Các số hữu tỉ được ký hiệu bằng các chữ cái. Số hữu tỉ, định nghĩa, ví dụ

Tập hợp số hữu tỉ

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu và có thể viết như sau:

Chẳng hạn, các ký hiệu khác nhau có thể biểu thị cùng một phân số và , (tất cả các phân số có thể thu được từ nhau bằng cách nhân hoặc chia cho cùng một số tự nhiên biểu thị cùng một số hữu tỷ). Vì bằng cách chia tử số và mẫu số của một phân số cho ước số chung lớn nhất của chúng, chúng ta có thể thu được một biểu diễn tối giản duy nhất của một số hữu tỷ, nên chúng ta có thể gọi tập hợp của chúng là tập hợp không thể rút gọn được các phân số có tử số nguyên tố chung và mẫu số tự nhiên:

Đây là ước chung lớn nhất của các số và .

Tập hợp các số hữu tỉ là sự tổng quát hóa tự nhiên của tập hợp các số nguyên. Dễ dàng thấy rằng nếu một số hữu tỉ có mẫu số thì đó là một số nguyên. Tập hợp các số hữu tỷ được đặt dày đặc ở khắp mọi nơi trên trục số: giữa hai số hữu tỷ khác nhau bất kỳ có ít nhất một số hữu tỷ (và do đó là một tập hợp vô hạn các số hữu tỷ). Tuy nhiên, hóa ra tập hợp các số hữu tỷ có số lượng phần tử đếm được (nghĩa là tất cả các phần tử của nó có thể được đánh số lại). Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng người Hy Lạp cổ đại đã bị thuyết phục về sự tồn tại của các số không thể biểu diễn dưới dạng phân số (ví dụ, họ đã chứng minh rằng không có số hữu tỷ nào có bình phương là 2).

Thuật ngữ

định nghĩa chính thức

Về mặt hình thức, các số hữu tỷ được định nghĩa là tập hợp các lớp tương đương của các cặp đối với quan hệ tương đương if. Trong trường hợp này, các phép tính cộng và nhân được định nghĩa như sau:

Các định nghĩa liên quan

Phân số đúng, không đúng và hỗn hợp

Chính xác Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số được gọi là phân số. Các phân số thích hợp biểu thị các số hữu tỷ theo modulo nhỏ hơn một. Phân số không đúng gọi là phân số sai và đại diện cho một số hữu tỷ lớn hơn hoặc bằng một trong mô đun.

Một phân số không chính xác có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số nguyên và một phân số thích hợp, được gọi là phần hỗn hợp . Ví dụ, . Một ký hiệu tương tự (thiếu dấu cộng), mặc dù được sử dụng trong số học sơ cấp, nhưng bị tránh dùng trong tài liệu toán học nghiêm ngặt do sự giống nhau của ký hiệu cho một phân số hỗn hợp với ký hiệu cho tích của một số nguyên và một phân số.

Chiều cao bắn

Chiều cao của một cảnh quay thông thường là tổng mô đun của tử số và mẫu số của phân số này. Chiều cao của một số hữu tỉ là tổng mô đun của tử số và mẫu số của phân số thường tối giản tương ứng với số này.

Ví dụ: chiều cao của một phân số là . Chiều cao của số hữu tỷ tương ứng bằng , vì phân số có thể giảm đi .

Một lời bình luận

Thuật ngữ phân số (phân số) Thỉnh thoảng [ chỉ định] được sử dụng như một từ đồng nghĩa với thuật ngữ Số hữu tỉ và đôi khi là từ đồng nghĩa với bất kỳ số không nguyên nào. Trong trường hợp sau, số phân số và số hữu tỉ là những thứ khác nhau, do đó số hữu tỉ không nguyên chỉ là trương hợp đặc biệt phân số.

Của cải

Các tính chất cơ bản

Tập hợp các số hữu tỷ thỏa mãn 16 tính chất cơ bản, có thể dễ dàng suy ra từ các tính chất của số nguyên.

1. Sự trật tự.Đối với bất kỳ số hữu tỷ nào, có một quy tắc cho phép bạn xác định duy nhất một và chỉ một trong ba mối quan hệ giữa chúng: “”, “” hoặc “”. Quy tắc này được gọi là quy tắc đặt hàng và được biểu thức như sau: hai số dương và có quan hệ giống nhau như hai số nguyên và ; hai số không dương và có quan hệ với nhau như hai số số không âm Và ; nếu đột nhiên nó không âm mà là - âm thì .

   

   Cộng phân số

2. Hoạt động bổ sung. quy tắc tính tổng số lượng các số và và được ký hiệu là , và quá trình tìm số đó được gọi là sự tính tổng. Quy tắc tính tổng có dạng sau: .
3. Phép nhân.Đối với mọi số hữu tỉ đều có cái gọi là quy tắc nhân, điều này đặt chúng tương ứng với một số hữu tỉ nào đó. Trong trường hợp này, số đó được gọi là công việc các số và và được ký hiệu là , và quá trình tìm số đó còn được gọi là phép nhân. Quy tắc nhân có dạng sau: .
4. Tính bắc cầu của quan hệ thứ tự.Đối với bất kỳ bộ ba số hữu tỷ nào, nếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn, và nếu bằng nhau thì bằng nhau.
5. Tính giao hoán của phép cộng. Việc thay đổi vị trí của các số hạng hữu tỉ không làm thay đổi tổng.
6. Tính kết hợp của phép cộng. Thứ tự cộng ba số hữu tỉ không ảnh hưởng đến kết quả.
7. Sự hiện diện của số không. Có một số hữu tỉ 0 bảo toàn mọi số hữu tỉ khác khi cộng vào.
8. Sự hiện diện của các số đối diện. Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có một số hữu tỉ đối diện, khi cộng vào sẽ cho kết quả là 0.
9. Tính giao hoán của phép nhân. Việc thay đổi vị trí của các yếu tố hợp lý không làm thay đổi sản phẩm.
10. Tính kết hợp của phép nhân. Thứ tự nhân ba số hữu tỉ không ảnh hưởng đến kết quả.
11. Sự sẵn có của đơn vị. Có một số hữu tỉ 1 bảo toàn mọi số hữu tỉ khác khi nhân với nhau.
12. Sự hiện diện của các số đối ứng. Bất kỳ số hữu tỉ nào khác 0 đều có số hữu tỉ nghịch đảo, khi nhân với số đó sẽ bằng 1.
13. Tính phân phối của phép nhân so với phép cộng. Phép nhân được phối hợp với phép cộng thông qua định luật phân phối:
14. Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự với phép cộng.Ở phần bên trái và bên phải bất bình đẳng hợp lý bạn có thể thêm cùng một số hữu tỷ.
15. Kết nối quan hệ thứ tự với phép nhân. Vế trái và vế phải của một bất đẳng thức hữu tỉ có thể được nhân với cùng một số hữu tỉ dương.
16. Tiên đề của Archimedes. Bất kể số hữu tỷ là bao nhiêu, bạn có thể lấy nhiều đơn vị đến mức tổng của chúng vượt quá.

Thuộc tính bổ sung

Tất cả các tính chất khác vốn có của số hữu tỷ không được phân biệt là tính chất cơ bản, bởi vì nói chung, chúng không còn dựa trực tiếp vào tính chất của số nguyên mà có thể được chứng minh dựa trên tính chất cơ bản đã cho hoặc trực tiếp bằng định nghĩa của một đối tượng toán học nào đó. . Có rất nhiều tài sản bổ sung như vậy. Sẽ rất hợp lý khi chỉ liệt kê một vài trong số chúng ở đây.

Tính đếm của một tập hợp

Để ước tính số lượng các số hữu tỷ, bạn cần tìm số lượng của tập hợp chúng. Dễ dàng chứng minh được tập hợp số hữu tỉ đếm được. Để làm điều này, chỉ cần đưa ra một thuật toán liệt kê các số hữu tỉ, tức là thiết lập một song ánh giữa các tập hữu tỉ và số tự nhiên. Một ví dụ về cách xây dựng như vậy là thuật toán đơn giản sau đây. Một bảng vô tận được tạo ra phân số thông thường, trên mỗi dòng thứ trong mỗi cột thứ trong đó có một phân số. Để rõ ràng, giả định rằng các hàng và cột của bảng này được đánh số bắt đầu từ một. Các ô của bảng được chỉ định, trong đó là số hàng của bảng chứa ô đó và là số cột.

Bảng kết quả được duyệt bằng cách sử dụng “con rắn” theo thuật toán hình thức sau.

Các quy tắc này được tìm kiếm từ trên xuống dưới và vị trí tiếp theo được chọn dựa trên kết quả khớp đầu tiên.

Trong quá trình duyệt như vậy, mỗi số hữu tỷ mới được liên kết với một số tự nhiên khác. Nghĩa là, phân số được gán số 1, phân số được gán số 2, v.v. Cần lưu ý rằng chỉ những phân số tối giản mới được đánh số. Dấu hiệu hình thức của tính tối giản là ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số của phân số bằng một.

Theo thuật toán này, chúng ta có thể liệt kê tất cả các số hữu tỷ dương. Điều này có nghĩa là tập hợp các số hữu tỉ dương có thể đếm được. Có thể dễ dàng thiết lập sự song ánh giữa các tập hợp số hữu tỉ dương và âm bằng cách gán đơn giản cho mỗi số hữu tỉ số đối của nó. Cái đó. tập hợp các số hữu tỉ âm cũng đếm được. Hợp của chúng cũng có thể đếm được nhờ tính chất của các tập hợp đếm được. Tập hợp các số hữu tỷ cũng có thể đếm được dưới dạng hợp của một tập hợp đếm được với một tập hợp hữu hạn.

Tất nhiên, có nhiều cách khác để liệt kê các số hữu tỷ. Ví dụ: để làm điều này, bạn có thể sử dụng các cấu trúc như cây Kalkin-Wilf, cây Stern-Broko hoặc chuỗi Farey.

Tuyên bố về khả năng đếm được của tập hợp số hữu tỷ có thể gây ra một số nhầm lẫn, vì thoạt nhìn có vẻ như nó rộng hơn nhiều so với tập hợp số tự nhiên. Thực tế không phải vậy và có đủ số tự nhiên để liệt kê hết tất cả số hữu tỉ.

Thiếu số hữu tỉ

Xem thêm

Số nguyên
	số hữu tỉ

Số thực Số phức Đệ tứ

Ghi chú

Văn học

• Tôi. Kushnir. Sổ tay toán học cho học sinh. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 tr.
• P. S. Alexandrov. Giới thiệu về lý thuyết tập hợp và cấu trúc liên kết tổng quát. - M.: chương. biên tập. vật lý và toán học thắp sáng. biên tập. "Khoa học", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Giới thiệu lý thuyết về hệ đại số

Chủ đề về số hữu tỉ khá rộng. Bạn có thể nói về nó không ngừng và viết toàn bộ tác phẩm, mỗi lần đều ngạc nhiên trước những nét mới.

Để tránh những sai lầm trong tương lai, trong bài học này chúng ta sẽ đi sâu hơn một chút về chủ đề số hữu tỷ, thu thập những thông tin cần thiết từ đó và chuyển sang phần tiếp theo.

Nội dung bài học

số hữu tỉ là gì

Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó Một-đây là tử số của phân số b là mẫu số của phân số. Hơn thế nữa b không được bằng 0 vì không được phép chia cho 0.

Số hữu tỉ bao gồm các loại số sau:

• số nguyên (ví dụ −2, −1, 0 1, 2, v.v.)

• phân số thập phân (ví dụ 0,2, v.v.)

• phân số tuần hoàn vô hạn (ví dụ 0, (3), v.v.)

Mỗi số trong danh mục này có thể được biểu diễn dưới dạng phân số.

Ví dụ 1. Số nguyên 2 có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Điều này có nghĩa là số 2 không chỉ áp dụng cho số nguyên mà còn áp dụng cho số hữu tỷ.

Ví dụ 2. Một số hỗn hợp có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Phân số này thu được bằng cách chuyển đổi hỗn số thành phân số không chính xác

Có nghĩa hỗn sốđề cập đến số hữu tỉ.

Ví dụ 3. Số thập phân 0,2 có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Phân số này thu được bằng cách chuyển đổi phân số thập phân 0,2 thành phân số chung. Nếu bạn gặp khó khăn ở điểm này, hãy lặp lại chủ đề.

Bởi vì số thập phân 0,2 có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, nghĩa là nó cũng thuộc số hữu tỉ.

Ví dụ 4. Phân số tuần hoàn vô hạn 0, (3) có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Phân số này thu được bằng cách chuyển đổi một phân số tuần hoàn thuần túy thành một phân số thông thường. Nếu bạn gặp khó khăn ở điểm này, hãy lặp lại chủ đề.

Vì phân số tuần hoàn vô hạn 0 nên (3) có thể được biểu diễn dưới dạng phân số, có nghĩa là nó cũng thuộc số hữu tỷ.

Trong tương lai, chúng ta sẽ ngày càng gọi tất cả các số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số bằng một cụm từ - số hữu tỉ.

Các số hữu tỉ trên đường tọa độ

Chúng ta nhìn vào đường tọa độ khi nghiên cứu số âm. Hãy nhớ rằng đây là một đường thẳng có nhiều điểm nằm trên đó. Như sau:

Hình này cho thấy một đoạn nhỏ của đường tọa độ từ −5 đến 5.

Đánh dấu các số nguyên dạng 2, 0, −3 trên trục tọa độ không khó.

Mọi thứ thú vị hơn nhiều với những con số khác: với phân số thông thường, hỗn số, số thập phân, v.v. Những số này nằm giữa các số nguyên và có vô số số như vậy.

Ví dụ: hãy đánh dấu một số hữu tỷ trên đường tọa độ. Con số này nằm chính xác giữa số không và một

Chúng ta hãy cố gắng hiểu tại sao phân số đột nhiên nằm giữa 0 và một.

Như đã đề cập ở trên, giữa các số nguyên nằm các số khác - phân số thông thường, số thập phân, số hỗn hợp, v.v. Ví dụ: nếu bạn tăng một phần của đường tọa độ từ 0 lên 1, bạn có thể thấy hình ảnh sau

Có thể thấy giữa các số nguyên 0 và 1 còn có các số hữu tỷ khác là các phân số thập phân quen thuộc. Ở đây bạn có thể thấy phân số của chúng tôi, nằm ở cùng vị trí với phân số thập phân 0,5. Việc xem xét cẩn thận hình này sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi tại sao phân số lại nằm chính xác ở đó.

Một phân số có nghĩa là chia 1 cho 2. Và nếu chúng ta chia 1 cho 2, chúng ta được 0,5

Phân số thập phân 0,5 có thể được ngụy trang thành các phân số khác. Từ tính chất cơ bản của một phân số, chúng ta biết rằng nếu nhân hoặc chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số thì giá trị của phân số đó không thay đổi.

Nếu nhân tử số và mẫu số của một phân số với một số bất kỳ, chẳng hạn với số 4, thì ta được một phân số mới và phân số này cũng bằng 0,5

Điều này có nghĩa là trên đường tọa độ, phân số có thể được đặt ở cùng vị trí đặt phân số

Ví dụ 2. Hãy thử đánh dấu một số hữu tỉ trên tọa độ. Con số này nằm chính xác giữa số 1 và 2

Giá trị phân số là 1,5

Nếu tăng tiết diện đường tọa độ từ 1 lên 2 chúng ta sẽ thấy hình sau:

Có thể thấy giữa các số nguyên 1 và 2 còn có các số hữu tỷ khác là các phân số thập phân quen thuộc. Ở đây bạn có thể thấy phân số của chúng tôi, nằm ở cùng vị trí với phân số thập phân 1,5.

Chúng tôi đã phóng to một số đoạn nhất định trên đường tọa độ để xem các số còn lại nằm trên đoạn này. Kết quả là chúng tôi đã phát hiện ra các phân số thập phân có một chữ số sau dấu thập phân.

Nhưng họ đã không số ít, nằm trên các đoạn này. Có vô số số nằm trên đường tọa độ.

Không khó để đoán rằng giữa các phân số thập phân có một chữ số sau dấu thập phân, có những phân số thập phân khác có hai chữ số sau dấu thập phân. Nói cách khác, một phần trăm của một phân khúc.

Ví dụ: hãy thử xem các số nằm giữa các phân số thập phân 0,1 và 0,2

Một vi dụ khac. Phân số thập phân có hai chữ số sau dấu thập phân và nằm giữa số 0 và số hữu tỷ 0,1 trông như thế này:

Ví dụ 3. Chúng ta hãy đánh dấu một số hữu tỉ trên đường tọa độ. Số hữu tỷ này sẽ rất gần bằng 0

Giá trị của phân số là 0,02

Nếu tăng đoạn từ 0 lên 0,1, chúng ta sẽ thấy chính xác số hữu tỷ nằm ở đâu

Có thể thấy rằng số hữu tỷ của chúng ta nằm ở cùng vị trí với phân số thập phân 0,02.

Ví dụ 4. Ta đánh dấu số hữu tỉ 0 trên trục tọa độ (3)

Số hữu tỷ 0, (3) là một phân số tuần hoàn vô hạn. Phần phân số của nó không bao giờ kết thúc, nó là vô hạn

Và vì số 0,(3) có phần phân số vô hạn, điều này có nghĩa là chúng ta sẽ không thể tìm được vị trí chính xác trên đường tọa độ nơi số này nằm. Chúng tôi chỉ có thể chỉ ra nơi này một cách gần đúng.

Số hữu tỷ 0,33333... sẽ nằm rất gần với phân số thập phân chung 0,3

Hình này không hiển thị vị trí chính xác của số 0,(3). Đây chỉ là một minh họa cho thấy phân số tuần hoàn 0.(3) có thể gần với phân số thập phân thông thường 0,3 như thế nào.

Ví dụ 5. Chúng ta hãy đánh dấu một số hữu tỉ trên đường tọa độ. Số hữu tỉ này sẽ nằm ở giữa số 2 và số 3

Đây là 2 (hai số nguyên) và (một giây). Một phân số còn được gọi là “một nửa”. Do đó, chúng tôi đã đánh dấu hai đoạn nguyên và một nửa đoạn khác trên đường tọa độ.

Nếu chúng ta chuyển một hỗn số thành một phân số không chính xác, chúng ta sẽ được một phân số thường. Phân số này trên đường tọa độ sẽ nằm ở cùng vị trí với phân số

Giá trị của phân số là 2,5

Nếu tăng tiết diện của đường tọa độ từ 2 lên 3, chúng ta sẽ thấy hình sau:

Có thể thấy số hữu tỷ của chúng ta nằm cùng vị trí với phân số thập phân 2,5

Dấu trừ trước số hữu tỉ

Trong bài học trước, chúng ta đã học cách chia số nguyên. Cả số dương và số âm đều có thể đóng vai trò là số bị chia và số chia.

Hãy xem xét biểu thức đơn giản nhất

(−6) : 2 = −3

Trong biểu thức này, số bị chia (−6) là số âm.

Bây giờ hãy xem xét biểu thức thứ hai

6: (−2) = −3

Ở đây số chia (−2) đã là số âm. Nhưng trong cả hai trường hợp, chúng ta đều nhận được câu trả lời giống nhau -3.

Xét rằng bất kỳ phép chia nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số, chúng ta cũng có thể viết các ví dụ được thảo luận ở trên dưới dạng phân số:

Và vì trong cả hai trường hợp, giá trị của phân số là như nhau, nên dấu trừ ở tử số hoặc mẫu số có thể được làm chung bằng cách đặt nó trước phân số.

Do đó, bạn có thể đặt dấu bằng giữa các biểu thức và và vì chúng mang cùng một ý nghĩa

Sau này, khi làm việc với phân số, nếu gặp dấu trừ ở tử số hoặc mẫu số, chúng ta sẽ biến dấu trừ này thành phổ biến bằng cách đặt nó trước phân số.

Các số hữu tỉ đối nhau

Giống như một số nguyên, một số hữu tỉ có số đối diện của nó.

Ví dụ: đối với một số hữu tỷ, số đối diện là . Nó nằm trên đường tọa độ đối xứng với vị trí so với gốc tọa độ. Nói cách khác, cả hai số này đều cách đều gốc tọa độ

Chuyển đổi số hỗn hợp thành phân số không chính xác

Chúng ta biết rằng để chuyển một hỗn số thành một phân số không chính xác, chúng ta cần nhân phần nguyên với mẫu số của phần phân số rồi cộng với tử số của phần phân số. Số kết quả sẽ là tử số của phân số mới, nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên.

Ví dụ: hãy chuyển một hỗn số thành một phân số không chính xác

Nhân phần nguyên với mẫu số của phần phân số rồi cộng tử số của phần phân số:

Hãy tính biểu thức này:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Số 5 thu được sẽ là tử số của phân số mới nhưng mẫu số vẫn giữ nguyên:

Quy trình này được viết đầy đủ như sau:

Để trả về hỗn số ban đầu, chỉ cần chọn toàn bộ phần trong phân số là đủ

Nhưng phương pháp chuyển hỗn số thành phân số không chính xác này chỉ được áp dụng nếu hỗn số dương. Đối với số âm phương pháp này sẽ không hoạt động.

Hãy xem xét phân số. Hãy chọn toàn bộ phần của phân số này. Chúng tôi nhận được

Để trả về phân số ban đầu, bạn cần chuyển hỗn số thành phân số không chính xác. Nhưng nếu chúng ta sử dụng quy tắc cũ, cụ thể là nhân phần nguyên với mẫu số của phần phân số và cộng tử số của phần phân số với số thu được, chúng ta sẽ gặp mâu thuẫn sau:

Chúng ta đã nhận được một phần nhỏ, nhưng lẽ ra chúng ta phải nhận được một phần nhỏ.

Chúng tôi kết luận rằng số hỗn hợp đã được chuyển đổi không chính xác thành một phân số không chính xác:

Để chuyển đổi chính xác một số hỗn âm âm thành một phân số không chính xác, bạn cần nhân toàn bộ phần với mẫu số của phần phân số và từ số kết quả trừ đi tử số của phần phân số. Trong trường hợp này, mọi thứ sẽ ổn thỏa với chúng ta

Hỗn số âm là số đối của hỗn số. Nếu một hỗn số dương nằm ở phía bên phải và trông như thế này

Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra một số định nghĩa về số hữu tỉ. Bất chấp sự khác biệt về cách diễn đạt, tất cả các định nghĩa này đều có cùng một ý nghĩa: số hữu tỉ hợp nhất số nguyên và phân số, giống như số nguyên hợp nhất số tự nhiên, số đối của chúng và số 0. Nói cách khác, số hữu tỉ tổng quát hóa số nguyên và số phân số.

Hãy bắt đầu với định nghĩa về số hữu tỉ, được cảm nhận một cách tự nhiên nhất.

Sự định nghĩa.

số hữu tỉ là các số có thể viết dưới dạng phân số dương, phân số âm hoặc số 0.

Từ định nghĩa đã nêu, suy ra số hữu tỉ là:

Bất kỳ số tự nhiên nào N. Thật vậy, bạn có thể biểu diễn bất kỳ số tự nhiên nào dưới dạng phân số thông thường, ví dụ: 3=3/1 .

· Bất kỳ số nguyên nào, đặc biệt là số 0. Trong thực tế, bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số dương, phân số âm hoặc bằng 0. Ví dụ, 26=26/1 , .

· Bất kỳ phân số chung nào (dương hoặc âm). Điều này được xác nhận trực tiếp bởi định nghĩa đã cho về số hữu tỷ.

· Bất kỳ hỗn số nào. Thật vậy, bạn luôn có thể biểu diễn một hỗn số dưới dạng một phân số không chính xác. Ví dụ, và.

· Bất kỳ phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số tuần hoàn vô hạn. Điều này là do thực tế là các phân số thập phân được chỉ định được chuyển đổi thành phân số thông thường. Ví dụ, một 0,(3)=1/3 .

Cũng rõ ràng rằng bất kỳ phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn nào đều KHÔNG phải là số hữu tỷ, vì nó không thể được biểu diễn dưới dạng phân số chung.

Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng đưa ra ví dụ về số hữu tỉ. số 4 ,903 , 100 321 Đây là những số hữu tỉ vì chúng là số tự nhiên. Số nguyên 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 cũng là ví dụ về số hữu tỉ. Phân số chung 4/9 , 99/3 , cũng là ví dụ về số hữu tỷ. Số hữu tỉ cũng là số.

Từ các ví dụ trên, rõ ràng có cả số hữu tỉ dương và số hữu tỉ âm, và số hữu tỉ 0 không dương cũng không âm.

Định nghĩa trên về số hữu tỉ có thể được phát biểu dưới dạng ngắn gọn hơn.

Sự định nghĩa.

số hữu tỉ tên các số có thể viết dưới dạng phân số z/n, Ở đâu z là một số nguyên và N- số tự nhiên.

Chúng ta hãy chứng minh rằng định nghĩa này về số hữu tỷ tương đương với định nghĩa trước đó. Chúng ta biết rằng chúng ta có thể coi dòng của một phân số là dấu chia, sau đó từ tính chất chia số nguyên và quy tắc chia số nguyên, suy ra tính hợp lệ của các đẳng thức sau. Như vậy, đó là bằng chứng.

Hãy để chúng tôi đưa ra ví dụ về số hữu tỷ dựa trên định nghĩa này. số −5 , 0 , 3 và là các số hữu tỉ, vì chúng có thể được viết dưới dạng phân số với tử số nguyên và mẫu số tự nhiên có dạng và tương ứng.

Định nghĩa của số hữu tỉ có thể được đưa ra trong công thức sau.

Sự định nghĩa.

số hữu tỉ là các số có thể viết dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn hoặc vô hạn.

Định nghĩa này cũng tương đương với định nghĩa đầu tiên, vì mọi phân số thông thường đều tương ứng với một phân số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn và ngược lại, và bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được liên kết với một phân số thập phân có số 0 sau dấu thập phân.

Ví dụ, số 5 , 0 , −13 , là ví dụ về số hữu tỉ, vì chúng có thể được viết dưới dạng phân số thập phân sau 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Và −7,(18) .

Hãy kết thúc lý thuyết về điểm này bằng các phát biểu sau:

· số nguyên và phân số (dương và âm) tạo thành tập hợp số hữu tỷ;

· Mỗi số hữu tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số có tử số nguyên và mẫu số tự nhiên, và mỗi phân số như vậy biểu diễn một số hữu tỷ nhất định;

· Mọi số hữu tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn hoặc vô hạn và mỗi phân số như vậy biểu diễn một số hữu tỷ nhất định.

Đầu trang

Phép cộng các số hữu tỷ dương có tính chất giao hoán và kết hợp,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Trước khi xây dựng định nghĩa phép nhân các số hữu tỉ dương, hãy xét bài toán sau: ta biết độ dài của đoạn X được biểu thị dưới dạng phân số với đơn vị là độ dài E, và độ dài của đoạn đơn vị được đo bằng đơn vị E 1 và được biểu thị dưới dạng phân số. Làm cách nào để tìm số đại diện cho độ dài của đoạn X nếu được đo bằng đơn vị độ dài E 1?

Vì X = E nên nX = mE, và từ thực tế là E = E 1 nên qE = pE 1. Chúng ta hãy nhân đẳng thức thứ nhất thu được với q và đẳng thức thứ hai với m. Khi đó (nq)X = (mq)E và (mq)E= (mp)E 1, từ đó (nq)X= (mp)E 1. Đẳng thức này cho thấy độ dài của đoạn x với độ dài đơn vị được biểu thị dưới dạng phân số, có nghĩa là , =, tức là nhân các phân số liên quan đến việc di chuyển từ đơn vị chiều dài này sang đơn vị chiều dài khác khi đo chiều dài của cùng một đoạn.

Định nghĩa: Nếu số dương a được biểu thị bằng một phân số và số hữu tỷ dương b là một phân số thì tích của chúng là số a b, được biểu thị bằng một phân số.

Nhân các số hữu tỉ dương giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng và phép trừ. Việc chứng minh các tính chất này dựa trên định nghĩa phép nhân và phép cộng các số hữu tỷ dương, cũng như các tính chất tương ứng của phép cộng và phép nhân các số tự nhiên.

46. ​​​​Như đã biết phép trừ- Đây là tác dụng ngược lại của phép cộng.

Nếu như Một Và b - số dương, khi đó trừ số b khỏi số a có nghĩa là tìm một số c mà khi cộng với số b sẽ cho số a.
a - b = c hoặc c + b = a
Định nghĩa phép trừ đúng với mọi số hữu tỷ. Nghĩa là phép trừ các số dương và số âm có thể được thay thế bằng phép cộng.
Để trừ một số khác từ một số, bạn cần cộng số đối diện với số bị trừ.
Hoặc, nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng phép trừ số b cũng giống như phép cộng, nhưng có số đối diện với b.
a - b = a + (- b)
Ví dụ.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Ví dụ.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Điều đáng ghi nhớ là các biểu thức dưới đây.
0 - một = - một
một - 0 = một
a - a = 0

Quy tắc trừ số âm
Trừ số b là cộng số đó với số đối diện của b.
Quy tắc này không chỉ đúng khi trừ một số nhỏ hơn từ một số lớn hơn mà còn cho phép bạn trừ một số nhỏ hơn. số lớn hơn, nghĩa là bạn luôn có thể tìm thấy sự khác biệt giữa hai số.
Sự khác biệt có thể là số dương, số âm hoặc số 0.
Ví dụ về trừ số âm và số dương.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Thật thuận tiện để ghi nhớ quy tắc dấu, cho phép bạn giảm số lượng dấu ngoặc đơn.
Dấu cộng không làm thay đổi dấu của số nên nếu có dấu cộng đứng trước dấu ngoặc đơn thì dấu trong ngoặc không thay đổi.
+ (+ a) = + một
+ (- a) = - một
Dấu trừ đằng trước dấu ngoặc đơn là đảo dấu của số trong ngoặc đơn.
- (+ a) = - một
- (- a) = + một
Từ các đẳng thức, rõ ràng rằng nếu có các dấu giống nhau ở trước và bên trong dấu ngoặc thì chúng ta nhận được “+”, và nếu các dấu khác nhau thì chúng ta nhận được “-”.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Quy tắc dấu cũng được áp dụng nếu dấu ngoặc không chỉ chứa một số mà còn chứa tổng đại số của các số.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Xin lưu ý rằng nếu có nhiều số trong ngoặc và có dấu trừ ở phía trước dấu ngoặc thì dấu đứng trước tất cả các số trong ngoặc này phải thay đổi.
Để ghi nhớ quy tắc dấu, bạn có thể tạo bảng xác định dấu của một số.
Quy tắc dấu cho các số+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Hoặc học một quy tắc đơn giản.
Hai phủ định tạo nên một khẳng định,
Cộng nhân trừ bằng trừ.

Quy tắc chia số âm.
Để tìm mô đun của thương, bạn cần chia mô đun của số bị chia cho mô đun của số chia.
Vì vậy, để chia hai số cùng dấu, ta cần:

· mô đun số bị chia cho mô đun số chia;

· Đánh dấu “+” trước kết quả.

Ví dụ về chia số với dấu hiệu khác nhau:

Bạn cũng có thể sử dụng bảng sau để xác định dấu thương.
Quy tắc dấu hiệu để chia
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Khi tính toán các biểu thức “dài” trong đó chỉ xuất hiện phép nhân và phép chia, việc sử dụng quy tắc dấu sẽ rất thuận tiện. Ví dụ, để tính một phân số
Các bạn lưu ý tử số có 2 dấu trừ, khi nhân lên sẽ ra dấu cộng. Mẫu số cũng có ba dấu trừ, khi nhân lên sẽ cho dấu trừ. Do đó, cuối cùng kết quả sẽ có dấu trừ.
Việc giảm một phân số (các hành động tiếp theo với mô-đun số) được thực hiện theo cách tương tự như trước:
Thương của số 0 chia cho một số khác 0 bằng 0.
0: a = 0, a ≠ 0
Bạn KHÔNG THỂ chia cho số 0!
Tất cả các quy tắc chia cho một đã biết trước đây cũng áp dụng cho tập hợp số hữu tỷ.
một: 1 = một
một: (- 1) = - một
a: a = 1, trong đó a là số hữu tỉ bất kỳ.
Mối quan hệ giữa kết quả của phép nhân và phép chia, được biết đến với số dương, vẫn giữ nguyên đối với tất cả các số hữu tỉ (trừ số 0):
nếu a × b = c; a = c: b; b = c: a;
nếu a: b = c; a = c × b; b = a: c
Các phụ thuộc này được sử dụng để tìm thừa số, số bị chia và số chia chưa biết (khi giải phương trình), cũng như để kiểm tra kết quả của phép nhân và chia.
Một ví dụ về việc tìm cái chưa biết.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Thông tin liên quan.

số hữu tỉ

Khu

1. Sự trật tự. Một Và b có một quy tắc cho phép người ta xác định duy nhất một và chỉ một trong ba mối quan hệ giữa chúng: “< », « >" hoặc " = ". Quy tắc này được gọi là quy tắc đặt hàng và được biểu thức như sau: hai số không âm và có quan hệ với nhau bởi hai số nguyên và ; hai số không dương Một Và b có quan hệ giống nhau như hai số không âm và ; nếu đột nhiên Một không âm nhưng b- tiêu cực rồi Một > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Cộng phân số

2. Hoạt động bổ sung. Với mọi số hữu tỉ Một Và b có một cái gọi là quy tắc tính tổng c. Hơn nữa, bản thân số c gọi điện số lượng con số Một Và b và được ký hiệu là , và quá trình tìm số đó được gọi là sự tính tổng. Quy tắc tính tổng có dạng sau: .
3. Phép nhân. Với mọi số hữu tỉ Một Và b có một cái gọi là quy tắc nhân, gán cho chúng một số hữu tỉ c. Hơn nữa, bản thân số c gọi điện công việc con số Một Và b và được ký hiệu là , và quá trình tìm số đó còn được gọi là phép nhân. Quy tắc nhân trông như thế này: .
4. Tính bắc cầu của quan hệ thứ tự. Với mọi bộ ba số hữu tỉ Một , b Và c Nếu như Mộtít hơn b Và bít hơn c, Cái đó Mộtít hơn c, và nếu Một bằng b Và b bằng c, Cái đó Một bằng c. 6435">Tính giao hoán của phép cộng. Việc thay đổi vị trí của các số hạng hữu tỉ không làm thay đổi tổng.
5. Tính kết hợp của phép cộng. Thứ tự cộng ba số hữu tỉ không ảnh hưởng đến kết quả.
6. Sự hiện diện của số không. Có một số hữu tỉ 0 bảo toàn mọi số hữu tỉ khác khi cộng vào.
7. Sự hiện diện của các số đối diện. Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có một số hữu tỉ đối diện, khi cộng vào sẽ cho kết quả là 0.
8. Tính giao hoán của phép nhân. Việc thay đổi vị trí của các yếu tố hợp lý không làm thay đổi sản phẩm.
9. Tính kết hợp của phép nhân. Thứ tự nhân ba số hữu tỉ không ảnh hưởng đến kết quả.
10. Sự sẵn có của đơn vị. Có một số hữu tỉ 1 bảo toàn mọi số hữu tỉ khác khi nhân với nhau.
11. Sự hiện diện của các số đối ứng. Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có số hữu tỉ nghịch đảo, khi nhân với số đó sẽ bằng 1.
12. Tính phân phối của phép nhân so với phép cộng. Phép nhân được phối hợp với phép cộng thông qua định luật phân phối:
13. Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự với phép cộng. Cùng một số hữu tỉ có thể được cộng vào vế trái và vế phải của một bất đẳng thức hữu tỉ. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Tiên đề của Archimedes. Bất kể số hữu tỉ là bao nhiêu Một, bạn có thể lấy nhiều đơn vị đến mức tổng của chúng vượt quá Một. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Thuộc tính bổ sung

Tất cả các tính chất khác vốn có của số hữu tỷ không được phân biệt là tính chất cơ bản, bởi vì nói chung, chúng không còn dựa trực tiếp vào tính chất của số nguyên mà có thể được chứng minh dựa trên tính chất cơ bản đã cho hoặc trực tiếp bằng định nghĩa của một đối tượng toán học nào đó. . Có rất nhiều tài sản bổ sung như vậy. Sẽ rất hợp lý khi chỉ liệt kê một vài trong số chúng ở đây.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Tính đếm của một tập hợp

Đánh số các số hữu tỉ

Để ước tính số lượng các số hữu tỷ, bạn cần tìm số lượng của tập hợp chúng. Dễ dàng chứng minh được tập hợp số hữu tỉ đếm được. Để làm được điều này, chỉ cần đưa ra một thuật toán liệt kê các số hữu tỷ, tức là thiết lập một phép đối chiếu giữa các tập hợp số hữu tỉ và số tự nhiên là đủ.

Thuật toán đơn giản nhất trong số này trông như thế này. Một bảng vô tận các phân số thông thường được biên soạn, trên mỗi phân số Tôi-dòng thứ trong mỗi j cột thứ chứa phân số đó. Để rõ ràng, giả định rằng các hàng và cột của bảng này được đánh số bắt đầu từ một. Các ô của bảng được ký hiệu là , trong đó Tôi- số hàng của bảng chứa ô đó, và j- số cột.

Bảng kết quả được duyệt bằng cách sử dụng “con rắn” theo thuật toán hình thức sau.

Các quy tắc này được tìm kiếm từ trên xuống dưới và vị trí tiếp theo được chọn dựa trên kết quả khớp đầu tiên.

Trong quá trình duyệt như vậy, mỗi số hữu tỷ mới được liên kết với một số tự nhiên khác. Tức là phân số 1/1 được gán cho số 1, phân số 2/1 cho số 2, v.v. Cần lưu ý rằng chỉ những phân số tối giản mới được đánh số. Dấu hiệu hình thức của tính tối giản là ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số của phân số bằng một.

Theo thuật toán này, chúng ta có thể liệt kê tất cả các số hữu tỷ dương. Điều này có nghĩa là tập hợp các số hữu tỉ dương có thể đếm được. Có thể dễ dàng thiết lập sự song ánh giữa các tập hợp số hữu tỉ dương và âm bằng cách gán đơn giản cho mỗi số hữu tỉ số đối của nó. Cái đó. tập hợp các số hữu tỉ âm cũng đếm được. Hợp của chúng cũng có thể đếm được nhờ tính chất của các tập hợp đếm được. Tập hợp các số hữu tỷ cũng có thể đếm được dưới dạng hợp của một tập hợp đếm được với một tập hợp hữu hạn.

Tuyên bố về khả năng đếm được của tập hợp số hữu tỷ có thể gây ra một số nhầm lẫn, vì thoạt nhìn có vẻ như nó rộng hơn nhiều so với tập hợp số tự nhiên. Thực tế không phải vậy và có đủ số tự nhiên để liệt kê hết tất cả số hữu tỉ.

Thiếu số hữu tỉ

Cạnh huyền của một tam giác như vậy không thể biểu diễn bằng bất kỳ số hữu tỉ nào

Số hữu tỉ có dạng 1 / N nói chung N có thể đo được những đại lượng nhỏ tùy ý. Thực tế này tạo ra ấn tượng sai lầm rằng các số hữu tỷ có thể được sử dụng để đo bất kỳ khoảng cách hình học nào. Thật dễ dàng để chứng minh rằng điều này không đúng.

Ghi chú

Văn học

• Tôi. Kushnir. Sổ tay toán học cho học sinh. - Kyiv: ASTARTA, 1998. - 520 tr.
• P. S. Alexandrov. Giới thiệu về lý thuyết tập hợp và cấu trúc liên kết tổng quát. - M.: chương. biên tập. vật lý và toán học thắp sáng. biên tập. "Khoa học", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Giới thiệu lý thuyết về hệ đại số

Liên kết

Quỹ Wikimedia. 2010.

Học sinh lớn hơn và học sinh toán có thể sẽ trả lời câu hỏi này một cách dễ dàng. Nhưng đối với những người ở xa nghề này thì sẽ khó khăn hơn. Nó thực sự là gì?

Bản chất và tên gọi

Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn được dưới dạng phân số thông thường. Tích cực, tiêu cực và số 0 cũng được bao gồm trong bộ này. Tử số của phân số phải là số nguyên và mẫu số phải là

Tập hợp này trong toán học được ký hiệu là Q và được gọi là “trường số hữu tỷ”. Nó bao gồm tất cả các số nguyên và số tự nhiên, ký hiệu lần lượt là Z và N. Bản thân tập Q cũng được bao gồm trong tập R. Chính chữ cái này biểu thị cái gọi là tập thực hoặc

Hiệu suất

Như đã đề cập, số hữu tỷ là một tập hợp bao gồm tất cả các giá trị nguyên và phân số. Chúng có thể được trình bày ở các hình thức khác nhau. Thứ nhất, ở dạng phân số thông thường: 5/7, 1/5, 11/15, v.v. Tất nhiên, số nguyên cũng có thể được viết dưới dạng tương tự: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, v.v. Thứ hai, một kiểu biểu diễn khác là phân số thập phân có số cuối cùng phần phân đoạn: 0,01, -15,001006, v.v. Đây có lẽ là một trong những dạng phổ biến nhất.

Nhưng cũng có phần thứ ba - phần tuần hoàn. Loại này không phổ biến lắm nhưng vẫn được sử dụng. Ví dụ: phân số 10/3 có thể được viết là 3,33333... hoặc 3,(3). Trong trường hợp này, các cách biểu diễn khác nhau sẽ được coi là các số tương tự nhau. Các phân số bằng nhau cũng sẽ được gọi là giống nhau, ví dụ 3/5 và 6/10. Có vẻ như đã rõ số hữu tỉ là gì. Nhưng tại sao thuật ngữ này lại được dùng để chỉ họ?

nguồn gốc của tên

Từ "hợp lý" trong tiếng Nga hiện đại nhìn chung có một ý nghĩa hơi khác. Nó giống như "hợp lý", "suy nghĩ kỹ" hơn. Nhưng các thuật ngữ toán học gần với ý nghĩa trực tiếp của điều này. Trong tiếng Latin, "tỷ lệ" là "tỷ lệ", "phân số" hoặc "phép chia". Vì vậy, cái tên đã nắm bắt được bản chất của số hữu tỷ. Tuy nhiên, ý nghĩa thứ hai

không xa sự thật.

Hành động với họ

Khi giải các bài toán, chúng ta liên tục gặp các số hữu tỷ mà bản thân chúng ta không hề biết. Và họ có một số tính chất thú vị. Tất cả chúng đều tuân theo hoặc từ định nghĩa của một tập hợp hoặc từ các hành động.

Đầu tiên, số hữu tỷ có tính chất quan hệ thứ tự. Điều này có nghĩa là chỉ có thể có một mối quan hệ giữa hai số - chúng bằng nhau hoặc số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn số kia. Đó là:

hoặc a = b ; hoặc một > b, hoặc Một< b.

Ngoài ra, tính bắc cầu của mối quan hệ cũng xuất phát từ tính chất này. Nghĩa là, nếu Một hơn b, b hơn c, Cái đó Một hơn c. Trong ngôn ngữ toán học nó trông như thế này:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Thứ hai, có các phép toán số học với các số hữu tỷ, tức là cộng, trừ, chia và tất nhiên là nhân. Đồng thời, trong quá trình biến đổi cũng có thể xác định được một số tính chất.

• a + b = b + a (sự thay đổi vị trí của số hạng, tính giao hoán);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (tính kết hợp);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (độ phân phối);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1/a) = 1 (trong trường hợp này a không bằng 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Khi Chúng ta đang nói về về các số thông thường chứ không phải số nguyên, các thao tác với chúng có thể gây ra những khó khăn nhất định. Vì vậy, phép cộng và phép trừ chỉ có thể thực hiện được nếu mẫu số bằng nhau. Nếu ban đầu chúng khác nhau, bạn nên tìm số chung bằng cách nhân toàn bộ phân số với một số số nhất định. Việc so sánh cũng thường chỉ có thể thực hiện được nếu điều kiện này được đáp ứng.

Việc chia, nhân các phân số thông thường được thực hiện theo đúng quy tắc quy tắc đơn giản. Giảm đến mẫu số chung là không cần thiết. Các tử số và mẫu số được nhân riêng biệt và trong quá trình thực hiện hành động, nếu có thể, phân số nên được rút gọn và đơn giản hóa nhất có thể.

Về phần chia, hành động này tương tự như hành động đầu tiên với một chút khác biệt. Đối với phân số thứ hai, bạn sẽ tìm nghịch đảo, đó là

"lật" nó lại. Như vậy, tử số của phân số thứ nhất sẽ cần phải nhân với mẫu số của phân số thứ hai và ngược lại.

Cuối cùng, một tính chất khác vốn có của số hữu tỷ được gọi là tiên đề Archimedes. Thông thường trong văn học người ta cũng tìm thấy cái tên “nguyên tắc”. Nó đúng cho toàn bộ tập hợp số thực, nhưng không phải ở mọi nơi. Vì vậy, nguyên tắc này không áp dụng cho một số tập hợp hàm hữu tỉ. Về cơ bản, tiên đề này có nghĩa là với sự tồn tại của hai đại lượng a và b, bạn luôn có thể lấy đủ a để vượt quá b.

Khu vực ứng dụng

Vì vậy, đối với những người đã học hoặc nhớ số hữu tỉ là gì, rõ ràng là chúng được sử dụng ở mọi nơi: trong kế toán, kinh tế, thống kê, vật lý, hóa học và các ngành khoa học khác. Đương nhiên, họ cũng có một vị trí trong toán học. Không phải lúc nào cũng biết rằng chúng ta đang đối phó với chúng, chúng ta liên tục sử dụng những con số hữu tỉ. Ngay cả trẻ nhỏ khi học đếm đồ vật, cắt táo thành từng miếng hoặc thực hiện các hành động đơn giản khác cũng gặp phải chúng. Họ thực sự bao quanh chúng tôi. Chưa hết, chúng chưa đủ để giải quyết một số vấn đề; cụ thể, lấy định lý Pythagore làm ví dụ, người ta có thể hiểu sự cần thiết phải đưa ra khái niệm này.