Gods getal, Fibonacci-getallen, gulden snede. Fibonacci-spiraal - een gecodeerde natuurwet

16.10.2019

Vertaling

Invoering

Programmeurs zouden de Fibonacci-getallen inmiddels wel zat moeten zijn. Er worden overal voorbeelden van hun berekeningen gebruikt. Alles hangt af van wat deze cijfers opleveren eenvoudigste voorbeeld recursie. En dat zijn ze ook goed voorbeeld dynamische programmering. Maar is het nodig om ze zo te berekenen? echt project? Geen behoefte. Noch recursie, noch dynamisch programmeren zijn dat ideale opties. En geen gesloten formule met drijvende-kommagetallen. Nu zal ik je vertellen hoe je het correct moet doen. Maar laten we eerst alle bekende oplossingsopties doornemen.

De code is bedoeld voor Python 3, maar zou ook met Python 2 moeten werken.

Om te beginnen wil ik u herinneren aan de definitie:

Fn = Fn-1 + Fn-2

En F1 = F2 =1.

Gesloten formule

We slaan de details over, maar geïnteresseerden kunnen zich vertrouwd maken met de afleiding van de formule. Het idee is om aan te nemen dat er een x is waarvoor F n = x n en dan x te vinden.

Wat betekent het

Reduceer x n-2

De kwadratische vergelijking oplossen:

Waar groeit het vandaan? gouden verhouding» ϕ=(1+√5)/2. Als we de oorspronkelijke waarden vervangen en nog wat berekeningen uitvoeren, krijgen we:

Dat is wat we gebruiken om Fn te berekenen.

Van __future__ import divisie import wiskunde def fib(n): SQRT5 = math.sqrt(5) PHI = (SQRT5 + 1) / 2 return int(PHI ** n / SQRT5 + 0,5)

Goed:
Snel en gemakkelijk voor kleine n
Het slechte:
Drijvende-kommabewerkingen zijn vereist. Grote n vereist een grotere precisie.
Kwaadaardig:
Het gebruik van complexe getallen om F n te berekenen is mooi vanuit wiskundig oogpunt, maar lelijk vanuit computeroogpunt.

Recursie

De meest voor de hand liggende oplossing is er een die je al vele malen eerder hebt gezien, waarschijnlijk als voorbeeld van wat recursie is. Voor de volledigheid herhaal ik het nogmaals. In Python kan het in één regel worden geschreven:

Fib = lambda n: fib(n - 1) + fib(n - 2) als n > 2 anders 1

Goed:
Een zeer eenvoudige implementatie die de wiskundige definitie volgt
Het slechte:
Exponentiële uitvoeringstijd. Voor grote n erg langzaam
Kwaadaardig:
Stapeloverloop

Memoriseren

De recursie-oplossing heeft groot probleem: kruisende berekeningen. Wanneer fib(n) wordt aangeroepen, worden fib(n-1) en fib(n-2) geteld. Maar wanneer fib(n-1) wordt geteld, wordt fib(n-2) opnieuw onafhankelijk geteld - dat wil zeggen, fib(n-2) wordt tweemaal geteld. Als we doorgaan met redeneren, zullen we zien dat fib(n-3) drie keer wordt geteld, enz. Te veel kruispunten.

Daarom hoeft u alleen de resultaten te onthouden, zodat u ze niet opnieuw hoeft te tellen. Deze oplossing verbruikt op lineaire wijze tijd en geheugen. Ik gebruik een woordenboek in mijn oplossing, maar een eenvoudige array kan ook worden gebruikt.

M = (0: 0, 1: 1) def fib(n): als n in M: retourneer M[n] M[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2) retourneer M[n]

(In Python kan dit ook gedaan worden met behulp van de decorateur, functools.lru_cache.)

Goed:
Verander recursie gewoon in een geheugenoplossing. Converteert exponentiële uitvoeringstijd naar lineaire uitvoering, waardoor meer geheugen wordt verbruikt.
Het slechte:
Verspilt veel geheugen
Kwaadaardig:
Mogelijke stack-overflow, net als recursie

Dynamische programmering

Na het oplossen met memoriseren wordt het duidelijk dat we niet alle voorgaande resultaten nodig hebben, maar alleen de laatste twee. In plaats van te beginnen bij fib(n) en achteruit te gaan, kun je ook beginnen bij fib(0) en vooruit gaan. De volgende code heeft een lineaire uitvoeringstijd en een vast geheugengebruik. In de praktijk zal de oplossingssnelheid nog hoger zijn, omdat er geen sprake is van recursieve functieaanroepen en bijbehorend werk. En de code ziet er eenvoudiger uit.

Deze oplossing wordt vaak aangehaald als voorbeeld van dynamisch programmeren.

Def fib(n): a = 0 b = 1 voor __ in bereik(n): a, b = b, a + b retourneert a

Goed:
Werkt snel voor kleine n, eenvoudige code
Het slechte:
Nog steeds lineaire uitvoeringstijd
Kwaadaardig:
Niets bijzonders.

Matrix-algebra

En tot slot de minst verlichte, maar wel de meeste de juiste beslissing, waarbij u verstandig tijd en geheugen gebruikt. Het kan ook worden uitgebreid tot elke homogene lineaire reeks. Het idee is om matrices te gebruiken. Het is voldoende om dat alleen maar te zien

En een generalisatie hiervan zegt dat

De twee waarden voor x die we eerder verkregen hebben, waarvan er één de gulden snede was, zijn de eigenwaarden van de matrix. Daarom is een andere manier om een gesloten formule af te leiden het gebruik van een matrixvergelijking en lineaire algebra.

Dus waarom is deze formulering nuttig? Omdat machtsverheffing in logaritmische tijd kan worden uitgevoerd. Dit gebeurt door middel van kwadrateren. Het punt is dat

Waar de eerste uitdrukking wordt gebruikt voor even A, de tweede voor oneven. Het enige dat overblijft is het organiseren van de matrixvermenigvuldigingen, en alles is klaar. Het blijkt volgende code. Ik heb een recursieve implementatie van pow gemaakt omdat het gemakkelijker te begrijpen is. Bekijk hier de iteratieve versie.

Def pow(x, n, I, mult): """ Geeft x terug tot de macht van n. Neemt aan dat I de identiteitsmatrix is die wordt vermenigvuldigd met mult en n een positief geheel getal is """ als n == 0: retourneert I elif n == 1: return x else: y = pow(x, n // 2, I, mult) y = mult(y, y) if n % 2: y = mult(x, y) return y def identiteitsmatrix (n): """Retourneert een n bij n identiteitsmatrix""" r = lijst(bereik(n)) return [ voor j in r] def matrix_vermenigvuldigen(A, B): BT = lijst(zip(*B) ) return [ voor rij_a in A] def fib(n): F = pow([, ], n, identiteit_matrix(2), matrix_vermenigvuldigen) return F

Goed:
Vaste geheugengrootte, logaritmische tijd
Het slechte:
De code is ingewikkelder
Kwaadaardig:
Je moet met matrices werken, al zijn die niet zo slecht

Prestatievergelijking

Het is de moeite waard om alleen de variant van dynamisch programmeren en de matrix te vergelijken. Als we ze vergelijken met het aantal tekens in het getal n, blijkt dat de matrixoplossing lineair is en dat de oplossing met dynamisch programmeren exponentieel is. Casestudy– berekening van fib(10 ** 6), een getal dat meer dan tweehonderdduizend cijfers zal hebben.

N=10**6
Berekening van fib_matrix: fib(n) heeft slechts 208988 cijfers, de berekening duurde 0,24993 seconden.
Berekening van fib_dynamic: fib(n) heeft slechts 208988 cijfers, de berekening duurde 11,83377 seconden.

Theoretische opmerkingen

Hoewel deze opmerking niet direct gerelateerd is aan de bovenstaande code, heeft deze opmerking toch enige interesse. Beschouw de volgende grafiek:

Laten we het aantal paden met lengte n tellen van A naar B. Voor n = 1 hebben we bijvoorbeeld één pad, 1. Voor n = 2 hebben we weer één pad, 01. Voor n = 3 hebben we twee paden, 001 en 101 Er kan heel eenvoudig worden aangetoond dat het aantal paden met lengte n van A naar B exact gelijk is aan Fn. Door de aangrenzende matrix voor de grafiek te schrijven, krijgen we dezelfde matrix als hierboven beschreven. Het is een bekend resultaat uit de grafentheorie dat, gegeven een aangrenzende matrix A, de gebeurtenissen in An het aantal paden met lengte n in de grafiek zijn (een van de problemen genoemd in de film Good Will Hunting).

Waarom zijn er zulke markeringen op de ribben? Het blijkt dat wanneer je een oneindige reeks symbolen in een oneindige reeks paden in een grafiek beschouwt, je iets krijgt dat 'eindige type subverschuivingen' wordt genoemd, wat een soort symbolisch dynamisch systeem is. Deze specifieke subverschuiving van een eindig type staat bekend als de ‘gulden snede-verschuiving’ en wordt gespecificeerd door een reeks ‘verboden woorden’ (11). Met andere woorden, we krijgen binaire reeksen die in beide richtingen oneindig zijn en er zullen geen paren aangrenzend zijn. De topologische entropie hiervan dynamisch systeem gelijk aan de gulden snede ϕ. Het is interessant hoe dit getal periodiek verschijnt in verschillende gebieden van de wiskunde.

Tags: tags toevoegen

De Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci leefde in de 13e eeuw en was een van de eersten in Europa die Arabische (Indiase) cijfers gebruikte. Hij kwam met een enigszins kunstmatig probleem over konijnen die op een boerderij worden grootgebracht, die allemaal als vrouwtjes worden beschouwd en de mannetjes worden genegeerd. Konijnen beginnen met fokken nadat ze twee maanden oud zijn en krijgen dan elke maand een konijn. Konijnen gaan nooit dood.

We moeten bepalen hoeveel konijnen er op de boerderij zullen zijn N maanden, als er aanvankelijk maar één pasgeboren konijn was.

Uiteraard heeft de boer één konijn in de eerste maand en één konijn in de tweede maand. Tegen de derde maand zullen er twee konijnen zijn, tegen de vierde maand zullen er drie zijn, enz. Laten we het aantal konijnen aangeven N maand zoals. Dus,
,
,
,
,
, …

Het is mogelijk om een algoritme te construeren om te vinden op geen enkele manier N.

Volgens de probleemstelling het totale aantal konijnen
V N+1 maand is verdeeld in drie componenten:

konijnen van een maand oud die zich niet kunnen voortplanten, in de hoeveelheid

;

Zo krijgen we

. (8.1)

Met formule (8.1) kunt u een reeks getallen berekenen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

De nummers in deze reeks worden gebeld Fibonacci-getallen .

Als we accepteren
En
, dan kun je met formule (8.1) alle andere Fibonacci-getallen bepalen. Formule (8.1) wordt aangeroepen terugkerend formule ( herhaling – “terugkeer” in het Latijn).

Voorbeeld 8.1. Stel dat er een trap in zit N stappen. We kunnen het beklimmen in stappen van één stap, of in stappen van twee stappen. Hoeveel combinaties zijn er? op verschillende manieren opstaan?

Als N= 1, er is maar één oplossing voor het probleem. Voor N= 2 Er zijn 2 opties: twee enkele treden of een dubbele. Voor N= 3 Er zijn 3 opties: drie enkele treden, of een enkele en een dubbele, of een dubbele en een enkele.

In het volgende geval N= 4, we hebben 5 mogelijkheden (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Om de willekeurig gestelde vraag te beantwoorden N, laten we het aantal opties aangeven als , en laten we proberen het vast te stellen
volgens bekend En
. Als we met een enkele stap beginnen, dan hebben we dat gedaan combinaties voor de overige N stappen. Als we beginnen met een dubbele stap, dan hebben we dat gedaan
combinaties voor de overige N–1 stappen. Totaal aantal opties voor N+1 stappen is gelijk aan

. (8.2)

De resulterende formule lijkt als een tweeling op formule (8.1). Hierdoor kunnen we echter niet het aantal combinaties identificeren met Fibonacci-getallen . Dat zien wij bijvoorbeeld
, Maar
. Er vindt echter de volgende afhankelijkheid plaats:

Dit geldt voor N= 1, 2, en geldt ook voor iedereen N. Fibonacci-getallen en aantal combinaties worden berekend met dezelfde formule, maar met de beginwaarden
,
En
,
ze verschillen.

Voorbeeld 8.2. Dit voorbeeld is van praktisch belang voor problemen met foutcorrectiecodering. Zoek het aantal van alle binaire woorden met een lengte N, zonder meerdere nullen op rij. Laten we dit getal aanduiden met . Blijkbaar,
, en woorden met lengte 2 die aan onze beperking voldoen zijn: 10, 01, 11, d.w.z.
. Laten
- zo'n woord van N karakters. Als het symbool
, Dat
kan willekeurig zijn (
)-letterlijk woord dat niet meerdere nullen achter elkaar bevat. Dit betekent dat het aantal woorden dat eindigt op één gelijk is
.

Als het symbool
, dan zeker
, en de eerste
symbool
kan willekeurig zijn, afhankelijk van de beperkingen die in aanmerking worden genomen. Daarom is er
woorden lengte N met een nul aan het eind. Het totale aantal woorden waarin we geïnteresseerd zijn, is dus gelijk aan

Gezien dat
En
, de resulterende reeks getallen zijn de Fibonacci-getallen.

Voorbeeld 8.3. In voorbeeld 7.6 vonden we dat het aantal binaire woorden met een constant gewicht T(en lengte k) gelijk . Laten we nu het aantal binaire woorden met constant gewicht vinden T, zonder meerdere nullen op rij.

Je kunt zo denken. Laten
het aantal nullen in de betreffende woorden. Elk woord heeft
spaties tussen de dichtstbijzijnde nullen, die elk een of meer enen bevatten. Er wordt aangenomen dat
. Anders is er geen enkel woord zonder aangrenzende nullen.

Als we uit elk interval precies één eenheid verwijderen, krijgen we een woord met lengte
bevattend nullen. Een dergelijk woord kan op de aangegeven manier worden verkregen bij sommige (en slechts één) k-letterlijk woord bevat nullen, waarvan er geen twee aangrenzend zijn. Dit betekent dat het vereiste aantal samenvalt met het aantal van alle woorden van lengte
, met daarin precies nullen, d.w.z. gelijk aan
.

Voorbeeld 8.4. Laten we bewijzen dat de som
gelijk aan Fibonacci-getallen voor elk geheel getal . Symbool
staat voor kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan . Bijvoorbeeld als
, Dat
; wat als
, Dat
plafond("plafond"). Er is ook een symbool
, wat aangeeft grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan . In het Engels heet deze operatie vloer ("vloer").

Als
, Dat
. Als
, Dat
. Als
, Dat
.

Voor de beschouwde gevallen is de som dus inderdaad gelijk aan de Fibonacci-getallen. Nu presenteren we het bewijs voor het algemene geval. Omdat de Fibonacci-getallen kunnen worden verkregen met behulp van de herhalingsvergelijking (8.1), moet aan de gelijkheid worden voldaan:

En het werkt echt:

Hier hebben we de eerder verkregen formule (4.4) gebruikt:
.

Som van Fibonacci-getallen

Laten we de som van de eerste bepalen N Fibonacci-getallen.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Het is gemakkelijk in te zien dat door er één aan de rechterkant van elke vergelijking toe te voegen, we opnieuw het Fibonacci-getal verkrijgen. Algemene formule voor het bepalen van de som van de eerste N Fibonacci-getallen hebben de vorm:

Laten we dit bewijzen met behulp van de methode van wiskundige inductie. Om dit te doen, laten we schrijven:

Dit bedrag moet gelijk zijn
.

Door de linker- en rechterzijde van de vergelijking met –1 te reduceren, verkrijgen we vergelijking (6.1).

Formule voor Fibonacci-getallen

Stelling 8.1. Fibonacci-getallen kunnen worden berekend met behulp van de formule

Bewijs. Laten we de geldigheid van deze formule verifiëren N= 0, 1, en dan zullen we de geldigheid van deze formule voor een willekeurige waarde bewijzen N door inductie. Laten we de verhouding berekenen van de twee dichtstbijzijnde Fibonacci-getallen:

We zien dat de verhouding tussen deze getallen rond de 1,618 schommelt (als we de eerste paar waarden negeren). Deze eigenschap van Fibonacci-getallen lijkt op de termen van een geometrische progressie. Laten we accepteren
, (
). Dan de uitdrukking

omgezet naar

die er na vereenvoudigingen zo uitziet

We hebben een kwadratische vergelijking verkregen waarvan de wortels gelijk zijn:

Nu kunnen we schrijven:

(Waar C is een constante). Beide leden En geef bijvoorbeeld geen Fibonacci-getallen
, terwijl
. Echter het verschil
voldoet aan de herhalingsvergelijking:

Voor N=0 dit verschil geeft , dat wil zeggen:
. Echter, wanneer N=1 die we hebben
. Om te krijgen
, moet u accepteren:
.

Nu hebben we twee reeksen: En
, die beginnen met dezelfde twee getallen en voldoen aan dezelfde herhalingsformule. Ze moeten gelijk zijn:
. De stelling is bewezen.

Bij het verhogen N lid wordt ondertussen erg groot
en de rol van het lid het verschil wordt kleiner. Daarom in het algemeen N we kunnen ongeveer schrijven

We negeren 1/2 (aangezien Fibonacci-getallen oplopen tot oneindig als N tot in het oneindige).

Houding
genaamd gouden verhouding, wordt het buiten de wiskunde gebruikt (bijvoorbeeld in de beeldhouwkunst en architectuur). De gulden snede is de verhouding tussen de diagonaal en de zijkant regelmatige vijfhoek(Afb. 8.1).

Rijst. 8.1. Regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen

Om de gulden snede aan te duiden, is het gebruikelijk om de letter te gebruiken
ter ere van de beroemde Atheense beeldhouwer Phidias.

Priemgetallen

Alle natuurlijke getallen, de grote, vallen in twee klassen. De eerste omvat getallen die precies twee natuurlijke delers hebben, één en zichzelf, de tweede omvat de rest. Eerste klas nummers worden gebeld eenvoudig, en de tweede – composiet. Priemgetallen binnen de eerste drie tientallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

De eigenschappen van priemgetallen en hun relatie met alle natuurlijke getallen werden bestudeerd door Euclides (3e eeuw voor Christus). Als je priemgetallen achter elkaar opschrijft, zul je merken dat hun relatieve dichtheid afneemt. Voor de eerste tien zijn er 4, d.w.z. 40%, voor honderd – 25, d.w.z. 25%, per duizend – 168, d.w.z. minder dan 17%, per miljoen – 78498, d.w.z. minder dan 8%, enz. Hun totale aantal is echter oneindig.

Onder de priemgetallen bevinden zich paren van dergelijke getallen, waarvan het verschil gelijk is aan twee (de zogenaamde eenvoudige tweeling), is de eindigheid of oneindigheid van dergelijke paren echter niet bewezen.

Euclides vond het voor de hand liggend dat dit alleen met behulp van vermenigvuldiging kon gebeuren priemgetallen het is mogelijk om alle natuurlijke getallen te verkrijgen, en elk natuurlijk getal kan op een unieke manier worden weergegeven als een product van priemgetallen (tot in de volgorde van de factoren). Priemgetallen vormen dus een multiplicatieve basis van de natuurlijke reeks.

De studie van de verdeling van priemgetallen leidde tot de creatie van een algoritme waarmee je tabellen met priemgetallen kunt verkrijgen. Zo'n algoritme is zeef van Eratosthenes(3e eeuw voor Christus). Deze methode bestaat uit het elimineren (bijvoorbeeld door schrappen) van de gehele getallen van een bepaalde reeks
, die deelbaar zijn door ten minste één van de kleinere priemgetallen
.

Stelling 8 . 2 . (Euclidische stelling). Het aantal priemgetallen is oneindig.

Bewijs. We zullen de stelling van Euclides over de oneindigheid van het aantal priemgetallen bewijzen met behulp van de methode voorgesteld door Leonhard Euler (1707–1783). Euler beschouwde het product over alle priemgetallen P:

bij
. Dit product convergeert, en als we het uitbreiden, dan vanwege het unieke karakter van de ontbinding natuurlijke getallen in eenvoudige factoren blijkt dat het gelijk is aan de som van de reeks , waaruit de identiteit van Euler volgt:

Sinds wanneer
de reeks aan de rechterkant divergeert (harmonische reeks), dan volgt de stelling van Euclides uit de identiteit van Euler.

Russische wiskundige P.L. Chebyshev (1821–1894) heeft een formule afgeleid die de grenzen bepaalt waarbinnen het aantal priemgetallen ligt
, niet overschrijden X:

Waar
,
.

Over getallen en formules die in de natuur voorkomen. Welnu, een paar woorden over dezelfde getallen en formules.

Getallen en formules in de natuur vormen een struikelblok tussen degenen die geloven in de schepping van het universum door iemand, en degenen die geloven in de schepping van het universum zelf. Omdat de vraag luidt: “Als het universum uit zichzelf zou ontstaan, zouden dan niet bijna alle levende en levenloze objecten volgens hetzelfde schema en volgens dezelfde formules worden gebouwd?”

Welnu, we zullen deze filosofische vraag hier niet beantwoorden (het formaat van de site is niet hetzelfde 🙂), maar we zullen de formules verwoorden. En laten we beginnen met de getallen van Fibonacci en de Gouden Spiraal.

Fibonacci-getallen zijn dus elementen van een getallenreeks waarin elk volgend getal gelijk is aan de som van de twee voorgaande getallen. Dat wil zeggen, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 enzovoort.

Totaal krijgen we de reeksen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Nog een voorbeeld van de Fibonacci-reeks: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 enzovoort. Je kunt zelf experimenteren :)

Hoe verschijnen Fibonacci-getallen in de natuur? Heel eenvoudig:

De bladindeling van planten wordt beschreven door de Fibonacci-reeks. Zonnebloempitten, dennenappels, bloemblaadjes en ananascellen zijn ook gerangschikt volgens de Fibonacci-reeks.
De lengte van de vingerkootjes van menselijke vingers is ongeveer hetzelfde als de Fibonacci-getallen.
Het DNA-molecuul bestaat uit twee verticaal met elkaar verweven helices, 34 angstrom lang en 21 angstrom breed. De getallen 21 en 34 volgen elkaar op in de Fibonacci-reeks.

Met behulp van Fibonacci-getallen kun je een Gouden Spiraal bouwen. Laten we dus een klein vierkant tekenen met een zijde van bijvoorbeeld 1. Laten we vervolgens aan school denken. Wat is 1 2? Dit wordt 1. Laten we dus nog een vierkant naast het eerste tekenen, dicht bij elkaar. Vervolgens is het volgende Fibonacci-getal 2 (1+1). Wat is 2 2? Dit wordt 4. Laten we nog een vierkant tekenen dichtbij de eerste twee vierkanten, maar nu met een zijde van 2 en een oppervlakte van 4. Het vierkant van het getal 3 is 9. Teken een vierkant met zijde 3 en gebied 9 naast de reeds getekende vierkanten. Vervolgens hebben we een vierkant met zijde 5 en oppervlakte 25, een vierkant met zijde 8 en oppervlakte 64 - enzovoort, tot in het oneindige.

Het is tijd voor de gouden spiraal. Laten we de grenspunten tussen de vierkanten verbinden met een vloeiende gebogen lijn. En we zullen diezelfde gouden spiraal krijgen, op basis waarvan veel levende en levenloze objecten in de natuur worden gebouwd.

En laten we, voordat we verder gaan met de gulden snede, even nadenken. Hier hebben we een spiraal gebouwd op basis van de vierkanten van de Fibonacci-reeks (reeks 1, 1, 2, 3, 5, 8 en vierkanten 1, 1, 4, 9, 25, 64). Maar wat gebeurt er als we niet de kwadraten van getallen gebruiken, maar hun kubussen? Vanuit het midden zien de kubussen er zo uit:

En aan de zijkant:

Welnu, bij het construeren van een spiraal zal het blijken volumetrische gouden spiraal:

Zo ziet deze volumineuze gouden spiraal er vanaf de zijkant uit:

Maar wat als we geen kubussen van Fibonacci-getallen nemen, maar naar de vierde dimensie gaan? Dit is toch een puzzel?

Ik heb echter geen idee hoe de volumetrische gulden snede zich in de natuur manifesteert op basis van de kubussen van Fibonacci-getallen, laat staan getallen tot de vierde macht. Daarom keren we in het vliegtuig terug naar de gulden snede. Laten we dus nog eens naar onze vierkanten kijken. Wiskundig gesproken is dit het beeld dat we krijgen:

Dat wil zeggen, we krijgen de gulden snede - waarbij één zijde in zo'n verhouding in twee delen wordt verdeeld dat het kleinere deel gerelateerd is aan het grotere, zoals het grotere deel gerelateerd is aan de gehele waarde.

Dat wil zeggen, a: b = b: c of c: b = b: a.

Op basis van deze verhouding van grootheden worden onder meer een regelmatige vijfhoek en een pentagram gebouwd:

Ter referentie: om een pentagram te bouwen, moet je een regelmatige vijfhoek bouwen. De constructiemethode werd ontwikkeld door de Duitse schilder en graficus Albrecht Dürer (1471...1528). Laat O het middelpunt van de cirkel zijn, A een punt op de cirkel, en E het middelpunt van segment OA. De loodlijn op de straal OA, hersteld op punt O, snijdt de cirkel op punt D. Teken met behulp van een kompas het segment CE = ED op de diameter. De zijdelengte van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in een cirkel is gelijk aan DC. We plotten de segmenten DC op de cirkel en krijgen vijf punten om een regelmatige vijfhoek te tekenen. We verbinden de hoeken van de vijfhoek door elkaar met diagonalen en krijgen een pentagram. Alle diagonalen van de vijfhoek verdelen elkaar in segmenten die met elkaar verbonden zijn door de gulden snede.

Over het algemeen zijn dit de patronen. Bovendien zijn er veel meer uiteenlopende patronen dan beschreven. En nu, na al deze saaie cijfers - de beloofde videoclip, waarin alles eenvoudig en duidelijk is:

Zoals je kunt zien, is wiskunde inderdaad aanwezig in de natuur. En niet alleen in de objecten die in de video worden genoemd, maar ook op veel andere gebieden. Wanneer een golf bijvoorbeeld de kust raakt en ronddraait, draait deze langs de Gouden Spiraal. En zo verder :)

Heb je ooit gehoord dat wiskunde de ‘koningin van alle wetenschappen’ wordt genoemd? Bent u het eens met deze stelling? Zolang wiskunde voor jou een reeks saaie problemen in een leerboek blijft, kun je de schoonheid, veelzijdigheid en zelfs humor van deze wetenschap nauwelijks ervaren.

Maar er zijn onderwerpen in de wiskunde die helpen bij het maken van interessante observaties over dingen en verschijnselen die wij gemeen hebben. En probeer zelfs de sluier van mysterie van de schepping van ons universum te doorbreken. Er zijn interessante patronen in de wereld die met behulp van wiskunde kunnen worden beschreven.

Introductie van Fibonacci-getallen

Fibonacci-getallen noem de elementen van een nummerreeks. Daarin wordt elk volgend getal in een reeks verkregen door de twee voorgaande getallen bij elkaar op te tellen.

Voorbeeldreeks: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Je kunt het als volgt schrijven:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

U kunt een reeks Fibonacci-getallen beginnen met negatieve waarden N. Bovendien is de reeks in dit geval tweerichtingsverkeer (dat wil zeggen dat deze zowel negatieve als positieve getallen omvat) en neigt naar oneindig in beide richtingen.

Een voorbeeld van zo'n reeks: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

De formule ziet er in dit geval als volgt uit:

Fn = Fn+1 - Fn+2 of anders kun je dit doen: F -n = (-1) n+1 Fn.

Wat we nu kennen als ‘Fibonacci-getallen’ was bekend bij oude Indiase wiskundigen lang voordat ze in Europa werden gebruikt. En met deze naam is het slechts één doorlopende historische anekdote. Laten we beginnen met het feit dat Fibonacci zichzelf tijdens zijn leven nooit Fibonacci noemde - deze naam werd pas enkele eeuwen na zijn dood op Leonardo van Pisa toegepast. Maar laten we alles in volgorde bespreken.

Leonardo van Pisa, ook wel Fibonacci genoemd

De zoon van een koopman die wiskundige werd en vervolgens door het nageslacht werd erkend als de eerste grote wiskundige van Europa tijdens de middeleeuwen. Niet in de laatste plaats dankzij de Fibonacci-getallen (die, laten we niet vergeten, nog niet zo heetten). Die hij aan het begin van de 13e eeuw beschreef in zijn werk “Liber abaci” (“Boek van Abacus”, 1202).

Ik reis met mijn vader naar het Oosten, Leonardo studeerde wiskunde bij Arabische leraren (en in die tijd waren ze op dit gebied, en in veel andere wetenschappen, een van de de beste specialisten). Hij las de werken van wiskundigen uit de oudheid en het oude India in Arabische vertalingen.

Nadat hij alles wat hij had gelezen grondig had begrepen en zijn eigen onderzoekende geest had gebruikt, schreef Fibonacci verschillende wetenschappelijke verhandelingen over wiskunde, waaronder het bovengenoemde ‘Boek van Abacus’. Daarnaast heb ik gemaakt:

"Practica geometriae" ("Praktijk van de meetkunde", 1220);
"Flos" ("Bloem", 1225 - een onderzoek naar kubieke vergelijkingen);
“Liber quadratorum” (“Book of Squares”, 1225 – problemen met onbepaalde kwadratische vergelijkingen).

Hij was een grote fan van wiskundige toernooien, dus besteedde hij in zijn verhandelingen veel aandacht aan de analyse van verschillende wiskundige problemen.

Er is heel weinig biografische informatie over het leven van Leonardo. Wat de naam Fibonacci betreft, waaronder hij de geschiedenis van de wiskunde betrad, deze werd hem pas in de 19e eeuw toegekend.

Fibonacci en zijn problemen

Na Fibonacci blijft groot aantal problemen die in de daaropvolgende eeuwen erg populair waren onder wiskundigen. We zullen kijken naar het konijnenprobleem, dat wordt opgelost met behulp van Fibonacci-getallen.

Konijnen zijn niet alleen waardevol bont

Fibonacci stelde de volgende voorwaarden: er is een paar pasgeboren konijnen (mannelijk en vrouwelijk) van zo'n interessant ras dat ze regelmatig (vanaf de tweede maand) nakomelingen voortbrengen - altijd één nieuw paar konijnen. Ook, zoals je misschien wel raadt, een mannetje en een vrouwtje.

Deze voorwaardelijke konijnen worden geplaatst besloten ruimte en vermenigvuldig je met enthousiasme. Er wordt ook bepaald dat geen enkel konijn sterft aan een of andere mysterieuze konijnenziekte.

We moeten berekenen hoeveel konijnen we in een jaar zullen krijgen.

Aan het begin van 1 maand hebben we 1 koppel konijnen. Aan het einde van de maand paren ze.
De tweede maand - we hebben al 2 paar konijnen (een paar heeft ouders + 1 paar is hun nakomelingen).
Derde maand: Het eerste paar baart een nieuw paar, het tweede paar gaat paren. Totaal - 3 paar konijnen.
Vierde maand: Het eerste paar baart een nieuw paar, het tweede paar verspilt geen tijd en baart ook een nieuw paar, het derde paar is net aan het paren. Totaal - 5 paar konijnen.

Aantal konijnen binnen N e maand = aantal konijnenparen van de vorige maand + aantal pasgeboren paren (er zijn evenveel konijnenparen als er 2 maanden eerder konijnenparen waren). En dit alles wordt beschreven door de formule die we hierboven al hebben gegeven: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Zo verkrijgen we een recurrente (uitleg over recursie– hieronder) nummerreeks. Waarin elk volgend getal gelijk is aan de som van de vorige twee:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Je kunt de reeks nog een hele tijd voortzetten: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Maar aangezien we een specifieke periode hebben vastgesteld - een jaar, zijn we geïnteresseerd in het resultaat dat is verkregen op de 12e "zet". Die. 13e lid van de reeks: 377.

Het antwoord op het probleem: er worden 377 konijnen verkregen als aan alle gestelde voorwaarden wordt voldaan.

Een van de eigenschappen van de Fibonacci-getallenreeks is erg interessant. Als we twee opeenvolgende paren uit een rij nemen en delen groter aantal tot minder zal het resultaat geleidelijk dichterbij komen gouden verhouding(je kunt er verderop in het artikel meer over lezen).

In wiskundige termen: "de grens van relaties een n+1 Naar een gelijk aan de gulden snede".

Nog meer problemen met de getaltheorie

Zoek een getal dat kan worden gedeeld door 7. Als je het deelt door 2, 3, 4, 5, 6, is de rest één.
Zoek het kwadraatgetal. Het is bekend dat als je er 5 bij optelt of 5 aftrekt, je weer een kwadraatgetal krijgt.

Wij raden u aan zelf naar antwoorden op deze problemen te zoeken. U kunt uw opties achterlaten in de opmerkingen bij dit artikel. En dan vertellen wij u of uw berekeningen juist waren.

Uitleg van recursie

Recursie– definitie, beschrijving, afbeelding van een object of proces dat dit object of proces zelf bevat. Dat wil zeggen dat een object of proces in wezen een deel van zichzelf is.

Recursie wordt veel gebruikt in de wiskunde en informatica, en zelfs in de kunst en de populaire cultuur.

Fibonacci-getallen worden bepaald met behulp van een herhalingsrelatie. Voor nummer n>2 n- e getal is gelijk (n – 1) + (n – 2).

Uitleg van de gulden snede

Gulden snede- het verdelen van een geheel (bijvoorbeeld een segment) in delen die gerelateerd zijn volgens het volgende principe: het grotere deel is op dezelfde manier gerelateerd aan het kleinere als de gehele waarde (bijvoorbeeld de som van twee segmenten) naar het grotere deel.

De eerste vermelding van de gulden snede is te vinden bij Euclides in zijn verhandeling “Elementen” (ongeveer 300 voor Christus). In de context van het construeren van een regelmatige rechthoek.

De ons bekende term werd in 1835 in omloop gebracht door de Duitse wiskundige Martin Ohm.

Als we de gulden snede bij benadering beschrijven, vertegenwoordigt deze een proportionele verdeling in twee ongelijke delen: ongeveer 62% en 38%. In numerieke termen is de gulden snede het getal 1,6180339887 .

De gulden snede vindt praktische toepassing V beeldende kunst(schilderijen van Leonardo da Vinci en andere renaissanceschilders), architectuur, film (“Battleship Potemkin” van S. Esenstein) en andere gebieden. Voor een lange tijd Men geloofde dat de gulden snede de meest esthetische verhouding is. Deze mening is vandaag de dag nog steeds populair. Hoewel, volgens onderzoeksresultaten, de meeste mensen dit aandeel visueel niet als het meest waarnemen een goede optie en wordt als te langwerpig (onevenredig) beschouwd.

Sectie lengte Met = 1, A = 0,618, B = 0,382.
Houding Met Naar A = 1, 618.
Houding Met Naar B = 2,618

Laten we nu teruggaan naar de Fibonacci-cijfers. Laten we twee opeenvolgende termen uit de reeks nemen. Deel het grotere getal door het kleinere getal en krijg ongeveer 1,618. En nu gebruiken we hetzelfde grotere getal en het volgende lid van de reeks (dat wil zeggen een nog groter getal) - hun verhouding is begin 0,618.

Hier is een voorbeeld: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 en 233/377 = 0,618

Trouwens, als je hetzelfde experiment probeert uit te voeren met getallen vanaf het begin van de reeks (bijvoorbeeld 2, 3, 5), zal niets werken. Nou ja, bijna. De gulden snede-regel wordt nauwelijks gevolgd voor het begin van de reeks. Maar naarmate je door de serie beweegt en de cijfers toenemen, werkt het prima.

En om de hele reeks Fibonacci-getallen te berekenen, is het voldoende om drie termen van de reeks te kennen, de een na de ander. Je kunt dit zelf zien!

Gouden rechthoek en Fibonacci-spiraal

Een andere interessante parallel tussen Fibonacci-getallen en de gulden snede is de zogenaamde “gouden rechthoek”: de zijden ervan zijn in de verhouding 1,618 tot 1. Maar we weten al wat het getal 1,618 is, toch?

Laten we bijvoorbeeld twee opeenvolgende termen uit de Fibonacci-reeks nemen - 8 en 13 - en een rechthoek construeren met de volgende parameters: breedte = 8, lengte = 13.

En dan verdelen we de grote rechthoek in kleinere. Verplichte voorwaarde: de lengtes van de zijden van de rechthoeken moeten overeenkomen met de Fibonacci-getallen. Die. De zijdelengte van de grotere rechthoek moet gelijk zijn aan de som van de zijden van de twee kleinere rechthoeken.

De manier waarop het in deze figuur wordt gedaan (voor het gemak zijn de figuren ondertekend in Latijnse letters).

Je kunt trouwens rechthoeken in omgekeerde volgorde bouwen. Die. begin met bouwen met vierkanten met een zijde van 1. Waarop, geleid door het hierboven genoemde principe, figuren met zijden gelijk aan de Fibonacci-getallen worden voltooid. Theoretisch kan dit voor onbepaalde tijd worden voortgezet; de Fibonacci-reeks is immers formeel oneindig.

Als we de hoeken van de in de figuur verkregen rechthoeken met een vloeiende lijn verbinden, krijgen we een logaritmische spiraal. Of beter gezegd: zij speciaal geval– Fibonacci-spiraal. Het wordt met name gekenmerkt door het feit dat het geen grenzen kent en niet van vorm verandert.

Een soortgelijke spiraal wordt vaak in de natuur aangetroffen. Tweekleppig schelpdieren zijn een van de meest opvallende voorbeelden. Bovendien hebben sommige sterrenstelsels die vanaf de aarde zichtbaar zijn een spiraalvorm. Als je aandacht besteedt aan de weersvoorspellingen op tv, is het je misschien opgevallen dat cyclonen een vergelijkbare spiraalvorm hebben wanneer ze vanaf satellieten worden gefotografeerd.

Het is merkwaardig dat de DNA-helix ook de regel van de gulden snede volgt: het overeenkomstige patroon is te zien in de intervallen van de bochten.

Dergelijke verbazingwekkende ‘toevalligheden’ kunnen niet anders dan de geest prikkelen en aanleiding geven tot discussie over een bepaald enkel algoritme waaraan alle verschijnselen in het leven van het universum gehoorzamen. Begrijp je nu waarom dit artikel zo wordt genoemd? En welke deuren verbazingwekkende werelden Kan wiskunde dingen voor je openen?

Fibonacci-getallen in de natuur

Het verband tussen Fibonacci-getallen en de gulden snede suggereert interessante patronen. Zo merkwaardig dat het verleidelijk is om te proberen reeksen te vinden die lijken op Fibonacci-getallen in de natuur en zelfs tijdens historische gebeurtenissen. En de natuur geeft werkelijk aanleiding tot dergelijke aannames. Maar kan alles in ons leven verklaard en beschreven worden met behulp van wiskunde?

Voorbeelden van levende wezens die kunnen worden beschreven met behulp van de Fibonacci-reeks:

de rangschikking van bladeren (en takken) in planten - de afstanden daartussen zijn gecorreleerd met Fibonacci-getallen (phyllotaxis);

opstelling van zonnebloempitten (de zaden zijn gerangschikt in twee rijen spiralen die in elkaar zijn gedraaid verschillende richtingen: één rij met de klok mee, de andere tegen de klok in);

opstelling van dennenappelschubben;
bloemblaadjes;
ananascellen;
verhouding van de lengtes van de vingerkootjes van de vingers van de menselijke hand (ongeveer), enz.

Combinatorische problemen

Fibonacci-getallen worden veel gebruikt bij het oplossen van combinatorische problemen.

Combinatoriek is een tak van de wiskunde die de selectie van een bepaald aantal elementen uit een bepaalde set, opsomming, enz. bestudeert.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van combinatorische problemen die zijn ontworpen voor het middelbare schoolniveau (bron - http://www.problems.ru/).

Taak #1:

Lesha beklimt een trap van 10 treden. Op een gegeven moment springt hij één of twee treden omhoog. Op hoeveel manieren kan Lesha de trap beklimmen?

Het aantal manieren waarop Lesha de trap kan beklimmen N stappen, laten we aanduiden en n. Daaruit volgt een 1 = 1, een 2= 2 (Lesha springt immers één of twee stappen).

Ook is afgesproken dat Lesha de trap op springt n> 2 stappen. Laten we zeggen dat hij de eerste keer twee stappen sprong. Dit betekent dat hij, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem, een andere moet springen n – 2 stappen. Vervolgens wordt het aantal manieren om de klim te voltooien beschreven als een n–2. En als we ervan uitgaan dat Lesha de eerste keer slechts één stap heeft gesprongen, dan beschrijven we het aantal manieren om de klim te voltooien als een n–1.

Vanaf hier krijgen we de volgende gelijkheid: een n = een n–1 + een n–2(ziet er bekend uit, nietwaar?).

Sinds we het weten een 1 En een 2 en onthoud dat er, afhankelijk van de omstandigheden van het probleem, 10 stappen zijn, bereken ze allemaal op volgorde een: een 3 = 3, een 4 = 5, een 5 = 8, een 6 = 13, een 7 = 21, een 8 = 34, een 9 = 55, een 10 = 89.

Antwoord: 89 manieren.

Taak #2:

U moet het aantal woorden van 10 letters vinden dat alleen uit de letters “a” en “b” bestaat en niet twee letters “b” achter elkaar mag bevatten.

Laten we aanduiden met een aantal woorden lengte N letters die alleen uit de letters “a” en “b” bestaan en niet twee letters “b” achter elkaar bevatten. Middelen, een 1= 2, een 2= 3.

Op volgorde een 1, een 2, <…>, een we zullen elk van de volgende leden uitdrukken via de vorige. Daarom is het aantal woorden lang N letters die ook geen dubbele letter “b” bevatten en beginnen met de letter “a” zijn dat wel een n–1. En als het woord lang is N letters beginnen met de letter “b”, het is logisch dat de volgende letter in zo’n woord “a” is (er kunnen immers geen twee “b” zijn volgens de voorwaarden van het probleem). Daarom is het aantal woorden lang N in dit geval duiden we de letters aan als een n–2. In zowel het eerste als het tweede geval kan elk woord (lengte van n – 1 En n – 2 letters) zonder dubbele “b”.

Wij hebben kunnen beargumenteren waarom een n = een n–1 + een n–2.

Laten we nu berekenen een 3= een 2+ een 1= 3 + 2 = 5, een 4= een 3+ een 2= 5 + 3 = 8, <…>, een 10= een 9+ een 8= 144. En we krijgen de bekende Fibonacci-reeks.

Antwoord: 144.

Taak #3:

Stel je voor dat er een tape is die in cellen is verdeeld. Het gaat naar rechts en duurt voor onbepaalde tijd. Plaats een sprinkhaan op het eerste vierkant van de tape. Op welke cel van de band hij zich ook bevindt, hij kan alleen naar rechts bewegen: één cel, of twee. Op hoeveel manieren kan een sprinkhaan vanaf het begin van de tape naar... N-de cellen?

Laten we het aantal manieren aangeven waarop u een sprinkhaan langs de riem kunt verplaatsen N-de cellen zoals een. In dat geval een 1 = een 2= 1. Ook binnen n+1 De sprinkhaan kan de -de cel binnenkomen N-de cel, of door eroverheen te springen. Vanaf hier een n+1 = een n – 1 + een. Waar een = Fn – 1.

Antwoord: Fn – 1.

Je kunt soortgelijke problemen zelf bedenken en deze in de wiskundelessen met je klasgenoten proberen op te lossen.

Fibonacci-getallen in de populaire cultuur

Natuurlijk kan zo'n ongewoon fenomeen als Fibonacci-getallen alleen maar de aandacht trekken. Er zit nog steeds iets aantrekkelijks en zelfs mysterieus in dit strikt gecontroleerde patroon. Het is niet verrassend dat de reeks van Fibonacci op de een of andere manier in veel moderne werken ‘oplichtte’ populaire cultuur een verscheidenheid aan genres.

We zullen u over enkele ervan vertellen. En je probeert weer jezelf te zoeken. Als je het vindt, deel het dan met ons in de reacties – wij zijn ook benieuwd!

Fibonacci-getallen worden genoemd in Dan Browns bestseller The Da Vinci Code: de Fibonacci-reeks dient als de code die door de hoofdpersonen van het boek wordt gebruikt om een kluis te openen.
In de Amerikaanse film Mr. Nobody uit 2009 maakt het adres van een huis in één aflevering deel uit van de Fibonacci-reeks - 12358. Bovendien is in een andere aflevering hoofdpersoon zou moeten bellen telefoonnummer, wat in wezen dezelfde is, maar enigszins vervormd (extra cijfer na de 5) reeks: 123-581-1321.
In de serie 'Connection' uit 2012 kan de hoofdpersoon, een jongen die aan autisme lijdt, patronen onderscheiden in gebeurtenissen die zich in de wereld voordoen. Inclusief via Fibonacci-getallen. En beheer deze evenementen ook via cijfers.
Java-game-ontwikkelaars voor mobiele telefoons Doom RPG plaatste een geheime deur in een van de niveaus. De code waarmee het wordt geopend, is de Fibonacci-reeks.
In 2012 bracht de Russische rockband Splin het conceptalbum ‘Optical Deception’ uit. Het achtste nummer heet “Fibonacci”. De verzen van groepsleider Alexander Vasiliev spelen op de reeks Fibonacci-getallen. Voor elk van de negen opeenvolgende termen is er een overeenkomstig aantal regels (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 De trein vertrok

1 Eén gewricht knapte

1 Eén mouw trilde

2 Dat is alles, pak de spullen

Dat is alles, pak de spullen

3 Verzoek om kokend water

De trein gaat naar de rivier

De trein gaat door de taiga<…>.

Een limerick (een kort gedicht met een specifieke vorm - meestal vijf regels, met een specifiek rijmschema, humoristisch van inhoud, waarin de eerste en laatste regel worden herhaald of elkaar gedeeltelijk dupliceren) van James Lyndon gebruikt ook een verwijzing naar de Fibonacci volgorde als humoristisch motief:

Het dichte voedsel van de vrouwen van Fibonacci

Het was alleen in hun voordeel en niets anders.

De vrouwen wogen, volgens het gerucht,

Ze zijn allemaal net als de vorige twee.

Laten we het samenvatten

We hopen dat we je vandaag veel interessante en nuttige dingen hebben kunnen vertellen. Je kunt nu bijvoorbeeld in de natuur om je heen op zoek gaan naar de Fibonacci-spiraal. Misschien ben jij degene die ‘het geheim van het leven, het universum en in het algemeen’ kan ontrafelen.

Gebruik de formule voor Fibonacci-getallen bij het oplossen van combinatorische problemen. U kunt vertrouwen op de voorbeelden die in dit artikel worden beschreven.

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

gebaseerd op het boek van B. Biggs “A heggenschaar kwam uit de mist”

Over Fibonacci-getallen en handel

Laten we, als inleiding op het onderwerp, kort ingaan op de technische analyse. Kortom, technische analyse heeft tot doel de toekomstige prijsbeweging van een actief te voorspellen op basis van historische gegevens uit het verleden. De bekendste formulering van zijn aanhangers is dat de prijs al alle benodigde informatie bevat. De implementatie van technische analyse begon met de ontwikkeling van speculatie op de aandelenmarkt en is waarschijnlijk nog niet helemaal voltooid, omdat het potentieel onbeperkte winsten belooft. De meest bekende methoden (termen) in de technische analyse zijn steun- en weerstandsniveaus, Japanse kandelaars, cijfers die een prijsomkering voorspellen, enz.

De paradox van de situatie ligt naar mijn mening in het volgende: de meeste van de beschreven methoden zijn zo wijdverspreid geworden dat ze, ondanks het gebrek aan bewijsmateriaal over hun effectiviteit, daadwerkelijk de mogelijkheid hebben om het marktgedrag te beïnvloeden. Daarom zouden zelfs sceptici die fundamentele data gebruiken, rekening moeten houden met deze concepten, simpelweg omdat zoveel andere spelers (“techneuten”) er rekening mee houden. Technische analyse kan goed werken op het gebied van de geschiedenis, maar in de praktijk slaagt bijna niemand erin om er stabiel geld mee te verdienen - het is veel gemakkelijker om rijk te worden door een grote oplage te publiceren van het boek 'Hoe je miljonair wordt met behulp van technische analyse'. ..

In die zin onderscheidt de Fibonacci-theorie zich, die ook wordt gebruikt om prijzen voor te voorspellen verschillende termen. Haar volgelingen worden gewoonlijk 'wankelaars' genoemd. Het onderscheidt zich omdat het niet gelijktijdig met de markt verscheen, maar veel eerder - maar liefst 800 jaar. Een ander kenmerk ervan is dat de theorie bijna wordt weergegeven als een wereldconcept dat alles en iedereen beschrijft, en dat de markt slechts een speciaal geval is voor de toepassing ervan. De effectiviteit van de theorie en de periode van haar bestaan bieden haar zowel nieuwe aanhangers als nieuwe pogingen om op basis daarvan de minst controversiële en algemeen aanvaarde beschrijving van het gedrag van markten te creëren. Maar helaas is de theorie niet verder gekomen dan individuele succesvolle marktvoorspellingen, wat kan worden gelijkgesteld met geluk.

De essentie van de Fibonacci-theorie

Fibonacci leefde een lang leven, vooral vanwege zijn tijd, die hij wijdde aan het oplossen van een aantal wiskundige problemen, en deze formuleerde in zijn omvangrijke werk “The Book of Abacus” (begin 13e eeuw). Hij was altijd geïnteresseerd in de mystiek van getallen - hij was waarschijnlijk niet minder briljant dan Archimedes of Euclides. Taken gerelateerd aan kwadratische vergelijkingen, werden vóór Fibonacci gesteld en gedeeltelijk opgelost, bijvoorbeeld door de beroemde Omar Khayyam, een wetenschapper en dichter; Fibonacci formuleerde echter het probleem van de reproductie van konijnen, waarvan de conclusies hem iets opleverden waardoor zijn naam in de loop van de eeuwen niet verloren ging.

In het kort luidt de opgave als volgt. Een paar konijnen werd op een plaats geplaatst die aan alle kanten omheind was door een muur, en elk paar konijnen baart elke maand een ander paar, vanaf de tweede maand van hun bestaan. De reproductie van konijnen in de loop van de tijd zal worden beschreven door de volgorde: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, enz. Vanuit wiskundig oogpunt bleek de reeks eenvoudigweg uniek, omdat deze een aantal uitstekende eigenschappen had:

de som van twee opeenvolgende getallen is het volgende getal in de reeks;
de verhouding van elk getal in de reeks, beginnend bij het vijfde, tot het vorige is 1,618;
het verschil tussen het kwadraat van een willekeurig getal en het kwadraat van een getal twee posities naar links is het Fibonacci-getal;
de som van de kwadraten van aangrenzende getallen is het Fibonacci-getal, dat twee posities na het grootste kwadraat ligt

Van deze bevindingen is de tweede het meest interessant omdat deze het getal 1,618 gebruikt, bekend als de ‘gulden snede’. Dit nummer was bekend bij de oude Grieken, die het gebruikten tijdens de bouw van het Parthenon (trouwens, volgens sommige bronnen bediende de Centrale Bank de Grieken). Niet minder interessant is dat het getal 1.618 in de natuur voorkomt op zowel micro- als macroschaal - van de spiraalvormige windingen op een slakkenhuis tot de grote spiralen van kosmische sterrenstelsels. De piramides van Gizeh, gemaakt door de oude Egyptenaren, bevatten tijdens de bouw ook verschillende parameters uit de Fibonacci-reeks. Een rechthoek waarvan de ene zijde 1,618 keer groter is dan de andere, ziet er het meest aantrekkelijk uit voor het oog - deze verhouding werd door Leonardo da Vinci gebruikt voor zijn schilderijen, en in meer alledaagse termen werd hij soms gebruikt bij het maken van vensters of deuropeningen. Zelfs een golf, zoals in de figuur aan het begin van het artikel, kan worden weergegeven als een Fibonacci-spiraal.

In de levende natuur komt de Fibonacci-reeks niet minder vaak voor: deze is te vinden in klauwen, tanden, zonnebloemen, spinnenwebben en zelfs de groei van bacteriën. Indien gewenst wordt consistentie in bijna alles gevonden, inclusief het menselijk gezicht en lichaam. En toch wordt aangenomen dat veel van de beweringen die Fibonacci-getallen vinden in natuurlijke en historische verschijnselen onjuist zijn - dit is een veel voorkomende mythe die vaak onnauwkeurig blijkt te zijn om het gewenste resultaat te bereiken.

Fibonacci-cijfers op de financiële markten

Een van de eersten die het nauwst betrokken was bij de toepassing van Fibonacci-getallen op de financiële markt was R. Elliot. Zijn werk was niet tevergeefs in de zin dat marktbeschrijvingen die gebruik maken van de Fibonacci-theorie vaak ‘Elliott-golven’ worden genoemd. De ontwikkeling van de markten hier was gebaseerd op het model van menselijke ontwikkeling vanuit supercycli met drie stappen vooruit en twee stappen achteruit. Het feit dat de mensheid zich niet-lineair ontwikkelt, is voor bijna iedereen duidelijk: kennis Het oude Egypte en de atomistische leer van Democritus ging in de Middeleeuwen volledig verloren, d.w.z. na ongeveer 2000 jaar; De 20e eeuw heeft aanleiding gegeven tot zo'n gruwel en onbeduidendheid van het menselijk leven dat het zelfs in het tijdperk van de Punische oorlogen van de Grieken moeilijk voor te stellen was. Maar zelfs als we de theorie van de stappen en hun aantal als waarheid aanvaarden, blijft de grootte van elke stap onduidelijk, waardoor Elliott-golven vergelijkbaar zijn met de voorspellende kracht van kop en staart. Het uitgangspunt en de juiste berekening van het aantal golven waren en zullen blijkbaar de belangrijkste zwakte van de theorie zijn.

Niettemin kende de theorie lokale successen. Bob Pretcher, die kan worden beschouwd als een leerling van Elliott, voorspelde de bullmarkt van begin jaren tachtig correct en zag 1987 als het keerpunt. Dit gebeurde daadwerkelijk, waarna Bob zich duidelijk een genie voelde - in de ogen van anderen werd hij zeker een beleggingsgoeroe. Prechters Elliott Wave Theorist-abonnement groeide dat jaar tot 20.000.begin jaren negentig nam het echter af, toen de verder voorspelde 'onheil en somberheid' van de Amerikaanse markt besloot een tijdje op zich te laten wachten. Het werkte echter voor de Japanse markt, en een aantal aanhangers van de theorie, die daar voor één golf ‘te laat’ waren, verloren hun kapitaal of het kapitaal van de klanten van hun bedrijven. Op dezelfde manier en met hetzelfde succes proberen ze de theorie vaak toe te passen op de handel op de valutamarkt.

De theorie bestrijkt een verscheidenheid aan handelsperioden - van wekelijks, waardoor het vergelijkbaar is met standaard technische analysestrategieën, tot berekeningen voor tientallen jaren, d.w.z. begeeft zich op het terrein van fundamentele voorspellingen. Dit is mogelijk door het aantal golven te variëren. De zwakheden van de theorie, die hierboven werden genoemd, stellen de aanhangers ervan in staat niet te spreken over de inconsistentie van de golven, maar over hun eigen misrekeningen onder hen en een onjuiste definitie van de startpositie. Het is als een labyrint: zelfs als je de juiste kaart hebt, kun je deze alleen volgen als je precies begrijpt waar je bent. Anders heeft de kaart geen nut. In het geval van Elliott-golven zijn er alle tekenen dat u niet alleen twijfelt aan de juistheid van uw locatie, maar ook aan de nauwkeurigheid van de kaart als zodanig.

Conclusies

De golfontwikkeling van de mensheid heeft een echte basis: in de Middeleeuwen wisselden golven van inflatie en deflatie elkaar af, toen oorlogen plaats maakten voor een relatief kalm, vredig leven. De observatie van de Fibonacci-reeks in de natuur roept, althans in sommige gevallen, ook geen twijfel op. Daarom heeft iedereen het recht om zijn eigen antwoord te geven op de vraag wie God is: een wiskundige of een willekeurige getallengenerator. Mijn persoonlijke mening is dat hoewel de hele menselijke geschiedenis en markten in het golfconcept kunnen worden weergegeven, de hoogte en duur van elke golf door niemand kunnen worden voorspeld.

Tegelijkertijd maken tweehonderd jaar observatie van de Amerikaanse markt en ruim honderd jaar andere markten duidelijk dat de aandelenmarkt groeit en verschillende perioden van groei en stagnatie doormaakt. Dit feit is voldoende voor langetermijnwinsten op de aandelenmarkt, zonder toevlucht te nemen tot controversiële theorieën en hen meer kapitaal toe te vertrouwen dan binnen redelijke risico's zou moeten gebeuren.

bekeken

VKontakte opslaan