Exponentiële functie y e x. Exponentiële functie, zijn eigenschappen en grafiek
Laten we de waarde van de uitdrukking vinden voor verschillende rationale waarden van de variabele x=2; 0; -3; -
Merk op dat ongeacht welk getal we vervangen door de variabele x, we altijd de waarde van deze uitdrukking kunnen vinden. Dit betekent dat we een exponentiële functie overwegen (de y is gelijk aan drie tot de macht x) gedefinieerd op de set rationale getallen: .
Laten we een grafiek van deze functie maken door een tabel met de waarden ervan samen te stellen.
Laten we een vloeiende lijn tekenen die door deze punten gaat (Figuur 1)
Laten we met behulp van de grafiek van deze functie de eigenschappen ervan bekijken:
3.Verhoogt over het hele definitiegebied.
- bereik van waarden van nul tot plus oneindig.
8. De functie is naar beneden convex.
Als we grafieken van functies in één coördinatensysteem construeren; y=(y is gelijk aan twee tot de macht x, y is gelijk aan vijf tot de macht x, y is gelijk aan zeven tot de macht x), dan kun je zien dat ze dezelfde eigenschappen hebben als y= (y is gelijk aan drie tot de macht x) (Fig. .2), dat wil zeggen dat alle functies van de vorm y = (de y is gelijk aan a tot de macht x, voor een groter dan één) zo zullen hebben eigenschappen.
Laten we de functie plotten:
1. Het samenstellen van een tabel met de waarden ervan.
Laten we de verkregen punten op het coördinatenvlak markeren.
Laten we een vloeiende lijn tekenen die door deze punten gaat (Figuur 3).
Met behulp van de grafiek van deze functie geven we de eigenschappen ervan aan:
1. Het definitiedomein is de verzameling van alle reële getallen.
2. Is noch even, noch oneven.
3. Neemt af over het gehele definitiedomein.
4. Heeft noch de grootste, noch de kleinste waarden.
5. Hieronder beperkt, maar hierboven niet beperkt.
6. Continu door het hele definitiedomein heen.
7. bereik van waarden van nul tot plus oneindig.
8. De functie is naar beneden convex.
Op dezelfde manier, als we functiegrafieken in één coördinatensysteem plotten; y = (y is gelijk aan de helft van de macht van x, y is gelijk aan een vijfde van de macht van x, y is gelijk aan een zevende van de macht van x), dan kun je merken dat ze dezelfde eigenschappen als y = (y is gelijk aan een derde van de macht x (Fig. 4), dat wil zeggen, alle functies van de vorm y = (de y is gelijk aan één gedeeld door a tot de macht x, met groter dan nul maar kleiner dan één) zal dergelijke eigenschappen hebben.
Laten we grafieken van functies in één coördinatensysteem construeren
Dit betekent dat de grafieken van de functies y=y= ook symmetrisch zullen zijn (y is gelijk aan a tot de macht x en y is gelijk aan één gedeeld door a tot de macht x) voor dezelfde waarde van a.
Laten we samenvatten wat er is gezegd door de exponentiële functie te definiëren en de belangrijkste eigenschappen ervan aan te geven:
Definitie: Een functie van de vorm y=, waarbij (a gelijk is aan a tot de macht x, waarbij a positief is en verschilt van één), wordt een exponentiële functie genoemd.
Het is noodzakelijk om de verschillen te onthouden tussen de exponentiële functie y= en de machtsfunctie y=, a=2,3,4,…. zowel auditief als visueel. De exponentiële functie X is een macht, en voor een machtsfunctie X vormt de basis.
Voorbeeld 1: Los de vergelijking op (drie tot de macht x is gelijk aan negen)
(Y is gelijk aan drie tot de macht X en Y is gelijk aan negen) Fig. 7
Merk op dat ze één gemeenschappelijk punt M (2;9) hebben (em met coördinaten twee; negen), wat betekent dat de abscis van het punt de wortel van deze vergelijking zal zijn. Dat wil zeggen, de vergelijking heeft een enkele wortel x = 2.
Voorbeeld 2: Los de vergelijking op
In één coördinatensysteem zullen we twee grafieken construeren van de functie y= (de y is gelijk aan vijf tot de macht x en de y is gelijk aan één vijfentwintigste) Fig. 8. De grafieken snijden elkaar in één punt T (-2; (te met coördinaten min twee; één vijfentwintigste). Dit betekent dat de wortel van de vergelijking x = -2 is (getal min twee).
Voorbeeld 3: Los de ongelijkheid op
In één coördinatensysteem zullen we twee grafieken construeren van de functie y=
(Y is gelijk aan drie tot de macht X en Y is gelijk aan zevenentwintig).
Fig.9 De grafiek van de functie bevindt zich boven de grafiek van de functie y=at
x Daarom is de oplossing voor de ongelijkheid het interval (van min oneindig tot drie)
Voorbeeld 4: Los de ongelijkheid op
In één coördinatensysteem zullen we twee grafieken construeren van de functie y= (de y is gelijk aan een vierde van de macht x en de y is gelijk aan zestien). (Afb. 10). De grafieken snijden elkaar in één punt K (-2;16). Dit betekent dat de oplossing voor de ongelijkheid het interval (-2; (van min twee tot plus oneindig) is, aangezien de grafiek van de functie y= zich onder de grafiek van de functie op x bevindt
Onze redenering stelt ons in staat de geldigheid van de volgende stellingen te verifiëren:
Thema 1: Indien waar dan en slechts dan als m=n.
Stelling 2: Als waar is dan en slechts dan als, is ongelijkheid waar dan en slechts dan als (Fig. *)
Stelling 4: Indien waar dan en slechts dan als (Fig.**), dan is de ongelijkheid waar dan en slechts dan als. Stelling 3: Indien waar dan en slechts dan als m=n.
Voorbeeld 5: Teken de functie y=
Laten we de functie aanpassen door de eigenschap graad y= toe te passen
Laten we een extra coördinatensysteem construeren en in nieuw systeem coördinaten, zullen we een grafiek construeren van de functie y = (de y is gelijk aan twee tot de macht x) Fig. 11.
Voorbeeld 6: Los de vergelijking op
In één coördinatensysteem zullen we twee grafieken construeren van de functie y=
(Y is gelijk aan zeven tot de macht X en Y is gelijk aan acht minus X) Fig. 12.
De grafieken snijden elkaar in één punt E (1; (e met coördinaten één; zeven). Dit betekent dat de wortel van de vergelijking x = 1 is (x gelijk aan één).
Voorbeeld 7: Los de ongelijkheid op
In één coördinatensysteem zullen we twee grafieken construeren van de functie y=
(Y is gelijk aan een vierde van de macht X en Y is gelijk aan X plus vijf). De grafiek van de functie y=bevindt zich onder de grafiek van de functie y=x+5 wanneer de oplossing voor de ongelijkheid het interval x is (van min één tot plus oneindig).
Kennis elementaire basisfuncties, hun eigenschappen en grafieken niet minder belangrijk dan het kennen van de tafels van vermenigvuldiging. Ze zijn als het fundament, alles is erop gebaseerd, alles is daarop gebouwd en alles komt op hen neer.
In dit artikel zullen we alle belangrijke elementaire functies opsommen, hun grafieken weergeven en zonder conclusie of bewijs geven eigenschappen van elementaire basisfuncties volgens het schema:
- gedrag van een functie aan de grenzen van het definitiedomein, verticale asymptoten (zie indien nodig het artikel classificatie van discontinuïteitpunten van een functie);
- even en oneven;
- intervallen van convexiteit (convexiteit naar boven) en concaafheid (convexiteit naar beneden), buigpunten (zie eventueel het artikel convexiteit van een functie, richting van convexiteit, buigpunten, voorwaarden voor convexiteit en buiging);
- schuine en horizontale asymptoten;
- bijzondere punten van functies;
- bijzondere eigenschappen sommige functies (bijvoorbeeld de kleinste positieve periode voor goniometrische functies).
Als je geïnteresseerd bent in of, dan kun je naar deze secties van de theorie gaan.
Elementaire basisfuncties zijn: constante functie (constant), n-de wortel, machtsfunctie, exponentiële, logaritmische functie, trigonometrische en inverse trigonometrische functies.
Paginanavigatie.
Permanente functie.
Een constante functie wordt gedefinieerd op de verzameling van alle reële getallen door de formule , waarbij C een reëel getal is. Een constante functie associeert elke reële waarde van de onafhankelijke variabele x met dezelfde waarde van de afhankelijke variabele y - de waarde C. Een constante functie wordt ook wel een constante genoemd.
De grafiek van een constante functie is een rechte lijn evenwijdig aan de x-as en door het punt met coördinaten (0,C) gaan. Als voorbeeld laten we grafieken zien van constante functies y=5, y=-2 en, die in de onderstaande afbeelding respectievelijk overeenkomen met de zwarte, rode en blauwe lijnen.
Eigenschappen van een constante functie.
- Domein: de gehele reeks reële getallen.
- De constante functie is even.
- Waardebereik: set bestaande uit enkelvoud MET .
- Een constante functie is niet-stijgend en niet-dalend (daarom is hij constant).
- Het heeft geen zin om te praten over convexiteit en concaviteit van een constante.
- Er zijn geen asymptoten.
- De functie gaat door het punt (0,C) van het coördinatenvlak.
Wortel van de n-de graad.
Laten we eens kijken naar de elementaire basisfunctie, die wordt gegeven door de formule , waarbij n – natuurlijk getal, groter dan één.
Wortel van de n-de graad, n is een even getal.
Laten we beginnen met de n-de wortelfunctie voor even waarden van de wortel-exponent n.
Als voorbeeld is hier een afbeelding met afbeeldingen van functiegrafieken 
en , ze komen overeen met zwarte, rode en blauwe lijnen.
De grafieken van wortelfuncties van even graden zien er hetzelfde uit voor andere waarden van de exponent.
Eigenschappen van de n-de wortelfunctie voor zelfs n.
De n-de wortel, n, is een oneven getal.
De n-de wortelfunctie met een oneven wortel-exponent n wordt gedefinieerd op de gehele set reële getallen. Hier zijn bijvoorbeeld de functiegrafieken 
en , ze komen overeen met zwarte, rode en blauwe curven.
Voor andere oneven waarden van de wortel-exponent zullen de functiegrafieken er hetzelfde uitzien.
Eigenschappen van de n-de wortelfunctie voor oneven n.
Power-functie.
De machtsfunctie wordt gegeven door een formule van de vorm .
Laten we eens kijken naar de vorm van grafieken van een machtsfunctie en de eigenschappen van een machtsfunctie, afhankelijk van de waarde van de exponent.
Laten we beginnen met een machtsfunctie met een gehele exponent a. In dit geval hangt het uiterlijk van de grafieken van machtsfuncties en de eigenschappen van de functies af van de gelijkmatigheid of eigenaardigheid van de exponent, evenals van zijn teken. Daarom zullen we eerst machtsfuncties bekijken voor oneven positieve waarden van de exponent a, dan voor even positieve exponenten, dan voor oneven negatieve exponenten, en ten slotte voor zelfs negatieve a.
De eigenschappen van machtsfuncties met fractionele en irrationele exponenten (evenals het type grafieken van dergelijke machtsfuncties) zijn afhankelijk van de waarde van de exponent a. We zullen ze in de eerste plaats beschouwen voor a van nul tot één, ten tweede voor groter dan één, ten derde voor a van min één tot nul, ten vierde voor kleiner dan min één.
Aan het einde van dit gedeelte beschrijven we voor de volledigheid een machtsfunctie met een exponent van nul.
Machtsfunctie met oneven positieve exponent.
Laten we een machtsfunctie bekijken met een oneven positieve exponent, dat wil zeggen met a = 1,3,5,....
De onderstaande afbeelding toont grafieken van vermogensfuncties - zwarte lijn, - blauwe lijn, - rode lijn, - groene lijn. Voor a=1 geldt dat lineaire functie y=x.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een oneven positieve exponent.
Machtsfunctie met zelfs positieve exponent.
Laten we een machtsfunctie bekijken met een even positieve exponent, dat wil zeggen, voor a = 2,4,6,....
Als voorbeeld geven we grafieken van machtsfuncties – zwarte lijn, – blauwe lijn, – rode lijn. Voor a=2 geldt dat kwadratische functie, waarvan de grafiek is kwadratische parabool.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een even positieve exponent.
Machtsfunctie met oneven negatieve exponent.
Kijk naar de grafieken van de machtsfunctie voor oneven negatieve waarden van de exponent, dat wil zeggen voor a = -1, -3, -5,....
De afbeelding toont grafieken van machtsfuncties als voorbeeld: zwarte lijn, blauwe lijn, rode lijn, groene lijn. Voor a=-1 hebben we dat omgekeerde evenredigheid , waarvan de grafiek is hyperbool.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een oneven negatieve exponent.
Machtsfunctie met zelfs negatieve exponent.
Laten we verder gaan met de machtsfunctie op a=-2,-4,-6,….
De afbeelding toont grafieken van vermogensfuncties – zwarte lijn, – blauwe lijn, – rode lijn.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een even negatieve exponent.
Een machtsfunctie met een rationele of irrationele exponent waarvan de waarde groter is dan nul en kleiner dan één.
Let op! Als a een positieve breuk is met een oneven noemer, beschouwen sommige auteurs het domein van de definitie van de machtsfunctie als het interval. Er wordt bepaald dat de exponent a een onherleidbare breuk is. Nu DEFINIËREN de auteurs van veel leerboeken over algebra en het begin van analyse GEEN machtsfuncties met een exponent in de vorm van een breuk met een oneven noemer voor negatieve waarden van het argument. We zullen precies deze opvatting volgen, dat wil zeggen dat we de verzameling zullen beschouwen als de domeinen van de definitie van machtsfuncties met fractionele positieve exponenten. We raden de leerlingen aan om de mening van uw leraar over dit subtiele punt te achterhalen, om meningsverschillen te voorkomen.
Laten we een machtsfunctie bekijken met een rationele of irrationele exponent a, en .
Laten we grafieken weergeven van machtsfuncties voor a=11/12 (zwarte lijn), a=5/7 (rode lijn), (blauwe lijn), a=2/5 (groene lijn).
Een machtsfunctie met een niet-geheel getal rationele of irrationele exponent groter dan één.
Laten we een machtsfunctie bekijken met een niet-geheel getal rationele of irrationele exponent a, en .
Laten we grafieken weergeven van machtsfuncties gegeven door de formules 
(respectievelijk zwarte, rode, blauwe en groene lijnen).
Voor andere waarden van de exponent a zullen de grafieken van de functie er hetzelfde uitzien.
Eigenschappen van de machtsfunctie bij .
Een machtsfunctie met een reële exponent die groter is dan min één en kleiner dan nul.
Let op! Als a een negatieve breuk is met een oneven noemer, beschouwen sommige auteurs het domein van de definitie van een machtsfunctie als het interval 
. Er wordt bepaald dat de exponent a een onherleidbare breuk is. Nu DEFINIËREN de auteurs van veel leerboeken over algebra en het begin van analyse GEEN machtsfuncties met een exponent in de vorm van een breuk met een oneven noemer voor negatieve waarden van het argument. We zullen precies deze opvatting volgen, dat wil zeggen dat we de domeinen van de definitie van machtsfuncties met fractionele fractionele negatieve exponenten respectievelijk als een verzameling zullen beschouwen. We raden de leerlingen aan om de mening van uw leraar over dit subtiele punt te achterhalen, om meningsverschillen te voorkomen.
Laten we verder gaan met de machtsfunctie, kgod.
Om een goed beeld te krijgen van de vorm van grafieken van machtsfuncties voor , geven we voorbeelden van grafieken van functies 
(respectievelijk zwarte, rode, blauwe en groene curven).
Eigenschappen van een machtsfunctie met exponent a, .
Een machtsfunctie met een niet-gehele reële exponent die kleiner is dan min één.
Laten we voorbeelden geven van grafieken van machtsfuncties voor 
worden ze weergegeven met respectievelijk zwarte, rode, blauwe en groene lijnen.
Eigenschappen van een machtsfunctie met een niet-gehele negatieve exponent kleiner dan min één.
Wanneer a = 0 en we hebben een functie - dit is een rechte lijn waarvan het punt (0;1) wordt uitgesloten (er werd overeengekomen om geen enkele betekenis te hechten aan de uitdrukking 0 0).
Exponentiële functie.
Een van de belangrijkste elementaire functies is de exponentiële functie.
De grafiek van de exponentiële functie, waar en neemt ander soort afhankelijk van de waarde van grondtal a. Laten we dit uitzoeken.
Beschouw eerst het geval waarin de basis van de exponentiële functie een waarde van nul tot één aanneemt, dat wil zeggen .
Als voorbeeld presenteren we grafieken van de exponentiële functie voor a = 1/2 – blauwe lijn, a = 5/6 – rode lijn. De grafieken van de exponentiële functie zien er hetzelfde uit voor andere waarden van de basis uit het interval.
Eigenschappen van een exponentiële functie met een grondtal kleiner dan één.
Laten we verder gaan met het geval waarin de basis van de exponentiële functie groter is dan één, dat wil zeggen .
Ter illustratie presenteren we grafieken van exponentiële functies - blauwe lijn en - rode lijn. Voor andere waarden van de basis groter dan één zullen de grafieken van de exponentiële functie er hetzelfde uitzien.
Eigenschappen van een exponentiële functie met een grondtal groter dan één.
Logaritmische functie.
De volgende elementaire basisfunctie is de logaritmische functie, waarbij , . De logaritmische functie is alleen gedefinieerd voor positieve waarden argument, dat wil zeggen op .
Schema logaritmische functie neemt verschillende vormen aan, afhankelijk van de waarde van grondtal a.
Laten we eerst de definitie van een exponentiële functie introduceren.
Exponentiële functie $f\left(x\right)=a^x$, waarbij $a >1$.
Laten we de eigenschappen van de exponentiële functie voor $a >1$ introduceren.
\ \[geen wortels\] \
Snijpunt met coördinaatassen. De functie snijdt de as $Ox$ niet, maar snijdt de as $Oy$ in het punt $(0,1)$.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \[geen wortels\] \
Grafiek (Fig. 1).
Figuur 1. Grafiek van de functie $f\left(x\right)=a^x,\ voor\ a >1$.
Exponentiële functie $f\left(x\right)=a^x$, waarbij $0
Laten we de eigenschappen van de exponentiële functie introduceren, op $0
Het domein van definitie bestaat uit alle reële getallen.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- de functie is noch even noch oneven.
$f(x)$ is continu over het gehele definitiedomein.
Het bereik van waarden is het interval $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \[geen wortels\] \ \[geen wortels\] \
De functie is convex over het gehele definitiedomein.
Gedrag aan de uiteinden van het domein:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafiek (Fig. 2).
Een voorbeeld van een probleem om een exponentiële functie te construeren
Onderzoek en plot de functie $y=2^x+3$.
Oplossing.
Laten we een onderzoek uitvoeren met behulp van het bovenstaande voorbeelddiagram:
Het domein van definitie bestaat uit alle reële getallen.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- de functie is noch even noch oneven.
$f(x)$ is continu over het gehele definitiedomein.
Het bereik van waarden is het interval $(3,+\infty)$.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
De functie neemt toe over het gehele definitiedomein.
$f(x)\ge 0$ in het hele definitiedomein.
Snijpunt met coördinaatassen. De functie snijdt de as $Ox$ niet, maar snijdt de as $Oy$ op het punt ($0,4)$
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
De functie is convex over het gehele definitiedomein.
Gedrag aan de uiteinden van het domein:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafiek (Fig. 3).
Figuur 3. Grafiek van de functie $f\left(x\right)=2^x+3$
1. Een exponentiële functie is een functie van de vorm y(x) = a x, afhankelijk van de exponent x, met een constante waarde van het grondtal van de graad a, waarbij a > 0, a ≠ 0, xϵR (R is de verzameling reële getallen).
Laten we eens overwegen grafiek van de functie als de basis niet voldoet aan de voorwaarde: a>0
een) een< 0
Als een< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
een = -2
Als a = 0, is de functie y = gedefinieerd en heeft deze een constante waarde van 0
c) een =1
Als a = 1, is de functie y = gedefinieerd en heeft deze een constante waarde van 1
Functiedomein (DOF) Bereik van toegestane functiewaarden (APV) 3. Nullen van de functie (y = 0) 4. Snijpunten met de ordinaat oy (x = 0) 5. Toenemende, afnemende functies Als , dan neemt de functie f(x) toe 6. Even, oneven functie De functie y = is niet symmetrisch ten opzichte van de 0y-as en ten opzichte van de oorsprong, en is daarom noch even noch oneven. (Algemene functie) 7. De functie y = heeft geen extremen 8. Eigenschappen van een graad met een reële exponent: Laat a > 0; a≠1 Dan voor xϵR; yϵR: Eigenschappen van mate monotoniciteit: als, dan Als a> 0, dan . 9. Relatieve positie van de functie Hoe groter de basis a, hoe dichter bij de assen x en oy a > 1, a = 20 Voorbeeld 1. 
2. Laten we de exponentiële functie eens nader bekijken:
0
Als , dan neemt de functie f(x) af
Functie y= , bij 0
Dit volgt uit de eigenschappen van monotoniciteit van een macht met een reële exponent.
b> 0; b≠1
Bijvoorbeeld:
De exponentiële functie is continu op elk punt ϵ R.
Als a0, dan heeft de exponentiële functie een vorm die dicht bij y = 0 ligt.
Als a1, dan verder van de ox- en oy-assen verwijderd, neemt de grafiek een vorm aan die dicht bij de functie y = 1 ligt.
Construeer een grafiek van y =
