Niet-negatief getal. Buitenschoolse les - cijfermodule Ongelijkheden oplossen
Als speciaal nummer heeft het geen teken.
Voorbeelden van het schrijven van getallen: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Het laatste cijfer heeft geen teken en is dus positief.
Merk op dat plus en min het teken voor getallen aangeven, maar niet voor letterlijke variabelen of algebraïsche uitdrukkingen. Bijvoorbeeld in formules het; a + b − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) de plus- en mintekens specificeren niet het teken van de uitdrukking waaraan ze voorafgaan, maar het teken van de rekenkundige bewerking, dus het teken van het resultaat kan van alles zijn, het wordt pas bepaald nadat de uitdrukking is geëvalueerd.
Naast rekenen wordt het begrip teken gebruikt in andere takken van de wiskunde, ook voor niet-numerieke wiskundige objecten (zie hieronder). Het concept van een teken is ook belangrijk in die takken van de natuurkunde waar fysieke grootheden worden verdeeld in twee klassen, voorwaardelijk positief en negatief genoemd - bijvoorbeeld elektrische ladingen, positieve en negatieve feedback, verschillende krachten van aantrekking en afstoting.
Cijferteken
Positieve en negatieve getallen
Nul krijgt geen teken toegewezen, dat wil zeggen + 0 (\displaystyle +0) en − 0 (\displaystyle -0) is hetzelfde getal in rekenkunde. In wiskundige analyse, de betekenis van symbolen + 0 (\displaystyle +0) en − 0 (\displaystyle -0) kan variëren, zie erover Negatieve en positieve nul; in de informatica kan de computercodering van twee nullen (integer-type) verschillen, zie directe code.
In verband met het bovenstaande worden nog enkele nuttige termen geïntroduceerd:
- Nummer niet-negatief als deze groter is dan of gelijk is aan nul.
- Nummer niet positief als het kleiner is dan of gelijk is aan nul.
- Positieve niet-nulgetallen en negatieve niet-nulgetallen worden soms (om te benadrukken dat ze niet-nul zijn) respectievelijk "strikt positief" en "strikt negatief" genoemd.
Dezelfde terminologie wordt soms gebruikt voor echte functies. De functie heet bijvoorbeeld positief als al zijn waarden positief zijn, niet-negatief, als al zijn waarden niet-negatief zijn, enz. Ze zeggen ook dat de functie positief/negatief is op een bepaald interval van zijn definitie..
Zie het artikel Vierkantswortel#Complexe getallen voor een voorbeeld van het gebruik van de functie.
Modulus (absolute waarde) van een getal
Als het nummer x (\displaystyle x) laat het teken vallen, de resulterende waarde wordt genoemd module of absolute waarde nummers x (\displaystyle x), het wordt aangeduid | x | . (\displaystyle |x|.) Voorbeelden: | 3 | = 3; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)
Voor alle reële getallen a , b (\displaystyle a,b) de volgende eigenschappen gelden.
Teken van niet-numerieke objecten
Hoek teken
De waarde van de hoek op het vlak wordt als positief beschouwd als deze tegen de klok in wordt gemeten, anders is deze negatief. Twee gevallen van rotatie worden op dezelfde manier geclassificeerd:
- rotatie op een vlak - rotatie met (-90°) is bijvoorbeeld met de klok mee;
- rotatie in de ruimte rond een georiënteerde as wordt in de regel als positief beschouwd als aan de "gimlet-regel" is voldaan, anders wordt deze als negatief beschouwd.
richting bord
In analytische meetkunde en natuurkunde worden vorderingen langs een bepaalde rechte lijn of kromme vaak voorwaardelijk verdeeld in positieve en negatieve. Een dergelijke indeling kan afhangen van de probleemstelling of van het gekozen assenstelsel. Bij het berekenen van bijvoorbeeld de lengte van een boog van een kromme, is het vaak handig om een minteken aan deze lengte toe te kennen in een van twee mogelijke richtingen.
Inloggen computer
| meest significante bit | |||||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | 127 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | 126 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | = | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | −1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | −2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | −127 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | −128 |
| Om het teken van een geheel getal weer te geven, gebruiken de meeste computers | |||||||||
Bestaande uit positieve (natuurlijke) getallen, negatieve getallen en nul.
Alle negatieve getallen, en alleen zij, zijn kleiner dan nul. Op de getallenas staan negatieve getallen links van nul. Voor hen, evenals voor positieve getallen, is een orderelatie gedefinieerd waarmee u het ene geheel getal met het andere kunt vergelijken.
Voor elk natuurlijk getal n er is één en slechts één negatief getal, aangeduid met -n, die een aanvulling vormt op n naar nul: n + (− n) = 0 . Beide nummers worden gebeld tegenovergestelde voor elkaar. Aftrekken van een geheel getal a is gelijk aan het toevoegen aan het tegenovergestelde: -a.
Eigenschappen van negatieve getallen
Negatieve getallen volgen bijna dezelfde regels als natuurlijke getallen, maar hebben enkele eigenaardigheden.
historisch overzicht
Literatuur
- Vygodsky M. Ya. Handboek elementaire wiskunde. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Glazer G.I. Geschiedenis van de wiskunde op school. - M.: Verlichting, 1964. - 376 p.
Links
Wikimedia Stichting. 2010 .
- Onzorgvuldig toebrengen van schade
- Neotropen
Kijk wat "niet-negatief getal" is in andere woordenboeken:
echt nummer- Een reëel of reëel getal is een wiskundige abstractie die is ontstaan uit de behoefte om de geometrische en fysieke grootheden van de wereld om ons heen te meten, evenals om bewerkingen uit te voeren zoals het extraheren van een wortel, het berekenen van logaritmen, het oplossen ... ... Wikipedia
meestal een klein niet-negatief geheel getal- Een coderingsgedeelte dat onbegrensde niet-negatieve gehele getallen vertegenwoordigt, maar waar kleine waarden vaker voorkomen (ITU T X.691). Onderwerpen… … Technisch vertalershandboek
ECHT NUMMER- reëel getal, positief getal, negatief getal of nul. Het concept van een aantal getallen is ontstaan door het concept van een rationaal getal uit te breiden. De behoefte aan deze uitbreiding is te wijten aan zowel het praktische gebruik van wiskunde in de uitdrukking ... ... Wiskundige Encyclopedie
Priemgetal- Een priemgetal is een natuurlijk getal dat precies twee verschillende natuurlijke delers heeft: één en zichzelf. Alle andere natuurlijke getallen, op één na, worden samengesteld genoemd. Alle natuurlijke getallen zijn dus groter dan één ... ... Wikipedia
natuurlijk nummer- ▲ geheel getal uitdrukkend, reëel, getal natuurlijk getal niet-negatief geheel getal; drukt het aantal afzonderlijke integer-objecten uit waarin l. aggregaten; geef het aantal reële integer-objecten aan; getal uitdrukking. vier... Ideografisch woordenboek van de Russische taal
Decimale- Een decimale breuk is een soort breuk, wat een manier is om reële getallen weer te geven in de vorm waarin de breuk teken: ofwel, of, een decimaalteken dat dient als scheidingsteken tussen de gehele en breukdelen van het getal ... ... Wikipedia Wikipedia
hoofd van ShMO
wiskundeleraren _______Kalashnikova Zh.YuMunicipal budgettaire onderwijsinstelling
"Secundaire school nr. 89"
Thematische toetsen in wiskunde voor 6e klassers
volgens het leerboek van I.I. Zubareva en A.G. Mordkovich
Samengesteld door: wiskundedocenten:
Kalashnikova Zhanna Yurievna
Stolbova Ludmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Inhoud
Test №1………………………………………………………………………………………….3-6
Test №2………………………………………………………………………………………….7-10
Test nr. 3………………………………………………………………………………………….11-14
Antwoorden…………………………………………………………………………………………..15
Test nr. 1 "Positieve en negatieve getallen"
Optie 1
Geef een negatief fractioneel getal op:
-165
38
-7.92
67Beschrijf de gebeurtenis "Het getal -5.5 is gemarkeerd op de coördinatenstraal"
geloofwaardig
Onmogelijk
Willekeurig
Welk van de vier getallen is het grootste?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Welk van de punten ligt op de coördinaatlijn rechts van het punt O (0)?
M(-4)
E(-15)
K(15)
D(-1,2)
's Nachts was de luchttemperatuur -5°C. Overdag was de thermometer al +3°C. Hoe is de luchttemperatuur veranderd?
Verhoogd met 8o
Verlaagd met 2o
Verhoogd met 2o
Verlaagd met 8o
Het punt x(-2) is gemarkeerd op de coördinaatlijn - het symmetriecentrum. Specificeer de coördinaten van de punten die op deze lijn liggen symmetrisch ten opzichte van het punt x.
(-1) en (1)
(-1) en (1)
(3) en (-3)
(0) en (-4)
Welke punten op de coördinaatlijn zijn niet symmetrisch ten opzichte van de oorsprong - punt O (0).
B(-5) en C(5)
D(0,5) en E(-0,5)
M(-3) en K(13)
A(18) en X(-18)
Wat is de som van de getallen 0,316 + 0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Bereken 25% van het getal 0,4.
0,1
0,001
10
100
Bereken het verschil tussen 9100 en 0,03
0,05
0,6
9,03
350Optie 2
Geef een negatief fractioneel getal op.
8,63
-1045
913-0,2
Beschrijf de gebeurtenis "Het nummer 7 is gemarkeerd op de coördinatenstraal."
Willekeurig
Onmogelijk
geloofwaardig
Welk nummer is het kleinst?
15,49
154,9
1,549
1549
Welk van de punten ligt op de coördinaatlijn links van het punt O(0).
A(-0,5)
OM 6)
M(0,5)
K(38)
Overdag gaf de thermometer +5°C aan en 's avonds -2°C. Hoe is de luchttemperatuur veranderd?
Verhoogd met 3o
Verlaagd met 7o
Verminderd met 3o
Verhoogd met 7o
Het symmetriecentrum is gemarkeerd op de coördinaatlijn - punt A (-3). Specificeer de coördinaten van de punten op deze lijn symmetrisch ten opzichte van punt A.
(-2) en (2)
(0) en (-5)
(-6) en (1)
(-1) en (-5)
Welke punten van de coördinaatlijn zijn niet symmetrisch ten opzichte van de oorsprong - punt O (0).
A(6) en B(-6)
С(12) en D(-2)
M(-1) en K(1)
X(-9) en Y(9)
Wat is de som van de getallen 0.237 en 0.3
0,24
3,237
0,537
0,267
Bereken 20% van het getal 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Bereken het verschil tussen 0,07 en 31001250,5
1
425Test #2. De absolute waarde van een getal. tegengestelde nummers.
Optie 1
Welk van de gegeven getallen heeft de kleinste modulus
-11
1013-4,196
-4,2
Geef de verkeerde gelijkheid op
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 De modulus van een niet-negatief getal is een niet-negatief getal. Is deze stelling waar.
Ja
Niet
Welk van deze getallen is het tegenovergestelde van -34? 43-43-3434 Wat is de waarde van de uitdrukking -(-m) als m = -15
+15
-15
Bereken de waarde van de uitdrukking: -2.5∙4--919
-10
1
-1
Los de vergelijking op: x=40-40
40
40 of -40
Welke gehele getallen bevinden zich op de coördinaatlijn tussen de getallen 2,75 en 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Is de ongelijkheid -30>-50 waar?
Niet
Specificeer alle gehele getallen x als x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Optie 2
Welk getal heeft de grootste modulus?
-0,6
-50,603
493550,530
Geef de verkeerde gelijkheid op
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325 Kan de absolute waarde van een negatief getal een negatief getal zijn?
Ja
Niet
Welk van deze getallen is het tegenovergestelde van 124?
-24
24
-124124Wat is de waarde van uitdrukking –(-k) als k = -9
-9
+9
Bereken de waarde van de uitdrukking: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
Los de vergelijking x=100100 . op
-100
100 of -100
Welke gehele getallen bevinden zich op de coördinaatlijn tussen de getallen 1 en - 4.5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Is de ongelijkheid -25 waar<-10?
Ja
Niet
Specificeer alle gehele getallen x als x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Testnummer 3. Nummervergelijking:
Optie 1
Welke van de ongelijkheden is onjuist?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Is het waar dat het getal 0 groter is dan elk negatief getal?
Ja
Niet
Het getal a is niet-negatief. Hoe schrijf je deze verklaring als een ongelijkheid?
a<0a≤0a≥0a>0Voer het grootste van de gegeven getallen in.
0,16
-3018-0,4
0,01
Voor welke natuurlijke waarden van x is de ongelijkheid x≤44, 3, 2
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Voor welke gehele waarden van y is de ongelijkheid y<-2?0
-1
0, -1, 1
Geen dergelijke waarden
Cijfers -6; -3,8; -115; 0.8 gelegen:
In aflopende volgorde
In oplopende volgorde
In een puinhoop
Op de radio werd een weersvoorspelling uitgezonden: de temperatuur daalt naar verwachting tot -20 °C. Beschrijf dit evenement:
Onmogelijk
geloofwaardig
Willekeurig
Optie 2
Welke van de ongelijkheden is juist?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Welk teken moet tussen de gegeven breuken worden geschreven om de ongelijkheid waar te maken?
-1315 -715<
>
=
Is het waar dat het getal 0 kleiner is dan een willekeurig negatief getal?
Ja
Niet
Het getal x is niet groter dan nul. Hoe schrijf je deze verklaring als een ongelijkheid?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Voor welke natuurwaarden van a is de ongelijkheid a≤3 waar? 1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Voor welke gehele waarden van m is de ongelijkheid m<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Geen dergelijke waarden
Nummers 1,2; -1,2; -427; -100 gelegen:
In een puinhoop
In oplopende volgorde
In aflopende volgorde
Punt A(5) is gemarkeerd op de coördinaatlijn. Een ander punt B was willekeurig gemarkeerd op deze lijn. De coördinaat bleek het nummer tegenover het nummer 5 te zijn. Beschrijf deze gebeurtenis.
Willekeurig
geloofwaardig
Onmogelijk
antwoorden
Proef #1 Proef #2
Nr. Optie 1 Optie 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nr. Optie 1 Optie 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Test #3
Nr. Optie 1 Optie 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3
Vandaag, vrienden, zal er geen snot en sentiment zijn. In plaats daarvan stuur ik je zonder verdere vragen de strijd in met een van de meest formidabele tegenstanders in de 8e-9e klas algebracursus.
Ja, je hebt alles goed begrepen: we hebben het over ongelijkheden met een modulus. We bekijken vier basistechnieken waarmee je ongeveer 90% van deze problemen leert oplossen. Hoe zit het met de overige 10%? Nou, we zullen er in een aparte les over praten. :)
Voordat ik echter trucs ga analyseren, wil ik twee feiten in herinnering brengen die u al moet weten. Anders loop je het risico de stof van de les van vandaag helemaal niet te begrijpen.
Wat je al moet weten
Captain Evidence laat als het ware doorschemeren dat om ongelijkheden met een modulus op te lossen, je twee dingen moet weten:
- Hoe worden ongelijkheden opgelost?
- Wat is een module.
Laten we beginnen met het tweede punt.
Moduledefinitie
Alles is hier eenvoudig. Er zijn twee definities: algebraïsch en grafisch. Laten we beginnen met de algebra:
Definitie. De module van het getal $x$ is ofwel het getal zelf, als het niet-negatief is, of het getal ertegenover, als de oorspronkelijke $x$ nog steeds negatief is.
Het is zo geschreven:
\[\links| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
In eenvoudige bewoordingen is de modulus "een getal zonder min". En het is in deze dualiteit (ergens hoef je niets te doen met het originele nummer, maar ergens moet je daar een minpuntje verwijderen) en alle moeilijkheid voor beginnende studenten ligt.
Er is ook een geometrische definitie. Het is ook handig om het te weten, maar we zullen er alleen naar verwijzen in complexe en enkele speciale gevallen, waar de geometrische benadering handiger is dan de algebraïsche (spoiler: niet vandaag).
Definitie. Laat het punt $a$ op de echte lijn staan. Dan de module $\left| x-a \right|$ is de afstand van het punt $x$ tot het punt $a$ op deze lijn.
Als je een afbeelding tekent, krijg je zoiets als dit:
Grafische module definitie Op de een of andere manier volgt de sleuteleigenschap onmiddellijk uit de definitie van de module: de modulus van een getal is altijd een niet-negatieve waarde. Dit feit zal een rode draad zijn die vandaag door ons hele verhaal loopt.
Oplossing van ongelijkheden. Afstandsmethode
Laten we het nu hebben over ongelijkheden. Het zijn er heel veel, maar het is nu onze taak om in ieder geval de eenvoudigste op te lossen. Die worden gereduceerd tot lineaire ongelijkheden, evenals tot de methode van intervallen.
Ik heb twee grote tutorials over dit onderwerp (trouwens, heel, heel nuttig - ik raad aan om te studeren):
- De intervalmethode voor ongelijkheden (bekijk vooral de video);
- Fractionele-rationele ongelijkheden is een zeer omvangrijke les, maar daarna heb je helemaal geen vragen meer.
Als je dit allemaal weet, als de zin "laten we van ongelijkheid naar vergelijking gaan" je niet vaag wilt doden tegen de muur, dan ben je klaar: welkom in de hel bij het hoofdonderwerp van de les. :)
1. Ongelijkheden van de vorm "Module kleiner dan functie"
Dit is een van de meest voorkomende taken met modules. Het is nodig om een ongelijkheid van de vorm op te lossen:
\[\links| f\right| \ltg\]
Alles kan fungeren als functies $f$ en $g$, maar meestal zijn het veeltermen. Voorbeelden van dergelijke ongelijkheden:
\[\begin(uitlijnen) & \links| 2x+3\rechts| \ltx+7; \\ & \links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts|+3\links(x+1 \rechts) \lt 0; \\ & \links| ((x)^(2))-2\links| x \rechts|-3 \rechts| \lt 2. \\\end(uitlijnen)\]
Ze worden allemaal letterlijk in één regel opgelost volgens het schema:
\[\links| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \rechts.\rechts)\]
Het is gemakkelijk te zien dat we de module wegdoen, maar in plaats daarvan krijgen we een dubbele ongelijkheid (of, wat hetzelfde is, een systeem van twee ongelijkheden). Maar deze overgang houdt absoluut rekening met alle mogelijke problemen: als het getal onder de module positief is, werkt de methode; als het negatief is, werkt het nog steeds; en zelfs met de meest ontoereikende functie in plaats van $f$ of $g$, zal de methode nog steeds werken.
Natuurlijk rijst de vraag: is het niet eenvoudiger? Helaas, dat kan niet. Dit is het hele punt van de module.
Maar genoeg van het filosoferen. Laten we een paar problemen oplossen:
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| 2x+3\rechts| \ltx+7\]
Oplossing. We hebben dus een klassieke ongelijkheid van de vorm "de module is kleiner dan" - er valt zelfs niets te transformeren. We werken volgens het algoritme:
\[\begin(uitlijnen) & \links| f\right| \lt g\Rechts -g \lt f \lt g; \\ & \links| 2x+3\rechts| \lt x+7\Pijl-rechts -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Haast je niet om de haakjes te openen die worden voorafgegaan door een "min": het is goed mogelijk dat je door de haast een beledigende fout maakt.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Het probleem is teruggebracht tot twee elementaire ongelijkheden. We noteren hun oplossingen op parallelle reële lijnen:
Kruispunt van velen
De kruising van deze sets zal het antwoord zijn.
Antwoord: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts|+3\links(x+1 \rechts) \lt 0\]
Oplossing. Deze taak is iets moeilijker. Om te beginnen isoleren we de module door de tweede term naar rechts te verplaatsen:
\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts| \lt -3\links(x+1 \rechts)\]
Uiteraard hebben we weer een ongelijkheid van de vorm "de module is minder", dus we ontdoen ons van de module volgens het reeds bekende algoritme:
\[-\links(-3\links(x+1 \rechts) \rechts) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\links(x+1 \rechts)\]
Let op: iemand zal zeggen dat ik een beetje een pervert ben met al die haakjes. Maar nogmaals, ik herinner je eraan dat ons belangrijkste doel is: de ongelijkheid correct oplossen en het antwoord krijgen. Later, als je alles wat in deze les wordt beschreven perfect onder de knie hebt, kun je jezelf naar believen verdraaien: haakjes openen, mintekens toevoegen, enz.
En om te beginnen schrappen we gewoon de dubbele min aan de linkerkant:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\links(x+1\rechts)\]
Laten we nu alle haakjes in de dubbele ongelijkheid openen:
Laten we verder gaan met dubbele ongelijkheid. Deze keer zullen de berekeningen serieuzer zijn:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(uitlijnen) \rechts.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rechts uitlijnen.\]
Beide ongelijkheden zijn vierkant en worden opgelost door de intervalmethode (daarom zeg ik: als je niet weet wat het is, kun je beter nog geen modules nemen). We gaan naar de vergelijking in de eerste ongelijkheid:
\[\begin(uitlijnen) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\links(x+5 \rechts)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(uitlijnen)\]
Zoals je kunt zien, bleek de uitvoer een onvolledige kwadratische vergelijking te zijn, die elementair wordt opgelost. Laten we nu de tweede ongelijkheid van het systeem behandelen. Daar moet je de stelling van Vieta toepassen:
\[\begin(uitlijnen) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \links(x-3 \rechts)\links(x+2 \rechts)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(uitlijnen)\]
We markeren de verkregen getallen op twee parallelle lijnen (gescheiden voor de eerste ongelijkheid en gescheiden voor de tweede):
Nogmaals, aangezien we een systeem van ongelijkheden oplossen, zijn we geïnteresseerd in het snijpunt van de gearceerde verzamelingen: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Dit is het antwoord.
Antwoord: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Ik denk dat na deze voorbeelden het oplossingsschema heel duidelijk is:
- Isoleer de module door alle andere termen naar de andere kant van de ongelijkheid te verplaatsen. We krijgen dus een ongelijkheid van de vorm $\left| f\right| \ltg$.
- Los deze ongelijkheid op door de module te verwijderen zoals hierboven beschreven. Op een gegeven moment zal het nodig zijn om van een dubbele ongelijkheid over te gaan naar een systeem van twee onafhankelijke uitdrukkingen, die elk al afzonderlijk kunnen worden opgelost.
- Ten slotte blijft het alleen over om de oplossingen van deze twee onafhankelijke uitdrukkingen te kruisen - en dat is alles, we zullen het definitieve antwoord krijgen.
Een soortgelijk algoritme bestaat voor ongelijkheden van het volgende type, wanneer de modulus groter is dan de functie. Er zijn echter een paar serieuze "maars". We zullen het nu hebben over deze "maars".
2. Ongelijkheden van de vorm "Module is groter dan functie"
Ze zien er zo uit:
\[\links| f\right| \gtg\]
Vergelijkbaar met de vorige? Het lijkt. Toch worden dergelijke taken op een heel andere manier opgelost. Formeel is het schema als volgt:
\[\links| f\right| \gt g\Rechterpijl \links[ \begin(uitlijnen) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(uitlijnen) \rechts.\]
Met andere woorden, we beschouwen twee gevallen:
- Eerst negeren we gewoon de module - we lossen de gebruikelijke ongelijkheid op;
- Dan openen we in feite de module met het minteken, en dan vermenigvuldigen we beide delen van de ongelijkheid met -1, met een teken.
In dit geval worden de opties gecombineerd met een vierkante haak, d.w.z. We hebben een combinatie van twee eisen.
Let nogmaals op: voor ons staat dus geen systeem, maar een aggregaat in het antwoord worden de sets gecombineerd, niet doorsneden. Dit is een fundamenteel verschil met de vorige paragraaf!
Over het algemeen hebben veel studenten veel verwarring met vakbonden en kruispunten, dus laten we dit probleem voor eens en voor altijd bekijken:
- "∪" is een aaneenschakelingsteken. In feite is dit een gestileerde letter "U", die vanuit de Engelse taal naar ons is gekomen en een afkorting is voor "Union", d.w.z. "Verenigingen".
- "∩" is het kruispuntbord. Deze onzin kwam nergens vandaan, maar verscheen gewoon als een oppositie tegen "∪".
Om het nog gemakkelijker te maken om te onthouden, voeg je gewoon benen toe aan deze borden om een bril te maken (beschuldig me nu niet van het promoten van drugsverslaving en alcoholisme: als je deze les serieus bestudeert, ben je al een drugsverslaafde):
Verschil tussen snijpunt en vereniging van verzamelingen Vertaald in het Russisch betekent dit het volgende: de unie (verzameling) bevat elementen uit beide sets, dus niet minder dan elk van hen; maar het snijpunt (systeem) bevat alleen die elementen die zowel in de eerste set als in de tweede zitten. Daarom is het snijpunt van verzamelingen nooit groter dan de bronverzamelingen.
Dus het is duidelijker geworden? Dat is geweldig. Laten we verder gaan met oefenen.
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| 3x+1 \rechts| \gt5-4x\]
Oplossing. Wij handelen volgens het schema:
\[\links| 3x+1 \rechts| \gt 5-4x\Rechterpijl \links[ \begin(uitlijnen) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\links(5-4x \rechts) \\\end(uitlijnen) \ Rechtsaf.\]
We lossen elke bevolkingsongelijkheid op:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
We markeren elke resulterende set op de getallenlijn en combineren ze vervolgens:
Vereniging van verzamelingen
Het antwoord is duidelijk $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Antwoord: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts| \gtx\]
Oplossing. We zullen? Nee, het is allemaal hetzelfde. We gaan van een ongelijkheid met een modulus naar een set van twee ongelijkheden:
\[\links| ((x)^(2))+2x-3 \rechts| \gt x\Rechts \links[ \begin(uitlijnen) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(uitlijnen) \right.\]
We lossen elke ongelijkheid op. Helaas zullen de wortels daar niet erg goed zijn:
\[\begin(uitlijnen) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(uitlijnen)\]
In de tweede ongelijkheid is er ook een beetje spel:
\[\begin(uitlijnen) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(uitlijnen)\]
Nu moeten we deze getallen op twee assen markeren - één as voor elke ongelijkheid. U moet de punten echter in de juiste volgorde markeren: hoe groter het getal, hoe verder het punt naar rechts verschuift.
En hier wachten we op een setup. Als alles duidelijk is met de getallen $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (de termen in de teller van de eerste breuk kleiner zijn dan de termen in de teller van de seconde , dus de som is ook kleiner), met de getallen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ er zullen ook geen problemen zijn (een positief getal is duidelijk negatiever), maar met het laatste paar is alles niet zo eenvoudig. Wat is groter: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ of $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? De rangschikking van punten op de getallenlijnen en, in feite, het antwoord zal afhangen van het antwoord op deze vraag.
Dus laten we vergelijken:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
We hebben de wortel geïsoleerd, hebben niet-negatieve getallen aan beide zijden van de ongelijkheid, dus we hebben het recht om beide zijden te kwadrateren:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Ik denk dat het een goed idee is dat $4\sqrt(13) \gt 3$, dus $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, uiteindelijk worden de punten op de assen als volgt gerangschikt:
Geval van lelijke wortels
Laat me je eraan herinneren dat we een verzameling aan het oplossen zijn, dus het antwoord zal de unie zijn, en niet het snijpunt van de gearceerde verzamelingen.
Antwoord: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Zoals u kunt zien, werkt ons schema geweldig, zowel voor eenvoudige taken als voor zeer moeilijke taken. De enige "zwakke plek" in deze benadering is dat je irrationele getallen correct moet vergelijken (en geloof me: dit zijn niet alleen wortels). Maar een aparte (en zeer serieuze les) zal worden gewijd aan vergelijkingsvragen. En we gaan verder.
3. Ongelijkheden met niet-negatieve "staarten"
Zo kwamen we bij de meest interessante. Dit zijn ongelijkheden van de vorm:
\[\links| f\right| \gt\links| g\rechts|\]
Over het algemeen geldt het algoritme waar we het nu over gaan hebben alleen voor de module. Het werkt in alle ongelijkheden waar links en rechts gegarandeerd niet-negatieve uitdrukkingen zijn:
Wat te doen met deze taken? Denk eraan:
In ongelijkheden met niet-negatieve staarten kunnen beide kanten worden verheven tot elke natuurlijke kracht. Er zullen geen extra beperkingen zijn.
Allereerst zijn we geïnteresseerd in kwadrateren - het verbrandt modules en wortels:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\links(\sqrt(f) \rechts))^(2))=f. \\\end(uitlijnen)\]
Verwar dit niet met het nemen van de wortel van het vierkant:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\links| f \right|\ne f\]
Er werden talloze fouten gemaakt wanneer een student vergat een module te installeren! Maar dit is een heel ander verhaal (dit zijn als het ware irrationele vergelijkingen), dus daar gaan we nu niet op in. Laten we beter een paar problemen oplossen:
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| x+2 \rechts|\ge \links| 1-2x \rechts|\]
Oplossing. We vallen meteen twee dingen op:
- Dit is een niet-strikte ongelijkheid. Punten op de getallenlijn worden uitgestanst.
- Beide zijden van de ongelijkheid zijn duidelijk niet-negatief (dit is een eigenschap van de module: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Daarom kunnen we beide zijden van de ongelijkheid kwadrateren om van de modulus af te komen en het probleem op te lossen met behulp van de gebruikelijke intervalmethode:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(uitlijnen)\]
Bij de laatste stap speelde ik een beetje vals: ik veranderde de volgorde van de termen met behulp van de pariteit van de modulus (in feite heb ik de uitdrukking $1-2x$ vermenigvuldigd met −1).
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ rechts)\rechts)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
We lossen op met de intervalmethode. Laten we van ongelijkheid naar vergelijking gaan:
\[\begin(uitlijnen) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(uitlijnen)\]
We markeren de gevonden wortels op de getallenlijn. Nogmaals: alle punten zijn gearceerd omdat de oorspronkelijke ongelijkheid niet strikt is!
Het moduleteken verwijderen
Laat me je eraan herinneren voor de bijzonder koppige: we nemen de tekens van de laatste ongelijkheid, die werd opgeschreven voordat we verder gingen met de vergelijking. En we schilderen over de gebieden die nodig zijn in dezelfde ongelijkheid. In ons geval is dit $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Oké, het is nu allemaal voorbij. Probleem opgelost.
Antwoord: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| ((x)^(2))+x+1 \rechts|\le \links| ((x)^(2))+3x+4 \rechts|\]
Oplossing. We doen alles hetzelfde. Ik zal geen commentaar geven - kijk maar naar de volgorde van acties.
Laten we het vierkant maken:
\[\begin(uitlijnen) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \rechts| \rechts))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \rechts))^(2)); \\ & ((\links(((x)^(2))+x+1 \rechts))^(2))-((\links(((x)^(2))+3x+4 \ rechts))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Afstand methode:
\[\begin(uitlijnen) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Pijl naar rechts x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(uitlijnen)\]
Er is maar één wortel op de getallenlijn:
Het antwoord is een hele reeks
Antwoord: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Een kleine opmerking over de laatste taak. Zoals een van mijn studenten nauwkeurig opmerkte, zijn beide submodule-uitdrukkingen in deze ongelijkheid duidelijk positief, dus het modulusteken kan worden weggelaten zonder schade aan de gezondheid.
Maar dit is al een heel ander niveau van denken en een andere benadering - het kan voorwaardelijk de methode van consequenties worden genoemd. Over hem - in een aparte les. En laten we nu verder gaan met het laatste deel van de les van vandaag en een universeel algoritme overwegen dat altijd werkt. Zelfs toen alle eerdere benaderingen machteloos waren. :)
4. Methode voor het opsommen van opties
Wat als al deze trucs niet werken? Als de ongelijkheid niet terugloopt tot niet-negatieve staarten, als het onmogelijk is om de module te isoleren, of helemaal niet, pijn-verdriet-verlangen?
Dan komt de "zware artillerie" van alle wiskunde op het toneel - de opsommingsmethode. Met betrekking tot ongelijkheden met de modulus ziet het er als volgt uit:
- Schrijf alle submodule-expressies op en stel ze gelijk aan nul;
- Los de resulterende vergelijkingen op en markeer de gevonden wortels op één getallenlijn;
- De rechte lijn wordt opgedeeld in verschillende secties, waarbinnen elke module een vast teken heeft en dus eenduidig uitbreidt;
- Los de ongelijkheid op elk van deze secties op (u kunt afzonderlijk de grenswortels bekijken die in paragraaf 2 zijn verkregen - voor betrouwbaarheid). Combineer de resultaten - dit is het antwoord. :)
Wel hoe? Zwak? Gemakkelijk! Alleen voor een lange tijd. Laten we eens kijken in de praktijk:
Een taak. Los de ongelijkheid op:
\[\links| x+2 \rechts| \lt\links| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Oplossing. Deze onzin komt niet neer op ongelijkheden zoals $\left| f\right| \lt g$, $\links| f\right| \gt g$ of $\left| f\right| \lt\links| g \right|$, dus laten we doorgaan.
We schrijven submodule-expressies uit, stellen ze gelijk aan nul en vinden de wortels:
\[\begin(uitlijnen) & x+2=0\Pijl naar rechts x=-2; \\ & x-1=0\Pijl naar rechts x=1. \\\end(uitlijnen)\]
In totaal hebben we twee wortels die de getallenlijn in drie secties verdelen, waarbinnen elke module uniek wordt onthuld:
De getallenlijn splitsen door nullen van submodulaire functies
Laten we elke sectie afzonderlijk bekijken.
1. Laat $x \lt -2$. Dan zijn beide submodule-expressies negatief en wordt de oorspronkelijke ongelijkheid als volgt herschreven:
\[\begin(uitlijnen) & -\links(x+2 \rechts) \lt -\links(x-1 \rechts)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
We hebben een vrij eenvoudige beperking. Laten we het kruisen met de oorspronkelijke aanname dat $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rechterpijl x\in \varnothing \]
Het is duidelijk dat de variabele $x$ niet tegelijkertijd kleiner dan −2 maar groter dan 1.5 kan zijn. Er zijn geen oplossingen op dit gebied.
1.1. Laten we het grensgeval afzonderlijk bekijken: $x=-2$. Laten we dit getal gewoon vervangen door de oorspronkelijke ongelijkheid en controleren: klopt het?
\[\begin(uitlijnen) & ((\links. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \links| -3 \rechts|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(uitlijnen)\]
Het is duidelijk dat de reeks berekeningen ons tot de verkeerde ongelijkheid heeft geleid. Daarom is de oorspronkelijke ongelijkheid ook onwaar en is $x=-2$ niet opgenomen in het antwoord.
2. Laat nu $-2 \lt x \lt 1$. De linker module zal al openen met een "plus", maar de rechter is nog steeds met een "min". Wij hebben:
\[\begin(uitlijnen) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(uitlijnen)\]
Opnieuw kruisen we met de oorspronkelijke eis:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
En nogmaals, de lege verzameling oplossingen, aangezien er geen getallen zijn die zowel kleiner dan −2,5 als groter dan −2 zijn.
2.1. En weer een speciaal geval: $x=1$. We vervangen in de oorspronkelijke ongelijkheid:
\[\begin(uitlijnen) & ((\links. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \links| 3\rechts| \lt\links| 0 \rechts|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(uitlijnen)\]
Net als bij het vorige "speciale geval", is het getal $x=1$ duidelijk niet opgenomen in het antwoord.
3. Het laatste stuk van de regel: $x \gt 1$. Hier zijn alle modules uitgebreid met een plusteken:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
En opnieuw snijden we de gevonden reeks met de oorspronkelijke beperking:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rechterpijl x\in \left(4,5;+\infty \Rechtsaf)\]
Eindelijk! We hebben het interval gevonden, wat het antwoord zal zijn.
Antwoord: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Tot slot nog een opmerking die je kan behoeden voor domme fouten bij het oplossen van echte problemen:
Oplossingen van ongelijkheden met modules zijn meestal continue sets op de getallenlijn - intervallen en segmenten. Geïsoleerde punten zijn veel zeldzamer. En nog zeldzamer komt het voor dat de grenzen van de oplossing (het einde van het segment) samenvallen met de grens van het betreffende bereik.
Als de grenzen (diezelfde "speciale gevallen") dus niet in het antwoord worden opgenomen, zullen de gebieden links-rechts van deze grenzen vrijwel zeker ook niet in het antwoord worden opgenomen. En vice versa: de grens die wordt ingevoerd als reactie, wat betekent dat sommige gebieden eromheen ook reacties zullen zijn.
Houd hier rekening mee wanneer u uw oplossingen controleert.
modulo nummer dit getal zelf wordt genoemd als het niet-negatief is, of hetzelfde getal met het tegenovergestelde teken als het negatief is.
De modulus van 5 is bijvoorbeeld 5 en de modulus van -5 is ook 5.
Dat wil zeggen, de modulus van een getal wordt opgevat als een absolute waarde, de absolute waarde van dit getal zonder rekening te houden met het teken ervan.
Aangeduid als volgt: |5|, | X|, |a| enz.
regel:
Uitleg :
|5| = 5
Het leest als volgt: de modulus van het getal 5 is 5.
|–5| = –(–5) = 5
Het leest als volgt: de modulus van het getal -5 is 5.
|0| = 0
Het leest als volgt: de modulus van nul is nul.
Module-eigenschappen:
1) De modulus van een getal is een niet-negatief getal: |a| ≥ 0 2) Modules van tegengestelde getallen zijn gelijk: |a| = |–a| 3) Het kwadraat van de modulus van een getal is gelijk aan het kwadraat van dit getal: |a| 2 = a2 4) De module van het product van getallen is gelijk aan het product van de modules van deze getallen: |a · b| = |a| · | b| 6) De module van privénummers is gelijk aan de verhouding van de modules van deze nummers: |a : b| = |a| : |b| 7) De module van de som van getallen is kleiner dan of gelijk aan de som van hun modules: |a + b| ≤ |a| + |b| 8) De module van het verschil in getallen is kleiner dan of gelijk aan de som van hun modules: |a – b| ≤ |a| + |b| 9) De module van de som / het verschil van getallen is groter dan of gelijk aan de module van het verschil tussen hun modules: |a ± b| ≥ ||a| – |b|| 10) Een constante positieve factor kan uit het moduleteken worden gehaald: |m · a| = m · | a|, m >0 11) De graad van een getal kan uit het moduleteken worden gehaald: |a k | = | a| k als een k bestaat 12) Als | a| = |b|, dan a = ± b |
De geometrische betekenis van de module.
De modulus van een getal is de afstand van nul tot dat getal.
Laten we bijvoorbeeld weer het getal 5 nemen.De afstand van 0 tot 5 is hetzelfde als van 0 tot -5 (Fig. 1). En als het voor ons belangrijk is om alleen de lengte van het segment te kennen, dan heeft het teken niet alleen geen betekenis, maar ook geen betekenis. Het is echter niet helemaal waar: we meten de afstand alleen met positieve getallen - of niet-negatieve getallen. Laat de deelwaarde van onze schaal 1 cm zijn, dan is de lengte van het segment van nul tot 5 5 cm, van nul tot -5 is ook 5 cm.
In de praktijk wordt de afstand vaak niet alleen vanaf nul gemeten - elk getal kan een referentiepunt zijn (Fig. 2). Maar de essentie hiervan verandert niet. Registratie van de vorm |a – b| drukt de afstand tussen punten uit a en b op de getallenlijn.
Voorbeeld 1 . Los vergelijking | . op X – 1| = 3.
Oplossing .
De betekenis van de vergelijking is dat de afstand tussen de punten X en 1 is gelijk aan 3 (Fig. 2). Daarom tellen we vanaf punt 1 drie divisies naar links en drie divisies naar rechts - en we zien duidelijk beide waarden X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
Wij kunnen rekenen.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
Antwoorden : X 1 = –2; X 2 = 4.
Voorbeeld 2 . Zoek de modulus van een uitdrukking:
Oplossing .
Laten we eerst kijken of de uitdrukking positief of negatief is. Om dit te doen, transformeren we de uitdrukking zodat deze uit homogene getallen bestaat. Laten we niet zoeken naar de wortel van 5 - het is best moeilijk. Laten we het makkelijker doen: we verheffen 3 en 10 tot de wortel. Dan vergelijken we de grootte van de getallen die het verschil uitmaken:
3 = √9. Daarom, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
We zien dat het eerste getal kleiner is dan het tweede. Dit betekent dat de uitdrukking negatief is, dat wil zeggen dat het antwoord kleiner is dan nul:
3√5 – 10 < 0.
Maar volgens de regel is de modulus van een negatief getal hetzelfde getal met het tegenovergestelde teken. We hebben een negatieve uitdrukking. Daarom is het noodzakelijk om het teken in het tegenovergestelde te veranderen. Het tegenovergestelde van 3√5 - 10 is -(3√5 - 10). Laten we de haakjes erin openen - en we krijgen het antwoord:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Antwoorden .
