Grafiek van het functielogboek x naar grondtal 2. Logaritmische functie, zijn eigenschappen en grafiek
De logaritmische functie is gebaseerd op het concept van de logaritme en de eigenschap exponentiële functie, waarbij (de basis van de graad a is groter dan nul en niet gelijk aan één).
Definitie:
De logaritme van het getal b met het grondtal a is de exponent waartoe het grondtal a moet worden verheven om het getal b te krijgen.
Voorbeelden:
Terugroepen basis regel: om het getal onder de logaritme te krijgen, moet je de basis van de logaritme verhogen tot de macht - de waarde van de logaritme:
Terugroepen belangrijke mogelijkheden en de eigenschappen van de exponentiële functie.
Beschouw het eerste geval, wanneer de basis van de graad groter is dan één:
Rijst. 1. De grafiek van de exponentiële functie, de basis van de graad is groter dan één
Zo'n functie neemt monotoon toe over zijn hele definitiedomein.
Beschouw het tweede geval, wanneer de basis van de graad kleiner is dan één:
Rijst. 2. De grafiek van de exponentiële functie, de basis van de graad is minder dan één
Zo'n functie neemt monotoon af over het hele definitiegebied.
In ieder geval is de exponentiële functie monotoon, neemt alle positieve waarden aan en bereikt, vanwege zijn monotoniciteit, elke positieve waarde met een enkele waarde van het argument. Dat wil zeggen, de functie bereikt elke specifieke waarde met een enkele waarde van het argument, de wortel van de vergelijking is de logaritme:
In feite hebben we de tegenovergestelde functie. Een directe functie is wanneer we een onafhankelijke variabele x (argument), een afhankelijke variabele y (een functie) hebben, we de waarde van het argument instellen en deze gebruiken om de waarde van de functie te krijgen. Inverse functie: laat de onafhankelijke variabele y zijn, omdat we al hebben bepaald dat elke positieve waarde van y overeenkomt met een enkele waarde van x, wordt de definitie van de functie gerespecteerd. Dan wordt x de afhankelijke variabele.
Voor een monotone directe functie er is een inverse functie. De essentie functionele afhankelijkheid zal niet veranderen als we een herbestemming invoeren:
We krijgen:
Maar we zijn meer gewend om de onafhankelijke variabele als x aan te duiden, en de afhankelijke variabele als y:
We hebben dus een logaritmische functie.
We gebruiken algemene regel het verkrijgen van een inverse functie voor een specifieke exponentiële functie.
De gegeven functie neemt monotoon toe (volgens de eigenschappen van de exponentiële functie), wat betekent dat er een functie tegenover staat. We herinneren je eraan dat je twee stappen moet uitvoeren om het te verkrijgen:
Druk x tot en met y uit:
Wissel x en y om:
Dus we hebben de inverse functie van de gegeven:. Zoals u weet, zijn de grafieken van de directe en inverse functies symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn y = x. illustreren:
Rijst. 3. Grafieken van functies en
Dit probleem wordt op een vergelijkbare manier opgelost en is geldig voor elke basis van de graad.
Laten we het probleem oplossen voor:
De gegeven functie neemt monotoon af, wat betekent dat er een functie tegenover staat. We begrijpen het:
Druk x tot en met y uit:
Wissel x en y om:
Dus we hebben de inverse functie van de gegeven: 
... Zoals u weet, zijn de grafieken van de directe en inverse functies symmetrisch ten opzichte van de rechte lijn y = x. illustreren:
Rijst. 4. Grafieken van functies en
Merk op dat we logaritmische functies hebben die omgekeerd zijn aan exponentiële.
De vooruit- en achteruitfuncties hebben veel gemeen, maar er zijn ook verschillen. Laten we dit in meer detail bekijken aan de hand van het voorbeeld van functies en.
Rijst. 5. Grafieken van functies (links) en (rechts)
Directe (exponentiële) functie-eigenschappen:
Domein: ;
Bereik van waarden:;
De functie neemt toe;
Convex naar beneden.
Eigenschappen van de inverse (logaritmische) functie:
Domein: ;
Ministerie van Onderwijs en Jeugdbeleid van de Tsjoevasjische Republiek
Staat autonome professional
onderwijsinstelling Tsjoevasjische Republiek
"Cheboksary College of Transport and bouwtechnologieën»
(GAPOU "Cheboksary technische school TransStroyTech"
Ministerie van Onderwijs van Tsjoevasjië)
ODP. 01 Wiskunde
“Logaritmische functie. Eigenschappen en afbeeldingen "
Tsjeboksary - 2016
Toelichting ……………… .......................................... ...... …………………………………….….… 3
Theoretische onderbouwing en methodologische uitvoering …………….… ................................ 4-10
Gevolgtrekking…………………………………………………………….......................... .........................………....elf
Bijlagen ………………………………………………………… .......................... . .........................………...dertien
Toelichting
Methodische ontwikkeling van een module voor een les in de discipline "Wiskunde" over het onderwerp "Logaritmische functie. Eigenschappen en grafiek "uit de sectie" Wortels, graden en logaritmen "gecompileerd op basis van Werk programma in wiskunde en het kalender-thematische plan. De onderwerpen van de les zijn met elkaar verbonden door de inhoud, de belangrijkste bepalingen.
Het doel van het bestuderen van dit onderwerp is om het concept van een logaritmische functie te leren, de basiseigenschappen ervan te bestuderen, een logaritmische functie te plotten en een logaritmische spiraal in de wereld om ons heen te leren zien.
Het programmamateriaal voor deze les is gebaseerd op kennis van wiskunde. De methodologische ontwikkeling van de lesmodule is bedoeld om theoretische studies over het onderwerp: "Logaritmische functie. Eigenschappen en schema "-1 uur. Tijdens de praktijkles consolideren de studenten de opgedane kennis: definities van functies, hun eigenschappen en grafieken, grafiektransformaties, continue en periodieke functies, inverse functies en hun grafieken, logaritmische functies.
De methodische ontwikkeling is bedoeld om methodologische hulp te bieden aan studenten bij het bestuderen van de lessenmodule over het onderwerp "Logaritmische functie. Eigenschappen en afbeeldingen ". als buitenschools onafhankelijk werk studenten kunnen aanvullende bronnen gebruiken om een bericht voor te bereiden over het onderwerp "Logaritmen en hun toepassing in de natuur en technologie", kruiswoordraadsels en puzzels. De onderwijskundige kennis en beroepscompetenties verkregen bij de studie van het onderwerp "Logaritmische functies, hun eigenschappen en grafieken" zullen worden toegepast bij de studie van de volgende secties: "Vergelijkingen en ongelijkheden" en "Begin van wiskundige analyse".
Didactische opbouw van de les:
Onderwerp:« Logaritmische functie. Eigenschappen en grafiek »
Beroepstype:: Gecombineerd.
Lesdoelen:
Leerzaam- kennisvorming bij de assimilatie van het begrip logaritmische functie, de eigenschappen van een logaritmische functie; grafieken toepassen bij het oplossen van problemen.
ontwikkelen- ontwikkeling mentale operaties door middel van concretisering, de ontwikkeling van visueel geheugen, de behoefte aan zelfstudie, om de ontwikkeling van cognitieve processen te bevorderen.
Leerzaam- opvoeding van cognitieve activiteit, verantwoordelijkheidsgevoel, respect voor elkaar, wederzijds begrip, zelfvertrouwen; het bevorderen van een communicatiecultuur; het bevorderen van een bewuste houding en interesse in leren.
Middelen van onderwijs:
Methodologische ontwikkeling over het onderwerp;
Persoonlijke computer;
Leerboek Sh.A Alimov "Algebra en het begin van analyse" 10-11 leerjaar. Uitgeverij "Onderwijs".
Intersubject communicatie: exponentiële functie en logaritmische functie.
Interdisciplinaire verbindingen: algebra en wiskundige analyse.
Leerlingmoet weten:
definitie van een logaritmische functie;
eigenschappen van de logaritmische functie;
grafiek van een logaritmische functie.
Leerlingzou moeten kunnen:
transformaties uitvoeren van uitdrukkingen die logaritmen bevatten;
vind de logaritme van een getal, pas de eigenschappen van logaritmen toe bij het nemen van logaritmen;
bepaal de positie van een punt op de grafiek door zijn coördinaten en vice versa;
pas de eigenschappen van de logaritmische functie toe bij het plotten van grafieken;
Grafiektransformaties uitvoeren.
Lesplan
1. Organisatorisch moment (1 min).
2. Verklaring van het doel en de doelstellingen van de les. Motivatie leeractiviteiten studenten (1min).
3. Het stadium van actualisering van basiskennis en vaardigheden (3 min).
4. Verificatie huiswerk(2 minuten).
5. Stadium van assimilatie van nieuwe kennis (10 min).
6. De fase van het consolideren van nieuwe kennis (15 min).
7. Beheersing van het geleerde in de les (10 min).
8. Samenvattend (2 min).
9. Fase van het informeren van studenten over huiswerk (1 min).
Tijdens de lessen:
1. Organisatorisch moment.
Omvat leraar die de klas begroet, de kamer voorbereidt op de les, controleren op afwezigheden.
2. De doelen en doelstellingen van de les bepalen.
Vandaag zullen we het hebben over het concept van een logaritmische functie, een grafiek van een functie tekenen en de eigenschappen ervan bestuderen.
3. Het stadium van het actualiseren van basiskennis en vaardigheden.
Het wordt uitgevoerd in de vorm van frontaal werk met de klas.
Wat is de laatste functie die we hebben geleerd? Schets op het bord.
Geef de definitie van de exponentiële functie.
Wat is de wortel van de exponentiële vergelijking?
Wat is de definitie van een logaritme?
Wat zijn de eigenschappen van logaritmen?
Wat is de belangrijkste logaritmische identiteit?
4. Huiswerk nakijken.
De leerlingen openen schriftjes en laten de opgeloste oefeningen zien. Vragen stellen die tijdens het huiswerk zijn ontstaan.
5. Stadium van assimilatie van nieuwe kennis.
Docent: Open notitieboekjes, noteer het nummer van vandaag en het onderwerp van de les "Logaritmische functie, zijn eigenschappen en grafiek."
Definitie: Een logaritmische functie is een functie van de vorm
Waar is een bepaald nummer,.
Laten we eens kijken naar de constructie van een grafiek van deze functie aan de hand van een specifiek voorbeeld.
Laten we grafieken maken van functies en.
| |
|
| |
|
Opmerking 1: De logaritmische functie is omgekeerd aan de exponentiële functie, waarbij: 
... Daarom zijn hun grafieken symmetrisch rond de bissectrice van de I- en III-coördinaathoeken (Fig. 1).
Op basis van de definitie van de logaritme en het type grafieken, zullen we de eigenschappen van de logaritmische functie onthullen:
1) Reikwijdte van de definitie: sinds door de definitie van de logaritme x> 0.
2) Bereik van waarden van de functie:.
3) De logaritme van één is nul, de logaritme van het grondtal is één:,.
4) Functie, toename in het interval (Fig. 1).
5) Functie, afname in het interval (Fig. 1).
6) Intervallen van constantheid:
Als, dan bij; Bij ;
Als, dan voor;
Opmerking 2: De grafiek van een logaritmische functie gaat altijd door het punt (1; 0).
Stelling: Als 
, waar dan.
6. De fase van het consolideren van nieuwe kennis.
Leraar: We lossen taken nr. 318-nr. 322 (oneven) op (§18Alimov Sh.A. "Algebra en het begin van analyse" Grade 10-11).
1) 
omdat de functie toeneemt.
3), omdat de functie afneemt.
1), omdat en.
3), omdat en.
1), omdat,, dan.
3), want 10> 1, dus.
1) neemt af
3) toeneemt.
7. Samenvattend.
- Vandaag hebben we het goed gedaan met jullie in de les! Wat voor nieuws heb je geleerd in de les van vandaag?
(de nieuwe soort functies - logaritmische functie)
Formuleer de definitie van een logaritmische functie.
(De functie y = logax, (a> 0, a ≠ 1) wordt de logaritmische functie genoemd)
Goed gedaan! Rechts! Noem de eigenschappen van de logaritmische functie.
(definitiedomein van een functie, een reeks waarden van een functie, eentonigheid, constant teken)
8. Beheersing van het in de les geleerde materiaal.
Docent: Laten we eens kijken hoe goed je het onderwerp 'Logaritmische functie' beheerst. Eigenschappen en afbeeldingen ". Hiervoor zullen we een proefwerk schrijven (bijlage 1). Het werk bestaat uit vier taken die moeten worden opgelost met behulp van de eigenschappen van de logaritmische functie. U krijgt 10 minuten de tijd om de test in te vullen.
9. De fase van het informeren van studenten over huiswerk.
Op het bord en in de dagboeken geschreven: Alimov Sh.A. "Algebra en het begin van de analyse" Grade 10-11. §18 nr. 318 - nr. 322 (even)
Gevolgtrekking
In de loop van het gebruik van de methodologische ontwikkeling hebben we alle doelen en doelstellingen bereikt. In deze methodologische ontwikkeling werden alle eigenschappen van de logaritmische functie overwogen, waardoor studenten leerden hoe ze transformaties van uitdrukkingen met logaritmen konden uitvoeren en grafieken van logaritmische functies konden bouwen. De uitvoering van praktische taken draagt bij aan de consolidering van het bestudeerde materiaal, en de controle van de verificatie van kennis en vaardigheden zal docenten en studenten helpen erachter te komen hoe effectief hun werk in de les was. Methodologische ontwikkeling stelt studenten in staat om interessante en informatieve informatie over het onderwerp te verkrijgen, kennis te generaliseren en te systematiseren, de eigenschappen van logaritmen en logaritmische functies toe te passen bij het oplossen van verschillende logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden.
Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov, N. Ye. Fedorova, MI Shabunin onder toezicht van academicus A. N. Tikhonov. Algebra en het begin van wiskundige analyse 10 - 11 pp. - M. Onderwijs, 2011.
Nikol'skiy SM, Potapov MK, Reshetnikov NN et al. Algebra en principes van wiskundige analyse (basis- en profielniveaus). 10cl. - M., 2006.
Kolyagin Yu.M., Tkacheva MV, Federova N.E. en anderen, red. Zhizhchenko AB Algebra en het begin van wiskundige analyse (basis- en profielniveaus). 10cl. - M., 2005.
Lisichkin V. T. Wiskunde in problemen met oplossingen: leerboek / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveichik. - 3e druk, gewist. - SPb. [en anderen]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 blz.
Internetbronnen:
http: // school- collection.edu.ru - Elektronisch leerboek "Wiskunde in
school, eenentwintigste eeuw".
http://fcior.edu.ru - informatief, trainings- en controlemateriaal.
www.school-collection.edu.ru - Uniforme verzameling digitale leermiddelen.
Toepassingen
Optie 1.
Optie 2.
Criteria voor evaluatie:
Het cijfer "3" (voldoende) wordt gegeven voor 2 correct uitgevoerde voorbeelden.
Markeer "4" (goed) wordt gegeven als 3 voorbeelden correct zijn uitgevoerd.
Het cijfer "5" (uitstekend) wordt gegeven voor alle 4 correct uitgevoerde voorbeelden.
Pagina 1
De logaritmische functie (80) realiseert de inverse afbeelding van het hele vlak w met een snede in een strook - π / /: π, een Riemann-oppervlak met oneindig veel vellen op het volledige z-vlak.
Logaritmische functie: y logax, waarbij het grondtal van de logaritmen een positief getal is, niet gelijk aan één.
De logaritmische functie speelt een speciale rol bij het ontwerp en de analyse van algoritmen, dus het is de moeite waard om in meer detail te overwegen. Omdat we vaak te maken hebben met analytische resultaten waarin de constante factor is weggelaten, gebruiken we de log TV-notatie, waarbij de radix wordt weggelaten. Het veranderen van de basis van de logaritme verandert de waarde van de logaritme alleen met een constante factor, maar in een bepaalde context verschijnen speciale waarden van de basis van de logaritme.
De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie. De grafiek (Fig. 247) wordt verkregen uit de grafiek van de exponentiële functie (met dezelfde basis) door de tekening langs de bissectrice van de eerste coördinaathoek te buigen. De grafiek van een inverse functie wordt ook verkregen.
De logaritmische functie wordt dan geïntroduceerd als de inverse van de exponentiële. De eigenschappen van beide functies zijn eenvoudig uit deze definities af te leiden. Het was deze definitie die werd goedgekeurd door Gauss, die tegelijkertijd het oneens was met de beoordeling die hem werd gegeven in de recensie van het Göttingen Scientific News. Tegelijkertijd benaderde Gauss de kwestie vanuit een breder perspectief dan da Cunha. De laatste beperkte zich tot het beschouwen van de exponentiële en logaritmische functies in het reële domein, terwijl Gauss hun definitie uitbreidde tot complexe variabelen.
De logaritmische functie y logax is monotoon in zijn hele definitiegebied.
De logaritmische functie is continu en differentieerbaar in het hele domein van de definitie.
De logaritmische functie neemt monotoon toe als a I, Bij 0 a 1 neemt de logaritmische functie met grondtal a monotoon af.
De logaritmische functie is alleen gedefinieerd voor: positieve waarden x en één-op-één geeft het interval weer (0; 4 - os.
De logaritmische functie van y loga x is omgekeerde functie met betrekking tot de exponentiële functie van was.
Logaritmische functie: y ogax, waarbij het grondtal van de logaritmen a een positief getal is, niet gelijk aan één.
Logaritmische functies komen goed overeen met de fysische concepten van de aard van polyethyleenkruip onder omstandigheden waarin de vervormingssnelheid laag is. In dit opzicht vallen ze samen met de Andraade-vergelijking; daarom worden ze soms gebruikt om experimentele gegevens te benaderen.
De logaritmische functie, of natuurlijke logaritme, en In z, wordt bepaald door de transcendentale vergelijking r eu op te lossen met betrekking tot u. In het bereik van reële waarden van x en y, mits x 0, laat deze vergelijking een unieke oplossing toe.
De sectie logaritmen is van groot belang in de schoolcursus "Mathematical Analysis". De taken voor logaritmische functies zijn gebaseerd op andere principes dan de taken voor ongelijkheden en vergelijkingen. Kennis van de definities en basiseigenschappen van de concepten logaritme en logaritmische functie zal zorgen voor de succesvolle oplossing van typische USE-problemen.
Voordat we verder gaan met uitleggen wat een logaritmische functie is, is het de moeite waard om te verwijzen naar de definitie van een logaritme.
Laten we analyseren specifiek voorbeeld: а log a x = x, waarbij a ›0, a 1.
De belangrijkste eigenschappen van logaritmen kunnen op verschillende punten worden weergegeven:
Logaritme
Logaritme is een wiskundige bewerking waarmee u de logaritme van een getal of uitdrukking kunt vinden met behulp van de eigenschappen van een concept.
Voorbeelden:
Logaritmefunctie en zijn eigenschappen
De logaritmische functie is
Merk meteen op dat de grafiek van de functie stijgend kan zijn bij a ›1 en dalend bij 0‹ a ‹ 1. Afhankelijk hiervan zal de kromme van de functie een of andere vorm hebben.
Hier zijn de eigenschappen en methode voor het plotten van logaritmegrafieken:
- domein f (x) is de verzameling van alle positieve getallen, d.w.z. x kan elke waarde uit het interval aannemen (0; + ∞);
- ODZ-functie is de verzameling van alle reële getallen, d.w.z. y kan gelijk zijn aan elk getal uit het interval (- ∞; + ∞);
- als het grondtal van de logaritme a ›1 is, dan neemt f (x) over het hele definitiedomein toe;
- als het grondtal van de logaritme 0 ‹a‹ 1 is, dan is F afnemend;
- de logaritmische functie is niet even of oneven;
- de grafiekcurve gaat altijd door een punt met coördinaten (1; 0).
Het is heel eenvoudig om beide soorten grafieken te construeren, beschouw het proces aan de hand van een voorbeeld
Eerst moet u de eigenschappen van de eenvoudige logaritme en zijn functie onthouden. Met hun hulp moet u een tabel maken voor specifieke waarden van x en y. Vervolgens moeten de verkregen punten op de coördinatenas worden gemarkeerd en met een vloeiende lijn worden verbonden. Deze curve zal de vereiste grafiek zijn.
De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie die wordt gegeven door de formule y = a x. Om dit te verifiëren, volstaat het om beide krommen op dezelfde coördinatenas te tekenen.
Het is duidelijk dat beide lijnen spiegelbeelden van elkaar zijn. Door de lijn y = x te construeren, kun je de symmetrieas zien.
Om snel het antwoord op het probleem te vinden, moet u de puntwaarden voor y = log 2 x berekenen en vervolgens de oorsprong van het coördinatenpunt eenvoudig drie divisies langs de OY-as en 2 divisies naar beneden verplaatsen naar links langs de OX-as.
Laten we als bewijs een rekentabel maken voor de punten van de grafiek y = log 2 (x + 2) -3 en de verkregen waarden vergelijken met de figuur.
Zoals u kunt zien, vallen de coördinaten uit de tabel en de punten op de grafiek samen, daarom is de overdracht langs de assen correct uitgevoerd.
Voorbeelden van het oplossen van typische problemen van het examen
De meeste testproblemen kunnen in twee delen worden opgesplitst: zoeken naar het definitiedomein, het type functie aangeven door een grafiek te tekenen, bepalen of de functie stijgt / daalt.
| (1) |
Met name,
Deze reeks convergeert sneller en bovendien kan de linkerkant van de formule nu de logaritme van elk positief getal uitdrukken.
Relatie met de decimale logaritme:.
Decimale logaritmen
Rijst. 2. Logaritmische schaal
Logaritmen met grondtal 10 (symbool: lg een) vóór de uitvinding van rekenmachines, werden ze veel gebruikt voor berekeningen. Een ongelijkmatige schaal van logaritmen in decimalen wordt meestal toegepast op schuiflinialen. Een vergelijkbare schaal wordt veel gebruikt in verschillende wetenschapsgebieden, bijvoorbeeld:
- Chemie - de activiteit van waterstofionen ().
- Muziektheorie is een toonladder in relatie tot de frequenties van muzieknoten.
De logaritmische schaal wordt ook veel gebruikt om de exponent in machtsafhankelijkheid en de coëfficiënt in de exponent te identificeren. In dit geval heeft de grafiek, gebouwd op een logaritmische schaal langs een of twee assen, de vorm van een rechte lijn, die gemakkelijker te bestuderen is.
Complexe logaritme
Meerwaardige functie
Riemann oppervlak
Een complexe logaritmische functie is een voorbeeld van een Riemann-oppervlak; het denkbeeldige deel (Fig. 3) bestaat uit: oneindig getal takken gedraaid als een spiraal. Dit oppervlak is eenvoudig verbonden; zijn enige nul (eerste orde) wordt verkregen voor z= 1, enkelvoudige punten: z= 0 en (vertakkingspunten van oneindige orde).
Het Riemann-oppervlak van de logaritme is de universele bedekking voor het complexe vlak zonder punt 0.
historische schets
Echte logaritme
De behoefte aan complexe berekeningen groeide snel in de 16e eeuw, en een groot deel van de moeilijkheid hield verband met het vermenigvuldigen en delen van meercijferige getallen. Aan het einde van de eeuw kwamen verschillende wiskundigen, bijna gelijktijdig, op een idee: om tijdrovende vermenigvuldiging te vervangen door eenvoudige optelling, meetkundige en rekenkundige reeksen te vergelijken met behulp van speciale tabellen, terwijl de meetkundige de originele zal zijn. Dan wordt de deling automatisch vervangen door een onmetelijk eenvoudiger en betrouwbaarder aftrekking. Hij was de eerste die dit idee publiceerde in zijn boek “ rekenkundige integra»Michael Stiefel, die echter geen serieuze inspanningen deed om zijn idee uit te voeren.
In de jaren 1620 vonden Edmund Wingate en William Oughtred de eerste rekenliniaal uit, een onmisbaar hulpmiddel voor een ingenieur vóór de komst van zakrekenmachines.
Dicht bij het moderne begrip van de logaritme - als een operatie die omgekeerd is aan het verheffen tot een macht - verscheen voor het eerst in Wallis en Johann Bernoulli, en werd uiteindelijk gelegaliseerd door Euler in de 18e eeuw. In het boek "Inleiding tot de analyse van het oneindige" () gaf Euler moderne definities van zowel exponentiële als logaritmische functies, leidde hun expansie in machtreeksen, en merkte vooral de rol van de natuurlijke logaritme op.
Euler wordt ook gecrediteerd met het uitbreiden van de logaritmische functie naar een complex domein.
Complexe logaritme
De eerste pogingen om logaritmen uit te breiden tot complexe getallen werden gedaan rond de eeuwwisseling van de 17e-18e eeuw door Leibniz en Johann Bernoulli, maar ze slaagden er niet in een holistische theorie te creëren, voornamelijk omdat het concept van de logaritme toen nog niet duidelijk was. bepaald. De discussie over deze kwestie werd eerst gevoerd tussen Leibniz en Bernoulli, en in het midden van de 18e eeuw - tussen D'Alembert en Euler. Bernoulli en D'Alembert geloofden dat men zou moeten definiëren log (-x) = log (x). volledige theorie De logaritmen van negatieve en complexe getallen werd gepubliceerd door Euler in 1747-1751 en verschilt in wezen niet van de moderne.
Hoewel de controverse voortduurde (D'Alembert verdedigde zijn standpunt en bepleitte het in detail in een artikel in zijn "Encyclopedia" en in andere werken), maar het standpunt van Euler werd snel algemeen aanvaard.
Logaritmische tabellen
Logaritmische tabellen
Uit de eigenschappen van de logaritme volgt dat in plaats van moeizame vermenigvuldiging van meercijferige getallen, het voldoende is om (volgens tabellen) hun logaritmen te vinden en op te tellen, en vervolgens potentiëring uit te voeren met behulp van dezelfde tabellen, dat wil zeggen, de waarde van de resultaat door zijn logaritme. Het enige verschil bij het uitvoeren van deling is dat de logaritmen worden afgetrokken. Laplace zei dat de uitvinding van logaritmen "de levensduur van astronomen verlengde" door het rekenproces drastisch te versnellen.
Bij het verplaatsen van een decimaalteken in een getal naar N cijfers de waarde van de decimale logaritme van dit getal verandert met N... Bijvoorbeeld lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Hieruit volgt dat het voldoende is om een tabel met decimale logaritmen samen te stellen voor getallen in het bereik van 1 tot 10.
De eerste tabellen met logaritmen werden gepubliceerd door John Napier (), en ze bevatten alleen de logaritmen van trigonometrische functies, en met fouten. Onafhankelijk van hem publiceerde Jost Burgi, een vriend van Kepler (), zijn tabellen. In 1617 publiceerde de Oxford-professor in de wiskunde Henry Briggs tabellen die al bevatten: decimale logaritmen de nummers zelf, van 1 tot 1000, met 8 (later - met 14) tekens. Maar de tabellen van Briggs vertoonden ook fouten. De eerste onmiskenbare uitgave op basis van Vega-tabellen () verscheen pas in 1857 in Berlijn (Bremiver-tabellen).
In Rusland werden de eerste tabellen met logaritmen gepubliceerd in 1703 met de deelname van L.F. Magnitsky. In de USSR werden verschillende verzamelingen tabellen met logaritmen gepubliceerd.
- Bradis VM Viercijferige wiskundetabellen. 44e druk, M., 1973.
