Zoek een paar relatief priemgetallen. Coprime-nummers

Wat is wederzijds? priemgetallen?

Coprime-nummers definitie

Definitie van priemgetallen:

Coprime-getallen zijn gehele getallen die geen andere gemeenschappelijke delers hebben dan één.

Kopieergetallen voorbeelden

Coprime-voorbeeld:

2 en 3 hebben geen andere gemeenschappelijke delers dan één.

Nog een voorbeeld van relatief priemgetallen:

3 en 7 hebben geen andere gemeenschappelijke delers dan één.

Een ander voorbeeld van coprime-getallen:

11 en 13 hebben geen andere gemeenschappelijke delers dan één.

Nu kunnen we de vraag beantwoorden wat coprime-getallen betekenen.

Wat betekent coprime-getal?

Dit zijn gehele getallen die geen andere gemeenschappelijke delers hebben dan één.

Twee priemgetallen

Elk van deze paren zijn twee relatief priemgetallen.

11 en 15
15 en 16
16 en 23

Gemeenschappelijke delers van priemgetallen

De gemeenschappelijke delers van coprimen zijn er slechts één, zoals blijkt uit de definitie van coprimen.

Grootste gemene deler van coprime-getallen

De grootste gemene deler van copriemgetallen is één, zoals blijkt uit de definitie van copriemgetallen.

Zijn de getallen relatief priem?

Zijn de nummers 3 en 13 coprime? Ja, want ze hebben geen gemeenschappelijke delers, behalve één.

Zijn de nummers 3 en 12 coprime? Nee, omdat ze gemeenschappelijke delers 1 en 3 hebben. En volgens de definitie van priemgetallen zou er maar één een gemeenschappelijke deler moeten zijn.

Zijn de nummers 3 en 108 coprime? Nee, omdat ze gemeenschappelijke delers 1 en 3 hebben. En volgens de definitie van priemgetallen zou er maar één een gemeenschappelijke deler moeten zijn.

Zijn de nummers 108 en 5 coprime? Ja, want ze hebben geen gemeenschappelijke delers, behalve één.

De informatie in dit artikel behandelt het onderwerp " relatief priemgetallen". Eerst wordt de definitie van twee priemgetallen gegeven, evenals de definitie van drie of meer priemgetallen. Dit wordt gevolgd door voorbeelden van priemgetallen en hoe te bewijzen dat de gegeven getallen coprime zijn. Verder worden de belangrijkste eigenschappen van co-priemgetallen opgesomd en bewezen. Concluderend worden paarsgewijze priemgetallen genoemd, omdat ze nauw verwant zijn aan co-priemgetallen.

Paginanavigatie.

Vaak zijn er taken waarbij moet worden bewezen dat de gegeven gehele getallen coprime zijn. Het bewijs komt neer op het berekenen van de grootste gemene deler van de gegeven getallen en het controleren van de ggd op zijn gelijkheid met één. Het is ook handig om de tabel met priemgetallen te bekijken voordat u de GCD berekent: plotseling zijn de oorspronkelijke gehele getallen priemgetallen, en we weten dat de grootste gemene deler van priemgetallen gelijk is aan één. Laten we een voorbeeldoplossing bekijken.

Voorbeeld.

Bewijs dat de getallen 84 en 275 coprime zijn.

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze getallen geen priemgetallen zijn, dus we kunnen niet meteen praten over de onderlinge eenvoud van de getallen 84 en 275, en we zullen de GCD moeten berekenen. Gebruik het Euclidische algoritme om GCD te vinden: 275=84 3+23 , 84=23 3+15 , 23=15 1+8 , 15=8 1+7 , 8=7 1+1 , 7=7 1 , vandaar ggd (84, 275)=1 . Dit bewijst dat de getallen 84 en 275 coprime zijn.

De definitie van coprime-getallen kan worden uitgebreid tot drie of meer getallen.

Definitie.

Gehele getallen a 1 , a 2 , …, a k , k>2 worden genoemd coprime als de grootste gemene deler van deze getallen gelijk is aan één.

Uit de bovenstaande definitie volgt dat als een bepaalde reeks gehele getallen een andere positieve gemeenschappelijke deler heeft dan één, deze gehele getallen geen priemgetal zijn.

Laten we voorbeelden geven. De drie gehele getallen -99 , 17 en -27 zijn coprime. Elke verzameling priemgetallen vormt een reeks relatief priemgetallen, bijvoorbeeld 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 en 677 zijn relatief priemgetallen. En de vier getallen 12 , −9 , 900 en −72 zijn niet relatief priem omdat ze een positieve gemene deler 3 hebben , die verschilt van 1 . De getallen 17, 85 en 187 zijn ook niet coprime, aangezien ze elk deelbaar zijn door 17.

Het is meestal verre van duidelijk dat sommige getallen co-prime zijn, en dit feit moet worden bewezen. Om erachter te komen of deze getallen coprime zijn, moet je de grootste gemene deler van deze getallen vinden en op basis van de definitie van coprime getallen een conclusie trekken.

Voorbeeld.

Zijn de getallen 331 , 463 en 733 relatief priemgetallen?

Oplossing.

Als we naar de priemgetallentabel kijken, zien we dat elk van de getallen 331, 463 en 733 priemgetallen is. Daarom hebben ze één positieve gemeenschappelijke deler, één. De drie getallen 331, 463 en 733 zijn dus relatief priemgetallen.

Antwoorden:

Ja.

Voorbeeld.

Bewijs dat de getallen −14 , 105 , −2 107 en −91 niet priem zijn.

Oplossing.

Om te bewijzen dat deze getallen niet coprime zijn, kun je hun ggd vinden en ervoor zorgen dat deze niet gelijk is aan één. Dus laten we het doen.

Aangezien de delers van gehele getallen negatieve getallen samenvallen met de delers van de overeenkomstige , dan ggd(−14, 105, 2107, −91)= ggd(14, 105, 2 107, 91) . Als we naar het materiaal van het artikel gaan en de grootste gemene deler van drie of meer getallen vinden, zien we dat GCD (14, 105, 2 107, 91) = 7. Daarom is de grootste gemene deler van de oorspronkelijke getallen zeven, dus deze getallen zijn niet coprime.

Eigenschappen van priemgetallen

Coprime-getallen hebben een aantal eigenschappen. Overweeg de belangrijkste coprime eigenschappen.

De getallen die worden verkregen door de gehele getallen a en b te delen door hun grootste gemene deler zijn coprime, dat wil zeggen, a:ggd(a, b) en b:ggcd(a, b) zijn coprime.

We hebben deze eigenschap bewezen toen we de eigenschappen van GCD analyseerden.

De weloverwogen eigenschap van coprime-getallen maakt het mogelijk paren van co-prime-getallen te vinden. Om dit te doen, volstaat het om twee willekeurige gehele getallen te nemen en deze te delen door de grootste gemene deler, de resulterende getallen zullen coprime zijn.

Om ervoor te zorgen dat gehele getallen a en b coprime zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat er zulke gehele getallen u 0 en v 0 bestaan ​​dat a·u 0 +b·v 0 =1 .

Laten we eerst de noodzaak bewijzen.

Laat de getallen a en b coprime zijn. Dan per definitie van priemgetallen ggd(a, b)=1 . En uit de eigenschappen van ggd weten we dat voor gehele getallen a en b de Bezout-relatie a u 0 +b v 0 =ggd(a, b) waar is. Dus a·u 0 +b·v 0 =1 .

Het blijft om de toereikendheid te bewijzen.

Laat de gelijkheid a·u 0 +b·v 0 =1 waar zijn. Aangezien ggd(a, b) zowel a als b deelt, moet ggd(a, b) vanwege deelbaarheidseigenschappen de som a u 0 + b v 0 delen, en dus de eenheid. En dit is alleen mogelijk als ggd(a, b)=1 . Daarom zijn a en b priemgetallen.

De volgende eigenschap van priemgetallen is deze: als de getallen a en b coprime zijn, en het product a c deelbaar is door b, dan is c deelbaar door b.

Inderdaad, aangezien a en b coprime zijn, hebben we van de vorige eigenschap de gelijkheid a u 0 +b v 0 =1 . Door beide zijden van deze gelijkheid met c te vermenigvuldigen, krijgen we a·c·u 0 +b·c·v 0 =c . De eerste term van de som a c u 0 +b c v 0 is deelbaar door b, aangezien a c deelbaar is door b door voorwaarde, is de tweede term van deze som ook deelbaar door b, aangezien een van de factoren gelijk is aan b, dus de hele som is deelbaar door b. En aangezien de som a·c·u 0 +b·c·v 0 gelijk is aan c, dan is c ook deelbaar door b.

Als de getallen a en b relatief priem zijn, dan is ggd(a c, b)=ggd(c, b) .

Laten we ten eerste laten zien dat ggd(a c, b) ggd(c, b) deelt, en ten tweede dat ggd(c, b) ggd(a c, b) deelt, dit zal de gelijkheid bewijzen ggd(a c, b) =ggd(c, b) .

GCD(a c, b) deelt zowel a c als b , en aangezien ggd(a c, b) b deelt, deelt het ook b c . Dat wil zeggen, ggd(a c, b) deelt zowel a c als b c , daarom, vanwege de eigenschappen van de grootste gemene deler, deelt het ook ggd(a c, b c) , wat, door de eigenschappen van ggd, c c ggd(a is) , b)=c . Dus ggd(a c, b) deelt zowel b als c , dus ggd(c, b) deelt ook.

Aan de andere kant deelt ggd(c, b) zowel c als b , en aangezien het c deelt, deelt het ook a c . Dus ggd(c, b) deelt zowel a c als b , dus ggd(a c, b) deelt ook.

We hebben dus laten zien dat ggd(a c, b) en ggd(c, b) elkaar onderling verdelen, wat betekent dat ze gelijk zijn.

Als elk van de getallen a 1 , a 2 , …, a k coprime is met elk van de getallen b 1 , b 2 , …, b m (waarbij k en m enkele natuurlijke getallen zijn), dan zijn de producten a 1 a 2 … a k en b 1 b 2 ... b m zijn priemgetallen, in het bijzonder als a 1 =a 2 =...=a k =a en b 1 =b 2 =...=b m =b , dan zijn a k en b m coprime getallen.

De vorige eigenschap van priemgetallen stelt ons in staat om een ​​reeks gelijkheden van de vorm te schrijven GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)= GCD(a 2 ... a k , b m)=…= GCD(a k , b m)=1, waar de laatste overgang mogelijk is, aangezien a k en b m per aanname priemgetallen zijn. Dus, GCD(a 1 a 2 ... a k , b m)=1.

Als we nu a 1 ·a 2 ·…·a k =A aangeven, hebben we
GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)= GCD(b 1 b 2 ... b m , A)=
=ggd(b 2 ... bm , A)=... =ggd(bm , A)=1
(de laatste overgang is geldig, krachtens de laatste gelijkheid uit de vorige paragraaf). Dus we hebben gelijkheid GCD(b 1 b 2 ... b m , a 1 a 2 ... a k)=1, wat aantoont dat de producten a 1 ·a 2 ·…·a k en b 1 ·b 2 ·…·b m priemgetallen zijn.

Dit besluit de beoordeling van de belangrijkste eigenschappen van coprime-getallen.

Paarsgewijze priemgetallen - Definities en voorbeelden

In termen van priemgetallen wordt gegeven definitie van paarsgewijze priemgetallen.

Definitie.

Gehele getallen a 1 , a 2 , ..., a k , die elk coprime zijn met alle andere, worden genoemd paarsgewijs priemgetallen.

Laten we een voorbeeld geven van paarsgewijze priemgetallen. De getallen 14, 9, 17 en -25 zijn paarsgewijs priemgetallen, aangezien de getallenparen 14 en 9, 14 en 17, 14 en -25, 9 en 17, 9 en -25, 17 en -25 co-priemgetallen zijn. Hier merken we op dat paarsgewijze priemgetallen altijd co-prime zijn.

Aan de andere kant zijn relatief priemgetallen niet altijd paarsgewijs priemgetallen, dit wordt bevestigd door het volgende voorbeeld. De getallen 8 , 16 , 5 en 15 zijn niet paarsgewijs priem, aangezien de getallen 8 en 16 niet priem zijn. De nummers 8 , 16 , 5 en 15 zijn echter coprime. Dus 8, 16, 5 en 15 zijn relatief priemgetallen, maar geen paarsgewijs priemgetal.

Het is noodzakelijk om de verzameling van een bepaald aantal priemgetallen te benadrukken. Deze getallen zijn altijd zowel coprime als paarsgewijze priemgetallen. 71, 443, 857, 991 zijn bijvoorbeeld zowel paarsgewijs priemgetallen als priemgetallen.

Het is ook duidelijk dat wanneer we zijn aan het praten ongeveer twee gehele getallen, dan vallen voor hen de begrippen "paarsgewijze prime" en "coprime" samen.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. enz. Wiskunde. Graad 6: leerboek voor onderwijsinstellingen.
• Vinogradov I.M. Grondbeginselen van de getaltheorie.
• Michelovich Sh.Kh. Nummer theorie.
• Kulikov L.Ya. e.a. Verzameling van problemen in algebra en getaltheorie: zelfstudie voor studenten natuurkunde en wiskunde. specialismen van pedagogische instituten.

$p$ wordt een priemgetal genoemd als het slechts $2$ delers heeft: $1$ en zichzelf.

scheidingslijn natuurlijk nummer$a$ is een natuurlijk getal waardoor het oorspronkelijke getal $a$ deelbaar is zonder rest.

voorbeeld 1

Zoek de delers van het getal $6$.

Oplossing: We moeten alle getallen vinden waarmee het gegeven getal $6$ deelbaar is zonder rest. Dit zijn getallen: $1,2,3, 6$. Dus de deler van het getal $6$ zijn de getallen $1,2,3,6.$

Antwoord: $ 1,2,3,6 $.

Dus om de delers van een getal te vinden, moet je alle natuurlijke getallen vinden waardoor het gegeven deelbaar is zonder rest. Het is gemakkelijk in te zien dat het getal $1$ een deler is van elk natuurlijk getal.

definitie 2

Composiet Een getal wordt een getal genoemd dat naast één en zichzelf nog andere delers heeft.

Een voorbeeld van een priemgetal is $13$, een voorbeeld van een samengesteld getal is $14.$

Opmerking 1

Het getal $1$ heeft maar één deler - dit getal zelf, dus het is niet geclassificeerd als priemgetal of samengesteld.

Coprime-nummers

Definitie 3

Coprime-nummers degenen wiens GCD gelijk is aan $1$ worden genoemd.Dus om uit te vinden of de getallen coprime zijn, is het noodzakelijk om hun GCD te vinden en deze te vergelijken met $1$.

Paarsgewijze coprime

Definitie 4

Als in een reeks getallen twee co-prime zijn, dan worden zulke getallen genoemd paarsgewijs coprime. Voor twee getallen zijn de concepten "coprime" en "pairwise coprime" hetzelfde.

Voorbeeld 2

$ 8, 15 $ - geen prime, maar coprime.

$ 6, 8, 9 $ zijn coprime-nummers, maar niet pairwise-coprime.

$ 8, 15, 49 $ zijn paarsgewijs coprime.

Zoals we kunnen zien, moet je ze eerst ontbinden in priemfactoren om te bepalen of de getallen coprime zijn. Laten we aandacht besteden aan hoe het goed te doen.

ontbinding in priemfactoren

Laten we bijvoorbeeld het getal $180$ ontbinden in factoren:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

We gebruiken de eigenschap van graden, dan krijgen we,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Een dergelijke weergave van de decompositie in priemfactoren wordt canoniek genoemd, d.w.z. om een ​​getal in canonieke vorm te ontbinden, is het noodzakelijk om de eigenschap power te gebruiken en het getal weer te geven als een product van bevoegdheden met verschillende gronden

Canonieke ontleding van een natuurlijk getal in algemene vorm

Canonieke ontleding van een natuurlijk getal in algemeen beeld lijkt op:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

waarbij $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ priemgetallen en exponenten zijn graden - natuurlijk nummers.

Het vertegenwoordigen van een getal als een canonieke ontleding in eenvoudige verzamelingen maakt het gemakkelijker om de grootste gemene deler van getallen te vinden, en werkt als een gevolg van het bewijs of de definitie van coprime-getallen.

Voorbeeld 3

Vind de grootste gemene deler van $ 180 $ en $ 240 $.

Oplossing: ontbind de getallen in eenvoudige sets met behulp van de canonieke decompositie

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, dan $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, dan $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Laten we nu de GCD van deze getallen vinden, hiervoor kiezen we graden met hetzelfde grondtal en met de kleinste exponent, dan

$gcd \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Laten we componeren algoritme voor het vinden van ggd rekening houdend met de canonieke decompositie in priemfactoren.

Om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden met behulp van de canonieke uitbreiding, moet je:

1. getallen ontbinden in priemfactoren in canonieke vorm
2. kies graden met hetzelfde grondtal en met de kleinste exponent van de getallen die zijn opgenomen in de ontleding van deze getallen
3. Zoek het product van de getallen gevonden in stap 2. Het resulterende getal is de gewenste grootste gemene deler.

Voorbeeld 4

Bepaal of de getallen $ 195 $ en $ 336 $ priemgetallen zijn.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$gcd \ (195;336) =3\cdot 5=15$

We zien dat de ggd van deze getallen verschilt van $1$, wat betekent dat de getallen niet coprime zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen ook geen priemgetal zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 5

Bepaal of de getallen $39$ en $112$ priemgetallen zijn.

Oplossing: we gebruiken de canonieke factorisatie voor factorisatie:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$ggd \ (39;112)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen coprime zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen ook geen priemgetal zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 6

Bepaal of de getallen $ 883 $ en $ 997 $ priemgetallen zijn.

Oplossing: we gebruiken de canonieke factorisatie voor factorisatie:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$ggd \ (883;997)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen coprime zijn. We zien ook dat elk van de getallen alleen factoren bevat die gelijk zijn aan $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen priemgetallen zijn.

Wiskundeboeken zijn soms moeilijk te lezen. De droge en duidelijke taal van de auteurs is niet altijd even gemakkelijk te begrijpen. Ja, en de onderwerpen daar zijn altijd met elkaar verbonden, vloeien onderling voort. Om één onderwerp onder de knie te krijgen, moet je een aantal eerdere aan de orde stellen en soms het hele leerboek doorbladeren. Moeilijk? Ja. En laten we het risico nemen om deze moeilijkheden te omzeilen en een niet-standaard benadering van het onderwerp proberen te vinden. Laten we een soort uitstapje maken naar het land van de getallen. We laten de definitie echter hetzelfde, omdat de regels van de wiskunde niet kunnen worden geannuleerd. Dus, co-priemgetallen zijn natuurlijke getallen met een gemeenschappelijke deler gelijk aan één. Is dit duidelijk? Nogal.

Voor meer goed voorbeeld laten we de getallen 6 en 13 nemen. Beide zijn deelbaar door één (coprime). Maar de getallen 12 en 14 kunnen dat niet zijn, omdat ze niet alleen deelbaar zijn door 1, maar ook door 2. De volgende getallen - 21 en 47 passen ook niet in de categorie van "coprime-getallen": ze kunnen niet alleen worden gedeeld op 1, maar ook op 7.

Coprime-nummers worden als volgt aangeduid: ( a, y) = 1.

Het kan nog eenvoudiger worden gezegd: de gemeenschappelijke deler (grootste) is hier gelijk aan één.
Waarom hebben we zulke kennis nodig? Reden genoeg.

Onderling opgenomen in sommige coderingssystemen. Degenen die met Hill-cijfers of met het Caesar-substitutiesysteem werken, begrijpen dat je zonder deze kennis nergens kunt komen. Als je wel eens van generatoren hebt gehoord, dan durf je dat waarschijnlijk niet te ontkennen: ook daar worden coprime-nummers gebruikt.

Laten we het nu hebben over manieren om zulke eenvoudige te krijgen, zoals je begrijpt, ze kunnen maar twee delers hebben: ze zijn deelbaar door zichzelf en door één. Laten we zeggen dat 11, 7, 5, 3 priemgetallen zijn, maar 9 niet, omdat dit getal al deelbaar is door 9, 3 en 1.

En als a is een priemgetal, en Bij- uit de set (1, 2, ... a- 1), dan is het gegarandeerd ( a, Bij) = 1, of priemgetallen — a en Bij.

Dit is eerder niet eens een verklaring, maar een herhaling of samenvatting van wat zojuist is gezegd.

Het verkrijgen van priemgetallen is echter mogelijk voor indrukwekkende getallen (miljarden bijvoorbeeld), deze methode is te lang, maar is, in tegenstelling tot superformules, die soms fouten maken, betrouwbaarder.

Kan werken door te kiezen Bij > a. Om dit te doen, wordt y zo gekozen dat het getal op a niet gedeeld. Om dit te doen, wordt een priemgetal vermenigvuldigd met een natuurlijk getal en wordt een waarde toegevoegd (of omgekeerd afgetrokken) (bijvoorbeeld R), wat minder is a:

y= R a + k

Als bijvoorbeeld a = 71, R= 3, q=10, dan respectievelijk Bij hier is het gelijk aan 713. Een andere selectie is mogelijk, met graden.

Samengestelde getallen zijn, in tegenstelling tot koppriemgetallen, deelbaar door zichzelf, door 1 en door andere getallen (ook zonder rest).

Met andere woorden, (op één na) zijn onderverdeeld in samengesteld en eenvoudig.

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die geen niet-triviale delers hebben (behalve het getal zelf en de eenheid). Hun rol is vooral belangrijk in de hedendaagse, moderne, zich snel ontwikkelende cryptografie, waardoor deze, die voorheen als een extreem abstracte discipline werd beschouwd, zo in trek is geworden: algoritmen voor gegevensbescherming worden voortdurend verbeterd.

Het grootste priemgetal werd gevonden door oogarts Martin Nowak, die samen met andere enthousiastelingen deelnam aan het GIMPS-project (distribution computing), waarvan er ongeveer 15 duizend waren.Het duurde zes lange jaren om te berekenen. Twee en een half dozijn computers in de oogkliniek van Novak waren erbij betrokken. Het resultaat van titanisch werk en doorzettingsvermogen was het nummer 225964951-1, geschreven in 7816230 decimalen. Overigens het record een groot aantal zes maanden voor deze ontdekking werd afgeleverd. En er waren een half miljoen minder tekens.

Voor een genie die een nummer wil noemen, waarbij de duur decimale notatie"spring over" de tien miljoen, er is een kans om niet alleen wereldwijde bekendheid te krijgen, maar ook $ 100.000. Trouwens, Nayan Khairatwal ontving een kleiner bedrag ($ 50.000) voor het aantal dat de grens van een miljoen overschreed.

In dit artikel zullen we het hebben over wat coprime-getallen zijn. In de eerste paragraaf formuleren we definities voor twee, drie of meer priemgetallen, geven enkele voorbeelden en laten zien in welke gevallen twee getallen als priemgetallen kunnen worden beschouwd ten opzichte van elkaar. Daarna gaan we over tot de formulering van de belangrijkste eigenschappen en hun bewijzen. In de laatste paragraaf zullen we het hebben over verwant concept zijn paarsgewijs priemgetallen.

Yandex.RTB RA-339285-1

Wat zijn priemgetallen?

Zowel twee gehele getallen als meer ervan kunnen coprime zijn. Om te beginnen introduceren we een definitie voor twee getallen, waarvoor we het concept van hun grootste gemene deler nodig hebben. Herhaal indien nodig het materiaal dat aan hem is opgedragen.

Definitie 1

Twee van dergelijke getallen a en b zullen wederzijds priem zijn, waarvan de grootste gemene deler gelijk is aan 1, d.w.z. ggd (a , b) = 1 .

Uit deze definitie kunnen we concluderen dat de enige positieve gemene deler van twee priemgetallen gelijk zal zijn aan 1. Slechts twee van dergelijke getallen hebben twee gemeenschappelijke delers - één en min één.

Wat zijn enkele voorbeelden van relatief priemgetallen? Zo'n paar zou bijvoorbeeld 5 en 11 zijn. Ze hebben maar één gemeenschappelijke positieve deler, gelijk aan 1, wat een bevestiging is van hun onderlinge eenvoud.

Als we twee priemgetallen nemen, dan zijn ze ten opzichte van elkaar in alle gevallen relatief priem, maar zulke onderlinge relaties ontstaan ​​ook tussen samengestelde getallen. Er zijn gevallen waarin één getal in een paar priemgetallen samengesteld is, en het tweede een priemgetal, of beide zijn samengesteld.

Deze verklaring wordt geïllustreerd door het volgende voorbeeld: de samengestelde getallen - 9 en 8 vormen een coprime-paar. Laten we het bewijzen door hun grootste gemene deler te berekenen. Om dit te doen, noteren we al hun delers (we raden aan het artikel over het vinden van de delers van een getal opnieuw te lezen). Voor 8 zijn dit de getallen ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 en voor 9 - ± 1, ± 3, ± 9. We kiezen uit alle delers degene die gebruikelijk en het grootst is - dit is er een. Daarom, als ggd (8, - 9) = 1, dan zullen 8 en - 9 coprime zijn ten opzichte van elkaar.

500 en 45 zijn onderling geen priemgetallen, omdat ze nog een gemeenschappelijke deler hebben - 5 (zie het artikel over tekenen van deelbaarheid door 5). Vijf is groter dan één en is een positief getal. Een ander soortgelijk paar zou kunnen zijn - 201 en 3 , aangezien ze beide kunnen worden gedeeld door 3 , zoals aangegeven door het overeenkomstige deelbaarheidsteken.

In de praktijk is het vrij gebruikelijk om de wederzijdse primeness van twee gehele getallen te bepalen. Dit uitvinden kan worden teruggebracht tot het vinden van de grootste gemene deler en deze met één vergelijken. Het is ook handig om een ​​tabel met priemgetallen te gebruiken om geen onnodige berekeningen te maken: als een van de gegeven getallen in deze tabel staat, is het alleen door één en door zichzelf deelbaar. Laten we eens kijken naar een oplossing voor dit probleem.

voorbeeld 1

Voorwaarde: zoek uit of de nummers 275 en 84 coprime zijn.

Oplossing

Beide getallen hebben duidelijk meer dan één deler, dus we kunnen ze niet meteen coprime noemen.

Bereken de grootste gemene deler met behulp van het algoritme van Euclides: 275 = 84 3 + 23 , 84 = 23 3 + 15 , 23 = 15 1 + 8 , 15 = 8 1 + 7 , 8 = 7 1 + 1 , 7 = 7 1 .

Antwoorden: aangezien ggd (84, 275) = 1, dan zullen deze getallen coprime zijn.

Zoals we eerder zeiden, kan de definitie van dergelijke nummers worden uitgebreid tot gevallen waarin we niet twee nummers hebben, maar meer.

definitie 2

Coprime gehele getallen a 1 , a 2 , ... , a k , k > 2 zullen zijn wanneer ze de grootste gemene deler gelijk aan 1 hebben .

Met andere woorden, als we een reeks van enkele getallen hebben met de grootste positieve deler groter dan 1, dan zijn al deze getallen niet wederzijds invers ten opzichte van elkaar.

Laten we een paar voorbeelden nemen. Dus de gehele getallen - 99 , 17 en - 27 zijn coprime. Elk aantal priemgetallen zal coprime zijn met betrekking tot alle leden van de populatie, zoals in de reeks 2 , 3 , 11 , 19 , 151 , 293 en 667 . Maar de nummers 12 , − 9, 900 en − 72 coprime zal dat niet zijn, omdat ze naast eenheid nog een positieve deler gelijk aan 3 hebben. Hetzelfde geldt voor de getallen 17, 85 en 187: op één na zijn ze allemaal deelbaar door 17.

Meestal is de onderlinge eenvoud van getallen op het eerste gezicht niet duidelijk, dit moet bewezen worden. Om erachter te komen of sommige getallen coprime zijn, moet je hun grootste gemene deler vinden en een conclusie trekken op basis van de vergelijking met één.

Voorbeeld 2

Voorwaarde: bepalen of de nummers 331 , 463 en 733 coprime zijn.

Oplossing

Laten we de tabel met priemgetallen bekijken en vaststellen dat alle drie deze getallen erin staan. Dan kan hun gemeenschappelijke deler er maar één zijn.

Antwoorden: al deze getallen zullen relatief priem zijn ten opzichte van elkaar.

Voorbeeld 3

Voorwaarde: bewijs dat de getallen − 14 , 105 , − 2 107 en − 91 niet coprime zijn.

Oplossing

Laten we beginnen met het vinden van hun grootste gemene deler, waarna we ervoor zorgen dat deze niet gelijk is aan 1 . Aangezien negatieve getallen dezelfde delers hebben als de corresponderende positieve, is ggd (− 14 , 105 , 2 107 , − 91) = ggd (14 , 105 , 2 107 , 91) . Volgens de regels die we hebben gegeven in het artikel over het vinden van de grootste gemene deler, is in dit geval de GCD gelijk aan zeven.

Antwoorden: zeven is groter dan één, wat betekent dat deze getallen niet co-prime zijn.

Basiseigenschappen van priemgetallen

Dergelijke nummers hebben een aantal praktische belangrijke eigenschappen. We zetten ze op volgorde en bewijzen ze.

Definitie 3

Als we de gehele getallen a en b delen door het getal dat overeenkomt met hun grootste gemene deler, krijgen we relatief priemgetallen. Met andere woorden, a: ggd(a, b) en b: ggd(a, b) zullen coprime zijn.

Deze eigenschap hebben we al bewezen. Het bewijs is te vinden in het artikel over de eigenschappen van de grootste gemene deler. Dankzij dit kunnen we paren van coprime-getallen definiëren: neem gewoon twee gehele getallen en deel deze door ggd. Als resultaat zouden we coprime-getallen moeten krijgen.

Definitie 4

Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de onderlinge eenvoud van de getallen a en b is het bestaan ​​van zulke gehele getallen jij 0 en v0, waarvoor de gelijkheid a u 0 + b v 0 = 1 zal waar zijn.

Bewijs 1

We beginnen met de noodzaak van deze voorwaarde te bewijzen. Laten we zeggen dat we twee relatief priemgetallen hebben, gelabeld a en b . Dan zal, per definitie van dit concept, hun grootste gemene deler gelijk zijn aan één. We weten uit de eigenschappen van ggd dat er voor gehele getallen a en b een Bezout-relatie is a u 0 + b v 0 = ggd (a, b). Daaruit halen we dat a u 0 + b v 0 = 1. Daarna moeten we de toereikendheid van de aandoening bewijzen. laat gelijkheid a u 0 + b v 0 = 1 zal waar zijn als gcd (a , b) verdeelt en a , en b , dan zal het delen en optellen a u 0 + b v 0, en eenheid, respectievelijk (dit kan worden beargumenteerd op basis van de eigenschappen van deelbaarheid). En dit kan alleen als ggd(a, b) = 1, wat de onderlinge eenvoud van a en b bewijst.

Inderdaad, als a en b coprime zijn, dan zal volgens de vorige eigenschap de gelijkheid waar zijn a u 0 + b v 0 = 1. We vermenigvuldigen beide delen met c en we krijgen dat a c u 0 + b c v 0 = c. We kunnen de eerste term verdelen a c u 0 + b c v 0 door b , omdat het mogelijk is voor a c , en de tweede term is ook deelbaar door b , want een van de factoren die we hebben is b . Hieruit concluderen we dat de hele som kan worden gedeeld door b, en aangezien deze som gelijk is aan c, dan kan c worden gedeeld door b.

Definitie 5

Als twee gehele getallen a en b co-prime zijn, dan is ggd(a c, b) = ggd(c, b) .

Bewijs 2

Laten we bewijzen dat ggd (a c , b) ggd (c , b) zal delen, en daarna - dat ggd (c , b) ggd (a c , b) deelt, wat de geldigheid van de gelijkheid ggd (a · c, b) = ggd (c, b) .

Aangezien ggd (a c , b) zowel a c als b deelt en ggd (a c , b) b deelt, zal het ook b c delen. Vandaar dat ggd (a c, b) zowel a c als b c deelt, daarom, vanwege de eigenschappen van ggd, het ook ggd (a c, b c) deelt, wat gelijk zal zijn aan c ggd (a, b ) = c. Vandaar dat ggd(a c, b) zowel b als c deelt, vandaar dat ggd(c, b) ook deelt.

Je kunt ook zeggen dat aangezien ggd (c, b) zowel c als b deelt, het zowel c als a c zal delen. Dit betekent dat GCD (c , b) zowel a c als b deelt, daarom deelt GCD (ac , b) ook.

Dus ggd (a c, b) en ggd (c, b) verdelen elkaar onderling, wat betekent dat ze gelijk zijn.

Definitie 6

Als de nummers in de reeks een 1 , een 2 , … , een k zal coprime zijn met betrekking tot de nummers van de reeks b 1 , b 2 , … , b m(voor natuurlijke waarden van k en m), dan hun producten een 1 een 2 … een k en b 1 b 2 … b m zijn ook coprime, in het bijzonder, een 1 = een 2 = … = een k = a en b 1 = b 2 = ... = b m = b, dan een k en b m zijn coprime.

Bewijs 3

Volgens de vorige eigenschap kunnen we gelijkheden van de volgende vorm schrijven: ggd (a 1 a 2 … a k , b m) = ggd (a 2 a k , b m) = … = ggd (a k , b m) = 1 . De mogelijkheid van de laatste overgang wordt verzekerd door het feit dat a k en b m co-prime zijn door aanname. Dus GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Noem a 1 a 2 … a k = A en verkrijg dat ggd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = ggd (b 1 b 2 … b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Dit zal waar zijn vanwege de laatste gelijkheid van de hierboven geconstrueerde keten. We hebben dus de gelijkheid ggd (b 1 b 2 … b m , a 1 a 2 … a k) = 1 verkregen, die kan worden gebruikt om de onderlinge eenvoud van de producten te bewijzen een 1 een 2 … een k en b 1 b 2 … b m

Dit zijn alle eigenschappen van co-priemgetallen waarover we u graag iets willen vertellen.

Het concept van paarsgewijze priemgetallen

Als we weten wat priemgetallen zijn, kunnen we de definitie van paarsgewijze priemgetallen formuleren.

Definitie 7

Paarsgewijze priemgetallen is een reeks van gehele getallen a 1 , a 2 , … , a k , waarbij elk getal coprime is ten opzichte van de andere.

Een voorbeeld van een reeks paarsgewijze priemgetallen zijn 14 , 9, 17 en − 25 . Hier zijn alle paren (14 en 9, 14 en 17, 14 en − 25, 9 en 17, 9 en − 25, 17 en − 25) coprime. Merk op dat de co-prime-voorwaarde verplicht is voor paarsgewijze priemgetallen, maar niet in alle gevallen parsgewijze priemgetallen. In de reeks 8 , 16 , 5 en 15 zijn de getallen bijvoorbeeld niet zo omdat 8 en 16 niet coprime zijn.

We moeten ook stilstaan ​​​​bij het concept van een verzameling van een bepaald aantal priemgetallen. Ze zullen altijd zowel wederzijds als paarsgewijs eenvoudig zijn. Een voorbeeld is de reeks 71, 443, 857, 991. In het geval van priemgetallen zullen de begrippen wederzijdse en paarsgewijze eenvoud samenvallen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter