Fractionele rationele ongelijkheden. Rationele ongelijkheden

Hoofdpagina » Reparaties en operaties

Reparaties en operaties

Fractionele rationele ongelijkheden. Rationele ongelijkheden

24.09.2019

Systemen van rationele ongelijkheden

Les tekst

samenvatting [Bezdenezhnykh L.V.]

Algebra, Grade 9 UMK: AG Mordkovich. Algebra. Groep 9 Om 2 uur Deel 1. Leerboek; Deel 2. Takenboek; Moskou: Mnemosyne, 2010 Onderwijsniveau: basis Thema van de les: Systemen van rationele ongelijkheden. (De eerste les over het onderwerp, in totaal wordt er 3 uur uitgetrokken voor het bestuderen van het onderwerp) Les voor het bestuderen van een nieuw onderwerp. Het doel van de les: herhaal de oplossing van lineaire ongelijkheden; de concepten van een systeem van ongelijkheden introduceren, de oplossing van de eenvoudigste systemen van lineaire ongelijkheden uitleggen; om het vermogen te vormen om systemen van lineaire ongelijkheden van enige complexiteit op te lossen. Doelstellingen: Educatief: het onderwerp bestuderen op basis van bestaande kennis, het consolideren van praktische vaardigheden en capaciteiten bij het oplossen van systemen van lineaire ongelijkheden als resultaat van onafhankelijk werk van studenten en lezingen en adviesactiviteiten van de meest voorbereide onder hen. Ontwikkelen: ontwikkeling van cognitieve interesse, onafhankelijkheid van denken, geheugen, studentinitiatief door het gebruik van communicatieve activiteitsmethoden en elementen van probleemgestuurd leren. Educatief: de vorming van communicatieve vaardigheden, een cultuur van communicatie, samenwerking. Werkvormen: - hoorcollege met elementen van conversatie en probleemgestuurd leren; - zelfstandig werken van studenten met theoretische en praktische stof volgens het leerboek; -ontwikkeling van een cultuur van formalisering van de oplossing van systemen van lineaire ongelijkheden. Verwachte resultaten: studenten zullen onthouden hoe ze lineaire ongelijkheden moeten oplossen, het snijpunt van oplossingen van ongelijkheden op een echte lijn markeren, leren hoe ze systemen van lineaire ongelijkheden kunnen oplossen. Lesmateriaal: schoolbord, hand-outs (applicatie), studieboeken, werkboeken. Lesinhoud: 1. Organisatorisch moment. Huiswerk nakijken. 2. Actualisering van kennis. De leerlingen vullen samen met de leerkracht de tabel op het bord in: Ongelijkheidscijferkloof Hieronder is de voltooide tabel: Ongelijkheidscijferkloof 3. Wiskundig dicteren. Voorbereiden op de perceptie van een nieuw onderwerp. 1. Los ongelijkheden op volgens het model van de tabel: Optie 1 Optie 2 Optie 3 Optie 4 2. Los ongelijkheden op, teken twee figuren op dezelfde as en controleer of het getal 5 de oplossing is voor twee ongelijkheden: Optie 1 Optie 2 Optie 3 Optie 4 4. Uitleg van het nieuwe materiaal . Uitleg van het nieuwe materiaal (p. 40-44): 1. Definieer het systeem van ongelijkheden (p. 41). Definitie: Meerdere ongelijkheden met één variabele x vormen een systeem van ongelijkheden als het de taak is om al zulke waarden van de variabele te vinden waarvoor elk van de gegeven ongelijkheden met de variabele verandert in een echte numerieke ongelijkheid. 2. Introduceer het concept van een bijzondere en algemene oplossing van een systeem van ongelijkheden. Een dergelijke waarde van x wordt een oplossing (of bepaalde oplossing) van het systeem van ongelijkheden genoemd. De verzameling van alle specifieke oplossingen voor het systeem van ongelijkheden is de algemene oplossing voor het systeem van ongelijkheden. 3. Beschouw in het leerboek de oplossing van ongelijkhedenstelsels volgens voorbeeld nr. 3 (a, b, c). 4. Generaliseer de redenering door het systeem op te lossen:. 5. Consolidatie van nieuw materiaal. Los taken op van nr. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Verificatiewerk Controleer de assimilatie van nieuw materiaal en help actief bij het oplossen van taken volgens de opties: Optie 1 a, in nr. 4.6, 4.8 Optie 2 b, d nr. 4.6, 4.8 7. Samenvattend. Reflectie Welke nieuwe concepten heb je vandaag geleerd? Heb je geleerd hoe je oplossingen kunt vinden voor een systeem van lineaire ongelijkheden? Wat heb je het meest bereikt, welke momenten waren het meest succesvol? 8. Huiswerk: nr. 4.5, 4.7.; theorie in leerboek pp. 40-44; Voor studenten met verhoogde motivatie nr. 4.23 (c, d). Sollicitatie. Optie 1. Ongelijkheidscijfer Interval 2. Los ongelijkheden op, teken twee figuren op dezelfde as en controleer of het getal 5 de oplossing is voor twee ongelijkheden: Ongelijkheidscijfer Beantwoord de vraag. Optie 2. Ongelijkheidscijfer Interval 2. Los ongelijkheden op, teken twee figuren op dezelfde as en controleer of het getal 5 de oplossing is voor twee ongelijkheden: Ongelijkheidscijfer Beantwoord de vraag. Optie 3. Ongelijkheidscijfer Interval 2. Los ongelijkheden op, teken twee figuren op dezelfde as en controleer of het getal 5 de oplossing is voor twee ongelijkheden: Ongelijkheidscijfer Beantwoord de vraag. Optie 4. Ongelijkheidscijfer Interval 2. Los ongelijkheden op, teken twee figuren op dezelfde as en controleer of het getal 5 de oplossing is voor twee ongelijkheden: Ongelijkheidscijfer Beantwoord de vraag.
Download: Algebra 9kl - samenvatting [Bezdenezhnykh L.V.].docx
samenvatting van lessen 2-4 [Zvereva L.P.]

Algebra Grade 9 UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Niveau - basistraining Onderwerp van de les: Systemen van rationele ongelijkheden Het totale aantal uren voor het bestuderen van het onderwerp is 4 uur De plaats van de les in het systeem van lessen over het onderwerp les nr. 2; nr. 3; Nummer 4. Het doel van de les: De leerlingen leren systemen van ongelijkheden samen te stellen en hen te leren hoe ze kant-en-klare systemen kunnen oplossen die zijn voorgesteld door de auteur van het leerboek. Lesdoelen: Vaardigheden vormen: stelsels van ongelijkheden analytisch vrijelijk kunnen oplossen, en ook de oplossing kunnen overbrengen naar de coördinatenlijn om het antwoord correct vast te leggen, zelfstandig werken met het gegeven materiaal. .Geplande resultaten: Studenten moeten in staat zijn om kant-en-klare systemen op te lossen, evenals systemen van ongelijkheden samen te stellen volgens de tekstconditie van taken en het gecompileerde model op te lossen. Technische ondersteuning van de les: UMK: ALGEBRA-9KLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonov. Werkboek, projector voor mondeling tellen, afdrukken van extra taken voor sterke studenten. Aanvullende methodologische en didactische ondersteuning voor de les (links naar internetbronnen zijn mogelijk): 1. Handleiding N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, NS Melkova "Vorming van computationele vaardigheden in wiskundelessen rangen 5-9" 2.G.G. Levitas "Wiskundige dictaten" rangen 7-11,3. TG Gulina "Wiskundige simulator" 5-11 (4 niveaus van complexiteit) Wiskundeleraar: Zvereva L.P. Les nr. 2 Doelstellingen: Ontwikkeling van vaardigheden voor het oplossen van een systeem van rationele ongelijkheden met behulp van het resultaat van het oplossen van een geometrische interpretatie voor de duidelijkheid. Lesvoortgang 1. Organisatorisch moment: De klas aan het werk zetten, onderwerp en doel van de les rapporteren 11 Huiswerk nakijken 1. Theoretisch gedeelte: * Wat is de analytische notatie van rationele ongelijkheid * Wat is de analytische notatie van een systeem van rationele ongelijkheden * Wat betekent het om een systeem van ongelijkheden op te lossen * Wat is het resultaat van het oplossen van een systeem van rationele ongelijkheden. 2. Praktijkgedeelte: * Taken op het bord oplossen die problemen veroorzaakten voor studenten. Tijdens het maken van huiswerk II1 Oefeningen uitvoeren. 1. Herhaal de methoden voor het ontbinden van een polynoom. 2. Herhaal wat de intervalmethode is bij het oplossen van ongelijkheden. 3. Los het systeem op. De oplossing wordt geleid door een sterke student aan het bord onder leiding van de leraar. 1) Los de ongelijkheid 3x - 10 > 5x - 5 op; 3x - 5x> - 5 + 10; – 2x> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>De oplossing van dit systeem van ongelijkheden x> Antwoord: x> 6. Los nr. 4.10 (c) op het bord en in notitieboekjes op. Laten we de ongelijkheid 5x2 - 2x + 1 ≤ 0 oplossen. 5x2 - 2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = -16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = -55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, dan - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Herhaling van eerder bestudeerd materiaal. Los #2.33 op. Stel dat de beginsnelheid van de fietser x km/u is, na verlaging werd het (x – 3) km/u. 15x - 45 + 6x = 1,5x(x - 3); 21x - 45 = 1,5x2 - 4,5x; 1,5x2 - 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; dan x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 voldoet niet aan de betekenis van het probleem. Antwoord: 15 km/u; 12 km/u. IV Conclusie van de les: In de les leerden we systemen van ongelijkheden van een gecompliceerd type op te lossen, vooral met een module, we probeerden zelfstandig te werken. Markeringen zetten. Huiswerk: maak huiswerktoets nr. 1 van nr. 7 tot nr. 10 op aparte vellen papier op p. 32–33, nr. 4.34 (a; b), nr. 4.35 (a; b). Les 4 Voorbereiding op de toets Doelstellingen: de bestudeerde stof samenvatten en systematiseren, leerlingen voorbereiden op de toets over het onderwerp “Systemen van rationele ongelijkheden” Lesvoortgang 1. Organisatorisch moment: de klas aan het werk zetten, het onderwerp en het doel van de les. 11. Herhaling van de bestudeerde stof. * Wat betekent het om een systeem van ongelijkheden op te lossen * Wat is het resultaat van het oplossen van een systeem van rationele ongelijkheden 1. Verzamel folders met het ingevulde huiswerk. 2. Welke regels worden gebruikt om ongelijkheden op te lossen? Leg de oplossing van ongelijkheden uit: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5 > 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. Formuleer de definitie van een stelsel van ongelijkheden met twee variabelen. Wat betekent het om een systeem van ongelijkheden op te lossen? 5. Wat is de intervallenmethode die actief wordt gebruikt bij het oplossen van rationele ongelijkheden? Leg dit uit met een voorbeeld van het oplossen van de ongelijkheid: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Training oefeningen. 1. Los de ongelijkheid op: a) 12(1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Dit komt niet overeen met taak a) of taak b). We kunnen dus aannemen dat p ≠ 2, dat wil zeggen dat de gegeven ongelijkheid vierkant is. a) Een kwadratische ongelijkheid van de vorm ax2 + bx + c > 0 heeft geen oplossingen als a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 wordt uitgevoerd voor alle waarden van x, als a > 0 en D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Les resultaten. Het is noodzakelijk om al het bestudeerde materiaal thuis te bekijken en voor te bereiden op de test. Huiswerk: nr. 1.21 (b; d), nr. 2.15 (c; d); nr. 4.14 (d), nr. 4.28 (d); nr. 4.19 (a), nr. 4.33 (d).

>>Wiskunde: Rationele ongelijkheden
Een rationele ongelijkheid met één variabele x is een ongelijkheid van de vorm - rationele uitdrukkingen, d.w.z. algebraïsche uitdrukkingen bestaande uit getallen en de variabele x met behulp van de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en verheffen tot een natuurlijke macht. Natuurlijk kan de variabele worden aangeduid met een andere letter, maar in de wiskunde heeft de letter x meestal de voorkeur.
Bij het oplossen van rationele ongelijkheden wordt gebruik gemaakt van de drie regels die hierboven zijn geformuleerd in § 1. Met behulp van deze regels wordt een gegeven rationele ongelijkheid meestal omgezet naar de vorm / (x) > 0, waarbij / (x) een algebraïsche breuk (of polynoom). Ontleed vervolgens de teller en noemer van de breuk f (x) in factoren van de vorm x - a (als dit natuurlijk mogelijk is) en pas de intervalmethode toe, die we hierboven al noemden (zie voorbeeld 3 in de vorige alinea).
voorbeeld 1 Los de ongelijkheid (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0 op.
Oplossing. Beschouw de uitdrukking f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
Het wordt 0 op de punten 1,-1,2; markeer deze punten op de getallenlijn. De numerieke lijn wordt door de aangegeven punten in vier intervallen gedeeld (Fig. 6), op elk waarvan de uitdrukking f (x) een constant teken behoudt. Om dit te verifiëren, voeren we vier argumenten uit (voor elk van deze intervallen afzonderlijk).

Neem een willekeurig punt x uit het interval (2, dit punt bevindt zich op de getallenlijn rechts van punt -1, rechts van punt 1 en rechts van punt 2. Dit betekent dat x> -1, x> 1, x> 2 (Fig. 7) Maar dan x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, en dus f (x)> 0 (als het product van een rationale ongelijkheid van drie positieve getallen). Dus de ongelijkheid f (x ) > 0.

Neem een willekeurig punt x uit het interval (1,2). Dit punt bevindt zich op de getallenlijn rechts van punt-1, rechts van punt 1, maar links van punt 2. Dus x\u003e -1, x\u003e 1, maar x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Neem een willekeurig punt x uit het interval (-1,1). Dit punt ligt op de getallenlijn rechts van punt -1, links van punt 1 en links van punt 2. Dus x > -1, maar x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (als het product van twee negatieve en één positief getal). Dus op het interval (-1,1) geldt de ongelijkheid f (x)> 0.

Neem ten slotte een willekeurig punt x van de open straal (-oo, -1). Dit punt bevindt zich op de getallenlijn links van punt -1, links van punt 1 en links van punt 2. Dit betekent dat x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Laten we samenvatten. De tekens van de uitdrukking f (x) in de geselecteerde intervallen zijn zoals getoond in Fig. 11. We zijn geïnteresseerd in die ervan waarop wordt voldaan aan de ongelijkheid f (x) > 0. Gebruikmakend van het geometrische model gepresenteerd in Fig. 11 stellen we vast dat aan de ongelijkheid f (x) > 0 wordt voldaan op het interval (-1, 1) of op de open balk
Antwoorden: -1 < х < 1; х > 2.

Voorbeeld 2 Los de ongelijkheid op
Oplossing. Net als in het vorige voorbeeld zullen we de nodige informatie uit Fig. 11, maar met twee wijzigingen ten opzichte van voorbeeld 1. Ten eerste, omdat we geïnteresseerd zijn in welke waarden van x voldoen aan de ongelijkheid f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Ten tweede zijn we ook tevreden met die punten waaraan voldaan is aan de gelijkheid f (x) = 0. Dit zijn de punten -1, 1, 2, we markeren ze in de figuur met donkere cirkels en nemen ze mee in het antwoord. Op afb. 12 toont een geometrisch model van de respons, van waaruit het niet moeilijk is om naar een analytisch record te gaan.
Antwoorden:
VOORBEELD 3. Los de ongelijkheid op
Oplossing. Laten we de teller en noemer van de algebraïsche breuk fx aan de linkerkant van de ongelijkheid ontbinden in factoren. In de teller hebben we x 2 - x \u003d x (x - 1).
Om de vierkante trinominaal x 2 - bx ~ 6 in de noemer van de breuk te ontbinden, vinden we de wortels ervan. Uit de vergelijking x 2 - 5x - 6 \u003d 0 vinden we x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Vandaar, (we gebruikten de formule voor het ontbinden van een vierkante trinominaal: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
We hebben dus de gegeven ongelijkheid omgezet in de vorm

Denk aan de uitdrukking:

De teller van deze breuk verandert in 0 op de punten 0 en 1, en verandert in 0 op de punten -1 en 6. Laten we deze punten markeren op de getallenlijn (Fig. 13). De numerieke lijn wordt door de aangegeven punten in vijf intervallen gedeeld, en op elk interval behoudt de uitdrukking fx) een constant teken. Op dezelfde manier redenerend als in voorbeeld 1 komen we tot de conclusie dat de tekens van de uitdrukking fx) in de geselecteerde intervallen zijn zoals getoond in Fig. 13. We zijn geïnteresseerd in waar de ongelijkheid f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).
0 antwoord: -1

Voorbeeld 4 Los de ongelijkheid op

Oplossing. Bij het oplossen van rationele ongelijkheden geven ze er in de regel de voorkeur aan om alleen het getal 0 aan de rechterkant van de ongelijkheid te laten staan. Daarom transformeren we de ongelijkheid naar de vorm

Verder:

De ervaring leert dat als de rechterkant van de ongelijkheid alleen het getal 0 bevat, het handiger is om te redeneren wanneer zowel de teller als de noemer aan de linkerkant een positieve leidende coëfficiënt hebben. En wat hebben we? We hebben alles in de noemer van de breuk in deze zin in volgorde (de leidende coëfficiënt, d.w.z. de coëfficiënt bij x 2, is 6 - een positief getal), maar niet alles is in orde in de teller - de senior coëfficiënt (de coëfficiënt bij x) is - 4 (negatief getal) Door beide zijden van de ongelijkheid met -1 te vermenigvuldigen en het teken van ongelijkheid te veranderen in het tegenovergestelde, krijgen we een equivalente ongelijkheid

Laten we de teller en noemer van een algebraïsche breuk ontbinden. In de teller is alles eenvoudig:
Om de vierkante trinominaal in de noemer van een breuk te ontbinden
(we gebruikten opnieuw de formule voor het ontbinden van een vierkante trinominaal).
We hebben dus de gegeven ongelijkheid teruggebracht tot de vorm

Overweeg de uitdrukking

De teller van deze breuk verandert in 0 in het punt en de noemer - in de punten. We noteren deze punten op de getallenlijn (Fig. 14), die door de aangegeven punten in vier intervallen is verdeeld, en op elk interval de uitdrukking f (x) behoudt een constant teken (deze tekens zijn aangegeven in Fig. 14). We zijn geïnteresseerd in die intervallen waarop de ongelijkheid fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

In alle beschouwde voorbeelden hebben we de gegeven ongelijkheid omgezet in een equivalente ongelijkheid van de vorm f (x) > 0 of f (x)<0,где
In dit geval kan het aantal factoren in de teller en noemer van een breuk gelijk zijn. Vervolgens werden de punten a, b, c, e gemarkeerd op de getallenlijn. en bepaalde de tekens van de uitdrukking f (x) op de geselecteerde intervallen. We merkten op dat helemaal rechts van de geselecteerde intervallen aan de ongelijkheid f (x) > 0 is voldaan, en dat de tekens van de uitdrukking f (x) zich langs de intervallen afwisselen (zie figuur 16a). Deze afwisseling wordt handig geïllustreerd met behulp van een golvende curve, die van rechts naar links en van boven naar beneden wordt getekend (afb. 166). Op die intervallen waar deze kromme (deze wordt soms de kromme van tekens genoemd) zich boven de x-as bevindt, wordt voldaan aan de ongelijkheid f (x) > 0; waar deze curve zich onder de x-as bevindt, is de ongelijkheid f (x)< 0.

Voorbeeld 5 Los de ongelijkheid op

Oplossing. Wij hebben

(beide delen van de vorige ongelijkheid werden vermenigvuldigd met 6).
Om de intervalmethode te gebruiken, markeert u de punten op de getallenlijn (op deze punten verdwijnt de teller van de breuk die zich aan de linkerkant van de ongelijkheid bevindt) en punten (op deze punten verdwijnt de noemer van de aangegeven breuk). Gewoonlijk zijn de punten schematisch gemarkeerd, rekening houdend met de volgorde waarin ze volgen (die naar rechts is, die naar links is) en zonder bijzondere aandacht voor de schaal. Het is duidelijk dat Bij getallen is de situatie gecompliceerder: uit de eerste schatting blijkt dat beide getallen iets groter zijn dan 2,6, waaruit niet kan worden opgemaakt welk van de aangegeven getallen groter en welke kleiner is. Stel (willekeurig) dat Dan
Het bleek de juiste ongelijkheid, wat betekent dat onze gok werd bevestigd: in feite
Dus,

We markeren de aangegeven 5 punten in de aangegeven volgorde op de getallenlijn (Fig. 17a). Schik de tekens van de uitdrukking
op de verkregen intervallen: helemaal rechts - een + -teken, en dan wisselen de tekens elkaar af (Fig. 176). Laten we een curve van tekens tekenen en (door arcering) die intervallen selecteren waarop wordt voldaan aan de ongelijkheid f (x) > 0 die voor ons van belang is (Fig. 17c). Ten slotte houden we er rekening mee dat we het hebben over een niet-strikte ongelijkheid f (x) > 0, wat betekent dat we ook geïnteresseerd zijn in die punten waarop de uitdrukking f (x) verdwijnt. Dit zijn de wortels van de teller van de breuk f (x), d.w.z. punten we markeren ze in Fig. 17 in donkere kringen (en natuurlijk opnemen in het antwoord). Nu is hier de foto. 17c geeft een compleet geometrisch model voor oplossingen voor de gegeven ongelijkheid.

Met behulp van deze les leer je over rationele ongelijkheden en hun systemen. Het systeem van rationele ongelijkheden wordt opgelost met behulp van equivalente transformaties. De definitie van equivalentie wordt overwogen, de methode om een fractioneel-rationele ongelijkheid te vervangen door een kwadraat, en begrijpt ook wat het verschil is tussen een ongelijkheid en een vergelijking en hoe equivalente transformaties worden uitgevoerd.

Invoering

Algebra Graad 9

Laatste herhaling van de 9e klas algebra cursus

Rationele ongelijkheden en hun systemen. Systemen van rationele ongelijkheden.

1.1 Abstract.

Equivalente transformaties van rationele ongelijkheden

1. Gelijkwaardige transformaties van rationele ongelijkheden.

Beslissen rationele ongelijkheid betekent om al zijn oplossingen te vinden. In tegenstelling tot een vergelijking zijn er bij het oplossen van een ongelijkheid in de regel een oneindig aantal oplossingen. Een oneindig aantal oplossingen kan niet worden geverifieerd door substitutie. Daarom is het nodig om de oorspronkelijke ongelijkheid zo te transformeren dat in elke volgende regel een ongelijkheid met dezelfde reeks oplossingen wordt verkregen.

Rationele ongelijkheden alleen opgelost met gelijkwaardig of gelijkwaardige transformaties. Dergelijke transformaties verstoren de reeks oplossingen niet.

Definitie. Rationele ongelijkheden genaamd gelijkwaardig als de verzamelingen van hun oplossingen hetzelfde zijn.

Aanduiden gelijkwaardigheid gebruik teken

Oplossing van het systeem van ongelijkheden. Gelijkwaardige systeemtransformaties

2. Oplossing van het systeem van ongelijkheden

De eerste en tweede ongelijkheden zijn fractionele rationele ongelijkheden. De methoden om ze op te lossen zijn een natuurlijke voortzetting van de methoden voor het oplossen van lineaire en kwadratische ongelijkheden.

Laten we de getallen aan de rechterkant naar links verplaatsen met het tegenovergestelde teken.

Hierdoor blijft aan de rechterkant 0. Deze transformatie is equivalent. Dit wordt aangegeven door het teken

Laten we de acties uitvoeren die de algebra voorschrijft. Trek "1" af in de eerste ongelijkheid en "2" in de tweede.

Oplossing van de eerste ongelijkheid volgens de methode van intervallen

3. De ongelijkheid oplossen met de intervalmethode

1) Laten we een functie introduceren. We moeten weten wanneer deze functie kleiner is dan 0.

2) Zoek het domein van de functie: de noemer mag niet 0 zijn. "2" is het breekpunt. Voor x=2 is de functie onbepaald.

3) Zoek de wortels van de functie. De functie is 0 als de teller 0 is.

De instelpunten verdelen de numerieke as in drie intervallen - dit zijn intervallen van constantheid. Op elk interval behoudt de functie zijn teken. Laten we het teken op het eerste interval bepalen. Vervang een waarde. Bijvoorbeeld 100. Het is duidelijk dat zowel de teller als de noemer groter zijn dan 0. Dit betekent dat de hele breuk positief is.

Laten we de tekens op de resterende intervallen bepalen. Bij het passeren van het punt x=2 verandert alleen de noemer van teken. Dit betekent dat de hele breuk van teken zal veranderen en negatief zal zijn. Laten we een soortgelijke discussie voeren. Bij het passeren van het punt x=-3 verandert alleen de teller van teken. Dit betekent dat de breuk van teken zal veranderen en positief zal zijn.

We kiezen een interval dat overeenkomt met de ongelijkheidsvoorwaarde. Schaduw het en schrijf het als een ongelijkheid

Ontvangst van reductie van fractioneel-rationele ongelijkheid tot kwadraat.
De eerste ongelijkheid oplossen door te reduceren tot een kwadraat
4. De ongelijkheid oplossen met behulp van een kwadratische ongelijkheid

Een belangrijk feit.

In vergelijking met 0 (in het geval van strikte ongelijkheid), kan de breuk worden vervangen door het product van de teller en de noemer, of de teller of noemer kan worden verwisseld.

Dit is zo omdat aan alle drie de ongelijkheden is voldaan, op voorwaarde dat u en v verschillende tekens hebben. Deze drie ongelijkheden zijn equivalent.

We gebruiken dit feit en vervangen de fractioneel-rationele ongelijkheid door een vierkante.

Laten we de kwadratische ongelijkheid oplossen.

We introduceren een kwadratische functie. Laten we de wortels ervan vinden en een schets van de grafiek maken.

Dus de takken van de parabool zijn omhoog. Binnen het interval van wortels behoudt de functie het teken. Ze is negatief.

Buiten het interval van wortels is de functie positief.

Oplossing van de eerste ongelijkheid:

Oplossing van de tweede ongelijkheid

5. Oplossing van de ongelijkheid

Laten we een functie introduceren:

Laten we de intervallen van constantheid vinden:

Om dit te doen, vinden we de wortels en discontinuïteitspunten van het domein van de functie. We schrappen altijd breekpunten. (x \u003d 3/2) We snijden de wortels uit afhankelijk van het ongelijkheidsteken. Onze ongelijkheid is strikt. Daarom snijden we de wortel eruit.

Laten we de borden plaatsen:

Laten we de oplossing schrijven:

Snijpunt van oplossingsverzamelingen van de eerste en tweede ongelijkheden. Beslissingsformulier

Laten we de oplossing van het systeem afmaken. Laten we het snijpunt vinden van de verzameling oplossingen van de eerste ongelijkheid en de verzameling oplossingen van de tweede ongelijkheid.

Een systeem van ongelijkheden oplossen betekent het snijpunt vinden van de reeks oplossingen van de eerste ongelijkheid en de reeks oplossingen van de tweede ongelijkheid. Daarom is het, nadat de eerste en tweede ongelijkheden afzonderlijk zijn opgelost, noodzakelijk om de verkregen resultaten in één systeem te schrijven.

Laten we de oplossing van de eerste ongelijkheid over de x-as weergeven.

Laten we de oplossing van de tweede ongelijkheid onder de as weergeven.

De oplossing van het systeem zijn die waarden van de variabele die voldoen aan zowel de eerste als de tweede ongelijkheden. Dus de oplossing voor het systeem :

Conclusie
1.3. Aanvullende webbronnen

http://slovo. ws/urok/algebra - Lesmateriaal (leerboeken, artikelen) over algebra voor leerjaar 9. Alle studieboeken in de lijst kunnen online worden bekeken, zonder te downloaden.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. thuis doen

Algebra, 9e leerjaar. Deel 2 van 2. Taakboek (A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustina en anderen) 2010

Huiswerk: 4,24; 4.28

Overige taken: 4,25; 4.26

U moet het lesplan over het onderwerp downloaden » Rationele ongelijkheden en hun systemen. Systemen van rationele ongelijkheden?

Laat het nodig zijn om de numerieke waarden van x te vinden waarbij verschillende rationale ongelijkheden tegelijkertijd echte numerieke ongelijkheden worden. In dergelijke gevallen zeggen we dat we een systeem van rationele ongelijkheden moeten oplossen met één onbekende x.

Om een systeem van rationele ongelijkheden op te lossen, moet men alle oplossingen vinden voor elke ongelijkheid in het systeem. Dan is het gemeenschappelijke deel van alle gevonden oplossingen de oplossing van het systeem.

Voorbeeld: Los het systeem van ongelijkheden op

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Eerst lossen we de ongelijkheid op

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

Als we de intervalmethode toepassen (Fig. 1), vinden we dat de verzameling van alle oplossingen voor ongelijkheid (2) uit twee intervallen bestaat: (-, 1) en (5, 7).

Foto 1

Laten we nu de ongelijkheid oplossen

Met behulp van de intervalmethode (Fig. 2), vinden we dat de verzameling van alle oplossingen voor ongelijkheid (3) ook uit twee intervallen bestaat: (2, 3) en (4, +).

Nu moeten we het gemeenschappelijke deel van de oplossing van ongelijkheden (2) en (3) vinden. Laten we de coördinatenas x tekenen en de gevonden oplossingen markeren. Het is nu duidelijk dat het gemeenschappelijke deel van het oplossen van ongelijkheden (2) en (3) het interval (5, 7) is (Fig. 3).

Bijgevolg is de verzameling van alle oplossingen voor het systeem van ongelijkheden (1) het interval (5, 7).

Voorbeeld: Los het systeem van ongelijkheden op

x2 - 6x + 10< 0,

Laten we eerst de ongelijkheid oplossen

x 2 - 6x + 10< 0.

Als we de volledige vierkante methode toepassen, kunnen we dat schrijven:

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

Daarom kan ongelijkheid (2) worden geschreven als

(x - 3) 2 + 1< 0,

waaruit blijkt dat het geen oplossing heeft.

Nu kun je de ongelijkheid niet oplossen

aangezien het antwoord al duidelijk is: systeem (1) heeft geen oplossing.

Voorbeeld: Los het systeem van ongelijkheden op

Beschouw eerst de eerste ongelijkheid; wij hebben

1 < 0, < 0.

Met behulp van de kromme van tekens vinden we oplossingen voor deze ongelijkheid: x< -2; 0 < x < 2.

Laten we nu de tweede ongelijkheid van het gegeven systeem oplossen. We hebben x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Nadat we de gevonden oplossingen van de eerste en tweede ongelijkheden op een gemeenschappelijke reële lijn hebben gemarkeerd (Fig. 6), vinden we zulke intervallen waar deze oplossingen samenvallen (oplossingsonderdrukking): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Voorbeeld: Los het systeem van ongelijkheden op

We transformeren de eerste ongelijkheid van het systeem:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, of x (x - 10) (x + 10) 0

(aangezien factoren in oneven machten kunnen worden vervangen door de overeenkomstige factoren van de eerste graad); met behulp van de intervalmethode vinden we oplossingen voor de laatste ongelijkheid: -10 x 0, x 10.

Beschouw de tweede ongelijkheid van het systeem; wij hebben

We vinden (Fig. 8) x -9; 3< x < 15.

Door de gevonden oplossingen te combineren, krijgen we (Fig. 9) x 0; x > 3.

Voorbeeld: Vind gehele oplossingen voor het systeem van ongelijkheden:

x + y< 2,5,

Oplossing: laten we het systeem naar de vorm brengen

Als we de eerste en tweede ongelijkheden optellen, krijgen we y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

vanwaar -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

We blijven manieren analyseren om ongelijkheden op te lossen die één variabele in hun samenstelling hebben. We hebben al lineaire en kwadratische ongelijkheden bestudeerd, wat speciale gevallen zijn van rationele ongelijkheden. In dit artikel zullen we verduidelijken welk type ongelijkheden rationeel zijn, we zullen u vertellen in welke typen ze zijn onderverdeeld (geheel getal en fractioneel). Daarna zullen we laten zien hoe we ze correct kunnen oplossen, de nodige algoritmen geven en specifieke problemen analyseren.
Yandex.RTB RA-339285-1
Het concept van rationele gelijkheden

Wanneer het onderwerp van het oplossen van ongelijkheden op school wordt bestudeerd, nemen ze onmiddellijk rationele ongelijkheden. Ze verwerven en scherpen de vaardigheden om met dit type expressie te werken. Laten we de definitie van dit concept formuleren:
Definitie 1
Een rationele ongelijkheid is een ongelijkheid met variabelen die in beide delen rationele uitdrukkingen bevat.

Merk op dat de definitie op geen enkele manier invloed heeft op het aantal variabelen, wat betekent dat er een willekeurig groot aantal kan zijn. Daarom zijn rationele ongelijkheden met 1, 2, 3 of meer variabelen mogelijk. Meestal heeft men te maken met uitdrukkingen die slechts één variabele bevatten, minder vaak twee, en ongelijkheden met een groot aantal variabelen worden meestal helemaal niet beschouwd in het kader van een schoolcursus.

We kunnen dus een rationele ongelijkheid leren door naar de notatie ervan te kijken. Zowel aan de rechter- als aan de linkerkant moet het rationele uitdrukkingen hebben. Hier zijn enkele voorbeelden:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

En hier is een ongelijkheid van de vorm 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Alle rationele ongelijkheden zijn verdeeld in integer en fractioneel.
definitie 2
Een integer rationale gelijkheid bestaat uit integer rational expressies (in beide delen).
Definitie 3
Fractioneel rationele gelijkheid- dit is een gelijkheid die een fractionele uitdrukking bevat in een of beide delen.

Zo zijn ongelijkheden van de vorm 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 en 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 fractioneel rationeel en 0 .5 x 3 (2 − 5 jaar) en 1: x + 3 > 0- geheel.

We hebben geanalyseerd wat rationele ongelijkheden zijn en hun belangrijkste typen geïdentificeerd. We kunnen verder gaan met een overzicht van hoe ze op te lossen.

Stel dat we oplossingen moeten vinden voor een integere rationale ongelijkheid r(x)< s (x) , die slechts één variabele x bevat. Waarin r(x) en s(x) zijn alle gehele rationale getallen of uitdrukkingen, en het ongelijkheidsteken kan anders zijn. Om deze taak op te lossen, moeten we deze transformeren en een gelijkwaardige gelijkheid krijgen.

Laten we beginnen met het verplaatsen van de uitdrukking van rechts naar links. We krijgen het volgende:

van de vorm r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

We weten dat r(x) s(x) zal een geheel getal zijn en elke uitdrukking met een geheel getal kan worden geconverteerd naar een polynoom. Laten we transformeren r(x) s(x) in h(x) . Deze uitdrukking zal een identiek gelijk polynoom zijn. Aangezien r (x) − s (x) en h (x) hetzelfde bereik van mogelijke waarden van x hebben, kunnen we doorgaan naar de ongelijkheden h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , die gelijk zal zijn aan de originele.

Vaak zal zo'n eenvoudige transformatie voldoende zijn om de ongelijkheid op te lossen, aangezien het resultaat een lineaire of kwadratische ongelijkheid kan zijn waarvan de waarde niet moeilijk te berekenen is. Laten we eens kijken naar deze problemen.
voorbeeld 1
Voorwaarde: los een gehele rationale ongelijkheid op x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 + 1.

Oplossing

Laten we beginnen met het overbrengen van de uitdrukking van de rechterkant naar de linkerkant met het tegenovergestelde teken.

x (x + 3) + 2 x (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Nu we alle bewerkingen met polynomen aan de linkerkant hebben voltooid, kunnen we verder gaan met de lineaire ongelijkheid 3 x − 2 ≤ 0, gelijk aan wat werd gegeven in de voorwaarde. Het is eenvoudig op te lossen:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Antwoorden: x 2 3 .
Voorbeeld 2
Voorwaarde: een oplossing vinden voor de ongelijkheid (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Oplossing

We brengen de uitdrukking over van de linkerkant naar de rechterkant en voeren verdere transformaties uit met behulp van de verkorte vermenigvuldigingsformules.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Als resultaat van onze transformaties hebben we een ongelijkheid die waar is voor alle waarden van x, daarom kan elk reëel getal de oplossing zijn voor de oorspronkelijke ongelijkheid.

Antwoorden: elk reëel getal.
Voorbeeld 3
Voorwaarde: de ongelijkheid oplossen x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Oplossing

We zullen niets vanaf de rechterkant overzetten, aangezien er 0 is. Laten we meteen beginnen door de linkerkant om te zetten in een polynoom:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

We hebben een kwadratische ongelijkheid afgeleid die gelijk is aan de oorspronkelijke, die gemakkelijk op verschillende manieren kan worden opgelost. Laten we de grafische methode gebruiken.

Laten we beginnen met het berekenen van de wortels van de vierkante trinominaal − 2x 2 + 11x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x 2 \ u003d 6

Nu markeren we in het diagram alle benodigde nullen. Aangezien de leidende coëfficiënt kleiner is dan nul, zullen de takken van de parabool in de grafiek naar beneden kijken.

We hebben een paraboolgebied nodig dat zich boven de abscis-as bevindt, omdat we een > teken in de ongelijkheid hebben. Het gewenste interval is (− 0 , 5 , 6) daarom is dit waardenbereik de oplossing die we nodig hebben.

Antwoorden: (− 0 , 5 , 6) .

Er zijn ook meer gecompliceerde gevallen waarin links een polynoom van de derde of hogere graad wordt verkregen. Om een dergelijke ongelijkheid op te lossen, wordt aanbevolen om de intervalmethode te gebruiken. Eerst berekenen we alle wortels van de polynoom h(x), wat meestal wordt gedaan door een polynoom te ontbinden.
Voorbeeld 4
Voorwaarde: berekenen (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Oplossing

Laten we beginnen, zoals altijd, door de uitdrukking naar de linkerkant te verplaatsen, waarna het nodig is om de haakjes te openen en vergelijkbare termen te verminderen.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Als resultaat van de transformaties hebben we een gelijkheid gekregen die gelijk is aan de oorspronkelijke, met aan de linkerkant een polynoom van de derde graad. We passen de intervalmethode toe om het op te lossen.

Eerst berekenen we de wortels van de veelterm, waarvoor we de derdegraadsvergelijking moeten oplossen x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Heeft het rationele wortels? Ze kunnen alleen tot de delers van de vrije term behoren, d.w.z. onder getallen ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . We vervangen ze om de beurt in de oorspronkelijke vergelijking en ontdekken dat de getallen 1, 2 en 3 de wortels zullen zijn.

Dus de polynoom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kan worden omschreven als een product (x 1) (x 2) (x − 3), en ongelijkheid x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kan worden gepresenteerd als (x 1) (x 2) (x − 3)< 0 . Met zo'n ongelijkheid kunnen we dan makkelijker de tekens op de intervallen bepalen.

Vervolgens voeren we de overige stappen van de intervalmethode uit: teken een getallenlijn en punten daarop met coördinaten 1 , 2 , 3 . Ze verdelen de rechte lijn in 4 intervallen waarin het nodig is om de tekens te bepalen. We verduisteren de gaten met een minteken, aangezien de oorspronkelijke ongelijkheid het teken heeft < .

We hoeven alleen het kant-en-klare antwoord op te schrijven: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Antwoorden: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Voer in sommige gevallen de overgang uit van de ongelijkheid r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) tot h (x)< 0 (≤ , >, ) , waar h(x)– een polynoom hoger dan 2 is ongepast. Dit geldt ook voor gevallen waarin het gemakkelijker is om r(x) − s(x) weer te geven als een product van lineaire binomials en vierkante trinomialen dan om h(x) in afzonderlijke factoren te ontbinden. Laten we eens kijken naar dit probleem.
Voorbeeld 5
Voorwaarde: een oplossing vinden voor de ongelijkheid (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Oplossing

Deze ongelijkheid geldt voor gehele getallen. Als we de uitdrukking van de rechterkant naar links verplaatsen, de haakjes openen en de reductie van de termen uitvoeren, krijgen we x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Het oplossen van zo'n ongelijkheid is niet eenvoudig, aangezien je moet zoeken naar de wortels van een vierdegraads veelterm. Het heeft geen rationele wortel (bijvoorbeeld 1 , − 1 , 19 of − 19 passen niet), en het is moeilijk om naar andere wortels te zoeken. We kunnen deze methode dus niet gebruiken.

Maar er zijn ook andere oplossingen. Als we de uitdrukkingen van de rechterkant van de oorspronkelijke ongelijkheid naar de linkerkant verplaatsen, kunnen we de haakjes plaatsen van de gemene deler x 2 − 2 x 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

We hebben een ongelijkheid verkregen die gelijk is aan de oorspronkelijke, en de oplossing ervan zal ons het vereiste antwoord geven. Zoek de nullen van de uitdrukking aan de linkerkant, waarvoor we de kwadratische vergelijkingen oplossen x 2 − 2 x − 1 = 0 en x 2 − 2 x − 19 = 0. Hun wortels zijn 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . We gaan naar de gelijkheid x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , die kan worden opgelost met de intervalmethode:

Volgens de afbeelding is het antwoord - , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + .

Antwoorden: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

We voegen eraan toe dat het soms niet mogelijk is om alle wortels van een polynoom te vinden h(x) daarom kunnen we het niet voorstellen als een product van lineaire binomials en vierkante trinomialen. Los dan een ongelijkheid op van de vorm h (x)< 0 (≤ , >, ) kunnen we niet, daarom is het ook onmogelijk om de oorspronkelijke rationele ongelijkheid op te lossen.

Stel dat we fractioneel rationale ongelijkheden van de vorm r (x) moeten oplossen< s (x) (≤ , >, ≥) , waarbij r (x) en s(x) zijn rationele uitdrukkingen, x is een variabele. Ten minste één van de opgegeven uitdrukkingen zal fractioneel zijn. Het oplossingsalgoritme is in dit geval als volgt:
1. We bepalen het bereik van acceptabele waarden voor de variabele x .
2. We verplaatsen de uitdrukking van de rechterkant van de ongelijkheid naar links, en de resulterende uitdrukking r(x) s(x) weergegeven als een breuk. Ondertussen, waar? p(x) en q(x) zullen gehele uitdrukkingen zijn die producten zijn van lineaire binomials, onontbindbare vierkante trinomialen en machten met natuurlijke exponenten.
3. Vervolgens lossen we de resulterende ongelijkheid op met de intervalmethode.
4. De laatste stap is om de tijdens de oplossing verkregen punten uit te sluiten van het bereik van acceptabele waarden voor de x-variabele die we aan het begin hebben gedefinieerd.
Dit is het algoritme voor het oplossen van een fractioneel rationele ongelijkheid. Het meeste is duidelijk, kleine uitleg is alleen nodig voor paragraaf 2. We hebben de uitdrukking van de rechterkant naar links verplaatst en kregen r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , en hoe je het naar de vorm p (x) q (x) brengt< 0 (≤ , > , ≥) ?

Eerst bepalen we of een bepaalde transformatie altijd kan worden uitgevoerd. Theoretisch is er altijd een dergelijke mogelijkheid, aangezien elke rationele uitdrukking kan worden omgezet in een rationele breuk. Hier hebben we een breuk met veeltermen in de teller en noemer. Denk aan de fundamentele stelling van de algebra en de stelling van Bezout en bepaal dat elke polynoom van de n-de graad die één variabele bevat, kan worden omgezet in een product van lineaire binomials. Daarom kunnen we de uitdrukking in theorie altijd op deze manier transformeren.

In de praktijk is het factoriseren van veeltermen vaak een behoorlijk moeilijke taak, vooral als de graad hoger is dan 4. Als we de uitbreiding niet kunnen uitvoeren, kunnen we deze ongelijkheid niet oplossen, maar dergelijke problemen worden meestal niet bestudeerd in het kader van de schoolcursus.

Vervolgens moeten we beslissen of de resulterende ongelijkheid p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) equivalent met betrekking tot r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) en naar de originele. De kans bestaat dat het ongelijk blijkt te zijn.

De gelijkwaardigheid van ongelijkheid zal worden gegarandeerd wanneer het bereik van aanvaardbare waarden p(x)q(x) komt overeen met het bereik van de uitdrukking r(x) s(x). Dan hoeft de laatste paragraaf van de instructies voor het oplossen van fractioneel rationele ongelijkheden niet te worden gevolgd.

Maar het bereik voor p(x)q(x) kan breder zijn dan r(x) s(x) bijvoorbeeld door breuken te verkleinen. Een voorbeeld zou gaan van x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 naar x x - 1 x + 3 . Of dit kan gebeuren bij het toevoegen van soortgelijke termen, bijvoorbeeld hier:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 tot 1 x + 3

Voor dergelijke gevallen wordt de laatste stap van het algoritme toegevoegd. Door het uit te voeren, verwijdert u de externe waarden van de variabele die ontstaan door de uitbreiding van het bereik van geldige waarden. Laten we een paar voorbeelden nemen om duidelijk te maken waar we het over hebben.
Voorbeeld 6
Voorwaarde: vind oplossingen voor de rationele gelijkheid x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

Oplossing

We handelen volgens het hierboven aangegeven algoritme. Eerst bepalen we het bereik van acceptabele waarden. In dit geval wordt het bepaald door het systeem van ongelijkheden x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , waarvan de oplossing de verzameling is (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Daarna moeten we het transformeren zodat het handig is om de intervalmethode toe te passen. Allereerst reduceren we algebraïsche breuken tot de kleinste gemene deler (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

We vouwen de uitdrukking in de teller samen door de formule van het kwadraat van de som toe te passen:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Het bereik van geldige waarden van de resulterende uitdrukking is (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . We zien dat het vergelijkbaar is met degene die werd gedefinieerd voor de oorspronkelijke gelijkheid. We concluderen dat de ongelijkheid x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 gelijk is aan de oorspronkelijke, wat betekent dat we de laatste stap van het algoritme niet nodig hebben.

We gebruiken de intervalmethode:

We zien de oplossing ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , die de oplossing zal zijn voor de oorspronkelijke rationale ongelijkheid x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Antwoorden: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Voorbeeld 7
Voorwaarde: bereken de oplossing x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Oplossing

Wij bepalen het gebied van toelaatbare waarden. In het geval van deze ongelijkheid is deze gelijk aan alle reële getallen behalve − 2 , − 1 , 0 en 1 .

We verplaatsen de uitdrukkingen van rechts naar links:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Gezien het resultaat schrijven we:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Voor de uitdrukking - 1 x - 1 is het bereik van geldige waarden de verzameling van alle reële getallen behalve één. We zien dat het bereik van waarden is uitgebreid: − 2 , − 1 en 0 . We moeten dus de laatste stap van het algoritme uitvoeren.

Aangezien we tot de ongelijkheid - 1 x - 1 > 0 zijn gekomen, kunnen we het equivalent ervan schrijven 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

We sluiten punten uit die niet zijn opgenomen in het bereik van acceptabele waarden van de oorspronkelijke gelijkheid. We moeten uitsluiten van (− ∞ , 1) de getallen − 2 , − 1 en 0 . Dus de oplossing van de rationele ongelijkheid x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 zijn de waarden (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Antwoorden: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Ter afsluiting geven we nog een voorbeeld van een probleem waarbij het uiteindelijke antwoord afhangt van het bereik van toelaatbare waarden.
Voorbeeld 8
Voorwaarde: vind de oplossing van de ongelijkheid 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0 .

Oplossing

Het gebied van toelaatbare waarden van de ongelijkheid gespecificeerd in de voorwaarde wordt bepaald door het systeem x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 0.

Dit systeem heeft geen oplossingen omdat:

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Dit betekent dat de oorspronkelijke gelijkheid 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 geen oplossing heeft, aangezien er geen waarden zijn van de variabele waarvoor het zou maken gevoel.

Antwoorden: er zijn geen oplossingen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

keer bekeken

VKontakte opslaan