Eerste level

Geometrische voortgang. Uitgebreide gids met voorbeelden (2019)

Numerieke reeks

Dus laten we gaan zitten en beginnen met het schrijven van wat cijfers. Bijvoorbeeld:

U kunt alle nummers schrijven, en er kunnen er zoveel zijn als u wilt (in ons geval zij). Het maakt niet uit hoeveel getallen we schrijven, we kunnen altijd zeggen welke van hen de eerste is, welke de tweede, en zo verder tot de laatste, dat wil zeggen, we kunnen ze nummeren. Dit is een voorbeeld van een getallenreeks:

Numerieke reeks is een reeks nummers, waaraan elk een uniek nummer kan worden toegewezen.

Voor onze reeks bijvoorbeeld:

Het toegewezen nummer is specifiek voor slechts één volgnummer. Met andere woorden, er zijn geen drie seconden nummers in de reeks. Het tweede getal (zoals het -de getal) is altijd hetzelfde.

Het getal met het getal wordt het -de lid van de reeks genoemd.

Meestal noemen we de hele reeks een letter (bijvoorbeeld), en elk lid van deze reeks - dezelfde letter met een index, gelijk aan het getal dit lid: .

In ons geval:

De meest voorkomende soorten progressie zijn rekenkundig en meetkundig. In dit onderwerp zullen we het hebben over de tweede soort - geometrische voortgang.

Waarom hebben we een geometrische progressie en zijn geschiedenis nodig?

Zelfs in de oudheid hield de Italiaanse wiskundige, de monnik Leonardo van Pisa (beter bekend als Fibonacci), zich bezig met de praktische behoeften van de handel. De monnik stond voor de taak om te bepalen wat het kleinste aantal gewichten is dat kan worden gebruikt om de goederen te wegen? In zijn geschriften bewijst Fibonacci dat zo'n systeem van gewichten optimaal is: Dit is een van de eerste situaties waarin mensen te maken kregen met een meetkundige progressie, waar je waarschijnlijk wel eens van hebt gehoord en in ieder geval algemeen concept. Als u het onderwerp volledig begrijpt, bedenk dan waarom zo'n systeem optimaal is?

Op dit moment manifesteert zich in de praktijk van het leven een geometrische progressie bij het beleggen van geld in een bank, wanneer het rentebedrag in rekening wordt gebracht op het bedrag dat in de vorige periode op de rekening is geaccumuleerd. Met andere woorden, als u geld op een termijndeposito op een spaarbank zet, dan stijgt het inleg over een jaar met het oorspronkelijke bedrag, d.w.z. het nieuwe bedrag is gelijk aan de bijdrage vermenigvuldigd met. In een volgend jaar wordt dit bedrag verhoogd met, d.w.z. het op dat moment verkregen bedrag wordt weer vermenigvuldigd met enzovoort. Een vergelijkbare situatie wordt beschreven in de problemen van het berekenen van de zogenaamde samengestelde rente- het percentage wordt telkens afgetrokken van het bedrag dat op de rekening staat, rekening houdend met de vorige rente. We zullen iets later over deze taken praten.

Er zijn veel meer eenvoudige gevallen waarin een geometrische progressie wordt toegepast. Bijvoorbeeld de verspreiding van griep: een persoon besmette een persoon, zij besmetten op hun beurt een andere persoon, en dus de tweede infectiegolf - een persoon, en zij besmetten op hun beurt een ander ... enzovoort .. .

Trouwens, een financiële piramide, dezelfde MMM, is een eenvoudige en droge berekening volgens de eigenschappen van een geometrische progressie. Interessant? Laten we het uitzoeken.

Geometrische voortgang.

Laten we zeggen dat we een getallenreeks hebben:

U zult onmiddellijk antwoorden dat het gemakkelijk is en dat de naam van zo'n reeks een rekenkundige reeks is met het verschil van zijn leden. Wat dacht je van zoiets:

Als je het vorige getal van het volgende getal aftrekt, zul je zien dat je elke keer een nieuw verschil krijgt (enz.), maar de reeks bestaat zeker en is gemakkelijk op te merken - elk volgend getal is keer groter dan het vorige!

Dit type reeks wordt genoemd geometrische voortgang en is gemarkeerd.

Een meetkundige reeks ( ) is een numerieke reeks, waarvan de eerste term verschilt van nul, en elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal. Dit getal wordt de noemer van een meetkundige reeks genoemd.

De beperkingen dat de eerste term ( ) niet gelijk is en niet willekeurig is. Laten we zeggen dat er geen zijn, en de eerste term is nog steeds gelijk, en q is, hmm .. laat, dan blijkt:

Mee eens dat dit geen vooruitgang is.

Zoals u begrijpt, krijgen we dezelfde resultaten als het een ander getal dan nul is, maar. In deze gevallen is er gewoon geen progressie, omdat de hele getallenreeks ofwel allemaal nullen zal zijn, ofwel één getal, en alle overige nullen.

Laten we nu in meer detail praten over de noemer van een geometrische progressie, dat wil zeggen over.

Laten we herhalen: - dit is een getal, hoe vaak verandert elke volgende term? geometrische voortgang.

Wat denk je dat het kan zijn? Dat klopt, positief en negatief, maar niet nul (we spraken hier iets hoger over).

Laten we zeggen dat we een positieve hebben. Laat in ons geval a. Wat is de tweede termijn en? Daar kun je eenvoudig antwoord op geven:

Oke. Dienovereenkomstig, als, dan hebben alle volgende leden van de progressie hetzelfde teken - zij positief.

Wat als het negatief is? Bijvoorbeeld een. Wat is de tweede termijn en?

Het is een heel ander verhaal

Probeer de termijn van deze progressie te tellen. Hoeveel heb je gekregen? Ik heb. Dus, als, dan wisselen de tekens van de termen van de geometrische progressie elkaar af. Dat wil zeggen, als je een progressie ziet met afwisselende tekens in zijn leden, dan is de noemer negatief. Deze kennis kan u helpen uzelf te testen bij het oplossen van problemen over dit onderwerp.

Laten we nu een beetje oefenen: probeer te bepalen welke numerieke reeksen een meetkundige reeks zijn en welke een rekenkundige:

Ik snap het? Vergelijk onze antwoorden:

• Geometrische progressie - 3, 6.
• Rekenkundige progressie - 2, 4.
• Het is geen rekenkundige of meetkundige progressie - 1, 5, 7.

Laten we terugkeren naar onze laatste progressie, en laten we proberen de term op dezelfde manier te vinden als in de rekenkunde. Zoals je misschien al geraden hebt, zijn er twee manieren om het te vinden.

We vermenigvuldigen elke term achtereenvolgens met.

Dus het -de lid van de beschreven geometrische progressie is gelijk aan.

Zoals je al vermoedt, zul je nu zelf een formule afleiden waarmee je elk lid van een geometrische progressie kunt vinden. Of heb je het al voor jezelf naar buiten gebracht en beschreven hoe je het e lid stapsgewijs kunt vinden? Zo ja, controleer dan de juistheid van uw redenering.

Laten we dit illustreren aan de hand van het voorbeeld van het vinden van het -de lid van deze progressie:

Met andere woorden:

Vind jezelf de waarde van een lid van een bepaalde geometrische progressie.

Gebeurd? Vergelijk onze antwoorden:

Let erop dat je precies hetzelfde getal kreeg als in de vorige methode, toen we achtereenvolgens vermenigvuldigden met elk vorig lid van de geometrische progressie.
Laten we proberen deze formule te "depersonaliseren" - we brengen het in een algemene vorm en krijgen:

De afgeleide formule geldt voor alle waarden - zowel positief als negatief. Controleer het zelf door de termen van een meetkundig verloop te berekenen met de volgende voorwaarden: , a.

Heb je geteld? Laten we de resultaten vergelijken:

Mee eens dat het mogelijk zou zijn om een ​​lid van de progressie op dezelfde manier te vinden als een lid, maar er is een mogelijkheid van een misrekening. En als we de derde term van een meetkundige reeks, a, al hebben gevonden, wat is er dan gemakkelijker dan het "afgekapte" deel van de formule te gebruiken.

Een oneindig afnemende geometrische progressie.

Meer recentelijk hebben we gesproken over wat groter of kleiner kan zijn dan nul, maar er zijn speciale waarden waarvoor de geometrische progressie wordt genoemd oneindig afnemend.

Waarom denk je dat het zo'n naam heeft?
Laten we om te beginnen een meetkundige reeks opschrijven die uit leden bestaat.
Laten we zeggen dan:

We zien dat elke volgende term in tijden minder is dan de vorige, maar zal er een aantal zijn? Je antwoordt meteen - "nee". Dat is de reden waarom de oneindig afnemende - afneemt, afneemt, maar nooit nul wordt.

Om duidelijk te begrijpen hoe dit er visueel uitziet, proberen we een grafiek van onze voortgang te tekenen. Dus voor ons geval heeft de formule de volgende vorm:

Op de hitlijsten zijn we gewend om afhankelijk te zijn van, daarom:

De essentie van de uitdrukking is niet veranderd: in de eerste invoer toonden we de afhankelijkheid van de waarde van een meetkundig progressielid van zijn rangtelwoord, en in de tweede invoer namen we eenvoudig de waarde van een meetkundig progressielid voor, en het volgnummer werd niet aangeduid als, maar als. Het enige dat u hoeft te doen, is de grafiek plotten.
Laten we eens kijken wat je hebt. Hier is de grafiek die ik heb:

Zien? De functie neemt af, neigt naar nul, maar gaat er nooit overheen, dus neemt ze oneindig af. Laten we onze punten in de grafiek markeren en tegelijkertijd wat de coördinaat en betekent:

Probeer schematisch een grafiek van een meetkundig verloop weer te geven als de eerste term ook gelijk is. Analyseer wat het verschil is met onze vorige grafiek?

Is het je gelukt? Hier is de grafiek die ik heb:

Nu je de basis van het onderwerp meetkundige progressie volledig hebt begrepen: je weet wat het is, je weet de term te vinden en je weet ook wat een oneindig afnemende meetkundige progressie is, laten we verder gaan met de belangrijkste eigenschap.

eigenschap van een geometrische progressie.

Herinner je je de eigenschap van de leden van een rekenkundige reeks? Ja, ja, hoe de waarde van een bepaald aantal van een progressie te vinden wanneer er eerdere en volgende waarden zijn van de leden van deze progressie. Herinnerd? Deze:

Nu worden we geconfronteerd met precies dezelfde vraag voor de termen van een geometrische progressie. Laten we beginnen met tekenen en redeneren om zo'n formule af te leiden. Je zult zien, het is heel gemakkelijk, en als je het vergeet, kun je het zelf naar buiten brengen.

Laten we een andere eenvoudige geometrische progressie nemen, waarin we weten en. Hoe te vinden? Met een rekenkundige progressie is dit gemakkelijk en eenvoudig, maar hoe zit het hier? In feite is er ook niets ingewikkelds in geometrie - u hoeft alleen elke waarde die ons wordt gegeven volgens de formule te schilderen.

U vraagt, en wat doen we er nu mee? Ja, heel eenvoudig. Laten we om te beginnen deze formules in de figuur weergeven en proberen er verschillende manipulaties mee uit te voeren om tot een waarde te komen.

We abstraheren van de getallen die we krijgen, we zullen ons alleen concentreren op hun uitdrukking door middel van een formule. We moeten de waarde vinden die in oranje is gemarkeerd, de termen ernaast kennend. Laten we proberen verschillende acties met hen uit te voeren, waardoor we kunnen krijgen.

Toevoeging.
Laten we proberen twee uitdrukkingen toe te voegen en we krijgen:

Van deze uitdrukking kunnen we, zoals je kunt zien, op geen enkele manier uitdrukken, daarom zullen we een andere optie proberen - aftrekken.

aftrekken.

Zoals je kunt zien, kunnen we hier ook niet uitdrukken, daarom zullen we proberen deze uitdrukkingen met elkaar te vermenigvuldigen.

Vermenigvuldiging.

Kijk nu goed naar wat we hebben, vermenigvuldig de termen van een geometrische progressie die ons is gegeven in vergelijking met wat er moet worden gevonden:

Raad eens waar ik het over heb? Juist, om te vinden moeten we nemen Vierkantswortel van de geometrische progressiegetallen naast het gewenste getal vermenigvuldigd met elkaar:

Alsjeblieft. Je hebt zelf de eigenschap van een meetkundige reeks afgeleid. Probeer deze formule te schrijven in algemeen beeld. Gebeurd?

Staat vergeten wanneer? Bedenk waarom het belangrijk is, probeer het bijvoorbeeld zelf uit te rekenen, op. Wat gebeurt er in dit geval? Dat klopt, complete onzin, want de formule ziet er als volgt uit:

Vergeet daarom deze beperking niet.

Laten we nu berekenen wat is

Goed antwoord - ! Als je de tweede mogelijke waarde bij het berekenen niet bent vergeten, dan ben je een geweldige kerel en kun je meteen doorgaan met trainen, en als je het bent vergeten, lees dan wat hieronder wordt geanalyseerd en let op waarom beide wortels in het antwoord moeten worden geschreven .

Laten we onze beide geometrische progressies tekenen - de ene met een waarde en de andere met een waarde, en controleren of ze allebei bestaansrecht hebben:

Om te controleren of zo'n meetkundige progressie bestaat of niet, is het nodig om te zien of deze hetzelfde is tussen alle gegeven leden? Bereken q voor het eerste en tweede geval.

Zie je waarom we twee antwoorden moeten schrijven? Omdat het teken van de vereiste term afhangt van of het positief of negatief is! En omdat we niet weten wat het is, moeten we beide antwoorden met een plus en een min schrijven.

Nu je de hoofdpunten onder de knie hebt en de formule hebt afgeleid voor de eigenschap van een meetkundig verloop, vind, weet en

Vergelijk je antwoorden met de juiste:

Wat denk je, wat als we niet de waarden van de leden van de geometrische progressie naast het gewenste getal zouden krijgen, maar op gelijke afstand ervan. We moeten bijvoorbeeld vinden, en gegeven en. Kunnen we de formule gebruiken die we in dit geval hebben afgeleid? Probeer deze mogelijkheid op dezelfde manier te bevestigen of te weerleggen en beschrijf waar elke waarde uit bestaat, zoals u deed bij het afleiden van de formule in eerste instantie.
Wat heb je gekregen?

Kijk nu nog eens goed.
en overeenkomstig:

Hieruit kunnen we concluderen dat de formule werkt niet alleen met buren met de gewenste termen van een meetkundig verloop, maar ook met gelijke afstand van wat de leden zoeken.

Onze oorspronkelijke formule wordt dus:

Dat wil zeggen, als we dat in het eerste geval zeiden, zeggen we nu dat het gelijk kan zijn aan elke natuurlijk nummer, wat minder is. Het belangrijkste is dat beide getallen hetzelfde zijn.

Oefen voor concrete voorbeelden wees gewoon uiterst voorzichtig!

1. , . Vind.
2. , . Vind.
3. , . Vind.

Ik besloot? Ik hoop dat je zeer attent was en een kleine vangst hebt opgemerkt.

Wij vergelijken de resultaten.

In de eerste twee gevallen passen we de bovenstaande formule rustig toe en krijgen de volgende waarden:

In het derde geval, na zorgvuldige overweging van de serienummers van de nummers die ons zijn gegeven, begrijpen we dat ze niet op gelijke afstand liggen van het nummer dat we zoeken: het is het vorige nummer, maar op zijn plaats verwijderd, dus het is niet mogelijk formule toe te passen.

Hoe het op te lossen? Het is eigenlijk niet zo moeilijk als het lijkt! Laten we samen met u opschrijven waaruit elk nummer en het gewenste nummer bestaat.

Dus we hebben en. Laten we eens kijken wat we met ze kunnen doen. Ik stel voor om te splitsen. We krijgen:

We vervangen onze gegevens in de formule:

De volgende stap die we kunnen vinden - hiervoor moeten we de derdemachtswortel van het resulterende getal nemen.

Laten we nu nog eens kijken naar wat we hebben. We hebben, maar we moeten vinden, en het is op zijn beurt gelijk aan:

We hebben alle benodigde gegevens voor de berekening gevonden. Vervang in de formule:

Ons antwoord: .

Probeer zelf een ander zelfde probleem op te lossen:
gegeven: ,
Vind:

Hoeveel heb je gekregen? Ik heb - .

Zoals je kunt zien, heb je in feite nodig onthoud slechts één formule- . Al de rest kunt u op elk moment zonder problemen zelf terugtrekken. Om dit te doen, schrijft u eenvoudig de eenvoudigste geometrische progressie op een stuk papier en noteert u waar, volgens de bovenstaande formule, elk van zijn getallen gelijk aan is.

De som van de termen van een meetkundige progressie.

Overweeg nu de formules waarmee we snel de som van de termen van een geometrische progressie in een bepaald interval kunnen berekenen:

Om de formule voor de som van termen van een eindige meetkundige reeks af te leiden, vermenigvuldigen we alle delen van de bovenstaande vergelijking met. We krijgen:

Kijk goed: wat hebben de laatste twee formules gemeen? Dat klopt, gemeenschappelijke leden bijvoorbeeld enzovoort, behalve het eerste en laatste lid. Laten we proberen de 1e vergelijking van de 2e vergelijking af te trekken. Wat heb je gekregen?

Druk nu uit door de formule van een lid van een geometrische progressie en vervang de resulterende uitdrukking in onze laatste formule:

Groepeer de uitdrukking. Je zou moeten krijgen:

Het enige dat u hoeft te doen, is uitdrukken:

Dienovereenkomstig, in dit geval.

Wat als? Welke formule werkt dan? Stel je een geometrische progressie voor bij. Hoe is zij? Juiste rij dezelfde nummers, dus de formule ziet er als volgt uit:

Net als bij rekenkundige en geometrische progressie, zijn er veel legendes. Een daarvan is de legende van Seth, de schepper van het schaken.

Veel mensen weten dat schaakspel werd uitgevonden in India. Toen de hindoe-koning haar ontmoette, was hij verrukt over haar humor en de verscheidenheid aan posities die in haar mogelijk waren. Toen de koning hoorde dat het was uitgevonden door een van zijn onderdanen, besloot hij hem persoonlijk te belonen. Hij riep de uitvinder bij zich en beval hem te vragen wat hij maar wilde, en beloofde zelfs de meest bekwame wens te vervullen.

Seta vroeg om tijd om na te denken, en toen Seta de volgende dag voor de koning verscheen, verraste hij de koning met de ongeëvenaarde bescheidenheid van zijn verzoek. Hij vroeg om een ​​graankorrel voor het eerste veld van het schaakbord, tarwe voor het tweede, voor het derde, voor het vierde, enzovoort.

De koning was boos en joeg Seth weg, zeggende dat het verzoek van de dienaar koninklijke vrijgevigheid onwaardig was, maar beloofde dat de dienaar zijn granen zou ontvangen voor alle cellen van het bord.

En nu is de vraag: bereken met behulp van de formule voor de som van leden van een geometrische reeks hoeveel korrels Seth zou moeten ontvangen?

Laten we beginnen met bespreken. Aangezien Seth volgens de voorwaarde om een ​​tarwekorrel vroeg voor de eerste cel van het schaakbord, voor de tweede, voor de derde, voor de vierde, enz., zien we dat in het probleem we zijn aan het praten over geometrische progressie. Wat is in dit geval gelijk?
Correct.

Totale cellen van het schaakbord. Respectievelijk, . We hebben alle gegevens, het blijft alleen om de formule in te vullen en te berekenen.

Om op zijn minst ongeveer de "schalen" van een bepaald getal weer te geven, transformeren we met behulp van de eigenschappen van de graad:

Als je wilt, kun je natuurlijk een rekenmachine nemen en berekenen wat voor soort getal je krijgt, en zo niet, dan moet je me op mijn woord geloven: de uiteindelijke waarde van de uitdrukking zal zijn.
Dat is:

quintiljoen quadriljoen biljoen miljard miljoen duizend.

Fuh) Als je je de enorme omvang van dit aantal wilt voorstellen, schat dan in welke schuur nodig is om de volledige hoeveelheid graan te huisvesten.
Bij een stalhoogte van m en een breedte van m zou de lengte zich moeten uitstrekken tot km, d.w.z. twee keer zo ver van de aarde naar de zon.

Als de koning sterk was in wiskunde, zou hij de wetenschapper kunnen aanbieden om de korrels zelf te tellen, want om een ​​miljoen korrels te tellen, zou hij minstens een dag onvermoeibaar tellen nodig hebben, en aangezien het noodzakelijk is om de triljoenen te tellen, de korrels zouden zijn hele leven geteld moeten worden.

En nu zullen we een eenvoudig probleem oplossen met de som van termen van een geometrische progressie.
Vasya, een leerling van de vijfde klas, werd ziek van de griep, maar blijft naar school gaan. Elke dag besmet Vasya twee mensen die op hun beurt nog twee mensen besmetten, enzovoort. Slechts één persoon in de klas. Over hoeveel dagen krijgt de hele klas griep?

Dus het eerste lid van een geometrische progressie is Vasya, dat wil zeggen een persoon. e lid van de geometrische progressie, dit zijn de twee mensen die hij op de eerste dag van zijn aankomst besmette. De totale som van de leden van de doorstroom is gelijk aan het aantal leerlingen 5A. We hebben het dan ook over een progressie waarin:

Laten we onze gegevens vervangen door de formule voor de som van de termen van een geometrische progressie:

De hele klas wordt binnen enkele dagen ziek. Geloof je niet in formules en getallen? Probeer zelf de 'infectie' van de leerlingen in beeld te brengen. Gebeurd? Kijk hoe het er voor mij uitziet:

Bereken zelf hoeveel dagen de leerlingen griep zouden krijgen als iedereen een persoon zou besmetten, en er was een persoon in de klas.

Welke waarde heb je gekregen? Het bleek dat iedereen na een dag ziek begon te worden.

Zoals je kunt zien, lijkt zo'n taak en de tekening ervoor op een piramide, waarin elke volgende nieuwe mensen "brengt". Vroeg of laat komt er echter een moment waarop deze laatste niemand kan aantrekken. In ons geval, als we ons voorstellen dat de klas geïsoleerd is, sluit de persoon van de keten (). Dus als een persoon betrokken zou zijn bij een financiële piramide waarin geld werd gegeven als je twee andere deelnemers meebracht, dan zou de persoon (of in het algemeen geval) niemand respectievelijk alles verliezen wat ze in deze financiële zwendel hadden geïnvesteerd .

Alles wat hierboven is gezegd verwijst naar een afnemende of toenemende geometrische progressie, maar, zoals je je herinnert, hebben we een speciaal soort - een oneindig afnemende geometrische progressie. Hoe de som van zijn leden berekenen? En waarom heeft dit type progressie bepaalde kenmerken? Laten we het samen uitzoeken.

Laten we om te beginnen nog eens kijken naar deze afbeelding van een oneindig afnemende geometrische progressie uit ons voorbeeld:

En laten we nu eens kijken naar de formule voor de som van een meetkundige progressie, iets eerder afgeleid:
of

Waar streven we naar? Dat klopt, de grafiek laat zien dat het naar nul neigt. Dat wil zeggen, wanneer het bijna gelijk zal zijn, respectievelijk, bij het berekenen van de uitdrukking, zullen we bijna krijgen. In dit opzicht zijn we van mening dat bij het berekenen van de som van een oneindig afnemende geometrische progressie, deze haak kan worden verwaarloosd, omdat deze gelijk zal zijn.

- de formule is de som van de termen van een oneindig afnemende geometrische progressie.

BELANGRIJK! We gebruiken de formule voor de som van termen van een oneindig afnemende meetkundige reeks alleen als de voorwaarde expliciet stelt dat we de som moeten vinden eindeloos het aantal leden.

Als een bepaald getal n wordt aangegeven, dan gebruiken we de formule voor de som van n termen, ook als of.

En laten we nu oefenen.

1. Vind de som van de eerste termen van een meetkundige reeks met en.
2. Vind de som van de termen van een oneindig afnemende geometrische progressie met en.

Ik hoop dat je heel voorzichtig was. Vergelijk onze antwoorden:

Nu weet je alles over meetkundige progressie, en het is tijd om van theorie naar praktijk te gaan. De meest voorkomende exponentiële problemen op het examen zijn samengestelde renteproblemen. Het is over hen dat we zullen praten.

Problemen voor het berekenen van samengestelde rente.

Je hebt vast wel eens gehoord van de zogenaamde samengestelde renteformule. Begrijp je wat ze bedoelt? Zo niet, laten we het uitzoeken, want als je het proces zelf hebt gerealiseerd, zul je meteen begrijpen wat de geometrische progressie ermee te maken heeft.

We gaan allemaal naar de bank en weten dat die er zijn verschillende omstandigheden op deposito's: dit is zowel een termijn, als extra onderhoud, en een percentage met twee verschillende manieren de berekening ervan - eenvoudig en complex.

VAN enkelvoudige rente alles is min of meer duidelijk: aan het einde van de depositotermijn wordt eenmalig rente in rekening gebracht. Dat wil zeggen, als we het hebben over het onderbrengen van 100 roebel per jaar, dan worden ze pas aan het einde van het jaar gecrediteerd. Dienovereenkomstig zullen we tegen het einde van de aanbetaling roebels ontvangen.

Samengestelde rente is een optie waarbij: rentekapitalisatie, d.w.z. hun toevoeging aan het bedrag van de aanbetaling en de daaropvolgende berekening van het inkomen, niet van het initiële, maar van het geaccumuleerde bedrag van de aanbetaling. Hoofdlettergebruik vindt niet constant plaats, maar met enige periodiciteit. In de regel zijn dergelijke perioden gelijk en meestal hanteren banken een maand, een kwartaal of een jaar.

Laten we zeggen dat we allemaal dezelfde roebels per jaar plaatsen, maar met een maandelijkse kapitalisatie van de aanbetaling. Wat krijgen we?

Begrijp je hier alles? Zo niet, laten we het dan stap voor stap bekijken.

We brachten roebels naar de bank. Tegen het einde van de maand zouden we een bedrag op onze rekening moeten hebben dat bestaat uit onze roebels plus rente daarop, dat wil zeggen:

Daar ben ik het mee eens?

We kunnen het uit de beugel halen en dan krijgen we:

Mee eens, deze formule lijkt al meer op degene die we aan het begin schreven. Het blijft om te gaan met percentages

In de toestand van het probleem, wordt ons verteld over de jaarlijkse. Zoals u weet, vermenigvuldigen we niet met - we converteren percentages naar decimalen, dat is:

Rechts? Nu vraag je, waar komt het nummer vandaan? Erg makkelijk!
Ik herhaal: de toestand van het probleem zegt over: JAARLIJKS opgebouwde rente MAANDELIJKS. Zoals u weet, zal de bank ons ​​over een jaar of maanden per maand een deel van de jaarlijkse rente in rekening brengen:

Realiseerde? Probeer nu op te schrijven hoe dit deel van de formule eruit zou zien als ik zou zeggen dat de rente dagelijks wordt berekend.
Is het je gelukt? Laten we de resultaten vergelijken:

Goed gedaan! Laten we terugkeren naar onze taak: schrijf op hoeveel er voor de tweede maand op onze rekening wordt bijgeschreven, rekening houdend met het feit dat er rente wordt berekend over het opgebouwde stortingsbedrag.
Dit is wat er met mij is gebeurd:

Of met andere woorden:

Ik denk dat je al een patroon hebt opgemerkt en een geometrische progressie in dit alles hebt gezien. Schrijf op waar het lidmaatschap aan gelijk zal zijn, of met andere woorden, hoeveel geld we aan het einde van de maand zullen ontvangen.
Deed? Controle!

Zoals u kunt zien, ontvangt u roebels als u een jaar lang geld op een bank zet tegen een eenvoudige rente, en als u het tegen een samengestelde rente zet, ontvangt u roebels. Het voordeel is klein, maar dit gebeurt alleen tijdens het e jaar, maar voor een langere periode is kapitalisatie veel winstgevender:

Overweeg een ander type probleem van samengestelde rente. Na wat je hebt bedacht, zal het elementair voor je zijn. De taak is dus:

Zvezda begon in 2000 te investeren in de industrie met een dollarkapitaal. Sinds 2001 heeft het elk jaar een winst gemaakt die gelijk is aan het kapitaal van het voorgaande jaar. Hoeveel winst krijgt het bedrijf Zvezda eind 2003 als de winst niet aan de circulatie wordt onttrokken?

De hoofdstad van het bedrijf Zvezda in 2000.
- het kapitaal van het bedrijf Zvezda in 2001.
- het kapitaal van het bedrijf Zvezda in 2002.
- het kapitaal van het bedrijf Zvezda in 2003.

Of we kunnen kort schrijven:

Voor ons geval:

2000, 2001, 2002 en 2003.

Respectievelijk:
roebels
Merk op dat we in dit probleem geen deling door of door hebben, aangezien het percentage JAARLIJKS wordt gegeven en JAARLIJKS wordt berekend. Dat wil zeggen, let bij het lezen van het probleem voor samengestelde rente op welk percentage wordt gegeven en in welke periode het in rekening wordt gebracht, en ga dan pas verder met de berekeningen.
Nu weet je alles over geometrische progressie.

Training.

1. Zoek een term van een meetkundige reeks als het bekend is dat, en
2. Vind de som van de eerste termen van een meetkundige reeks, als dat bekend is, en
3. MDM Capital begon in 2003 te investeren in de industrie met een dollarkapitaal. Sinds 2004 maakt ze elk jaar een winst die gelijk is aan het vermogen van het voorgaande jaar. Het bedrijf "MSK Cash Flows" begon in 2005 in de industrie te investeren voor een bedrag van $ 10.000, en begon in 2006 winst te maken voor een bedrag van. Met hoeveel dollar overschrijdt het kapitaal van het ene bedrijf dat van het andere eind 2007, als de winst niet aan de omloop wordt onttrokken?

antwoorden:

1. Aangezien de toestand van het probleem niet zegt dat de progressie oneindig is en het nodig is om de som van een bepaald aantal leden te vinden, wordt de berekening uitgevoerd volgens de formule:
2. 
   Bedrijf "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - neemt toe met 100%, dat wil zeggen 2 keer.
   Respectievelijk:
   roebels
   MSK-kasstromen:

   2005, 2006, 2007.
   - neemt toe met, dat wil zeggen, tijden.
   Respectievelijk:
   roebels
   roebels

Laten we samenvatten.

1) Een meetkundige reeks ( ) is een numerieke reeks, waarvan de eerste term verschilt van nul, en elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal. Dit getal wordt de noemer van een meetkundige reeks genoemd.

2) De vergelijking van de leden van een meetkundige reeks -.

3) kan elke waarde aannemen, behalve en.

• als, dan hebben alle volgende leden van de progressie hetzelfde teken - zij positief;
• als, dan alle volgende leden van de progressie alternatieve tekens;
• wanneer - de progressie oneindig afnemend wordt genoemd.

4) , at - eigenschap van een geometrische progressie (naburige termen)

of
, op (gelijkwaardige termen)

Als je het vindt, vergeet dat dan niet er moeten twee antwoorden zijn..

Bijvoorbeeld,

5) De som van de leden van een meetkundige reeks wordt berekend met de formule:
of

Als de progressie oneindig afneemt, dan:
of

BELANGRIJK! We gebruiken de formule voor de som van termen van een oneindig afnemende meetkundige reeks alleen als de voorwaarde expliciet stelt dat we de som moeten vinden een oneindig aantal leden.

6) Taken voor samengestelde rente worden ook berekend volgens de formule van het e lid van een meetkundige reeks, op voorwaarde dat de fondsen niet aan de circulatie zijn onttrokken:

GEOMETRISCHE VOORTGANG. KORT OVER DE HOOFDSTUK

Geometrische voortgang( ) is een numerieke reeks waarvan de eerste term verschilt van nul, en elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal. Dit nummer heet de noemer van een meetkundige progressie.

Noemer van een geometrische progressie kan elke waarde aannemen behalve en.

• Als alle volgende leden van de progressie hetzelfde teken hebben, zijn ze positief;
• als, dan zullen alle volgende leden van de progressie afwisselend tekenen;
• wanneer - de progressie oneindig afnemend wordt genoemd.

Vergelijking van leden van een meetkundige reeks - .

De som van de termen van een geometrische progressie berekend met de formule:
of

Geometrische voortgang niet minder belangrijk in de wiskunde dan in de rekenkunde. Een meetkundige reeks is zo'n reeks getallen b1, b2,..., b[n] waarvan elk volgend lid wordt verkregen door de vorige te vermenigvuldigen met een constant getal. Dit getal, dat ook de snelheid van groei of afname van de progressie kenmerkt, wordt genoemd noemer van een meetkundige reeks en duiden op

Voor een volledige toewijzing van een meetkundige reeks is het, naast de noemer, noodzakelijk om de eerste term ervan te kennen of te bepalen. Voor positieve waarde noemerprogressie is een monotone reeks, en als deze reeks getallen monotoon afnemend en monotoon toenemend is. Het geval waarin de noemer gelijk is aan één wordt in de praktijk niet beschouwd, omdat we een reeks identieke getallen hebben en hun optelling niet van praktisch belang is

Algemene term van een geometrische progressie berekend volgens de formule

De som van de eerste n termen van een meetkundige reeks bepaald door de formule

Laten we eens kijken naar oplossingen van klassieke geometrische progressieproblemen. Laten we beginnen met de eenvoudigste om te begrijpen.

Voorbeeld 1. De eerste term van een meetkundige reeks is 27 en de noemer is 1/3. Zoek de eerste zes termen van een geometrische progressie.

Oplossing: we schrijven de toestand van het probleem in het formulier

Voor berekeningen gebruiken we de formule voor het nde lid van een meetkundige reeks

Op basis hiervan vinden we onbekende leden van de progressie

Zoals u kunt zien, is het berekenen van de voorwaarden van een geometrische progressie niet moeilijk. De progressie zelf ziet er zo uit

Voorbeeld 2. De eerste drie leden van een meetkundige reeks worden gegeven: 6; -12; 24. Zoek de noemer en de zevende term.

Oplossing: we berekenen de noemer van de geometrische progressie op basis van de definitie ervan

We hebben een afwisselende geometrische progressie waarvan de noemer -2 is. De zevende term wordt berekend met de formule

Op deze taak is opgelost.

Voorbeeld 3. Een meetkundig verloop wordt gegeven door twee van zijn leden . Zoek de tiende term van de progressie.

Oplossing:

Laten we de gegeven waarden door de formules schrijven

Volgens de regels zou men de noemer moeten vinden en dan zoeken naar Gewenste waarde, maar voor de tiende termijn hebben we

Dezelfde formule kan worden verkregen op basis van eenvoudige manipulaties met de invoergegevens. We delen de zesde term van de reeks door een andere, als resultaat krijgen we

Als de resulterende waarde wordt vermenigvuldigd met de zesde term, krijgen we de tiende

Dus voor dergelijke problemen, met behulp van eenvoudige transformaties in snelle manier vindt u de juiste oplossing.

Voorbeeld 4. Geometrische progressie wordt gegeven door terugkerende formules

Zoek de noemer van de geometrische progressie en de som van de eerste zes termen.

Oplossing:

We schrijven de gegeven gegevens in de vorm van een stelsel vergelijkingen

Druk de noemer uit door de tweede vergelijking te delen door de eerste

Vind de eerste term van de progressie van de eerste vergelijking

Bereken de volgende vijf termen om de som van de geometrische progressie te vinden

Een geometrische progressie is een numerieke reeks die niet nul is en wordt gevormd als resultaat van het vermenigvuldigen van elke volgende term met een gegeven coëfficiënt die niet gelijk is aan nul.

Sequentie definitie

Alvorens met progressie om te gaan, moet men de definitie van een numerieke reeks en de wet waardoor deze wordt bepaald, begrijpen. Denk aan de natuurlijke reeks - de eerste numerieke reeks die we opnieuw bestuderen kleuterschool. Dit zijn gehele getallen die worden gebruikt om items te vertellen. Het begin ziet er als volgt uit:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n

Als elk nummer van de natuurlijke reeks wordt geassocieerd met een ander nummer gevormd volgens een bepaalde formule, krijgen we een nieuwe reeks:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... een

Het getal an is een gemeenschappelijk lid van de reeks en de wet die de elementen van de reeks vormt. Het is duidelijk dat de formule voor het instellen van de natuurlijke reeks eenvoudig n is. Voor een reeks even getallen wordt elk element en elke gemeenschappelijke term gegeven door de formule 2n, en voor oneven getallen - 2n − 1.

Rekenkundige en geometrische progressies

Een ander voorbeeld van exponentiële progressie is de epidemische verspreiding van griep. Eén patiënt per dag kan bijvoorbeeld 12 mensen besmetten, elk van de 12 besmet ook nog eens 12 mensen, dus op de tweede dag zijn er 144 patiënten, op de derde - 1.728 en op de vierde - 20.736.

Ons programma genereert een geometrische progressie van de geselecteerde waarde. Om dit te doen, moet u de waarde van de eerste term invoeren in de cel "Eerste getal", de noemer van de progressie in de cel "Verschil (stap)" en het aantal elementen van de reeks in de "Laatste nummer" cel. Daarna zal het programma getallen geven die overeenkomen met de wet van geometrische progressie.

Laten we naar een voorbeeld kijken

Geldspel per post

In de Sovjettijd was er een zwendel gebaseerd op het principe van geometrische progressie. De essentie van de zwendel is als volgt. Mensen ontvingen brieven met 5 adressen en instructies:

• stuur naar adressen voor 1 roebel;
• doorstreep het eerste adres en schrijf uw vijfde;
• stuur uitnodigingsbrieven met de opgegeven adressen naar uw vrienden en kennissen.

De avonturiers gaven een logische verklaring voor het verrijkingsmechanisme. Inderdaad, als de door u uitgenodigde mensen elk 1 roebel sturen, dan krijgt u het uitgegeven geld terug. Vijf uitgenodigde deelnemers aan het spel sturen brieven naar hun vrienden, waarin uw adres wordt aangegeven op nummer 4. Het aantal van dergelijke brieven is al 25 en de volgende golf van genodigden stuurt u in totaal 25 roebel. Daarna sturen 25 mensen elk 5 brieven, waarbij uw adres het derde is en dit zijn al 125 enveloppen van elk 1 roebel.

Hoeveel geld beloofden de oplichters aan het einde van de uitnodigingsronde? Het antwoord ligt in een eenvoudige geometrische progressie. Volgens hun versie zullen er 5 uitnodigingen met je adres zijn. Omdat we geen rekening houden met de eenheid, maar beginnen met 5 letters, is het laatste getal gelijk aan 6. De eerste is natuurlijk 1. De stap van onze geometrische progressie is 5. We sturen deze gegevens naar de cellen van de rekenmachine en krijg de reeks:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

de som van de sequentie-elementen is in dit geval 3906. Het was de winst van 3906 roebel die de oplichters beloofden aan goedgelovige burgers. Natuurlijk ging in de praktijk al het geld naar de organisatoren van het spel, aangezien de oplichters bij de eerste stap niet één brief stuurden, maar honderden, waarin hun eigen adressen werden aangegeven. Zelfs als de oplichters bij de eerste stap slechts 200 brieven sturen, dan zouden bij de vijfde stap 625.000 mensen aan het spel moeten deelnemen en zullen de organisatoren meer dan 700.000 roebel van hen ontvangen. Verdere stappen hebben geen zin meer.

Conclusie

Geometrische progressie wordt vaak gevonden in de werkelijkheid. Gebruik onze catalogus met rekenmachines om interessante problemen op te lossen of casestudy's te bekijken.