Các khái niệm và tiên đề cơ bản, định nghĩa số tự nhiên. Lý thuyết tiên đề về số tự nhiên

19.06.2022

TOÁN OZO Năm thứ nhất Học kỳ 2

Ví dụ 1: Chúng ta hãy biện minh cho việc lựa chọn hành động khi giải quyết vấn đề: “Chúng tôi đã mua 4 gói giấy màu và 3 gói giấy trắng nữa. Bạn đã mua bao nhiêu gói giấy trắng?

Giải pháp. Vấn đề liên quan đến hai bộ. Gọi A là tập giấy màu, B là tập giấy trắng. Theo điều kiện, số gói giấy màu đã biết, tức là. n(A)=4 và cần tìm kích thước của tập B. Ngoài ra, tùy theo điều kiện của bài toán, trong tập B ta có thể chọn tập con C, số của tập đó là 3, tức là. n(C)=3. Hãy làm điều này, ví dụ như trong Hình. 1.

Bức tranh 1

Khi đó hiệu B \ C = B 1 sẽ bằng tập A, tức là. n(B 1) = n(A).

Do đó, tập B là hợp của tập B 1 và C, trong đó B 1 C=Æ.

Bài toán bắt nguồn từ việc xác định kích thước hợp của hai tập hợp rời nhau và được giải bằng phép cộng: n(B) = n(B 1 C) = n(B 1) + n(C); n(B) = 4+3 = 7.

Ví dụ 2: Sử dụng khái niệm con số làm thước đo độ lớn, chúng ta sẽ biện minh cho việc lựa chọn hành động khi giải quyết vấn đề: “3m vải được dùng làm váy và 2m vải làm áo cánh. Toàn bộ bộ đồ tốn bao nhiêu mét vải?

Giải pháp: Bài toán liên quan đến đại lượng - chiều dài, được đo bằng đơn vị 1 mét, bởi vì độ dài liên tục thì chúng ta sẽ giải thích cách lựa chọn hành động khi giải bài toán bằng cách sử dụng các đoạn (Hình 2).

Cho e=1m, đoạn a thể hiện chiều dài của vải dùng làm váy, a=3e. Đoạn b thể hiện chiều dài của vải dùng để may áo, b = 2e. Bởi vì Trong bài toán bạn cần tìm tổng số vải đã sử dụng thì đoạn c sẽ cho biết số lượng tất cả số vải đã sử dụng: c = a + b.

Hình 2

a=3e b=2e m e (c)= m e (a)+m e (c) m e (c) = 2+3 m e (c) = 5 Đáp án: 5 m.

Ví dụ 3: Sử dụng khái niệm số làm thước đo độ lớn, chúng ta sẽ biện minh cho việc lựa chọn hành động khi giải bài toán: “Trong hộp thứ nhất có 12 kg bánh quy, hộp thứ hai có ít hơn 3 kg. Hộp thứ hai có bao nhiêu kg bánh quy?

Giải pháp: Bài toán liên quan đến đại lượng khối lượng, đơn vị đo của nó là 1 kilôgam, e = 1 kg, vì số lượng, khối lượng là liên tục thì ta sẽ giải thích cách chọn hành động khi giải bài toán bằng các đoạn (Hình 3).

Cho e = 1kg, đoạn a cho biết hộp thứ nhất có bao nhiêu kg bánh quy a = 12e.

Phân đoạn b cho biết hộp thứ hai có ít hơn hộp thứ nhất bao nhiêu kg bánh quy, b = 3e.

Đoạn c cho thấy có bao nhiêu kg bánh quy trong hộp thứ hai, m e (c) - ? Được biết hộp thứ hai chứa ít hơn hộp thứ nhất 3 kg bánh quy, tức là. tương tự, nhưng ít hơn 3.

Đặt d=a, thì c = d – b. a = 12e nên d = 12e. m e (c)= m e (d)-m e (c) m e (c)=12-3 m e (c)=9

Hình 3

Trả lời: Hộp thứ hai có 9 kg bánh quy.

GOUVPO

Đại học sư phạm bang Tula

được đặt theo tên Leo Tolstoy

HỆ THỐNG SỐ

Tula 2008

Hệ thống số

Cuốn sách hướng dẫn này dành cho sinh viên các chuyên ngành toán của một trường đại học sư phạm và được biên soạn theo tiêu chuẩn nhà nước cho khóa học “Hệ thống số”. Tài liệu lý thuyết được trình bày. Giải pháp cho các nhiệm vụ điển hình được phân tích. Các bài tập để giải trong các lớp thực hành được cung cấp.

Biên soạn bởi -

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư Khoa Đại số và Hình học, TSPU mang tên. L. N. Tolstoy Yu. A. Ignatov

Người đánh giá -

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư Bộ môn Phân tích Toán học, TSPU mang tên. L. N. Tolstoy I. V. Denisov

Phiên bản giáo dục

Hệ thống số

Biên soạn bởi

IGNATOLYuri Alexandrovich

HỆ THỐNG SỐ

Khóa học này bao gồm các nền tảng của toán học. Nó cung cấp một cấu trúc tiên đề chặt chẽ của các hệ thống số cơ bản: tự nhiên, số nguyên, hữu tỷ, thực, phức tạp, cũng như quaternions. Nó dựa trên lý thuyết về các hệ tiên đề hình thức, được thảo luận trong quá trình logic toán học.

Trong mỗi đoạn văn, các định lý được đánh số đầu tiên. Nếu cần tham khảo một định lý từ một đoạn văn khác, việc đánh số theo từng bước được sử dụng: số đoạn văn được đặt trước số định lý. Ví dụ, Định lý 1.2.3 là Định lý 3 trong đoạn 1.2.

số nguyên

Lý thuyết tiên đề về số tự nhiên

Lý thuyết tiên đề được xác định bởi các yếu tố sau:

Một tập hợp các hằng số;

Tập hợp các ký hiệu chức năng để biểu thị các hoạt động;

Một tập hợp các ký hiệu vị ngữ để biểu diễn các quan hệ;

Danh sách các tiên đề kết nối các yếu tố trên.

Đối với một lý thuyết tiên đề hình thức, các quy tắc suy luận cũng được chỉ ra để giúp chứng minh các định lý. Trong trường hợp này, tất cả các câu lệnh đều được viết dưới dạng công thức, ý nghĩa của nó không quan trọng và các phép biến đổi được thực hiện trên các công thức này theo các quy tắc nhất định. Trong lý thuyết tiên đề thực chất, các quy tắc suy luận không được xác định cụ thể. Việc chứng minh được thực hiện trên cơ sở các cấu trúc logic thông thường có tính đến ý nghĩa của các phát biểu được chứng minh.

Khóa học này xây dựng các lý thuyết có ý nghĩa của các hệ thống số cơ bản.

Yêu cầu quan trọng nhất đối với một lý thuyết tiên đề là tính nhất quán của nó. Việc chứng minh tính nhất quán được thực hiện bằng cách xây dựng mô hình của một lý thuyết trong một lý thuyết khác. Khi đó tính nhất quán của lý thuyết đang được xem xét giảm xuống còn tính nhất quán của lý thuyết trong đó mô hình được xây dựng.

Đối với hệ thống số nguyên, mô hình được xây dựng trong khuôn khổ hệ thống số tự nhiên, đối với số hữu tỉ - trong khuôn khổ hệ thống số nguyên, v.v. Kết quả là một chuỗi các lý thuyết tiên đề, trong đó mỗi lý thuyết đều dựa trên lý thuyết trước đó. Nhưng đối với lý thuyết đầu tiên trong chuỗi này, cụ thể là lý thuyết về số tự nhiên, không có chỗ nào để xây dựng một mô hình. Do đó, đối với một hệ thống số tự nhiên, cần phải xây dựng một lý thuyết mà ở đó sự tồn tại của một mô hình là không thể nghi ngờ, mặc dù không thể chứng minh điều đó một cách chặt chẽ.

Lý thuyết nên rất đơn giản. Với mục đích này, chúng ta coi hệ thống số tự nhiên chỉ là một công cụ để đếm các vật thể. Các phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự phải được xác định sau khi xây dựng được lý thuyết ở dạng chỉ định.

Để phục vụ nhu cầu đếm, hệ thống số tự nhiên phải là một dãy trong đó xác định phần tử (đơn vị) đầu tiên và xác định phần tử tiếp theo với mỗi phần tử. Phù hợp với điều này, chúng tôi có được lý thuyết sau đây.

Không thay đổi: 1 đơn vị).

Ký hiệu chức năng: "¢". Biểu thị hoạt động "theo dõi" đơn nhất, nghĩa là MỘT¢ – số theo sau MỘT. Trong trường hợp này số MỘT gọi điện trước Vì MỘT¢.

Không có ký tự vị ngữ đặc biệt. Mối quan hệ đẳng thức thông thường và mối quan hệ lý thuyết tập hợp được sử dụng. Tiên đề cho chúng sẽ không được chỉ ra.

Tập hợp mà lý thuyết dựa trên được ký hiệu N.

tiên đề:

(N1) (" Một) Một¢ ¹ 1 (không theo số nào cả).

(N2) (" Một)("b) (Một¢ = b¢ ® a = b) (mỗi số có nhiều nhất một số liền trước).

(N3) M Í N, 1О M, ("Một)(MộtÎ M ® Một¢Î M) Þ M = N(tiên đề quy nạp toán học).

Tiên đề trên được đề xuất (với những thay đổi nhỏ) bởi nhà toán học người Ý Peano vào cuối thế kỷ 19.

Không khó để rút ra một số định lý từ các tiên đề.

Định lý 1. (Phương pháp quy nạp toán học). Cho phép R(N) – một vị từ được xác định trên một tập hợp N. Hãy để nó là sự thật R(1) và (" N)(P(N)® P(N¢)). Sau đó R(N) là một vị từ đúng trên N.

Bằng chứng. Cho phép M- tập hợp số tự nhiên N, mà R(N) là đúng. Sau đó 1О M theo điều kiện của định lý. Tiếp theo, nếu NÎ M, Cái đó P(N) đúng theo định nghĩa M, P(N¢) đúng theo các điều kiện của định lý, và N¢Î M a-linh M. Mọi tiền đề của tiên đề quy nạp đều được thỏa mãn, do đó, M = N. Theo định nghĩa M, nó có nghĩa là R(N) đúng với mọi số từ N. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2. Bất kỳ số nào MỘT Số 1 có tiền lệ và chỉ có một.

Bằng chứng. Cho phép M– tập hợp các số tự nhiên chứa 1 và tất cả các số liền trước nó. Sau đó 1О M. Nếu như MộtÎ M, Cái đó Một¢Î M, bởi vì Một¢ có tiền đề (điều kiện thậm chí không được sử dụng ở đây MộtÎ M). Vậy theo tiên đề quy nạp M = N. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 3. Bất kỳ số nào cũng khác với số tiếp theo.

Bài tập. Đã xác định được các số tự nhiên 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, hãy chứng minh rằng 2 ¹ 6.

Phép cộng số tự nhiên

Định nghĩa đệ quy sau đây được đưa ra cho phép cộng các số tự nhiên.

Sự định nghĩa. Phép cộng số tự nhiên là phép tính nhị phân áp dụng cho số tự nhiên MỘT Và b phù hợp với số a+b, có các tính chất sau:

(S1) MỘT + 1 = MỘT¢ cho bất cứ ai MỘT;

(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ cho bất kỳ MỘT Và b.

Cần phải chứng minh định nghĩa này đúng, tức là tồn tại một phép toán thỏa mãn tính chất đã cho. Nhiệm vụ này có vẻ rất đơn giản: chỉ cần tiến hành quy nạp trên b, đếm MỘTđã sửa. Trong trường hợp này cần phải chọn một bộ M giá trị b, trong đó hoạt động a+bđược xác định và thỏa mãn các điều kiện (S1) và (S2). Khi thực hiện một chuyển đổi quy nạp, chúng ta phải giả sử rằng đối với b hoạt động được thực hiện và chứng minh rằng nó được thực hiện cho b¢. Nhưng ở tính chất (S2), phải được thỏa mãn với b, đã có liên kết đến a+b¢. Điều này có nghĩa là thuộc tính này tự động thừa nhận sự tồn tại của một thao tác đối với a+b¢, và do đó đối với các số tiếp theo: xét cho cùng, đối với a+b¢ thuộc tính (S2) cũng phải được thỏa mãn. Người ta có thể nghĩ rằng điều này chỉ làm cho vấn đề trở nên dễ dàng hơn bằng cách làm cho bước quy nạp trở nên tầm thường: mệnh đề đang được chứng minh chỉ đơn giản là lặp lại giả thuyết quy nạp. Nhưng khó khăn ở đây là ở chỗ chứng minh cơ sở quy nạp. Đối với giá trị b= 1 thì thuộc tính (S1) và (S2) cũng phải được thỏa mãn. Nhưng thuộc tính (S2), như được hiển thị, giả định trước sự tồn tại của một phép toán cho tất cả các giá trị sau 1. Điều này có nghĩa là việc kiểm tra cơ sở quy nạp giả định trước một bằng chứng không phải cho một mà cho tất cả các số, và quy nạp mất đi ý nghĩa của nó: cơ sở quy nạp trùng với mệnh đề cần chứng minh.

Lý do trên không có nghĩa là các định nghĩa đệ quy là không chính xác hoặc mỗi lần đều cần phải có sự biện minh cẩn thận. Để chứng minh chúng, bạn cần sử dụng các tính chất của số tự nhiên, những tính chất này mới được thiết lập ở giai đoạn này. Một khi những điều này đã được thiết lập, tính hợp lệ của các định nghĩa đệ quy có thể được chứng minh. Bây giờ chúng ta chứng minh sự tồn tại của phép cộng bằng quy nạp trên MỘT: trong công thức (S1) và (S2) không có mối liên hệ nào giữa phép cộng MỘT Và MỘT¢.

Định lý 1. Phép cộng các số tự nhiên luôn khả thi và là duy nhất.

Bằng chứng. a) Đầu tiên ta chứng minh tính duy nhất. Hãy sửa nó MỘT. Khi đó kết quả của hoạt động a+b có một chức năng từ b. Giả sử có hai hàm như vậy f(b) Và g(b), có tính chất (S1) và (S2). Hãy chứng minh rằng chúng bằng nhau.

Cho phép M- tập hợp ý nghĩa b, mà f(b) = g(b). Theo tài sản (S1)
f(1) = MỘT + 1 = MỘT¢ và g(1) = MỘT + 1 = MỘT¢ có nghĩa là f(1) = g(1) và 1О M.

Hãy để nó bây giờ bÎ M, đó là f(b) = g(b). Theo tài sản (S2)

f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),

Có nghĩa, b¢Î M. Bằng tiên đề quy nạp M = N. Tính duy nhất đã được chứng minh.

b) Bây giờ bằng quy nạp trên MỘT hãy chứng minh sự tồn tại của phép toán a+b. Cho phép M– tập hợp các giá trị đó MỘT, trong đó hoạt động a+b với các thuộc tính (S1) và (S2) được xác định cho tất cả b.

Cho phép MỘT= 1. Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ về hoạt động như vậy. Theo định nghĩa, chúng tôi giả sử 1 + b == b¢. Hãy chứng minh rằng phép toán này thỏa mãn tính chất (S1) và (S2). (S1) có dạng 1 + 1 = 1¢, tương ứng với định nghĩa. Đang kiểm tra (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢, và (S2) thỏa mãn. Vì vậy, 1О M.

Hãy để nó bây giờ MỘTÎ M. Hãy chứng minh điều đó MỘT¢Î M. Chúng tôi tin theo định nghĩa
Một¢ +b = (a+b)¢. Sau đó

Một¢ + 1 = (một+ 1)¢ = ( MỘT¢)¢,

Một¢ +b¢ = ( a+b¢)¢ = (( a+b)¢)¢ = ( Một¢ +b)¢,

và tính chất (S1) và (S2) đều được thỏa mãn.

Như vậy, M = N, và phép cộng được xác định cho mọi số tự nhiên. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2. Phép cộng các số tự nhiên có tính chất kết hợp, tức là

(a+b) + c = một + (b+c).

Bằng chứng. Hãy sửa nó MỘT Và b và tiến hành quy nạp Với. Cho phép M- một tập hợp các số đó Với, mà đẳng thức đó đúng. Dựa vào tính chất (S1) và (S2), ta có:

(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = một+(b+ 1) Þ 1О M.

Hãy để nó bây giờ VớiÎ M. Sau đó

(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( một+(b + c))¢ = một+(b + c)¢ = một+(b + c¢),

Và c¢Î M. Theo tiên đề (N3) M = N. Định lý đã được chứng minh.

Định lý 3. Phép cộng các số tự nhiên có tính chất giao hoán, tức là

a + b = b + a. (1)

Bằng chứng. Hãy sửa nó MỘT và tiến hành quy nạp b.

Cho phép b= 1, tức là cần chứng minh đẳng thức

MỘT + 1 = 1 + MỘT. (2)

Ta chứng minh đẳng thức này bằng quy nạp trên MỘT.

Tại MỘT= 1 đẳng thức là tầm thường. Hãy để nó được thực hiện cho MỘT, hãy chứng minh điều đó cho MỘT¢. Chúng ta có

MỘT¢ + 1 = ( MỘT + 1) + 1 = (1 + MỘT) + 1 = (1 + MỘT)¢ = 1 + MỘT¢.

Quá trình chuyển đổi quy nạp đã hoàn tất. Theo nguyên lý quy nạp toán học, đẳng thức (2) đúng với mọi MỘT. Điều này chứng tỏ khẳng định của cơ sở quy nạp b.

Bây giờ hãy thỏa mãn công thức (1) với b. Hãy chứng minh điều đó cho b¢. Chúng ta có

Một +b¢ = ( Một +b)¢ = ( b + Một)¢ = b + Một¢ = b + (Một + 1) = b + (1 + Một) = (b + 1) + Một = b¢ + Một.

Áp dụng nguyên lý quy nạp toán học, định lý được chứng minh.

Định lý 4.Một + b ¹ b.

Bằng chứng là một bài tập.

Định lý 5.Đối với bất kỳ số nào MỘT Và b xảy ra một và chỉ một trong các trường hợp sau:

1) a = b.

2) Có một số k như vậy mà a = b + k.

3) Có một số tôi như vậy mà b = a + l.

Bằng chứng. Theo Định lý 4, nhiều nhất một trong các trường hợp này xảy ra, vì rõ ràng trường hợp 1) và 2), cũng như 1) và 3), không thể xảy ra đồng thời. Nếu trường hợp 2) và 3) xảy ra đồng thời thì a = b + k=
= (MỘT + tôi) + k = MỘT+ (tôi + k), điều này lại mâu thuẫn với Định lý 4. Hãy chứng minh rằng ít nhất một trong các trường hợp này luôn xảy ra.

Hãy chọn một số MỘT Và M – rất nhiều trong số đó b, cho mỗi trong số đó, đưa ra Một trường hợp 1), 2) hoặc 3) xảy ra.

Cho phép b= 1. Nếu Một= 1 thì ta có trường hợp 1). Nếu như MỘT¹ 1 thì theo Định lý 1.1.2 ta có

a = k" = k + 1 = 1 + k,

tức là ta có trường hợp 2) cho b= 1. Vậy 1 thuộc về M.

Cho phép b thuộc về M. Khi đó có thể xảy ra các trường hợp sau:

- MỘT = b, Có nghĩa, b" = b + 1 = MỘT+ 1, tức là ta có trường hợp 3) cho b";

- MỘT = b+k, và nếu k= 1 thì MỘT = b+ 1 = b", tức là trường hợp 1) xảy ra với b";

nếu như k số 1 thì k = t" Và

a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+ tôi) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,

tức là trường hợp 2) xảy ra với b";

- b = một+đất b" =(một + tôi)¢ = MỘT + tôi¢, tức là ta có trường hợp 3) cho b".

Trong tất cả trường hợp b" thuộc về M.Định lý đã được chứng minh.

Bài tập. Chứng minh, dựa trên định nghĩa về tổng, rằng 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.

Phép nhân số tự nhiên

Sự định nghĩa. Phép nhân số tự nhiên là phép tính nhị phân áp dụng cho số tự nhiên MỘT Và b phù hợp với số bụng(hoặc a×b), có các tính chất sau:

(P1) MỘT×1 = MỘT cho bât ki ai MỘT;

(P2) ab" = ab + a bất cứ gì MỘT Và b.

Về định nghĩa của phép nhân, tất cả các nhận xét ở đoạn trước về định nghĩa của phép cộng vẫn có giá trị. Đặc biệt, vẫn chưa rõ liệu có sự tương ứng với các thuộc tính được đưa ra trong định nghĩa hay không. Do đó, định lý sau đây, tương tự như Định lý 1.2.1, có tầm quan trọng cơ bản rất lớn.

Định lý 1. Chỉ có một phép nhân các số tự nhiên. Nói cách khác, phép nhân luôn có thể thực hiện được và rõ ràng.

Chứng minh khá giống với Định lý 1.2.1 và được đưa ra dưới dạng bài tập.

Các tính chất của phép nhân được xây dựng trong các định lý sau đây được chứng minh dễ dàng. Chứng minh của mỗi định lý đều dựa trên những định lý trước đó.

Định lý 2.(Luật phân phối phải): ( a+b)c = ac + bc.

Định lý 3. Phép nhân có tính chất giao hoán: ab = ba.

Định lý 4.(Luật phân phối trái): c(a+b)= с + сb.

Định lý 5. Phép nhân có tính chất kết hợp: Một(bc) = (bụng)c.

Sự định nghĩa. Nửa vành là một hệ thống trong đó + và × là các phép toán nhị phân của phép cộng và phép nhân thỏa mãn các tiên đề:

(1) là nửa nhóm giao hoán, nghĩa là phép cộng có tính giao hoán và kết hợp;

(2) là nửa nhóm, nghĩa là phép nhân có tính kết hợp;

(3) giữ phân phối bên phải và bên trái.

Từ quan điểm đại số, hệ số tự nhiên về phép cộng và phép nhân tạo thành một nửa vành.

Bài tập. Dựa vào định nghĩa về sản phẩm, hãy chứng minh rằng
2×2 = 4, 2×3 = 6.

Bài tập

Chứng minh danh tính:

1. 1 2 + 2 2 + ... + N 2 = .

2. 1 3 + 2 3 + ... + N 3 = .

Tìm số tiền:

3. .

4. .

5. .

6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.

Chứng minh các bất đẳng thức:

7. N 2 < 2n для N > 4.

8. 2N < N! Vì N³ 4.

9. (1 + x)N³ 1 + nx, Ở đâu x > –1.

10. Tại N > 1.

11. Tại N > 1.

12. .

13. Tìm lỗi trong chứng minh bằng quy nạp rằng mọi số đều bằng nhau. Ta chứng minh một khẳng định tương đương: trong mọi tập hợp N số, mọi số đều bằng nhau. Tại N= 1 câu đúng. Hãy để nó là sự thật cho N = k, hãy chứng minh điều đó cho N = k+ 1. Lấy một bộ tùy ý
(k+ 1) số. Hãy xóa một số khỏi nó MỘT. Bên trái k các số, theo giả thiết quy nạp chúng bằng nhau. Đặc biệt, hai số bằng nhau b Và Với. Bây giờ hãy xóa một số khỏi bộ Với và bật nó lên MỘT. Trong tập kết quả vẫn còn k số, có nghĩa là chúng cũng bằng nhau. Đặc biệt, Một = b. Có nghĩa, a = b = c, và đó là tất cả ( k+ 1) các số bằng nhau. Quá trình chuyển đổi quy nạp được hoàn thành và tuyên bố được chứng minh.

14. Chứng minh nguyên lý nâng cao của quy nạp toán học:

Cho phép MỘT(N) là vị từ của tập số tự nhiên. Cho phép MỘT(1) đúng và từ sự thật MỘT(k) với mọi số k < tôi phải là sự thật MỘT(tôi). Sau đó MỘT(N) đúng với mọi người N.

Bộ đặt hàng

Chúng ta hãy nhớ lại các định nghĩa cơ bản liên quan đến quan hệ thứ tự.

Sự định nghĩa. Quan hệ f (“ở trên”) trên một tập hợp M gọi điện quan hệ trật tự, hoặc đơn giản theo thứ tự, nếu mối quan hệ này là bắc cầu và phản đối xứng. Hệ thống b M, fñ được gọi là bộ đặt hàng.

Sự định nghĩa. trật tự nghiêm ngặt, nếu nó phản phản xạ, và trật tự lỏng lẻo, nếu phản xạ.

Sự định nghĩa. Một quan hệ cấp f được gọi là một quan hệ thứ tự tuyến tính, nếu nó được kết nối, nghĩa là Một ¹ bÞ Một f bÚ b f Một. Một thứ tự không tuyến tính được gọi là một phần.

Sự định nghĩa. Hãy á M MỘT- tập hợp con M. Yếu tố T bộ MỘT gọi điện nhỏ nhất, nếu nó nhỏ hơn tất cả các phần tử khác của tập hợp MỘT, đó là

("XÎ MỘT)(X ¹ T® X f T).

Sự định nghĩa. Hãy á M, fñ – tập có thứ tự, MỘT- tập hợp con M. Yếu tố T bộ MỘT gọi điện tối thiểu, nếu trong một bộ MỘT không có phần tử nào nhỏ hơn, nghĩa là (" XÎ MỘT)(X ¹ T® Ø T f X).

Các phần tử lớn nhất và lớn nhất được xác định tương tự.

Bài tập

1. Chứng minh rằng quan hệ bắc cầu và phản phản xạ là quan hệ thứ tự.

2. Chứng minh rằng quan hệ chia hết M trên tập hợp N có một mối quan hệ thứ tự một phần.

3. Chứng minh rằng một tập hợp có nhiều nhất một phần tử lớn nhất và một phần tử nhỏ nhất.

4. Tìm tất cả các phần tử nhỏ nhất, lớn nhất, lớn nhất và nhỏ nhất trong tập hợp (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) cho quan hệ chia hết.

5. Chứng minh rằng nếu một tập hợp có phần tử nhỏ nhất thì nó là phần tử nhỏ nhất duy nhất.

6. Có bao nhiêu cách chúng ta có thể xác định thứ tự tuyến tính trên một tập hợp gồm ba phần tử? tuyến tính và chặt chẽ? tuyến tính và lỏng lẻo?

7. Hãy á M, fñ là tập có thứ tự tuyến tính. Chứng minh rằng quan hệ > xác định bởi điều kiện

Một > b Û Một f b & Một¹ b

là một quan hệ có trật tự tuyến tính chặt chẽ.

8. Hãy á M, fñ là tập có thứ tự tuyến tính. Chứng minh rằng quan hệ ³ xác định bởi điều kiện

Một ³ b Û Một f b Ú Một= b,

là một quan hệ có trật tự tuyến tính không chặt chẽ.

Sự định nghĩa. Tập có thứ tự tuyến tính b M, fñ, trong đó mọi tập con không rỗng đều có phần tử nhỏ nhất được gọi là khá trật tự. Quan hệ f trong trường hợp này được gọi là quan hệ kết thúc đặt hàng.

Theo Định lý 1.4.6, hệ số tự nhiên là một tập hợp có thứ tự đầy đủ.

Sự định nghĩa. Hãy á M Một khoảng cách nhau bởi phần tử a, được gọi là một tập hợp R a tất cả các yếu tố dưới đây MỘT và khác với MỘT, đó là

R a = {x Î Mï Một f x, x¹ Một}.

Đặc biệt, nếu MỘT là phần tử tối thiểu thì R a = Æ.

Định lý 1.(Nguyên lý cảm ứng siêu hạn). Hãy á M, fñ là tập có thứ tự đầy đủ và MỘT Í M. Hãy cho mỗi phần tử MỘT từ M từ thuộc về MỘT tất cả các phần tử của khoảng R a theo sau đó MỘTÎ MỘT. Sau đó A = M.

Bằng chứng.

Cho phép MỘT" = M\MỘT là sự khác biệt về mặt lý thuyết của các tập hợp M Và MỘT. Nếu như MỘT"= Æ, thì MỘT = M, và định lý là đúng. Nếu như MỘT"¹ Æ , sau đó, kể từ khi M là tập có thứ tự đầy đủ thì tập đó MỘT" chứa phần tử nhỏ nhất T. Trong trường hợp này, tất cả các phần tử đứng trước T và khác với T, không thuộc về MỘT" và do đó thuộc về MỘT. Như vậy, Р m Í MỘT. Do đó, theo điều kiện của định lý T Î MỘT, và do đó T Ï MỘT", trái với giả định.

Hãy á MỘT; fñ là tập có thứ tự. Chúng ta sẽ cho rằng MỘT- một tập hợp hữu hạn Với mọi phần tử MỘT bộ MỘT hãy so sánh một số điểm T (MỘT) của một mặt phẳng cho trước sao cho nếu một phần tử MỘT ngay sau phần tử b, sau đó chỉ T (Một) chúng ta sẽ đặt phía trên điểm T(b) và kết nối chúng với một đoạn. Kết quả là chúng ta thu được một biểu đồ tương ứng với tập hợp có thứ tự này.

Bài tập

9. Hãy á M, fñ là tập có thứ tự đầy đủ, b Î Bệnh đa xơ cứngÎ M. Chứng minh rằng hoặc P b = Rs, hoặc P b Ì Rs, hoặc R s Ì P b.

10. Hãy á M, f 1 с và b L, f 2 ñ là các tập được sắp thứ tự đầy đủ sao cho
M Ç L=Æ . Dồi dào M È L Chúng ta hãy định nghĩa một quan hệ nhị phân f theo các điều kiện sau:

1) nếu một, bÎ M, Cái đó, Một f b Û Một f 1 b;

2) nếu một, bÎ L, Cái đó, Một f b Û Một f 2 b;

3) nếu MỘTÎ M,bÎ L, Cái đó, Một f b.

Chứng minh hệ b MÈ L, fñ là tập có thứ tự đầy đủ.

Nửa nhóm có thứ tự

Sự định nghĩa.Nửa nhóm gọi là đại số á MỘT, *ñ, trong đó * là một phép toán nhị phân kết hợp.

Sự định nghĩa. Nửa nhóm á MỘT, *ñ được gọi là nửa nhóm rút gọn nếu thỏa mãn tính chất

Một*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.

Sự định nghĩa.Nửa nhóm có thứ tự gọi là hệ b MỘT, +, fñ, trong đó:

1) hệ thống b MỘT, +ñ – nửa nhóm;

2) hệ thống b MỘT, fñ – tập có thứ tự;

3) quan hệ f là đơn điệu đối với phép toán nửa nhóm, nghĩa là
Một f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.

Nửa nhóm thứ tự á MỘT, +, fñ được gọi là nhóm ra lệnh, nếu hệ b MỘT, +ñ – nhóm.

Phù hợp với các loại quan hệ thứ tự được xác định Nửa nhóm được sắp xếp tuyến tính, nhóm được sắp xếp tuyến tính, nửa nhóm được sắp xếp một phần, nửa nhóm được sắp xếp chặt chẽ vân vân.

Định lý 1. Trong nửa nhóm có thứ tự á MỘT, +, fñ có thể cộng các bất đẳng thức, tức là Một f b, c f d Þ a+c f b+d.

Bằng chứng. Chúng ta có

Một f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,

từ đâu bởi tính bắc cầu a+c f b+d. Định lý đã được chứng minh.

Bài tập 1. Chứng minh rằng hệ số tự nhiên là nửa nhóm sắp thứ tự từng phần theo phép nhân và phép chia.

Dễ dàng thấy rằng hệ b N, +, >ñ – nửa nhóm có thứ tự chặt chẽ, b N, +, ³ñ là nửa nhóm có thứ tự không chặt chẽ. Chúng ta có thể đưa ra một ví dụ về cách sắp xếp như vậy của nửa nhóm á N, +ñ, trong đó trật tự không chặt chẽ cũng không không chặt chẽ.

Bài tập 2. Ta định nghĩa thứ tự f trong hệ số tự nhiên như sau: Một f b Û Một ³ b & Một¹ 1. Chứng minh rằng b N, +, fñ là nửa nhóm có thứ tự trong đó thứ tự không chặt chẽ cũng không không chặt chẽ.

ví dụ 1 Cho phép MỘT- tập hợp các số tự nhiên không bằng một. Hãy xác định tỉ số f trong MỘT theo cách sau:

Một f b Û ($ kÎ N)(Một = b+k) & b Số 3.

Chứng minh hệ b MỘT, +, fñ là nửa nhóm được sắp thứ tự chặt chẽ và một phần.

Bằng chứng. Hãy kiểm tra tính bắc cầu:

Một f b, b f c Þ a = b + k, b Số 3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ Một f c.

Bởi vì Một f b Þ Một > b, thì tính phản phản xạ được thỏa mãn. Từ Bài tập 2.1.1 suy ra rằng f là một quan hệ có trật tự chặt chẽ. Thứ tự này là một phần vì phần tử 3 và 4 không có bất kỳ mối quan hệ nào.

Quan hệ f là đơn điệu đối với phép cộng. Thật vậy, điều kiện Một f b Þ a+c f b+c chỉ có thể bị vi phạm khi
b+c= 3. Nhưng tổng có thể bằng 3, vì điều đó có thể xảy ra MỘT không có đơn vị.

Một nhóm gồm hai phần tử không thể được sắp xếp tuyến tính và chặt chẽ. Thực tế, gọi 0 và 1 là các phần tử của nhóm (0 là số 0 của nhóm). Giả sử 1 > 0. Khi đó chúng ta nhận được 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

Định lý 2. Mọi nửa nhóm hủy được có thứ tự tuyến tính đều có thể được sắp thứ tự tuyến tính và chặt chẽ.

Bằng chứng. Hãy á MỘT, +, fñ là nửa nhóm có thứ tự. Quan hệ thứ tự chặt chẽ > được định nghĩa như trong Bài tập 2.1.5: Một > b Û Một f b & Một¹ b. Hãy chứng minh rằng điều kiện 3) từ định nghĩa nửa nhóm có thứ tự được thỏa mãn.

Một > b Þ Một f b, Một¹ bÞ a+c f b+c.

Nếu như a+c = b+c sau đó giảm đi, ta có a = b, điều này mâu thuẫn với điều kiện
MỘT > b. Có nghĩa, a+c ¹ b+c, Và a+c > b+c. Phần thứ hai của điều kiện 3) được kiểm tra tương tự, chứng minh định lý.

Định lý 3. Nếu b MỘT, +, fñ là nửa nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ thì:

1) MỘT + Với = b + c Û a = b Û c + một = Với + b;

2) MỘT + Với f b + c Û MỘT f b Û Với + Một f Với + b.

Bằng chứng. Cho phép MỘT + Với = b + c. Nếu như Một ¹ b, thì do sự kết nối MỘT f b hoặc
b f Một. Nhưng sau đó theo đó MỘT + Với f b+c hoặc b + Với f a+c, điều này mâu thuẫn với điều kiện MỘT + Với = b + c. Các trường hợp khác xử lý tương tự.

Vì vậy, mọi nửa nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ đều là nửa nhóm hủy được.

Sự định nghĩa. Hãy á MỘT, +, fñ là nửa nhóm có thứ tự. Yếu tố MỘT bộ MỘT gọi là dương (âm) nếu một + một¹ MỘT Và một + một f MỘT(tương ứng MỘT f một + một).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng một phần tử của nửa nhóm giao hoán có thứ tự có độ hủy lớn hơn phần tử dương không nhất thiết là phần tử dương.

Giải pháp. Hãy sử dụng ví dụ 1. Chúng ta có 2 + 2 f 2, có nghĩa là 2 là phần tử dương. 3 = 2 + 1, tức là 3 f 2. Đồng thời, hệ thức 3 + 3 f 3 không đúng, nghĩa là 3 không phải là phần tử dương.

Định lý 4. Tổng các phần tử dương của nửa nhóm giao hoán có tính hủy là dương.

Bằng chứng. Nếu như một + một f MỘT Và b+b f b, thì theo Định lý 1

một + một+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f một + b.

Vẫn còn phải kiểm tra xem ( a + b)+ (a+b)¹ một + b. Chúng ta có:

b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)

Hãy giả vờ rằng ( a + b)+ (a+b)=một + b. Thay vào (1), ta được

a+b+b f a+b+a+b Þ Một f một + một.

Do tính phản đối xứng a = a + a. Điều này mâu thuẫn với thực tế là phần tử MỘT tích cực.

Định lý 5. Nếu như MỘT là phần tử dương của nửa nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ, thì với mọi b chúng ta có a+b f b, b + a f b.

Bằng chứng. Chúng ta có một + một f MỘT Þ a+ a+ b f a+b. Nếu điều đó không đúng thì a+b f b, sau đó, do tính tuyến tính, nó đúng a+b=b hoặc b f a+b. Thêm từ bên trái MỘT, chúng tôi nhận được tương ứng a+ a+ b= a+b hoặc a+b f a+ a+ b. Những điều kiện này mâu thuẫn với tính phản đối xứng và tính chặt chẽ của quan hệ trật tự.

Định lý 6. Hãy á MỘT, +, fñ – nửa nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ, MỘTÎ MỘT Và MỘT+ MỘT¹ Một. Khi đó các phần tử:

MỘT, 2*MỘT, 3*MỘT, ...

mọi người đều khác nhau Nếu trong trường hợp này hệ thống b MỘT, +, fñ là một nhóm thì tất cả các phần tử đều khác nhau:

0, MỘT,–MỘT, 2*MỘT, - 2*Một, 3*Một, –3*MỘT, ...

(dưới k*a, kÎ N , MộtÎ MỘT, có nghĩa là số tiền một+ …+ một, chứa kđiều kiện)

Bằng chứng. Nếu như Một + MỘT f MỘT, Cái đó Một + MỘT + MỘT f một + một, vân vân. Kết quả là chúng ta có được một chuỗi ... f ka f… f 4 MỘT f3 MỘT f2 MỘT f MỘT. Do tính bắc cầu và phản đối xứng, tất cả các phần tử trong đó đều khác nhau. Trong một nhóm, chuỗi có thể được tiếp tục theo hướng khác bằng cách thêm một phần tử - MỘT.

Kết quả. Nửa nhóm hữu hạn có tính triệt tiêu nếu số phần tử của nó ít nhất là 2 thì không thể sắp thứ tự tuyến tính.

Định lý 7. Hãy á MỘT, +, fñ là nhóm có thứ tự tuyến tính. Sau đó

Một f Một Û b f b.

Bằng chứng là một bài tập.

Vì vậy, mọi nhóm có thứ tự tuyến tính đều được sắp thứ tự chặt chẽ hoặc không chặt chẽ. Để biểu thị các mệnh lệnh này, chúng ta sẽ sử dụng các dấu > và ³ tương ứng.

Bài tập

3. Chứng minh rằng tổng các phần tử dương của nửa nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ là dương.

4. Chứng minh rằng mọi phần tử tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ của nửa nhóm lớn hơn phần tử dương đều là phần tử dương.

5. Chứng minh rằng nửa nhóm có thứ tự là thứ tự tuyến tính khi và chỉ khi bất kỳ tập hữu hạn nào gồm các phần tử của nó chỉ có một phần tử lớn nhất.

6. Chứng minh rằng tập hợp các phần tử dương của một nhóm tuyến tính không trống.

7. Hãy á MỘT, +, fñ là nhóm tuyến tính và có thứ tự chặt chẽ. Chứng minh rằng phần tử MỘT hệ thống MỘT nếu và chỉ nếu dương nếu MỘT > 0.

8. Chứng minh rằng chỉ có một bậc tuyến tính và chặt chẽ trong nửa nhóm cộng các số tự nhiên trong đó tập hợp các phần tử dương không rỗng.

9. Chứng minh rằng nửa nhóm số nguyên không thể sắp xếp tuyến tính.

Nhẫn đặt hàng

Sự định nghĩa. Hệ thống b MỘT, +, ×, fñ được gọi là nửa vòng theo thứ tự, Nếu như

1) hệ thống b MỘT, +, ×ñ – nửa vành;

2) hệ thống b MỘT, +, fñ – nửa nhóm có thứ tự với tập khác rỗng MỘT+ yếu tố tích cực;

3) tính đơn điệu đúng đối với phép nhân với các phần tử dương, nghĩa là nếu VớiÎ MỘT+ và MỘT f b, Cái đó AC f bc, ca f cb.

yếu tố tích cực nửa vòng theo thứ tự MỘT là phần tử dương bất kỳ của nửa nhóm có thứ tự á MỘT, +, fñ.

Bán kết có thứ tự b MỘT, +, ×, fñ được gọi là đặt hàng nhẫn (cánh đồng), nếu nửa vành b MỘT, +, ×ñ – ring (trường tương ứng).

Sự định nghĩa. Hãy á MỘT, +, ×, fñ – nửa vành có thứ tự. Thứ tự f của hệ thống MỘT gọi điện Archimedes, và hệ thống MỘT - Archimedean ra lệnh, nếu, bất kể các yếu tố tích cực MỘT Và b hệ thống MỘT, bạn có thể chỉ định một số tự nhiên như vậy P, Cái gì không có f b.

ví dụ 1 Nửa vành của các số tự nhiên có quan hệ > (lớn hơn) là một nửa vành tuyến tính, chặt chẽ và có thứ tự Archimedean.

Đối với vành có thứ tự tuyến tính b MỘT, +, ×, 0, fñ hệ b MỘT, +, 0, fñ là nhóm có thứ tự tuyến tính. Điều này ngụ ý, theo Định lý 2.2.7, thứ tự của f là nghiêm ngặt hoặc không nghiêm ngặt. Dồi dào MỘT bạn có thể giới thiệu (Bài tập 2.1.5. và 2.1.6) một trật tự tuyến tính mới, thứ tự này sẽ nghiêm ngặt nếu thứ tự f không chặt chẽ và không chặt chẽ nếu thứ tự f nghiêm ngặt. Liên quan đến nhận xét này, trong một vành có thứ tự tuyến tính MỘT Thông thường, hai quan hệ thứ tự nhị phân được xem xét, một trong số đó, nghiêm ngặt, được biểu thị bằng dấu >, và cái thứ hai, không nghiêm ngặt, được đánh dấu bằng ³.

Đối với những gì tiếp theo, sẽ hữu ích khi nhớ lại rằng trong một vành có thứ tự tuyến tính phần tử MỘT là dương khi và chỉ khi MỘT> 0 (Bài tập 2.2.7).

Định lý 1. Cho hệ b MỘT,+,×,0,>ñ – vành có thứ tự tuyến tính. Sau đó với bất kỳ phần tử nào MỘT từ MỘT hoặc MỘT = 0, hoặc MỘT> 0, hoặc – MỘT > 0.

Bằng chứng. Do tính tuyến tính và chặt chẽ giữa các phần tử
một + một Và MỘT một và chỉ một trong các mối quan hệ giữ nguyên một + một>a, a+ a = a, a+ a < Một. Trong trường hợp đầu tiên MỘT- yếu tố tích cực Trong phần thứ hai, chúng tôi thêm vào cả hai phần - MỘT và chúng tôi nhận được MỘT= 0. Trong trường hợp thứ ba, chúng ta cộng cả hai vế – một – một – một và chúng tôi nhận được -Một < -a-a, Ở đâu -Một- yếu tố tích cực

Định lý 2. Tổng và tích của các phần tử dương của một vành có thứ tự tuyến tính là dương.

Bằng chứng là một bài tập.

Định lý 3. Trong một vành có thứ tự tuyến tính, bình phương của mọi phần tử khác 0 đều dương.

Bằng chứng là một bài tập.

Định lý 4. Trong trường có thứ tự tuyến tính nếu Một> 0 thì Một –1 > 0.

Bằng chứng là một bài tập.

Định lý 5. ( Tiêu chí đặt hàng) . Gọi một MỘT, +, ×, 0ñ nếu và chỉ khi đó có thể được sắp xếp tuyến tính và chặt chẽ (tức là đưa ra một thứ tự tuyến tính và chặt chẽ) nếu tập hợp MỘT có một tập hợp con MỘT+ , thỏa mãn điều kiện:

1) MỘTÎ MỘT + Þ MỘT¹ 0 & – MỘTÏ MỘT + ;

MỘT¹ 0 Þ MỘTÎ MỘT + Ú – MỘTÎ MỘT + ;

2)một, bÎ MỘT + Þ a+bÎ MỘT + & bụngÎ MỘT + .

Bằng chứng. Hãy để á MỘT,+,×,0,>ñ – vành có thứ tự tuyến tính. Là tập hợp con mong muốn MỘT+ trong trường hợp này, theo Định lý 1 và 2, có thể xuất hiện nhiều yếu tố tích cực của hệ thống MỘT.

Hãy để nó bây giờ MỘT+ là tập con của vành b MỘT,+,×,0ñ, thỏa mãn các điều kiện của định lý. Hãy thử đưa ra một trật tự tuyến tính > trong vành á MỘT, +, ×, 0ñ. Hãy xác định mối quan hệ này như sau:

MỘT > b Û a - b Î MỘT + .

Dễ dàng kiểm tra xem mối quan hệ mà chúng tôi giới thiệu có liên thông, phản phản, phản đối xứng, bắc cầu và đơn điệu đối với phép cộng và phép nhân với bất kỳ phần tử nào từ MỘT + .

Một loạt MỘT+ với các tính chất nêu trong điều kiện của Định lý 4 được gọi là phần tích cực của vòng á MỘT, +, ×, 0ñ. Trong tương lai, khi giới thiệu trật tự ở bất kỳ vòng nào, chúng ta sẽ tìm kiếm “phần tích cực” trong đó. Nếu một phần như vậy tồn tại trong vòng thì chiếc nhẫn có thể được sắp xếp; nếu không, thì không thể; nếu có một số phần dương không trùng nhau như vậy thì có thể sắp xếp nó theo nhiều cách.

Từ những điều trên cho thấy rằng khi xác định một vành có thứ tự tuyến tính, thay vì quan hệ nhị phân >, người ta có thể lấy quan hệ một ngôi “phần dương” làm quan hệ chính.

Định lý 6. ( Tiêu chí về tính duy nhất của trật tự tuyến tính) . Cho phép MỘT+ và MỘT++ – phần dương của vòng b MỘT, +, ×, 0ñ. Sau đó

MỘT + = MỘT ++ Û MỘT + Í MỘT ++ .

Khi xây dựng một lý thuyết tiên đề, các quy tắc nhất định được tuân theo:

một số khái niệm của lý thuyết được chọn làm nền tảng, và được chấp nhận mà không cần định nghĩa và được gọi là không thể xác định được.

các tiên đề được xây dựng - các mệnh đề trong một lý thuyết nhất định được chấp nhận mà không cần bằng chứng; chúng bộc lộ những đặc tính của các khái niệm cơ bản;

mỗi khái niệm lý thuyết không có trong danh sách những lý thuyết cơ bản sẽ được đưa ra sự định nghĩa, nó giải thích ý nghĩa của nó với sự trợ giúp của các khái niệm cơ bản và trước đó;

mọi mệnh đề của một lý thuyết không có trong danh sách các tiên đề đều phải được chứng minh; những mệnh đề như vậy được gọi là các định lý và được chứng minh trên cơ sở các tiên đề và định lý đi trước mệnh đề đang được xem xét.

Trong việc xây dựng một lý thuyết theo tiên đề, về cơ bản tất cả các phát biểu đều được rút ra bằng cách chứng minh từ các tiên đề. Vì vậy, những yêu cầu đặc biệt được đặt ra đối với hệ tiên đề. Trước hết, nó phải nhất quán và độc lập.

Hệ tiên đề được gọi là nhất quán, nếu hai câu loại trừ lẫn nhau không thể được suy luận một cách hợp lý từ nó.

Một hệ tiên đề nhất quán được gọi là độc lập nếu không có tiên đề nào của hệ thống này là hệ quả của các tiên đề khác của hệ thống này.

Các tiên đề, như một quy luật, là sự phản ánh các hoạt động thực tiễn hàng thế kỷ của con người và điều này quyết định giá trị của chúng.

Là khái niệm cơ bản trong xây dựng tiên đề của số học các số tự nhiên, hệ thức “theo trực tiếp” được lấy, xác định trên một tập khác rỗng N. Các khái niệm về tập hợp, phần tử của tập hợp và các khái niệm lý thuyết tập hợp khác, cũng như các quy tắc logic, cũng được coi là nổi tiếng.

Phần tử ngay sau phần tử MỘT, chứng tỏ MỘT". Bản chất của mối quan hệ “theo dõi trực tiếp” được bộc lộ trong các tiên đề sau đây, do nhà toán học người Ý G. Peano đề xuất vào năm 1891.

Tiên đề 1. vô số N có một phần tử không theo ngay sau bất kỳ phần tử nào của tập hợp này. Nó được gọi là một đơn vị và được ký hiệu bằng ký hiệu 1.

Tiên đề 2.Đối với mỗi phần tử MỘT từ N chỉ có một phần tử MỘT", ngay sau MỘT.

Tiên đề 3. Với mỗi phần tử a của N có nhiều nhất một phần tử ngay sau đó là MỘT.

Tiên đề 4. (Tiên đề quy nạp). Bất kỳ tập hợp con nào M bộ N trùng với N nếu nó có các tính chất sau: 1) 1 được chứa trong M; 2) từ thực tế là bất kỳ phần tử nào MỘT chứa trong M, nó theo sau đó MỘT" chứa trong M.

Các tiên đề được xây dựng thường được gọi là tiên đề Peano, và tiên đề thứ tư được gọi là tiên đề quy nạp.

Chúng ta hãy viết những tiên đề này dưới dạng ký hiệu.

MỘT 1 )( 1  N)( Một N)MỘT"  1;

MỘT 2 )( Một N)( !b N)MỘT"=b

MỘT 3 ) ( MỘT,b,Với N)c = a" c = b"  MỘT= b;

A 4) M N 1  M (Một M MỘT"  M)  M=N

Sử dụng mối quan hệ "theo dõi ngay lập tức" và các tiên đề Peano 1-4, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa sau về số tự nhiên.

Định nghĩa 1. Tập N. mà các phần tử của nó được thiết lập quan hệ “theo trực tiếp” thỏa mãn các tiên đề 1-4, được gọi là tập hợp các số tự nhiên và các phần tử của nó số tự nhiên.

___________________________________________________________________

Định nghĩa 2 . Nếu là số tự nhiênbngay sau số a thì số a gọi là số liền trước (trước)b.

______________________________________________________________________________________________

Định lý 1. Đơn vị không có số tự nhiên đứng trước (tính chân lý của định lý suy ra ngay từ tiên đề MỘT 1 ).

Định lý 2. Mỗi số tự nhiên MỘT, khác với số có số trước b , như vậy b " = MỘT.

Định nghĩa số tự nhiên không nói gì về bản chất của các phần tử của tập hợp N. Vì vậy, nó có thể là bất cứ điều gì. Mô hình chuẩn của hệ tiên đề Peano là dãy số xuất hiện trong quá trình phát triển lịch sử của xã hội:

1, 2, 3, 4, 5 ,..,

Mỗi số trong chuỗi này có ký hiệu và tên riêng mà chúng ta sẽ coi là đã biết.

Điều quan trọng cần lưu ý là trong định nghĩa số tự nhiên, không có tiên đề nào có thể bị bỏ qua.

1 Một b c d

    …

Cơm. 16 Cơm. 17

Nhiệm vụ 1.

Trong các hình, mỗi phần tử được kết nối bằng một mũi tên với phần tử theo sau nó.

Xác định tập hợp nào trong Hình 15 và 16 là mô hình của hệ tiên đề Peano.

1. Trong hình. 16 cho thấy một tập hợp trong đó tiên đề 2 và 3 đúng nhưng tiên đề 1 không đúng.

Tiên đề 4 sẽ vô nghĩa vì không có phần tử nào trong tập hợp mà không theo sau phần tử khác ngay lập tức.

2. Trong bộ lễ phục. 17 cho thấy một tập hợp trong đó các tiên đề 1, 2, 3 được thỏa mãn nhưng tiên đề 4 không thỏa mãn - tập hợp các điểm nằm trên tia chứa 1 và cùng với mỗi số nó chứa số liền kề nó nhưng không trùng với toàn bộ các điểm đặt được hiển thị trong hình. Kết luận: không có bộ nào được hiển thị trong Hình. 16 và 17 không thể được coi là mô hình của hệ thống tiên đề Peano.

Nhiệm vụ 2.

Hãy chứng minh rằng số tự nhiên bất kỳ khác với số tự nhiên liền sau, tức là ( X )X X"

Bằng chứng

Ta sử dụng tiên đề quy nạp - MỘT 4 .

Cho phép M=(x/x , X X"}, bởi vì . X  M N.

Bằng chứng bao gồm hai phần.

Hãy chứng minh điều đó 1  M, những thứ kia. 1  1" . Điều này diễn ra từ MỘT 1 .

Hãy chứng minh điều đó X M=> X" M. Cho phép  X M những thứ kia. X X". Hãy chứng minh điều đó X" M, I E. X"  (X")". VÀ tiên đề MỘT 3 nên X" (X")". Thật vậy, theo MỘT 3 , nếu x" = (x)" thì x = x", và vì bằng đề xuất quy nạp x  M, thì x  X", Kết quả là chúng ta đi đến một mâu thuẫn. Có nghĩa, X" (X")" ,  X" M.

Ở đây, quy tắc đối lập (PC) được áp dụng, được sử dụng rộng rãi trong các bằng chứng "bằng mâu thuẫn".

Vì vậy, chúng tôi đã nhận được:

M N (1  M (x M => x"  M))  M = N, tức là tuyên bố x  x" đúng với mọi số tự nhiên.

Câu hỏi kiểm soát

Bản chất của việc xây dựng lý thuyết tiên đề là gì?

Kể tên các khái niệm cơ bản của môn học phép đo mặt phẳng ở trường. Hãy nhớ hệ thống tiên đề của khóa học này. Các thuộc tính của những khái niệm được mô tả trong chúng?

Xây dựng và viết ra các tiên đề Peano dưới dạng ký hiệu. "

Xây dựng định nghĩa tiên đề về số tự nhiên.

Tiếp tục định nghĩa số tự nhiên: “Số tự nhiên là phần tử của tập hợp N,... » .

Cho ví dụ từ sách giáo khoa toán cấp tiểu học trong đó:

a) một số mới (dành cho học sinh) đóng vai trò là phần tiếp theo của đoạn kết quả của chuỗi tự nhiên;

b) Người ta xác định rằng ngay sau mỗi số tự nhiên chỉ có một số tự nhiên khác.

Bài tập

285. Các phần tử của tập hợp là các nhóm dấu gạch ngang (I, II, III, IIII,...). Tập hợp này có thỏa mãn tiên đề Peano không? Như được định nghĩa ở đây, mối quan hệ "theo dõi trực tiếp" được xác định ở đây. Hãy xem xét các câu hỏi tương tự cho tập hợp (0, 00, 000, 0000,...).

Cơm. 17

286. Trong Hình 17 a) mỗi phần tử được kết nối bằng một mũi tên với phần tử theo sau nó. Một tập hợp có thể được coi là mô hình của hệ thống tiên đề Peano không? Các câu hỏi tương tự cho các bộ trong Hình 17 b), c), d).

287. Tập hợp số (1, 2, 3) có thỏa mãn tiên đề Peano không P, ...), nếu mối quan hệ trình tự được xác định trong đó như thế này:

1 3  5 7….

2  4  6 8….

288. Cho ví dụ về các nhiệm vụ trong sách giáo khoa toán cấp tiểu học, trong đó tính đúng đắn của việc hoàn thành nhiệm vụ được giải thích bằng tiên đề Peano.

Phòng Giáo dục Hành chính Quận Kirov của Volgograd

Cơ sở giáo dục thành phố

nhà thi đấu số 9

phần toán

Về chủ đề này:số nguyên

học sinh lớp 6

Shanina Lisa

Người giám sát:

Giáo viên toán

Ngày viết:

Chữ ký của người quản lý:

Volgograd 2013

Giới thiệu trang 3

§1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản p.4

§2. Tiên đề số tự nhiên trang 5

§3. “ GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÍ MẬT MÀ CÁC CON SỐ GIỮ” trang 8

§4. Những nhà toán học vĩ đại trang 10

Kết luận trang 12

Tài liệu tham khảo trang 13

Giới thiệu

Số tự nhiên là gì? Tất cả! Ôi tốt quá. Và ai có thể giải thích được? Hm, hm, “số nguyên dương”, không, điều đó không được. Chúng ta sẽ phải giải thích "số nguyên" là gì và điều đó khó hơn. Có phiên bản nào khác không? Số quả táo? Chúng tôi dường như không hiểu tại sao chúng tôi cần phải giải thích.

Số tự nhiên là một số đối tượng toán học, để đưa ra một số phát biểu về chúng, giới thiệu các phép tính trên chúng (cộng, nhân), chúng ta cần một số định nghĩa hình thức. Nếu không, thao tác bổ sung sẽ vẫn giữ nguyên như cũ, ở mức độ "có hai đống táo, xếp chúng thành một." Và sẽ không thể chứng minh được các định lý sử dụng phép cộng, điều này thật đáng buồn.

Vâng, vâng, hoàn toàn đúng khi nhớ rằng điểm và đường thẳng là những khái niệm không thể xác định được. Nhưng chúng ta có những tiên đề xác định những tính chất có thể dựa vào trong chứng minh. Ví dụ: "qua hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, bạn có thể vẽ một đường thẳng và hơn nữa, chỉ có một." V.v. Tôi muốn một cái gì đó như thế này.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các số tự nhiên, các tiên đề Peano và những bí ẩn của các con số.

Tính phù hợp và mới lạ của tác phẩm là phạm vi của các tiên đề Peano không được tiết lộ trong sách giáo khoa ở trường và vai trò của chúng không được thể hiện.

Mục đích của công việc này là nghiên cứu câu hỏi về số tự nhiên và bí mật của các con số.

Giả thuyết chính của tác phẩm là những tiên đề của Peano và những bí mật của các con số.

§1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

Con số - nó là biểu hiện của một đại lượng nhất định.

Số tự nhiên phần tử của một dãy liên tục vô tận.

Số tự nhiên (số tự nhiên) - các số phát sinh một cách tự nhiên trong quá trình đếm (cả theo nghĩa liệt kê và nghĩa phép tính).

Có hai cách tiếp cận để định nghĩa số tự nhiên - các số được sử dụng trong:

liệt kê (đánh số) các mục (thứ nhất, thứ hai, thứ ba,...);

chỉ định số lượng mục (không có mục, một mục, hai mục, ...).

tiên đề – đây là những điểm khởi đầu cơ bản (các nguyên tắc hiển nhiên) của một lý thuyết cụ thể, từ đó phần còn lại của nội dung của lý thuyết này được rút ra bằng suy luận, nghĩa là bằng các phương tiện logic thuần túy.

Một số chỉ có hai ước số (chính số đó và một) được gọi là - đơn giản con số.

Hợp số là số có nhiều hơn hai ước.

§2. Tiên đề của số tự nhiên

Số tự nhiên có được bằng cách đếm đồ vật và đo số lượng. Nhưng nếu trong quá trình đo xuất hiện các số không phải số tự nhiên thì việc đếm chỉ dẫn đến số tự nhiên. Để đếm, bạn cần một dãy số bắt đầu bằng một và cho phép bạn di chuyển từ số này sang số khác nhiều lần nếu cần. Nói cách khác, chúng ta cần một đoạn của chuỗi tự nhiên. Vì vậy, khi giải bài toán chứng minh hệ số tự nhiên, trước hết cần trả lời câu hỏi số là một phần tử của chuỗi tự nhiên là gì. Câu trả lời cho vấn đề này đã được đưa ra trong công trình của hai nhà toán học - Grassmann của Đức và Peano của Ý. Họ đề xuất một tiên đề trong đó số tự nhiên được chứng minh là một phần tử của một dãy liên tục vô tận.

Việc xây dựng tiên đề của hệ số tự nhiên được thực hiện theo các quy tắc đã xây dựng .

Năm tiên đề có thể được coi là một định nghĩa tiên đề của các khái niệm cơ bản:

1 là số tự nhiên;

Số tự nhiên tiếp theo là số tự nhiên;

1 không theo sau bất kỳ số tự nhiên nào;

Nếu là số tự nhiên MỘT tuân theo một số tự nhiên b và ngoài số tự nhiên Với, Cái đó b Và Với là giống hệt nhau;

Nếu bất kỳ mệnh đề nào được chứng minh cho 1 và nếu từ giả định rằng nó đúng với một số tự nhiên N, suy ra nó đúng với mệnh đề sau N số tự nhiên thì câu này đúng với mọi số tự nhiên.

Đơn vị- đây là số đầu tiên của dãy số tự nhiên , cũng như một trong các chữ số trong hệ thống số thập phân.

Người ta tin rằng việc chỉ định một đơn vị thuộc bất kỳ loại nào có cùng dấu hiệu (khá gần với dấu hiện đại) lần đầu tiên xuất hiện ở Babylon cổ đại khoảng 2 nghìn năm trước Công nguyên. đ.

Người Hy Lạp cổ đại, những người chỉ coi các số tự nhiên là số, coi mỗi số đó là một tập hợp các đơn vị. Bản thân đơn vị này có một vị trí đặc biệt: nó không được coi là một con số.

I. Newton đã viết: “... theo số lượng, chúng ta hiểu không quá nhiều về một tập hợp các đơn vị mà là một mối quan hệ trừu tượng giữa đại lượng này với đại lượng khác, được chúng ta chấp nhận theo quy ước như một đơn vị.” Như vậy, một con số đã chiếm được vị trí xứng đáng của nó trong số những con số khác.

Các phép toán số học trên số có nhiều tính chất khác nhau. Chúng có thể được mô tả bằng từ ngữ, ví dụ: “Tổng không thay đổi khi thay đổi vị trí của các số hạng”. Bạn có thể viết nó bằng chữ cái: a+b = b+a. Có thể được diễn đạt bằng những thuật ngữ đặc biệt.

Chúng ta áp dụng các định luật cơ bản của số học thường theo thói quen mà không nhận ra:

1) luật giao hoán (giao hoán), – tính chất của phép cộng và phép nhân các số, được biểu thị bằng các đồng thức:

a+b = b+a a*b = b*a;

2) luật tổ hợp (tính kết hợp), - tính chất của phép cộng và phép nhân các số, được biểu thị bằng các đặc tính:

(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);

3) luật phân phối (tính phân phối), - một thuộc tính kết nối phép cộng và phép nhân các số và được thể hiện bằng các đặc tính:

a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.

Sau khi chứng minh các định luật giao hoán, tổ hợp và phân phối (liên quan đến phép cộng) của phép nhân, việc xây dựng thêm lý thuyết về các phép tính trên số tự nhiên không gặp bất kỳ khó khăn cơ bản nào.

Hiện tại, trong đầu hoặc trên một tờ giấy, chúng ta chỉ thực hiện những phép tính đơn giản nhất, ngày càng giao phó công việc tính toán phức tạp hơn cho máy tính và máy tính. Tuy nhiên, hoạt động của mọi máy tính - đơn giản và phức tạp - đều dựa trên thao tác đơn giản nhất - phép cộng các số tự nhiên. Hóa ra những phép tính phức tạp nhất có thể được rút gọn thành phép cộng, nhưng thao tác này phải được thực hiện hàng triệu lần.

§3. .“Về MỘT SỐ BÍ MẬT MÀ CÁC CON SỐ GIỮ”

Số Mersenne.

Việc tìm kiếm số nguyên tố đã diễn ra trong nhiều thế kỷ.

Số chỉ có hai ước số (chính nó và một) gọi là số nguyên tố

Hợp số là số có nhiều hơn hai ước. Đây là một ví dụ: nhà sư người Pháp Marin Mersenne (1 tuổi) đã viết ra công thức tính các số “để đơn giản”, được gọi là số Mersenne.

Đây là các số có dạng M p = 2P -1, trong đó p = số nguyên tố.

Tôi đã kiểm tra: công thức này có đúng với tất cả các số nguyên tố không

Cho đến nay, các số lớn hơn 2 đã được kiểm tra tính nguyên tố cho mọi p cho đến 50000.E.” Kết quả là hơn 30 số nguyên tố Mersenne đã được phát hiện.

3.1 Số hoàn hảo.

Trong các hợp số, có một nhóm số được gọi là ■ số hoàn hảo nếu số đó bằng tổng các ước của nó (không bao gồm chính số đó). Ví dụ:

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

3.2. Những con số thân thiện

Nhà khoa học Pythagoras đã đi du lịch rất nhiều đến các nước phương Đông: ông đã ở Ai Cập và Babylon. Ở đó Pythagoras đã làm quen với toán học phương Đông. Pythagoras tin rằng bí mật của thế giới ẩn giấu trong các mẫu số, các con số có ý nghĩa sống đặc biệt của riêng chúng. Trong các hợp số có các cặp số, mỗi số bằng tổng các ước của số kia.

Ví dụ: 220 và 284

220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284

234=1+2+4+71+142=220

Tôi đã sử dụng máy tính để tìm một vài con số thân thiện hơn.

Ví dụ: 1184 và 1210

1184=1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210

1210=1+2+5+10+1.1+22+55+110+121+242+605=1184 và. vân vân.

Những con số thân thiện- hai số tự nhiên mà tổng các ước của số thứ nhất (trừ chính nó) bằng số thứ hai và tổng tất cả các ước của số thứ hai (trừ chính nó) bằng số thứ nhất. Thông thường, khi nói về những con số thân thiện, chúng có nghĩa là cặp hai khác biệt những con số.

Những con số thân thiện

Số thân thiện là một cặp số, mỗi số bằng tổng các ước của nó (ví dụ: 220 và 284).

§4. Những nhà toán học vĩ đại

Hermann Günter Grassmann ( tiếng Đức Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) - nhà vật lý, toán học và ngữ văn.

Sau khi Grassmann được đào tạo ở Stetin, ông vào Đại học Berlin, Khoa Thần học. Đã vượt qua thành công cả hai kỳ thi thần học, trong một thời gian dài ông không từ bỏ ý định cống hiến hết mình cho công việc của một nhà truyền giáo và vẫn giữ lòng khao khát thần học cho đến cuối đời. Đồng thời, anh bắt đầu quan tâm đến toán học. Năm 1840, ông vượt qua một kỳ thi bổ sung để có được quyền dạy toán, vật lý, khoáng vật học và hóa học. .

Vi phân" href="/text/category/ Differentcial/" rel="bookmark">phương trình vi phân, định nghĩa và phạm vi của khái niệm đường cong, v.v.) và sự chứng minh logic hình thức của toán học. Tiên đề của ông về chuỗi số tự nhiên đã được đưa vào sử dụng rộng rãi. Ví dụ của anh ấy về đường cong liên tục (Jordan) lấp đầy hoàn toàn một hình vuông nhất định.

Ngài Isaac Newton (tiếng Anh Sir Isaac Newton, 25 tháng 12 năm 1642 - 20 tháng 3 năm 1727 theo lịch Julian, có hiệu lực ở Anh cho đến năm 1752; hoặc 4 tháng 1 năm 1643 - 31 tháng 3 năm 1727 theo lịch Gregorian) - nhà vật lý người Anh , nhà toán học và thiên văn học, một trong những người sáng tạo ra vật lý cổ điển. Tác giả của tác phẩm cơ bản “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên”, trong đó ông đã nêu ra định luật vạn vật hấp dẫn và ba định luật cơ học, trở thành nền tảng của cơ học cổ điển. Ông đã phát triển phép tính vi phân và tích phân, lý thuyết màu sắc và nhiều lý thuyết toán học và vật lý khác.

Maren Mersenne (phiên âm lỗi thời Marin Mersenne; Marin Mersenne tiếng Pháp; 8 tháng 9 năm 1588 - 1 tháng 9 năm 1648) - Nhà toán học, vật lý học, triết gia và thần học người Pháp. Trong nửa đầu thế kỷ 17, về cơ bản, ông là người điều phối đời sống khoa học của châu Âu, thực hiện trao đổi thư từ tích cực với hầu hết các nhà khoa học lỗi lạc thời bấy giờ. Ông cũng có những thành tựu khoa học cá nhân nghiêm túc trong lĩnh vực âm học, toán học và lý thuyết âm nhạc.

Phần kết luận

Chúng ta gặp những con số ở mọi bước và đã quá quen với nó đến mức khó nhận ra chúng quan trọng như thế nào trong cuộc sống của chúng ta. Những con số là một phần trong suy nghĩ của con người.

Hoàn thành tác phẩm này, tôi đã học được các tiên đề về số tự nhiên, các nhà toán học vĩ đại và một số bí mật về các con số. Tổng cộng có mười chữ số và số lượng có thể được biểu diễn với sự trợ giúp của chúng là vô hạn.

Toán học là không thể tưởng tượng được nếu không có con số. Các cách biểu diễn số khác nhau giúp các nhà khoa học tạo ra các mô hình và lý thuyết toán học giải thích các hiện tượng tự nhiên chưa được giải quyết.

Thư mục

1. Học sinh Kordemsky môn toán: (Tài liệu phục vụ lớp và hoạt động ngoại khóa). – M.: Khai sáng, 1981. – 112 tr.

2., Shore các bài toán số học có độ khó tăng dần. – M.: Giáo dục, 1968. – 238 tr.

3. Số học Perelman. – M.: Công ty cổ phần Stoletie, 1994. – 164 tr.

4. Malygin của chủ nghĩa lịch sử trong dạy học toán ở trường phổ thông. – M.: Nhà xuất bản giáo dục và sư phạm nhà nước của Bộ Giáo dục RSFSR, 1963. – 223 tr.

5., Shevkin. – M.: UC Giáo dục Dự bị Đại học Đại học Tổng hợp Moscow, 1996. – 303 tr.

6. Từ điển bách khoa toán học. / Ch. biên tập. ; Ed. con số: , . – M.: Sov. bách khoa toàn thư, 1988. – 847 tr.

7. Từ điển nhà toán học trẻ của Savin. – M.: Sư phạm, 1985. – 352 tr.

lượt xem

Lưu VKontakte