Mate van aantal: definities, aanduiding, voorbeelden. Videoles "Wat is een diploma met een natuurlijke indicator

24.09.2019

Nadat de graad van het getal is bepaald, is het logisch om over te praten graad eigenschappen. In dit artikel geven we de basiseigenschappen van de graad van een getal, waarbij we alle mogelijke exponenten aansnijden. Hier zullen we bewijzen geven van alle eigenschappen van de graad, en ook laten zien hoe deze eigenschappen worden toegepast bij het oplossen van voorbeelden.

Paginanavigatie.

Eigenschappen van graden met natuurlijke indicatoren

Per definitie van een macht met een natuurlijke exponent, is de macht van a n het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a . Op basis van deze definitie, en met behulp van eigenschappen vermenigvuldigen met reële getallen, kunnen we het volgende verkrijgen en rechtvaardigen: graad eigenschappen met natuurlijke indicator :

de hoofdeigenschap van de graad a m ·a n =a m+n , zijn generalisatie ;
de eigenschap van deelmachten met dezelfde grondtalen a m:a n =a m−n ;
product graad eigenschap (a b) n =a n b n , de extensie ;
quotiënteigenschap in natura (a:b) n =a n:b n ;
machtsverheffing (a m) n =a m n , de veralgemening ervan (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
graad vergelijken met nul:
- als a>0 , dan is een n >0 voor elke natuurlijke n ;
- als a=0 , dan is a n =0 ;
- als een<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 als een<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
als a en b positieve getallen zijn en a
als m en n natuurlijke getallen zijn zodat m>n , dan bij 0 0 de ongelijkheid a m >a n is waar.

We merken meteen op dat alle geschreven gelijkheden zijn identiek onder de gespecificeerde voorwaarden, en hun rechter en linkerdelen kunnen worden uitgewisseld. Bijvoorbeeld, de hoofdeigenschap van de breuk a m a n = a m + n met vereenvoudiging van uitdrukkingen vaak gebruikt in de vorm a m+n = a m a n .

Laten we nu elk van hen in detail bekijken.

Laten we beginnen met de eigenschap van het product van twee machten met dezelfde basen, die wordt genoemd de belangrijkste eigenschap van de graad: voor elk reëel getal a en alle natuurlijke getallen m en n is de gelijkheid a m ·a n =a m+n waar.

Laten we de belangrijkste eigenschap van de graad bewijzen. Door de definitie van een graad met een natuurlijke exponent, kan het product van machten met dezelfde grondtalen van de vorm a m ·a n als product worden geschreven. Vanwege de eigenschappen van vermenigvuldiging kan de resulterende uitdrukking worden geschreven als , en dit product is de macht van a met natuurlijke exponent m+n , dat wil zeggen, a m+n . Dit maakt het bewijs compleet.

Laten we een voorbeeld geven dat de belangrijkste eigenschap van de graad bevestigt. Laten we graden nemen met dezelfde grondtalen 2 en natuurlijke graden 2 en 3, volgens de hoofdeigenschap van de graad kunnen we de gelijkheid schrijven 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Laten we de geldigheid ervan controleren, waarvoor we de waarden van de uitdrukkingen 2 2 · 2 3 en 2 5 berekenen. Als we exponentiatie uitvoeren, hebben we: 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 en 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, aangezien gelijke waarden worden verkregen, is de gelijkheid 2 2 2 3 \u003d 2 5 correct en bevestigt het de hoofdeigenschap van de graad.

De hoofdeigenschap van een graad op basis van de eigenschappen van vermenigvuldiging kan worden gegeneraliseerd naar het product van drie of meer machten met dezelfde basen en natuurlijke exponenten. Dus voor elk willekeurig getal k van natuurlijke getallen n 1 , n 2 , …, n k de gelijkheid een n 1 een n 2 een n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Bijvoorbeeld, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

U kunt naar de volgende eigenschap van graden gaan met een natuurlijke indicator - de eigenschap van gedeeltelijke machten met dezelfde basen: voor elk reëel getal a en willekeurige natuurlijke getallen m en n die voldoen aan de voorwaarde m>n , is de gelijkheid a m:a n =a m−n waar.

Voordat we het bewijs van deze eigenschap leveren, bespreken we eerst de betekenis van de aanvullende voorwaarden in de verklaring. De voorwaarde a≠0 is nodig om delen door nul te voorkomen, aangezien 0 n =0, en toen we kennis maakten met delen, waren we het erover eens dat het onmogelijk is om door nul te delen. De voorwaarde m>n wordt geïntroduceerd zodat we niet verder gaan dan natuurlijke exponenten. Inderdaad, voor m>n is de exponent a m−n een natuurlijk getal, anders is het ofwel nul (wat gebeurt voor m−n ) of een negatief getal (wat gebeurt voor m
Een bewijs. De hoofdeigenschap van een breuk stelt ons in staat om de gelijkheid te schrijven a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Uit de verkregen gelijkheid a m−n ·a n =a m en daaruit volgt dat a m−n een quotiënt is van machten van a m en a n . Dit bewijst de eigenschap van deelmachten met dezelfde basen.

Laten we een voorbeeld nemen. Laten we twee graden nemen met dezelfde basen π en natuurlijke exponenten 5 en 2, de beschouwde eigenschap van de graad komt overeen met de gelijkheid π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Overweeg nu: product graad eigendom: de natuurlijke graad n van het product van twee reële getallen a en b is gelijk aan het product van de graden a n en b n , dat wil zeggen, (a b) n =a n b n .

Inderdaad, per definitie van een graad met een natuurlijke exponent, hebben we: . Het laatste product, gebaseerd op de eigenschappen van vermenigvuldiging, kan worden herschreven als , wat gelijk is aan a n b n .

Hier is een voorbeeld: .

Deze eigenschap strekt zich uit tot de graad van het product van drie of meer factoren. Dat wil zeggen, de natuurlijke machtseigenschap n van het product van k factoren wordt geschreven als (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Voor de duidelijkheid tonen we deze woning met een voorbeeld. Voor het product van drie factoren tot de macht 7 hebben we .

De volgende eigenschap is natuurlijke eigendom: het quotiënt van de reële getallen a en b , b≠0 tot de natuurlijke macht n is gelijk aan het quotiënt van de machten a n en b n , dat wil zeggen, (a:b) n =a n:b n .

Het bewijs kan worden uitgevoerd met behulp van de vorige eigenschap. Dus (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, en de gelijkheid (a:b) n b n =a n impliceert dat (a:b) n het quotiënt is van a n gedeeld door b n .

Laten we deze eigenschap schrijven aan de hand van het voorbeeld van specifieke getallen: .

Laten we nu eens stemmen machtsverheffen eigenschap: voor elk reëel getal a en alle natuurlijke getallen m en n is de macht van a m tot de macht van n gelijk aan de macht van a met exponent m·n , dat wil zeggen (a m) n =a m·n .

Bijvoorbeeld (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Het bewijs van de machtseigenschap in een graad is de volgende keten van gelijkheden: .

De beschouwde eigenschap kan worden uitgebreid tot graad binnen graad, enzovoort. Bijvoorbeeld, voor alle natuurlijke getallen p, q, r en s, de gelijkheid . Voor meer duidelijkheid, hier is een voorbeeld met specifieke nummers: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rest nog om stil te staan bij de eigenschappen van het vergelijken van graden met een natuurlijke exponent.

We beginnen met het bewijzen van de vergelijkingseigenschap van nul en macht met een natuurlijke exponent.

Laten we eerst rechtvaardigen dat a n >0 voor elke a>0 .

Het product van twee positieve getallen is een positief getal, zoals blijkt uit de definitie van vermenigvuldigen. Dit feit en de eigenschappen van vermenigvuldiging stellen ons in staat te stellen dat het resultaat van het vermenigvuldigen van een willekeurig aantal positieve getallen ook een positief getal zal zijn. En de macht van a met natuurlijke exponent n is per definitie het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a. Deze argumenten stellen ons in staat te stellen dat voor elk positief grondtal a de graad van a n een positief getal is. Op grond van de bewezen eigenschap 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 and .

Het is vrij duidelijk dat voor elke natuurlijke n met a=0 de graad van a n nul is. Inderdaad, 0 n =0·0·…·0=0 . Bijvoorbeeld 0 3 =0 en 0 762 =0 .

Laten we verder gaan met negatieve basen.

Laten we beginnen met het geval waarin de exponent een even getal is, noteer het als 2 m , waarbij m een natuurlijk getal is. Dan . Voor elk van de producten van de vorm is a·a gelijk aan het product van de modules van de getallen a en a is dus een positief getal. Daarom zal het product ook positief zijn. en graad a 2 m . Hier zijn voorbeelden: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 en .

Ten slotte, wanneer het grondtal van a een negatief getal is en de exponent een oneven getal 2 m−1, dan . Alle producten a a zijn positieve getallen, het product van deze positieve getallen is ook positief, en de vermenigvuldiging met de resterende een negatief getal a resulteert in een negatief getal. Door deze eigenschap (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

We wenden ons tot de eigenschap van het vergelijken van graden met dezelfde natuurlijke exponenten, die de volgende formulering heeft: van twee graden met dezelfde natuurlijke exponenten, is n kleiner dan degene waarvan het grondtal kleiner is, en meer dan het getal waarvan het grondtal groter is. Laten we het bewijzen.

ongelijkheid een n eigenschappen van ongelijkheden de bewezen ongelijkheid van de vorm a n .

Het blijft om de laatste van de genoemde eigenschappen van machten met natuurlijke exponenten te bewijzen. Laten we het formuleren. Van de twee graden met natuurlijke indicatoren en dezelfde positieve basen, minder dan één, is de graad groter, waarvan de indicator kleiner is; en van twee graden met natuurlijke indicatoren en dezelfde bases groter dan één, is de graad waarvan de indicator groter is groter. We wenden ons tot het bewijs van deze eigenschap.

Laten we bewijzen dat voor m>n en 0 0 vanwege de beginvoorwaarde m>n , waaruit volgt dat bij 0
Het blijft om het tweede deel van het pand te bewijzen. Laten we bewijzen dat voor m>n en a>1 a m >a n waar is. Het verschil a m −a n na het nemen van een n tussen haakjes heeft de vorm a n ·(a m−n −1) . Dit product is positief, aangezien voor a>1 de graad van a n een positief getal is, en het verschil a m−n −1 een positief getal is, aangezien m−n>0 door de beginvoorwaarde, en voor a>1, de graad van een m−n is groter dan één. Dus a m − a n >0 en a m >a n , wat bewezen moest worden. Deze eigenschap wordt geïllustreerd door de ongelijkheid 3 7 >3 2 .

Eigenschappen van graden met gehele exponenten
Aangezien positieve gehele getallen natuurlijke getallen zijn, vallen alle eigenschappen van machten met positieve gehele exponenten exact samen met de eigenschappen van machten met natuurlijke exponenten, opgesomd en bewezen in de vorige paragraaf.

De graad met een negatieve integer-exponent, evenals de graad met een nul-exponent, hebben we zo gedefinieerd dat alle eigenschappen van graden met natuurlijke exponenten uitgedrukt door gelijkheden geldig blijven. Daarom zijn al deze eigenschappen zowel geldig voor nul-exponenten als voor negatieve exponenten, terwijl de basissen van de graden natuurlijk niet nul zijn.

Dus voor alle reële en niet-nul getallen a en b, evenals alle gehele getallen m en n, geldt het volgende: eigenschappen van graden met gehele exponenten:

een m a n \u003d een m + n;

een m: een n = een m−n;

(a b) n = een n b n;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n = een m n ;

als n een positief geheel getal is, zijn a en b positieve getallen, en a bn;

als m en n gehele getallen zijn, en m>n , dan bij 0 1 de ongelijkheid a m >a n is vervuld.

Voor a=0 zijn de machten a m en a n alleen zinvol als zowel m als n positieve gehele getallen zijn, dat wil zeggen natuurlijke getallen. De zojuist geschreven eigenschappen zijn dus ook geldig voor de gevallen waarin a=0 en de getallen m en n positieve gehele getallen zijn.

Het is niet moeilijk om elk van deze eigenschappen te bewijzen, hiervoor volstaat het om de definities van de graad te gebruiken met een natuurlijke en integere exponent, evenals de eigenschappen van acties met reële getallen. Laten we als voorbeeld bewijzen dat de eigenschap power geldt voor zowel positieve gehele getallen als niet-positieve gehele getallen. Om dit te doen, moeten we aantonen dat als p nul of een natuurlijk getal is en q nul of een natuurlijk getal is, de gelijkheden (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) en (a−p)−q =a (−p) (−q). Laten we het doen.

Voor positieve p en q is in de vorige paragraaf de gelijkheid (a p) q =a p·q bewezen. Als p=0 , dan hebben we (a 0) q =1 q =1 en a 0 q =a 0 =1 , vandaar (a 0) q =a 0 q . Evenzo, als q=0 , dan (a p) 0 =1 en a p 0 =a 0 =1 , vandaar (a p) 0 =a p 0 . Als zowel p=0 als q=0 , dan (a 0) 0 =1 0 =1 en a 0 0 =a 0 =1 , vandaar (a 0) 0 =a 0 0 .

Laten we nu bewijzen dat (a −p) q =a (−p) q . Per definitie van een graad met een negatieve integer exponent , dan . Door de eigenschap van het quotiënt in de graad, hebben we . Aangezien 1 p =1·1·…·1=1 en , dan . De laatste uitdrukking is per definitie een macht van de vorm a −(p q) , die op grond van de vermenigvuldigingsregels kan worden geschreven als a (−p) q .

evenzo .

En .

Volgens hetzelfde principe kan men alle andere eigenschappen van een graad bewijzen met een integer exponent, geschreven in de vorm van gelijkheden.

In de voorlaatste van de geregistreerde eigenschappen is het de moeite waard om stil te staan bij het bewijs van de ongelijkheid a −n >b −n , dat geldt voor elk negatief geheel getal −n en alle positieve a en b waarvoor de voorwaarde a . Aangezien op voorwaarde a 0 . Het product a n ·b n is ook positief als het product van positieve getallen a n en b n . Dan is de resulterende breuk positief als een quotiënt van positieve getallen b n − a n en a n b n . Vandaar dat a n >b −n , wat bewezen moest worden.

De laatste eigenschap van graden met gehele exponenten wordt op dezelfde manier bewezen als de analoge eigenschap van graden met natuurlijke exponenten.

Eigenschappen van machten met rationale exponenten

We hebben de graad gedefinieerd met een fractionele exponent door de eigenschappen van een graad met een integer exponent ernaartoe uit te breiden. Met andere woorden, graden met fractionele exponenten hebben dezelfde eigenschappen als graden met integere exponenten. Namelijk:

Het bewijs van de eigenschappen van graden met fractionele exponenten is gebaseerd op de definitie van een graad met een fractionele exponent, op en op de eigenschappen van een graad met een integer exponent. Laten we het bewijs leveren.

Per definitie van de graad met een fractionele exponent en , dan . De eigenschappen van de rekenkundige wortel stellen ons in staat om de volgende gelijkheden te schrijven. Verder, met behulp van de eigenschap van de graad met een integer exponent, verkrijgen we , vanwaar, door de definitie van een graad met een fractionele exponent, we hebben , en de exponent van de verkregen graad kan als volgt worden omgerekend: . Dit maakt het bewijs compleet.

De tweede eigenschap van machten met fractionele exponenten wordt op precies dezelfde manier bewezen:

De rest van de gelijkheden worden bewezen door soortgelijke principes:

We gaan naar het bewijs van de volgende eigenschap. Laten we bewijzen dat voor elke positieve a en b , a bl. We schrijven het rationale getal p als m/n , waarbij m een geheel getal is en n een natuurlijk getal. Voorwaarden p<0 и p>0 is in dit geval gelijk aan de voorwaarden m<0 и m>0 respectievelijk. Voor m>0 en a
Evenzo, voor m<0 имеем a m >b m , vanwaar , dat wil zeggen, en a p >b p .

Het blijft om de laatste van de vermelde eigenschappen te bewijzen. Laten we bewijzen dat voor rationale getallen p en q , p>q voor 0 0 – ongelijkheid a p >a q . We kunnen de rationale getallen p en q altijd reduceren tot een gemeenschappelijke noemer, laten we gewone breuken nemen en, waarbij m 1 en m 2 gehele getallen zijn, en n een natuurlijk getal is. In dit geval komt de voorwaarde p>q overeen met de voorwaarde m 1 >m 2 die volgt uit . Dan, door de eigenschap van het vergelijken van machten met dezelfde basen en natuurlijke exponenten op 0 1 – ongelijkheid a m 1 >a m 2 . Deze ongelijkheden in termen van de eigenschappen van de wortels kunnen respectievelijk worden herschreven als en . En de definitie van een graad met een rationale exponent stelt ons in staat om naar de ongelijkheden en respectievelijk over te gaan. Hieruit trekken we de eindconclusie: voor p>q en 0 0 – ongelijkheid a p >a q .

Eigenschappen van graden met irrationele exponenten

Uit hoe een graad met een irrationele exponent wordt gedefinieerd, kan worden geconcludeerd dat deze alle eigenschappen heeft van graden met rationale exponenten. Dus voor alle a>0 , b>0 en irrationele getallen p en q geldt: eigenschappen van graden met irrationele exponenten:

een p een q = een p + q;

een p:a q = een p−q;

(a b) p = a p b p ;

(a:b) p =a p:b p;

(a p) q = een p q ;

voor alle positieve getallen a en b , a 0 de ongelijkheid a p bp ;

voor irrationele getallen p en q , p>q bij 0 0 – ongelijkheid a p >a q .

Hieruit kunnen we concluderen dat machten met eventuele reële exponenten p en q voor a>0 dezelfde eigenschappen hebben.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde Zh leerboek voor 5 cellen. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: een leerboek voor 7 cellen. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: leerboek voor 8 cellen. onderwijsinstellingen.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: een leerboek voor 9 cellen. onderwijsinstellingen.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. en anderen.Algebra en het begin van analyse: een leerboek voor de klassen 10-11 van algemene onderwijsinstellingen.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor kandidaten voor technische scholen).

In deze les beginnen we de studie van de graad met een natuurlijke indicator. Laten we eerst bespreken waarom wiskundigen het concept van een graad moesten introduceren, een definitie van een graad met een natuurlijke exponent moesten geven en een aantal voorbeelden van een graad moesten bekijken. Vervolgens zullen we een definitie van de graad geven met een enkele exponent en aan het einde zullen we verschillende voorbeelden oplossen voor het berekenen van de graad.

Onderwerp:Graad met een natuurlijke indicator en zijn eigenschappen

Les:Wat is een graad met een natuurlijke indicator?

Waar komt het diploma vandaan?

Uitdrukking a+a+a in de wiskunde kan worden vervangen door a+a+a=3a.

Uitdrukking a+a+a+a+a kan worden weergegeven als a+a+a+a+a=5a.

Dat wil zeggen, als in de uitdrukking n identieke termen, die elk a, dan kan het kort worden geschreven nee.

En vermenigvuldigen kan in het kort als volgt worden geschreven: een 3, luidt: a a.

- a tot de vijfde macht of de vijfde macht van een getal a.

En als in de uitdrukking n identieke factoren, die elk a, dan schrijven we:

= een - n-de macht van a.

Definitie. Rang een het werk heet n dezelfde factoren , waar n- natuurlijk nummer n={2,3,…..} ; a- elk nummer.

Terminologie:een

a is de basis van de graad,

n- exponent,

een- graad, of een inn-e graad, ofn-de macht van a.

Voorbeeld 1: Schrijf het product als een graad, noem het grondtal en de exponent, bereken indien mogelijk.

1. is per definitie 4 in blokjes of de derde macht van een getal 4 , 4 - de basis van de graad, 3 - exponent. Resultaat:

Antwoorden: 64

2. - per definitie dit x in de vierde graad x- de basis van de graad, 4 - exponent. Verder rekenen is niet mogelijk, want x moet een bepaalde waarde worden toegekend.

Antwoorden:

het tot de vijfde macht, is de basis van de graad, 5 - exponent, het laat zien hoe vaak het grondtal met zichzelf is vermenigvuldigd. Opmerking: het product verandert niet van de variabele plaatsen van de factoren, we schrijven deze uitdrukking op een andere manier:

Dus de uitdrukking.

Antwoorden:.

4. - dit is in blokjes, 3 is een exponent, - de basis van de graad.

Antwoorden:

5.

Tweede macht van een getal 13 , - de tweede macht van een getal 5 .

Antwoorden: 4225

Derde macht van een getal 2 , - de tweede macht van een getal 3 .

1. Schrijf het product als een graad, noem het grondtal en de exponent, bereken indien mogelijk.

2. Bereken (-2) n, als

a) n=2 b) n=3 in) n=4

3. Bereken : een 5, waar

a) a=1

b) a=-2

4. Bereken de oppervlakte van een vierkant waarvan de zijde is een/2, waar

L. Werk n factoren, die elk gelijk zijn aan a genaamd n-de macht van een getal a en aangegeven an.

Voorbeelden. Schrijf het product als een graad.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Oplossing.

1) mmmm=m 4, aangezien, volgens de definitie van graad, het product van vier factoren, die elk gelijk zijn aan m, zal zijn de vierde macht van m.

2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

II. De bewerking waarmee het product van meerdere gelijke factoren wordt gevonden, wordt machtsverheffing genoemd. Het getal dat tot een macht wordt verheven, wordt de basis van de macht genoemd. Het getal dat aangeeft tot welke macht het grondtal wordt verheven, wordt de exponent genoemd. Dus, an- rang, a- basis van graad n- exponent. Bijvoorbeeld:

2 3 — het is een graad. Nummer 2 - het grondtal van de graad, de exponent is gelijk aan 3 . Graadwaarde: 2 3 gelijk aan 8, omdat 2 3 =2 2 2=8.

Voorbeelden. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder de exponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Oplossing.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) een 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaa+3bb.

III. en 0 =1 Elk getal (behalve nul) tot de macht nul is gelijk aan één. Bijvoorbeeld 25 0 =1.
IV. een 1 = eenElk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf.

v. ben∙ een= ben + n Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal hetzelfde, en de exponenten optellen.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Oplossing.

9) een 3 een 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. ben: een= ben - nBij het delen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal gelijk en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

12) een 8: een 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) een 8: een 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m11-4 =m7; veertien ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (ben) n= amn Bij het verheffen van een macht tot een macht, blijft de basis hetzelfde en worden de exponenten vermenigvuldigd.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

15) (a3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

Opmerking, die, aangezien het product niet verandert door een permutatie van factoren, dan:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Vl II. (a b) n = een n ∙ b n Wanneer een product tot een macht wordt verheven, wordt elk van de factoren tot die macht verheven.

§ 1 graad met natuurlijke exponent
Laten we ons een dergelijke operatie herinneren die ons bekend staat als de toevoeging van verschillende identieke termen. Bijvoorbeeld 5 + 5 + 5. De wiskundige zal zo'n invoer vervangen door een kortere:

5 ∙ 3. Of 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 wordt geschreven als 7 ∙ 6

En het schrijven van a + a + a + ... + a (waarbij n termen a) - wordt helemaal niet geschreven, maar zal a ∙ n schrijven. Op dezelfde manier zal een wiskundige het product van verschillende identieke factoren niet uitvoerig schrijven. Het product 2 ∙ 2 ∙ 2 wordt geschreven als 23 (2 tot de derde macht). En het product 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 als 46 (4 tot de zesde macht). Maar indien nodig kunt u een korte invoer vervangen door een langere. 74 (7 tot de vierde macht) wordt bijvoorbeeld geschreven als 7∙7∙7∙7. Laten we nu een definitie geven.

De notatie an (waarbij n een natuurlijk getal is) is het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a.

Het record an zelf heet de graad van het getal a, het getal a is de basis van de graad, het getal n is de exponent.

De notatie an kan worden gelezen als "a tot de n-de macht" of als "a tot de macht van en". De invoer a2 (a tot de tweede macht) kan worden gelezen als "een kwadraat", en de invoer a3 (a tot de derde macht) kan worden gelezen als "een kubus". Een ander speciaal geval is een graad met een exponent van 1. Hier moet het volgende worden opgemerkt:

De graad van een getal a met exponent 1 is het getal zelf. Die. a1 = een.

Elke macht van 1 is 1.

Laten we nu eens kijken naar een paar machten met grondtal 10.

Is het je opgevallen dat machten van tien één zijn met evenveel nullen als de exponent? Over het algemeen is 10n = 100..0 (waarbij er n nullen in de notatie staan).

§ 2 Voorbeelden over het onderwerp van de les
Voorbeeld 1. Schrijf het product (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) als een macht.

Aangezien er 4 identieke factoren zijn, die elk gelijk zijn aan -2, hebben we de notatie (-2)4.

Voorbeeld2. Bereken 1,52.

Index 2 zegt dat we het product moeten vinden van twee identieke factoren, die elk gelijk zijn aan 1,5. Die. bereken het product 1,5∙1,5 = 2,25.

Voorbeeld 3. Bereken het product 102 ∙ (-1)3.

Eerst berekenen we 102 = 100. Dan berekenen we (-1)3 = -1. En tot slot, vermenigvuldig 100 en -1. We krijgen -100.

Lijst met gebruikte literatuur:

Mordkovich A.G., Algebra graad 7 in 2 delen, deel 1, leerboek voor onderwijsinstellingen / A.G. Mordkovitsj. - 10e druk, herzien - Moskou, "Mnemosyne", 2007

Mordkovich A.G., Algebra graad 7 in 2 delen, Deel 2, Takenboek voor onderwijsinstellingen / [A.G. Mordkovich en anderen]; bewerkt door A. G. Mordkovich - 10e druk, herzien - Moskou, "Mnemosyne", 2007

HAAR. Tulchinskaya, Algebra Grade 7. Blitz-enquête: een gids voor studenten van onderwijsinstellingen, 4e editie, gecorrigeerd en aangevuld, Moskou, Mnemozina, 2008

Alexandrova L.A., Algebra Grade 7. Thematische proefwerken in een nieuwe vorm voor studenten van onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich, Moskou, "Mnemosyne", 2011

Aleksandrova LA Algebra 7e leerjaar. Zelfstandig werk voor studenten van onderwijsinstellingen, onder redactie van A.G. Mordkovich - 6e editie, stereotiep, Moskou, "Mnemosyne", 2010

L. Werk n factoren, die elk gelijk zijn aan a genaamd n-de macht van een getal a en aangegeven an.

Voorbeelden. Schrijf het product als een graad.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Oplossing.

1) mmmm=m 4, aangezien, volgens de definitie van graad, het product van vier factoren, die elk gelijk zijn aan m, zal zijn de vierde macht van m.

2) aaabb=a3b2; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 + p 3 k-p 2 k 3 .

II. De bewerking waarmee het product van meerdere gelijke factoren wordt gevonden, wordt machtsverheffing genoemd. Het getal dat tot een macht wordt verheven, wordt de basis van de macht genoemd. Het getal dat aangeeft tot welke macht het grondtal wordt verheven, wordt de exponent genoemd. Dus, an- rang, a- basis van graad n- exponent. Bijvoorbeeld:

2 3 — het is een graad. Nummer 2 - het grondtal van de graad, de exponent is gelijk aan 3 . Graadwaarde: 2 3 gelijk aan 8, omdat 2 3 =2 2 2=8.

Voorbeelden. Schrijf de volgende uitdrukkingen zonder de exponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a3-b3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Oplossing.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) een 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaa+3bb.

III. en 0 =1 Elk getal (behalve nul) tot de macht nul is gelijk aan één. Bijvoorbeeld 25 0 =1.
IV. een 1 = eenElk getal tot de eerste macht is gelijk aan zichzelf.

v. ben∙ een= ben + n Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal hetzelfde, en de exponenten optellen.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 + b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Oplossing.

9) een 3 een 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. ben: een= ben - nBij het delen van machten met hetzelfde grondtal, blijft het grondtal gelijk en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

12) een 8: een 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) een 8: een 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m11-4 =m7; veertien ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (ben) n= amn Bij het verheffen van een macht tot een macht, blijft de basis hetzelfde en worden de exponenten vermenigvuldigd.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

15) (a3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

Opmerking, die, aangezien het product niet verandert door een permutatie van factoren, dan:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

Vl II. (a b) n = een n ∙ b n Wanneer een product tot een macht wordt verheven, wordt elk van de factoren tot die macht verheven.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,26 56; 19) 0,25 2 40 2 .

Oplossing.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0,2 6 5 6=(0,2 5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX. Bij het verheffen van een breuk tot een macht, worden zowel de teller als de noemer van de breuk tot die macht verheven.

Voorbeelden. Makkelijker maken:

Oplossing.

Pagina 1 van 1 1

keer bekeken