Wat is een graad met een natuurlijke indicator (V.A. Tarasov)

24.09.2019

Videoles 2: diploma c natuurlijke indicator en zijn eigenschappen

Lezing:

Graad met een natuurlijke indicator

Onder rang een nummer "a" met een indicator "n" het product van een getal begrijpen "a" op zichzelf "n" een keer.

Als we het hebben over een graad met een natuurlijke indicator, betekent dit dat het getal "n" moet een geheel getal zijn en niet negatief.

a- de basis van de graad, die aangeeft welk getal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd,

n- exponent - het vertelt hoe vaak het grondtal met zichzelf vermenigvuldigd moet worden.

Bijvoorbeeld:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

In dit geval wordt de basis van de graad begrepen als het getal "8", de index van de graad is het getal "4", de waarde van de graad wordt begrepen als het getal "4096".

De grootste en meest voorkomende fout bij het berekenen van de graad is het vermenigvuldigen van de exponent met het grondtal - DIT IS NIET WAAR!

Wanneer we zijn aan het praten ongeveer een graad met een natuurlijke exponent, wat betekent dat alleen de exponent (n) moet een natuurlijk getal zijn.

Elk nummer op de getallenlijn kan als basis worden gebruikt.

Bijvoorbeeld,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

De wiskundige bewerking die wordt uitgevoerd op het grondtal en de exponent wordt exponentiatie genoemd.

Optellen / aftrekken is de wiskundige bewerking van de eerste fase, vermenigvuldigen / delen is de bewerking van de tweede fase, machtsverheffen is de wiskundige bewerking van de derde fase, dat wil zeggen een van de hoogste.

Deze hiërarchie van wiskundige bewerkingen bepaalt de volgorde in de berekening. Als deze actie plaatsvindt in taken onder de vorige twee, wordt deze eerst gedaan.

Bijvoorbeeld:

15 + 6 *2 2 = 39

BIJ dit voorbeeld je moet eerst 2 tot de macht verheffen, dat wil zeggen

vermenigvuldig dan het resultaat met 6, dat wil zeggen

Een graad met een natuurlijke indicator wordt niet alleen gebruikt voor specifieke berekeningen, maar ook voor het gemak van notatie grote getallen. In dit geval wordt het concept ook gebruikt "standaard nummerformulier". Deze invoer impliceert de vermenigvuldiging van een bepaald getal van 1 tot 9 met een machtsbasis gelijk aan 10 met een exponent.

Bijvoorbeeld, gebruik de volgende notatie om de straal van de aarde in standaardvorm te schrijven:

6400000 m = 6,4 * 106 m,

en de massa van de aarde wordt bijvoorbeeld als volgt geschreven:

graad eigenschappen

Voor het gemak van het oplossen van voorbeelden met graden, is het noodzakelijk om hun belangrijkste eigenschappen te kennen:

1. Als u twee machten met dezelfde basis moet vermenigvuldigen, moet u in dit geval de basis ongewijzigd laten en de indicatoren toevoegen.

een n * een m = a n+m

Bijvoorbeeld:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Als het nodig is om twee graden met dezelfde basis te delen, moet de basis in dit geval ongewijzigd blijven en moeten de indicatoren worden afgetrokken. Houd er rekening mee dat voor bewerkingen met machten met een natuurlijke exponent, de exponent van het deeltal groter moet zijn dan de exponent van de deler. Anders is het quotiënt van deze actie een getal met een negatieve exponent.

een n / een m = een n-m

Bijvoorbeeld,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Als het nodig is om de ene macht naar de andere te verheffen, blijft de basis van het resultaat hetzelfde getal en worden de exponenten vermenigvuldigd.

(een n) m = a n*m

Bijvoorbeeld,

4. Als het nodig is om het product van willekeurige getallen tot een bepaalde macht te verhogen, dan kunnen we een bepaalde distributiewet gebruiken, waaronder we het product krijgen verschillende gronden in dezelfde mate.

(a * b) m = een m * b m

Bijvoorbeeld,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Een soortgelijke eigenschap kan worden gebruikt om machten te verdelen, met andere woorden, om een gewoon dubbel tot een macht te verheffen.

(a / b) m = een m / b m

6. Elk getal dat wordt verheven tot een exponent gelijk aan één is gelijk aan het oorspronkelijke getal.

een 1 = een

Bijvoorbeeld,

7. Bij het verhogen van een willekeurig getal tot een macht met een exponent van nul, is het resultaat van deze berekening altijd één.

en 0 = 1

Bijvoorbeeld,

>>Wiskunde: wat is een graad met natuurlijke exponent

Wat is een graad met een natuurlijke indicator?

A. V. Pogorelov, Geometrie voor de rangen 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Inhoud van de les les samenvatting ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Oefening opdrachten en oefeningen zelfonderzoek workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van leerlingen Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen grafieken, tabellen, schema's humor, anekdotes, grappen, stripverhalen, spreuken, kruiswoordpuzzels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierige ledikanten leerboeken basis- en aanvullende woordenlijst overige Leerboeken en lessen verbeterenfouten in het leerboek corrigeren een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar richtlijnen discussieprogramma's Geïntegreerde lessen

De volgende formule is de definitie: graden met een natuurlijke indicator(a is de basis van de exponent en de herhaalde factor, en n is de exponent, die aangeeft hoe vaak de factor wordt herhaald):

Deze uitdrukking betekent dat de macht van een getal met een natuurlijke exponent n het product is van n factoren, aangezien elk van de factoren gelijk is aan a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - de basis van de graad,

5 - exponent,

1419857 is de graadwaarde.

De exponent met nul exponent is 1 , op voorwaarde dat een \neq 0 :

a^0=1 .

Bijvoorbeeld: 2^0=1

Wanneer opnemen? groot aantal meestal wordt een macht van 10 gebruikt.

Een van de oudste dinosaurussen op aarde leefde bijvoorbeeld ongeveer 280 miljoen jaar geleden. Zijn leeftijd wordt als volgt geschreven: 2.8 \cdot 10^8 .

Elk getal groter dan 10 kan worden geschreven als een \cdot 10^n , op voorwaarde dat 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standaardweergave nummers.

Voorbeelden van dergelijke nummers: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Je kunt zowel "a tot de n-de macht" zeggen als "n-de macht van het getal a" en "a tot de macht van n".

4^5 - "vier tot de macht van 5" of "4 tot de vijfde macht" of je kunt ook zeggen "vijfde macht van het getal 4"

In dit voorbeeld is 4 de basis van de graad, 5 is de exponent.

We geven nu een voorbeeld met breuken en negatieve getallen. Om verwarring te voorkomen, is het gebruikelijk om andere basen dan natuurlijke getallen tussen haakjes te schrijven:

(7,38)^2 , \links(\frac 12 \rechts)^7, (-1)^4 enz.

Let ook op het verschil:

(-5)^6 - betekent graad negatief nummer−5 met een natuurlijke indicator van 6.

5^6 - komt overeen met het tegenovergestelde getal van 5^6.

Eigenschappen van graden met natuurlijke exponent

De belangrijkste eigenschap van de graad

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Het grondtal blijft hetzelfde, maar de exponenten worden opgeteld.

Bijvoorbeeld: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Eigenschap van gedeeltelijke machten met dezelfde basen

a^n: a^k=a^(n-k) als n > k .

De exponenten worden afgetrokken, maar het grondtal blijft hetzelfde.

Deze beperking n > k wordt ingevoerd om niet verder te gaan dan natuurlijke exponenten. Inderdaad, voor n > k zal de exponent a^(n-k) een natuurlijk getal zijn, anders is het ofwel een negatief getal (k< n ), либо нулем (k-n ).

Bijvoorbeeld: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Macht machtsverheffing eigenschap

(a^n)^k=a^(nk)

Het grondtal blijft hetzelfde, alleen de exponenten worden vermenigvuldigd.

Bijvoorbeeld: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Product exponentiatie eigenschap

Elke factor wordt verheven tot de macht n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Bijvoorbeeld: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

De eigenschap van machtsverheffing van een breuk

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Zowel de teller als de noemer van een breuk worden verheven tot een macht. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

In dit artikel zullen we begrijpen wat is graad van. Hier zullen we definities geven van de graad van een getal, terwijl we alle mogelijke exponenten van de graad in detail bekijken, beginnend met een natuurlijke exponent, eindigend met een irrationele. In het materiaal vind je veel voorbeelden van graden die alle subtiliteiten bestrijken die zich voordoen.

Paginanavigatie.

Graad met natuurlijke exponent, kwadraat van een getal, kubus van een getal

Laten we beginnen met . Vooruitkijkend, laten we zeggen dat de definitie van de graad van a met natuurlijke exponent n wordt gegeven voor a , die we zullen noemen basis van graad, en n , die we zullen noemen exponent. We merken ook op dat de mate met een natuurlijke indicator wordt bepaald door het product, dus om het onderstaande materiaal te begrijpen, moet u een idee hebben over de vermenigvuldiging van getallen.

Definitie.

Macht van getal a met natuurlijke exponent n is een uitdrukking van de vorm a n , waarvan de waarde gelijk is aan het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a , dat wil zeggen .
In het bijzonder is de graad van een getal a met exponent 1 het getal a zelf, dat wil zeggen a 1 =a.

Het is meteen de moeite waard om de regels voor het lezen van graden te vermelden. Universele manier het lezen van de invoer a n is: "a tot de macht van n". In sommige gevallen zijn dergelijke opties ook acceptabel: "a tot de n-de macht" en "n-de macht van het getal a". Laten we bijvoorbeeld de graad 8 12 nemen, dit is "acht tot de macht van twaalf", of "acht tot de twaalfde macht", of "twaalfde macht van acht".

De tweede macht van een getal, evenals de derde macht van een getal, hebben hun eigen naam. De tweede macht van een getal heet het kwadraat van een getal 7 2 wordt bijvoorbeeld gelezen als "zeven kwadraat" of "kwadraat van het getal zeven". De derde macht van een getal heet kubus nummer, bijvoorbeeld, 5 3 kan worden gelezen als "vijf in blokjes" of zeg "kubus van het getal 5".

Het is tijd om te brengen voorbeelden van graden met fysieke indicatoren. Laten we beginnen met de macht 5 7 , waarbij 5 de basis van de macht is en 7 de exponent. Laten we nog een voorbeeld geven: 4.32 is de basis, en natuurlijk nummer 9 - exponent (4.32) 9 .

Merk op dat in het laatste voorbeeld de basis van de graad 4,32 tussen haakjes is geschreven: om discrepanties te voorkomen, nemen we tussen haakjes alle basissen van de graad die verschillen van natuurlijke getallen. Als voorbeeld geven we de volgende graden met natuurlijke indicatoren , zijn hun basen geen natuurlijke getallen, dus staan ze tussen haakjes. Welnu, voor de volledige duidelijkheid zullen we op dit punt het verschil laten zien in de records van de vorm (−2) 3 en −2 3 . De uitdrukking (−2) 3 is de macht van −2 met natuurlijke exponent 3, en de uitdrukking −2 3 (het kan worden geschreven als −(2 3) ) komt overeen met het getal, de waarde van de macht 2 3 .

Merk op dat er een notatie is voor de graad van a met een exponent n van de vorm a^n . Bovendien, als n een natuurlijk getal met meerdere waarden is, wordt de exponent tussen haakjes gezet. 4^9 is bijvoorbeeld een andere notatie voor de macht van 4 9 . En hier zijn meer voorbeelden van het schrijven van graden met het "^"-symbool: 14^(21) , (−2,1)^(155) . In wat volgt zullen we voornamelijk de notatie van de graad van de vorm a n gebruiken.

Een van de problemen, het omgekeerde van machtsverheffing met een natuurlijke exponent, is het probleem van het vinden van de basis van de graad uit een bekende waarde van de graad en een bekende exponent. Deze taak leidt tot .

Het is bekend dat veel rationele nummers bestaat uit gehele getallen en fractionele getallen, en elk fractioneel getal kan worden weergegeven als een positief of negatief gemeenschappelijke breuk. We hebben de graad gedefinieerd met een integer exponent in de vorige paragraaf, daarom moeten we, om de definitie van de graad met een rationale exponent te voltooien, de betekenis van de graad van het getal a geven met een fractionele exponent m / n, waarbij m een geheel getal is en n een natuurlijk getal is. Laten we het doen.

Beschouw een graad met een fractionele exponent van de vorm. Om ervoor te zorgen dat de eigenschap van graad in een graad geldig blijft, moet de gelijkheid gelden . Als we rekening houden met de resulterende gelijkheid en hoe we , dan is het logisch om te accepteren, op voorwaarde dat voor de gegeven m, n en a de uitdrukking logisch is.

Het is gemakkelijk te verifiëren dat alle eigenschappen van een graad met een integer exponent geldig zijn voor as (dit wordt gedaan in de paragraaf over eigenschappen van een graad met een rationale exponent).

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om het volgende te maken: conclusie: als voor gegeven m, n en a de uitdrukking klopt, dan wordt de macht van het getal a met een fractionele exponent m / n de wortel van de n-de graad van a tot de macht m genoemd.

Deze verklaring brengt ons dicht bij de definitie van een graad met een fractionele exponent. Het blijft alleen om te beschrijven waarvoor m, n en a de uitdrukking zinvol is. Afhankelijk van de beperkingen die aan m , n en a worden opgelegd, zijn er twee hoofdbenaderingen.

De gemakkelijkste manier om a te beperken is om a≥0 aan te nemen voor positieve m en a>0 voor negatieve m (omdat m≤0 geen macht van 0 m heeft). Dan krijgen we de volgende definitie van de graad met een fractionele exponent.

Definitie.

Macht van een positief getal a met fractionele exponent m/n, waarbij m een geheel getal is en n een natuurlijk getal is, wordt de wortel van de n-de van het getal a tot de macht m genoemd, dat wil zeggen .

De fractionele graad van nul wordt ook gedefinieerd met het enige voorbehoud dat de exponent positief moet zijn.

Definitie.

Macht van nul met fractionele positieve exponent m/n, waarbij m een positief geheel getal is en n een natuurlijk getal is, wordt gedefinieerd als .
Wanneer de graad niet is gedefinieerd, dat wil zeggen, de graad van het getal nul met een fractionele negatieve exponent heeft geen zin.

Opgemerkt moet worden dat met een dergelijke definitie van de graad met een fractionele exponent, er één nuance is: voor sommige negatieve a en sommige m en n is de uitdrukking logisch, en we hebben deze gevallen verworpen door de voorwaarde a≥0 te introduceren. Het is bijvoorbeeld logisch om te schrijven of , en de bovenstaande definitie dwingt ons om te zeggen dat graden met een fractionele exponent van de vorm zijn zinloos, omdat de basis niet negatief mag zijn.

Een andere benadering om de graad te bepalen met een fractionele exponent m / n is om de even en oneven exponenten van de wortel afzonderlijk te beschouwen. Deze benadering vereist een extra voorwaarde: de graad van het getal a, waarvan de exponent is , wordt beschouwd als de graad van het getal a, waarvan de exponent de corresponderende onherleidbare breuk is (het belang van deze voorwaarde wordt hieronder uitgelegd). Dat wil zeggen, als m/n een irreducibele breuk is, dan wordt voor elk natuurlijk getal k eerst de graad vervangen door .

Voor even n en positief m is de uitdrukking logisch voor elke niet-negatieve a (de wortel van een even graad van een negatief getal heeft geen zin), voor negatief m moet het getal a nog steeds verschillend zijn van nul (anders is er zal een deling door nul zijn). En voor oneven n en positief m kan het getal a van alles zijn (de wortel van een oneven graad is gedefinieerd voor elk reëel getal), en voor negatief m moet het getal a verschillend zijn van nul (zodat er geen deling door nul).

De bovenstaande redenering leidt ons tot een dergelijke definitie van de graad met een fractionele exponent.

Definitie.

Laat m/n een onherleidbare breuk zijn, m een geheel getal en n een natuurlijk getal. Voor elke reduceerbare gewone breuk wordt de graad vervangen door . De macht van a met een onherleidbare fractionele exponent m / n is voor

Laten we uitleggen waarom een graad met een herleidbare fractionele exponent eerst wordt vervangen door een graad met een onherleidbare exponent. Als we de graad eenvoudig zouden definiëren als , en geen voorbehoud zouden maken over de onherleidbaarheid van de breuk m / n , dan zouden we situaties tegenkomen die vergelijkbaar zijn met de volgende: aangezien 6/10=3/5 , dan is de gelijkheid , maar , a .

L. Werk n factoren, die elk gelijk zijn aan a genaamd n-de macht van een getal a en aangegeven an.

Voorbeelden. Schrijf het product als een graad.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Oplossing.

1) mmmm=m 4, aangezien, per definitie van graad, het product van vier factoren, die elk gelijk zijn aan m, zal zijn de vierde macht van m.

2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

II. De bewerking waarmee het product van meerdere gelijke factoren wordt gevonden, wordt machtsverheffing genoemd. Het getal dat tot een macht wordt verheven, wordt de basis van de macht genoemd. Het getal dat aangeeft tot welke macht het grondtal wordt verheven, wordt de exponent genoemd. Dus, an- rang, a- basis van graad n- exponent. Bijvoorbeeld:

2 3 — het is een graad. Nummer 2 - het grondtal van de graad, de exponent is gelijk aan 3 . Graadwaarde: 2 3 gelijk aan 8, omdat 2 3 =2 2 2=8.

Voorbeelden. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder de exponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Oplossing.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) een 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaa+3bb.

III. en 0 =1 Elk getal (behalve nul) tot de macht nul is gelijk aan één. Bijvoorbeeld 25 0 =1.
IV. een 1 = eenElk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf.

v. ben∙ een= ben + n Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal hetzelfde, en de exponenten optellen.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Oplossing.

9) een 3 een 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. ben: een= ben - nBij het delen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal gelijk en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

12) een 8: een 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) een 8: een 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m11-4 =m7; veertien ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (ben) n= amn Bij het verheffen van een macht tot een macht, blijft de basis hetzelfde en worden de exponenten vermenigvuldigd.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

15) (a3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

Opmerking, die, aangezien het product niet verandert door een permutatie van factoren, dan:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Vl II. (a b) n = een n ∙ b n Wanneer een product tot een macht wordt verheven, wordt elk van de factoren tot die macht verheven.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .