Regels voor het openen van haakjes in een vergelijking bij vermenigvuldigen. Als bijlesdocent wiskunde geeft het onderwerp "vermenigvuldiging van veeltermen"

Uitbreiding van haakjes is een type expressietransformatie. In dit gedeelte zullen we de regels voor het uitbreiden van haakjes beschrijven en de meest voorkomende voorbeelden van problemen in overweging nemen.

Yandex.RTB RA-339285-1

Wat is uitbreiding van haakjes?

Haakjes worden gebruikt om de volgorde aan te geven waarin acties worden uitgevoerd in numerieke en alfabetische uitdrukkingen, evenals in uitdrukkingen met variabelen. Het is handig om van een uitdrukking met haakjes over te gaan naar een identiek gelijke uitdrukking zonder haakjes. Vervang bijvoorbeeld de uitdrukking 2 (3 + 4) door een uitdrukking zoals 2 3 + 2 4 zonder haakjes. Deze techniek wordt het openen van haakjes genoemd.

Definitie 1

Onder het openen van haakjes bedoelen we de methoden om haakjes te verwijderen en worden meestal beschouwd in relatie tot uitdrukkingen die kunnen bevatten:

• tekent "+" of "-" voor haakjes die sommen of verschillen bevatten;
• het product van een getal, letter of meerdere letters, en de som of het verschil tussen haakjes.

Zo beschouwden we het proces van het openen van haakjes in de loop van het schoolcurriculum. Niemand belet ons echter om deze actie breder te bekijken. We kunnen de uitbreiding van haakjes de overgang noemen van een uitdrukking die negatieve getallen tussen haakjes bevat naar een uitdrukking die geen haakjes heeft. We kunnen bijvoorbeeld van 5 + (− 3) (− 7) naar 5 − 3 + 7 gaan. In feite is dit ook uitbreiding van haakjes.

Op dezelfde manier kunnen we het product van uitdrukkingen tussen haakjes van de vorm (a + b) · (c + d) vervangen door de som a · c + a · d + b · c + b · d . Deze techniek is ook niet in tegenspraak met de betekenis van de uitbreiding van haakjes.

Hier is nog een voorbeeld. We kunnen aannemen dat in uitdrukkingen, in plaats van getallen en variabelen, alle uitdrukkingen kunnen worden gebruikt. De uitdrukking x 2 1 a - x + sin (b) komt bijvoorbeeld overeen met een uitdrukking zonder haakjes van de vorm x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Nog een punt verdient speciale aandacht, namelijk de eigenaardigheden van schrijfoplossingen bij het openen van haakjes. We kunnen de initiële uitdrukking met haakjes schrijven en het resultaat dat wordt verkregen na het openen van de haakjes als gelijkheid. Bijvoorbeeld, na het openen van de haakjes, in plaats van de uitdrukking 3 − (5 − 7) we krijgen de uitdrukking 3 − 5 + 7 . We kunnen beide uitdrukkingen schrijven als de gelijkheid 3 − (5 7) = 3 − 5 + 7 .

Voor het uitvoeren van handelingen met omslachtige uitdrukkingen kan het nodig zijn tussentijdse resultaten vast te leggen. Dan krijgt de oplossing de vorm van een keten van gelijkheden. Bijvoorbeeld, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 of 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Regels voor het openen van haakjes, voorbeelden

Laten we beginnen met de regels voor het openen van haakjes.

Enkele cijfers tussen haakjes

Negatieve getallen tussen haakjes komen vaak voor in uitdrukkingen. Bijvoorbeeld (− 4) en 3 + (− 4) . Positieve getallen tussen haakjes komen ook voor.

Laten we de regel formuleren voor het openen van haakjes die enkele positieve getallen bevatten. Stel dat a een willekeurig positief getal is. Dan kunnen we (a) vervangen door a, + (a) door + a, - (a) door - a. Als we in plaats van a een specifiek getal nemen, dan wordt volgens de regel: het getal (5) geschreven als 5 , zal de uitdrukking 3 + (5) zonder haakjes de vorm aannemen 3 + 5 , aangezien + (5) wordt vervangen door + 5 , en de uitdrukking 3 + (− 5) is gelijk aan de uitdrukking 3 − 5 , omdat + (− 5) is vervangen door − 5 .

Positieve getallen worden meestal zonder haakjes geschreven, omdat de haakjes in dit geval overbodig zijn.

Overweeg nu de regel voor het openen van haakjes die een enkele bevatten een negatief getal. + (−a) we vervangen door een, − (− a) wordt vervangen door + a . Als de uitdrukking begint met een negatief getal (-a), die tussen haakjes staat, dan worden de haakjes weggelaten en in plaats van (-a) stoffelijk overschot een.

Hier zijn enkele voorbeelden: (− 5) kan worden geschreven als − 5 , (− 3) + 0 , 5 wordt − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) wordt 4 − 3 , en − (− 4) − (− 3) na het openen van de haakjes heeft de vorm 4 + 3 , aangezien − (− 4) en − (− 3) wordt vervangen door + 4 en + 3 .

Het moet duidelijk zijn dat de uitdrukking 3 · (− 5) niet kan worden geschreven als 3 · − 5. Dit zal in de volgende paragrafen worden besproken.

Laten we eens kijken waar de regels voor het uitbreiden van haakjes op zijn gebaseerd.

Volgens de regel is het verschil a b gelijk aan a + (− b) . Op basis van de eigenschappen van acties met getallen kunnen we een keten van gelijkheden maken (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a wat eerlijk zal zijn. Deze keten van gelijkheden, op grond van de betekenis van aftrekken, bewijst dat de uitdrukking a + (− b) het verschil is a-b.

Op basis van de eigenschappen van tegengestelde getallen en de regels voor het aftrekken van negatieve getallen, kunnen we stellen dat − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Er zijn uitdrukkingen die bestaan ​​uit een getal, mintekens en meerdere paar haakjes. Door de bovenstaande regels te gebruiken, kunt u de haakjes achtereenvolgens verwijderen, van de binnenste naar de buitenste of omgekeerd. Een voorbeeld van zo'n uitdrukking is − (− ((− (5)))) . Laten we de haakjes openen en van binnen naar buiten gaan: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Dit voorbeeld kan ook omgekeerd worden geparseerd: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Onder a en b kan niet alleen worden opgevat als getallen, maar ook als willekeurige numerieke of letterlijke uitdrukkingen met een "+" ervoor die geen sommen of verschillen zijn. In al deze gevallen kunt u de regels op dezelfde manier toepassen als bij enkele cijfers tussen haakjes.

Bijvoorbeeld, na het openen van de haakjes, wordt de uitdrukking − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) heeft de vorm 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Hoe hebben we het gedaan? We weten dat − (− 2 x) is + 2 x , en aangezien deze uitdrukking eerst komt, kan + 2 x worden geschreven als 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x en − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

In de producten van twee getallen

Laten we beginnen met de regel voor het uitbreiden van haakjes in het product van twee getallen.

Laten we doen alsof a en b zijn twee positieve getallen. In dit geval is het product van twee negatieve getallen een en − b van de vorm (− a) (− b) kan worden vervangen door (a b) , en de producten van twee getallen met tegengestelde tekens van de vorm (− a) b en a (− b) kunnen worden vervangen door (− a b). Een min vermenigvuldigen met een min geeft een plus, en een min vermenigvuldigen met een plus, zoals een plus vermenigvuldigen met een min, geeft een min.

De juistheid van het eerste deel van de schriftelijke regel wordt bevestigd door de regel voor het vermenigvuldigen van negatieve getallen. Om het tweede deel van de regel te bevestigen, kunnen we de regels voor het vermenigvuldigen van getallen gebruiken met verschillende tekens.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

voorbeeld 1

Beschouw het algoritme voor het openen van haakjes in het product van twee negatieve getallen - 4 3 5 en - 2 , van de vorm (- 2) · - 4 3 5 . Om dit te doen, vervangen we de oorspronkelijke uitdrukking door 2 · 4 3 5 . Laten we de haakjes uitbreiden en 2 · 4 3 5 krijgen.

En als we het quotiënt van negatieve getallen (− 4) : (− 2) nemen, dan ziet het record er na het openen van de haakjes uit als 4: 2

In plaats van negatieve getallen een en − b kunnen alle uitdrukkingen zijn met een leidend minteken die geen sommen of verschillen zijn. Dit kunnen bijvoorbeeld producten, delen, breuken, machten, wortels, logaritmen, goniometrische functies, enz. zijn.

Laten we de haakjes openen in de uitdrukking - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Volgens de regel kunnen we de volgende transformaties maken: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Uitdrukking (− 3) 2 kan worden omgezet in de uitdrukking (− 3 2) . Daarna kunt u de haakjes openen: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Het delen van getallen met verschillende tekens kan ook de voorlopige uitbreiding van haakjes vereisen: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 en 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

De regel kan worden gebruikt om uitdrukkingen met verschillende tekens te vermenigvuldigen en te delen. Laten we twee voorbeelden geven.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

zonde (x) (- x 2) \u003d (- zonde (x) x 2) \u003d - zonde (x) x 2

In de producten van drie of meer getallen

Laten we verder gaan met producten en quotiënten, die een groter aantal getallen bevatten. Voor uitbreidende haakjes geldt hier de volgende regel. Bij een even aantal negatieve getallen kunt u de haakjes weglaten en de getallen vervangen door hun tegengestelden. Daarna moet u de resulterende uitdrukking tussen nieuwe haakjes plaatsen. Voor een oneven aantal negatieve getallen, waarbij de haakjes worden weggelaten, vervang je de getallen door hun tegengestelden. Daarna moet de resulterende uitdrukking tussen nieuwe haakjes worden geplaatst en er een minteken voor worden geplaatst.

Voorbeeld 2

Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking 5 · (− 3) · (− 2) nemen, wat het product is van drie getallen. Er zijn twee negatieve getallen, dus we kunnen de uitdrukking schrijven als (5 3 2) en open vervolgens de haakjes om de uitdrukking 5 3 2 te krijgen.

In het product (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) zijn vijf getallen negatief. dus (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Als we eindelijk de haakjes openen, krijgen we −2.5 3:2 4::1.25:1.

Bovenstaande regel kan als volgt worden gemotiveerd. Ten eerste kunnen we dergelijke uitdrukkingen herschrijven als een product, waarbij deling wordt vervangen door vermenigvuldiging met het omgekeerde. We stellen elk negatief getal voor als het product van een vermenigvuldiger en vervangen - 1 of - 1 door (− 1) een.

Met behulp van de commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging, wisselen we de factoren om en dragen we alle factoren over naar − 1 , naar het begin van de uitdrukking. Het product van een even getal min enen is gelijk aan 1, en een oneven getal is gelijk aan − 1 , waarmee we het minteken kunnen gebruiken.

Als we de regel niet zouden gebruiken, zou de reeks acties voor het openen van haakjes in de uitdrukking - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 er als volgt uitzien:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

De bovenstaande regel kan worden gebruikt bij het uitbreiden van haakjes in uitdrukkingen die producten zijn en quotiënten met een minteken die geen sommen of verschillen zijn. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking

x 2 (- x) : (- 1 x) x - 3: 2 .

Het kan worden teruggebracht tot een uitdrukking zonder haakjes x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Haakjes openen voorafgegaan door een + teken

Overweeg een regel die kan worden toegepast om haakjes uit te breiden die worden voorafgegaan door een plusteken en de "inhoud" van die haakjes wordt niet vermenigvuldigd of gedeeld door een getal of uitdrukking.

Volgens de regel worden haakjes samen met het teken ervoor weggelaten, terwijl de tekens van alle termen tussen haakjes behouden blijven. Als er geen teken voor de eerste term tussen haakjes staat, moet u een plusteken plaatsen.

Voorbeeld 3

We geven bijvoorbeeld de uitdrukking (12 − 3 , 5) − 7 . Door de haakjes weg te laten, houden we de tekens van de termen tussen de haakjes en zetten we een plusteken voor de eerste term. De invoer ziet eruit als (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . In het bovenstaande voorbeeld is het niet nodig om een ​​teken voor de eerste term te plaatsen, aangezien + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Voorbeeld 4

Laten we nog een voorbeeld bekijken. Neem de uitdrukking x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x en voer er acties mee uit x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Hier is nog een voorbeeld van het uitbreiden van haakjes:

Voorbeeld 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Hoe haakjes uit te breiden die worden voorafgegaan door een minteken

Overweeg gevallen waarin er een minteken voor de haakjes staat en die niet worden vermenigvuldigd (of gedeeld) met een getal of uitdrukking. Volgens de regel voor het uitbreiden van haakjes voorafgegaan door het teken "-", worden de haakjes met het teken "-" weggelaten, terwijl de tekens van alle termen binnen de haakjes worden omgekeerd.

Voorbeeld 6

Bijvoorbeeld:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Variabele expressies kunnen met dezelfde regel worden geconverteerd:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

we krijgen x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Haakjes openen bij het vermenigvuldigen van een getal met een haakje, uitdrukkingen met een haakje

Hier zullen we gevallen beschouwen waarin het nodig is om haakjes te openen die worden vermenigvuldigd of gedeeld door een getal of uitdrukking. Hier formules van de vorm (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) of b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), waar een 1 , een 2 , … , een n en b zijn enkele getallen of uitdrukkingen.

Voorbeeld 7

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitbreiden (3 − 7) 2. Volgens de regel kunnen we de volgende transformaties maken: (3 7) 2 = (3 2 − 7 2) . We krijgen 3 · 2 − 7 · 2 .

Als we de haakjes in de uitdrukking 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 uitbreiden, krijgen we 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Een haakje vermenigvuldigen met een haakje

Beschouw het product van twee haakjes van de vorm (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Dit zal ons helpen een regel te krijgen voor het uitbreiden van haakjes bij het vermenigvuldigen van een haakje met een haakje.

Om het bovenstaande voorbeeld op te lossen, geven we de uitdrukking (b1 + b2) zoals b. Dit stelt ons in staat om de regel voor vermenigvuldiging van haakjes en uitdrukkingen te gebruiken. We krijgen (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Door een omgekeerde vervanging uit te voeren b op (b 1 + b 2), pas opnieuw de regel toe voor het vermenigvuldigen van de uitdrukking met het haakje: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Dankzij een aantal simpele trucjes komen we tot de som van de producten van elk van de termen uit het eerste haakje en elk van de termen uit het tweede haakje. De regel kan worden uitgebreid tot een willekeurig aantal termen tussen haakjes.

Laten we de regels formuleren voor het vermenigvuldigen van haakjes met haakjes: om twee sommen onderling te vermenigvuldigen, is het noodzakelijk om elk van de termen van de eerste som te vermenigvuldigen met elk van de termen van de tweede som en de resultaten op te tellen.

De formule ziet er als volgt uit:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + een 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . een m b n

Laten we de haakjes in de uitdrukking uitbreiden (1 + x) · (x 2 + x + 6) Het is een product van twee sommen. Laten we de oplossing schrijven: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Afzonderlijk is het de moeite waard om stil te staan ​​​​bij die gevallen waarin er een minteken tussen haakjes staat, samen met plustekens. Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) nemen.

Eerst geven we de uitdrukkingen tussen haakjes weer als sommen: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Nu kunnen we de regel toepassen: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Laten we de haakjes uitbreiden: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Uitbreiding van haakjes in producten van verschillende haakjes en uitdrukkingen

Als er drie of meer uitdrukkingen tussen haakjes in de uitdrukking staan, is het noodzakelijk om de haakjes opeenvolgend uit te breiden. Het is noodzakelijk om de transformatie te beginnen met het feit dat de eerste twee factoren tussen haakjes staan. Binnen deze haakjes kunnen we transformaties uitvoeren volgens de hierboven besproken regels. Bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

De uitdrukking bevat drie factoren tegelijk (2 + 4) , 3 en (5 + 7 8) . We zullen de haakjes opeenvolgend uitbreiden. We plaatsen de eerste twee factoren tussen nog één haakjes, die we voor de duidelijkheid rood maken: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Volgens de regel van het vermenigvuldigen van een haakje met een getal, kunnen we de volgende acties uitvoeren: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Haakje met haakje vermenigvuldigen: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Haakjes in natura

Machten waarvan de bases enkele uitdrukkingen zijn die tussen haakjes zijn geschreven, met natuurlijke indicatoren kan worden gezien als een product van verschillende haakjes. Bovendien kunnen ze volgens de regels uit de twee vorige paragrafen zonder deze haakjes worden geschreven.

Overweeg het proces van het transformeren van de uitdrukking (a + b + c) 2 . Het kan worden geschreven als een product van twee haakjes (a + b + c) (a + b + c). We vermenigvuldigen haakje voor haakje en krijgen a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Laten we nog een voorbeeld nemen:

Voorbeeld 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Een haakje delen door een getal en een haakje door een haakje

Als u een haakje deelt door een getal, betekent dit dat u alle termen tussen haakjes moet delen door het getal. Bijvoorbeeld (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Delen kan eerder worden vervangen door vermenigvuldigen, waarna u kunt gebruiken geschikte regel haakjes openen in een werk. Dezelfde regel is van toepassing bij het delen van een haakje door een haakje.

We moeten bijvoorbeeld de haakjes openen in de uitdrukking (x + 2) : 2 3 . Vervang hiervoor eerst de deling door te vermenigvuldigen met het omgekeerde van (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Vermenigvuldig de haak met het getal (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Hier is nog een voorbeeld van de verdeling tussen haakjes:

Voorbeeld 9

1x + x + 1: (x + 2) .

Laten we delen vervangen door vermenigvuldigen: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Laten we de vermenigvuldiging doen: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Bestelling uitbreidingsbestelling

Overweeg nu de volgorde van toepassing van de hierboven besproken regels in de uitdrukkingen algemeen beeld, d.w.z. in uitdrukkingen die sommen met verschillen bevatten, producten met quotiënten, haakjes in natura.

De volgorde van acties:

• de eerste stap is om de haakjes te verheffen tot een natuurlijke macht;
• in de tweede fase worden haakjes geopend in werken en privé;
• de laatste stap is het openen van de haakjes in de sommen en verschillen.

Laten we de volgorde van acties bekijken aan de hand van het voorbeeld van de uitdrukking (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Laten we transformeren van de uitdrukkingen 3 (− 2) : (− 4) en 6 (− 7) , die de vorm moeten aannemen (3 2:4) en (− 6 7) . Als we de verkregen resultaten in de oorspronkelijke uitdrukking substitueren, krijgen we: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Vouw de haakjes uit: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Bij uitdrukkingen die haakjes tussen haakjes bevatten, is het handig om transformaties van binnenuit uit te voeren.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

In deze video bekijken we de hele set. lineaire vergelijkingen, die worden opgelost door hetzelfde algoritme - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we om te beginnen definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke moet de eenvoudigste worden genoemd?

Een lineaire vergelijking is er een waarin er slechts één variabele is, en alleen in de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden teruggebracht tot de eenvoudigste met behulp van het algoritme:

1. Open haakjes, indien aanwezig;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder een variabele naar de andere;
3. Breng gelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$ .

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Als u bijvoorbeeld iets krijgt als $0\cdot x=8$, d.w.z. aan de linkerkant is nul, en aan de rechterkant is een niet-nul getal. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing is alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is vrij logisch dat het niet uitmaakt welke $ x $ we vervangen, het zal nog steeds blijken te zijn "nul is gelijk aan nul", d.w.z. juiste numerieke gelijkheid.

En laten we nu eens kijken hoe het allemaal werkt aan de hand van het voorbeeld van echte problemen.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Vandaag hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. In het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen naar de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet u de eventuele haakjes openen (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Breng dan soortgelijke
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. alles wat verband houdt met de variabele - de termen waarin het is opgenomen - wordt naar de ene kant overgebracht, en alles wat er zonder is, wordt naar de andere kant overgebracht.

Dan moet je in de regel aan elke kant van de resulterende gelijkheid vergelijkbaar zijn, en daarna blijft het alleen om te delen door de coëfficiënt bij "x", en we zullen het definitieve antwoord krijgen.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het tellen van "plussen" en "minnen".

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten analyseren in de les van vandaag. Maar we beginnen, zoals je al begreep, met de eenvoudigste taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me om te beginnen nogmaals het hele schema schrijven voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. Sluit variabelen af, d.w.z. alles dat "x" bevat, wordt naar de ene kant overgebracht en zonder "x" naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt bij "x".

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd, het heeft bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak 1

In de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar in dit voorbeeld staan ​​ze niet, dus slaan we over dit stadium. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Opmerking: we zijn aan het praten alleen over individuele termen. Laten we schrijven:

We geven links en rechts soortgelijke termen, maar dat is hier al gedaan. Daarom gaan we naar de vierde stap: delen door een factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Hier hebben we het antwoord.

Taak #2

In deze taak kunnen we de haakjes observeren, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer dezelfde constructie, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. sekwester variabelen:

Hier zijn enkele zoals:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor elk. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak #3

De derde lineaire vergelijking is al interessanter:

\[\links(6-x \rechts)+\links(12+x \rechts)-\links(3-2x \rechts)=15\]

Er zijn hier verschillende haakjes, maar ze zijn met niets vermenigvuldigd, ze hebben alleen verschillende tekens ervoor. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die al bij ons bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we berekenen:

We voeren de laatste stap uit - we delen alles door de coëfficiënt bij "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kan er nul tussen komen - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de rest, je moet het op de een of andere manier niet discrimineren of aannemen dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met de uitbreiding van haakjes. Let op: als er een "min" voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen volgens standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen hebben gezien.

Dit begrijpen simpel feit zal je ervan weerhouden domme en pijnlijke fouten te maken op de middelbare school als zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu worden de constructies ingewikkelder en verschijnt er een kwadratische functie bij het uitvoeren van verschillende transformaties. Je moet hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens de bedoeling van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten noodzakelijkerwijs worden verminderd.

Voorbeeld 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu privacy nemen:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus in het antwoord schrijven we als volgt:

\[\verscheidenheid \]

of geen wortels.

Voorbeeld #2

We voeren dezelfde stappen uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder - naar rechts:

Hier zijn enkele zoals:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus we schrijven het als volgt:

\[\varniets\],

of geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met het voorbeeld van deze twee uitdrukkingen hebben we er opnieuw voor gezorgd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles niet zo eenvoudig kan zijn: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, in beide zijn er gewoon geen wortels.

Maar ik wil uw aandacht vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat u begint, moet u alles vermenigvuldigen met "x". Let op: vermenigvuldigen elke individuele term. Binnen zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en is vermenigvuldigd.

En pas nadat deze schijnbaar elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kan het haakje worden geopend vanuit het oogpunt dat er een minteken achter staat. Ja, ja: alleen nu, als de transformaties klaar zijn, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles naar beneden gewoon van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de beugels zelf en, belangrijker nog, de voorste "min" verdwijnt ook.

We doen hetzelfde met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht schenk aan deze kleine, schijnbaar onbeduidende feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om duidelijke en competente eenvoudige handelingen uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren bij mij komen en zulke eenvoudige vergelijkingen opnieuw leren oplossen.

Natuurlijk komt er een dag dat je deze vaardigheden gaat aanscherpen tot automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren, je schrijft alles op één regel. Maar terwijl u net aan het leren bent, moet u elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave genoemd worden, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak 1

\[\links(7x+1 \rechts)\links(3x-1 \rechts)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we een retraite doen:

Hier zijn enkele zoals:

Laten we de laatste stap doen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons laatste antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, vernietigden ze elkaar, wat de vergelijking precies lineair maakt, niet vierkant.

Taak #2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap voorzichtig doen: vermenigvuldig elk element in het eerste haakje met elk element in het tweede. In totaal zouden na transformaties vier nieuwe termen moeten worden verkregen:

En voer nu zorgvuldig de vermenigvuldiging uit in elke term:

Laten we de termen met "x" naar links verplaatsen en zonder - naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben een definitief antwoord gekregen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is deze: zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van haakjes waarin meer dan een term staat, dan gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element van het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element van het tweede. Als resultaat krijgen we vier termen.

Op de algebraïsche som

Met het laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $ 1-7 $: simpel ontwerp: Trek zeven af ​​van één. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal "een" voegen we een ander getal toe, namelijk "min zeven". Deze algebraïsche som verschilt van de gebruikelijke rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging, constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven constructies, zul je eenvoudigweg geen problemen hebben in de algebra bij het werken met veeltermen en vergelijkingen.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan degene die we zojuist hebben bekeken, en om ze op te lossen, zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen oplossen met een breuk

Om dergelijke taken op te lossen, moet er nog een stap aan ons algoritme worden toegevoegd. Maar eerst zal ik ons ​​algoritme eraan herinneren:

1. Haakjes openen.
2. Aparte variabelen.
3. Gelijkaardig meenemen.
4. Deel door een factor.

Helaas is dit prachtige algoritme, ondanks al zijn efficiëntie, niet helemaal geschikt als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we een breuk links en rechts in beide vergelijkingen.

Hoe te werk in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet u nog een stap aan het algoritme toevoegen, die zowel vóór de eerste actie als daarna kan worden uitgevoerd, namelijk om breuken kwijt te raken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Haakjes openen.
3. Aparte variabelen.
4. Gelijkaardig meenemen.
5. Deel door een factor.

Wat betekent het om "van breuken af ​​te komen"? En waarom is het mogelijk om dit zowel na als voor de eerste standaardstap te doen? In ons geval zijn in feite alle breuken numeriek in termen van de noemer, d.w.z. overal is de noemer slechts een getal. Daarom, als we beide delen van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken verwijderen.

Voorbeeld 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking weglaten:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot vier\]

Let op: alles wordt een keer vermenigvuldigd met "vier", d.w.z. alleen omdat je twee haakjes hebt, wil nog niet zeggen dat je ze allemaal met "vier" moet vermenigvuldigen. Laten we schrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we het nu openen:

We voeren afzondering van een variabele uit:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, we gaan door naar de tweede vergelijking.

Voorbeeld #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probleem opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten:

De belangrijkste bevindingen zijn als volgt:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt, hoogstwaarschijnlijk in het proces van verdere transformaties, ze zullen worden verminderd.
• De wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste, zijn van drie soorten: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel, er zijn helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als er iets niet duidelijk is, ga dan naar de site, los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Blijf ons volgen, er wachten nog veel meer interessante dingen op je!

Ik vervolg een reeks methodologische artikelen over het onderwerp onderwijs. Het is tijd om de functies te overwegen individueel werk wiskunde bijles met leerlingen van groep 7. Met veel plezier zal ik mijn gedachten delen over de presentatievormen van een van de belangrijkste onderwerpen van de algebracursus in de 7e klas - "haakjes openen". Laten we, om niet te proberen de onmetelijkheid te omarmen, stoppen bij de beginfase en de methodologie van de docent analyseren voor het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom. Hoe wiskundeleraar werkt in moeilijke situaties zwakke leerling neemt niet waar klassieke vorm uitleg? Welke taken moeten worden voorbereid voor een sterke zevendeklasser? Laten we eens kijken naar deze en andere vragen.

Het lijkt erop, nou, wat is er zo moeilijk? "Haakjes zijn gemakkelijk", zal elke goede student zeggen. “Er is een distributieve wet en eigenschappen van graden voor het werken met monomials, een algemeen algoritme voor een willekeurig aantal termen. Vermenigvuldig elk met elk en breng iets dergelijks mee. Niet alles is echter zo eenvoudig in het werken met de achterstand. Ondanks de inspanningen van de wiskundeleraar slagen studenten erin om fouten van verschillende kalibers te maken, zelfs bij de eenvoudigste transformaties. De aard van de fouten valt op in hun diversiteit: van kleine weglatingen van letters en tekens tot ernstige doodlopende "stopfouten".

Wat verhindert de student om de transformaties correct uit te voeren? Waarom is er een misverstand?

Er zijn een groot aantal individuele problemen, en een van de belangrijkste obstakels voor het beheersen en consolideren van het materiaal is de moeilijkheid om tijdig en snel van aandacht te wisselen, de moeilijkheid om een ​​grote hoeveelheid informatie te verwerken. Het lijkt misschien vreemd voor iemand dat ik het over een groot volume heb, maar een zwakke leerling van de 7e klas heeft misschien niet genoeg geheugen en aandachtsbronnen, zelfs niet voor vier semesters. Coëfficiënten, variabelen, graden (indicatoren) interfereren. De student verwart de volgorde van bewerkingen, vergeet welke monomials al zijn vermenigvuldigd en welke onaangeroerd zijn gebleven, kan zich niet herinneren hoe ze zijn vermenigvuldigd, enz.

De numerieke benadering van de wiskundeleraar

Natuurlijk moet je beginnen met een uitleg van de logica van het bouwen van het algoritme zelf. Hoe je dat doet? We moeten de taak instellen: hoe de volgorde van acties in de uitdrukking te veranderen? zonder het resultaat te veranderen? Ik geef heel vaak voorbeelden die de werking van bepaalde regels op specifieke getallen uitleggen. En dan vervang ik ze door letters. De techniek voor het gebruik van de numerieke benadering zal hieronder worden beschreven.

Motivatieproblemen.
Aan het begin van de les is het moeilijk voor een wiskundeleraar om een ​​student bij elkaar te krijgen als hij de relevantie van wat er wordt bestudeerd niet begrijpt. In het kader van het programma voor de groepen 6-7 is het moeilijk om voorbeelden te vinden van het gebruik van de veelterm-vermenigvuldigingsregel. Ik zou de noodzaak om te leren benadrukken de volgorde van acties in uitdrukkingen wijzigen Het feit dat dit helpt om problemen op te lossen, moet de student weten uit de ervaring van het toevoegen van soortgelijke termen. Hij moest ze ook toevoegen bij het oplossen van vergelijkingen. Bijvoorbeeld, in 2x+5x+13=34 gebruikt hij die 2x+5x=7x. Een wiskundeleraar hoeft alleen maar de aandacht van de leerling hierop te richten.

Wiskundeleraren noemen de openingstechniek tussen haakjes vaak fontein regel.

Deze afbeelding wordt goed onthouden en moet worden gebruikt. Maar hoe wordt deze regel bewezen? Denk aan de klassieke vorm met behulp van voor de hand liggende identiteitstransformaties:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Het is moeilijk voor een wiskundeleraar om hier iets over te zeggen. De brieven spreken voor zich. En een sterke leerling van groep 7 heeft geen gedetailleerde uitleg nodig. Maar wat te doen met de zwakken, die in wezen geen inhoud zien in deze "alfabetische mengelmoes"?

Het belangrijkste probleem dat de perceptie van de klassieke wiskundige rechtvaardiging van de "fontein" belemmert, is de ongebruikelijke vorm van het schrijven van de eerste factor. Noch in het 5de leerjaar, noch in het 6de leerjaar moest de student de eerste haakje naar elk semester van het tweede slepen. Kinderen behandelden alleen getallen (coëfficiënten), meestal links van de haakjes, bijvoorbeeld:

Tegen het einde van het 6e leerjaar heeft de student een visueel beeld van het object gevormd - een bepaalde combinatie van tekens (acties) geassocieerd met haakjes. En elke afwijking van de gebruikelijke kijk op iets nieuws kan een zevende klasser desoriënteren. Het is het visuele beeld van het "getal + haakje"-paar dat de wiskundedocent in omloop brengt bij het uitleggen.

De volgende uitleg kan worden gegeven. De tutor stelt: "Als er een getal voor de haak stond, bijvoorbeeld 5, dan zouden we kunnen" de handelwijze veranderen in deze uitdrukking? Natuurlijk. Laten we het dan doen . Bedenk of het resultaat zal veranderen als we in plaats van het getal 5 de som van 2 + 3 tussen haakjes invoeren? Elke student zal de tutor zeggen: "Wat maakt het uit hoe te schrijven: 5 of 2 + 3." Prachtig. Neem een ​​opname. De wiskundeleraar neemt een korte pauze zodat de student zich visueel het beeld-beeld van het object herinnert. Vervolgens vestigt hij zijn aandacht op het feit dat het haakje, net als het nummer, "verdeeld" of "gesprongen" is naar elke term. Wat betekent dit? Dit betekent dat deze bewerking niet alleen met een nummer kan worden uitgevoerd, maar ook met een haakje. We hebben twee paar factoren en . De meeste studenten kunnen ze gemakkelijk zelf aan en schrijven het resultaat uit aan de tutor. Het is belangrijk om de resulterende paren te vergelijken met de inhoud van haakjes 2+3 en 6+4 en dan wordt duidelijk hoe ze openen.

Indien nodig voert de wiskundedocent na het voorbeeld met cijfers een letterlijke bewijsvoering uit. Het blijkt een makkie te zijn door dezelfde delen van het vorige algoritme.

Vorming van de vaardigheid van het openen van haakjes

De vorming van de vaardigheid van het vermenigvuldigen van haakjes is een van mijlpalen werk van een bijlesdocent wiskunde met een thema. En nog belangrijker dan het stadium waarin de logica van de "fontein" -regel wordt uitgelegd. Waarom? De rechtvaardigingen voor de transformaties zullen de volgende dag worden vergeten, en de vaardigheid, als deze in de tijd is gevormd en gefixeerd, zal blijven bestaan. De leerlingen voeren de bewerking mechanisch uit, alsof ze de tafel van vermenigvuldiging uit het geheugen halen. Dit is wat er moet worden bereikt. Waarom? Als de leerling elke keer dat hij de haakjes opent, zich herinnert waarom hij het op deze manier opent en niet anders, vergeet hij het probleem dat hij oplost. Daarom besteedt de wiskundeleraar de rest van de les aan het omzetten van begrip in het uit het hoofd leren. Deze strategie wordt ook vaak gebruikt in andere onderwerpen.

Hoe kan een bijlesdocent de vaardigheid van het openen van haakjes bij een leerling ontwikkelen? Om dit te doen, moet een leerling van het 7de leerjaar een reeks oefeningen in voldoende hoeveelheid uitvoeren om te consolideren. Dit roept een ander probleem op. Een zwakke zevendeklasser kan het toegenomen aantal transformaties niet aan. Zelfs kleine. En fouten blijven de een na de ander binnenkomen. Wat moet een wiskundeleraar doen? Ten eerste is het noodzakelijk om aan te bevelen pijlen van elke term naar elke te schilderen. Als de student erg zwak is en niet snel van het ene type werk naar het andere kan schakelen, zijn concentratie verliest bij het uitvoeren van eenvoudige commando's van de leraar, dan trekt de wiskundeleraar deze pijlen zelf. En niet allemaal tegelijk. Eerst verbindt de tutor de eerste term van het linker haakje met elke term van het rechter haakje en vraagt ​​om de juiste vermenigvuldiging uit te voeren. Pas daarna gaan de pijlen van de tweede term naar hetzelfde rechter haakje. Met andere woorden, de tutor verdeelt het proces in twee fasen. Het is beter om een ​​kleine tijdelijke pauze (5-7 seconden) aan te houden tussen de eerste en tweede operatie.

1) Een set pijlen moet boven de uitdrukkingen worden getekend en een andere set eronder.
2) Het is belangrijk om op zijn minst tussen regels over te slaan paar cellen. Anders zal het record erg dicht zijn en zullen de pijlen niet alleen naar de vorige regel klimmen, maar ook vermengen met de pijlen van de volgende oefening.

3) In het geval van het vermenigvuldigen van haakjes in het formaat 3 bij 2, worden pijlen getekend van de korte haak naar de lange. Anders zullen deze "fonteinen" niet twee, maar drie zijn. De implementatie van de derde is merkbaar gecompliceerder vanwege het gebrek aan vrije ruimte voor de pijlen.
4) de pijlen zijn altijd vanuit één punt gericht. Een van mijn studenten bleef proberen ze naast elkaar te zetten en dit is wat hij deed:

Een dergelijke regeling maakt het niet mogelijk om de huidige termijn, waarmee de student in elk van de fasen werkt, te onderscheiden en vast te stellen.

Het werk van de vingers van de leraar

4) Om de aandacht op een apart paar vermenigvuldigde termen te houden, legt de wiskundeleraar er twee vingers op. Dit moet zo gebeuren dat het zicht van de student niet wordt belemmerd. Voor de meest onoplettende leerlingen kun je de "pulsatie"-methode gebruiken. De wiskundeleraar brengt de eerste vinger naar het begin van de pijl (naar een van de termen) en fixeert deze, en met de tweede "klopt" op zijn einde (op de tweede term). Pulsatie helpt om de aandacht te vestigen op de termijn waarmee de student zich vermenigvuldigt. Nadat de eerste vermenigvuldiging met het rechter haakje is gedaan, zegt de wiskundeleraar: "Nu werken we met een andere term." De tutor beweegt er een "vaste vinger" naar toe, en "pulserend" loopt over de termen van een ander haakje. De pulsatie werkt als een "richtingaanwijzer" in een auto en stelt je in staat om de aandacht van een verstrooide student te vestigen op de operatie die hij uitvoert. Als het kind klein schrijft, worden twee potloden gebruikt in plaats van vingers.

Herhaling optimalisatie

Zoals bij de studie van elk ander onderwerp in de loop van de algebra, kan en moet de vermenigvuldiging van polynomen worden geïntegreerd met eerder behandeld materiaal. Om dit te doen, gebruikt de wiskundeleraar speciale brugtaken waarmee je de toepassing van het bestudeerde in verschillende wiskundige objecten kunt vinden. Ze verbinden de onderwerpen niet alleen tot één geheel, maar organiseren ook zeer effectief de herhaling van de hele cursus wiskunde. En hoe meer bruggen de bijlesdocent bouwt, hoe beter.

Traditioneel wordt in algebraleerboeken voor groep 7 het openen van haakjes geïntegreerd met de oplossing van lineaire vergelijkingen. Aan het einde van de lijst met getallen staan ​​altijd opdrachten in de volgende volgorde: los de vergelijking op. Bij het openen van de haakjes worden de vierkanten verkleind en is de vergelijking eenvoudig op te lossen door middel van klasse 7. Om de een of andere reden vergeten de auteurs van studieboeken echter veilig het plotten van een grafiek van een lineaire functie. Om deze tekortkoming te corrigeren, raad ik wiskundeleraren aan om haakjes op te nemen in analytische uitdrukkingen lineaire functies, bijvoorbeeld . Bij dergelijke oefeningen traint de student niet alleen de vaardigheden om identieke transformaties uit te voeren, maar herhaalt hij ook de grafieken. Je kunt vragen om het snijpunt van twee "monsters" te vinden, om de relatieve positie van de lijnen te bepalen, om de punten van hun snijpunt met de assen te vinden, enz.

Kolpakov A.N. Bijles wiskunde in Strogino. Moskou

Nu gaan we verder met het openen van haakjes in uitdrukkingen waarin de uitdrukking tussen haakjes wordt vermenigvuldigd met een getal of uitdrukking. Laten we de regel formuleren voor het openen van haakjes voorafgegaan door een minteken: de haakjes samen met het minteken worden weggelaten en de tekens van alle termen tussen haakjes worden vervangen door tegengestelde.

Een type expressietransformatie is de uitbreiding van haakjes. Numerieke, letterlijke en variabele uitdrukkingen worden samengesteld met haakjes, die de volgorde kunnen aangeven waarin acties worden uitgevoerd, een negatief getal bevatten, enz. Laten we aannemen dat in de hierboven beschreven uitdrukkingen, in plaats van getallen en variabelen, alle uitdrukkingen kunnen voorkomen.

En laten we aandacht besteden aan nog een punt met betrekking tot de eigenaardigheden van het schrijven van de oplossing bij het openen van de haakjes. In de vorige paragraaf hebben we het gehad over de zogenaamde uitbreiding van haakjes. Om dit te doen, zijn er regels voor het openen van haakjes, die we nu bekijken. Deze regel wordt gedicteerd door het feit dat het gebruikelijk is om positieve getallen zonder haakjes te schrijven, haakjes zijn in dit geval niet nodig. De uitdrukking (−3.7)−(−2)+4+(−9) kan zonder haakjes worden geschreven als −3.7+2+4−9.

Ten slotte is het derde deel van de regel eenvoudig te wijten aan de eigenaardigheden van het schrijven van negatieve getallen aan de linkerkant in de uitdrukking (die we vermeldden in het gedeelte tussen haakjes voor het schrijven van negatieve getallen). U kunt uitdrukkingen tegenkomen die bestaan ​​uit een getal, mintekens en meerdere paren haakjes. Als je de haakjes uitbreidt, van binnen naar buiten, dan is de oplossing: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Hoe haakjes openen?

Hier is een verklaring: −(−2 x) is +2 x, en aangezien deze uitdrukking eerst komt, kan +2 x worden geschreven als 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x en −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Het eerste deel van de geschreven regel voor het openen van haakjes vloeit rechtstreeks voort uit de regel voor het vermenigvuldigen van negatieve getallen. Het tweede deel ervan is een gevolg van de regel voor het vermenigvuldigen van getallen met verschillende tekens. Laten we verder gaan met voorbeelden van uitbreidende haakjes in producten en quotiënten van twee getallen met verschillende tekens.

Beugelopening: regels, voorbeelden, oplossingen.

De bovenstaande regel houdt rekening met de hele keten van deze acties en versnelt het proces van het openen van haakjes aanzienlijk. Met dezelfde regel kunt u haakjes openen in uitdrukkingen die producten zijn en deeluitdrukkingen met een minteken die geen sommen en verschillen zijn.

Bekijk voorbeelden van de toepassing van deze regel. We geven de bijbehorende regel. Hierboven zijn we al uitdrukkingen van de vorm −(a) en −(−a) tegengekomen, die zonder haakjes respectievelijk als −a en a worden geschreven. Bijvoorbeeld −(3)=3, en. Dit zijn speciale gevallen van de genoemde regel. Beschouw nu voorbeelden van het openen van haakjes wanneer er sommen of verschillen in staan. We zullen voorbeelden laten zien van het gebruik van deze regel. Noem de uitdrukking (b1+b2) als b, waarna we de regel gebruiken voor het vermenigvuldigen van het haakje met de uitdrukking uit de vorige alinea, we hebben (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Door inductie kan deze verklaring worden uitgebreid tot een willekeurig aantal termen in elke haak. Het blijft om de haakjes in de resulterende uitdrukking te openen, met behulp van de regels uit de vorige paragrafen, als resultaat krijgen we 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

De regel in de wiskunde is het openen van haakjes als er (+) en (-) voor de haakjes staan, een zeer noodzakelijke regel

Deze uitdrukking is het product van drie factoren (2+4), 3 en (5+7 8). De beugels moeten opeenvolgend worden geopend. Nu gebruiken we de regel voor het vermenigvuldigen van een haakje met een getal, we hebben ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Graden, waarvan de basis sommige uitdrukkingen tussen haakjes zijn, met natuurlijke exponenten kunnen worden beschouwd als een product van meerdere haakjes.

Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking (a+b+c)2 transformeren. Eerst schrijven we het als een product van twee haakjes (a + b + c) (a + b + c), nu vermenigvuldigen we het haakje met haakje, we krijgen a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

We zeggen ook dat het raadzaam is om de binominale formule van Newton te gebruiken om de sommen en verschillen van twee getallen tot een natuurlijke macht te verhogen. Bijvoorbeeld (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Het is niet minder handig om deling voorlopig te vervangen door vermenigvuldiging en vervolgens de juiste regel te gebruiken voor het openen van haakjes in het product.

Het blijft om de volgorde van het openen van haakjes te achterhalen met behulp van voorbeelden. Neem de uitdrukking (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Vervang deze resultaten in de oorspronkelijke uitdrukking: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Het blijft alleen om het openen van de haakjes te voltooien, als resultaat hebben we −5+3 2:4+6 7. Dit betekent dat bij het overgaan van de linkerkant van de gelijkheid naar de rechterkant, de haakjes werden geopend.

Merk op dat we in alle drie de voorbeelden gewoon de haakjes hebben verwijderd. Voeg eerst 445 toe aan 889. Deze mentale actie kan worden uitgevoerd, maar het is niet erg gemakkelijk. Laten we de haakjes openen en zien dat de gewijzigde volgorde van bewerkingen de berekeningen aanzienlijk zal vereenvoudigen.

Hoe haakjes in een andere mate te openen

Illustratief voorbeeld en regel. Neem een ​​voorbeeld: . U kunt de waarde van de uitdrukking vinden door 2 en 5 op te tellen en vervolgens het resulterende getal met het tegenovergestelde teken te nemen. De regel verandert niet als er niet twee, maar drie of meer termen tussen haakjes staan. Opmerking. Alleen voor de termen worden tekens omgekeerd. Om de haakjes te openen, moeten we in dit geval de distributieve eigenschap oproepen.

Enkele cijfers tussen haakjes

Uw fout zit niet in de tekens, maar in het verkeerde werk met breuken? In groep 6 maakten we kennis met positieve en negatieve getallen. Hoe lossen we voorbeelden en vergelijkingen op?

Hoeveel staat tussen haakjes? Wat valt er over deze uitdrukkingen te zeggen? Het resultaat van het eerste en tweede voorbeeld is natuurlijk hetzelfde, dus je kunt er een gelijkteken tussen zetten: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Dus wat hebben we met de haakjes gedaan?

Demonstratie van dia 6 met de regels voor het openen van haakjes. De regels voor het openen van haakjes zullen ons dus helpen voorbeelden op te lossen, uitdrukkingen te vereenvoudigen. Vervolgens worden studenten uitgenodigd om in tweetallen te werken: het is noodzakelijk om de uitdrukking met haakjes te verbinden met de bijbehorende uitdrukking zonder haakjes met pijlen.

Dia 11 Eenmaal in de Sunny City argumenteerden Znayka en Dunno wie van hen de vergelijking correct oploste. Vervolgens lossen de leerlingen zelfstandig de vergelijking op, waarbij ze de regels voor het openen van haakjes toepassen. Vergelijkingen oplossen "Lesdoelen: educatief (ZUN's vastleggen over het onderwerp:" Haakjes openen.

Lesonderwerp: “Haakjes openen. In dit geval moet u elke term van de eerste haakjes vermenigvuldigen met elke term van de tweede haakjes en vervolgens de resultaten optellen. Eerst worden de eerste twee factoren genomen, ingesloten tussen nog een haakjes, en binnen deze haakjes worden de haakjes geopend volgens een van de reeds bekende regels.

rawalan.freezeet.ru

Beugelopening: regels en voorbeelden (Grade 7)

De belangrijkste functie van haakjes is om de volgorde van acties te veranderen bij het berekenen van waarden numerieke uitdrukkingen . Bijvoorbeeld, in de numerieke uitdrukking \(5 3+7\) wordt eerst de vermenigvuldiging berekend en daarna de optelling: \(5 3+7 =15+7=22\). Maar in de uitdrukking \(5·(3+7)\) wordt eerst de optelling tussen haakjes berekend, en pas daarna de vermenigvuldiging: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Als we echter te maken hebben met algebraïsche uitdrukking bevattende variabele- bijvoorbeeld als volgt: \ (2 (x-3) \) - dan is het onmogelijk om de waarde tussen de haakjes te berekenen, de variabele interfereert. Daarom worden in dit geval de haakjes "geopend", met behulp van de juiste regels hiervoor.

Regels voor uitbreiding van haakjes

Als er een plusteken voor het haakje staat, dan wordt het haakje gewoon verwijderd, de uitdrukking erin blijft ongewijzigd. Met andere woorden:

Hier is het noodzakelijk om te verduidelijken dat het in de wiskunde gebruikelijk is om het plusteken niet te schrijven als het de eerste in de uitdrukking is, om de invoer te verminderen. Als we bijvoorbeeld twee positieve getallen bij elkaar optellen, bijvoorbeeld zeven en drie, dan schrijven we niet \(+7+3\), maar gewoon \(7+3\), ondanks dat zeven ook positief is nummer. Evenzo, als u bijvoorbeeld de uitdrukking \((5+x)\) - weet dat er staat een plus voor de beugel, die niet is geschreven.

Voorbeeld . Open de haak en geef soortgelijke termen: \((x-11)+(2+3x)\).
Oplossing : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Als er een minteken voor het haakje staat, verandert elk lid van de uitdrukking erin, wanneer het haakje wordt verwijderd, van teken in het tegenovergestelde:

Hier is het nodig om te verduidelijken dat a, terwijl het tussen haakjes stond, een plusteken had (ze schreven het gewoon niet), en na het verwijderen van het haakje, veranderde deze plus in een min.

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking \(2x-(-7+x)\).
Oplossing : er staan ​​twee termen tussen het haakje: \(-7\) en \(x\), en er staat een minteken voor het haakje. Dit betekent dat de tekens zullen veranderen - en de zeven zullen nu met een plus zijn, en de x met een min. open de beugel en breng gelijke voorwaarden .

Voorbeeld. Vouw de haak uit en geef soortgelijke termen \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Oplossing : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Als er een factor voor de beugel staat, wordt elk lid van de beugel daarmee vermenigvuldigd, dat wil zeggen:

Voorbeeld. Vouw de haakjes \(5(3-x)\) uit.
Oplossing : We hebben \(3\) en \(-x\) tussen haakjes, en een vijf voor de haakjes. Dit betekent dat elk lid van de haak wordt vermenigvuldigd met \ (5 \) - ik herinner u eraan dat het vermenigvuldigingsteken tussen een getal en een haakje in de wiskunde is niet geschreven om de omvang van records te verkleinen.

Voorbeeld. Vouw de haakjes \(-2(-3x+5)\) uit.
Oplossing : Net als in het vorige voorbeeld worden de tussen haakjes \(-3x\) en \(5\) vermenigvuldigd met \(-2\).

Het blijft om de laatste situatie te overwegen.

Bij het vermenigvuldigen van haakjes met haakjes, wordt elke term van het eerste haakje vermenigvuldigd met elke term van het tweede:

Voorbeeld. Vouw de haakjes \((2-x)(3x-1)\) uit.
Oplossing : We hebben een product van haakjes en het kan onmiddellijk worden geopend met behulp van de bovenstaande formule. Maar laten we alles stap voor stap doen om niet in de war te raken.
Stap 1. We verwijderen de eerste beugel - elk van zijn leden wordt vermenigvuldigd met de tweede beugel:

Stap 2. Breid de producten van de beugel uit met de factor zoals hierboven beschreven:
- de eerste eerst...

Stap 3. Nu vermenigvuldigen we en brengen gelijke termen:

Het is niet nodig om alle transformaties in detail te schilderen, je kunt meteen vermenigvuldigen. Maar als je net leert om haakjes te openen - schrijf in detail, dan is de kans kleiner dat je een fout maakt.

Noot voor de hele sectie. In feite hoef je niet alle vier de regels te onthouden, je hoeft er maar één te onthouden, deze: \(c(a-b)=ca-cb\) . Waarom? Want als we één vervangen in plaats van c, krijgen we de regel \((a-b)=a-b\) . En als we min één vervangen, krijgen we de regel \(-(a-b)=-a+b\) . Welnu, als je een ander haakje vervangt in plaats van c, kun je de laatste regel krijgen.

haakjes binnen haakjes

Soms zijn er in de praktijk problemen met haakjes die in andere haakjes zijn genest. Hier is een voorbeeld van zo'n taak: de uitdrukking \(7x+2(5-(3x+y))\) vereenvoudigen.

Om succesvol te zijn in deze taken, moet u:
- zorg ervoor dat u het nesten van haakjes goed begrijpt - welke in welke staat;
- open de haakjes achter elkaar, bijvoorbeeld beginnend met de binnenste.

Het is belangrijk bij het openen van een van de haakjes raak de rest van de uitdrukking niet aan, gewoon herschrijven zoals het is.
Laten we de bovenstaande taak als voorbeeld nemen.

Voorbeeld. Open de haakjes en geef soortgelijke termen \(7x+2(5-(3x+y))\).
Oplossing:

Laten we de taak beginnen door de binnenste beugel te openen (die aan de binnenkant). Als we het openen, hebben we alleen te maken met het feit dat het er direct mee verband houdt - dit is de haak zelf en de min ervoor (groen gemarkeerd). Al het andere (niet geselecteerd) wordt herschreven zoals het was.

Problemen in wiskunde online oplossen

Online rekenmachine.
Polynomiale vereenvoudiging.
Vermenigvuldiging van polynomen.

Met dit wiskundeprogramma kun je een veelterm vereenvoudigen.
Terwijl het programma loopt:
- vermenigvuldigt polynomen
- sommeert monomials (geeft gelijkaardige)
- haakjes openen
- Verheft een polynoom tot een macht

Het polynomiale vereenvoudigingsprogramma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, het leidt gedetailleerde oplossing: met uitleg, d.w.z. geeft het oplossingsproces weer, zodat u uw kennis van wiskunde en/of algebra kunt controleren.

Dit programma kan nuttig zijn voor leerlingen van middelbare scholen ter voorbereiding op: controle werk en examens, bij het testen van kennis voor het examen, ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk wiskunde of algebra? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Op deze manier kunt u uw eigen training en/of de training van uw jongere broers of zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van op te lossen taken wordt verhoogd.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Even geduld a.u.b.

Een beetje theorie.

Het product van een monomiaal en een polynoom. Het concept van een polynoom

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, belangrijke plek zijn sommen van monomialen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden leden van de polynoom genoemd. Mononomen worden ook wel polynomen genoemd, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom bestaande uit één lid.

We vertegenwoordigen alle termen in de vorm van monomials standaardweergave:

We geven vergelijkbare termen in de resulterende polynoom:

Het resultaat is een polynoom, waarvan alle leden monomials zijn van de standaardvorm, en onder hen zijn er geen vergelijkbare. Dergelijke veeltermen worden genoemd veeltermen van standaardvorm.

Per polynomiale graad standaardvorm nemen de grootste van de bevoegdheden van haar leden. Dus een binomiaal heeft een derde graad en een trinominaal heeft een tweede.

Gewoonlijk worden de leden van standaardvormpolynomen die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van zijn exponenten. Bijvoorbeeld:

De som van meerdere polynomen kan (vereenvoudigd) worden omgezet in een standaardvormpolynoom.

Soms moeten de leden van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes het tegenovergestelde zijn van haakjes, is het gemakkelijk te formuleren: openingsregels tussen haakjes:

Als het +-teken voor de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als een "-"-teken voor de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes geschreven met tegengestelde tekens.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kan men het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van deze monomiaal en elk van de termen van de polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet men deze monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van de polynoom.

We hebben deze regel herhaaldelijk gebruikt om te vermenigvuldigen met een som.

Het product van veeltermen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

In het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Gebruik meestal de volgende regel.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Som, verschil en verschilvierkanten

Sommige uitdrukkingen in algebraïsche transformaties moeten vaker worden behandeld dan andere. Misschien zijn de meest voorkomende uitdrukkingen en, dat wil zeggen, het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van kwadraten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken, dus bijvoorbeeld - dit is natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b. Het kwadraat van de som van a en b is echter niet zo gebruikelijk, in plaats van de letters a en b bevat het in de regel verschillende, soms behoorlijk complexe uitdrukkingen.

Uitdrukkingen zijn eenvoudig om te zetten (vereenvoudigen) in polynomen van de standaardvorm, in feite heb je al een dergelijke taak gehad bij het vermenigvuldigen van polynomen:

De resulterende identiteiten zijn handig om te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

- het kwadraat van de som is gelijk aan de kwadratensom en tweemaal het product.

- het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som van de kwadraten zonder het dubbele product.

- het verschil van kwadraten is gelijk aan het product van het verschil door de som.

Deze drie identiteiten maken het bij transformaties mogelijk om hun linkerdelen te vervangen door rechterdelen en vice versa - rechterdelen door linkerdelen. Het moeilijkste in dit geval is om de corresponderende uitdrukkingen te zien en te begrijpen wat de variabelen a en b daarin zijn vervangen. Laten we eens kijken naar een paar voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Boeken (studieboeken) Samenvattingen van het Unified State Examination en OGE-tests Online spelletjes, legpuzzel Plotfuncties orthografische woordenboek van de Russische taal Woordenboek van jeugdjargon Catalogus van scholen in Rusland Catalogus van middelbare scholen in Rusland Catalogus van universiteiten in Rusland Takenlijst GCD en LCM vinden Een polynoom vereenvoudigen (polynomen vermenigvuldigen) Een polynoom delen door een polynoom door een kolom Numerieke breuken berekenen Oplossen van problemen voor percentages Complexe getallen: som, verschil, product en quotiënt Systemen 2-x lineaire vergelijkingen met twee variabelen Oplossing kwadratische vergelijking Selectie van een kwadraat van een binomiaal en ontbinden in factoren van een kwadraat trinominaal Ongelijkheden oplossen Systemen van ongelijkheden oplossen Een grafiek uitzetten kwadratische functie Een lineair-fractionele functie plotten Een rekenkundige en . oplossen geometrische voortgang Trigonometrische, exponentiële, logaritmische vergelijkingen Berekening van limieten, afgeleide, tangens Integraal, antiderivaat Oplossen van driehoeken Berekeningen van acties met vectoren Berekeningen van acties met lijnen en vlakken Oppervlakte geometrische vormen Omtrek van geometrische vormen Volume van geometrische lichamen Oppervlakte van geometrische lichamen
Constructeur verkeerssituaties
Weer - nieuws - horoscopen

www.mathsolution.ru

Beugeluitbreiding

We blijven de basis van algebra bestuderen. In deze les leren we haakjes in uitdrukkingen te openen. Haakjes uitbreiden betekent de uitdrukking van deze haakjes verwijderen.

Om haakjes te openen, hoeft u slechts twee regels uit uw hoofd te leren. Door regelmatig te oefenen, kun je de haakjes openen met je ogen dicht, en de regels die uit het hoofd moeten worden onthouden, kunnen veilig worden vergeten.

De eerste regel van uitbreiding van haakjes

Beschouw de volgende uitdrukking:

De waarde van deze uitdrukking is 2 . Laten we de haakjes in deze uitdrukking openen. Haakjes uitbreiden betekent ze verwijderen zonder de betekenis van de uitdrukking aan te tasten. Dat wil zeggen, na het wegwerken van de haakjes, de waarde van de uitdrukking 8+(−9+3) moet nog steeds gelijk zijn aan twee.

De uitbreidingsregel van de eerste haakjes ziet er als volgt uit:

Als er bij het openen van haakjes een plus voor de haakjes staat, dan wordt deze plus samen met de haakjes weggelaten.

Dus we zien dat in de uitdrukking 8+(−9+3) er staat een plus voor de haakjes. Deze plus moet samen met de haakjes worden weggelaten. Met andere woorden, de haakjes verdwijnen samen met de plus die ervoor stond. En wat tussen haakjes stond, wordt ongewijzigd geschreven:

8−9+3 . Deze uitdrukking is gelijk aan 2 , zoals de vorige uitdrukking tussen haakjes gelijk was aan 2 .

8+(−9+3) en 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Voorbeeld 2 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 3 + (−1 − 4)

Er staat een plus voor de haakjes, dus deze plus wordt samen met de haakjes weggelaten. Wat tussen haakjes stond blijft ongewijzigd:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Voorbeeld 3 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 2 + (−1)

BIJ dit voorbeeld het openen van haakjes is een soort omgekeerde bewerking geworden waarbij aftrekken wordt vervangen door optellen. Wat betekent het?

In de uitdrukking 2−1 aftrekken vindt plaats, maar het kan worden vervangen door optellen. Dan krijg je de uitdrukking 2+(−1) . Maar als in de uitdrukking 2+(−1) open de haakjes, je krijgt het origineel 2−1 .

Daarom kan de eerste regel voor het uitbreiden van haakjes worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen na enkele transformaties. Dat wil zeggen, ontdoe u van haakjes en maak het gemakkelijker.

Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen 2a+a−5b+b .

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen we soortgelijke termen toevoegen. Bedenk dat om soortgelijke termen te verminderen, u de coëfficiënten van soortgelijke termen moet optellen en het resultaat moet vermenigvuldigen met het gewone lettergedeelte:

Heb een uitdrukking 3a+(−4b). Open in deze uitdrukking de haakjes. Er staat een plus voor de haakjes, dus we gebruiken de eerste regel voor het openen van haakjes, dat wil zeggen dat we de haakjes weglaten samen met de plus die voor deze haakjes komt:

Dus de uitdrukking 2a+a−5b+b vereenvoudigd tot 3a−4b .

Nadat de ene beugel is geopend, kunnen anderen elkaar onderweg ontmoeten. We passen op hen dezelfde regels toe als op de eerste. Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de volgende uitdrukking uitbreiden:

Er zijn twee plaatsen waar u de beugels moet uitbreiden. In dit geval is de eerste regel voor het uitbreiden van haakjes van toepassing, namelijk het weglaten van de haakjes samen met de plus die voor deze haakjes komt:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Voorbeeld 3 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 6+(−3)+(−2)

Op beide plaatsen waar haakjes staan, worden ze voorafgegaan door een plusteken. Ook hier geldt de uitbreidingsregel van het eerste haakje:

Soms wordt de eerste term tussen haakjes geschreven zonder een teken. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 1+(2+3−4) eerste term tussen haakjes 2 geschreven zonder een teken. De vraag rijst, welk teken komt er voor de twee nadat de haakjes en de plus voor de haakjes zijn weggelaten? Het antwoord suggereert zichzelf - er zal een plus zijn voor de twee.

In feite, zelfs tussen haakjes, staat er een plus voor de deuce, maar we zien het niet vanwege het feit dat het niet is opgeschreven. We hebben al gezegd dat de volledige notatie van positieve getallen eruitziet als +1, +2, +3. Maar de pluspunten worden traditioneel niet opgeschreven, daarom zien we de positieve cijfers die ons bekend voorkomen. 1, 2, 3 .

Daarom, om haakjes in een uitdrukking te openen 1+(2+3−4) , moet u de haakjes zoals gewoonlijk weglaten, samen met de plus voor deze haakjes, maar schrijf de eerste term die tussen haakjes stond met een plusteken:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Voorbeeld 4 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking −5 + (2 − 3)

Er staat een plus voor de haakjes, dus passen we de eerste regel toe voor het openen van haakjes, namelijk dat we de haakjes weglaten samen met de plus die voor deze haakjes komt. Maar de eerste term, die tussen haakjes staat met een plusteken:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Voorbeeld 5 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking (−5)

Er staat een plus voor de haakjes, maar deze is niet geschreven omdat er geen andere cijfers of uitdrukkingen voor stonden. Het is onze taak om de haakjes te verwijderen door de eerste regel voor het uitbreiden van haakjes toe te passen, namelijk het weglaten van de haakjes samen met deze plus (zelfs als deze onzichtbaar is)

Voorbeeld 6 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 2a + (−6a + b)

Er staat een plus voor de haakjes, dus deze plus wordt samen met de haakjes weggelaten. Wat tussen haakjes stond, wordt ongewijzigd geschreven:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Voorbeeld 7 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

In deze uitdrukking zijn er twee plaatsen waar u de haakjes moet openen. In beide rubrieken staat een plus voor de haakjes, wat betekent dat deze plus samen met de haakjes weggelaten wordt. Wat tussen haakjes stond, wordt ongewijzigd geschreven:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

De tweede regel voor het openen van haakjes

Laten we nu eens kijken naar de uitbreidingsregel van het tweede haakje. Het wordt gebruikt als er een min voor de haakjes staat.

Als er een min voor de haakjes staat, dan wordt deze min samen met de haakjes weggelaten, maar de termen die tussen de haakjes stonden, veranderen hun teken in het tegenovergestelde.

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de volgende uitdrukking uitbreiden:

We zien dat er een min voor de haakjes staat. U moet dus de tweede uitbreidingsregel toepassen, namelijk de haakjes weglaten samen met de min voor deze haakjes. In dit geval zullen de termen tussen haakjes hun teken veranderen in het tegenovergestelde:

We hebben een uitdrukking zonder haakjes 5+2+3 . Deze uitdrukking is gelijk aan 10, net zoals de vorige uitdrukking met haakjes gelijk was aan 10.

Dus tussen uitdrukkingen 5−(−2−3) en 5+2+3 je kunt een gelijkteken plaatsen, omdat ze gelijk zijn aan dezelfde waarde:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Voorbeeld 2 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 6 − (−2 − 5)

Er staat een min voor de haakjes, dus we passen de tweede regel toe voor het openen van haakjes, namelijk dat we de haakjes weglaten samen met de min die voor deze haakjes komt. In dit geval zijn de termen tussen haakjes geschreven met tegengestelde tekens:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Voorbeeld 3 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 2 − (7 + 3)

Er staat een min voor de haakjes, dus passen we de tweede regel toe voor het openen van haakjes:

Voorbeeld 4 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking −(−3 + 4)

Voorbeeld 5 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Er zijn twee plaatsen waar u de beugels moet uitbreiden. In het eerste geval moet je de tweede regel toepassen voor het openen van haakjes, en als de beurt aan de uitdrukking komt +(−9−2) je moet de eerste regel toepassen:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Voorbeeld 6 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking −(−a−1)

Voorbeeld 7 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking −(4a + 3)

Voorbeeld 8 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking a −(4b + 3) + 15

Voorbeeld 9 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Er zijn twee plaatsen waar u de beugels moet uitbreiden. In het eerste geval moet je de eerste regel toepassen voor het uitbreiden van haakjes, en als de beurt aan de uitdrukking komt −(3c+5) je moet de tweede regel toepassen:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Voorbeeld 10 Haakjes uitvouwen in een uitdrukking -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Er zijn drie plaatsen waar u de haakjes moet uitbreiden. Eerst moet je de tweede regel toepassen voor het uitbreiden van haakjes, dan de eerste en dan weer de tweede:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = a + 4a - 6b + 8c - 15

Uitbreidingsmechanisme tussen haakjes

De regels voor het openen van haakjes, die we nu hebben overwogen, zijn gebaseerd op de distributieve wet van vermenigvuldiging:

In werkelijkheid haakjes openen noem de procedure wanneer de gemeenschappelijke factor wordt vermenigvuldigd met elke term tussen haakjes. Als gevolg van een dergelijke vermenigvuldiging verdwijnen de haakjes. Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitbreiden 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Daarom, als je een getal moet vermenigvuldigen met een uitdrukking tussen haakjes (of een uitdrukking tussen haakjes moet vermenigvuldigen met een getal), moet je zeggen open de haakjes.

Maar hoe is de distributieve wet van vermenigvuldiging gerelateerd aan de regels voor het openen van haakjes die we eerder hebben overwogen?

Het feit is dat er vóór haakjes een gemeenschappelijke factor is. In het voorbeeld 3×(4+5) gemeenschappelijke factor is: 3 . En in het voorbeeld a(b+c) gemeenschappelijke factor is een variabele a.

Als er geen getallen of variabelen voor de haakjes staan, is de gemeenschappelijke factor 1 of −1 , afhankelijk van welk teken voor de haakjes komt. Als er een plus voor de haakjes staat, dan is de gemeenschappelijke factor 1 . Als er een min voor de haakjes staat, dan is de gemeenschappelijke factor −1 .

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitbreiden −(3b−1). Er staat een min voor de haakjes, dus u moet de tweede regel gebruiken voor het openen van haakjes, dat wil zeggen, de haakjes weglaten samen met de min voor de haakjes. En de uitdrukking die tussen haakjes stond, schrijf met tegenovergestelde tekens:

We hebben de haakjes uitgebreid met behulp van de regel voor het uitbreiden van haakjes. Maar dezelfde haakjes kunnen worden geopend met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging. Hiervoor schrijven we eerst de gemene deler 1 voor de haakjes, die niet is opgeschreven:

Het minpuntje dat vroeger voor de beugels stond verwees naar dit toestel. Nu kun je de haakjes openen door de distributieve wet van vermenigvuldiging toe te passen. Hiervoor is de gemeenschappelijke factor −1 je moet vermenigvuldigen met elke term tussen haakjes en de resultaten optellen.

Voor het gemak vervangen we het verschil tussen haakjes door de som:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Net als de vorige keer kregen we de uitdrukking −3b+1. Iedereen zal het erover eens zijn dat er deze keer meer tijd werd besteed aan het oplossen van zo'n eenvoudig voorbeeld. Daarom is het redelijker om de kant-en-klare regels voor het openen van haakjes te gebruiken, die we in deze les hebben besproken:

Maar het kan geen kwaad om te weten hoe deze regels werken.

In deze les leerden we nog een identieke transformatie. Samen met het openen van de haakjes, het verwijderen van het algemene uit de haakjes en het brengen van soortgelijke termen, is het mogelijk om het takenpakket iets uit te breiden. Bijvoorbeeld:

Hier moet je twee acties uitvoeren - open eerst de haakjes en breng dan soortgelijke termen aan. Dus, in volgorde:

1) Vouw de haakjes uit:

2) We geven soortgelijke termen:

In de resulterende uitdrukking −10b+(−1) je kunt de haakjes openen:

Voorbeeld 2 Open haakjes en voeg soortgelijke termen toe in de volgende uitdrukking:

1) Vouw de haakjes uit:

2) We presenteren vergelijkbare termen. Om tijd en ruimte te besparen, zullen we deze keer niet opschrijven hoe de coëfficiënten worden vermenigvuldigd met het gewone lettergedeelte

Voorbeeld 3 Uitdrukking vereenvoudigen 8m+3m en vind de waarde ervan op m=−4

1) Laten we eerst de uitdrukking vereenvoudigen. Om de uitdrukking te vereenvoudigen 8m+3m, je kunt de gemeenschappelijke factor erin verwijderen m voor beugels:

2) Zoek de waarde van de uitdrukking m(8+3) Bij m=−4. Hiervoor, in de uitdrukking m(8+3) in plaats van een variabele m vervang het nummer −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

"Haakjes openen" - Wiskunde leerboek Graad 6 (Vilenkin)

Korte beschrijving:

In dit gedeelte leert u hoe u haakjes in voorbeelden opent. Waar is het voor? Allemaal voor hetzelfde als voorheen - om het u gemakkelijker en gemakkelijker te maken om te tellen, om toe te staan minder fouten, en idealiter (de droom van je wiskundeleraar) om alles foutloos op te lossen.
Je weet al dat haakjes in wiskundige notatie worden geplaatst als er twee op een rij zijn wiskundig teken, als we de eenheid van getallen willen laten zien, hun herschikking. Haakjes uitbreiden betekent het wegwerken van extra karakters. Bijvoorbeeld: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Herinner je je de distributieve eigenschap van vermenigvuldigen met betrekking tot optellen? In dat voorbeeld hebben we immers ook de haakjes weggelaten om berekeningen te vereenvoudigen. De benoemde eigenschap van vermenigvuldiging kan ook worden toegepast op vier, drie, vijf of meer termen. Bijvoorbeeld: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Is het je opgevallen dat bij het openen van haakjes de cijfers erin niet van teken veranderen als het getal voor de haakjes positief is? Vijftien is immers een positief getal. En als je dit voorbeeld oplost: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. We hadden een negatief getal min vijftien voor de haakjes, toen we de haakjes openden, begonnen alle getallen hun teken te veranderen in een ander - het tegenovergestelde - van plus naar min.
Op basis van bovenstaande voorbeelden kunnen twee basisregels voor het openen van haakjes worden uitgesproken:
1. Als je een positief getal voor de haakjes hebt staan, veranderen na het openen van de haakjes alle tekens van de cijfers tussen de haakjes niet, maar blijven ze precies hetzelfde als ze waren.
2. Als er een negatief getal voor de haakjes staat, wordt na het openen van de haakjes het minteken niet meer geschreven en zijn de tekens van alle absolute getallen tussen de haakjes scherp omgekeerd.
Bijvoorbeeld: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Laten we onze voorbeelden wat ingewikkelder maken: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Je zag dat we door het openen van de tweede haakjes met 2 vermenigvuldigden, maar de tekens bleven zoals ze waren. En hier is een voorbeeld: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, in dit voorbeeld is het getal twee negatief, het is staat voor de haakjes met een minteken, daarom hebben we, toen we ze openden, de tekens van de cijfers veranderd in de tegenovergestelde (negen was met een plus, het werd met een min, acht was met een min, het werd met een plus ).