Online rekenmachine. Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen
Het oplossen van vergelijkingen in gehele getallen is een van de oudste wiskundige problemen. Al aan het begin van het 2e millennium voor Christus. e. De Babyloniërs wisten stelsels van dergelijke vergelijkingen met twee variabelen op te lossen. Dit gebied van wiskunde bereikte zijn grootste bloei in Het oude Griekenland. De belangrijkste bron voor ons is de "Rekenkunde" van Diophantus, met daarin: verschillende soorten vergelijkingen. Daarin anticipeert Diophantus (naar zijn naam en de naam van de vergelijkingen - Diophantische vergelijkingen) een aantal methoden voor het bestuderen van vergelijkingen van de 2e en 3e graad, die zich pas in de 19e eeuw ontwikkelden.
De eenvoudigste Diophantische vergelijkingen ax + y = 1 (vergelijking met twee variabelen, eerste graad) x2 + y2 = z2 (vergelijking met drie variabelen, tweede graad)
Algebraïsche vergelijkingen zijn het meest bestudeerd; hun oplossing was een van de belangrijkste problemen in de algebra in de 16e en 17e eeuw.
Aan het begin van de 19e eeuw onderzochten de werken van P. Fermat, L. Euler, K. Gauss een Diophantische vergelijking van de vorm: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, waarbij a, b, c , d, e, f zijn getallen; x, y zijn onbekende variabelen.
Dit is een 2e graads vergelijking met twee onbekenden.
K. Gauss bouwde een algemene theorie van kwadratische vormen, die de basis vormt voor het oplossen van bepaalde soorten vergelijkingen met twee variabelen (Diophantische vergelijkingen). Bestaat groot aantal specifieke Diophantische vergelijkingen opgelost door elementaire methoden. /p>
theoretisch materiaal.
In dit deel van het werk zullen de wiskundige basisconcepten worden beschreven, de definities van termen worden gegeven, de decompositiestelling zal worden geformuleerd met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten, die werd bestudeerd en overwogen bij het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen.
Definitie 1: Een vergelijking van de vorm ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, waarbij a, b, c, d, e, f getallen zijn; x, y onbekende variabelen wordt een tweedegraadsvergelijking met twee variabelen genoemd.
In een schoolwiskundecursus wordt de kwadratische vergelijking ax2 + inx + c \u003d 0 bestudeerd, waarbij a, b, c nummer x variabele, met één variabele. Er zijn veel manieren om zo'n vergelijking op te lossen:
1. Wortels vinden met behulp van de discriminant;
2. Wortels zoeken voor een even coëfficiënt in (volgens D1 =);
3. Wortels vinden met de stelling van Vieta;
4. De wortels vinden met behulp van de selectie van het volledige kwadraat van de binomiaal.
Het oplossen van een vergelijking betekent het vinden van alle wortels of bewijzen dat er geen zijn.
Definitie 2: De wortel van een vergelijking is een getal dat, wanneer het in de vergelijking wordt gesubstitueerd, een echte gelijkheid vormt.
Definitie 3: De oplossing van een vergelijking met twee variabelen wordt een getallenpaar (x, y) genoemd, wanneer ze in de vergelijking worden ingevuld, verandert het in een echte gelijkheid.
Het proces van het zoeken naar oplossingen voor een vergelijking bestaat meestal uit het vervangen van de vergelijking door een equivalente vergelijking, maar eenvoudiger in oplossing. Dergelijke vergelijkingen worden equivalent genoemd.
Definitie 4: Van twee vergelijkingen wordt gezegd dat ze equivalent zijn als elke oplossing van de ene vergelijking een oplossing is voor de andere vergelijking, en vice versa, en beide vergelijkingen worden in hetzelfde gebied beschouwd.
Om vergelijkingen met twee variabelen op te lossen, wordt de stelling over de uitbreiding van de vergelijking tot een som van perfecte kwadraten gebruikt (volgens de methode van onbepaalde coëfficiënten).
Voor de tweede orde vergelijking ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) is er een ontleding a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Laten we de voorwaarden formuleren waaronder expansie (2) plaatsvindt voor vergelijking (1) van twee variabelen.
Stelling: Als coëfficiënten a, b, c vergelijkingen (1) voldoen aan de voorwaarden a0 en 4av – c20, dan wordt expansie (2) op een unieke manier bepaald.
Met andere woorden, vergelijking (1) met twee variabelen kan worden teruggebracht tot de vorm (2) met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten, als aan de voorwaarden van de stelling is voldaan.
Laten we eens kijken naar een voorbeeld van hoe de methode van onbepaalde coëfficiënten wordt geïmplementeerd.
METHODE #1. Los de vergelijking op volgens de methode van onbepaalde coëfficiënten
2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.
1. Laten we controleren of aan de voorwaarden van de stelling is voldaan, a=2, b=1, c=2, dus a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Aan de voorwaarden van de stelling is voldaan, en kan worden uitgebreid met formule (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, gebaseerd op de voorwaarden van de stelling, zijn beide delen van de identiteit equivalent. Vereenvoudig de rechterkant van de identiteit.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Vergelijk de coëfficiënten voor dezelfde variabelen met hun machten.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Krijg een stelsel vergelijkingen, los het op en vind de waarden van de coëfficiënten.
7. Vervang de coëfficiënten in (2), dan krijgt de vergelijking de vorm
2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0
De oorspronkelijke vergelijking is dus equivalent aan de vergelijking
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), deze vergelijking komt overeen met een stelsel van twee lineaire vergelijkingen.
Antwoord: (-1; 1).
Als we aandacht besteden aan het type decompositie (3), kunnen we zien dat het qua vorm identiek is aan de selectie van een volledig vierkant uit kwadratische vergelijking met één variabele: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Laten we deze truc toepassen om een vergelijking met twee variabelen op te lossen. Laten we met behulp van selectie van het volledige kwadraat de kwadratische vergelijking oplossen met twee variabelen die al zijn opgelost met behulp van de stelling.
METHODE #2: Los de vergelijking 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 op.
Oplossing: 1. We stellen 2x2 voor als de som van twee termen x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.
2. We groeperen de termen zo dat we ze kunnen samenvouwen volgens de volledige vierkantsformule.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.
3. Selecteer volle vierkanten van uitdrukkingen tussen haakjes.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Deze vergelijking is equivalent aan een stelsel lineaire vergelijkingen.
Antwoord: (-1;1).
Als we de resultaten vergelijken, kunnen we zien dat de vergelijking opgelost door methode nr. 1 met behulp van de stelling en de methode van onbepaalde coëfficiënten en de vergelijking opgelost door methode nr. 2 met behulp van de selectie van een volledig vierkant dezelfde wortels hebben.
Conclusie: Een kwadratische vergelijking met twee variabelen kan op twee manieren worden uitgebreid tot een kwadratensom:
➢ De eerste methode is de methode van onbepaalde coëfficiënten, die gebaseerd is op de stelling en de decompositie (2).
➢ De tweede manier is met behulp van identieke transformaties, die het mogelijk maken om opeenvolgend volledige vierkanten te selecteren.
Bij het oplossen van problemen verdient de tweede methode natuurlijk de voorkeur, omdat het niet nodig is om uitbreidingen (2) en voorwaarden uit het hoofd te leren.
Deze methode kan ook worden toegepast op kwadratische vergelijkingen met drie variabelen. De selectie van het volledige kwadraat in dergelijke vergelijkingen is omslachtiger. Ik ga dit soort transformatie volgend jaar doen.
Het is interessant om op te merken dat een functie die eruitziet als: f (x, y) \u003d ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f wordt genoemd kwadratische functie twee variabelen. Kwadratische functies spelen een belangrijke rol in verschillende takken van de wiskunde:
In wiskundig programmeren (kwadratisch programmeren)
In lineaire algebra en meetkunde (kwadratische vormen)
In theorie differentiaalvergelijkingen(reductie van een tweede-orde lineaire vergelijking tot een canonieke vorm).
Bij het oplossen van deze verschillende problemen moet men in feite de procedure toepassen voor het extraheren van het volledige kwadraat uit een kwadratische vergelijking (een, twee of meer variabelen).
Lijnen waarvan de vergelijkingen worden beschreven door een kwadratische vergelijking van twee variabelen, worden krommen van de tweede orde genoemd.
Deze cirkel, ellips, hyperbool.
Bij het plotten van deze curven wordt ook de methode van opeenvolgende selectie van het volledige vierkant gebruikt.
Laten we eens kijken hoe de methode van opeenvolgende selectie van een volledig vierkant werkt op specifieke voorbeelden.
Praktisch gedeelte.
Los vergelijkingen op met behulp van de methode van opeenvolgende selectie van het volledige vierkant.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;
Antwoord: (-1; 1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Antwoord: (0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;
3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Antwoord: (-1; 1).
Los vergelijkingen op:
1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0
(breng naar de vorm: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Antwoord: (-3; -3)
2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0
(breng naar de vorm: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)
Antwoord: (-1; 1)
3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0
(breng naar de vorm: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)
Antwoord: (7; -7)
Conclusie.
In deze wetenschappelijk werk vergelijkingen met twee variabelen van de tweede graad werden bestudeerd, manieren om ze op te lossen werden overwogen. De taak is voltooid, een kortere oplossingsmethode is geformuleerd en beschreven, gebaseerd op het selecteren van een volledig vierkant en het vervangen van de vergelijking door een equivalent systeem van vergelijkingen, waardoor de procedure voor het vinden van de wortels van een vergelijking met twee variabelen wordt vereenvoudigd.
Een belangrijk punt van het werk is dat de beschouwde methode wordt gebruikt bij het oplossen van verschillende wiskundige problemen die verband houden met een kwadratische functie, het construeren van tweede-ordekrommen en het vinden van de grootste (kleinste) waarde van uitdrukkingen.
De techniek van het uitbreiden van een vergelijking van de tweede orde met twee variabelen tot een kwadratensom heeft dus de meeste toepassingen in de wiskunde.
Onderwerp:Lineaire functie
Les:Lineaire vergelijking met twee variabelen en de bijbehorende grafiek
We maakten kennis met de concepten van de coördinatenas en het coördinatenvlak. We weten dat elk punt van het vlak op unieke wijze een paar getallen (x; y) definieert, waarbij het eerste getal de abscis van het punt is en het tweede de ordinaat.
We zullen heel vaak een lineaire vergelijking tegenkomen in twee variabelen, waarvan de oplossing een paar getallen is die op het coördinatenvlak kunnen worden weergegeven.
Typ vergelijking:
Waar a, b, c getallen zijn, en 
Het wordt een lineaire vergelijking genoemd met twee variabelen x en y. De oplossing voor zo'n vergelijking zal een dergelijk paar getallen x en y zijn, waarbij we in de vergelijking de juiste numerieke gelijkheid krijgen.
Een paar getallen wordt als een punt op het coördinatenvlak weergegeven.
Voor dergelijke vergelijkingen zullen we veel oplossingen zien, dat wil zeggen, veel paren getallen, en alle corresponderende punten zullen op één rechte lijn liggen.
Overweeg een voorbeeld:
Om oplossingen voor deze vergelijking te vinden, moet u de juiste getallenparen x en y kiezen:
Laat , dan verandert de oorspronkelijke vergelijking in een vergelijking met één onbekende:
,
Dat wil zeggen, het eerste paar getallen, dat de oplossing is voor de gegeven vergelijking (0; 3). Heb punt A(0; 3)
Laten . We krijgen de oorspronkelijke vergelijking met één variabele: 
, vandaar , kreeg het punt В (3; 0)
Laten we de getallenparen in de tabel zetten:
Laten we punten in de grafiek plotten en een rechte lijn tekenen: 
Merk op dat elk punt op deze lijn een oplossing zal zijn voor de gegeven vergelijking. Laten we eens kijken - neem een punt met een coördinaat en vind de tweede coördinaat uit de grafiek. Het is duidelijk dat op dit punt. Vervang dit paar getallen in de vergelijking. We krijgen 0=0 - de juiste numerieke gelijkheid, wat betekent dat het punt dat op de lijn ligt de oplossing is.
Tot nu toe kunnen we niet bewijzen dat elk punt dat op de geconstrueerde lijn ligt een oplossing is voor de vergelijking, dus we accepteren dit als waar en zullen het later bewijzen.
Voorbeeld 2 - Teken de vergelijking:
Laten we een tabel maken, het is genoeg voor ons om een rechte lijn van twee punten te bouwen, maar we zullen de derde nemen voor controle:
In de eerste kolom hebben we een handige genomen, we vinden y:
, ,
In de tweede kolom hebben we een handige genomen, we vinden x:
, , ,
Laten we ter verificatie nemen en zoeken op:
, ,
Laten we een grafiek maken:
Vermenigvuldig de gegeven vergelijking met twee:
Door zo'n transformatie verandert de verzameling oplossingen niet en blijft de grafiek hetzelfde.
Conclusie: we hebben geleerd hoe we vergelijkingen met twee variabelen kunnen oplossen en hun grafieken kunnen bouwen, we hebben geleerd dat de grafiek van zo'n vergelijking een rechte lijn is en dat elk punt van deze rechte lijn een oplossing van de vergelijking is
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6e editie. M.: Verlichting. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva MV, Fedorova N.E. en anderen Algebra 7 .M .: Onderwijs. 2006
2. Portaal voor het bekijken van gezinnen ().
Taak 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 960, p.210;
Taak 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 961, item 210;
Taak 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr. 962, item 210;
De benadering van de auteur van dit onderwerp is niet toevallig. Vergelijkingen met twee variabelen worden voor het eerst aangetroffen in de cursus van het 7e leerjaar. Een vergelijking met twee variabelen heeft een oneindig aantal oplossingen. Dit wordt duidelijk aangetoond door de grafiek van een lineaire functie gegeven als ax + by=c. In de schoolcursus bestuderen de leerlingen stelsels van twee vergelijkingen met twee variabelen. Dientengevolge valt een hele reeks problemen, met beperkte voorwaarden voor de coëfficiënt van de vergelijking, evenals methoden om ze op te lossen, buiten het gezichtsveld van de leraar en dus de leerling.
We hebben het over het oplossen van een vergelijking met twee onbekenden in gehele of natuurlijke getallen.
Op school worden natuurlijke en gehele getallen bestudeerd in de klassen 4-6. Tegen de tijd dat ze de school verlaten, herinneren niet alle leerlingen zich de verschillen tussen de sets van deze getallen.
Een taak als "een vergelijking van de vorm ax + by=c in gehele getallen oplossen" komt echter steeds vaker voor bij toelatingsexamens voor universiteiten en in USE-materiaal.
Het oplossen van onbepaalde vergelijkingen ontwikkelt logisch denken, vindingrijkheid en aandacht voor analyse.
Ik stel voor om verschillende lessen over dit onderwerp te ontwikkelen. Ik heb geen duidelijke aanbevelingen over de timing van deze lessen. Losse elementen kunnen gebruikt worden in het 7e leerjaar (voor een sterke klas). Deze lessen kunnen als basis worden genomen en een klein keuzevak ontwikkelen over pre-profile voorbereiding in het 9e leerjaar. En natuurlijk kan dit materiaal worden gebruikt in de klassen 10-11 om zich voor te bereiden op examens.
Het doel van de les:
- herhaling en generalisatie van kennis over het onderwerp "Vergelijkingen van de eerste en tweede orde"
- opleiding van cognitieve interesse in het onderwerp
- vorming van vaardigheden om te analyseren, generalisaties te maken, kennis over te dragen naar een nieuwe situatie
Les 1.
Tijdens de lessen.
1) Org. moment.
2) Actualisatie van basiskennis.
Definitie. Een lineaire vergelijking met twee variabelen is een vergelijking van de vorm
mx + ny = k, waarbij m, n, k getallen zijn, x, y variabelen.
Voorbeeld: 5x+2y=10
Definitie. Een oplossing voor een vergelijking met twee variabelen is een paar waarden van de variabelen die van deze vergelijking een echte gelijkheid maken.
Vergelijkingen met twee variabelen met dezelfde oplossingen worden equivalent genoemd.
1,5x+2j=12 (2)y=-2,5x+6
Deze vergelijking kan een willekeurig aantal oplossingen hebben. Om dit te doen, volstaat het om elke x-waarde te nemen en de bijbehorende y-waarde te vinden.
Laat x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Cijferparen (2;1); (4;-4) - oplossingen van vergelijking (1).
Deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen.
3) Historische achtergrond
Onbepaalde (Diophantische) vergelijkingen zijn vergelijkingen die meer dan één variabele bevatten.
In de IIIe eeuw. ADVERTENTIE – Diophantus van Alexandrië schreef "Rekenkunde", waarin hij de reeks getallen uitbreidde tot rationele, introduceerde algebraïsche symboliek.
Diophantus overwoog ook de problemen van het oplossen van onbepaalde vergelijkingen en hij gaf methoden voor het oplossen van onbepaalde vergelijkingen van de tweede en derde graad.
4) Nieuw materiaal leren.
Definitie: Een inhomogene eerste-orde Diophantische vergelijking met twee onbekenden x, y is een vergelijking van de vorm mx + ny = k, waarbij m, n, k, x, y Z k0
Stelling 1.
Als de vrije term k in vergelijking (1) niet deelbaar is door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen m en n, dan heeft vergelijking (1) geen oplossingen voor gehele getallen.
Voorbeeld: 34x - 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 is niet deelbaar door 17, er is geen oplossing in gehele getallen.
Laat k deelbaar zijn door ggd(m, n). Door alle coëfficiënten te delen, kan men bereiken dat m en n coprime worden.
Stelling 2.
Als m en n van vergelijking (1) wederzijds zijn priemgetallen, dan heeft deze vergelijking minstens één oplossing.
Stelling 3.
Als de coëfficiënten m en n van vergelijking (1) relatief priemgetallen zijn, dan heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen:
Waar (; ) een willekeurige oplossing van vergelijking (1) is, t Z
Definitie. Een homogene eerste-orde Diophantische vergelijking met twee onbekenden x, y is een vergelijking van de vorm mx + ny = 0, waarbij (2)
Stelling 4.
Als m en n relatief priemgetallen zijn, dan heeft elke oplossing van vergelijking (2) de vorm 
5) Huiswerk. Los de vergelijking op in gehele getallen:
- 9x - 18y = 5
- x+y=xy
- Verschillende kinderen waren appels aan het plukken. Elke jongen verzamelde 21 kg en het meisje 15 kg. In totaal verzamelden ze 174 kg. Hoeveel jongens en hoeveel meisjes waren appels aan het plukken?
Opmerking. Deze les geeft geen voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen in gehele getallen. Dat is waarom huiswerk kinderen beslissen op basis van stelling 1 en selectie.
Les 2
1) Organisatorisch moment
2) Huiswerk nakijken
1) 9x - 18y = 5
5 is niet deelbaar door 9, er zijn geen oplossingen in gehele getallen.
De selectiemethode kan een oplossing vinden
Antwoord: (0;0), (2;2)
3) Laten we een vergelijking maken:
Laat jongens x, x Z, en meisjes y, y Z, dan kunnen we de vergelijking 21x + 15y = 174 schrijven
Veel studenten die een vergelijking hebben gemaakt, zullen deze niet kunnen oplossen.
Antwoord: 4 jongens, 6 meisjes.
3) Nieuw materiaal leren
Geconfronteerd met moeilijkheden bij het maken van huiswerk, raakten de studenten overtuigd van de noodzaak om hun methoden voor het oplossen van onbepaalde vergelijkingen te bestuderen. Laten we er een paar bekijken.
I. Beschouwingswijze van restanten uit deling.
Voorbeeld. Los de vergelijking op in gehele getallen 3x – 4y = 1.
De linkerkant van de vergelijking is deelbaar door 3, dus de rechterkant moet ook deelbaar zijn. Laten we drie gevallen bekijken.
Antwoord: waar m Z.
De beschreven methode is handig om toe te passen als de getallen m en n niet klein zijn, maar uiteenvallen in eenvoudige factoren.
Voorbeeld: Los vergelijkingen op in gehele getallen.
Zij y = 4n, dan is 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) deelbaar door 4.
y = 4n+1, dan is 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n niet deelbaar door 4.
y = 4n+2, dan is 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n niet deelbaar door 4.
y = 4n+3, dan is 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n niet deelbaar door 4.
Daarom, y = 4n, dan
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Antwoord: , waarbij n Z.
II. Onbepaalde vergelijkingen van de 2e graad
Vandaag zullen we in de les alleen ingaan op de oplossing van tweede-orde Diophantische vergelijkingen.
En van alle soorten vergelijkingen, overweeg het geval waarin u de formule voor het verschil van kwadraten of een andere manier van factoring kunt toepassen.
Voorbeeld: Los de vergelijking op in gehele getallen.
13 is een priemgetal, dus het kan maar op vier manieren worden ontbonden: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Overweeg deze gevallen
Antwoord: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Huiswerk.
Voorbeelden. Los de vergelijking op in gehele getallen:
(x - y)(x + y)=4
| 2x=4 | 2x=5 | 2x=5 |
| x=2 | x=5/2 | x=5/2 |
| y=0 | niet geschikt | niet geschikt |
| 2x = -4 | niet geschikt | niet geschikt |
| x=-2 | ||
| y=0 |
Antwoord: (-2;0), (2;0).
Antwoorden: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
in) 
Antwoord: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Resultaten. Wat betekent het om een vergelijking in gehele getallen op te lossen?
Welke methoden voor het oplossen van onbepaalde vergelijkingen ken je?
Sollicitatie:
Oefeningen voor training.
1) Los op in hele getallen.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x - 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, nZ |
| f) 7x - 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x - 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ |
| h) 28x - 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Vind integere niet-negatieve oplossingen van de vergelijking.
In de wiskundecursus van de 7e klas ontmoeten ze voor het eerst: vergelijkingen met twee variabelen, maar ze worden alleen bestudeerd in de context van stelsels van vergelijkingen met twee onbekenden. Daarom vallen een aantal problemen uit het oog, waarbij bepaalde voorwaarden worden geïntroduceerd aan de coëfficiënten van de vergelijking die hen beperken. Bovendien worden methoden voor het oplossen van problemen zoals "Een vergelijking in natuurlijke of gehele getallen oplossen" ook genegeerd, hoewel in GEBRUIK materialen en bij de toelatingsexamens komen dit soort problemen steeds vaker voor.
Welke vergelijking wordt een vergelijking met twee variabelen genoemd?
Dus bijvoorbeeld de vergelijkingen 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, of xy = 12 zijn vergelijkingen met twee variabelen.
Beschouw de vergelijking 2x - y = 1. Het verandert in een echte gelijkheid bij x = 2 en y = 3, dus dit paar variabele waarden is een oplossing voor de vergelijking in kwestie.
De oplossing van elke vergelijking met twee variabelen is dus de reeks geordende paren (x; y), de waarden van de variabelen die deze vergelijking verandert in een echte numerieke gelijkheid.
Een vergelijking met twee onbekenden kan:
a) één oplossing hebben. De vergelijking x 2 + 5y 2 = 0 heeft bijvoorbeeld een unieke oplossing (0; 0);
b) meerdere oplossingen hebben. Bijvoorbeeld (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 heeft 4 oplossingen: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
in) hebben geen oplossingen. De vergelijking x 2 + y 2 + 1 = 0 heeft bijvoorbeeld geen oplossingen;
G) oneindig veel oplossingen hebben. Bijvoorbeeld x + y = 3. De oplossingen van deze vergelijking zijn getallen waarvan de som 3 is. De reeks oplossingen van deze vergelijking kan worden geschreven als (k; 3 - k), waarbij k een willekeurig reëel getal is.
De belangrijkste methoden voor het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen zijn methoden die zijn gebaseerd op factoring-uitdrukkingen, waarbij het volledige vierkant wordt benadrukt, met behulp van de eigenschappen van een kwadratische vergelijking, begrensdheid van uitdrukkingen en evaluatiemethoden. De vergelijking wordt in de regel omgezet in een vorm waaruit een systeem voor het vinden van onbekenden kan worden verkregen.
Factorisatie
voorbeeld 1
Los de vergelijking op: xy - 2 = 2x - y.
Oplossing.
We groeperen de termen voor factoring:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. Haal de gemeenschappelijke factor uit elk haakje:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 2) = 0. We hebben:
y = 2, x is een willekeurig reëel getal of x = -1, y is een willekeurig reëel getal.
Op deze manier, het antwoord is alle paren van de vorm (x; 2), x € R en (-1; y), y € R.
Gelijkheid tot nul van niet-negatieve getallen
Voorbeeld 2
Los de vergelijking op: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Oplossing.
Groepering:
(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Nu kan elk haakje worden samengevouwen met behulp van de vierkantsverschilformule.
(3x - 2) 2 + (2j - 3) 2 = 0.
De som van twee niet-negatieve uitdrukkingen is alleen nul als 3x - 2 = 0 en 2y - 3 = 0.
Dus x = 2/3 en y = 3/2.
Antwoord: (2/3; 3/2).
Evaluatie methode
Voorbeeld 3
Los de vergelijking op: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Oplossing.
Selecteer in elk haakje het volledige vierkant:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Schatting 
de betekenis van de uitdrukkingen tussen haakjes.
(x + 1) 2 + 1 1 en (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, dan is de linkerkant van de vergelijking altijd minimaal 2. Gelijkheid is mogelijk als:
(x + 1) 2 + 1 = 1 en (y - 2) 2 + 2 = 2, dus x = -1, y = 2.
Antwoord: (-1; 2).
Laten we kennis maken met een andere methode voor het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen van de tweede graad. Deze methode is dat de vergelijking wordt beschouwd als: kwadraat met betrekking tot een variabele.
Voorbeeld 4
Los de vergelijking op: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.
Oplossing.
Laten we de vergelijking oplossen als een kwadratische vergelijking met betrekking tot x. Laten we de discriminant vinden:
D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . De vergelijking heeft alleen een oplossing als D = 0, d.w.z. als y = 4. We vervangen de waarde van y in de oorspronkelijke vergelijking en vinden dat x = 3.
Antwoord: (3; 4).
Vaak geven vergelijkingen met twee onbekenden aan: beperkingen op variabelen.
Voorbeeld 5
Los de vergelijking op in gehele getallen: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Oplossing.
Laten we de vergelijking herschrijven in de vorm x 2 = -5y 2 + 20x + 2. De rechterkant van de resulterende vergelijking, wanneer gedeeld door 5, geeft een rest van 2. Daarom is x 2 niet deelbaar door 5. Maar het kwadraat van een getal dat niet deelbaar is door 5 geeft een rest van 1 of 4. Gelijkwaardigheid is dus onmogelijk en er zijn geen oplossingen.
Antwoord: geen wortels.
Voorbeeld 6
Los de vergelijking op: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.
Oplossing.
Laten we de volledige vierkanten in elk haakje selecteren:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. De linkerkant van de vergelijking is altijd groter dan of gelijk aan 3. Gelijkheid is mogelijk als |x| – 2 = 0 en y + 3 = 0. Dus x = ± 2, y = -3.
Antwoord: (2; -3) en (-2; -3).
Voorbeeld 7
Voor elk paar negatieve gehele getallen (x; y) dat voldoet aan de vergelijking
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, bereken de som (x + y). Beantwoord het kleinste bedrag.
Oplossing.
Selecteer volledige vierkanten:
(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Aangezien x en y gehele getallen zijn, zijn hun kwadraten ook gehele getallen. De som van de kwadraten van twee gehele getallen, gelijk aan 37, krijgen we als we 1 + 36 optellen. Daarom:
(x - y) 2 = 36 en (y + 2) 2 = 1 
(x - y) 2 = 1 en (y + 2) 2 = 36.
Door deze systemen op te lossen en rekening te houden met het feit dat x en y negatief zijn, vinden we oplossingen: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Antwoord: -17.
Wanhoop niet als je problemen hebt bij het oplossen van vergelijkingen met twee onbekenden. Met een beetje oefening kun je elke vergelijking onder de knie krijgen.
Heb je nog vragen? Weet je niet hoe je vergelijkingen met twee variabelen moet oplossen?
Om de hulp van een tutor te krijgen - registreer je.
De eerste les is gratis!
site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.
Een lineaire vergelijking met twee variabelen is elke vergelijking die de volgende vorm heeft: a*x + b*y =c. Hier zijn x en y twee variabelen, a, b, c zijn enkele getallen.
Hieronder een paar voorbeelden van lineaire vergelijkingen.
1. 10*x + 25*y = 150;
Net als vergelijkingen met één onbekende, heeft ook een lineaire vergelijking met twee variabelen (onbekenden) een oplossing. De lineaire vergelijking x-y=5, met x=8 en y=3, verandert bijvoorbeeld in de juiste identiteit 8-3=5. In dit geval zou het getallenpaar x=8 en y=3 een oplossing zijn voor de lineaire vergelijking x-y=5. Je kunt ook zeggen dat het getallenpaar x=8 en y=3 voldoet aan de lineaire vergelijking x-y=5.
Een lineaire vergelijking oplossen
Dus de oplossing van de lineaire vergelijking a * x + b * y = c, is een willekeurig paar getallen (x, y) dat aan deze vergelijking voldoet, dat wil zeggen, het verandert de vergelijking met de variabelen x en y in de juiste numerieke gelijkwaardigheid. Merk op hoe het paar getallen x en y hier is geschreven. Zo'n record is korter en handiger. Onthoud alleen dat de eerste plaats in zo'n record de waarde van de variabele x is, en de tweede de waarde van de variabele y.
Merk op dat de getallen x=11 en y=8, x=205 en y=200 x= 4,5 en y= -0,5 ook voldoen aan de lineaire vergelijking x-y=5, en daarom oplossingen zijn voor deze lineaire vergelijking.
Een lineaire vergelijking oplossen in twee onbekenden is niet de enige. Elke lineaire vergelijking in twee onbekenden heeft oneindig veel verschillende oplossingen. Dat wil zeggen, er is een oneindig aantal verschillende twee getallen x en y die de lineaire vergelijking veranderen in een echte identiteit.
Als meerdere vergelijkingen in twee variabelen dezelfde oplossingen hebben, worden dergelijke vergelijkingen equivalente vergelijkingen genoemd. Opgemerkt moet worden dat als vergelijkingen met twee onbekenden geen oplossingen hebben, ze ook als equivalent worden beschouwd.
Basiseigenschappen van lineaire vergelijkingen in twee onbekenden
1. Elk van de termen in de vergelijking kan van het ene deel naar het andere worden overgedragen, terwijl het nodig is om het teken in het tegenovergestelde te veranderen. De resulterende vergelijking zal gelijk zijn aan het origineel.
2. Beide zijden van de vergelijking kunnen worden gedeeld door elk getal dat niet nul is. Als resultaat krijgen we een vergelijking die gelijk is aan de oorspronkelijke.
