Số vô tỷ. Số hữu tỉ và số vô tỉ là gì

số vô tỉ- Cái này số thực, không hợp lý, nghĩa là không thể biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó là số nguyên, . Một số vô tỷ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân không tuần hoàn vô hạn.

Tập hợp số vô tỷ thường được ký hiệu bằng chữ in hoa chữ cái Latinh theo phong cách táo bạo mà không bóng. Như vậy: , tức là có rất nhiều số vô tỷ sự khác biệt giữa tập hợp số thực và tập hợp số hữu tỉ.

Về sự tồn tại của số vô tỷ, chính xác hơn các phân đoạn không thể ước lượng được với một đoạn có chiều dài đơn vị đã được các nhà toán học cổ đại biết đến: chẳng hạn, họ biết tính không thể ước lượng của đường chéo và cạnh của hình vuông, tương đương với tính vô tỷ của số.

Của cải

• Mọi số thực đều có thể viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn và tôi số hữu tỉ và chỉ chúng được viết dưới dạng phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
• Các số vô tỷ xác định các đường cắt Dedekind trong tập hợp các số hữu tỷ không có số lớn nhất ở lớp dưới và không có số nhỏ nhất ở lớp trên.
• Mọi số siêu việt thực đều là số vô tỷ.
• Mọi số vô tỷ đều là số đại số hoặc số siêu việt.
• Tập hợp các số vô tỷ dày đặc khắp mọi nơi trên trục số: giữa hai số bất kỳ đều có một số vô tỷ.
• Thứ tự của tập hợp số vô tỷ đẳng cấu với thứ tự của tập hợp số thực siêu việt.
• Tập hợp các số vô tỷ là tập hợp không đếm được và thuộc loại thứ hai.

Ví dụ

Số vô tỉ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Vô lý là:

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Giả sử điều ngược lại: nó là số hữu tỉ, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng một phân số tối giản, trong đó là số nguyên và là số tự nhiên. Hãy bình phương sự bình đẳng được cho là:

.

Theo đó, số chẵn là số chẵn và . Hãy để nó ở nơi có cái toàn thể. Sau đó

Do đó, chẵn có nghĩa là chẵn và . Chúng ta đã tìm thấy và chẵn, điều này mâu thuẫn với tính tối giản của phân số . Điều này có nghĩa là giả định ban đầu không chính xác và đó là một số vô tỷ.

Logarit nhị phân của số 3

Chúng ta hãy giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên. Vì , và có thể được chọn là dương. Sau đó

Nhưng chẵn và lẻ. Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn.

e

Câu chuyện

Khái niệm số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm áp dụng vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750 trước Công nguyên - khoảng 690 trước Công nguyên) phát hiện ra rằng căn bậc hai một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61, không thể được biểu diễn rõ ràng.

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỷ thường được cho là của Hippasus xứ Metapontus (khoảng 500 năm trước Công nguyên), một người theo trường phái Pythagore, người đã tìm ra bằng chứng này bằng cách nghiên cứu độ dài các cạnh của ngôi sao năm cánh. Vào thời của Pythagore, người ta tin rằng có một đơn vị chiều dài duy nhất, đủ nhỏ và không thể phân chia được, đi vào bất kỳ đoạn nào với một số nguyên số lần. Tuy nhiên, Hippasus lập luận rằng không có đơn vị đo chiều dài duy nhất, vì giả định về sự tồn tại của nó sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Ông đã chỉ ra rằng nếu cạnh huyền của một tam giác vuông cân chứa một số nguyên các đoạn đơn vị thì số này phải vừa là số chẵn vừa là số lẻ. Bằng chứng trông như thế này:

• Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với chiều dài cạnh của một tam giác vuông cân có thể được biểu thị bằng Một:b, Ở đâu Một Và bđược chọn nhỏ nhất có thể.
• Theo định lý Pythagore: Một 2 = 2 b².
• Bởi vì Một- thậm chí, Một phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ sẽ là số lẻ).
• Bởi vì Một:b không thể rút gọn được b hẳn là kỳ quặc.
• Bởi vì Một thậm chí, chúng tôi biểu thị Một = 2y.
• Sau đó Một² = 4 y 2 = 2 b².
• b 2 = 2 y², do đó b- thậm chí, vậy thì b thậm chí.
• Tuy nhiên, nó đã được chứng minh rằng b số lẻ. Sự mâu thuẫn.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã đặt ra một vấn đề nghiêm trọng cho toán học Pythagore, phá hủy giả định cơ bản rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

- π

Như vậy, tập hợp số vô tỷ là hiệu I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) tập hợp số thực và số hữu tỉ.

Sự tồn tại của các số vô tỷ, chính xác hơn là các đoạn không thể ước lượng bằng một đoạn có chiều dài đơn vị, đã được các nhà toán học cổ đại biết đến: chẳng hạn, họ biết tính vô tỉ của đường chéo và cạnh của một hình vuông, tương đương với tính vô tỉ của con số 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Của cải

• Tổng của hai số vô tỉ dương có thể là một số hữu tỉ.
• Các số vô tỷ xác định các phần Dedekind trong tập hợp các số hữu tỷ không có số lớn nhất ở lớp dưới và không có số nhỏ nhất ở lớp trên.
• Tập hợp các số vô tỷ dày đặc ở khắp mọi nơi trên trục số: giữa hai số phân biệt bất kỳ đều có một số vô tỷ.
• Thứ tự của tập hợp số vô tỷ đẳng cấu với thứ tự của tập hợp số thực siêu việt. [ ]

Số đại số và số siêu việt

Mọi số vô tỷ đều là số đại số hoặc số siêu việt. Tập hợp các số đại số là tập hợp đếm được. Vì tập hợp số thực không đếm được nên tập hợp số vô tỉ cũng không đếm được.

Tập hợp các số vô tỷ là tập hợp thuộc loại thứ hai.

Hãy bình phương sự bình đẳng được cho là:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

Câu chuyện

cổ xưa

Khái niệm số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm áp dụng vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750-690 trước Công nguyên) phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61, không thể được biểu diễn một cách rõ ràng [ ] .

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của các số vô tỷ, hay chính xác hơn là sự tồn tại của các phân số không thể ước được, thường được cho là của Pythagore Hippasus của Metapontum (khoảng năm 470 trước Công nguyên). Vào thời của Pythagore, người ta tin rằng có một đơn vị chiều dài duy nhất, đủ nhỏ và không thể phân chia được, bao gồm một số nguyên lần trong bất kỳ đoạn nào [ ] .

Không có dữ liệu chính xác về con số nào được Hippasus chứng minh là không hợp lý. Theo truyền thuyết, ông đã tìm ra nó bằng cách nghiên cứu độ dài các cạnh của ngôi sao năm cánh. Do đó, thật hợp lý khi cho rằng đây là tỷ lệ vàng vì đây là tỷ lệ giữa đường chéo và cạnh của một hình ngũ giác đều.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã thách thức toán học Pythagore vấn đề nghiêm trọng, phá hủy giả định cơ bản của toàn bộ lý thuyết rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

Sau đó, Eudoxus của Cnidus (410 hoặc 408 TCN - 355 hoặc 347 TCN) đã phát triển một lý thuyết về tỷ lệ có tính đến cả các mối quan hệ hợp lý và phi lý. Đây là cơ sở để hiểu bản chất cơ bản của số vô tỷ. Số lượng bắt đầu được coi không phải là một con số mà là sự chỉ định của các thực thể, chẳng hạn như đoạn thẳng, góc, diện tích, thể tích, khoảng thời gian - những thực thể có thể thay đổi liên tục (theo nghĩa hiện đại của từ này). Độ lớn trái ngược với các con số, chúng chỉ có thể thay đổi bằng cách “nhảy” từ số này sang số tiếp theo, chẳng hạn từ 4 đến 5. Các số được tạo thành từ số lượng nhỏ nhất không thể chia hết, trong khi số lượng có thể giảm vô thời hạn.

Vì không có giá trị định lượng nào tương quan với độ lớn nên Eudoxus có thể bao hàm cả đại lượng tương xứng và đại lượng không thể ước lượng khi định nghĩa một phân số là tỷ số của hai đại lượng và tỷ lệ là sự bằng nhau của hai phân số. Bằng cách loại bỏ các giá trị định lượng (số) khỏi các phương trình, ông đã tránh được cái bẫy khi phải gọi một đại lượng vô tỷ là một số. Lý thuyết của Eudoxus cho phép các nhà toán học Hy Lạp đạt được những tiến bộ đáng kinh ngạc trong hình học, cung cấp cho họ cơ sở logic cần thiết để làm việc với những đại lượng vô tỷ. Cuốn sách thứ mười của Cơ sở Euclide được dành cho việc phân loại các đại lượng vô tỷ.

Tuổi trung niên

Thời Trung cổ được đánh dấu bằng việc áp dụng các khái niệm như số không, số âm, số nguyên và phân số, đầu tiên là bởi các nhà toán học Ấn Độ và sau đó là các nhà toán học Trung Quốc. Sau này các nhà toán học Ả Rập cũng tham gia, họ là những người đầu tiên coi số âm là đối tượng đại số (cùng với quyền bình đẳng với số dương), điều này giúp phát triển bộ môn mà ngày nay được gọi là đại số.

Các nhà toán học Ả Rập đã kết hợp các khái niệm “số” và “độ lớn” của người Hy Lạp cổ đại thành một khái niệm duy nhất. ý tưởng chung số thực. Họ phê phán ý tưởng của Euclid về quan hệ; ngược lại, họ phát triển lý thuyết về quan hệ của các đại lượng tùy ý và mở rộng khái niệm số sang quan hệ của các đại lượng liên tục. Trong bài bình luận về Cuốn sách 10 yếu tố của Euclid, nhà toán học Ba Tư Al Makhani (khoảng năm 800 CN) đã khám phá và phân loại các số vô tỉ bậc hai (các số có dạng) và các số vô tỉ bậc ba tổng quát hơn. Ông định nghĩa các đại lượng hữu tỷ và vô tỷ mà ông gọi là số vô tỷ. Anh ấy dễ dàng thao tác với những đồ vật này, nhưng lại nói về chúng như những đồ vật riêng biệt, chẳng hạn:

Ngược lại với quan niệm của Euclid rằng các đại lượng chủ yếu là các đoạn thẳng, Al Makhani coi số nguyên và phân số là các đại lượng hữu tỉ, còn căn bậc hai và căn bậc ba là vô tỉ. Ông cũng giới thiệu cách tiếp cận số học đối với tập hợp số vô tỷ, vì chính ông là người đã chỉ ra tính vô tỷ của các đại lượng sau:

Nhà toán học Ai Cập Abu Kamil (khoảng 850 CN - khoảng 930 CN) là người đầu tiên coi việc công nhận số vô tỷ là nghiệm có thể chấp nhận được phương trình bậc hai hoặc các hệ số trong phương trình - chủ yếu ở dạng căn bậc hai hoặc bậc ba, cũng như căn bậc bốn. Vào thế kỷ thứ 10, nhà toán học người Iraq Al Hashimi đã đưa ra những bằng chứng tổng quát (chứ không phải là những minh chứng hình học trực quan) về tính vô tỷ của tích, thương và kết quả của các phép biến đổi toán học khác đối với số vô tỷ và số hữu tỷ. Al Khazin (900 AD - 971 AD) đưa ra định nghĩa sau về đại lượng hữu tỷ và vô tỷ:

Cho một đại lượng đơn vị được chứa trong một đại lượng nhất định một hoặc nhiều lần thì đại lượng [đã cho] này tương ứng với một số nguyên... Mọi đại lượng bằng một nửa, một phần ba, hoặc một phần tư của một đại lượng đơn vị, hoặc, khi so với một đại lượng đơn vị bằng 3/5 của nó là đại lượng hữu tỉ. Và nói chung, bất kỳ đại lượng nào liên quan đến một đơn vị như số này với số khác đều là số hữu tỉ. Nếu một đại lượng không thể được biểu diễn dưới dạng một số hoặc một phần (l/n), hoặc một số phần (m/n) của một đơn vị chiều dài, thì đại lượng đó là vô tỷ, nghĩa là không thể diễn đạt được ngoại trừ khi có sự trợ giúp của căn số.

Nhiều ý tưởng trong số này sau đó đã được các nhà toán học châu Âu áp dụng sau khi dịch các văn bản tiếng Ả Rập sang tiếng Latin vào thế kỷ 12. Al Hassar, một nhà toán học Ả Rập đến từ Maghreb, chuyên về luật thừa kế Hồi giáo, đã đưa ra ký hiệu toán học tượng trưng hiện đại cho phân số vào thế kỷ 12, chia tử số và mẫu số cho một thanh ngang. Ký hiệu tương tự sau đó xuất hiện trong các tác phẩm của Fibonacci vào thế kỷ 13. Trong thế kỷ XIV-XVI. Madhava ở Sangamagrama và các đại diện của Trường Thiên văn và Toán học Kerala đã nghiên cứu chuỗi vô hạn hội tụ đến một số vô tỷ nhất định, chẳng hạn như π, và cũng chỉ ra tính vô tỷ của một số hàm lượng giác nhất định. Jestadeva trình bày những kết quả này trong cuốn sách Yuktibhaza. (đồng thời chứng minh sự tồn tại của số siêu việt), từ đó xem xét lại công trình của Euclid về việc phân loại số vô tỷ. Các tác phẩm về chủ đề này được xuất bản năm 1872

Các phân số liên tục, liên quan chặt chẽ với các số vô tỷ (một phân số liên tục biểu diễn một số đã cho là vô hạn khi và chỉ khi số đó là số vô tỷ), được Cataldi khám phá lần đầu tiên vào năm 1613, sau đó lại được chú ý đến trong công trình của Euler, và trong đầu thế kỷ XIX thế kỷ - trong các tác phẩm của Lagrange. Dirichlet cũng có những đóng góp đáng kể cho sự phát triển của lý thuyết phân số liên tục. Năm 1761, Lambert sử dụng phân số liên tục để chứng tỏ rằng π (\displaystyle \pi ) không phải là số hữu tỉ và đó cũng là số e x (\displaystyle e^(x)) Và tg ⁡ x (\displaystyle \tên toán tử (tg) x) là vô tỉ đối với mọi số hữu tỉ khác 0 x (\displaystyle x). Mặc dù chứng minh của Lambert có thể gọi là chưa đầy đủ nhưng nhìn chung nó được coi là khá chặt chẽ, đặc biệt nếu xét đến thời điểm nó được viết ra. Legendre năm 1794, sau khi giới thiệu hàm Bessel-Clifford, đã chỉ ra rằng π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) phi lý, phi lý đến từ đâu? π (\displaystyle \pi ) tuân theo một cách tầm thường (một số hữu tỉ bình phương sẽ cho một số hữu tỉ).

Sự tồn tại của số siêu việt đã được Liouville chứng minh vào năm 1844-1851. Sau đó, Georg Cantor (1873) đã chứng minh sự tồn tại của chúng bằng một phương pháp khác và lập luận rằng bất kỳ khoảng nào của chuỗi thực đều chứa vô số số siêu việt. Charles Hermite đã chứng minh vào năm 1873 rằng e siêu việt, và Ferdinand Lindemann vào năm 1882, dựa trên kết quả này, đã chỉ ra sự siêu việt π (\displaystyle \pi ) Văn học

Tài liệu trong bài viết này cung cấp thông tin ban đầu về số vô tỉ. Đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa về số vô tỷ và giải thích nó. Dưới đây chúng tôi đưa ra ví dụ về số vô tỷ. Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một số phương pháp để tìm hiểu xem một số đã cho có phải là số vô tỷ hay không.

Điều hướng trang.

Định nghĩa và ví dụ về số vô tỷ

Khi nghiên cứu số thập phân, chúng tôi đã xem xét riêng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Các phân số như vậy phát sinh khi đo độ dài thập phân của các đoạn không thể so sánh được với một đoạn đơn vị. Chúng tôi cũng lưu ý rằng các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn không thể chuyển đổi thành phân số thông thường (xem chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại), do đó, những số này không phải là số hữu tỷ, chúng đại diện cho cái gọi là số vô tỷ.

Vì vậy chúng tôi đến định nghĩa số vô tỉ.

Sự định nghĩa.

Các số biểu thị phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn theo ký hiệu thập phân được gọi là số vô tỉ.

Định nghĩa lồng tiếng cho phép chúng tôi đưa ra ví dụ về số vô tỉ. Ví dụ: phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn 4.10110011100011110000... (số lượng hàng đơn vị và số 0 tăng lên một đơn vị mỗi lần) là một số vô tỷ. Hãy đưa ra một ví dụ khác về số vô tỷ: −22,353335333335... (số lượng ba phần ngăn cách số tám tăng thêm hai mỗi lần).

Cần lưu ý rằng các số vô tỷ khá hiếm khi được tìm thấy ở dạng phân số thập phân không định kỳ vô tận. Chúng thường được tìm thấy ở dạng , v.v., cũng như ở dạng các chữ cái được nhập đặc biệt. Các ví dụ nổi tiếng nhất về số vô tỷ trong ký hiệu này là căn bậc hai số học của 2, số “pi” π=3,141592..., số e=2,718281... và số vàng.

Số vô tỷ cũng có thể được định nghĩa theo số thực, kết hợp số hữu tỷ và số vô tỷ.

Sự định nghĩa.

Số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỉ.

Con số này có phi lý không?

Khi số không được đưa ra dưới dạng số thập phân, và dưới dạng một số nghiệm, logarit, v.v., thì việc trả lời câu hỏi liệu nó có vô tỷ hay không là khá khó khăn trong nhiều trường hợp.

Không còn nghi ngờ gì nữa, khi trả lời câu hỏi đặt ra, việc biết những con số nào không phải là số vô tỷ sẽ rất hữu ích. Từ định nghĩa về số vô tỉ thì số vô tỉ không phải là số hữu tỉ. Vì vậy, số vô tỷ KHÔNG phải là:

• phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn và vô hạn.

Ngoài ra, bất kỳ thành phần nào của số hữu tỷ được kết nối bằng dấu của phép tính số học (+, −, ·, :) đều không phải là số vô tỷ. Điều này là do tổng, hiệu, tích và thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ. Ví dụ: các giá trị của biểu thức và là số hữu tỷ. Ở đây chúng tôi lưu ý rằng nếu các biểu thức như vậy chứa một số vô tỷ duy nhất trong số các số hữu tỷ thì giá trị của toàn bộ biểu thức sẽ là một số vô tỷ. Ví dụ, trong biểu thức số là số vô tỉ và các số còn lại là số hữu tỉ nên nó là số vô tỉ. Nếu nó là một số hữu tỷ thì tính hợp lý của số đó sẽ tuân theo, nhưng nó không phải là số hữu tỷ.

Nếu biểu thức xác định số có chứa nhiều số vô tỷ, dấu căn, logarit, hàm lượng giác, số π, e, v.v. thì cần chứng minh tính vô tỷ, tính hữu tỷ của số đã cho trong từng trường hợp cụ thể. Tuy nhiên, có một số kết quả đã thu được có thể được sử dụng. Hãy liệt kê những cái chính.

Người ta đã chứng minh rằng căn bậc thứ k của một số nguyên chỉ là số hữu tỷ nếu số nằm dưới căn số đó là lũy thừa thứ k của một số nguyên khác; trong các trường hợp khác, căn bậc đó chỉ định một số vô tỷ. Ví dụ, các số và là vô tỷ, vì không có số nguyên nào có bình phương bằng 7, và không có số nguyên nào nâng lũy ​​thừa thứ năm sẽ bằng 15. Và những con số này không phải là số vô tỷ, vì và .

Đối với logarit, đôi khi có thể chứng minh tính vô tỷ của chúng bằng phương pháp phản chứng. Ví dụ: hãy chứng minh rằng log 2 3 là một số vô tỷ.

Giả sử rằng log 2 3 là một số hữu tỷ và không phải là số vô tỷ, nghĩa là nó có thể được biểu diễn dưới dạng phân số chung m/n. và cho phép chúng ta viết chuỗi đẳng thức sau: . Đẳng thức cuối cùng là không thể, vì ở vế trái của nó số lẻ , và ở vế phải – chẵn. Vì vậy, chúng ta đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định của chúng ta hóa ra là không chính xác, và điều này chứng tỏ rằng log 2 3 là một số vô tỷ.

Lưu ý rằng lna với mọi số hữu tỉ dương và không một số a là một số vô tỉ. Ví dụ, và là những số vô tỷ.

Người ta cũng chứng minh rằng số e a đối với mọi số hữu tỷ a khác 0 là số vô tỷ và số π z đối với mọi số nguyên z khác 0 là số vô tỷ. Ví dụ, các con số là vô tỷ.

Các số vô tỉ cũng là các hàm lượng giác sin, cos, tg và ctg cho bất kỳ giá trị hữu tỉ và khác 0 nào của đối số. Ví dụ: sin1 , tan(−4) , cos5,7 là các số vô tỷ.

Có những kết quả khác đã được chứng minh, nhưng chúng tôi sẽ giới hạn ở những kết quả đã được liệt kê. Cũng cần phải nói rằng khi chứng minh các kết quả nêu trên, lý thuyết gắn với số đại số Và số siêu việt.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng không nên đưa ra kết luận vội vàng về tính vô tỷ của các con số đã cho. Ví dụ, có vẻ hiển nhiên rằng một số vô tỉ ở mức độ vô tỉ là một số vô tỉ. Tuy nhiên, đây không phải là luôn luôn như vậy. Để xác nhận thực tế đã nêu, chúng tôi trình bày mức độ. Được biết - là số vô tỉ và người ta cũng đã chứng minh rằng - là số vô tỉ nhưng là số hữu tỉ. Bạn cũng có thể đưa ra ví dụ về số vô tỉ, tổng, hiệu, tích và thương của chúng là số hữu tỉ. Hơn nữa, tính hợp lý hay vô lý của các số π+e, π−e, π·e, π π, π e và nhiều số khác vẫn chưa được chứng minh.

Thư mục.

• Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán (sổ tay dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật): Proc. phụ cấp.- M.; Cao hơn trường học, 1984.-351 trang, bệnh.

Các nhà toán học cổ đại đã biết về một đoạn có đơn vị chiều dài: ví dụ, họ biết tính vô tỷ của đường chéo và cạnh của hình vuông, tương đương với tính vô tỉ của số đó.

Vô lý là:

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng một phân số tối giản, trong đó và là các số nguyên. Hãy bình phương sự bình đẳng được cho là:

.

Theo đó, số chẵn là số chẵn và . Hãy để nó ở nơi có cái toàn thể. Sau đó

Do đó, chẵn có nghĩa là chẵn và . Chúng ta đã tìm thấy và chẵn, điều này mâu thuẫn với tính tối giản của phân số . Điều này có nghĩa là giả định ban đầu không chính xác và đó là một số vô tỷ.

Logarit nhị phân của số 3

Chúng ta hãy giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên. Vì , và có thể được chọn là dương. Sau đó

Nhưng chẵn và lẻ. Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn.

e

Câu chuyện

Khái niệm số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm áp dụng vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750 trước Công nguyên - khoảng 690 trước Công nguyên) phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61 không thể được biểu diễn một cách rõ ràng. .

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỷ thường được cho là của Hippasus xứ Metapontus (khoảng 500 năm trước Công nguyên), một người theo trường phái Pythagore, người đã tìm ra bằng chứng này bằng cách nghiên cứu độ dài các cạnh của ngôi sao năm cánh. Vào thời của Pythagore, người ta tin rằng có một đơn vị chiều dài duy nhất, đủ nhỏ và không thể phân chia được, đi vào bất kỳ đoạn nào với một số nguyên số lần. Tuy nhiên, Hippasus lập luận rằng không có đơn vị đo chiều dài duy nhất, vì giả định về sự tồn tại của nó sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Ông đã chỉ ra rằng nếu cạnh huyền của một tam giác vuông cân chứa một số nguyên các đoạn đơn vị thì số này phải vừa là số chẵn vừa là số lẻ. Bằng chứng trông như thế này:

• Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với chiều dài cạnh của một tam giác vuông cân có thể được biểu thị bằng Một:b, Ở đâu Một Và bđược chọn nhỏ nhất có thể.
• Theo định lý Pythagore: Một 2 = 2 b².
• Bởi vì Một- thậm chí, Một phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ sẽ là số lẻ).
• Bởi vì Một:b không thể rút gọn được b hẳn là kỳ quặc.
• Bởi vì Một thậm chí, chúng tôi biểu thị Một = 2y.
• Sau đó Một² = 4 y 2 = 2 b².
• b 2 = 2 y², do đó b- thậm chí, vậy thì b thậm chí.
• Tuy nhiên, nó đã được chứng minh rằng b số lẻ. Sự mâu thuẫn.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã đặt ra một vấn đề nghiêm trọng cho toán học Pythagore, phá hủy giả định cơ bản rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

Xem thêm

Ghi chú

Hệ thống số
Đếm bộ	Số tự nhiên() Số nguyên()

Các nhà toán học cổ đại đã biết về một đoạn có đơn vị chiều dài: ví dụ, họ biết tính vô tỷ của đường chéo và cạnh của hình vuông, tương đương với tính vô tỉ của số đó.

Vô lý là:

Ví dụ về chứng minh tính vô lý

Căn bậc 2

Giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng một phân số tối giản, trong đó và là các số nguyên. Hãy bình phương sự bình đẳng được cho là:

.

Theo đó, số chẵn là số chẵn và . Hãy để nó ở nơi có cái toàn thể. Sau đó

Do đó, chẵn có nghĩa là chẵn và . Chúng ta đã tìm thấy và chẵn, điều này mâu thuẫn với tính tối giản của phân số . Điều này có nghĩa là giả định ban đầu không chính xác và đó là một số vô tỷ.

Logarit nhị phân của số 3

Chúng ta hãy giả sử điều ngược lại: nó là hợp lý, nghĩa là nó được biểu diễn dưới dạng phân số, trong đó và là số nguyên. Vì , và có thể được chọn là dương. Sau đó

Nhưng chẵn và lẻ. Chúng tôi nhận được một mâu thuẫn.

e

Câu chuyện

Khái niệm số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ ngầm áp dụng vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi Manava (khoảng 750 trước Công nguyên - khoảng 690 trước Công nguyên) phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số số tự nhiên, chẳng hạn như 2 và 61 không thể được biểu diễn một cách rõ ràng. .

Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của số vô tỷ thường được cho là của Hippasus xứ Metapontus (khoảng 500 năm trước Công nguyên), một người theo trường phái Pythagore, người đã tìm ra bằng chứng này bằng cách nghiên cứu độ dài các cạnh của ngôi sao năm cánh. Vào thời của Pythagore, người ta tin rằng có một đơn vị chiều dài duy nhất, đủ nhỏ và không thể phân chia được, đi vào bất kỳ đoạn nào với một số nguyên số lần. Tuy nhiên, Hippasus lập luận rằng không có đơn vị đo chiều dài duy nhất, vì giả định về sự tồn tại của nó sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Ông đã chỉ ra rằng nếu cạnh huyền của một tam giác vuông cân chứa một số nguyên các đoạn đơn vị thì số này phải vừa là số chẵn vừa là số lẻ. Bằng chứng trông như thế này:

• Tỷ lệ giữa độ dài cạnh huyền với chiều dài cạnh của một tam giác vuông cân có thể được biểu thị bằng Một:b, Ở đâu Một Và bđược chọn nhỏ nhất có thể.
• Theo định lý Pythagore: Một 2 = 2 b².
• Bởi vì Một- thậm chí, Một phải là số chẵn (vì bình phương của số lẻ sẽ là số lẻ).
• Bởi vì Một:b không thể rút gọn được b hẳn là kỳ quặc.
• Bởi vì Một thậm chí, chúng tôi biểu thị Một = 2y.
• Sau đó Một² = 4 y 2 = 2 b².
• b 2 = 2 y², do đó b- thậm chí, vậy thì b thậm chí.
• Tuy nhiên, nó đã được chứng minh rằng b số lẻ. Sự mâu thuẫn.

Các nhà toán học Hy Lạp gọi tỉ số này là đại lượng vô tỉ xin lỗi(không thể tả được), nhưng theo truyền thuyết, họ không bày tỏ sự kính trọng đối với Hippasus. Có một truyền thuyết kể rằng Hippasus đã khám phá ra điều này trong một chuyến đi biển và bị những người theo trường phái Pythagore khác ném xuống biển “vì đã tạo ra một nguyên tố của vũ trụ phủ nhận học thuyết rằng mọi thực thể trong vũ trụ đều có thể quy về các số nguyên và tỷ lệ của chúng”. Việc phát hiện ra Hippasus đã đặt ra một vấn đề nghiêm trọng cho toán học Pythagore, phá hủy giả định cơ bản rằng các con số và các đối tượng hình học là một và không thể tách rời.

Xem thêm

Ghi chú

Hệ thống số
Đếm bộ	Số tự nhiên() Số nguyên()