§6. Sstellingen over open en gesloten verzamelingen

19.06.2022

Een van de hoofdtaken van de theorie van puntensets is de studie van de eigenschappen van verschillende soorten puntensets. Laten we deze theorie leren kennen aan de hand van twee voorbeelden en de eigenschappen van de zogenaamde gesloten en open verzamelingen bestuderen.

Het stel wordt gebeld gesloten , als het al zijn limietpunten bevat. Als een set geen enkel limietpunt heeft, wordt deze ook als gesloten beschouwd. Naast de limietpunten kan een gesloten verzameling ook geïsoleerde punten bevatten. Het stel wordt gebeld open , als elk van zijn punten er intern voor is.

Laten we het geven voorbeelden van gesloten en open verzamelingen .

Elk segment is een gesloten verzameling en elk interval (a, b) is een open verzameling. Onjuiste halve intervallen en gesloten, en onjuiste intervallen en open. De gehele lijn is zowel een gesloten als een open set. Het is handig om de lege set tegelijkertijd als gesloten en open te beschouwen. Elke eindige reeks punten op een lijn is gesloten, aangezien deze geen limietpunten heeft.

Een set bestaande uit punten:

gesloten; deze set heeft een uniek limietpunt x=0, dat bij de set hoort.

De belangrijkste taak is om erachter te komen hoe een willekeurige gesloten of open verzameling is gestructureerd. Om dit te doen hebben we een aantal aanvullende feiten nodig, die we zonder bewijs zullen accepteren.

1. Het snijpunt van een willekeurig aantal gesloten verzamelingen is gesloten.
2. De som van een willekeurig aantal open verzamelingen is een open verzameling.
3. Als een gesloten verzameling boven begrensd is, bevat deze zijn supremum. Op dezelfde manier, als een gesloten verzameling hieronder wordt begrensd, bevat deze zijn infimum.

Laat E een willekeurige reeks punten op een lijn zijn. Laten we het complement van de verzameling E noemen en met CE de verzameling van alle punten op de lijn aangeven die niet tot de verzameling E behoren. Het is duidelijk dat als x een extern punt is voor E, het een intern punt is voor de ingestelde CE en omgekeerd.

4. Als een verzameling F gesloten is, is het complement CF open en omgekeerd.

Stelling 4 laat zien dat er een zeer nauw verband bestaat tussen gesloten en open verzamelingen: sommige zijn complementen van andere. Hierdoor is het voldoende om alleen gesloten of alleen open sets te bestuderen. Als u de eigenschappen van sets van het ene type kent, kunt u onmiddellijk de eigenschappen van sets van een ander type achterhalen. Elke open set wordt bijvoorbeeld verkregen door een gesloten set van een lijn te verwijderen.

Laten we beginnen met het bestuderen van de eigenschappen van gesloten verzamelingen. Laten we één definitie introduceren. Laat F een gesloten verzameling zijn. Een interval (a, b) met de eigenschap dat geen van zijn punten tot de verzameling F behoort, maar de punten a en b tot F, wordt een aangrenzend interval van de verzameling F genoemd.

We zullen ook onjuiste intervallen tussen aangrenzende intervallen opnemen, of als punt a of punt b tot de verzameling F behoort, en de intervallen zelf niet snijden met F. Laten we aantonen dat als een punt x niet tot een gesloten verzameling F behoort, het tot een van zijn aangrenzende intervallen behoort.

Laten we dit aangeven met het deel van de verzameling F dat zich rechts van het punt x bevindt. Omdat het punt x zelf niet tot de verzameling F behoort, kan het in de vorm van een snijpunt worden weergegeven:

Elk van de sets is F en gesloten. Daarom is de verzameling volgens Propositie 1 gesloten. Als de verzameling leeg is, dan behoort het gehele halve interval niet tot de verzameling F. Laten we nu aannemen dat de verzameling niet leeg is. Omdat deze set zich volledig op een half interval bevindt, wordt deze hieronder begrensd. Laten we de ondergrens ervan aangeven met b. Volgens voorstel 3, wat betekent. Verder, aangezien b het infimum van de verzameling is, bevat het halve interval (x, b) dat links van punt b ligt geen punten van de verzameling en daarom ook geen punten van de verzameling F. Dus, we hebben een half interval (x, b) geconstrueerd dat geen punten van de verzameling F bevat, en een van beide of het punt b behoort tot de verzameling F. Op dezelfde manier wordt een half interval (a, x) geconstrueerd dat geen punten bevat van de verzameling F, en óf óf. Nu is het duidelijk dat het interval (a, b) het punt x bevat en een aangrenzend interval is van de verzameling F. Het is gemakkelijk in te zien dat als en twee aangrenzende intervallen van de verzameling F zijn, deze intervallen ofwel samenvallen ofwel niet overeenkomen. niet kruisen.

Uit het voorgaande volgt dat elke gesloten verzameling op een lijn wordt verkregen door een bepaald aantal intervallen van de lijn te verwijderen, namelijk aangrenzende intervallen van de verzameling F. Aangezien elk interval minstens één rationaal punt bevat, en er een telbare verzameling is van alle rationele punten op de lijn, is het eenvoudig om ervoor te zorgen dat het aantal van alle aangrenzende intervallen maximaal telbaar is. Vanaf hier krijgen we de eindconclusie. Elke gesloten verzameling op een lijn wordt verkregen door maximaal een telbare verzameling disjuncte intervallen van de lijn te verwijderen.

Op grond van Stelling 4 volgt hieruit onmiddellijk dat elke open verzameling op een lijn niets meer is dan een telbare som van onsamenhangende intervallen. Op grond van Stelling 1 en 2 is het ook duidelijk dat elke verzameling die is gerangschikt zoals hierboven aangegeven inderdaad gesloten (open) is.

Zoals uit het volgende voorbeeld blijkt, kunnen gesloten verzamelingen een zeer complexe structuur hebben.

Plan

Vector ruimte .
Binnenpunt van een set. Open set in de ruimte
Eigenschappen van open verzamelingen
Limietpunt van een set. Gesloten sets in de ruimte
Eigenschappen van gesloten sets in de ruimte

1. Vectorruimte . Het concept van metrieken. Metrische eigenschappen

Laat het zijn. Elementen van de ruimte zijn vectoren, waar. In de ruimte zijn twee bewerkingen geïntroduceerd: het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen van een vector met een scalair, waarvan de eigenschappen worden besproken in de cursus algebra en meetkunde.

Laten we de vectornorm definiëren als een functie:

De vectornormfunctie voldoet aan de volgende eigenschappen:

Definitie 1. Afstand in de ruimte tussen vectoren heet

Afstandseigenschappen:

1. i dan en slechts dan als;

Definitie 2. Laat het zijn. Een open bal met een straal gecentreerd op een punt (aangeduid) is de verzameling punten zodanig dat

Voorbeeld. - dit is het interval (Fig. 1).

Voorbeeld. (Fig. 2).

Definitie 3. Laat het zijn. Een gesloten bal met een straal met het middelpunt in een punt (aangeduid) is de verzameling punten zodanig dat

Definitie 4. Een punt wordt een binnenpunt van deze set genoemd als er een open bal is die volledig in de set zit.

Definitie 5. Een set wordt een open set genoemd als elk van zijn punten een intern punt is.

Voorbeeld. De lege set en set zijn open sets.

Voorbeeld. Bewijs dat dit een open verzameling is (Fig. 3).

Laten we het nemen. Het betekent dat. Laten we aanduiden Denk aan een open bal. Laten we dat bewijzen. Laten we, om dit te doen, laten zien wat tegelijkertijd behoort tot:

Dus, en dit betekent dat.

Definitie 6. Een open parallellepipedum is een reeks punten waarvoor de volgende ongelijkheden gelden:

Oefening. Laat zien dat een open parallellepipedum een open verzameling is.

Stelling 1. Het snijpunt van een eindig aantal open verzamelingen is een open verzameling.

Bewijs. Laten het open verzamelingen zijn, . Laten we laten zien dat dit een open verzameling is. Laten we, om dit te doen, aannemen en laten zien dat dit punt intern is voor:

Omdat elke set open is, is er een open bal voor. Laten we aanduiden Dan

Is dus intern voor deze set en de set zelf is open.

Opmerking. Het snijpunt van een oneindig aantal open verzamelingen is mogelijk geen open verzameling.

Voorbeeld. Laten we een oneindige verzameling open verzamelingen voor hen beschouwen. Een set die één punt bevat, is niet open.

Stelling 2. De vereniging van een willekeurig aantal open verzamelingen is een open verzameling.

Bewijs. Laten we een aantal indices hebben. Laat de set openstaan. Laat ons nadenken. Laten we laten zien dat het open is. Laten we, om dit te doen, aannemen en laten zien dat dit punt intern is voor:

Omdat het dus een open verzameling is, en dit betekent dat het een open verzameling is.

Definitie 19. Een stelletje E genaamd open , als al zijn punten intern zijn, dat wil zeggen als het zijn grenspunten niet bevat.

Definitie 20. Een stelletje E genaamd gesloten , tenminste als het al zijn limietpunten bevat. (Anders,
).

Voorbeeld 1. Elk N-dimensionale integraal is een open verzameling. Elk segment is een gesloten verzameling.

Er moet speciale aandacht worden besteed aan het feit dat de klassen van gesloten en open verzamelingen niet alle verzamelingen samen bestrijken; bovendien kruisen deze klassen elkaar. Er zijn sets die noch gesloten noch open zijn, maar ook sets die tegelijkertijd gesloten en open zijn.

Voorbeeld 2. De lege set moet als gesloten worden beschouwd, maar is tegelijkertijd open. Een stelletje R van reële getallen is zowel gesloten als open.

Een stelletje Q van rationale getallen is noch gesloten, noch open. Een lineair halfinterval is noch een gesloten, noch een open verzameling.

Stelling 3. Elke bal S(A, R) - open set.

Bewijs:

Laten . Laten we nemen
. Laten we bewijzen dat de bal
(dit betekent dat elk punt op de bal
- intern, dus
- open set). Laten we het nemen. Laten we dat bewijzen
, hiervoor schatten we de afstand
:

Vandaar,
, dat is
, dat is S(A, R) - open set.

Stelling 4. Afgeleide set
elke set E gesloten.

Bewijs:

Laten
. Dan in welke omgeving dan ook
punten er is minstens één punt sets
, anders dan . Omdat - grenspunt van de set E, en vervolgens in een van zijn buurten (inclusief willekeurig kleine buurten in
) Er is minstens één punt sets E, anders dan het punt . Per definitie dus het punt is het limietpunt voor de set E. Dus,
, wat per definitie betekent dat de set gesloten is E.

Opgemerkt moet worden dat in een bepaald geval de afgeleide set
mag leeg zijn.

Eigenschappen van open en gesloten verzamelingen

Stelling 5. De vereniging van een eindig aantal gesloten verzamelingen is een gesloten verzameling.

Bewijs:

Laten
- gesloten sets. Laten we dat bewijzen
- gesloten set.

Laten - grenspunt van de set

. Dan - limietpunt van ten minste één van de sets
(bewezen door tegenspraak). Omdat is dus een gesloten verzameling
. Maar dan
. Dus elk limietpunt van de set
behoort hem toe, dat wil zeggen
gesloten.

Stelling 6. Het snijpunt van een willekeurig aantal gesloten verzamelingen is een gesloten verzameling.

Bewijs:

Laten
- elke verzameling gesloten sets. Laten we dat bewijzen
- gesloten set.

Laten - grenspunt van de set

. Vervolgens, volgens Stelling 1, in elke buurt

. Maar alle punten van de set
zijn ook punten van de sets
. Daarom, binnen
bevat oneindig veel punten uit
. Maar alle menigten dus gesloten

En
, dat is
gesloten.

Stelling 7. Als het stel F gesloten is, dan het complement ervan CF open.

Bewijs:

Laten . Omdat
gesloten dan is niet het limietpunt (
). Maar dit betekent dat er een buurt is
punten , die geen punten van de set bevat F, dat is
. Dan
en daarom - binnenpunt van de set
. Omdat - willekeurig punt van de set CF, dan zijn alle punten van deze set dus intern CF open.

Stelling 8. Als het stel G open is, dan het complement ervan C.G. gesloten.

Bewijs:

Samen met wat omgeving laten staan. Vandaar, is geen limietpunt van de set C.G.. Dus,
is niet het limietpunt voor
, dat is
bevat al zijn limietpunten. A-priorij,
gesloten.

Stelling 9. De vereniging van een willekeurig aantal open verzamelingen is een open verzameling.

Bewijs:

Laten
- een willekeurige verzameling open verzamelingen En
. Laten we dat bewijzen - open set. We hebben:

Sinds de sets open
, dan volgens Stelling 8 de verzamelingen
gesloten
. Vervolgens, volgens Stelling 6, hun snijpunt

open.

Stelling 10. Het snijpunt van een eindig aantal open verzamelingen is een open verzameling.

Bewijs:

Laten
- snijpunt van een eindig aantal open verzamelingen
. Laten we dat bewijzen - open set. We hebben:

Sinds de sets open
, dan volgens Stelling 8 de verzamelingen
gesloten
. Vervolgens, volgens Stelling 5, hun vereniging

gesloten. Volgens Stelling 7, de verzameling
open.

Open en gesloten sets

bijlage 1 . Open en gesloten sets

Een stelletje M op een rechte lijn wordt genoemd open, als elk van zijn punten samen met een bepaald interval in deze set is opgenomen. Gesloten is een set die al zijn limietpunten bevat (dat wil zeggen zodanig dat elk interval dat dit punt bevat de set op zijn minst op één punt kruist). Een segment is bijvoorbeeld een gesloten set, maar is niet open, en een interval is daarentegen een open set, maar is niet gesloten. Er zijn sets die noch open noch gesloten zijn (bijvoorbeeld een half interval). Er zijn twee sets die zowel gesloten als open zijn - dit is leeg en dat is alles Z(Bewijs dat er geen anderen zijn). Het is gemakkelijk om te zien dat als M openen, dan [` M] (of Z \ M- aanvulling op set M voor Z) is gesloten. Als [` M] niet gesloten is, bevat het geen eigen grenspunt M. Maar dan M OVER M, en elk interval bevat M, snijdt met de verzameling [` M], d.w.z. heeft een punt dat er niet in ligt M, en dit is in tegenspraak met het feit dat M- open. Op dezelfde manier wordt ook rechtstreeks vanuit de definitie bewezen dat als M gesloten is, dan [` M] geopend (controleer!).

Nu zullen we de volgende belangrijke stelling bewijzen.

Stelling. Elke open reeks M kan worden weergegeven als een vereniging van intervallen met rationele uiteinden (dat wil zeggen, met uiteinden op rationele punten).

Bewijs . Denk eens aan de vakbond U alle intervallen met rationele doeleinden die deelverzamelingen van onze verzameling zijn. Laten we bewijzen dat deze unie samenvalt met de hele set. Inderdaad, als M- een bepaald punt van M, dan is er een interval ( M 1 , M 2) M M bevattend M(Dit volgt uit het feit dat M- open). Op elk interval kun je een rationeel punt vinden. Laat maar ( M 1 , M) - Dit M 3, op ( M, M 2) – dit is M 4. Wijs dan M gedekt door de vakbond U, namelijk het interval ( M 3 , M 4). Zo hebben we dat elk punt bewezen M van M gedekt door de vakbond U. Bovendien volgt uiteraard uit de constructie U, geen enkel punt niet opgenomen in M, niet bedekt U. Middelen, U En M overeenkomen.

Een belangrijk gevolg van deze stelling is het feit dat elke open verzameling open is telbaar intervallen combineren.

Nergens zijn dichte verzamelingen en verzamelingen van maat nul. Cantorset>

Bijlage 2 . Nergens zijn dichte verzamelingen en verzamelingen van maat nul. Cantor ingesteld

Een stelletje A genaamd nergens dicht, als het om andere punten gaat A En B er is een segment [ C, D] M [ A, B], niet kruisend met A. Bijvoorbeeld de reeks punten in de reeks A N = [ 1/(N)] is nergens compact, maar de verzameling rationale getallen is dat niet.

De stelling van Baire. Een segment kan niet worden weergegeven als een telbare unie van nergens dichte verzamelingen.

Bewijs . Stel dat er een reeks is A k nergens zo dicht dat En i A i = [A, B]. Laten we de volgende reeks segmenten construeren. Laten I 1 – een segment ingebed in [ A, B] en snijdt er niet mee A 1. Per definitie een nergens dichte set op een interval I 1 is er een segment dat de set niet snijdt A 2. Laten we hem bellen I 2. Verderop het segment I 2, neem op dezelfde manier het segment I 3, niet kruisend met A 3, enz. Volgorde I k geneste segmenten hebben een gemeenschappelijk punt (dit is een van de belangrijkste eigenschappen van reële getallen). Door constructie ligt dit punt in geen van de sets A k, wat betekent dat deze sets niet het hele segment bestrijken [ A, B].

Laten we de set bellen M maat nul hebben, als er voor elke positieve e een reeks is I k intervallen met een totale lengte kleiner dan e, bedekkend M. Het is duidelijk dat elke telbare verzameling de maat nul heeft. Er zijn echter ook ontelbare verzamelingen met maat nul. Laten we er een bouwen, heel beroemd, genaamd Cantor's.

Rijst. elf

Laten we een segment nemen. Laten we het in drie gelijke delen verdelen. Laten we het middensegment weggooien (Fig. 11, A). Er zullen twee segmenten zijn met een totale lengte [2/3]. We zullen met elk van hen precies dezelfde bewerking uitvoeren (Fig. 11, B). Er blijven vier segmenten over met een totale lengte [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Ga zo verder (afb. 11, V–e) tot oneindig, verkrijgen we een set die een maat heeft die kleiner is dan welke vooraf bepaalde positieve maat dan ook, dat wil zeggen maat nul. Het is mogelijk om een één-op-één-correspondentie tot stand te brengen tussen de punten van deze verzameling en oneindige reeksen nullen en enen. Als ons punt tijdens het eerste "weggooien" in het rechtersegment valt, plaatsen we 1 aan het begin van de reeks, als het links - 0 is (Fig. 11, A). Vervolgens krijgen we na het eerste "weggooien" een kleine kopie van het grote segment, waarmee we hetzelfde doen: als ons punt na het weggooien in het rechtersegment valt, plaatsen we 1, als het in het linkersegment zit – 0, enz. (controleer de één-op-één-relatie), rijst. elf, B, V. Omdat de reeks reeksen nullen en enen een kardinaliteitscontinuüm heeft, heeft de Cantor-set ook een kardinaliteitscontinuüm. Bovendien is het gemakkelijk te bewijzen dat het nergens dicht is. Het is echter niet waar dat er sprake is van strikte maatregel nul (zie de definitie van strikte maatregel). Het idee om dit feit te bewijzen is als volgt: neem de reeks A N, die zeer snel naar nul neigt. De volgorde bijvoorbeeld A N = [ 1/(2 2 N)]. Vervolgens zullen we bewijzen dat deze reeks de Cantor-verzameling niet kan dekken (doe het!).

Bijlage 3 . Taken

Bewerkingen instellen

Stelt in A En B worden genoemd gelijkwaardig, als elk element van de set A hoort bij het stel B, en vice versa. Aanduiding: A = B.

Een stelletje A genaamd subgroep sets B, als elk element van de set A hoort bij het stel B. Aanduiding: A M B.

1. Geef voor elke twee van de volgende sets aan of de ene een subset van de andere is:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Bewijs dat de set A dan en slechts dan als een deelverzameling van de verzameling is B, wanneer elk element er niet bij hoort B, horen er niet bij A.

3. Bewijs dat voor willekeurige verzamelingen A, B En C

A) A M A; b) als A M B En B M C, Dat A M C;

V) A = B, als en alleen als A M B En B M A.

Het stel wordt gebeld leeg, als het geen elementen bevat. Benaming: F.

4. Hoeveel elementen heeft elk van de volgende sets:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling van drie elementen?

6. Kan een verzameling precies a) 0 hebben; b*) 7; c) 16 subsets?

Vereniging sets A En B X, Wat X OVER A of X OVER B. Aanduiding: A EN B.

Door over te steken sets A En B wordt een verzameling genoemd die daaruit bestaat X, Wat X OVER A En X OVER B. Aanduiding: A Z B.

Door verschil sets A En B wordt een verzameling genoemd die daaruit bestaat X, Wat X OVER A En X P B. Aanduiding: A \ B.

7. Gegeven sets A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Vind de sets:

A) A EN B;	B) A Z B;	V) ( A Z B)EN D;
G) C Z ( D Z B);	D) ( A EN B)Z ( C EN D);	e) ( A EN ( B Z C))Z D;
En) ( C Z A)EN (( A EN ( C Z D))Z B);	H) ( A EN B) \ (C Z D);	En) A \ (B \ (C \ D));
Naar) (( A \ (B EN D)) \ C)EN B.

8. Laten A is de verzameling even getallen, en B– reeks getallen die deelbaar zijn door 3. Vind A Z B.

9. Bewijs dat voor alle sets A, B, C

A) A EN B = B EN A, A Z B = B Z A;

B) A EN ( B EN C) = (A EN B)EN C, A Z ( B Z C) = (A Z B)Z C;

V) A Z ( B EN C) = (A Z B)EN ( A Z C), A EN ( B Z C) = (A EN B)Z ( A EN C);

G) A \ (B EN C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B)EN ( A \ C).

10. Is het waar dat voor elke set A, B, C

A) A ZZH = F, A ik F = A;	B) A EN A = A, A Z A = A;	V) A Z B = A Y A M B;
G) ( A \ B)EN B = A; 7 d) A \ (A \ B) = A Z B;	e) A \ (B \ C) = (A \ B)EN ( A Z C);
En) ( A \ B)EN ( B \ A) = A EN B?

Toewijzingen instellen

Als elk element X sets X er komt precies één element overeen F(X) sets Y, dan zeggen ze dat het gegeven is weergave F van velen X in de menigte Y. Tegelijkertijd, als F(X) = j en vervolgens het element j genaamd manier element X wanneer weergegeven F en het element X genaamd prototype element j wanneer weergegeven F. Aanduiding: F: X ® Y.

11. Teken alle mogelijke toewijzingen van de set (7,8,9) naar de set (0,1).

Laten F: X ® Y, j OVER Y, A M X, B M Y. Volledig prototype van het element j wanneer weergegeven F heet een verzameling ( X OVER X | F(X) = j). Aanduiding: F - 1 (j). Het beeld van de menigte A M X wanneer weergegeven F heet een verzameling ( F(X) | X OVER A). Aanduiding: F(A). Het prototype van de set B M Y heet een verzameling ( X OVER X | F(X) OVER B). Aanduiding: F - 1 (B).

12. Weergeven F: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), gegeven door de afbeelding, zoek F({0,3}), F({1,3,4}), F - 1 (2), F - 1 ({2,5}), F - 1 ({5,18}).

een B C)

13. Laten F: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. Is het altijd waar dat

A) F(X) = Y;

B) F - 1 (Y) = X;

V) F(A 1 ik A 2) = F(A 1) En F(A 2);

G) F(A 1 W A 2) = F(A 1)Z F(A 2);

D) F - 1 (B 1 ik B 2) = F - 1 (B 1) En F - 1 (B 2);

e) F - 1 (B 1 W B 2) = F - 1 (B 1)Z F - 1 (B 2);

g) als F(A 1M F(A 2), dan A 1M A 2 ;

h) als F - 1 (B 1M F - 1 (B 2), dan B 1M B 2 ?

Samenstelling toewijzingen F: X ® Y En G: Y ® Z wordt een mapping genoemd die een element associeert X sets X element G(F(X)) sets Z. Aanduiding: G° F.

14. Bewijs dat voor willekeurige toewijzingen F: X ® Y, G: Y ® Z En H: Z ® W het volgende wordt gedaan: H° ( G° F) = (H° G)° F.

15. Laten F: (1,2,3,5)® (0,1,2), G: (0,1,2)® (3,7,37,137), H: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – toewijzingen weergegeven in de afbeelding:

F: G: H:

Maak afbeeldingen voor de volgende displays:

A) G° F; B) H° G; V) F° H° G; G) G° H° F.

Weergave F: X ® Y genaamd bijectief, indien voor elk j OVER Y er is er precies één X OVER X zoals dat F(X) = j.

16. Laten F: X ® Y, G: Y ® Z. Is het waar dat als F En G zijn dus bijectief G° F bijectief?

17. Laten F: (1,2,3)® (1,2,3), G: (1,2,3) ® (1,2,3), – toewijzingen weergegeven in de afbeelding:

18. Zoek voor elke twee van de volgende verzamelingen uit of er een bijectie is van de eerste naar de tweede (ervan uitgaande dat nul een natuurlijk getal is):

a) de verzameling natuurlijke getallen;

b) de verzameling even natuurlijke getallen;

c) de verzameling natuurlijke getallen zonder het getal 3.

Metrische ruimte een setje genoemd X met een gegeven metriek R: X× X ® Z

1) " X,j OVER X R ( X,j) ik 0, en r ( X,j) = 0 als en slechts als X = j (niet-negativiteit ); 2) " X,j OVER X R ( X,j) = r( j,X) (symmetrie ); 3) " X,j,z OVER X R ( X,j) + r( j,z) ik r ( X,z) (Driehoeksongelijkheid ). 19 19. X

A) X = Z, R ( X,j) = | X - j| ;

B) X = Z 2 , r2 (( X 1 ,j 1),(X 2 ,j 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (j 1 - j 2) 2 };

V) X = C[A,BA,B] functies,

Waar D

Open(respectievelijk, gesloten) bal met straal R in de ruimte X gecentreerd op een punt X een setje genoemd U R (X) = {j OVER X:R ( X,j) < R) (respectievelijk B R (X) = {j OVER X:R ( X,j) Ј R}).

Intern punt sets U M X U

open omgeving dit punt.

Limiet punt sets F M X F.

gesloten

20. Bewijs dat

21. Bewijs dat

b) vereniging van een verzameling A kortsluiting A

Weergave F: X ® Y genaamd continu

22.

23. Bewijs dat

F (X) = inf j OVER F R ( X,j

24. Laten F: X ® Y– . Is het waar dat de inverse continu is?

Continue één-op-één mapping F: X ® Y homeomorfisme. Spaties X, Yhomeomorf.

25.

26. Voor welke koppels? X, Y F: X ® Y, welke plakt niet aan elkaar punten (bijv. F(X) № F(j) bij X № j investeringen)?

27*. lokaal homeomorfisme(d.w.z. op elk punt X vliegtuig en F(X) torus er zijn zulke buurten U En V, Wat F homeomorfe kaarten U op V).

Metrische spaties en continue mappings

Metrische ruimte een setje genoemd X met een gegeven metriek R: X× X ® Z, die voldoet aan de volgende axioma's:

A) X = Z, R ( X,j) = | X - j| ;

B) X = Z 2 , r2 (( X 1 ,j 1),(X 2 ,j 2)) = C (( X 1 - X 2) 2 + (j 1 - j 2) 2 };

V) X = C[A,B] – continu aan [ A,B] functies,

Waar D– een cirkel met straaleenheid met middelpunt in de oorsprong.

Intern punt sets U M X is een punt dat erin zit U samen met een bal met een straal die niet nul is.

Een verzameling waarvan alle punten binnenliggend zijn, wordt genoemd open. Een open verzameling die een bepaald punt bevat, wordt genoemd omgeving dit punt.

Limiet punt sets F M X is een punt zodanig dat elke buurt ervan oneindig veel punten van de verzameling bevat F.

Een set die al zijn limietpunten bevat, wordt genoemd gesloten(vergelijk deze definitie met die in bijlage 1).

29. Bewijs dat

a) een verzameling is open dan en slechts dan als het complement ervan gesloten is;

b) de eindige vereniging en het telbare snijpunt van gesloten verzamelingen is gesloten;

c) de telbare vereniging en het eindige snijpunt van open verzamelingen zijn open.

30. Bewijs dat

a) de verzameling limietpunten van een verzameling is een gesloten verzameling;

b) vereniging van een verzameling A en de reeks van zijn limietpunten ( kortsluiting A) is een gesloten verzameling.

Weergave F: X ® Y genaamd continu, als het inverse beeld van elke open set open is.

31. Bewijs dat deze definitie consistent is met de definitie van continuïteit van functies op een lijn.

32. Bewijs dat

a) afstand tot set r F (X) = inf j OVER F R ( X,j) is een continue functie;

b) de reeks nullen van de functie in item a) valt samen met de afsluiting F.

33. Laten F: X ® Y

Continue één-op-één mapping F: X ® Y, waarvan de inverse ook continu is, wordt genoemd homeomorfisme. Spaties X, Y, waarvoor een dergelijke mapping bestaat, worden genoemd homeomorf.

34. Bepaal voor elk paar van de volgende sets of ze homeomorf zijn:

35. Voor welke koppels? X, Y ruimten uit het vorige probleem is er een continue mapping F: X ® Y, welke plakt niet aan elkaar punten (bijv. F(X) № F(j) bij X № j– dergelijke mappings worden genoemd investeringen)?

36*. Bedenk een continue mapping van een vlak naar een torus, dat zou zo zijn lokaal homeomorfisme(d.w.z. op elk punt X vliegtuig en F(X) torus er zijn zulke buurten U En V, Wat F homeomorfe kaarten U op V).

Volledigheid. De stelling van Baire

Laten X– metrische ruimte. Vervolg X N de elementen ervan worden genoemd fundamenteel, Als

" e > 0 $ N " k,M > N R ( X k ,X M) < e .

37. Bewijs dat de convergente rij fundamenteel is. Is de tegenovergestelde bewering waar?

De metrische ruimte wordt genoemd compleet, als elke fundamentele reeks daarin convergeert.

38. Is het waar dat een ruimte die homeomorf is met een volledige ruimte compleet is?

39. Bewijs dat een gesloten deelruimte van een volledige ruimte zelf compleet is; de volledige deelruimte van een willekeurige ruimte is daarin opgesloten.

40. Bewijs dat in een volledige metrische ruimte een reeks geneste gesloten ballen met stralen die naar nul neigen een gemeenschappelijk element heeft.

41. Is het in het vorige probleem mogelijk om de voorwaarde van volledigheid van de ruimte of de neiging van de stralen van de ballen naar nul te verwijderen?

Weergave F metrische ruimte X in zichzelf geroepen samendrukkend, Als

$ C (0 Ј C < 1): " X,j OVER X R ( F(X),F(j)) < C R( X,j).

42. Bewijs dat de samentrekkingskaart continu is.

43. a) Bewijs dat een samentrekkingsafbeelding van een volledige metrische ruimte op zichzelf precies één vast punt heeft.

b) Plaats een kaart van Rusland op een schaal van 1:20.000.000 op een kaart van Rusland op een schaal van 1:5.000.000. Bewijs dat er een punt is waarvan de afbeeldingen op beide kaarten samenvallen.

44*. Bestaat er een onvolledige metrische ruimte waarin de probleemstelling waar is?

Een deelverzameling van een metrische ruimte wordt genoemd overal dicht, als de sluiting ervan samenvalt met de gehele ruimte; nergens dicht– als de sluiting ervan geen niet-lege open subsets heeft (vergelijk deze definitie met die in bijlage 2).

45. a) Laat A, B, een , b O Z En A < a < b < B. Bewijs dat de verzameling continue functies op [ A,B], monotoon aan , nergens dicht in de ruimte van alle continue functies aan [ A,B] met uniforme metriek.

b) Laat A, B, C, e O Z En A < B, C> 0, e > 0. Vervolgens wordt de reeks continue functies op [ A,B], zoals dat

$ X OVER [ A,B]: " j (0 < | X - j| < e ) Ю

| F(X) - F(j)| | X - j|

Ј C,

nergens dicht in de ruimte van alle continue functies op [ A,B] met uniforme metriek.

46. (Gegeneraliseerde stelling van Baire .) Bewijs dat een volledige metrische ruimte niet kan worden weergegeven als de vereniging van een telbaar aantal nergens dichte verzamelingen.

47. Bewijs dat de verzameling continue, niet-monotone op elk niet-lege interval en nergens differentieerbare functies gedefinieerd op het interval overal dicht is in de ruimte van alle continue functies met een uniforme metriek.

48*. Laten F– differentieerbare functie op het interval. Bewijs dat de afgeleide continu is op een overal dichte reeks punten. Dit is de definitie Lebesgue meet nul. Als het telbare aantal intervallen wordt vervangen door een eindig aantal, krijgen we de definitie Jordanova meet nul.

Een van de hoofdtaken van de theorie van puntensets is de studie van de eigenschappen van verschillende soorten puntensets. We zullen de lezer kennis laten maken met deze theorie aan de hand van twee voorbeelden. We zullen hier namelijk de eigenschappen van de zogenaamde gesloten en open verzamelingen bestuderen.

Een verzameling wordt gesloten genoemd als deze alle limietpunten bevat. Als een set geen enkel limietpunt heeft, wordt deze ook als gesloten beschouwd. Naast de limietpunten kan een gesloten verzameling ook geïsoleerde punten bevatten. Een verzameling wordt open genoemd als elk van de punten ervan intern is.

Laten we voorbeelden geven van gesloten en open verzamelingen. Elk segment is een gesloten verzameling en elk interval is een open verzameling. Onjuiste halve intervallen

zijn gesloten en ongepaste intervallen zijn open. De gehele lijn is zowel een gesloten als een open set. Het is handig om de lege set tegelijkertijd als gesloten en open te beschouwen. Elke eindige reeks punten op een lijn is gesloten, aangezien deze geen limietpunten heeft. Een set bestaande uit punten

gesloten; deze set heeft één enkel limietpunt dat bij de set hoort.

Onze taak is om erachter te komen hoe een willekeurige gesloten of open verzameling is gestructureerd. Om dit te doen hebben we een aantal aanvullende feiten nodig, die we zonder bewijs zullen accepteren.

1. Het snijpunt van een willekeurig aantal gesloten verzamelingen is gesloten.

2. De som van een willekeurig aantal open verzamelingen is een open verzameling.

3. Als een gesloten verzameling boven begrensd is, bevat deze zijn supremum. Op dezelfde manier, als een gesloten verzameling hieronder wordt begrensd, bevat deze zijn infimum.

Laat E een willekeurige reeks punten op een lijn zijn. Laten we het het complement van de verzameling E noemen en duiden met de verzameling van alle punten op de lijn die niet tot de verzameling E behoren. Het is duidelijk dat als x een extern punt is voor E, het een intern punt is voor de verzameling E. instellen en omgekeerd.

4. Als een verzameling F gesloten is, is het complement ervan open en omgekeerd.

Laten we beginnen met het bestuderen van de eigenschappen van gesloten verzamelingen. Laten we één definitie introduceren. Laat F een gesloten verzameling zijn. Een interval dat de eigenschap heeft dat geen van zijn punten tot de verzameling a behoort en de punten a tot de verzameling behoren, wordt een aangrenzend interval van de verzameling genoemd. We zullen ook onjuiste intervallen opnemen als aangrenzende intervallen, of als het punt a of het punt tot de verzameling a behoort, snijden de intervallen zelf niet met F. Laten we laten zien dat als een punt x niet tot een gesloten verzameling behoort, het wel tot een van de aangrenzende intervallen behoort.

Laten we dit aangeven met het deel van de verzameling dat zich rechts van het punt x bevindt. Omdat het punt x zelf niet tot de verzameling behoort, kan het worden weergegeven in de vorm van een snijpunt

Elk van de sets F is gesloten. Daarom is de verzameling volgens Propositie 1 gesloten. Als de verzameling leeg is, dan behoort het gehele halve interval tot de verzameling. Laten we nu aannemen dat de verzameling niet leeg is. Omdat deze set zich volledig op een half interval bevindt, wordt deze hieronder begrensd. Laten we dit aanduiden met de onderrand. Volgens het voorstel en dus . Omdat er een infimum van de verzameling bestaat, bevat het halve interval dat links van het punt ligt geen punten van de verzameling en dus ook geen punten van de verzameling. bevat geen punten van de verzameling en of het punt behoort tot de verzameling. Op dezelfde manier geldt een half interval dat geen punten bevat van de verzameling en of of a. Nu is het duidelijk dat het interval het punt x bevat en een aangrenzend interval is van de verzameling Het is gemakkelijk in te zien dat als - twee aangrenzende intervallen van de set, deze intervallen ofwel samenvallen ofwel elkaar niet snijden.

Uit het voorgaande volgt dat elke gesloten verzameling op een lijn wordt verkregen door een bepaald aantal intervallen van de lijn te verwijderen, namelijk aangrenzende intervallen van de verzameling. Aangezien elk interval ten minste één rationeel punt bevat, en alle rationale punten op de lijn een telbare set is, is het eenvoudig te verifiëren dat het aantal van alle aangrenzende intervallen meer dan telbaar is. Vanaf hier krijgen we de eindconclusie. Elke gesloten verzameling op een lijn wordt verkregen door maximaal een telbare verzameling disjuncte intervallen van de lijn te verwijderen.

Zoals uit het volgende voorbeeld blijkt, kunnen gesloten verzamelingen een zeer complexe structuur hebben.

Cantor perfecte set. Laten we een speciale gesloten verzameling construeren die een aantal opmerkelijke eigenschappen heeft. Laten we eerst en vooral de onjuiste intervallen van de lijn verwijderen. Na deze operatie houden we een segment over. Laten we vervolgens uit dit segment het interval verwijderen dat het middelste derde deel vormt.

Verwijder van elk van de resterende twee segmenten het middelste derde deel. We zullen dit proces van het verwijderen van het middelste derde deel van de resterende segmenten voor onbepaalde tijd voortzetten. De reeks punten op de lijn die overblijft na het verwijderen van al deze intervallen wordt de perfecte reeks van Cantor genoemd; we zullen het aanduiden met de letter R.

Laten we enkele eigenschappen van deze set bekijken. De verzameling P is gesloten, omdat deze wordt gevormd door een bepaald stel onsamenhangende intervallen uit een lijn te verwijderen. De verzameling P is niet leeg; in ieder geval bevat deze de uiteinden van alle weggegooide intervallen.

Een gesloten verzameling F wordt perfect genoemd als deze geen geïsoleerde punten bevat, dat wil zeggen als elk van zijn punten een limietpunt is. Laten we aantonen dat de verzameling P perfect is. Als een punt x een geïsoleerd punt van de verzameling P zou zijn, dan zou het dienen als het gemeenschappelijke uiteinde van twee aangrenzende intervallen van deze verzameling. Maar volgens de constructie hebben aangrenzende intervallen van de verzameling P geen gemeenschappelijke uiteinden.

De verzameling P bevat geen enkel interval. Laten we in feite aannemen dat een bepaald interval volledig tot de verzameling P behoort. Dan behoort het geheel tot een van de segmenten die zijn verkregen bij de stap van het construeren van de verzameling P. Maar dit is onmogelijk, aangezien wanneer de lengtes van deze segmenten de neiging hebben om de kogel.

Er kan worden aangetoond dat de verzameling P de kardinaliteit van een continuüm heeft. In het bijzonder volgt hieruit dat de perfecte verzameling van Cantor, naast de uiteinden van aangrenzende intervallen, andere punten bevat. De uiteinden van aangrenzende intervallen vormen inderdaad slechts een telbare set.

In verschillende takken van de wiskunde kom je voortdurend verschillende soorten puntenverzamelingen tegen, en kennis van hun eigenschappen is absoluut noodzakelijk bij het bestuderen van veel wiskundige problemen. De theorie van puntverzamelingen is vooral belangrijk voor wiskundige analyse en topologie.

Laten we verschillende voorbeelden geven van het verschijnen van puntenverzamelingen in klassieke analysesecties. Laten we een continue functie zijn die op het segment is gedefinieerd. Laten we het getal a vaststellen en de verzameling van die punten x bekijken waarvoor het gemakkelijk is aan te tonen dat deze verzameling een willekeurige gesloten verzameling kan zijn die zich op het segment bevindt. Op dezelfde manier: de reeks punten x waarvoor elke open verzameling kan zijn. Als er een reeks continue functies is gedefinieerd op een interval, dan kan de reeks punten x waar deze reeks convergeert niet willekeurig zijn, maar behoort tot een zeer specifiek type.

De wiskundige discipline die de structuur van puntenverzamelingen bestudeert, wordt beschrijvende verzamelingenleer genoemd. Zeer grote prestaties in de ontwikkeling van de beschrijvende verzamelingenleer behoren toe aan Sovjet-wiskundigen – N.N. Loezin en zijn studenten P.S. Aleksandrov, M. Ya. Suslin, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrentiev, P.S. Novikov, L.V. Keldysh, A.A. Lyapunov en anderen.

Uit onderzoek van N.N. Loezin en zijn studenten is gebleken dat er een diep verband bestaat tussen de beschrijvende verzamelingenleer en wiskundige logica. De moeilijkheden die zich voordoen bij het beschouwen van een aantal problemen in de beschrijvende verzamelingenleer (in het bijzonder problemen met het bepalen van de kardinaliteit van bepaalde verzamelingen) zijn moeilijkheden van logische aard. Integendeel, de methoden van de wiskundige logica stellen ons in staat dieper in te gaan op enkele vragen van de beschrijvende verzamelingenleer.