Một số vô tỷ có thể là một số nguyên. Số vô tỷ: chúng là gì và dùng để làm gì

01.10.2019

Các nhà toán học cổ đại đã biết về một đoạn có đơn vị chiều dài: ví dụ, họ biết tính vô tỷ của đường chéo và cạnh của hình vuông, tương đương với tính vô tỉ của số đó.

Vô lý là:

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng một phân số tối giản, trong đó và là các số nguyên. Hãy bình phương sự bình đẳng được cho là:

Theo đó, số chẵn là số chẵn và . Hãy để nó ở nơi có cái toàn thể. Sau đó

Do đó, chẵn có nghĩa là chẵn và . Chúng ta đã tìm thấy và chẵn, điều này mâu thuẫn với tính tối giản của phân số . Điều này có nghĩa là giả định ban đầu không chính xác và đó là một số vô tỷ.

Logarit nhị phân của số 3

Giả sử điều ngược lại: hợp lý, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên. Vì , và có thể được chọn là dương. Sau đó

Nhưng chẵn và lẻ. Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn.

e

Câu chuyện

khái niệm ir số hữu tỉđã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm chấp nhận vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750 trước Công nguyên - khoảng 690 trước Công nguyên) đã phát hiện ra rằng căn bậc hai một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61, không thể được biểu diễn rõ ràng.

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỷ thường được cho là của Hippasus xứ Metapontus (khoảng 500 năm trước Công nguyên), một người theo trường phái Pythagore, người đã tìm ra bằng chứng này bằng cách nghiên cứu độ dài các cạnh của ngôi sao năm cánh. Vào thời của Pythagore, người ta tin rằng có một đơn vị chiều dài duy nhất, đủ nhỏ và không thể phân chia được, đi vào bất kỳ đoạn nào với một số nguyên số lần. Tuy nhiên, Hippasus lập luận rằng không có đơn vị đo chiều dài duy nhất, vì giả định về sự tồn tại của nó sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Ông đã chỉ ra rằng nếu cạnh huyền của một tam giác vuông cân chứa một số nguyên các đoạn đơn vị thì số này phải vừa là số chẵn vừa là số lẻ. Bằng chứng trông như thế này:

Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với chiều dài cạnh của một tam giác vuông cân có thể được biểu thị bằng Một:b, Ở đâu Một Và bđược chọn nhỏ nhất có thể.
Theo định lý Pythagore: Một 2 = 2 b².
Bởi vì Một- thậm chí, Một phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ sẽ là số lẻ).
Bởi vì Một:b không thể rút gọn được b hẳn là kỳ quặc.
Bởi vì Một thậm chí, chúng tôi biểu thị Một = 2y.
Sau đó Một² = 4 y 2 = 2 b².
b 2 = 2 y², do đó b- thậm chí, vậy thì b thậm chí.
Tuy nhiên, nó đã được chứng minh rằng b số lẻ. Sự mâu thuẫn.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã thách thức toán học Pythagore vấn đề nghiêm trọng, phá hủy giả định cơ bản của toàn bộ lý thuyết rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

Xem thêm

Ghi chú

Hệ thống số
Đếm bộ	Số tự nhiên() Số nguyên()

Định nghĩa số vô tỷ

Số vô tỷ là những số ký hiệu thập phânđại diện cho vô tận không định kỳ số thập phân.

Vì vậy, ví dụ, các số thu được bằng cách lấy căn bậc hai của các số tự nhiên là số vô tỷ và không phải là bình phương của các số tự nhiên. Nhưng không phải tất cả các số vô tỷ đều thu được bằng cách trích xuất căn bậc hai, bởi vì số “pi” thu được bằng phép chia cũng là số vô tỷ và bạn khó có thể đạt được số đó khi cố gắng trích căn bậc hai của một số tự nhiên.

Tính chất của số vô tỉ

Không giống như các số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn, chỉ có các số vô tỷ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Tổng của hai số vô tỉ không âm có thể là một số hữu tỉ.
Số vô tỉ xác định các phần Dedekind trong tập hợp các số hữu tỷ, ở lớp dưới không có số lớn nhất và ở lớp trên không có số nhỏ hơn.
Bất kỳ số siêu việt thực sự là số vô tỷ.
Tất cả các số vô tỷ đều là đại số hoặc siêu việt.
Tập hợp các số vô tỷ trên một đường thẳng nằm ở vị trí dày đặc và giữa hai số bất kỳ của nó chắc chắn phải có một số vô tỷ.
Tập hợp các số vô tỷ là vô hạn, không đếm được và là tập hợp loại 2.
Khi thực hiện bất kỳ phép tính số học nào trên số hữu tỉ, ngoại trừ phép chia cho 0, kết quả sẽ là số hữu tỉ.
Khi cộng một số hữu tỉ vào một số vô tỉ thì kết quả luôn là một số vô tỉ.
Khi cộng các số vô tỉ, chúng ta có thể thu được một số hữu tỉ.
Tập hợp các số vô tỷ không chẵn.

Những con số không phải là vô lý

Đôi khi khá khó để trả lời câu hỏi liệu một số có phải là số vô tỷ hay không, đặc biệt trong trường hợp số đó ở dạng phân số thập phân hoặc ở dạng biểu thức số, căn bậc hai hoặc logarit.

Vì vậy, sẽ không thừa khi biết những con số nào không phải là số vô tỷ. Nếu chúng ta tuân theo định nghĩa về số vô tỷ thì chúng ta đã biết rằng số hữu tỷ không thể là số vô tỷ.

Số vô tỷ không phải là:

Đầu tiên, tất cả các số tự nhiên;
Thứ hai, số nguyên;
Thứ ba, phân số thông thường;
Thứ tư, khác biệt hỗn số;
Thứ năm, đây là những phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Ngoài tất cả những điều trên, số vô tỷ không thể là bất kỳ tổ hợp nào của các số hữu tỷ được thực hiện bằng các dấu của phép tính số học, chẳng hạn như +, -, , :, vì trong trường hợp này kết quả của hai số hữu tỷ cũng sẽ là một số hữu tỉ.

Bây giờ hãy xem những con số nào là vô tỷ:

Bạn có biết về sự tồn tại của một câu lạc bộ người hâm mộ, nơi những người hâm mộ hiện tượng toán học bí ẩn này đang tìm kiếm ngày càng nhiều thông tin về Pi, cố gắng làm sáng tỏ bí ẩn của nó? Bất kỳ ai thuộc lòng một số số Pi nhất định sau dấu thập phân đều có thể trở thành thành viên của câu lạc bộ này;

Bạn có biết rằng ở Đức, dưới sự bảo vệ của UNESCO, có cung điện Castadel Monte, nhờ tỷ lệ mà bạn có thể tính được số Pi. Vua Frederick II đã dành toàn bộ cung điện cho con số này.

Hóa ra họ đã cố gắng sử dụng số Pi để xây dựng Tháp Babel. Nhưng thật không may, điều này đã dẫn đến sự sụp đổ của dự án, vì vào thời điểm đó việc tính toán chính xác giá trị của Pi chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Ca sĩ Kate Bush trong chiếc đĩa mới của mình đã thu âm một bài hát tên là “Pi”, trong đó vang lên một trăm hai mươi bốn số từ dãy số nổi tiếng 3, 141….

Mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng phân số chung. Điều này áp dụng cho các số nguyên (ví dụ: 12, –6, 0) và phân số thập phân hữu hạn (ví dụ: 0,5; –3,8921) và phân số thập phân tuần hoàn vô hạn (ví dụ: 0,11(23); –3 ,(87 )).

Tuy nhiên số thập phân vô hạn không tuần hoàn biểu diễn dưới dạng phân số thông thường không thể nào. Họ là vậy đó số vô tỉ(tức là vô lý). Một ví dụ về số như vậy là số π, xấp xỉ bằng 3,14. Tuy nhiên, không thể xác định chính xác nó bằng bao nhiêu, vì sau số 4 có vô số các số khác trong đó không thể phân biệt được các dấu chấm lặp lại. Hơn nữa, mặc dù số π không thể được biểu diễn chính xác nhưng nó có ý nghĩa hình học cụ thể. Số π là tỷ lệ giữa chiều dài của bất kỳ hình tròn nào với chiều dài đường kính của nó. Như vậy, số vô tỷ thực sự tồn tại trong tự nhiên, giống như số hữu tỉ.

Một ví dụ khác về số vô tỷ là căn bậc hai của số dương. Trích xuất gốc từ một số số cho các giá trị hợp lý, từ các số khác - không hợp lý. Ví dụ: √4 = 2, tức là căn bậc 4 là một số hữu tỉ. Nhưng √2, √5, √7 và nhiều số khác lại cho ra số vô tỷ, tức là chỉ có thể rút ra được bằng phép tính gần đúng, làm tròn đến một chữ số thập phân nhất định. Trong trường hợp này, phân số trở thành không tuần hoàn. Tức là không thể nói chính xác và chắc chắn căn nguyên của những con số này là gì.

Vậy √5 là số nằm giữa số 2 và 3, vì √4 = 2 và √9 = 3. Chúng ta cũng có thể kết luận rằng √5 gần 2 hơn 3, vì √4 gần √5 hơn √9 đến √5. Thật vậy, √5 ≈ 2,23 hoặc √5 ≈ 2,24.

Các số vô tỷ cũng thu được trong các phép tính khác (và không chỉ khi rút căn) và có thể âm.

Liên quan đến các số vô tỷ, chúng ta có thể nói rằng cho dù chúng ta lấy đoạn đơn vị nào để đo độ dài được biểu thị bằng một số như vậy, chúng ta sẽ không thể đo được nó một cách chắc chắn.

Trong các phép tính số học, số vô tỉ có thể tham gia cùng với số hữu tỉ. Đồng thời, có một số quy luật. Ví dụ: nếu chỉ có các số hữu tỉ được tham gia vào phép toán số học thì kết quả luôn là số hữu tỉ. Nếu chỉ có những số vô tỉ tham gia vào phép toán thì không thể nói rõ ràng kết quả sẽ là số hữu tỉ hay số vô tỉ.

Ví dụ: nếu bạn nhân hai số vô tỷ √2 * √2, bạn sẽ nhận được 2 - đây là số hữu tỷ. Mặt khác, √2 * √3 = √6 là số vô tỷ.

Nếu một phép tính số học liên quan đến số hữu tỉ và số vô tỉ thì kết quả sẽ là số vô tỉ. Ví dụ: 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Tại sao √17 – 4 là số vô tỷ? Hãy tưởng tượng rằng chúng ta nhận được một số hữu tỷ x. Khi đó √17 = x + 4. Nhưng x + 4 là số hữu tỉ, vì ta giả sử rằng x là số hữu tỉ. Số 4 cũng là số hữu tỉ nên x + 4 là số hữu tỉ. Tuy nhiên, số hữu tỉ không thể bằng số vô tỉ √17. Vì vậy, giả định rằng √17 – 4 cho kết quả hợp lý là không chính xác. Kết quả của một phép tính số học sẽ là vô tỉ.

Tuy nhiên, có một ngoại lệ cho quy tắc này. Nếu nhân một số vô tỉ với 0 thì ta được số hữu tỉ 0.

Hiểu các con số, đặc biệt là số tự nhiên, là một trong những “kỹ năng” toán học lâu đời nhất. Nhiều nền văn minh, ngay cả những nền văn minh hiện đại, đã gán những đặc tính thần bí nhất định cho các con số do tầm quan trọng to lớn của chúng trong việc mô tả thiên nhiên. Mặc dù Khoa học hiện đại và toán học không xác nhận được những tính chất “thần kỳ” này thì tầm quan trọng của lý thuyết số là không thể phủ nhận.

Trong lịch sử, nhiều loại số tự nhiên xuất hiện đầu tiên, sau đó các phân số và số vô tỷ dương được thêm vào chúng khá nhanh. Số 0 và số âm được đưa vào sau các tập con này của tập hợp số thực. Tập cuối cùng là tập số phức chỉ xuất hiện cùng với sự phát triển của khoa học hiện đại.

Trong toán học hiện đại, các con số không được đưa ra theo thứ tự lịch sử, mặc dù khá gần với nó.

Các số tự nhiên $\mathbb(N)$

Tập hợp các số tự nhiên thường được ký hiệu là $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ và thường được đệm bằng 0 để biểu thị $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ xác định các phép toán cộng (+) và nhân ($\cdot$) với các thuộc tính sau cho bất kỳ $a,b,c\in \mathbb(N)$ nào:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ tập $\mathbb(N)$ là tập đóng dưới các phép tính cộng và nhân
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ tính giao hoán
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ tính kết hợp
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ khả năng phân phối
5. $a\cdot 1=a$ là phần tử trung lập cho phép nhân

Vì tập hợp $\mathbb(N)$ chứa một phần tử trung tính cho phép nhân chứ không phải cho phép cộng, nên việc thêm số 0 vào tập hợp này đảm bảo rằng nó bao gồm một phần tử trung tính cho phép cộng.

Ngoài hai phép toán này, quan hệ “nhỏ hơn” ($

1. $a b$ trichotomy
2. nếu $a\leq b$ và $b\leq a$, thì $a=b$ phản đối xứng
3. nếu $a\leq b$ và $b\leq c$ thì $a\leq c$ có tính bắc cầu
4. nếu $a\leq b$ thì $a+c\leq b+c$
5. nếu $a\leq b$ thì $a\cdot c\leq b\cdot c$

Số nguyên $\mathbb(Z)$

Ví dụ về số nguyên:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Việc giải phương trình $a+x=b$, trong đó $a$ và $b$ là các số tự nhiên đã biết và $x$ là số tự nhiên chưa biết, yêu cầu áp dụng một phép toán mới - phép trừ(-). Nếu có một số tự nhiên $x$ thỏa mãn phương trình này thì $x=b-a$. Tuy nhiên, phương trình cụ thể này không nhất thiết phải có nghiệm trên tập $\mathbb(N)$, vì vậy những cân nhắc thực tế đòi hỏi phải mở rộng tập hợp số tự nhiên để bao gồm nghiệm của phương trình như vậy. Điều này dẫn đến việc đưa ra một tập hợp các số nguyên: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Vì $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, thật hợp lý khi giả định rằng các phép toán được giới thiệu trước đó $+$ và $\cdot$ và các quan hệ $ 1. $0+a=a+0=a$ có một yếu tố trung tính để bổ sung
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ có một số đối diện $-a$ cho $a$

Thuộc tính 5.:
5. nếu $0\leq a$ và $0\leq b$, thì $0\leq a\cdot b$

Tập $\mathbb(Z)$ cũng đóng dưới phép trừ, nghĩa là $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Số hữu tỉ $\mathbb(Q)$

Ví dụ về số hữu tỉ:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Bây giờ hãy xem xét các phương trình có dạng $a\cdot x=b$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên đã biết và $x$ là một ẩn số. Để giải pháp có thể thực hiện được, cần phải đưa ra phép chia ($:$) và giải pháp có dạng $x=b:a$, tức là $x=\frac(b)(a)$ . Một lần nữa vấn đề nảy sinh là $x$ không phải lúc nào cũng thuộc về $\mathbb(Z)$, vì vậy tập hợp các số nguyên cần phải được mở rộng. Phần này giới thiệu tập hợp các số hữu tỷ $\mathbb(Q)$ với các phần tử $\frac(p)(q)$, trong đó $p\in \mathbb(Z)$ và $q\in \mathbb(N)$. Tập hợp $\mathbb(Z)$ là tập hợp con trong đó mỗi phần tử $q=1$, do đó $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ và các phép tính cộng và nhân mở rộng cho tập hợp này theo các quy tắc sau đây bảo toàn tất cả các thuộc tính trên trên tập $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Phần này được giới thiệu như sau:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Trên tập $\mathbb(Q)$, phương trình $a\cdot x=b$ có nghiệm duy nhất cho mỗi $a\neq 0$ (chia cho 0 là không xác định). Điều này có nghĩa là có một phần tử nghịch đảo $\frac(1)(a)$ hoặc $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Thứ tự của tập $\mathbb(Q)$ có thể được mở rộng như sau:
$\frac(p_1)(q_1)

Tập $\mathbb(Q)$ có một tài sản quan trọng: Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ có vô số số hữu tỉ khác nên không có hai số hữu tỉ liền kề nhau, không giống như tập hợp số tự nhiên và số nguyên.

Số vô tỷ $\mathbb(I)$

Ví dụ về số vô tỷ:
$\sqrt(2) \khoảng 1,41422135...$
$\pi\khoảng 3,1415926535...$

Vì giữa hai số hữu tỉ bất kỳ có vô số số hữu tỉ khác nên dễ dàng kết luận sai rằng tập hợp các số hữu tỉ quá dày đặc nên không cần phải khai triển thêm. Ngay cả Pythagoras cũng mắc sai lầm như vậy vào thời của ông. Tuy nhiên, những người cùng thời với ông đã bác bỏ kết luận này khi nghiên cứu nghiệm của phương trình $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) trên tập hợp số hữu tỉ. Để giải phương trình như vậy cần phải đưa ra khái niệm căn bậc hai, khi đó nghiệm của phương trình này có dạng $x=\sqrt(2)$. Một phương trình như $x^2=a$, trong đó $a$ là một số hữu tỷ đã biết và $x$ là một số chưa biết, không phải lúc nào cũng có nghiệm trên tập hợp các số hữu tỷ, và một lần nữa lại nảy sinh nhu cầu mở rộng phương trình bộ. Một tập hợp các số vô tỷ phát sinh và các số như $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... thuộc về tập hợp này.

Số thực $\mathbb(R)$

Hợp của các tập hợp số hữu tỉ và vô tỷ là tập hợp các số thực. Vì $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, một lần nữa sẽ hợp lý khi giả định rằng các phép tính và quan hệ số học được giới thiệu vẫn giữ nguyên các thuộc tính của chúng trên tập hợp mới. Việc chứng minh hình thức điều này là rất khó nên các tính chất nêu trên của các phép toán số học và các quan hệ trên tập số thực được đưa vào dưới dạng tiên đề. Trong đại số, đối tượng như vậy được gọi là trường, do đó tập hợp số thực được gọi là trường có thứ tự.

Để định nghĩa tập hợp số thực được đầy đủ, cần đưa thêm một tiên đề phân biệt tập hợp $\mathbb(Q)$ và $\mathbb(R)$. Giả sử $S$ là tập con khác rỗng của tập số thực. Phần tử $b\in \mathbb(R)$ được gọi là giới hạn trên của tập hợp $S$ nếu $\forall x\in S$ chứa $x\leq b$. Khi đó ta nói rằng tập $S$ bị chặn ở trên. Giới hạn trên nhỏ nhất của tập $S$ được gọi là cực trị và được ký hiệu là $\sup S$. Các khái niệm về giới hạn dưới, tập giới hạn bên dưới và vô hạn $\inf S$ cũng được giới thiệu tương tự. Bây giờ tiên đề còn thiếu được phát biểu như sau:

Bất kỳ tập con nào không trống và có giới hạn trên của tập số thực đều có tập tối cao.
Cũng có thể chứng minh rằng trường số thực được xác định theo cách trên là duy nhất.

Số phức$\mathbb(C)$

Ví dụ về số phức:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ trong đó $i = \sqrt(-1)$ hoặc $i^2 = -1$

Tập hợp số phức đại diện cho tất cả các cặp số thực có thứ tự, tức là $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, trên đó các phép toán của phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Có nhiều dạng viết số phức, trong đó phổ biến nhất là $z=a+ib$, trong đó $(a,b)$ là một cặp số thực và số $i=(0,1)$ được gọi là đơn vị ảo.

Dễ dàng chứng minh được $i^2=-1$. Việc mở rộng tập $\mathbb(R)$ thành tập $\mathbb(C)$ cho phép chúng ta xác định căn bậc hai của số âm, đó là lý do cho sự ra đời của một tập hợp số phức. Cũng dễ dàng chứng minh rằng một tập con của tập $\mathbb(C)$ cho bởi $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ thỏa mãn tất cả các tiên đề cho số thực, do đó $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, hoặc $R\subset\mathbb(C)$.

Cấu trúc đại số của tập $\mathbb(C)$ đối với các phép tính cộng và nhân có các tính chất sau:
1. tính giao hoán của phép cộng và phép nhân
2. Tính kết hợp của phép cộng và phép nhân
3. $0+i0$ - phần tử trung lập cho phép cộng
4. $1+i0$ - phần tử trung lập cho phép nhân
5. Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng
6. Có một nghịch đảo duy nhất cho cả phép cộng và phép nhân.

Vô lý là:

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Theo đó, số chẵn là số chẵn và . Hãy để nó ở nơi có cái toàn thể. Sau đó

Logarit nhị phân của số 3

Giả sử điều ngược lại: hợp lý, nghĩa là được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên. Vì , và có thể được chọn là dương. Sau đó

Nhưng chẵn và lẻ. Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn.

e

Câu chuyện

Khái niệm số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm áp dụng vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750 trước Công nguyên - khoảng 690 trước Công nguyên) phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61 không thể được biểu diễn một cách rõ ràng. .

Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với chiều dài cạnh của một tam giác vuông cân có thể được biểu thị bằng Một:b, Ở đâu Một Và bđược chọn nhỏ nhất có thể.
Theo định lý Pythagore: Một 2 = 2 b².
Bởi vì Một- thậm chí, Một phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ sẽ là số lẻ).
Bởi vì Một:b không thể rút gọn được b hẳn là kỳ quặc.
Bởi vì Một thậm chí, chúng tôi biểu thị Một = 2y.
Sau đó Một² = 4 y 2 = 2 b².
b 2 = 2 y², do đó b- thậm chí, vậy thì b thậm chí.
Tuy nhiên, nó đã được chứng minh rằng b số lẻ. Sự mâu thuẫn.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã đặt ra một vấn đề nghiêm trọng cho toán học Pythagore, phá hủy giả định cơ bản rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

Xem thêm

Ghi chú

Hệ thống số
Đếm bộ	Số tự nhiên() Số nguyên()

lượt xem

Lưu VKontakte

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Logarit nhị phân của số 3

e

Câu chuyện

Xem thêm

Ghi chú

Định nghĩa số vô tỷ

Tính chất của số vô tỉ

Những con số không phải là vô lý

Các số tự nhiên $\mathbb(N)$

Số nguyên $\mathbb(Z)$

Số hữu tỉ $\mathbb(Q)$

Số vô tỷ $\mathbb(I)$

Số thực $\mathbb(R)$

Số phức$\mathbb(C)$

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Logarit nhị phân của số 3

e

Câu chuyện

Xem thêm

Ghi chú

Bạn cũng có thể thích