Oorlogen en bloed. Het lijkt erop dat er op dit moment geen sprake kan zijn van enige wetenschap. En toch twee grootste ontdekkingen komen naar ons uit dit tijdperk - Arabische cijfers en de Fibonacci-reeks. Er waren natuurlijk nog anderen wetenschappelijke ontdekkingen, maar nu zullen we er niet over praten.

Geschiedenis terzijde latend Arabische cijfers, laten we de Fibonacci-reeks eens nader bekijken - wat is het en waarom is het zo beroemd. In feite is de Fibonacci-reeks een reeks getallen waarin het hoogste lid van de reeks gelijk is aan de som van de twee dichtstbijzijnde lagere leden van de reeks. Als resultaat van dergelijke acties zullen de volgende cijfers worden verkregen:

een; een; 2; 3; 5; acht; 13; 21 enz.

Ze worden genoemd en samen vormen ze de Fibonacci-reeks. Maar het punt zit hem niet eens in de cijfers zelf, maar in de verhoudingen ertussen. De verhouding van het getal in de reeks tot het vorige lid van de reeks resulteert dus in een waarde die dicht bij 1,618 ligt. En hoe groter de getallen die voor een dergelijke verhouding worden gebruikt, hoe nauwkeuriger deze waarde wordt waargenomen.

Anderen, niet minder interessant feit, die de Fibonacci-reeks heeft, is de verhouding van de vorige term tot de volgende. Deze verhouding benadert 0,618 en is het omgekeerde van 1,618.

Als we de verhouding nemen van andere getallen uit de Fibonacci-reeks, niet de dichtstbijzijnde, maar bijvoorbeeld door één of door twee, dan zal het resultaat andere waarden zijn: voor de leden van de reeks, genomen door één, een getal zal worden verkregen neigt naar 2.618. Bij het berekenen van de verhouding van de hoogste term tot de laagste term via twee termen van de reeks, zal het resultaat neigen naar 4,236. Als we volgens hetzelfde principe de relatie van de junior leden van de reeks tot de senioren beschouwen (via een of twee termen), dan zullen de wederzijdse waarden van de reeds ontvangen nummers worden verkregen: 0.382 (wederzijdse waarde van het getal 2.618), de volgende - 0.236 (wederzijdse waarde 4.236) enzovoort.

Op het eerste gezicht is dit allemaal slechts curieuze informatie, een spel met getallen dat geen praktische implementatie heeft. Dit is echter helemaal niet het geval. In technologie, in kunst, in architectuur is er het concept van de gulden snede. Het is de verhouding van de delen van een object tot elkaar, waardoor de meest harmonieuze perceptie van het object als geheel ontstaat. Heel vaak gebruiken kunstenaars en architecten de gulden snede, waardoor de indruk van harmonie ontstaat uit hun schilderijen en structuren. Dezelfde verhouding wordt door fotografen aanbevolen bij het samenstellen van een kader. Een van de regels luidt: om een ​​goed beeld te krijgen, verdeelt u het kader in drie delen en plaatst u het midden van de compositie op het snijpunt van de verticale en horizontale lijnen die 2/3 van de horizontale en verticale kaders vormen. A is een van de Fibonacci-ratio's - 1.618. Het is deze verhouding van delen en het geheel die voor de meest harmonieuze waarneming zal zorgen. De Fibonacci-reeks dient dus niet alleen als een spel van de geest, maar is letterlijk het fundament waarop de harmonie en schoonheid van de waarneming van de omringende wereld staat.

Fibonacci-ratio's zijn ook geldig in dieren in het wild. Ze kunnen verschillende gebieden aanraken. Dus het slakkenhuis, dat de vorm heeft van een spiraal, gehoorzaamt ook aan de Fibonacci-verhoudingen. De groei van planten, het aantal takken, bladeren, hun locatie zijn vaak ook gerangschikt in overeenstemming met de cijfers en Fibonacci-coëfficiënten.

Nou, de meest bekende applicatie Fibonacci-getallen- handel op financiële markten. In de praktijk van handelaren worden zowel de getallen waaruit de Fibonacci-reeks bestaat als de Fibonacci-ratio's gebruikt. Deze coëfficiënten worden gebruikt om significante niveaus te plannen waarop het prijsgedrag naar verwachting zal veranderen.

Naast directe Fibonacci zijn er veel andere handelsmethoden die ermee worden gemaakt. Deze omvatten Fibonacci-lijnen, Fibonacci-zones, Fibonacci-projecties, enz. Dit helpt handelaren om marktgedrag te voorspellen, zich van tevoren voor te bereiden op mogelijke veranderingen in prijsgedrag en hun handel te plannen.

Al het bovenstaande dekt niet alle manifestaties van de invloed van getallen en de Fibonacci-reeks in wetenschap, technologie, kunst, maar geeft een idee van wat het is - de Fibonacci-reeks.

De Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci leefde in de 13e eeuw en was een van de eersten in Europa die Arabische (Indiase) cijfers gebruikte. Hij bedacht een enigszins kunstmatig probleem over konijnen die op een boerderij worden grootgebracht, waarbij ze allemaal als vrouwtjes worden beschouwd, mannetjes worden genegeerd. Konijnen beginnen met fokken nadat ze twee maanden oud zijn en krijgen dan elke maand een konijn. Konijnen gaan nooit dood.

Het is noodzakelijk om te bepalen hoeveel konijnen er op de boerderij zullen zijn in n maanden, als er op het eerste moment maar één pasgeboren konijn was.

Uiteraard heeft de boer één konijn in de eerste maand en één konijn in de tweede maand. In de derde maand zullen er twee konijnen zijn, in de vierde maand zullen er drie zijn, enzovoort. Laten we het aantal konijnen in . aanduiden n maand graag. Op deze manier,
,
,
,
,
, …

We kunnen een algoritme construeren om te vinden voor enige n.

Volgens de toestand van het probleem, het totale aantal konijnen
in n+1 maand wordt opgesplitst in drie componenten:

konijnen van een maand oud, niet in staat tot voortplanting, in de hoeveelheid

;

Zo krijgen we

. (8.1)

Met formule (8.1) kunt u een reeks getallen berekenen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

De nummers in deze reeks heten Fibonacci-getallen .

Als accepteren
en
, dan kan men met behulp van formule (8.1) alle andere Fibonacci-getallen bepalen. Formule (8.1) heet terugkerend formule ( herhaling - "terugkeer" in het Latijn).

Voorbeeld 8.1. Stel dat er een trap in zit n stappen. We kunnen het beklimmen met een trede van één trede, of met een trede van twee treden. Hoeveel combinaties zijn er verschillende manieren opstaan?

Als een n= 1, er is maar één oplossing voor het probleem. Voor n= 2 er zijn 2 opties: twee enkele stappen of één dubbele stap. Voor n= 3 er zijn 3 opties: drie enkele treden, of één enkele en één dubbele, of één dubbele en één enkele.

In het volgende geval n= 4, we hebben 5 mogelijkheden (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Om een ​​bepaalde vraag willekeurig te beantwoorden: n, geef het aantal opties aan als , en probeer te bepalen
volgens beroemde en
. Als we beginnen met een enkele stap, dan hebben we combinaties voor de overige n stappen. Als we beginnen met een dubbele stap, dan hebben we
combinaties voor de overige n-1 stappen. Het totaal aantal opties voor n+1 stappen is gelijk aan

. (8.2)

De resulterende formule lijkt, net als een tweeling, op formule (8.1). Dit laat echter niet toe om het aantal combinaties te identificeren met Fibonacci-getallen . We zien bijvoorbeeld dat
, maar
. Er is echter de volgende relatie:

.

Dit is waar voor n= 1, 2, en is ook geldig voor elk n. Fibonacci-getallen en aantal combinaties worden berekend met dezelfde formule, maar de beginwaarden
,
en
,
ze verschillen.

Voorbeeld 8.2. Dit voorbeeld is van praktisch belang voor problemen met foutcorrigerende codering. Vind het aantal van alle binaire woorden van lengte n, niet met meerdere nullen op een rij. Laten we dit getal aanduiden met . Duidelijk,
, en de woorden van lengte 2 die voldoen aan onze beperking zijn: 10, 01, 11, d.w.z.
. Laten
- een woord van n karakters. Als het symbool
, dan
kan willekeurig zijn (
) -letterlijk woord dat niet meerdere nullen op een rij bevat. Het aantal woorden met een eenheid aan het einde is dus gelijk aan
.

Als het symbool
, dan noodzakelijkerwijs
, en de eerste
karakter
kan willekeurig zijn, rekening houdend met de overwogen beperkingen. Daarom is er
woord lengte n met nul aan het einde. Het totale aantal woorden dat voor ons van belang is, is dus:

.

Rekening houdend met het feit dat
en
, de resulterende reeks getallen is de Fibonacci-getallen.

Voorbeeld 8.3. In voorbeeld 7.6 vonden we dat het aantal binaire woorden met constant gewicht t(en lengte) k) is gelijk aan . Laten we nu het aantal binaire woorden met constant gewicht vinden t die niet meerdere nullen achter elkaar bevatten.

Zo kun je redeneren. Laten
het aantal nullen in de betreffende woorden. Elk woord heeft
hiaten tussen de dichtstbijzijnde nullen, die elk een of meer enen bevatten. Er wordt aangenomen dat
. Anders is er geen enkel woord zonder aangrenzende nullen.

Als we precies één eenheid uit elk interval verwijderen, krijgen we een woord van lengte
bevattende nullen. Een dergelijk woord kan op de aangegeven manier worden verkregen bij sommige (en slechts één) k-letterlijk woord met nullen, waarvan er geen twee aangrenzend zijn. Het vereiste aantal valt dus samen met het aantal woorden van lengte
die precies bevatten nullen, d.w.z. gelijk aan
.

Voorbeeld 8.4. Laten we bewijzen dat de som
is gelijk aan Fibonacci-getallen voor elk geheel getal . Symbool
betekent kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan . Bijvoorbeeld, als
, dan
; wat als
, dan
plafond("plafond"). Er is ook een symbool
, wat staat voor grootste geheel getal kleiner dan of gelijk aan . In het Engels heet deze bewerking vloer ("vloer").

Als een
, dan
. Als een
, dan
. Als een
, dan
.

Dus voor de beschouwde gevallen is de som inderdaad gelijk aan de Fibonacci-getallen. We geven nu een bewijs voor het algemene geval. Aangezien de Fibonacci-getallen kunnen worden verkregen met behulp van de recursieve vergelijking (8.1), moet de gelijkheid gelden:

.

En het doet echt:

Hier gebruikten we de eerder verkregen formule (4.4):
.

Som van Fibonacci-getallen

Laten we de som van de eerste bepalen n Fibonacci-getallen.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Het is gemakkelijk in te zien dat door er één aan de rechterkant van elke vergelijking toe te voegen, we opnieuw het Fibonacci-getal krijgen. De algemene formule voor het bepalen van de som van de eerste n Fibonacci-getallen hebben de vorm:

We zullen dit bewijzen met behulp van de methode van wiskundige inductie. Om dit te doen, schrijven we:

Dit bedrag moet gelijk zijn aan
.

Door de linker- en rechterkant van de vergelijking met –1 te verminderen, krijgen we vergelijking (6.1).

Formule voor Fibonacci-getallen

Stelling 8.1. Fibonacci-getallen kunnen worden berekend met behulp van de formule:

.

Een bewijs. Laten we de geldigheid van deze formule verifiëren voor: n= 0, 1, en dan bewijzen we de geldigheid van deze formule voor een willekeurige n door inductie. Laten we de verhouding van de twee dichtstbijzijnde Fibonacci-getallen berekenen:

We zien dat de verhouding van deze getallen schommelt rond de waarde van 1,618 (als we de eerste paar waarden negeren). Deze eigenschap van Fibonacci-getallen lijkt op leden van een geometrische progressie. Aanvaarden
, (
). Dan de uitdrukking

omgezet naar

die er na vereenvoudiging zo uitziet

.

Wij hebben kwadratische vergelijking, waarvan de wortels zijn:

Nu kunnen we schrijven:

(waar c is een constante). beide leden en geef bijvoorbeeld geen Fibonacci-nummers
, terwijl
. Het verschil is echter
voldoet aan de recursieve vergelijking:

Voor n=0 dit verschil geeft , dat is:
. Echter, wanneer? n=1 we hebben
. Verkrijgen
moet worden geaccepteerd:
.

Nu hebben we twee reeksen: en
, die met dezelfde twee getallen beginnen en aan dezelfde recursieve formule voldoen. Ze moeten gelijk zijn:
. De stelling is bewezen.

Met toenemende n lid wordt erg groot terwijl
, en de rol van het lid in verschil wordt verminderd. Daarom, in het algemeen n we kunnen ongeveer schrijven

.

We negeren 1/2 (omdat de Fibonacci-getallen toenemen tot oneindig als n tot het oneindige).

Houding
genaamd gouden ratio, wordt het buiten de wiskunde gebruikt (bijvoorbeeld in beeldhouwkunst en architectuur). De gulden snede is de verhouding tussen de diagonaal en de zijkant regelmatige vijfhoek(Afb. 8.1).

Rijst. 8.1. Regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen

Om de gulden snede aan te duiden, is het gebruikelijk om de letter
ter ere van de beroemde Atheense beeldhouwer Phidias.

priemgetallen

Alle natuurlijke getallen, grote, vallen in twee klassen. De eerste bevat getallen die precies twee natuurlijke delers hebben, één en zichzelf, de tweede omvat de rest. Nummers van de eerste klasse worden genoemd gemakkelijk, en de tweede bestanddeel. Priemgetallen binnen de eerste drie tientallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

De eigenschappen van priemgetallen en hun verband met alle natuurlijke getallen werden bestudeerd door Euclides (3e eeuw voor Christus). Als je priemgetallen achter elkaar uitschrijft, kun je zien dat hun relatieve dichtheid afneemt. De eerste tien van hen zijn goed voor 4, d.w.z. 40%, voor honderd - 25, d.w.z. 25%, per duizend - 168, d.w.z. minder dan 17%, per miljoen - 78498, d.w.z. minder dan 8%, enz. Hun totale aantal is echter oneindig.

Onder priemgetallen zijn er paren van zulke, waarvan het verschil gelijk is aan twee (de zogenaamde eenvoudige tweeling), maar de eindigheid of oneindigheid van dergelijke paren is niet bewezen.

Euclides achtte het duidelijk dat alleen door middel van vermenigvuldiging priemgetallen het is mogelijk om alle natuurlijke getallen te verkrijgen, en elk natuurlijk getal kan op een unieke manier worden weergegeven als een product van priemgetallen (tot de orde van factoren). De priemgetallen vormen dus een multiplicatieve basis van de natuurlijke reeks.

De studie van de verdeling van priemgetallen leidde tot de creatie van een algoritme waarmee men tabellen met priemgetallen kan verkrijgen. Zo'n algoritme is zeef van Eratosthenes(3e eeuw voor Christus). Deze methode bestaat uit het zeven (bijvoorbeeld door doorhalen) van die gehele getallen van een bepaalde reeks
, die deelbaar zijn door ten minste één van de priemgetallen kleiner dan
.

Stelling 8 . 2 . (stelling van Euclides). Het aantal priemgetallen is oneindig.

Een bewijs. De stelling van Euclides over de oneindigheid van het aantal priemgetallen zal worden bewezen met de methode die is voorgesteld door Leonhard Euler (1707-1783). Euler beschouwde het product over alle priemgetallen p:

Bij
. Dit product convergeert, en als het wordt uitgebreid, dan vanwege het unieke karakter van de ontbinding natuurlijke getallen in eenvoudige factoren, blijkt dat het gelijk is aan de som van de reeks , waaruit de Euler-identiteit volgt:

.

sinds at
reeks aan de rechterkant divergeert (harmonische reeks), dan impliceert de Euler-identiteit de stelling van Euclides.

Russische wiskundige P.L. Chebyshev (1821-1894) heeft een formule afgeleid die de limieten bepaalt waarbinnen het aantal priemgetallen is opgenomen
, niet meer dan X:

,

waar
,
.

Hij zal vertellen over het concept van de Fibonacci-reeks en hoe deze verband houdt met de theorie van golven, en zal ook de toepasbaarheid van de reeks op natuurlijke processen weerleggen.
, die de meester in de jaren '30 van de vorige eeuw ontwikkelde - dit is een van de meest opwindende secties. Op zichzelf werd het uitgekozen in een nieuw hoofdstuk van de wetenschap dat grafieken bestudeert. Het is gebaseerd op de ontwikkelingen van andere specialisten op het gebied van theorie (ik raad u aan om te lezen - een boek onder het auteurschap).
Zo wordt bijvoorbeeld de grote Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci gerangschikt onder de wetenschappers (waarover ik al heb gesproken in artikelen -,), die de basis hebben gelegd voor de theorie van Eliot.

De digitale reeks Fibonacci-getallen - de gulden snede en coëfficiënten of correctieniveaus + video. Fibonacci-getallen in de natuur.

De specialist leefde in de 13e eeuw. De wetenschapper publiceerde een werk genaamd "The Book of Calculations". Dit boek presenteerde Europa een belangrijke ontdekking voor die tijd en niet alleen de ontdekking - het decimale getalsysteem. Dit systeem bracht de voor ons gebruikelijke nummers van nul tot negen in omloop.

Het verschijnen van dit systeem was de eerste belangrijke prestatie van Europa sinds de val van Rome. Fibonacci redde de numerieke wetenschap voor de middeleeuwen. Hij legde ook een diepe basis voor de ontwikkeling van andere wetenschappen, zoals hogere wiskunde, natuurkunde, astronomie en werktuigbouwkunde.

Bekijk de video

Hoe zijn getallen en hun afgeleiden ontstaan?

Een toegepast probleem oplossen, kwam Leonardo tegen merkwaardige reeks Fibonacci-getallen, aan het begin zijn er twee eenheden.

Elke volgende term is de som van de vorige twee. Het meest merkwaardige is dat de getallenreeks van Fibonacci een opmerkelijke reeks is, in die zin dat als je een term deelt door de vorige, je een getal krijgt dat dicht bij 0,618 ligt. Dit nummer werd genoemd gouden ratio».

Het bleek dat dit aantal al heel lang bekend is bij de mensheid. Bijvoorbeeld in het oude Egypte bouwden er piramides mee en de oude Grieken bouwden er hun tempels op. Leonardo da Vinci liet zien hoe de structuur van het menselijk lichaam dit aantal gehoorzaamt.

De natuur gebruikt de Fibonacci-getallen in haar meest intieme en geavanceerde gebieden. Van atomaire structuren en andere kleine vormen, zoals DNA-moleculen en microcapillairen in de hersenen, tot enorme structuren, zoals planetaire banen en melkwegstructuren. Het aantal voorbeelden is zo groot dat men zou moeten stellen dat er in de natuur wel degelijk een bepaalde basiswet van verhoudingen bestaat.

Het is dan ook niet verwonderlijk dat de Fibonacci-reeks en de gulden snede hun weg vonden naar de aandelengrafieken. En niet alleen een nummer 0.618, maar ook zijn derivaten.

Als je het getal van de gulden snede verhoogt tot de eerste, tweede, derde en vierde macht en het resultaat van één aftrekt, dan krijg je een nieuwe reeks, die " Fibonacci-retracementverhoudingen". Het blijft alleen om een ​​​​cijfer van vijf tienden toe te voegen - dit is vijftig procent.

Dit is echter niet alles wat kan worden gedaan met de gulden snede. Als we de eenheid delen door 0,618, dan krijgen we 1,618, als we hem kwadrateren, dan krijgen we 2,618, als we hem tot een kubus verhogen, krijgen we het getal 4.236. Dit zijn de Fibonacci-uitzettingscoëfficiënten. Het enige dat hier ontbreekt, is het nummer 3.236, dat werd voorgesteld door John Murphy.

Wat denken experts over volgorde?

Sommigen zullen zeggen dat deze cijfers al bekend zijn omdat ze worden gebruikt in technische analyseprogramma's om de hoeveelheid correctie en uitbreiding te bepalen. Daarnaast spelen dezelfde reeksen een belangrijke rol in de Eliot-golftheorie. Ze vormen de numerieke basis.

Onze deskundige Nikolay Proven-portefeuillemanager van investeringsmaatschappij Vostok.

• — Nikolai, wat denk je, is het verschijnen van Fibonacci-getallen en zijn afgeleiden in de grafieken toevallig? verschillende tools? En is het mogelijk om te zeggen: "De Fibonacci-reeks praktisch gebruik" komt voor?
• - Ik heb een slechte houding ten opzichte van mystiek. En nog meer op de beursgrafieken. Alles heeft zijn redenen. in het boek "Fibonacci Levels" vertelde hij prachtig waar de gulden snede verschijnt, dat hij niet verbaasd was dat deze op de beursgrafieken verscheen. Maar tevergeefs! Pi komt vaak voor in veel van de voorbeelden die hij gaf. Maar om de een of andere reden zit het niet in de prijsverhouding.
• - Dus je gelooft niet in de effectiviteit van het Elliot-golfprincipe?
• “Nee, nee, daar gaat het niet om. Het golfprincipe is één ding. De numerieke verhouding is anders. En de redenen voor hun verschijning op prijsgrafieken zijn de derde
• Wat zijn volgens u de redenen voor het verschijnen van de gulden snede op aandelengrafieken?
• - Het juiste antwoord op deze vraag kan misschien verdienen Nobelprijs op economie. Terwijl we de ware redenen kunnen raden. Ze zijn duidelijk niet in harmonie met de natuur. Er zijn veel modellen van ruilprijzen. Ze verklaren het aangegeven fenomeen niet. Maar het niet begrijpen van de aard van het fenomeen zou het fenomeen als zodanig niet moeten ontkennen.
• - En als deze wet ooit wordt geopend, zal het dan in staat zijn om het uitwisselingsproces te vernietigen?
• - Zoals dezelfde golftheorie laat zien, is de wet van verandering in aandelenkoersen pure psychologie. Het lijkt mij dat kennis van deze wet niets zal veranderen en de beurs niet zal kunnen vernietigen.

Het materiaal wordt geleverd door de blog van webmaster Maxim.

Het samenvallen van de fundamenten van de principes van de wiskunde in een verscheidenheid aan theorieën lijkt ongelooflijk. Misschien is het fantasie of een aanpassing aan het eindresultaat. Wacht maar af. Veel van wat voorheen als ongebruikelijk of onmogelijk werd beschouwd: ruimteverkenning bijvoorbeeld is gemeengoed geworden en verbaast niemand. Ook zal de golftheorie, die misschien onbegrijpelijk is, in de loop van de tijd toegankelijker en begrijpelijker worden. Wat voorheen niet nodig was, in de handen van een ervaren analist, wordt een krachtig hulpmiddel om toekomstig gedrag te voorspellen.

Fibonacci-getallen in de natuur.

Horloge

En laten we het nu hebben over hoe u het feit kunt weerleggen dat de digitale Fibonacci-serie betrokken is bij alle patronen in de natuur.

Laten we twee andere getallen nemen en een rij bouwen met dezelfde logica als de Fibonacci-getallen. Dat wil zeggen, het volgende lid van de reeks is gelijk aan de som van de twee voorgaande. Laten we bijvoorbeeld twee getallen nemen: 6 en 51. Nu gaan we een reeks bouwen die we zullen voltooien met twee getallen 1860 en 3009. Merk op dat wanneer we deze getallen delen, we een getal krijgen dat dicht bij de gulden snede ligt.

Tegelijkertijd namen de getallen die werden verkregen door andere paren te delen af ​​van de eerste naar de laatste, wat ons in staat stelt te beweren dat als deze reeks voor onbepaalde tijd wordt voortgezet, we een getal krijgen dat gelijk is aan de gulden snede.

De Fibonacci-getallen zelf onderscheiden zich dus door niets. Er zijn andere reeksen getallen, waarvan er een oneindig aantal is, die resulteren in het gouden getal phi als resultaat van dezelfde bewerkingen.

Fibonacci was geen esotericus. Hij wilde geen mystiek in de cijfers stoppen, hij loste gewoon een gewoon konijnenprobleem op. En hij schreef een reeks getallen die volgde op zijn taak, in de eerste, tweede en andere maanden, hoeveel konijnen er zouden zijn na het fokken. Binnen een jaar ontving hij diezelfde reeks. En geen relatie aangegaan. Er was geen gouden proportie, geen goddelijke relatie. Dit alles werd na hem uitgevonden in de Renaissance.

Vóór de wiskunde waren de deugden van Fibonacci enorm. Hij nam het getallenstelsel over van de Arabieren en bewees de geldigheid ervan. Het was een zware en lange strijd. Uit het Romeinse getallenstelsel: zwaar en onhandig om te tellen. Ze verdween na de Franse Revolutie. Het heeft niets te maken met de gulden snede van Fibonacci.

Er zijn oneindig veel spiralen, de meest populaire zijn: natuurlijke logaritmespiraal, Archimedes-spiraal, hyperbolische spiraal.

Laten we nu eens kijken naar de Fibonacci-spiraal. Dit stuksgewijs samengestelde aggregaat bestaat uit meerdere kwarten cirkels. En het is geen spiraal als zodanig.

Conclusie

Hoe lang we ook zoeken naar bevestiging of weerlegging van de toepasbaarheid van de Fibonacci-reeks op de beurs, deze praktijk bestaat.

Enorme massa's mensen handelen volgens de Fibonacci-heerser, die in veel gebruikersterminals te vinden is. Daarom, of we het nu leuk vinden of niet: Fibonacci-getallen hebben een impact op, en we kunnen profiteren van deze invloed.

Fibonacci-reeks, bij iedereen bekend van de film "The Da Vinci Code" - een reeks getallen beschreven als een raadsel door de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, beter bekend als Fibonacci, in de 13e eeuw. In het kort de essentie van het raadsel:

Iemand heeft er een paar konijnen in geplaatst afgesloten ruimte om erachter te komen hoeveel konijnenparen er in de loop van het jaar op hetzelfde moment zullen worden geboren, als de aard van konijnen zodanig is dat elke maand een paar konijnen een ander paar produceert, en het vermogen om nakomelingen te produceren verschijnt bij het bereiken van de leeftijd van twee maanden .

Het resultaat is een reeks getallen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , waar het aantal konijnenparen in elk van de twaalf maanden wordt weergegeven, gescheiden door komma's. Het kan onbeperkt worden voortgezet. De essentie is dat elk volgend getal de som is van de vorige twee.

Deze serie heeft verschillende wiskundige kenmerken die moeten worden aangeroerd. Het asymptotisch (het nadert steeds langzamer) neigt naar een constante verhouding. Deze verhouding is echter irrationeel, dat wil zeggen, het is een getal met een oneindige, onvoorspelbare reeks decimale cijfers in het fractionele deel. Het is niet precies uit te drukken.

Dus de verhouding van elk lid van de reeks tot het voorgaande fluctueert rond het getal 1,618 , soms overtreffend, soms niet bereikend. De verhouding tot het volgende benadert het getal op dezelfde manier: 0,618 , die omgekeerd evenredig is 1,618 . Als we de elementen door één verdelen, krijgen we de getallen 2,618 en 0,382 , die ook omgekeerd evenredig zijn. Dit zijn de zogenaamde Fibonacci-verhoudingen.

Waarom dit allemaal? Dus we naderen een van de meest mysterieuze verschijnselen natuur. De slimme Leonardo ontdekte in feite niets nieuws, hij herinnerde de wereld gewoon aan een fenomeen als gouden gedeelte, die niet minder belangrijk is dan de stelling van Pythagoras.

We onderscheiden alle objecten om ons heen, ook in vorm. We houden van sommigen meer, sommigen minder, sommigen stoten het oog volledig af. Soms kan interesse worden gedicteerd levenssituatie en soms de schoonheid van het waargenomen object. De symmetrische en proportionele vorm draagt ​​bij aan de beste visuele waarneming en roept een gevoel van schoonheid en harmonie op. Een holistisch beeld bestaat altijd uit delen verschillende maat, die in een bepaalde relatie staan ​​met elkaar en het geheel. gouden ratio- de hoogste manifestatie van de perfectie van het geheel en zijn delen in wetenschap, kunst en natuur.

Als aan eenvoudig voorbeeld, dan is de Gulden Snede de verdeling van het segment in twee delen in een zodanige verhouding dat het grootste deel gerelateerd is aan het kleinere, zoals hun som (het hele segment) is aan het grotere.

Als we het hele segment nemen c per 1 , dan het segment a zal gelijk zijn aan 0,618 , lijnstuk b - 0,382 , alleen op deze manier wordt voldaan aan de voorwaarde van de Gulden Snede (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Houding c tot a gelijk aan 1,618 , a Met tot b 2,618 . Dit zijn allemaal dezelfde, ons al bekende Fibonacci-coëfficiënten.

Natuurlijk is er een gouden rechthoek, een gouden driehoek en zelfs een gouden kubus. De verhoudingen van het menselijk lichaam liggen in veel opzichten dicht bij de Gulden Snede.

Afbeelding: marcus-frings.de

Maar het meest interessante begint wanneer we de opgedane kennis combineren. De figuur toont duidelijk de relatie tussen de Fibonacci-reeks en de gulden snede. We beginnen met twee vierkanten van de eerste maat. Van bovenaf voegen we een vierkant van de tweede maat toe. We schilderen naast een vierkant met een zijde gelijk aan de som van de zijden van de vorige twee, de derde maat. Naar analogie verschijnt een vierkant van de vijfde maat. En zo verder totdat je je verveelt, het belangrijkste is dat de lengte van de zijde van elk volgend vierkant gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden van de twee voorgaande. We zien een reeks rechthoeken waarvan de lengtes van de zijden Fibonacci-getallen zijn, en vreemd genoeg worden ze Fibonacci-rechthoeken genoemd.

Als we een vloeiende lijn door de hoeken van onze vierkanten trekken, krijgen we niets meer dan een Archimedes-spiraal, waarvan de toename in de toonhoogte altijd uniform is.

Doet het je nergens aan denken?

Een foto: ethanhein op Flickr

En niet alleen in de schaal van een weekdier vind je de spiralen van Archimedes, maar in veel bloemen en planten zijn ze gewoon niet zo voor de hand liggend.

Aloë multileaf:

Een foto: brouwboeken op Flickr

Een foto: beart.org.uk
Een foto: esdrascalderan op Flickr
Een foto: manj98 op Flickr

En dan is het tijd om de Gulden Snede te onthouden! Zijn een van de mooiste en meest harmonieuze creaties van de natuur afgebeeld op deze foto's? En dat is niet alles. Als je goed kijkt, kun je soortgelijke patronen in vele vormen vinden.

Natuurlijk klinkt de bewering dat al deze verschijnselen zijn gebouwd op de Fibonacci-reeks te luid, maar de trend is op het eerste gezicht. En bovendien is ze zelf verre van perfect, zoals al het andere in deze wereld.

Er wordt gespeculeerd dat de Fibonacci-reeks de poging van de natuur is om zich aan te passen aan een meer fundamentele en perfecte logaritmische reeks van gouden secties, die praktisch hetzelfde is, gewoon vanuit het niets begint en nergens heen gaat. De natuur daarentegen heeft beslist een soort heel begin nodig, van waaruit je kunt afzetten, ze kan niet uit niets iets creëren. De verhoudingen van de eerste leden van de Fibonacci-reeks zijn verre van de Gulden Snede. Maar hoe verder we er langs gaan, hoe meer deze afwijkingen worden afgevlakt. Om een ​​reeks te bepalen, volstaat het om drie van zijn leden te kennen, de een na de ander. Maar niet voor de gouden reeks, twee zijn er genoeg voor, het is een meetkundige en rekenkundige reeks tegelijk. Je zou kunnen denken dat het de basis is voor alle andere sequenties.

Elk lid van de gouden logaritmische reeks is een kracht van de gulden snede ( z). Een deel van de rij ziet er ongeveer zo uit: ... z -5 ; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Als we de waarde van de gulden snede afronden op drie decimalen, krijgen we z=1.618, dan ziet de rij er als volgt uit: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Elke volgende term kan niet alleen worden verkregen door de vorige te vermenigvuldigen met 1,618 , maar ook door de twee voorgaande toe te voegen. Dus exponentiële groei wordt bereikt door simpelweg twee aangrenzende elementen toe te voegen. Dit is een reeks zonder begin en einde, en het is precies dit dat de Fibonacci-reeks probeert te zijn. Met een goed gedefinieerd begin streeft het naar het ideaal en bereikt het het nooit. Dat is het leven.

En toch rijzen bij alles wat gezien en gelezen wordt heel natuurlijke vragen:
Waar kwamen deze cijfers vandaan? Wie is deze architect van het universum die probeerde het perfect te maken? Was het ooit zoals hij het wilde? En zo ja, waarom is het mislukt? Mutaties? Vrije keuze? Wat is het volgende? Draait of draait de spoel los?

Als je het antwoord op de ene vraag vindt, krijg je de volgende. Als je het oplost, krijg je twee nieuwe. Behandel ze, er zullen er nog drie verschijnen. Als je ze hebt opgelost, krijg je vijf onopgeloste. Toen acht, toen dertien, 21, 34, 55...

Bronnen: ; ; ;

Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen van Oekraïne

Economische Staatsuniversiteit van Odessa

afdeling ________________________

Essay over de cursus "Economische analyse"

over het onderwerp:

"Fibonacci-getallen: technische analyse".

Ingevuld door: leerling van groep 33 FME

Kushnirenko Sergey

Wetenschappelijk adviseur:

Kopteltseva Lidia Vasilievna

Odessa

Invoering. 3

Geschiedenis en eigenschappen van de reeks. 3

Fibonacci-getallen gebruiken in een trendverandering. 5

Meerdere Fibonacci-prijsdoelen. acht

Conclusie. elf

Referenties.. 12

Invoering.

De Italiaanse koopman Leonardo van Pisa (1180-1240), beter bekend als Fibonacci, was veruit de belangrijkste wiskundige van de Middeleeuwen. De rol van zijn boeken in de ontwikkeling van de wiskunde en de verspreiding van wiskundige kennis in Europa kan nauwelijks worden overschat.
Het leven en de wetenschappelijke carrière van Leonard zijn nauw verbonden met de ontwikkeling van de Europese cultuur en wetenschap.
In het tijdperk van Fibonacci was de renaissance nog ver weg, maar de geschiedenis gaf Italië een korte periode die met recht een repetitie voor de naderende Renaissance zou kunnen worden genoemd. Deze repetitie werd geleid door Frederik II, keizer (sinds 1220) van het "Heilige Roomse Rijk van de Duitse Natie". Opgegroeid in de tradities van Zuid-Italië, was Frederik II intern ver verwijderd van de Europese christelijke ridderlijkheid. Daarom trok hij, samen met christelijke wetenschappers, Arabieren en joden aan om les te geven aan de door hem opgerichte universiteit van Napels.
De door zijn grootvader zo geliefde steekspeltoernooien, waarbij de strijders elkaar kreupel maakten voor het vermaak van het publiek, herkende Frederik II helemaal niet. In plaats daarvan cultiveerde hij veel minder bloedige wiskundewedstrijden, waarin tegenstanders geen klappen uitwisselden, maar problemen.
Op zulke toernooien schitterde het talent van Leonard Fibonacci. Dit werd gefaciliteerd een goede opleiding, die aan zijn zoon werd gegeven door de koopman Bonacci, die hem meenam naar het Oosten en Arabische leraren aan hem toewees.
Vervolgens genoot Fibonacci de constante bescherming van Frederik II.
Dit patronaat leidde tot de publicatie van Fibonacci's wetenschappelijke verhandelingen:
het meest uitgebreide "Book of the Abacus", geschreven in 1202, maar dat tot ons is gekomen in zijn tweede versie, die verwijst naar 1228; "Praktijken van de meetkunde" (1220); "Boeken van vierkanten" (1225). Deze boeken, die in hun niveau de Arabische en middeleeuwse Europese geschriften overtreffen, leerden wiskunde bijna tot de tijd van Descartes (17de eeuw).

Van het grootste belang is de compositie "The Book of the Abacus". Dit boek is een omvangrijk werk dat bijna alle rekenkundige en algebraïsche informatie van die tijd bevat en een belangrijke rol heeft gespeeld in de ontwikkeling van de wiskunde in West-Europa in de komende eeuwen. Met name door dit boek maakten Europeanen kennis met de hindoeïstische ("Arabische") getallen.

Het belangrijkste doel van dit essay is het bestuderen van de basiseigenschappen van Fibonacci-getallen en hun toepassing in de praktijk van trendanalyse.

Geschiedenis en eigenschappen van de reeks.

Leonard Fibonacci is een van de grootste wiskundigen van de Middeleeuwen. In een van zijn werken, The Book of Calculations, beschreef Fibonacci de Indo-Arabische calculus en de voordelen van het gebruik ervan boven de Romeinse.

De getallenreeks van Fibonacci heeft veel interessante eigenschappen. De som van twee aangrenzende getallen in de reeks geeft bijvoorbeeld de waarde van de volgende (bijvoorbeeld 1+1=2; 2+3=5, enz.), wat het bestaan ​​van de zogenaamde Fibonacci-coëfficiënten bevestigt , d.w.z. constante verhoudingen.

Een van de belangrijkste gevolgen van deze eigenschappen van de verschillende leden van de sequentie wordt als volgt gedefinieerd:

1. De verhouding van elk nummer tot het volgende neigt steeds meer naar 0,618 naarmate het serienummer toeneemt. De verhouding van elk nummer tot het vorige neigt naar 1,618 (omgekeerd naar 0,618). Het getal 0.618 wordt (PHI) genoemd en we zullen er later meer in detail over praten.

2. Wanneer we elk nummer delen door het volgende nummer, krijgen we het nummer 0.382; vice versa - respectievelijk 2.618.

3. Door de verhoudingen op deze manier te selecteren, verkrijgen we de belangrijkste reeks Fibonacci-coëfficiënten: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. vermeld ook 0,5 (1/2). Ze spelen allemaal een speciale rol in de natuur, en in het bijzonder in de technische analyse.

Het is belangrijk op te merken dat Fibonacci als het ware de mensheid aan zijn reeks herinnerde. Het was bekend bij de oude Grieken en Egyptenaren. Inderdaad, sindsdien in de natuur, architectuur, beeldende kunst, wiskunde, natuurkunde, astronomie, biologie en vele andere gebieden, werden patronen gevonden die werden beschreven door Fibonacci-coëfficiënten.

Het getal 0,618 is bijvoorbeeld een constante coëfficiënt in de zogenaamde gulden snede (Fig. 1), waarbij elk segment zo is verdeeld dat de verhouding tussen het kleinere en grotere deel gelijk is aan de verhouding tussen het grotere deel en het hele segment. Het getal 0.618 staat dus ook bekend als de gulden snede of de gulden middenweg. Dit type verhouding is absoluut overal te vinden (Fig. 2).

Figuur 1. De gulden snede

Figuur 2. Voorbeelden van Fibonacci-verhoudingen

De gulden snede wordt door de natuur gebruikt om haar onderdelen te bouwen, variërend van groot tot klein. moderne wetenschap gelooft dat het heelal zich ontwikkelt langs de zogenaamde gouden spiraal (Fig. 3), die precies is gebouwd met behulp van de gouden coëfficiënt. Deze spiraal heeft letterlijk geen einde en geen begin. Kleinere spoelen convergeren nooit naar hetzelfde punt, terwijl grotere zich oneindig in de ruimte ontwikkelen.

Figuur 3. Gouden spiraal

Enkele van de relevante relaties zijn:

Het belangrijkste is dat met behulp van al deze, op de een of andere manier mystieke, getallen, heterogene processen in het heelal worden beschreven.

Fibonacci-getallen gebruiken in een trendverandering.

Na de bovenstaande reeks te hebben bestudeerd, kunnen we aannemen dat de Fibonacci-reeks wordt gebruikt bij het voorspellen van prijzen. bij technische analyse.

Dit idee werd in de jaren '30 uitgedrukt door een van de meest beroemde mensen die heeft bijgedragen aan de theorie van technische analyse - Ralph Nelson Elliott. Sindsdien staan ​​de specifieke voordelen van het toepassen van dit idee in bijna alle methoden van technische analyse buiten kijf.

Ralph Helson Elliott was een ingenieur. Na een ernstige ziekte begin jaren dertig. hij nam de analyse van aandelenkoersen ter hand, met name de Dow Jones-index. Na een reeks zeer succesvolle voorspellingen publiceerde Elliott in 1939 een reeks artikelen in het Financial World Magazine. Daarin werd voor het eerst zijn standpunt gepresenteerd dat de bewegingen van de Dow Jones-index onderhevig zijn aan bepaalde ritmes. Volgens Elliott volgen al deze bewegingen dezelfde wet als de getijden - het getij wordt gevolgd door de eb, de actie (actie) wordt gevolgd door de reactie (reactie). Deze regeling is niet tijdsafhankelijk, aangezien de structuur van de markt als geheel ongewijzigd blijft.

Elliott schreef: “De natuurwet omvat in overweging het belangrijkste element, ritme. menselijke activiteit. De toepassing ervan in prognoses is revolutionair."

Deze kans om prijsbewegingen te voorspellen, drijft legioenen analisten dag en nacht aan het werk. Bij het introduceren van zijn aanpak was Elliott heel specifiek. Hij schreef: “Elke menselijke activiteit heeft drie onderscheidende kenmerken: vorm, tijd en relatie, die allemaal gehoorzamen aan de Fibonacci-sommatiereeks."

Een van de eenvoudigste manieren om Fibonacci-getallen in de praktijk te gebruiken, is om de tijdsduur te bepalen waarna een gebeurtenis zal plaatsvinden, bijvoorbeeld een trendverandering. De analist telt een bepaald aantal Fibonacci-dagen of -weken (13, 21, 34, 55, enz.) van de vorige soortgelijke gebeurtenis.

Fibonacci-getallen worden veel gebruikt bij het bepalen van de duur van de periode in de Theory of Cycles. Elke dominante cyclus is gebaseerd op een bepaald aantal dagen, weken, maanden, geassocieerd met de Fibonacci-getallen. De lengte van de Kondratiev-cyclus (golf) is bijvoorbeeld 54 jaar. Let op hoe dicht deze waarde bij het Fibonacci-getal 55 ligt.

Een manier om het Fibonacci-getal te gebruiken, is door bogen te tekenen (Fig. 4).

Figuur 4. Bogen.

Het middelpunt voor zo'n boog wordt gekozen op het punt van een belangrijk plafond (boven) of onder (onder). De straal van de bogen wordt berekend door de Fibonacci-ratio's te vermenigvuldigen met het bedrag van de vorige significante prijsdaling of -stijging.

De gekozen coëfficiënten hiervoor zijn 38,2%, 50%, 61,8%. In overeenstemming met hun locatie zullen de bogen de rol van weerstand of ondersteuning spelen.