Hoe de wortel van een groot getal te vinden. Vierkantswortel

Bibliografische beschrijving: Pryamostanov S. M., Lysogorova L. V. Extractiemethoden vierkantswortel// Jonge wetenschapper. - 2017. - Nr. 2.2. - S. 76-77..02.2019).



Trefwoorden : vierkantswortel, vierkantswortelextractie.

Tijdens de lessen wiskunde maakte ik kennis met het concept van een vierkantswortel en de werking van het extraheren van een vierkantswortel. Ik raakte geïnteresseerd in het extraheren van de vierkantswortel is alleen mogelijk met behulp van een tabel met vierkanten, met behulp van een rekenmachine, of is er een manier om het handmatig te extraheren. Ik heb verschillende manieren gevonden: de formule van het oude Babylon, door het oplossen van vergelijkingen, de methode van weggooien vol plein, Newton's methode, geometrische methode, grafische methode (, ), giswerkmethode, oneven getal residu methode.

Overweeg de volgende methoden:

Laten we ontbinden in priemfactoren met behulp van de tekens van deelbaarheid 27225=5*5*3*3*11*11. Op deze manier

1. Tot Canadese methode. Deze snelle methode werd in de 20e eeuw geopend door jonge wetenschappers van een van de toonaangevende universiteiten in Canada. De nauwkeurigheid is niet meer dan twee of drie decimalen.

waarbij x het getal is waarvan de wortel moet worden genomen, c het getal van het dichtstbijzijnde vierkant), bijvoorbeeld:

=5,92

1. kolom. Met deze methode kunt u de geschatte waarde van de wortel van een reëel getal vinden met een vooraf bepaalde nauwkeurigheid. De nadelen van de methode zijn onder meer de toenemende complexiteit van de berekening met een toename van het aantal gevonden cijfers. Om de wortel handmatig te extraheren, wordt een notatie gebruikt die lijkt op deling door een kolom.

Vierkantswortelalgoritme

1. Scheid het breukdeel en het gehele deel gescheiden van de komma op de rand van twee getallen in elk gezicht ( kus deel - van rechts naar links; fractioneel- van links naar rechts). Het is mogelijk dat het gehele deel één cijfer bevat en het fractionele deel nullen.

2. Extractie begint van links naar rechts, en we selecteren een nummer waarvan het vierkant niet groter is dan het nummer in het eerste vlak. We kwadrateren dit getal en schrijven het onder het getal in het eerste gezicht.

3. We vinden het verschil tussen het nummer in het eerste gezicht en het vierkant van het geselecteerde eerste nummer.

4. Voor het resulterende verschil slopen we het volgende gezicht, het resulterende aantal zal zijn deelbaar. We vormen scheidingslijn. We verdubbelen het eerste geselecteerde cijfer van het antwoord (vermenigvuldigen met 2), we krijgen het aantal tientallen van de deler en het aantal eenheden moet zodanig zijn dat het product door de hele deler het deeltal niet overschrijdt. We noteren het geselecteerde nummer in het antwoord.

5. Voor het resulterende verschil slopen we het volgende gezicht en voeren acties uit volgens het algoritme. Als dit gezicht het gezicht van het fractionele deel blijkt te zijn, plaats dan een komma in het antwoord. (Figuur 1.)

Op deze manier kunt u getallen met verschillende nauwkeurigheid extraheren, bijvoorbeeld met een nauwkeurigheid van duizendsten. (Figuur 2)

Overwegen verschillende manieren door de vierkantswortel te extraheren, kunnen we concluderen: in elk geval moet u beslissen over de keuze van de meest effectieve om minder tijd te besteden aan het oplossen

Literatuur:

1. Kiselev A. Elementen van algebra en analyse. Deel één.-M.-1928

trefwoorden: vierkantswortel, vierkantswortel.

annotatie: Het artikel beschrijft methoden voor het extraheren van een vierkantswortel en geeft voorbeelden van het extraheren van wortels.

Er zijn verschillende methoden om de vierkantswortel te berekenen zonder rekenmachine.

Hoe de wortel van een getal te vinden - op 1 manier

• Een van de methoden is om het getal onder de wortel te ontbinden. Deze componenten vormen door vermenigvuldiging een wortelwaarde. De nauwkeurigheid van het verkregen resultaat hangt af van het getal onder de wortel.
• Als u bijvoorbeeld het getal 1600 neemt en het begint te ontbinden, wordt de redenering als volgt opgebouwd: dit getal is een veelvoud van 100, wat betekent dat het kan worden gedeeld door 25; aangezien de wortel van het getal 25 wordt geëxtraheerd, is het getal vierkant en geschikt voor verdere berekeningen; bij het delen krijgen we nog een getal - 64. Dit getal is ook vierkant, dus de wortel wordt goed geëxtraheerd; na deze berekeningen kun je onder de wortel het getal 1600 schrijven als een product van 25 en 64.

• Een van de regels voor het extraheren van een wortel zegt dat de wortel van het product van factoren gelijk is aan het getal dat het resultaat is van het vermenigvuldigen van de wortels van elke factor. Dit betekent dat: √(25*64) = √25 * √64. Als we de wortels uit 25 en 64 halen, krijgen we de volgende uitdrukking: 5 * 8 = 40. Dat wil zeggen, de vierkantswortel van het getal 1600 is 40.
• Maar het gebeurt dat het getal onder de wortel niet uiteenvalt in twee factoren, waaruit de hele wortel wordt geëxtraheerd. Meestal kan dit alleen voor een van de vermenigvuldigers. Daarom is het meestal onmogelijk om een ​​absoluut exact antwoord in een dergelijke vergelijking te vinden.
• In dit geval kan alleen een geschatte waarde worden berekend. Daarom moet u de wortel van de factor nemen, wat een vierkant getal is. Deze waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met de wortel van het tweede getal, wat niet de kwadratische term van de vergelijking is.
• Het ziet er zo uit, neem bijvoorbeeld het getal 320. Het kan worden ontleed in 64 en 5. Je kunt de hele wortel uit 64 halen, maar niet uit 5. Daarom ziet de uitdrukking er als volgt uit: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Indien nodig kunt u een geschatte waarde van dit resultaat vinden door te berekenen
  √5 ≈ 2.236, dus √320 = 8 * 2.236 = 17,88 ≈ 18.
• Ook kan het getal onder de wortel worden ontleed in meerdere priemfactoren, en hetzelfde kan eronder worden weggenomen. Voorbeeld: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8.66 ≈ 9.

Hoe de wortel van een getal te vinden - 2-weg

• Een andere manier is om in een kolom te verdelen. De verdeling is vergelijkbaar, maar je hoeft alleen maar naar kwadraatgetallen te zoeken, waaruit je vervolgens de wortel extraheert.
• In dit geval vierkant getal we schrijven van bovenaf en trekken het af aan de linkerkant, en de geëxtraheerde wortel van onderaf.
• Nu moet de tweede waarde worden verdubbeld en van rechtsonder worden geschreven in de vorm: number_x_=. De gaten moeten worden ingevuld met een getal dat kleiner is dan of gelijk is aan de vereiste waarde aan de linkerkant - net als bij normale deling.
• Indien nodig wordt dit resultaat weer van links afgetrokken. Dergelijke berekeningen gaan door totdat het resultaat is bereikt. Er kunnen ook nullen worden toegevoegd totdat u het gewenste aantal decimalen krijgt.

Wortel formules. eigenschappen van vierkantswortels.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

In de vorige les hebben we uitgezocht wat een vierkantswortel is. Het is tijd om erachter te komen wat zijn formules voor wortels, wat zijn root eigenschappen en wat er allemaal aan gedaan kan worden.

Basisformules, basiseigenschappen en regels voor acties met basislijnen- het is in wezen hetzelfde. Er zijn verrassend weinig formules voor vierkantswortels. Wat natuurlijk leuk is! Integendeel, je kunt veel van allerlei formules schrijven, maar slechts drie zijn genoeg voor praktisch en zelfverzekerd werk met wortels. Al het andere vloeit voort uit deze drie. Hoewel velen afdwalen in de drie formules van de wortels, ja ...

Laten we beginnen met de eenvoudigste. Daar is ze:

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Feit 1.
\(\bullet\) Neem wat niet een negatief getal\(a\) (d.w.z. \(a\geqslant 0\) ). Dan (rekenkundig) vierkantswortel van het getal \(a\) heet zo niet-negatief getal\(b\) , die, wanneer gekwadrateerd, ons het getal \(a\) geeft: \[\sqrt a=b\quad \text(zelfde als )\quad a=b^2\] Uit de definitie volgt dat: \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Deze beperkingen zijn: belangrijke voorwaarde het bestaan ​​van een vierkantswortel en ze moeten onthouden worden!
Bedenk dat elk getal in het kwadraat een niet-negatief resultaat geeft. Dat wil zeggen, \(100^2=10000\geqslant 0\) en \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Wat is \(\sqrt(25)\) ? We weten dat \(5^2=25\) en \((-5)^2=25\) . Omdat we per definitie een niet-negatief getal moeten vinden, is \(-5\) niet geschikt, dus \(\sqrt(25)=5\) (sinds \(25=5^2\) ).
Het vinden van de waarde \(\sqrt a\) heet het nemen van de vierkantswortel van het getal \(a\) , en het getal \(a\) wordt de worteluitdrukking genoemd.
\(\bullet\) Op basis van de definitie kunnen de uitdrukkingen \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. geen zin.

Feit 2.
Voor snelle berekeningen is het handig om de tabel met vierkanten te leren natuurlijke getallen van \(1\) naar \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Feit 3.
Wat kun je doen met vierkantswortels?
\(\kogel\) De som of het verschil van vierkantswortels is NIET GELIJK aan de vierkantswortel van de som of het verschil, d.w.z. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dus als u bijvoorbeeld \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) moet berekenen, moet u in eerste instantie de waarden \(\sqrt(25)\) en \(\sqrt vinden (49)\ ) en tel ze vervolgens op. Vervolgens, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Als de waarden \(\sqrt a\) of \(\sqrt b\) niet gevonden kunnen worden bij het toevoegen van \(\sqrt a+\sqrt b\), dan wordt zo'n uitdrukking niet verder geconverteerd en blijft zoals hij is. Bijvoorbeeld, in de som \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kunnen we \(\sqrt(49)\) vinden - dit is \(7\) , maar \(\sqrt 2\) kan niet zijn op welke manier dan ook geconverteerd, daarom \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Verder kan deze uitdrukking helaas op geen enkele manier worden vereenvoudigd.\(\bullet\) Het product/quotiënt van vierkantswortels is gelijk aan de vierkantswortel van het product/quotiënt, d.w.z. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (op voorwaarde dat beide delen van de gelijkheden zinvol zijn)
Voorbeeld: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Met behulp van deze eigenschappen is het handig om de vierkantswortels van grote getallen te vinden door ze te ontbinden.
Overweeg een voorbeeld. Zoek \(\sqrt(44100)\) . Sinds \(44100:100=441\) , dan \(44100=100\cdot 441\) . Volgens het deelbaarheidscriterium is het getal \(441\) deelbaar door \(9\) (aangezien de som van de cijfers 9 is en deelbaar is door 9), dus \(441:9=49\) , dat wil zeggen, \(441=9\ cdot 49\) .
Zo kregen we: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Laten we een ander voorbeeld bekijken: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) We laten zien hoe u getallen invoert onder het vierkantswortelteken aan de hand van het voorbeeld van de uitdrukking \(5\sqrt2\) (afkorting van de uitdrukking \(5\cdot \sqrt2\) ). Aangezien \(5=\sqrt(25)\) , dan \ Merk ook op dat bijv.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Waarom is dat? Laten we het uitleggen met voorbeeld 1). Zoals je al hebt begrepen, kunnen we het getal \(\sqrt2\) niet op de een of andere manier converteren. Stel je voor dat \(\sqrt2\) een getal is \(a\) . Dienovereenkomstig is de uitdrukking \(\sqrt2+3\sqrt2\) niets anders dan \(a+3a\) (één getal \(a\) plus nog drie van dezelfde getallen \(a\) ). En we weten dat dit gelijk is aan vier van dergelijke getallen \(a\) , dat wil zeggen \(4\sqrt2\) .

Feit 4.
\(\bullet\) Er wordt vaak gezegd "kan de wortel niet extraheren" wanneer het niet mogelijk is om het teken \(\sqrt () \ \) van de wortel (radicaal) te verwijderen bij het vinden van de waarde van een getal. U kunt bijvoorbeeld het nummer \(16\) rooten omdat \(16=4^2\) , dus \(\sqrt(16)=4\) . Maar om de wortel uit het getal \(3\) te halen, dat wil zeggen, om \(\sqrt3\) te vinden, is het onmogelijk, omdat er niet zo'n getal is dat in het kwadraat \(3\) oplevert.
Zulke getallen (of uitdrukkingen met zulke getallen) zijn irrationeel. Bijvoorbeeld cijfers \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) enz. zijn irrationeel.
Ook irrationeel zijn de getallen \(\pi\) (het getal “pi”, ongeveer gelijk aan \(3,14\) ), \(e\) (dit getal wordt het Eulergetal genoemd, ongeveer gelijk aan \(2 ,7\) ) enz.
\(\bullet\) Houd er rekening mee dat elk getal rationeel of irrationeel is. En samen allemaal rationeel en al irrationele nummers vormen een set genaamd set van echte (echte) getallen. Deze verzameling wordt aangegeven met de letter \(\mathbb(R)\) .
Dit betekent dat alle getallen die we nu kennen reële getallen worden genoemd.

Feit 5.
\(\bullet\) Modulus van een reëel getal \(a\) is een niet-negatief getal \(|a|\) gelijk aan de afstand van het punt \(a\) tot \(0\) op de reële lijn. Bijvoorbeeld, \(|3|\) en \(|-3|\) zijn gelijk aan 3, aangezien de afstanden van de punten \(3\) en \(-3\) tot \(0\) de hetzelfde en gelijk aan \(3 \) .
\(\bullet\) Als \(a\) een niet-negatief getal is, dan \(|a|=a\) .
Voorbeeld: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Als \(a\) een negatief getal is, dan is \(|a|=-a\) .
Voorbeeld: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ze zeggen dat voor negatieve getallen de module de min- en positieve getallen "opeet", evenals het getal \(0\) , de module blijft ongewijzigd.
MAAR deze regel is alleen van toepassing op getallen. Als je een onbekende \(x\) (of een andere onbekende) hebt onder het moduleteken, bijvoorbeeld \(|x|\) , waarvan we niet weten of deze positief, gelijk aan nul of negatief is, dan ontdoen van de module die we niet kunnen. In dit geval blijft deze uitdrukking zo: \(|x|\) . \(\bullet\) De volgende formules gelden: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( mits ) a\geqslant 0\] De volgende fout wordt vaak gemaakt: ze zeggen dat \(\sqrt(a^2)\) en \((\sqrt a)^2\) hetzelfde zijn. Dit is alleen waar als \(a\) een positief getal of nul is. Maar als \(a\) een negatief getal is, dan is dit niet waar. Het volstaat om naar een dergelijk voorbeeld te kijken. Laten we het getal \(-1\) nemen in plaats van \(a\). Dan \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , maar de uitdrukking \((\sqrt (-1))^2\) bestaat helemaal niet (omdat het onmogelijk onder het wortelteken zet negatieve getallen in!).
Daarom vestigen we uw aandacht op het feit dat \(\sqrt(a^2)\) niet gelijk is aan \((\sqrt a)^2\) ! Voorbeeld 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), omdat \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Aangezien \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dan \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (de uitdrukking \(2n\) geeft een even getal aan)
Dat wil zeggen, wanneer de wortel wordt geëxtraheerd uit een getal dat in zekere mate is, wordt deze graad gehalveerd.
Voorbeeld:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (merk op dat als de module niet is ingesteld, dan blijkt dat de wortel van het getal gelijk is aan \(-25 \) ; maar we herinneren ons , wat per definitie van de wortel niet kan zijn: bij het extraheren van de wortel moeten we altijd een positief getal of nul krijgen)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (aangezien elk getal tot een even macht niet-negatief is)

Feit 6.
Hoe twee vierkantswortels te vergelijken?
\(\bullet\) Waar voor vierkantswortels: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aVoorbeeld:
1) vergelijk \(\sqrt(50)\) en \(6\sqrt2\) . Eerst transformeren we de tweede uitdrukking in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dus, aangezien \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tussen welke gehele getallen ligt \(\sqrt(50)\) ?
Aangezien \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) en \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergelijk \(\sqrt 2-1\) en \(0,5\) . Stel dat \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((voeg één toe aan beide zijden))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((beide delen vierkant))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] We zien dat we een onjuiste ongelijkheid hebben verkregen. Daarom was onze aanname verkeerd en \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Merk op dat het toevoegen van een bepaald getal aan beide zijden van de ongelijkheid het teken niet beïnvloedt. Vermenigvuldigen/delen van beide zijden van een ongelijkheid door een positief getal verandert ook het teken niet, maar vermenigvuldigen/delen door een negatief getal keert het teken van de ongelijkheid om!
Beide zijden van een vergelijking/ongelijkheid kunnen ALLEEN worden gekwadrateerd ALS beide zijden niet-negatief zijn. In de ongelijkheid uit het vorige voorbeeld kun je bijvoorbeeld beide zijden kwadrateren, in de ongelijkheid \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Merk op dat \[\begin(uitgelijnd) &\sqrt 2\circa 1,4\\ &\sqrt 3\circa 1,7 \end(uitgelijnd)\] Als u de geschatte betekenis van deze getallen kent, kunt u deze getallen beter vergelijken! \(\bullet\) Om de wortel te extraheren (als deze is geëxtraheerd) uit een groot aantal dat niet in de tabel met vierkanten staat, moet u eerst bepalen tussen welke "honderden" het is, dan tussen welke "tientallen", en bepaal vervolgens het laatste cijfer van dit nummer. Laten we met een voorbeeld laten zien hoe het werkt.
Neem \(\sqrt(28224)\) . We weten dat \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) enzovoort. Merk op dat \(28224\) tussen \(10\,000\) en \(40\,000\) ligt. Daarom ligt \(\sqrt(28224)\) tussen \(100\) en \(200\) .
Laten we nu bepalen tussen welke “tientallen” ons getal ligt (dat wil zeggen, bijvoorbeeld tussen \(120\) en \(130\) ). Uit de vierkantentabel weten we ook dat \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., dan \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). We zien dus dat \(28224\) tussen \(160^2\) en \(170^2\) ligt. Daarom ligt het getal \(\sqrt(28224)\) tussen \(160\) en \(170\) .
Laten we proberen het laatste cijfer te bepalen. Laten we onthouden welke eencijferige getallen bij het kwadrateren aan het einde \ (4 \) geven? Dit zijn \(2^2\) en \(8^2\) . Daarom zal \(\sqrt(28224)\) eindigen op 2 of 8. Laten we dit controleren. Zoek \(162^2\) en \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Vandaar \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Om het examen in de wiskunde adequaat op te lossen, is het allereerst noodzakelijk om het theoretische materiaal te bestuderen, dat tal van stellingen, formules, algoritmen, enz. introduceert. Op het eerste gezicht lijkt het misschien dat dit vrij eenvoudig is. Het vinden van een bron waarin de theorie voor het Unified State Examination in de wiskunde gemakkelijk en begrijpelijk wordt gepresenteerd voor studenten met elk opleidingsniveau, is in feite een nogal moeilijke taak. Schoolboeken zijn niet altijd bij de hand. En het vinden van de basisformules voor het examen wiskunde kan zelfs op internet moeilijk zijn.

Waarom is het zo belangrijk om theorie in wiskunde te studeren, niet alleen voor degenen die het examen afleggen?

1. Omdat het je horizon verbreedt. De studie van theoretisch materiaal in de wiskunde is nuttig voor iedereen die antwoorden wil krijgen op een breed scala aan vragen met betrekking tot de kennis van de wereld. Alles in de natuur is geordend en heeft een duidelijke logica. Dit is precies wat tot uiting komt in de wetenschap, waardoor het mogelijk is om de wereld te begrijpen.
2. Omdat het het intellect ontwikkelt. Door referentiemateriaal te bestuderen voor het examen wiskunde, en door verschillende problemen op te lossen, leert een persoon logisch te denken en redeneren, gedachten correct en duidelijk te formuleren. Hij ontwikkelt het vermogen om te analyseren, te generaliseren en conclusies te trekken.

We nodigen u uit om persoonlijk alle voordelen van onze benadering van de systematisering en presentatie van educatief materiaal te evalueren.

Een wortel extraheren uit een groot aantal. Lieve vrienden!In dit artikel laten we u zien hoe u de wortel van een groot getal kunt nemen zonder rekenmachine. Dit is niet alleen nodig voor het oplossen van bepaalde soorten USE-problemen (er zijn die voor beweging), maar ook voor de algemene wiskundige ontwikkeling is het wenselijk deze analytische techniek te kennen.

Het lijkt erop dat alles eenvoudig is: factoriseren en extraheren. Er is geen probleem. Het nummer 291600 geeft bijvoorbeeld, indien uitgevouwen, het product:

Wij berekenen:

Er is een MAAR! De methode is goed als de delers 2, 3, 4 enzovoort gemakkelijk te bepalen zijn. Maar wat als het getal waaruit we de wortel halen een product is van priemgetallen? 152881 is bijvoorbeeld het product van de getallen 17, 17, 23, 23. Probeer deze delers meteen te vinden.

De essentie van de methode die we overwegen- dit is pure analyse. De wortel met de verzamelde vaardigheid is snel gevonden. Als de vaardigheid niet wordt uitgewerkt, maar de aanpak wordt gewoon begrepen, dan is het iets langzamer, maar nog steeds vastberaden.

Laten we de wortel van 190969 nemen.

Laten we eerst bepalen tussen welke getallen (veelvouden van honderd) ons resultaat ligt.

Het is duidelijk dat het resultaat van de wortel van een bepaald getal in het bereik van 400 tot 500 ligt, omdat

400 2 =160000 en 500 2 =250000

Werkelijk:

in het midden, dichter bij 160.000 of 250.000?

Het getal 190969 ligt ergens in het midden, maar nog steeds dichter bij 160000. We kunnen concluderen dat het resultaat van onze wortel minder dan 450 zal zijn. Laten we eens kijken:

Inderdaad, het is minder dan 450, sinds 190.969< 202 500.

Laten we nu het getal 440 controleren:

Dus ons resultaat is minder dan 440, aangezien 190 969 < 193 600.

Nummer 430 controleren:

We hebben vastgesteld dat het resultaat van deze wortel in het bereik van 430 tot 440 ligt.

Het product van getallen die eindigen op 1 of 9 geeft een getal dat eindigt op 1. Bijvoorbeeld, 21 keer 21 is gelijk aan 441.

Het product van getallen die eindigen op 2 of 8 geeft een getal dat eindigt op 4. Bijvoorbeeld, 18 keer 18 is gelijk aan 324.

Het product van getallen die eindigen op 5 geeft een getal dat eindigt op 5. Bijvoorbeeld, 25 keer 25 is gelijk aan 625.

Het product van getallen die eindigen op 4 of 6 geeft een getal dat eindigt op 6. Bijvoorbeeld, 26 keer 26 is gelijk aan 676.

Het product van getallen die eindigen op 3 of 7 geeft een getal dat eindigt op 9. Bijvoorbeeld, 17 keer 17 is gelijk aan 289.

Aangezien het nummer 190969 eindigt op het nummer 9, is dit product 433 of 437.

*Alleen zij, in het kwadraat, kunnen aan het einde 9 geven.

Wij controleren:

Het resultaat van de wortel is dus 437.

Dat wil zeggen, we "voelden" het juiste antwoord.

Zoals u kunt zien, is het maximum dat nodig is om 5 acties in een kolom uit te voeren. Misschien kom je meteen ter zake, of doe je slechts drie acties. Het hangt allemaal af van hoe nauwkeurig u de eerste schatting van het aantal maakt.

Extraheer je eigen root uit 148996

Een dergelijke discriminant wordt verkregen in het probleem:

Het motorschip vaart langs de rivier naar de bestemming 336 km en keert na het parkeren terug naar het vertrekpunt. Zoek de snelheid van het schip in stilstaand water, als de stroomsnelheid 5 km / u is, duurt het parkeren 10 uur en keert het schip 48 uur na het verlaten terug naar het vertrekpunt. Geef je antwoord in km/u.

Bekijk oplossing

Het resultaat van de wortel ligt tussen de getallen 300 en 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Inderdaad, 90000<148996<160000.

De essentie van verdere redenering is om te bepalen hoe het nummer 148996 zich bevindt (op afstand) ten opzichte van deze nummers.

Bereken de verschillen 148996 - 90000=58996 en 160000 - 148996=11004.

Het blijkt dat 148996 dichtbij (veel dichter) bij 160000 ligt. Daarom zal het resultaat van de wortel zeker groter zijn dan 350 en zelfs 360.

We kunnen concluderen dat ons resultaat groter is dan 370. Verder is het duidelijk: aangezien 148996 eindigt met het getal 6, betekent dit dat je het getal dat eindigt op 4 of 6 moet kwadrateren. einde 6.

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als u op sociale netwerken over de site vertelt.