Hoe wordt het stelsel vergelijkingen opgelost? Methoden voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen. De regel voor het oplossen van eenvoudige vergelijkingen
Vergelijkingen met breuken oplossen Laten we naar voorbeelden kijken. De voorbeelden zijn eenvoudig en illustratief. Met hun hulp kunt u op de meest begrijpelijke manier leren.
U wilt bijvoorbeeld een eenvoudige vergelijking x / b + c = d oplossen.
Vergelijkingen van dit type worden lineair genoemd, omdat de noemer bevat alleen getallen.
De oplossing wordt uitgevoerd door beide zijden van de vergelijking met b te vermenigvuldigen, dan heeft de vergelijking de vorm x = b * (d - c), d.w.z. de noemer van de breuk aan de linkerkant vervalt.
Bijvoorbeeld, hoe een fractionele vergelijking op te lossen:
x / 5 + 4 = 9
We vermenigvuldigen beide delen met 5. We krijgen:
x + 20 = 45
x = 45 - 20 = 25
Een ander voorbeeld, wanneer het onbekende in de noemer zit:
Vergelijkingen van dit type worden fractioneel rationeel of gewoon fractioneel genoemd.
We zouden een fractionele vergelijking oplossen door breuken te verwijderen, waarna deze vergelijking meestal lineair of kwadratisch wordt, wat wordt opgelost de gebruikelijke manier... U moet alleen rekening houden met de volgende punten:
- de waarde van een variabele die de noemer in 0 verandert, kan geen wortel zijn;
- je kunt een vergelijking niet delen of vermenigvuldigen met de uitdrukking = 0.
Hier treedt een concept in werking als het bereik van toegestane waarden (ODV) - dit zijn de waarden van de wortels van de vergelijking waarvoor de vergelijking zinvol is.
Om de vergelijking op te lossen, is het dus noodzakelijk om de wortels te vinden en vervolgens te controleren of ze voldoen aan de ODZ. Die wortels die niet overeenkomen met onze ODZ zijn uitgesloten van het antwoord.
U moet bijvoorbeeld een fractionele vergelijking oplossen:
Op basis van de bovenstaande regel kan x niet = 0 zijn, d.w.z. ODZ in dit geval: x - elke andere waarde dan nul.
We verwijderen de noemer door alle termen van de vergelijking te vermenigvuldigen met x
En we lossen de gebruikelijke vergelijking op
5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Antwoord: x = 1/3
Laten we een meer gecompliceerde vergelijking oplossen:
ODZ is hier ook aanwezig: x -2.
Als we deze vergelijking oplossen, zullen we niet alles naar één kant verplaatsen en breuken reduceren tot een gemeenschappelijke noemer. We zullen beide zijden van de vergelijking onmiddellijk vermenigvuldigen met een uitdrukking die alle noemers in één keer opheft.
Om de noemers te verkleinen, moet je de linkerkant vermenigvuldigen met x + 2 en de rechterkant met 2. Daarom moeten beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd met 2 (x + 2):
Dit is de meest voorkomende vermenigvuldiging van breuken, die we hierboven al hebben besproken.
Laten we dezelfde vergelijking schrijven, maar op een iets andere manier
De linkerkant wordt opgeheven door (x + 2), en de rechterkant door 2. Na het annuleren krijgen we de gebruikelijke lineaire vergelijking:
x = 4 - 2 = 2, wat overeenkomt met onze ODZ
Antwoord: x = 2.
Vergelijkingen met breuken oplossen niet zo moeilijk als het lijkt. In dit artikel hebben we dit aangetoond met voorbeelden. Als je daar moeite mee hebt, hoe vergelijkingen met breuken op te lossen, meld je dan af in de comments.
De online service voor het oplossen van vergelijkingen helpt u bij het oplossen van elke vergelijking. Als u onze site gebruikt, krijgt u niet alleen het antwoord op de vergelijking, maar ziet u ook: gedetailleerde oplossing:, dat wil zeggen, een stapsgewijze weergave van het proces om het resultaat te verkrijgen. Onze service zal nuttig zijn voor middelbare scholieren en hun ouders. Leerlingen kunnen zich voorbereiden op tests, examens, hun kennis testen, en ouders - om de oplossing van wiskundige vergelijkingen door hun kinderen te beheersen. Mogelijkheid om vergelijkingen op te lossen - verplichte eis aan schoolkinderen. De service helpt u bij zelfstudie en verbetert uw kennis van wiskundige vergelijkingen. Hiermee kun je elke vergelijking oplossen: vierkant, kubisch, irrationeel, trigonometrisch, enz. Voordeel online dienst en is van onschatbare waarde, omdat je naast het juiste antwoord een gedetailleerde oplossing voor elke vergelijking krijgt. De voordelen van het online oplossen van vergelijkingen. U kunt elke vergelijking online op onze website helemaal gratis oplossen. De service is volledig automatisch, u hoeft niets op uw computer te installeren, u hoeft alleen de gegevens in te voeren en het programma geeft u een oplossing. Eventuele rekenfouten of typfouten zijn uitgesloten. Het is heel gemakkelijk om elke vergelijking online bij ons op te lossen, dus zorg ervoor dat u onze site gebruikt om alle soorten vergelijkingen op te lossen. U hoeft alleen de gegevens in te voeren en de berekening is binnen enkele seconden uitgevoerd. Het programma werkt zelfstandig, zonder menselijke tussenkomst, en u krijgt een nauwkeurig en gedetailleerd antwoord. De vergelijking oplossen in algemeen beeld... In zo'n vergelijking zijn de variabele coëfficiënten en de gewenste wortels gerelateerd. De hoogste macht van de variabele bepaalt de volgorde van een dergelijke vergelijking. Op basis hiervan, gebruik voor de vergelijkingen verschillende methoden en stellingen voor het vinden van oplossingen. Vergelijkingen oplossen van dit type betekent het vinden van de benodigde wortels in algemene vorm. Met onze service kunt u zelfs de meest complexe algebraïsche vergelijking online oplossen. Je kunt krijgen als gemeenschappelijke beslissing de vergelijking en het quotiënt voor de numerieke waarden van de door u gespecificeerde coëfficiënten. Om een algebraïsche vergelijking op de site op te lossen, volstaat het om slechts twee velden correct in te vullen: de linker- en rechterkant van de gegeven vergelijking. Algebraïsche vergelijkingen met variabele coëfficiënten hebben een oneindig aantal oplossingen, en na het stellen van bepaalde voorwaarden, worden bepaalde gekozen uit de reeks oplossingen. Kwadratische vergelijking. De kwadratische vergelijking heeft de vorm ax ^ 2 + bx + c = 0 voor a> 0. Vergelijkingen oplossen vierkant impliceert het vinden van de waarden van x waarbij de gelijkheid ax ^ 2 + bx + c = 0 geldt. Hiervoor wordt de waarde van de discriminant gevonden volgens de formule D = b ^ 2-4ac. Als de discriminant kleiner is dan nul, heeft de vergelijking geen echte wortels (de wortels worden gevonden uit het veld van complexe getallen), als het nul is, heeft de vergelijking één echte wortel, en als de discriminant groter is dan nul, dan heeft de vergelijking twee reële wortels, die gevonden worden door de formule: D = -b + -sqrt / 2a. Om een kwadratische vergelijking online op te lossen, hoeft u alleen maar de coëfficiënten van een dergelijke vergelijking (gehele getallen, breuken of decimale waarden). Als er aftrektekens in de vergelijking staan, moet u een minteken voor de overeenkomstige termen van de vergelijking plaatsen. Beslissen kwadratische vergelijking online is ook mogelijk, afhankelijk van de parameter, dat wil zeggen de variabelen in de coëfficiënten van de vergelijking. Deze taak wordt perfect afgehandeld door onze online service voor het vinden van gemeenschappelijke oplossingen. Lineaire vergelijkingen. Er zijn vier hoofdmethoden die in de praktijk worden gebruikt om lineaire vergelijkingen (of stelsels van vergelijkingen) op te lossen. Laten we elke methode in detail beschrijven. Vervangingsmethode. Het oplossen van vergelijkingen door substitutie vereist het uitdrukken van één variabele in termen van de andere. Daarna wordt de uitdrukking vervangen door andere vergelijkingen van het systeem. Vandaar de naam van de oplossingsmethode, dat wil zeggen, in plaats van een variabele, wordt de uitdrukking ervan vervangen door de rest van de variabelen. In de praktijk vereist de methode complexe berekeningen, zij het gemakkelijk te begrijpen, dus het online oplossen van een dergelijke vergelijking bespaart tijd en maakt berekeningen eenvoudiger. U hoeft alleen het aantal onbekenden in de vergelijking aan te geven en de gegevens van lineaire vergelijkingen in te vullen, waarna de service de berekening zal maken. Gauss-methode. De methode is gebaseerd op de eenvoudigste systeemtransformaties om tot een equivalent driehoekig systeem te komen. De onbekenden worden daaruit één voor één bepaald. In de praktijk is het nodig om zo'n vergelijking online op te lossen met gedetailleerde beschrijving, waardoor je een goed begrip hebt van de Gauss-methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Noteer het stelsel lineaire vergelijkingen in het juiste formaat en houd rekening met het aantal onbekenden om het stelsel nauwkeurig op te lossen. Cramers methode. Deze methode wordt gebruikt om stelsels van vergelijkingen op te lossen in gevallen waarin het systeem een unieke oplossing heeft. De belangrijkste wiskundige actie hier is de berekening van matrixdeterminanten. De oplossing van vergelijkingen door de Cramer-methode wordt online uitgevoerd, u krijgt direct het resultaat met een volledige en gedetailleerde beschrijving. Het is voldoende om het systeem met coëfficiënten te vullen en het aantal onbekende variabelen te kiezen. Matrix-methode. Deze methode bestaat uit het verzamelen van de coëfficiënten voor onbekenden in matrix A, onbekenden in kolom X en vrije termen in kolom B. Het stelsel lineaire vergelijkingen wordt dus gereduceerd tot een matrixvergelijking in de vorm AxX = B. Deze vergelijking heeft alleen een unieke oplossing als de determinant van de matrix A niet nul is, anders heeft het systeem geen oplossingen of een oneindig aantal oplossingen. De oplossing van vergelijkingen door de matrixmethode bestaat uit het vinden van de inverse matrix A.
Laten we eens kijken naar twee soorten oplossingen voor stelsels vergelijkingen:
1. Oplossing van het systeem door de substitutiemethode.
2. Oplossing van het stelsel door term voor term optellen (aftrekken) van de vergelijkingen van het stelsel.
Om het stelsel vergelijkingen op te lossen substitutie methode: je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Wij drukken uit. Druk één variabele uit uit een willekeurige vergelijking.
2. Vervanger. We vervangen de verkregen waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. We lossen de resulterende vergelijking op met één variabele. We vinden een oplossing voor het systeem.
Oplossen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) nodig hebben:
1.Kies een variabele waarvoor we dezelfde coëfficiënten zullen maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, uiteindelijk krijgen we een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. We vinden een oplossing voor het systeem.
De oplossing van het systeem zijn de snijpunten van de grafieken van de functie.
Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.
Voorbeeld 1:
Laten we oplossen door substitutiemethode
Een stelsel van vergelijkingen oplossen met de substitutiemethode2x + 5y = 1 (1 vergelijking)
x-10y = 3 (2 vergelijking)
1. Wij drukken uit
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, waaruit blijkt dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x = 3 + 10j
2. Nadat we hebben uitgedrukt, vervangen we 3 + 10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2 (3 + 10j) + 5j = 1
3. Los de resulterende vergelijking op in één variabele.
2 (3 + 10j) + 5j = 1 (vouw de haakjes uit)
6 + 20j + 5j = 1
25j = 1-6
25j = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2
De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Vind x, in de eerste alinea waar we daar uitdrukten, vervangen we y.
x = 3 + 10j
x = 3 + 10 * (- 0.2) = 1
Het is gebruikelijk om punten te schrijven, in de eerste plaats schrijven we de variabele x, en in de tweede plaats de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)
Voorbeeld #2:
Laten we oplossen door de methode van term-voor-term optellen (aftrekken).
Een stelsel vergelijkingen oplossen met de optelmethode3x-2y = 1 (1 vergelijking)
2x-3y = -10 (2 vergelijkingen)
1.Kies een variabele, bijvoorbeeld x. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede 2. Het is noodzakelijk om de coëfficiënten hetzelfde te maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. De eerste vergelijking wordt vermenigvuldigd met 2 en de tweede met 3, en we krijgen een totale factor 6.
3x-2j = 1 | * 2
6x-4j = 2
2x-3j = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. Trek de tweede van de eerste vergelijking af om de variabele x kwijt te raken. Los de lineaire vergelijking op.
__6x-4j = 2
5j = 32 | :5
y = 6,4
3. Zoek x. Vervang de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2j = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6
Het snijpunt is x = 4,6; y = 6,4
Antwoord: (4.6; 6.4)
Wil je gratis leren voor examens? Online bijlesdocent is gratis... Geen grapje.
vergelijkingen
Hoe vergelijkingen op te lossen?
In deze sectie zullen we ons de meest elementaire vergelijkingen herinneren (of bestuderen - zoals iedereen). Dus wat is een vergelijking? In menselijke termen is dit een soort van wiskundige uitdrukking, waar er een gelijkteken en een onbekende is. Wat meestal wordt aangegeven met de letter "X". Los De vergelijking op is om zulke x-waarden te vinden die, wanneer ze worden gesubstitueerd in voorletter uitdrukking, zal ons de juiste identiteit geven. Laat me je eraan herinneren dat identiteit een uitdrukking is die geen twijfel oproept, zelfs niet bij iemand die absoluut niet belast is met wiskundige kennis. Zoals 2 = 2, 0 = 0, ab = ab, enz. Dus hoe los je vergelijkingen op? Laten we het uitzoeken.
Er zijn allerlei soorten vergelijkingen (ik was verrast, toch?). Maar al hun oneindige verscheidenheid kan in slechts vier soorten worden verdeeld.
4. Ander.)
Al de rest, natuurlijk, vooral, ja ...) Dit omvat kubieke, en exponentiële, en logaritmische, en trigonometrische en allerlei andere. We zullen nauw met hen samenwerken in de relevante secties.
Ik moet meteen zeggen dat soms de vergelijkingen van de eerste drie soorten ze zullen opwinden zodat je ze niet eens herkent ... Niets. We zullen leren hoe we ze kunnen ontspannen.
En waarom hebben we deze vier typen nodig? En dan wat lineaire vergelijkingen op één manier worden opgelost, vierkant anderen, fractioneel rationeel - derde, een rest durf helemaal niet! Nou, het is niet dat ze helemaal geen beslissing nemen, ik had de wiskunde niet moeten beledigen.) Het is gewoon dat ze hun eigen speciale technieken en methoden hebben.
Maar voor elke (ik herhaal - voor ieder!) vergelijkingen hebben een betrouwbare en probleemloze basis voor het oplossen. Werkt overal en altijd. Deze basis - Klinkt eng, maar het is heel eenvoudig. En erg (heel!) belangrijk.
Eigenlijk bestaat de oplossing van de vergelijking uit deze transformaties. 99%. Het antwoord op de vraag: " Hoe vergelijkingen op te lossen?"leugens, alleen in deze transformaties. Is de hint duidelijk?)
Identieke transformaties van vergelijkingen.
V alle vergelijkingen om het onbekende te vinden, is het nodig om het oorspronkelijke voorbeeld te transformeren en te vereenvoudigen. En zodat bij het wisselen verschijning de essentie van de vergelijking veranderde niet. Dergelijke transformaties worden genoemd identiek of gelijkwaardig.
Merk op dat deze transformaties zijn precies op de vergelijkingen. Er zijn nog steeds identieke transformaties in de wiskunde uitdrukkingen. Dit is een ander onderwerp.
Nu herhalen we alles-alles-allemaal basis identieke transformaties van vergelijkingen.
Eenvoudig omdat ze kunnen worden toegepast op ieder vergelijkingen - lineair, kwadratisch, fractioneel, trigonometrisch, exponentieel, logaritmisch, enz. enzovoort.
Eerste identiteitstransformatie: je kunt aan beide zijden van elke vergelijking optellen (aftrekken) ieder(maar hetzelfde!) een getal of een uitdrukking (inclusief een uitdrukking met een onbekende!). Dit verandert niets aan de essentie van de vergelijking.
Trouwens, je gebruikte deze transformatie constant, je dacht gewoon dat je sommige termen van de ene kant van de vergelijking naar de andere overzette met een verandering in teken. Type:
De zaak is bekend, we verplaatsen de twee naar rechts en we krijgen:
in feite jij weggenomen van beide kanten van de vergelijking twee. Het resultaat is hetzelfde:
x + 2 - 2 = 3 - 2
De overdracht van termen van links naar rechts met een verandering van teken is gewoon een verkorte versie van de eerste identieke transformatie. En waarom hebben we zulke diepgaande kennis nodig? - je vraagt. De vergelijkingen zijn laag. Beweeg, in godsnaam. Vergeet alleen niet het bord te veranderen. Maar bij ongelijkheden kan de gewoonte van overdracht verwarrend zijn...
Tweede identiteitstransformatie: beide zijden van de vergelijking kunnen worden vermenigvuldigd (gedeeld) door hetzelfde niet-nul getal of uitdrukking. Hier duikt al een begrijpelijke beperking op: vermenigvuldigen met nul is dom, maar delen is helemaal niet mogelijk. Je gebruikt deze transformatie als je iets cools doet, zoals
Het is duidelijk zaken x= 2. Hoe heb je het gevonden? Door selectie? Of brandde het gewoon? Om niet op te pikken en niet te wachten op inzicht, moet je begrijpen dat je gewoon verdeelde beide zijden van de vergelijking door 5. Bij het delen van de linkerkant (5x), werd de vijf verkleind, waardoor een zuivere x overbleef. Dat is wat we nodig hadden. En bij het delen van de rechterkant (10) door vijf, bleek het duidelijk een twee te zijn.
Dat is alles.
Het is grappig, maar deze twee (slechts twee!) identieke transformaties liggen ten grondslag aan de oplossing alle vergelijkingen van de wiskunde. Hoe! Het is logisch om naar voorbeelden te kijken van wat en hoe, toch?)
Voorbeelden van identieke transformaties van vergelijkingen. Belangrijkste problemen.
Laten we beginnen met de eerste identieke transformatie. Beweeg links-rechts.
Een voorbeeld voor de jongste.)
Stel dat u de volgende vergelijking moet oplossen:
3-2x = 5-3x
Onthoud de spreuk: "met x - naar links, zonder x - naar rechts!" Deze spreuk is een instructie voor het toepassen van de eerste identieke transformatie.) Welke uitdrukking met een x hebben we aan de rechterkant? 3x? Het antwoord is fout! aan onze rechterkant - 3x! Minus drie x! Daarom verandert het teken bij het naar links bewegen in een plus. Het zal blijken:
3-2x + 3x = 5
Dus de X'en werden op een hoop verzameld. Laten we naar de cijfers gaan. Links staat een drie. Wat is je sterrenbeeld? Het antwoord "met nee" wordt niet geaccepteerd!) Voor de drie wordt echt niets getrokken. En dit betekent dat voor de drie is een plus. Dus de wiskundigen waren het daarmee eens. Er is niets geschreven, dus een plus. Daarom zal het triplet naar de rechterkant worden overgebracht met een min. We krijgen:
-2x + 3x = 5-3
Er zijn nog maar kleinigheden over. Aan de linkerkant - breng soortgelijke mee, aan de rechterkant - tel. Het antwoord wordt onmiddellijk verkregen:
In dit voorbeeld was één identieke transformatie voldoende. De tweede was niet nodig. Nou, oké.)
Een voorbeeld voor de ouderen.)
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Instant validatie testen. Leren - met interesse!)
je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.