Cách tìm nghiệm của một số lớn. Căn bậc hai

Mô tả thư mục: Pryastanov S. M., Lysogorova L. V. Phương pháp chiết xuất căn bậc hai// Nhà khoa học trẻ. 2017. Số 2.2. P. 76-77..02.2019).



Từ khóa : căn bậc hai, trích căn bậc hai.

Trong giờ học toán, em được làm quen với khái niệm căn bậc hai và thao tác rút căn bậc hai. Tôi bắt đầu quan tâm đến việc liệu chỉ có thể trích xuất căn bậc hai bằng cách sử dụng bảng bình phương, sử dụng máy tính hay có cách nào để trích xuất nó theo cách thủ công. Tôi đã tìm ra một số cách: công thức của Babylon cổ đại, thông qua giải phương trình, phương pháp loại bỏ hình vuông đầy đủ, Phương pháp Newton, phương pháp hình học, phương pháp đồ thị (, ), phương pháp đoán, phương pháp suy luận số lẻ.

Hãy xem xét các phương pháp sau:

Hãy phân tích thành thừa số nguyên tố bằng cách sử dụng tiêu chí chia hết 27225=5*5*3*3*11*11. Như vậy

1. ĐẾN Phương pháp của Canada. Cái này phương pháp nhanh chóngđược phát hiện bởi các nhà khoa học trẻ tại một trong những trường đại học hàng đầu của Canada trong thế kỷ 20. Độ chính xác của nó không quá hai đến ba chữ số thập phân.

trong đó x là số mà gốc phải được trích ra, c là số bình phương gần nhất), ví dụ:

=5,92

1. Trong một cột. Phương pháp này cho phép bạn tìm giá trị gần đúng của gốc của bất kỳ số thực nào với độ chính xác được xác định trước. Nhược điểm của phương pháp này bao gồm độ phức tạp ngày càng tăng của phép tính khi số chữ số tìm thấy tăng lên. Để trích xuất gốc theo cách thủ công, một ký hiệu tương tự như phép chia dài được sử dụng

Thuật toán căn bậc hai

1. Chúng ta chia phần phân số và phần nguyên riêng biệt với dấu phẩy trên bờ vực của hai chữ sốở mỗi mặt ( hôn phần - từ phải sang trái; phân số- từ trái sang phải). Có thể phần nguyên có thể chứa một chữ số và phần phân số có thể chứa số không.

2. Trích xuất bắt đầu từ trái sang phải và chúng tôi chọn một số có bình phương không vượt quá số ở mặt đầu tiên. Chúng ta bình phương số này và viết nó dưới số ở cạnh đầu tiên.

3. Tìm hiệu giữa số ở mặt thứ nhất và bình phương của số đầu tiên đã chọn.

4. Chúng ta cộng cạnh tiếp theo vào số chênh lệch thu được, số thu được sẽ là có thể chia được. Hãy giáo dục dải phân cách. Chúng ta nhân đôi chữ số được chọn đầu tiên của câu trả lời (nhân với 2), chúng ta nhận được số chục của số chia và số đơn vị phải sao cho tích của nó với toàn bộ số chia không vượt quá số bị chia. Chúng tôi viết ra số đã chọn làm câu trả lời.

5. Chúng tôi lấy cạnh tiếp theo của chênh lệch thu được và thực hiện các hành động theo thuật toán. Nếu khuôn mặt này hóa ra là khuôn mặt của một phần phân số thì chúng ta đặt dấu phẩy vào câu trả lời. (Hình 1.)

Sử dụng phương pháp này, bạn có thể trích xuất các số có độ chính xác khác nhau, chẳng hạn như lên đến phần nghìn. (Hình 2)

Đang xem xét nhiều cách khác nhau trích căn bậc hai, chúng ta có thể kết luận: trong từng trường hợp cụ thể, bạn cần quyết định lựa chọn cách hiệu quả nhất để tốn ít thời gian giải quyết hơn

Văn học:

1. Kiselev A. Các yếu tố của đại số và giải tích. Phần một.-M.-1928

Từ khóa: căn bậc hai, căn bậc hai.

Chú thích: Bài báo mô tả các phương pháp trích căn bậc hai và đưa ra ví dụ về cách rút căn.

Có một số phương pháp tính căn bậc hai mà không cần máy tính.

Cách tìm căn số - 1 cách

• Một phương pháp là phân tích số dưới gốc. Các thành phần này khi nhân lên sẽ tạo thành một giá trị căn bản. Độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào số dưới gốc.
• Ví dụ: nếu bạn lấy số 1.600 và bắt đầu phân tích nó, lý do sẽ có cấu trúc như sau: số này là bội số của 100, nghĩa là nó có thể chia hết cho 25; vì số 25 đã lấy căn nên số đó là số chính phương và phù hợp cho các phép tính tiếp theo; khi chia, chúng ta nhận được một số khác - 64. Số này cũng là số chính phương nên có thể rút ra căn nguyên tốt; Sau những phép tính này, dưới gốc, bạn có thể viết số 1600 là tích của 25 và 64.

• Một trong những quy tắc để rút ra nghiệm là nghiệm của tích các thừa số bằng số có được bằng cách nhân các nghiệm của từng thừa số. Điều này có nghĩa là: √(25*64) = √25 * √64. Nếu lấy căn của 25 và 64, ta sẽ có biểu thức sau: 5 * 8 = 40. Nghĩa là căn bậc hai của số 1600 là 40.
• Nhưng điều đó xảy ra là số ở dưới căn không thể bị phân tách thành hai thừa số, từ đó rút ra toàn bộ căn. Thông thường, điều này chỉ có thể được thực hiện đối với một trong các số nhân. Do đó, thông thường không thể tìm thấy câu trả lời hoàn toàn chính xác trong phương trình như vậy.
• Trong trường hợp này, chỉ có thể tính được giá trị gần đúng. Vì vậy, bạn cần lấy căn của số nhân là số bình phương. Giá trị này sau đó được nhân với căn bậc hai của số thứ hai không phải là số hạng bình phương của phương trình.
• Nó trông như thế này, chẳng hạn, hãy lấy số 320. Nó có thể được phân tách thành 64 và 5. Bạn có thể trích xuất toàn bộ gốc từ 64, nhưng không thể trích xuất từ ​​5. Do đó, biểu thức sẽ có dạng như sau: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Nếu cần, bạn có thể tìm giá trị gần đúng của kết quả này bằng cách tính
  √5 ≈ 2,236, do đó √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Ngoài ra, số dưới gốc có thể được phân tách thành nhiều thừa số nguyên tố, và những cái giống hệt nhau có thể được lấy ra từ bên dưới nó. Ví dụ: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Cách tìm căn nguyên của một số - phương pháp 2

• Một cách khác là thực hiện phép chia dài. Phép chia diễn ra theo cách tương tự, nhưng bạn chỉ cần tìm số bình phương, từ đó bạn có thể lấy căn.
• Trong trường hợp này số vuông chúng ta viết lên trên và trừ nó ở phía bên trái, và phần gốc được trích xuất ở bên dưới.
• Bây giờ giá trị thứ hai cần được nhân đôi và viết từ dưới cùng bên phải dưới dạng: number_x_=. Các khoảng trống phải được điền bằng một số nhỏ hơn hoặc bằng giá trị bắt buộc ở bên trái - giống như phép chia thông thường.
• Nếu cần, kết quả này lại được trừ đi ở bên trái. Tính toán như vậy tiếp tục cho đến khi đạt được kết quả. Bạn cũng có thể thêm số không cho đến khi đạt được số chữ số thập phân mong muốn.

Công thức gốc. Tính chất của căn bậc hai.

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Ở bài học trước chúng ta đã biết căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra cái nào tồn tại công thức cho rễ là gì tính chất của rễ, và những gì có thể được thực hiện với tất cả điều này.

Công thức của căn, tính chất của căn và quy tắc làm việc với căn- về cơ bản thì điều này giống nhau. Đáng ngạc nhiên là có rất ít công thức tính căn bậc hai. Điều đó chắc chắn làm tôi hạnh phúc! Hay nói đúng hơn, bạn có thể viết rất nhiều công thức khác nhau, nhưng để làm việc thực tế và tự tin với gốc thì chỉ cần ba công thức là đủ. Mọi thứ khác đều bắt nguồn từ ba điều này. Mặc dù nhiều người nhầm lẫn về ba công thức gốc, vâng...

Hãy bắt đầu với cái đơn giản nhất. Cô ấy đây rồi:

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Sự thật 1.
\(\bullet\) Chúng ta hãy lấy một ít một số âm\(a\) (nghĩa là \(a\geqslant 0\) ). Sau đó (số học) căn bậc hai từ số \(a\) được gọi như vậy số không âm\(b\) , khi bình phương chúng ta nhận được số \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(giống như )\quad a=b^2\] Từ định nghĩa suy ra rằng \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Những hạn chế này được một điều kiện quan trọng sự tồn tại của căn bậc hai và chúng nên được ghi nhớ!
Hãy nhớ lại rằng bất kỳ số nào khi bình phương đều cho kết quả không âm. Tức là, \(100^2=10000\geqslant 0\) và \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) bằng bao nhiêu? Chúng tôi biết rằng \(5^2=25\) và \((-5)^2=25\) . Vì theo định nghĩa, chúng ta phải tìm một số không âm, nên \(-5\) không phù hợp, do đó, \(\sqrt(25)=5\) (vì \(25=5^2\) ).
Việc tìm giá trị của \(\sqrt a\) được gọi là lấy căn bậc hai của số \(a\) và số \(a\) được gọi là biểu thức căn.
\(\bullet\) Dựa trên định nghĩa, biểu thức \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), v.v. không có ý nghĩa.

Sự thật 2.
Để tính toán nhanh, sẽ rất hữu ích khi tìm hiểu bảng bình phương số tự nhiên từ \(1\) đến \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Sự thật 3.
Bạn có thể thực hiện những phép toán nào với căn bậc hai?
\(\đạn\) Tổng hoặc hiệu của căn bậc hai KHÔNG BẰNG với căn bậc hai của tổng hoặc hiệu, nghĩa là \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Vì vậy, nếu bạn cần tính toán, ví dụ \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , thì ban đầu bạn phải tìm các giá trị của \(\sqrt(25)\) và \(\ sqrt(49)\ ) rồi gấp chúng lại. Kể từ đây, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Nếu không thể tìm thấy các giá trị \(\sqrt a\) hoặc \(\sqrt b\) khi thêm \(\sqrt a+\sqrt b\), thì biểu thức như vậy sẽ không được chuyển đổi thêm và vẫn giữ nguyên như cũ. Ví dụ: trong tổng \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) chúng ta có thể tìm thấy \(\sqrt(49)\) là \(7\) , nhưng \(\sqrt 2\) không thể được chuyển đổi thành dù sao đi nữa, đó là lý do tại sao \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Thật không may, biểu thức này không thể đơn giản hóa hơn nữa\(\bullet\) Tích/thương của căn bậc hai bằng căn bậc hai của tích/thương, tức là \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (miễn là cả hai vế của sự bình đẳng đều có ý nghĩa)
Ví dụ: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Bằng cách sử dụng các thuộc tính này, thật thuận tiện để tìm căn bậc hai của số lớn bằng cách phân tích chúng.
Hãy xem một ví dụ. Hãy tìm \(\sqrt(44100)\) . Vì \(44100:100=441\) , sau đó \(44100=100\cdot 441\) . Theo tiêu chí chia hết, số \(441\) chia hết cho \(9\) (vì tổng các chữ số của nó là 9 và chia hết cho 9), do đó, \(441:9=49\), tức là \(441=9\ cdot 49\) .
Như vậy chúng ta đã có: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Hãy xem một ví dụ khác: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Hãy xem cách nhập số dưới dấu căn bậc hai bằng cách sử dụng ví dụ về biểu thức \(5\sqrt2\) (ký hiệu ngắn cho biểu thức \(5\cdot \sqrt2\)). Vì \(5=\sqrt(25)\) , sau đó \ Cũng lưu ý rằng, ví dụ,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Tại sao vậy? Hãy giải thích bằng ví dụ 1). Như bạn đã hiểu, bằng cách nào đó chúng ta không thể chuyển đổi số \(\sqrt2\). Hãy tưởng tượng rằng \(\sqrt2\) là một số \(a\) . Theo đó, biểu thức \(\sqrt2+3\sqrt2\) không gì khác hơn \(a+3a\) (một số \(a\) cộng với ba số giống nhau \(a\)). Và chúng ta biết rằng số này bằng bốn số như vậy \(a\) , tức là \(4\sqrt2\) .

Sự thật 4.
\(\bullet\) Người ta thường nói “bạn không thể trích xuất gốc” khi bạn không thể bỏ dấu \(\sqrt () \ \) của gốc (căn bản) khi tìm giá trị của một số . Ví dụ: bạn có thể lấy gốc của số \(16\) vì \(16=4^2\) , do đó \(\sqrt(16)=4\) . Nhưng không thể trích xuất gốc của số \(3\), tức là tìm \(\sqrt3\), vì không có số nào bình phương sẽ cho \(3\) .
Những số như vậy (hoặc biểu thức với những số như vậy) là số vô tỉ. Ví dụ, số \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) và như thế. là phi lý.
Cũng vô tỷ là các số \(\pi\) (số “pi”, xấp xỉ bằng \(3.14\)), \(e\) (số này được gọi là số Euler, nó xấp xỉ bằng \(2.7 \)) v.v.
\(\bullet\) Xin lưu ý rằng bất kỳ số nào cũng sẽ là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ. Và cùng nhau mọi người đều có lý trí và mọi thứ số vô tỉ tạo thành một tập hợp gọi là một tập hợp số thực. Tập hợp này được ký hiệu bằng chữ \(\mathbb(R)\) .
Điều này có nghĩa là tất cả những con số mà chúng ta hiện biết đều được gọi là số thực.

Sự thật 5.
\(\bullet\) Mô đun của một số thực \(a\) là một số không âm \(|a|\) bằng khoảng cách từ điểm \(a\) đến \(0\) trên dòng thực sự. Ví dụ: \(|3|\) và \(|-3|\) bằng 3, vì khoảng cách từ các điểm \(3\) và \(-3\) đến \(0\) là giống nhau và bằng \(3 \) .
\(\bullet\) Nếu \(a\) là số không âm thì \(|a|=a\) .
Ví dụ: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Nếu \(a\) là số âm thì \(|a|=-a\) .
Ví dụ: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Họ nói rằng đối với các số âm, mô đun “ăn” số âm, trong khi các số dương, cũng như số \(0\), được mô đun giữ nguyên.
NHƯNG Quy tắc này chỉ áp dụng cho số. Nếu dưới dấu hiệu mô đun của bạn có một ẩn số \(x\) (hoặc một số ẩn số khác), chẳng hạn như \(|x|\) , mà chúng tôi không biết liệu nó là dương, 0 hay âm, thì hãy loại bỏ của mô-đun chúng ta không thể. Trong trường hợp này, biểu thức này vẫn giữ nguyên: \(|x|\) . \(\bullet\) Các công thức sau giữ: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( đã cung cấp ) a\geqslant 0\] Rất thường mắc phải lỗi sau: họ nói rằng \(\sqrt(a^2)\) và \((\sqrt a)^2\) là một và giống nhau. Điều này chỉ đúng nếu \(a\) là số dương hoặc bằng 0. Nhưng nếu \(a\) là số âm thì điều này là sai. Chỉ cần xem xét ví dụ này là đủ. Hãy thay vì \(a\) số \(-1\) . Sau đó \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , nhưng biểu thức \((\sqrt (-1))^2\) hoàn toàn không tồn tại (xét cho cùng, không thể sử dụng dấu gốc để đặt số âm!).
Do đó, chúng tôi lưu ý bạn rằng thực tế là \(\sqrt(a^2)\) không bằng \((\sqrt a)^2\) ! Ví dụ 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), bởi vì \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Vì \(\sqrt(a^2)=|a|\) , nên \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (biểu thức \(2n\) biểu thị số chẵn)
Nghĩa là, khi lấy căn của một số ở một mức độ nào đó thì mức độ này giảm đi một nửa.
Ví dụ:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (lưu ý rằng nếu mô-đun không được cung cấp, hóa ra gốc của số bằng \(-25\ ) ; nhưng chúng ta nhớ rằng, theo định nghĩa của nghiệm thì điều này không thể xảy ra: khi trích xuất một nghiệm, chúng ta phải luôn nhận được số dương hoặc số 0)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (vì bất kỳ số nào có lũy thừa chẵn đều không âm)

Sự thật 6.
Làm thế nào để so sánh hai căn bậc hai?
\(\bullet\) Đối với căn bậc hai thì điều đó đúng: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aVí dụ:
1) so sánh \(\sqrt(50)\) và \(6\sqrt2\) . Đầu tiên, hãy chuyển biểu thức thứ hai thành \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Như vậy, vì \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) nằm giữa những số nguyên nào?
Vì \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) và \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Hãy so sánh \(\sqrt 2-1\) và \(0.5\) . Giả sử rằng \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(căn chỉnh) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((thêm một vào cả hai bên))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((bình phương cả hai bên))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(căn chỉnh)\] Ta thấy rằng ta thu được một bất đẳng thức sai. Do đó, giả định của chúng tôi không chính xác và \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Lưu ý rằng việc thêm một số nhất định vào cả hai vế của bất đẳng thức không ảnh hưởng đến dấu của nó. Nhân/chia cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương cũng không ảnh hưởng đến dấu của nó, nhưng nhân/chia cho một số âm sẽ làm đảo dấu của bất đẳng thức đó!
Bạn có thể bình phương cả hai vế của một phương trình/bất đẳng thức CHỈ KHI cả hai vế đều không âm. Ví dụ, trong bất đẳng thức ở ví dụ trước, bạn có thể bình phương cả hai vế, trong bất đẳng thức \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Cần nhớ rằng \[\begin(căn chỉnh) &\sqrt 2\khoảng 1,4\\ &\sqrt 3\khoảng 1,7 \end(căn chỉnh)\] Biết được ý nghĩa gần đúng của những con số này sẽ giúp ích cho bạn khi so sánh các con số! \(\bullet\) Để trích xuất căn nguyên (nếu có thể trích xuất được) từ một số lớn không có trong bảng bình phương, trước tiên bạn phải xác định xem nó nằm ở “hàng trăm” nào, sau đó – giữa “ hàng chục”, rồi xác định chữ số cuối cùng của số này. Hãy cho thấy cách thức hoạt động của nó bằng một ví dụ.
Hãy lấy \(\sqrt(28224)\) . Chúng tôi biết rằng \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), v.v. Lưu ý rằng \(28224\) nằm giữa \(10\,000\) và \(40\,000\) . Do đó, \(\sqrt(28224)\) nằm giữa \(100\) và \(200\) .
Bây giờ, hãy xác định xem số của chúng ta nằm ở “hàng chục” nào (ví dụ: giữa \(120\) và \(130\)). Cũng từ bảng hình vuông, chúng ta biết rằng \(11^2=121\) , \(12^2=144\) v.v., sau đó \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Vì vậy, chúng tôi thấy rằng \(28224\) nằm giữa \(160^2\) và \(170^2\) . Do đó, số \(\sqrt(28224)\) nằm giữa \(160\) và \(170\) .
Hãy thử xác định chữ số cuối cùng. Chúng ta hãy nhớ những số có một chữ số nào khi bình phương sẽ cho \(4\) ở cuối? Đây là \(2^2\) và \(8^2\) . Do đó, \(\sqrt(28224)\) sẽ kết thúc bằng 2 hoặc 8. Hãy kiểm tra điều này. Hãy tìm \(162^2\) và \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Do đó, \(\sqrt(28224)=168\) . Thì đấy!

Để giải thỏa đáng Kỳ thi Thống nhất môn toán, trước tiên bạn cần nghiên cứu tài liệu lý thuyết, trong đó giới thiệu cho bạn nhiều định lý, công thức, thuật toán, v.v. Thoạt nhìn, có vẻ như việc này khá đơn giản. Tuy nhiên, việc tìm một nguồn trình bày lý thuyết cho kỳ thi Thống nhất môn Toán một cách dễ hiểu và dễ hiểu đối với học sinh ở bất kỳ trình độ đào tạo nào trên thực tế là một nhiệm vụ khá khó khăn. Sách giáo khoa ở trường không phải lúc nào cũng có sẵn trong tay. Và việc tìm các công thức cơ bản cho Kỳ thi Thống nhất môn toán có thể khó khăn ngay cả trên Internet.

Tại sao việc nghiên cứu lý thuyết toán học không chỉ quan trọng đối với những học sinh tham gia Kỳ thi Thống nhất?

1. Bởi vì nó mở rộng tầm nhìn của bạn. Nghiên cứu tài liệu lý thuyết về toán học rất hữu ích cho những ai muốn có câu trả lời cho nhiều câu hỏi liên quan đến kiến ​​thức về thế giới xung quanh. Mọi thứ trong tự nhiên đều có trật tự và có logic rõ ràng. Đây chính xác là những gì được phản ánh trong khoa học, qua đó người ta có thể hiểu được thế giới.
2. Vì nó phát triển trí thông minh. Bằng cách nghiên cứu các tài liệu tham khảo cho Kỳ thi Thống nhất về toán học, cũng như giải các bài toán khác nhau, một người học cách suy nghĩ và suy luận logic, hình thành suy nghĩ một cách thành thạo và rõ ràng. Anh ta phát triển khả năng phân tích, khái quát hóa và rút ra kết luận.

Chúng tôi mời bạn tự mình đánh giá tất cả những ưu điểm trong cách tiếp cận của chúng tôi trong việc hệ thống hóa và trình bày tài liệu giáo dục.

Trích xuất gốc của một số lượng lớn. Bạn thân mến!Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách trích rút căn của một số lớn mà không cần máy tính. Điều này cần thiết không chỉ để giải một số loại bài thi Thống nhất (có một số bài liên quan đến chuyển động), mà còn cần thiết cho việc phát triển toán học nói chung, bạn nên biết kỹ thuật phân tích này.

Có vẻ như mọi thứ đều đơn giản: đưa nó vào các thừa số và trích xuất nó. Không có gì. Ví dụ: số 291600 khi phân hủy sẽ cho sản phẩm:

Chúng tôi tính toán:

Có một NHƯNG! Phương pháp này phù hợp nếu các ước số 2, 3, 4, v.v. dễ dàng được xác định. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu số mà chúng ta đang rút ra nghiệm là tích của các số nguyên tố? Ví dụ: 152881 là tích của các số 17, 17, 23, 23. Hãy thử tìm ngay các ước này nhé.

Bản chất của phương pháp chúng tôi đang xem xét- Đây là phân tích thuần túy. Với kỹ năng phát triển, root có thể được tìm thấy một cách nhanh chóng. Nếu kỹ năng chưa được rèn luyện nhưng cách tiếp cận được hiểu một cách đơn giản thì sẽ chậm hơn một chút nhưng vẫn quyết tâm.

Hãy lấy gốc của 190969.

Trước tiên, hãy xác định xem kết quả của chúng ta nằm ở số nào (bội số của một trăm).

Hiển nhiên, kết quả nghiệm của số này nằm trong khoảng từ 400 đến 500, bởi vì

400 2 =160000 và 500 2 =250000

Thật sự:

ở giữa, gần 160.000 hay 250.000?

Con số 190969 xấp xỉ ở giữa, nhưng vẫn gần hơn với 160000. Chúng ta có thể kết luận rằng kết quả root của chúng ta sẽ nhỏ hơn 450. Hãy kiểm tra:

Thật vậy, nó nhỏ hơn 450, vì 190.969< 202 500.

Bây giờ hãy kiểm tra số 440:

Điều này có nghĩa là kết quả của chúng tôi nhỏ hơn 440, vì 190 969 < 193 600.

Kiểm tra số 430:

Chúng ta đã xác định rằng kết quả của gốc này nằm trong khoảng từ 430 đến 440.

Tích của các số có 1 hoặc 9 ở cuối sẽ cho ra số có 1 ở cuối. Ví dụ: 21 x 21 bằng 441.

Tích của các số có 2 hoặc 8 ở cuối sẽ cho ra số có 4 ở cuối. Ví dụ: 18 x 18 bằng 324.

Tích các số có số 5 ở cuối sẽ cho ra số có số 5 ở cuối. Ví dụ: 25 x 25 bằng 625.

Tích các số có 4 hoặc 6 ở cuối sẽ cho ra số có 6 ở cuối. Ví dụ: 26 x 26 bằng 676.

Tích các số có 3 hoặc 7 ở cuối sẽ cho ra số có 9 ở cuối. Ví dụ: 17 x 17 bằng 289.

Vì số 190969 kết thúc bằng số 9 nên nó là tích của số 433 hoặc 437.

*Chỉ có họ, khi bình phương, mới có thể cho 9 ở cuối.

Chung ta kiểm tra:

Điều này có nghĩa là kết quả của root sẽ là 437.

Tức là chúng ta dường như đã “tìm được” câu trả lời đúng.

Như bạn có thể thấy, mức tối đa cần thiết là thực hiện 5 hành động trong một cột. Có lẽ bạn sẽ đạt được mục tiêu ngay lập tức hoặc chỉ cần thực hiện ba bước. Tất cả phụ thuộc vào mức độ chính xác mà bạn ước tính ban đầu về con số.

Tự bung root của 148996

Một sự phân biệt đối xử như vậy thu được trong bài toán:

Tàu động cơ đi 336 km dọc sông để đến đích và sau khi dừng lại sẽ quay trở lại điểm xuất phát. Tìm vận tốc của tàu khi nước yên lặng, biết vận tốc hiện tại là 5 km/h, thời gian lưu lại là 10 giờ và tàu quay về điểm xuất phát sau 48 giờ kể từ khi khởi hành. Hãy đưa ra câu trả lời của bạn bằng km/h.

Xem giải pháp

Kết quả của căn nằm giữa số 300 và 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Thật vậy, 90000<148996<160000.

Bản chất của lý luận sâu hơn là xác định vị trí của số 148996 (cách xa) so với những con số này.

Hãy tính sự khác biệt 148996 - 90000=58996 và 160000 - 148996=11004.

Hóa ra 148996 gần (gần hơn nhiều) với 160000. Do đó, kết quả của nghiệm chắc chắn sẽ lớn hơn 350 và thậm chí là 360.

Chúng ta có thể kết luận rằng kết quả của chúng ta lớn hơn 370. Hơn nữa, điều rõ ràng là: vì 148996 kết thúc bằng số 6, điều này có nghĩa là chúng ta phải bình phương một số kết thúc bằng 4 hoặc 6. *Chỉ những số này, khi bình phương, mới có kết quả là 6 .

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.