vorm:

,
,

,

,
.

Laten we vergelijking (3.2) reduceren tot canonieke vorm in een voldoende kleine buurt van elk punt waar deze vergelijking wordt gegeven. Laten we aannemen dat de coëfficiënten MAAR, BIJ en VAN in vergelijking (3.2) behoren tot de klasse
in de een of andere buurt en nergens daarin verdwijnen tegelijkertijd. Voor de zekerheid kunnen we aannemen dat:
in deze buurt. Inderdaad, anders kan blijken dat
, maar dan ruilen X en Bij, krijgen we een vergelijking waarvoor
. Als MAAR en VAN op een gegeven moment tegelijkertijd verdwijnen, dan
rond dit punt. In dit geval, na delen door 2 BIJ vergelijking (3.2) heeft al een canonieke vorm:

Laten we verder gaan met nieuwe variabelen.

,

,
, (3.6)

,

,

,

,

.

Daarom heeft vergelijking (3.2) de vorm

We vereisen dat de functies
en
zet de coëfficiënten op nul
en
, d.w.z. voldoen aan de vergelijkingen:

Omdat
, dan zijn deze vergelijkingen equivalent aan de lineaire vergelijkingen

,
, (3.7)

waar
,
,
.

Zoals we hebben gemerkt, afhankelijk van drie soorten vergelijkingen zijn mogelijk. Laten we deze drie gevallen afzonderlijk bekijken.

In dit geval wordt vergelijking (3.2) teruggebracht tot de canonieke vorm:

. (3.8)

Verandering van variabelen
,
reduceert vergelijking (3.2) tot een andere, equivalente, canonieke vorm:

. (3.9)

Om representatie (3.8) te bewijzen, laten we zien dat er minstens één paar oplossingen bestaat en vergelijkingen (3.7) voldoen aan de voorwaarden (3.6). Laten we eerst het verband leggen tussen deze oplossingen en de kenmerken van vergelijking (3.2).

Stel dat er oplossingen zijn voor vergelijkingen (3.7) zodat
,
in de betreffende buurt, dan de bochten

,

definieer twee families van kenmerken van vergelijking (3.2). Laten we nu de volgende hulpbewering bewijzen.

Lemma. Laat de functie
zoals dat
. Om een ​​familie van rondingen te krijgen
bepaalt de kenmerken van vergelijking (3.2), is het noodzakelijk en voldoende dat de uitdrukking
was een algemene integraal van een van de gewone differentiaalvergelijkingen

,
. (3.10)

Vergelijkingen (3.10) heten differentiaalvergelijkingen van kenmerken vergelijkingen (3.2).

Een bewijs. 1. Laten we de noodzaak bewijzen. Laten
is de familie van kenmerken van vergelijking (3.2). Van de voorwaarde
hieruit volgt dat deze familie een bepaalde buurt vult D, waarvan elk punt één en slechts één kenmerk passeert. Laten
. Als we dan in transformatie (3.6) bijvoorbeeld
, dan in deze buurt de functie
zal voldoen aan de vergelijking

.

Aangezien op elk kenmerk de relatie

,
,

,

dan omdat
, we krijgen

, of
,

die.
is de algemene integraal van de eerste van vergelijkingen (3.10). De noodzaak is bewezen.

2. Laten we de toereikendheid bewijzen. Laten
is de algemene integraal van een van de vergelijkingen (3.10), bijvoorbeeld de eerste ervan. Dit betekent per definitie dat als de functie
is een oplossing van deze vergelijking, dan

,

Daarom differentiëren van de laatste identiteit met betrekking tot: X, zal hebben

,

en dus op elke regel
de relatie

. (3.11)

Maar volgens de stelling van het bestaan ​​en de uniciteit van de oplossing voor gewone differentiaalvergelijkingen, gaat één integrale kromme door elk punt van de beschouwde buurt
deze vergelijking. Daarom wordt aan vergelijking (3.11) voldaan op alle punten van de betreffende buurt. En aangezien door voorwaarde
,
, dan de bochten
zijn kenmerken van vergelijking (3.2). Het lemma is bewezen.

Op basis van het bewezen lemma zijn de algemene integralen van vergelijkingen (3.10):

, en

zoals dat
,
,
, definieer twee families van kenmerken van vergelijking (3.2). Bovendien, aangezien
, dan en
, net zoals

T Dus families van kenmerken
,
families van coördinaatlijnen en functies vormen
en
kunnen als nieuwe variabelen worden genomen. In dit geval, in vergelijking (*), de coëfficiënten
en
zal nul zijn en

Daarom, vergelijking (*) delen door 2
, verkrijgen we de vergelijking in canonieke vorm (3.8).

Vergelijking (3.2) is teruggebracht tot de canonieke vorm

.

Omdat in een bepaalde buurt
, dan
, dus de differentiaalvergelijkingen (3.7) vallen samen en zijn gelijk aan

.

Bijgevolg hebben we één familie van kenmerken verkregen:
vergelijking (3.2), gedefinieerd door het lemma, door de algemene integraal van de vergelijking

,

zoals dat
en
. Als de tweede familie van coördinaatlijnen kiezen we rechte lijnen
. Als gevolg hiervan is de verandering van variabelen

,
,

, ,
.

De vergelijking (*) delen door de coëfficiënt
, verkrijgen we de vergelijking in canonieke vorm.

Als de coëfficiënten MAAR, BIJ en VAN in vergelijking (3.2) zijn analytische functies in de buurt van een bepaald punt. Dan wordt deze vergelijking teruggebracht tot de canonieke vorm

.

In dit geval zijn de coëfficiënten en vergelijkingen (3.7) zijn analytische functies, en in werkelijkheid
:
. Uit de stelling van Kovalevskaya volgt dat er in een voldoende kleine buurt een analytische oplossing bestaat
vergelijkingen

,

voldoen aan de voorwaarde
. Laten we nu zetten

,
, (3.12)

waar
is een functiecomplex geconjugeerd aan
. Functie
voldoet aan de tweede vergelijking van (3.7):

,

sinds de functie
voldoet aan de eerste vergelijking in (3.7), d.w.z.

Aangezien de functies
en
analytisch, dus
en hun Jacobiaan

Daarom zijn de functies
en
kunnen als nieuwe variabelen worden genomen. Door bouwfunctie
voldoet aan de vergelijking

We selecteren de reële en imaginaire delen en, door naar nieuwe variabelen over te gaan, met behulp van formules (3.12), verkrijgen we:

,

Gezien de formules voor de coëfficiënten
we snappen dat
en
in variabelen
en
. Verder, omdat
en
, dan
. Vergelijking (*) delen door
, breng het naar de canonieke vorm

.

Verklaring van de belangrijkste problemen voor lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.

Om een ​​bepaald fysiek proces volledig te beschrijven, is het nodig om, naast de vergelijking die dit proces beschrijft, de begintoestand van dit proces (beginvoorwaarden) en het regime op de grens van dat gebied vast te stellen.
, waarin dit proces plaatsvindt (randvoorwaarden). Dit komt door de niet-uniekheid van de oplossing van differentiaalvergelijkingen. Dus, bijvoorbeeld, voor partiële differentiaalvergelijkingen hangt de oplossing af van willekeurige functies. Om een ​​oplossing te vinden die een echt fysiek proces beschrijft, is het daarom noodzakelijk om aanvullende voorwaarden te stellen. Dergelijke aanvullende voorwaarden zijn de randvoorwaarden (initiële en randvoorwaarden). De bijbehorende taak heet randwaarde probleem.

Er zijn drie hoofdtypen randwaardeproblemen voor differentiaalvergelijkingen:

Voorheen werden gewone differentiaalvergelijkingen beschouwd. Hun oplossingen zijn afhankelijk van slechts één variabele:
enz. In veel praktische problemen zijn de gewenste functies afhankelijk van verschillende variabelen, en de vergelijkingen die dergelijke problemen beschrijven, kunnen gedeeltelijke afgeleiden van de gewenste functies bevatten. Ze heten partiële differentiaalvergelijkingen.

Veel problemen in de continuümmechanica leiden bijvoorbeeld tot het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Hier worden meestal dichtheid, temperatuur, spanning, enz. Gebruikt als de gewenste functies, waarvan de argumenten de coördinaten zijn van het beschouwde punt in de ruimte, evenals tijd.

De volledige wiskundige formulering van het probleem, samen met differentiaalvergelijkingen, bevat ook enkele aanvullende voorwaarden. Als een oplossing wordt gezocht in een begrensd gebied, dan worden er voorwaarden gesteld aan de grens, de zogenaamde grens(grens)voorwaarden. Dergelijke problemen worden randwaardeproblemen voor partiële differentiaalvergelijkingen genoemd.

Als een van de onafhankelijke variabelen in het betreffende probleem tijd is t, dan worden op het beginmoment enkele voorwaarden gesteld (bijvoorbeeld de waarden van de gewenste parameters) de beginvoorwaarden genoemd. Een probleem dat bestaat uit het oplossen van een vergelijking onder bepaalde beginvoorwaarden, wordt het Cauchy-probleem voor een partiële differentiaalvergelijking genoemd. In dit geval wordt het probleem opgelost in een onbegrensde ruimte en zijn de randvoorwaarden niet gespecificeerd.

Problemen, bij de formulering waarvan rand- en beginvoorwaarden worden gesteld, worden niet-stationaire (of gemengde) randwaardeproblemen genoemd. De resulterende oplossingen veranderen in de tijd.

Zo worden wiskundige modellen van fysieke en andere processen beschreven met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen. De argumenten van de functies van deze vergelijkingen zijn de ruimtelijke coördinaten
en tijd .

Vergelijkingen van de eerste orde. Eerste orde vergelijkingen worden ook wel transportvergelijkingen genoemd. Dit wordt verklaard door het feit dat dergelijke vergelijkingen de processen beschrijven van deeltjesoverdracht in media, de verspreiding van verstoringen, enz.

Zijn oplossing is niet alleen uit praktisch oogpunt interessant; nog niet meer deze vergelijking is nuttig bij het ontwerpen en onderzoeken van verschilschema's.

We gaan ervan uit dat de gewenste functie tijdsafhankelijk en één ruimtevariabele x. Dan kan de lineaire transportvergelijking worden geschreven als

.

Hier - Overdrachtssnelheid.

Vergelijkingen van de tweede orde. Een lineaire partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde is de relatie tussen de functie
of
en zijn partiële afgeleiden van de vorm.

(1)

Als een variabele functie hangt af van en , dan kan de vergelijking als volgt worden geschreven:

(2)

Als
, dan worden vergelijkingen 1-2 homogeen genoemd, anders worden ze niet-homogeen genoemd.

Als een
, dan behoort vergelijking (2) tot de klasse van elliptische vergelijkingen;

als
, dan is een hyperbolische vergelijking;

als
- parabolische vergelijking.

Wanneer
geen constant teken heeft, wordt een vergelijking van het gemengde type verkregen.

Klassieke elliptische vergelijkingen zijn onder meer:

Laplace vergelijking
, die wordt gebruikt om magnetische en stationaire thermische velden te beschrijven;

Poissonvergelijking
, die wordt gebruikt in elektrostatica, elasticiteitstheorie en andere wetenschappen;

Helmholtz-vergelijking
het beschrijven van de gestage oscillerende processen.

Laplace-operator:

in het eendimensionale geval
;

in het tweedimensionale geval
;

in 3D geval
.

Onder de hyperbolische vergelijkingen kunnen we onderscheiden:

Golfvergelijkingen:

eendimensionaal
, die de geforceerde trillingen van de snaar beschrijft;

tweedimensionaal
, die de trillingen van het membraan beschrijft.

De telegraafvergelijking, die de verandering in potentiaal beschrijft bij hoogspanningslijnen. Hier
- zelfinductiecoëfficiënt, capaciteit, weerstand, verlieskarakteristiek per eenheid lijnlengte.

De klassieke parabolische vergelijkingen omvatten de warmtevergelijking
.

Om een ​​unieke oplossing voor een partiële differentiaalvergelijking te vinden, is het noodzakelijk om de begin- en randvoorwaarden in te stellen. Het is gebruikelijk om de beginvoorwaarden de voorwaarden te noemen die op het begintijdstip zijn gespecificeerd . Er worden randvoorwaarden gespecificeerd voor verschillende waarden van ruimtelijke variabelen. Voor elliptische vergelijkingen worden alleen randvoorwaarden gespecificeerd, die in drie klassen kunnen worden onderverdeeld:

Dirichlet-conditie
- in dit geval wordt op de grens van het gebied Г, waarin de oplossing wordt gezocht, een bepaalde continue functie gegeven . In het eendimensionale geval heeft deze voorwaarde de vorm:
en
waar
- het interval waarop de oplossing van het eendimensionale probleem wordt gezocht;

Neumann conditie
- in dit geval wordt op de grens van het gebied Г de afgeleide richting gegeven buitenste normaal;

gemengde toestand
.

Voor parabolische vergelijkingen is het, naast de randvoorwaarden, noodzakelijk om één initiële te bepalen, die als volgt kan zijn:
.

In het geval van hyperbolische vergelijkingen kunnen de beginvoorwaarden als volgt zijn:
en
.

De oplossing van een aantal partiële differentiaalvergelijkingen kan analytisch worden verkregen. Een van de meest gebruikte methoden is de methode van scheiding van variabelen (Fourier-methode). Laten we deze methode in meer detail bekijken.

Over methoden voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen.

De oplossing van de eenvoudigste problemen voor partiële differentiaalvergelijkingen kan in sommige gevallen worden uitgevoerd analytische methodes beschouwd in de overeenkomstige secties van de wiskunde. Dit geldt voornamelijk voor sommige eerste-orde vergelijkingen, maar ook voor tweede-orde vergelijkingen met constante coëfficiënten. Analytische methoden zijn niet alleen nuttig omdat ze het mogelijk maken om algemene oplossingen die meerdere keren kan worden gebruikt. Ze zijn ook van groot belang voor de constructie van numerieke methoden. Verificatie van verschilschema's op de bekende oplossingen van de eenvoudigste vergelijkingen maakt het mogelijk om deze schema's te evalueren en hun sterke en zwakke punten te achterhalen.

Tussen numerieke methodes verschilmethoden worden veel gebruikt. Ze zijn gebaseerd op de introductie van een bepaald verschilraster in het beschouwde gebied. De waarden van de afgeleiden, de begin- en randvoorwaarden worden uitgedrukt in termen van de waarden van de functies op de knooppunten van het raster, wat resulteert in een systeem van algebraïsche vergelijkingen dat het verschilschema wordt genoemd. Door dit stelsel vergelijkingen op te lossen, kan men bij de rasterknooppunten de waarden van de rasterfuncties vinden, die ongeveer gelijk worden geacht aan de waarden van de gewenste functies.

De bovenstaande vergelijkingen worden genoemd vergelijkingen van de wiskundige natuurkunde. Veel toegepaste problemen worden teruggebracht tot hun oplossing. Voordat we overgaan tot een bespreking van numerieke methoden voor het oplossen van deze vergelijkingen, laten we eerst eens kijken naar de belangrijkste problemen bij het construeren van verschilschema's.

2. Inleiding tot rastermethoden, de concepten raster, sjabloon, laag.

Over de constructie van verschilregelingen. Zoals reeds opgemerkt, is de constructie van verschilschema's voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen gebaseerd op de introductie van een raster in de beschouwde ruimte. Rasterknooppunten zijn berekende punten.

Een voorbeeld van een eenvoudig rechthoekig gebied G(x, y) met grens Г in het tweedimensionale geval wordt getoond in Fig. 1, a. Zijkanten van een rechthoek
,
verdeeld in elementaire segmenten door punten
,
en
,
. Door deze punten worden twee families van coördinaatlijnen getrokken
,
een raster vormen met een rechthoekige cel. Elke knoop van dit raster waarvan het nummer (
), wordt bepaald door de coördinaten (
).

ab

Rijst. 1. Rechthoekig raster ( a), 3D-rasterelement ( b)

Rasterknooppunten die op de grens van het Γ-gebied liggen G, worden grensknooppunten genoemd. Alle andere knooppunten zijn intern.

Rasters voor multidimensionale regio's worden op dezelfde manier geïntroduceerd. Op afb. een, b toont een rasterelement in de vorm van een rechthoekig parallellepipedum voor een driedimensionaal gebied.

Steekproef– combinatie van gebruikte knooppunten

Aangezien de begin- en randvoorwaarden bij het formuleren van problemen zijn geformuleerd op de grens van het rekendomein, kunnen ze worden beschouwd als gegeven op de grensknooppunten van het raster. Soms zijn de grenspunten van een gebied geen netknooppunten, wat het geval is voor gebieden met een complexe vorm. Dan worden ofwel extra knooppunten geïntroduceerd op het snijpunt van de coördinaatlijnen met de grens, of de grens wordt ongeveer vervangen door een onderbroken lijn die door knooppunten dichtbij de grens gaat. De randvoorwaarden worden naar deze onderbroken lijn overgebracht.

In een aantal gevallen kunnen complexe kromlijnige gebieden worden teruggebracht tot de eenvoudigste vorm door nieuwe onafhankelijke variabelen door te geven. Bijvoorbeeld een vierhoeksgebied G getoond in afb. 2 kan worden teruggebracht tot een eenheidsvierkant G" door nieuwe variabelen t, u in plaats van #, y te introduceren met behulp van de relaties

Vergelijkingen moeten worden omgezet in nieuwe variabelen, evenals begin- en randvoorwaarden. In de buurt van G" het is mogelijk om een ​​rechthoekig raster in te voeren, terwijl in het gebied G het zal overeenkomen met een raster met ongelijk verdeelde knopen en kromlijnige cellen,

In de toekomst zullen we bij het construeren van verschilschema's voor de eenvoud rechthoekige rasters gebruiken (of met cellen in de vorm van rechthoekige parallellepipedums in het driedimensionale geval), en de vergelijkingen zullen worden geschreven in cartesiaanse coördinaten (
). In de praktijk moet men problemen oplossen in verschillende kromlijnige coördinatenstelsels: polair, cilindrisch, bolvormig, enz. Als het bijvoorbeeld handig is om het rekendomein in polaire coördinaten in te stellen (
), dan wordt het raster erin geïntroduceerd met stappen
en
langs de straalvector en de polaire hoek, respectievelijk.

Soms wordt zelfs in een eenvoudig rekendomein een niet-uniform raster geïntroduceerd. In een aantal gevallen is het met name nodig om knooppunten samen te voegen voor een nauwkeurigere berekening in sommige delen van het beschouwde gebied. In dit geval zijn de gebieden van clustering van knooppunten ofwel vooraf bekend of worden bepaald tijdens het oplossen van het probleem (bijvoorbeeld afhankelijk van de gradiënten van de gewenste functies).

Om een ​​verschilschema te construeren, zoals in het geval van gewone differentiaalvergelijkingen, worden de partiële afgeleiden in de vergelijking vervangen door eindige-verschilrelaties volgens een bepaald sjabloon (zie hoofdstuk 3, § 1). In dit geval de exacte waarden van de gewenste functie jij worden vervangen door de waarden van de rasterfunctie en op de knooppunten van het verschilraster.

Als voorbeeld construeren we enkele verschilschema's voor het oplossen van de warmtevergelijking voor gegeven begin- en randvoorwaarden. Laten we het probleem van de gemengde randwaarde schrijven in de vorm

,(6)

waar
- aanvankelijke temperatuurverdeling jij(Bij t= 0);
- temperatuurverdeling aan de uiteinden van het beschouwde segment ( X= 0, 1) op elk moment t. Merk op dat de begin- en randvoorwaarden consistent moeten zijn, d.w.z.

We introduceren een uniform rechthoekig raster met behulp van coördinaatlijnen
,
en
,
,en - respectievelijk rasterstappen in richtingen X en t. We geven de waarden van de functie aan bij de rasterknooppunten
. We zullen deze waarden vervangen door de overeenkomstige waarden van de rasterfunctie die voldoen aan het verschilschema.

Door de partiële afgeleiden van de gewenste functie in de oorspronkelijke vergelijking (6) te vervangen met behulp van eindige verschilrelaties, verkrijgen we het verschilschema

(7)

In het overzicht van dit schema voor elk knooppunt wordt de sjabloon getoond in Fig. 2, a.

Voor dezelfde vergelijking kunnen verschillende verschilschema's worden geconstrueerd. In het bijzonder, als we de sjabloon gebruiken die wordt getoond in Fig. 2, b, dan krijgen we in plaats van (7) het verschilschema

(8)

In beide gevallen wordt een systeem van algebraïsche vergelijkingen verkregen voor het bepalen van de waarden van de rasterfunctie op interne knooppunten. De waarden bij de grensknooppunten worden gevonden uit de randvoorwaarden

De set knooppunten op t= const, d.w.z. voor een vaste waarde , wordt genoemd laag. Schema (7) stelt u in staat om de waarden achtereenvolgens te vinden
,
op de
-de laag door de corresponderende waarden op de -de laag. Dergelijke regelingen worden genoemd expliciet.

Om te beginnen met tellen j= 1, er is een oplossing nodig bij de beginlaag. Het wordt bepaald door de beginvoorwaarde

In tegenstelling tot het expliciete schema bevat elke differentievergelijking (8) op elke nieuwe laag de waarden van de onbekenden op drie punten; daarom kunnen deze waarden niet onmiddellijk worden bepaald via de bekende oplossing op de vorige laag. Dergelijke regelingen worden genoemd impliciet. In dit geval bestaat het verschilschema (8) uit lineaire driepuntsvergelijkingen, d.w.z. elke vergelijking bevat een onbekende functie op drie punten van een gegeven laag. Dergelijke systemen van lineaire vergelijkingen met een tridiagonale matrix kunnen worden opgelost met de sweep-b-methode, waardoor de waarden van de rasterfunctie op de knooppunten worden gevonden.

Merk op dat we in dit voorbeeld krijgen tweelaagse schema's, wanneer elke differentievergelijking de waarden van een functie uit twee lagen bevat - de onderste, waarop de oplossing al is gevonden, en de bovenste, op de knooppunten waarvan de oplossing wordt gezocht.

Met behulp van de weloverwogen methode voor het construeren van verschilschema's, wanneer de individuele partiële afgeleiden die de vergelijking binnenkomen, worden vervangen door eindige verschilrelaties voor de rasterfunctie (of rasteruitdrukkingen), kunnen meerlaagse schema's, evenals schema's met een hoge nauwkeurigheid worden gecreëerd.

Laplace-vergelijking. Veel stationaire fysieke problemen (studies van potentiële vloeistofstromen, bepaling van de vorm van een belast membraan, problemen van warmtegeleiding en diffusie in stationaire gevallen, enz.) worden gereduceerd tot het oplossen van de vergelijking vergif vriendelijk

1

Als een
, dan heet deze vergelijking de vergelijking Laplace. Voor de eenvoud zullen we de tweedimensionale Laplace-vergelijking beschouwen

2

We zullen de oplossing van deze vergelijking zoeken voor een beperkt gebied G veranderingen in onafhankelijke variabelen x, ja. gebiedsgrens G is een gesloten lijn L. Voor een volledige formulering van het randwaardeprobleem is het nodig om naast de Laplace-vergelijking een randvoorwaarde te stellen op de grens L. Laten we het in de vorm nemen

3

Het probleem, dat bestaat uit het oplossen van de Laplace (of Poisson) vergelijking voor gegeven waarden van de gewenste functie op de grens van het rekendomein, heet Dirichlet-probleem.

Een van de manieren om stationaire elliptische problemen op te lossen, inclusief het randwaardeprobleem, is om ze te reduceren tot de oplossing van een fictief niet-stationair probleem (hyperbolisch of parabolisch), waarvan de oplossing wordt gevonden voor voldoende grote waarden t dicht bij het oplossen van het oorspronkelijke probleem. Dit soort oplossing heet methode om vast te stellen.

Sinds de beslissing U(x, y) van onze vergelijking (2) is niet afhankelijk van de tijd, dan kunnen we aan deze vergelijking een term toevoegen die gelijk is aan nul (met een exacte oplossing) . Dan heeft vergelijking (2) de vorm

4

Dit is de bij ons bekende warmtevergelijking, waarvoor al verschilschema's zijn gemaakt. Het blijft alleen om in te stellen begintoestand. Het kan in bijna willekeurige vorm worden genomen, in overeenstemming met de randvoorwaarden. Laten we

5

In dit geval blijft de randvoorwaarde (3) stationair, d.w.z. niet afhankelijk van de tijd.

Het proces van numerieke oplossing van vergelijking (4) met voorwaarden (3), (5) bestaat uit de overgang op
van een willekeurige waarde (5) tot de gewenste stationaire oplossing. De telling wordt aangehouden totdat de oplossing het stationaire regime bereikt. Uiteraard zijn ze beperkt tot een oplossing voor een aantal voldoende grote , als de gewenste waarden op twee opeenvolgende lagen samenvallen met een bepaalde mate van nauwkeurigheid.

De vaststellingsmethode vertegenwoordigt in feite een iteratief proces om het probleem op te lossen, en bij elke iteratie worden de waarden van de gewenste functie verkregen door een hulpprobleem numeriek op te lossen.

Om het Dirichlet-probleem op te lossen, kan men ook een verschilschema construeren door vergelijking (2) te benaderen. In een rechthoekig domein G introduceren we een raster met behulp van coördinaatlijnen X= const en y = const. Laten we voor de eenvoud de waarden van stappen in variabelen nemen X en Bij Gelijk h(aangenomen wordt dat de zijden van het domein G commensurabel zijn). Functiewaarden jij in knopen
vervangen we door de waarden van de rasterfunctie . Vervolgens, door de tweede afgeleiden in vergelijking (2) te benaderen met behulp van de verhoudingen van eindige verschillen, verkrijgen we een differentievergelijking (de sjabloon wordt getoond in de figuur):

(6)

Deze vergelijking kan worden weergegeven als een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen voor de waarden van de rasterfunctie op de knooppunten. Dit systeem kan worden geschreven als

De waarden van de rasterfunctie op de knooppunten die zich op de grens van het rekendomein bevinden, zijn te vinden uit de randvoorwaarde (3):

In de theorie van differentieschema's is bewezen dat de oplossing van het geconstrueerde verschilprobleem bestaat en dat het schema zelf stabiel is.

Elke vergelijking van systeem (7) (behalve die welke overeenkomen met knooppunten die zich nabij de grenzen bevinden) bevat vijf onbekenden. Een van de meest gebruikelijke methoden voor het oplossen van dit stelsel lineaire vergelijkingen is de iteratieve methode. We schrijven elk van de vergelijkingen in de vorm die is toegestaan ​​met betrekking tot de waarde in het centrale knooppunt (zie fig.):

Het iteratieve proces wordt geregeld door de maximale afwijking M van de waarden van de rasterfunctie op de knooppunten gedurende twee opeenvolgende iteraties. Als de waarde een bepaald klein getal bereikt , de iteraties stoppen.

Oplossing van de Laplace-vergelijking in Mathcad. Om de Laplace- en Poisson-vergelijkingen op te lossen, biedt Mathcad ingebouwde functies kom tot rust en multigrid .

3. Oplossing van differentiaalvergelijkingen met partiële afgeleiden volgens de methode van eindige verschillen.

4. Oplossing van elliptische, parabolische en hyperbolische vergelijkingen.

5. Niet-stationaire problemen.

6. Constructie van expliciete en impliciete verschilschema's voor de eendimensionale warmtevergelijking.

7. Vragen over onderlinge afstemming, stabiliteit en convergentie.

8. Sweep-methode.

9. Benadering van differentiaalvergelijkingen in partiële afgeleiden door een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen (methode van lijnen).

10. Stationaire problemen, verschilschema's, vestigingsrekening.

11. Variatie-verschilmethoden.

12. Eindige elementen methode.