Giải hệ phương trình như thế nào? Các phương pháp giải hệ phương trình. Quy tắc giải phương trình đơn giản
Giải phương trình bằng phân số Hãy xem xét các ví dụ. Các ví dụ rất đơn giản và minh họa. Với sự giúp đỡ của họ, bạn sẽ có thể hiểu một cách dễ hiểu nhất.
Ví dụ, bạn cần giải phương trình đơn giản x/b + c = d.
Phương trình loại này được gọi là tuyến tính, vì Mẫu số chỉ chứa số.
Lời giải được thực hiện bằng cách nhân cả hai vế của phương trình với b, sau đó phương trình có dạng x = b*(d – c), tức là mẫu số của phân số ở vế trái triệt tiêu.
Ví dụ: cách giải phương trình phân số:
x/5+4=9
Chúng tôi nhân cả hai bên với 5. Chúng tôi nhận được:
x+20=45
x=45-20=25
Một ví dụ khác khi ẩn số nằm trong mẫu số:
Các phương trình loại này được gọi là phân số hợp lý hoặc đơn giản là phân số.
Chúng ta sẽ giải phương trình phân số bằng cách loại bỏ các phân số, sau đó phương trình này thường biến thành phương trình tuyến tính hoặc phương trình bậc hai, có thể giải được theo cách thông thường. Bạn chỉ cần xem xét các điểm sau:
- giá trị của biến làm mẫu số về 0 không thể là nghiệm;
- Bạn không thể chia hoặc nhân một phương trình với biểu thức = 0.
Đây là nơi khái niệm về vùng giá trị cho phép (ADV) có hiệu lực - đây là các giá trị gốc của phương trình mà phương trình có ý nghĩa.
Vì vậy, khi giải phương trình, cần phải tìm nghiệm, sau đó kiểm tra xem chúng có tuân thủ ODZ không. Những gốc không tương ứng với ODZ của chúng tôi sẽ bị loại khỏi câu trả lời.
Ví dụ: bạn cần giải một phương trình phân số:
Dựa trên quy tắc trên, x không thể = 0, tức là ODZ trong trường hợp này: x – bất kỳ giá trị nào khác 0.
Chúng ta loại bỏ mẫu số bằng cách nhân tất cả các số hạng của phương trình với x
Và chúng ta giải phương trình thông thường
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Đáp án: x = 1/3
Hãy giải một phương trình phức tạp hơn:
ODZ cũng có mặt ở đây: x -2.
Khi giải phương trình này, chúng ta sẽ không dịch chuyển mọi thứ sang một bên và đưa các phân số về mẫu số chung. Chúng ta sẽ ngay lập tức nhân cả hai vế của phương trình với một biểu thức sẽ triệt tiêu tất cả các mẫu số cùng một lúc.
Để rút gọn mẫu số, bạn cần nhân vế trái với x+2 và vế phải với 2. Điều này có nghĩa là cả hai vế của phương trình phải được nhân với 2(x+2):
Đây là phép nhân phân số phổ biến nhất mà chúng ta đã thảo luận ở trên.
Hãy viết cùng một phương trình, nhưng hơi khác một chút
Vế trái giảm đi (x+2) và vế phải giảm đi 2. Sau khi giảm đi, chúng ta thu được phương trình tuyến tính thông thường:
x = 4 – 2 = 2, tương ứng với ODZ của chúng tôi
Đáp án: x = 2.
Giải phương trình bằng phân số không khó như nó có vẻ. Trong bài viết này, chúng tôi đã chỉ ra điều này bằng các ví dụ. Nếu bạn có bất kỳ khó khăn nào với cách giải phương trình với phân số, sau đó hủy đăng ký nhận xét.
Dịch vụ giải phương trình trực tuyến sẽ giúp bạn giải bất kỳ phương trình nào. Sử dụng trang web của chúng tôi, bạn không chỉ nhận được đáp án của phương trình mà còn có thể xem được giải pháp chi tiết, nghĩa là hiển thị từng bước của quá trình đạt được kết quả. Dịch vụ của chúng tôi sẽ hữu ích cho học sinh trung học và phụ huynh của các em. Học sinh sẽ có thể chuẩn bị cho các bài kiểm tra và bài kiểm tra, kiểm tra kiến thức của mình và phụ huynh sẽ có thể theo dõi việc giải các phương trình toán học của con mình. - Khả năng giải phương trình yêu cầu bắt buộc tới học sinh. Dịch vụ này sẽ giúp bạn tự học và nâng cao kiến thức trong lĩnh vực phương trình toán học. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể giải bất kỳ phương trình nào: bậc hai, bậc ba, vô tỉ, lượng giác, v.v. dịch vụ trực tuyến và là vô giá vì ngoài đáp án đúng, bạn còn nhận được lời giải chi tiết cho từng phương trình. Lợi ích của việc giải phương trình trực tuyến. Bạn có thể giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào trên trang web của chúng tôi hoàn toàn miễn phí. Dịch vụ này hoàn toàn tự động, bạn không phải cài đặt bất cứ thứ gì trên máy tính, bạn chỉ cần nhập dữ liệu và chương trình sẽ đưa ra giải pháp cho bạn. Bất kỳ lỗi nào trong tính toán hoặc lỗi chính tả đều được loại trừ. Với chúng tôi, việc giải bất kỳ phương trình trực tuyến nào đều rất dễ dàng, vì vậy hãy nhớ sử dụng trang web của chúng tôi để giải bất kỳ loại phương trình nào. Bạn chỉ cần nhập dữ liệu và việc tính toán sẽ được hoàn thành sau vài giây. Chương trình hoạt động độc lập, không có sự can thiệp của con người và bạn nhận được câu trả lời chính xác và chi tiết. Giải phương trình trong nhìn chung. Trong phương trình như vậy, các hệ số thay đổi và nghiệm mong muốn có mối liên hệ với nhau. Công suất cao nhất của một biến xác định thứ tự của phương trình đó. Dựa vào đó, để sử dụng các phương trình Các phương pháp khác nhau và các định lý để tìm lời giải. Giải phương trình thuộc loại này có nghĩa là tìm các nghiệm cần thiết ở dạng tổng quát. Dịch vụ của chúng tôi cho phép bạn giải trực tuyến ngay cả phương trình đại số phức tạp nhất. Bạn có thể nhận được như thế quyết định chung phương trình và thương số của các giá trị số của các hệ số bạn đã chỉ định. Để giải một phương trình đại số trên trang web, chỉ cần điền đúng hai trường: vế trái và vế phải của phương trình đã cho là đủ. Các phương trình đại số với các hệ số thay đổi có vô số nghiệm và bằng cách đặt ra các điều kiện nhất định, các phương trình từng phần được chọn từ tập nghiệm. Phương trình bậc hai. Phương trình bậc hai có dạng ax^2+bx+c=0 với a>0. Giải phương trình nhìn vuông vức ngụ ý tìm các giá trị của x mà tại đó đẳng thức ax^2+bx+c=0 giữ. Để làm điều này, hãy tìm giá trị phân biệt bằng công thức D=b^2-4ac. Nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì phương trình không có nghiệm thực (các nghiệm này lấy từ trường số phức), nếu nó bằng 0 thì phương trình có một nghiệm thực và nếu biệt thức lớn hơn 0 , thì phương trình có hai nghiệm thực, được tìm thấy theo công thức: D = -b+-sqrt/2a. Để giải phương trình bậc hai trực tuyến, bạn chỉ cần nhập các hệ số của phương trình đó (số nguyên, phân số hoặc giá trị thập phân). Nếu trong phương trình có dấu trừ thì phải đặt dấu trừ trước số hạng tương ứng của phương trình. Bạn có thể giải phương trình bậc hai trực tuyến tùy thuộc vào tham số, tức là các biến trong hệ số của phương trình. Dịch vụ trực tuyến của chúng tôi để tìm giải pháp chung có thể đáp ứng tốt nhiệm vụ này. Các phương trình tuyến tính. Để giải phương trình tuyến tính (hoặc hệ phương trình), bốn phương pháp chính được sử dụng trong thực tế. Chúng tôi sẽ mô tả chi tiết từng phương pháp. Phương pháp thay thế. Việc giải phương trình bằng phương pháp thế đòi hỏi phải biểu diễn một biến theo các biến khác. Sau đó, biểu thức được thay thế vào các phương trình khác của hệ. Do đó tên của phương pháp giải, tức là thay vì một biến, biểu thức của nó được thay thế thông qua các biến còn lại. Trong thực tế, phương pháp này yêu cầu các phép tính phức tạp, mặc dù dễ hiểu nhưng việc giải phương trình như vậy trực tuyến sẽ giúp tiết kiệm thời gian và tính toán dễ dàng hơn. Bạn chỉ cần cho biết số ẩn số trong phương trình và điền dữ liệu từ phương trình tuyến tính vào, sau đó dịch vụ sẽ thực hiện phép tính. Phương pháp Gauss. Phương pháp này dựa trên các phép biến đổi đơn giản nhất của hệ để đạt được hệ tam giác tương đương. Từ đó, những ẩn số lần lượt được xác định. Trong thực tế, cần phải giải phương trình như vậy trực tuyến bằng miêu tả cụ thể, nhờ đó bạn sẽ hiểu rõ về phương pháp Gaussian để giải hệ phương trình tuyến tính. Viết hệ phương trình tuyến tính theo đúng dạng và tính đến số ẩn số để giải chính xác hệ phương trình. Phương pháp Cramer. Phương pháp này giải hệ phương trình trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Hoạt động toán học chính ở đây là tính toán các định thức ma trận. Việc giải phương trình bằng phương pháp Cramer được thực hiện trực tuyến, bạn sẽ nhận được kết quả ngay lập tức kèm theo mô tả đầy đủ và chi tiết. Chỉ cần điền vào hệ thống các hệ số và chọn số lượng biến chưa biết là đủ. Phương pháp ma trận. Phương pháp này bao gồm việc thu thập các hệ số của ẩn số trong ma trận A, ẩn số ở cột X và các số hạng tự do ở cột B. Như vậy, hệ phương trình tuyến tính được rút gọn về phương trình ma trận có dạng AxX = B. Phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất nếu định thức của ma trận A khác 0, nếu không thì hệ không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Giải phương trình bằng phương pháp ma trận bao gồm việc tìm ma trận nghịch đảo A.
Hãy phân tích hai loại nghiệm của hệ phương trình:
1. Giải hệ bằng phương pháp thay thế.
2. Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ.
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Thể hiện. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng tôi thể hiện một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào một phương trình khác thay vì biến được biểu thị.
3. Giải phương trình thu được với một biến. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Để giải quyết hệ thống bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng cần phải:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo các hệ số giống hệt nhau.
2. Chúng ta cộng hoặc trừ các phương trình, thu được phương trình có một biến.
3. Giải phương trình tuyến tính thu được. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Lời giải của hệ thống là giao điểm của đồ thị hàm số.
Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.
Ví dụ 1:
Hãy giải bằng phương pháp thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế2x+5y=1 (1 phương trình)
x-10y=3 (phương trình thứ 2)
1. Thể hiện
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x có hệ số bằng 1, nghĩa là dễ dàng biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai.
x=3+10y
2.Sau khi biểu thị xong, chúng ta thay 3+10y vào phương trình đầu tiên thay cho biến x.
2(3+10y)+5y=1
3. Giải phương trình thu được với một biến.
2(3+10y)+5y=1 (mở ngoặc)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Lời giải của hệ phương trình là các giao điểm của đồ thị, do đó chúng ta cần tìm x và y, vì giao điểm bao gồm x và y. Hãy tìm x, trong đoạn đầu tiên chúng ta biểu thị nó, chúng ta thay thế y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Theo thông lệ, người ta viết điểm ở vị trí đầu tiên là biến x và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)
Ví dụ #2:
Hãy giải bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng3x-2y=1 (1 phương trình)
2x-3y=-10 (phương trình thứ 2)
1. Chúng ta chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng ta nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trừ số thứ hai khỏi phương trình đầu tiên để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Tìm x. Chúng ta thay thế y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử vào phương trình đầu tiên.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Giao điểm sẽ là x=4,6; y=6,4
Trả lời: (4.6; 6.4)
Bạn có muốn chuẩn bị cho kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến miễn phí. Không đua đâu.
phương trình
Làm thế nào để giải phương trình?
Trong phần này chúng ta sẽ nhớ lại (hoặc nghiên cứu, tùy thuộc vào người bạn chọn) những phương trình cơ bản nhất. Vậy phương trình là gì? Về mặt con người, đây là một loại biểu thức toán học, trong đó có dấu bằng và ẩn số. Thường được biểu thị bằng chữ cái "X". Giải phương trình- đây là tìm các giá trị như vậy của x mà khi thay thế vào nguyên bản biểu thức sẽ cho chúng ta danh tính chính xác. Hãy để tôi nhắc bạn rằng danh tính là một biểu thức không thể nghi ngờ ngay cả đối với một người hoàn toàn không bị gánh nặng về kiến thức toán học. Như 2=2, 0=0, ab=ab, v.v. Vậy làm thế nào để giải phương trình? Hãy tìm ra nó.
Có đủ loại phương trình (tôi ngạc nhiên phải không?). Nhưng tất cả sự đa dạng vô hạn của chúng chỉ có thể được chia thành bốn loại.
4. Khác.)
Tất nhiên, tất cả những thứ còn lại, hầu hết, vâng...) Điều này bao gồm khối lập phương, hàm mũ, logarit, lượng giác và tất cả các loại khác. Chúng tôi sẽ hợp tác chặt chẽ với họ trong các phần thích hợp.
Tôi sẽ nói ngay rằng đôi khi các phương trình đầu tiên ba loại họ sẽ lừa dối bạn đến mức bạn thậm chí không nhận ra họ... Không có gì. Chúng ta sẽ học cách thư giãn chúng.
Và tại sao chúng ta cần bốn loại này? Và rồi chuyện gì xảy ra Các phương trình tuyến tính giải quyết một cách quảng trường người khác, số hữu tỉ phân số - thứ ba, MỘT nghỉ ngơi Họ không dám chút nào! Chà, không phải là họ không thể quyết định gì cả, mà là tôi đã sai về toán học.) Chỉ là họ có những kỹ thuật và phương pháp đặc biệt của riêng mình.
Nhưng đối với bất kỳ (tôi nhắc lại - đối với bất kì!) phương trình cung cấp cơ sở đáng tin cậy và an toàn để giải. Hoạt động ở mọi nơi và luôn luôn. Kem nền này - Nghe có vẻ đáng sợ nhưng lại rất đơn giản. Và rất (Rất!) quan trọng.
Trên thực tế, nghiệm của phương trình bao gồm chính những phép biến đổi này. 99% Trả lời câu hỏi: " Làm thế nào để giải phương trình?" nằm chính xác trong những phép biến đổi này. Gợi ý có rõ ràng không?)
Các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình.
TRONG bất kỳ phương trình nàoĐể tìm ẩn số, bạn cần chuyển đổi và đơn giản hóa ví dụ ban đầu. Và do đó khi thay đổi vẻ bề ngoài bản chất của phương trình không thay đổi. Những phép biến đổi như vậy được gọi là giống hệt nhau hoặc tương đương.
Lưu ý rằng những phép biến đổi này áp dụng cụ thể đối với các phương trình. Ngoài ra còn có các phép biến đổi nhận dạng trong toán học biểu thức.Đây là một chủ đề khác.
Bây giờ chúng ta sẽ lặp lại tất cả, tất cả, tất cả cơ bản các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình.
Cơ bản vì chúng có thể được áp dụng cho bất kì phương trình - tuyến tính, bậc hai, phân số, lượng giác, hàm mũ, logarit, v.v. và như thế.
Chuyển đổi danh tính đầu tiên: bạn có thể cộng (trừ) cả hai vế của bất kỳ phương trình nào bất kì(nhưng là một và giống nhau!) số hoặc biểu thức (bao gồm cả biểu thức có ẩn số!). Điều này không làm thay đổi bản chất của phương trình.
Nhân tiện, bạn liên tục sử dụng phép biến đổi này, bạn chỉ nghĩ rằng bạn đang chuyển một số số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với sự thay đổi dấu. Kiểu:
Trường hợp này rất quen thuộc, chúng ta di chuyển cả hai sang bên phải và chúng ta nhận được:
Thực ra bạn bị lấy đi từ cả hai vế của phương trình là hai. Kết quả là như nhau:
x+2 - 2 = 3 - 2
Di chuyển các thuật ngữ sang trái và phải bằng cách thay đổi dấu chỉ đơn giản là phiên bản rút gọn của phép chuyển đổi nhận dạng đầu tiên. Và tại sao chúng ta lại cần kiến thức sâu sắc như vậy? - bạn hỏi. Không có gì trong các phương trình. Vì Chúa, hãy chịu đựng đi. Chỉ cần đừng quên thay đổi dấu hiệu. Nhưng trong bất bình đẳng, thói quen chuyển dịch có thể dẫn tới ngõ cụt...
Chuyển đổi danh tính thứ hai: cả hai vế của phương trình có thể được nhân (chia) cho cùng một thứ khác không số hoặc biểu thức. Ở đây đã xuất hiện một hạn chế dễ hiểu: nhân với 0 là ngu ngốc và hoàn toàn không thể chia được. Đây là phép biến đổi bạn sử dụng khi giải quyết một điều gì đó hay ho như
Rõ ràng X= 2. Bạn tìm thấy nó bằng cách nào? Bằng cách lựa chọn? Hay nó chỉ mới chợt nhận ra bạn? Để không lựa chọn và không chờ đợi sự hiểu biết sâu sắc, bạn cần hiểu rằng bạn chỉ là chia cả hai vế của phương trình cho 5. Khi chia vế trái (5x), năm số bị giảm đi, để lại X thuần túy. Đó chính xác là những gì chúng tôi cần. Và khi chia vế phải của (10) cho 5 thì kết quả tất nhiên là hai.
Đó là tất cả.
Thật buồn cười, nhưng hai (chỉ hai!) phép biến đổi giống hệt nhau này lại là cơ sở của lời giải mọi phương trình toán học.Ồ! Sẽ rất hợp lý khi xem xét các ví dụ về cái gì và như thế nào, phải không?)
Ví dụ về các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Vẫn đề chính.
Hãy bắt đầu với Đầu tiên chuyển đổi nhận dạng. Chuyển trái phải.
Một ví dụ cho những người trẻ tuổi.)
Giả sử chúng ta cần giải phương trình sau:
3-2x=5-3x
Chúng ta hãy nhớ câu thần chú: "có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải!" Câu thần chú này là hướng dẫn cách sử dụng phép biến đổi danh tính đầu tiên.) Biểu thức nào có dấu X ở bên phải? 3x? Câu trả lời là sai! Ở bên phải của chúng tôi - 3x! Dấu trừ ba x! Vì vậy, khi di chuyển sang trái, dấu sẽ đổi thành dấu cộng. Nó sẽ bật ra:
3-2x+3x=5
Vì vậy, những chữ X đã được thu thập thành một đống. Hãy đi vào những con số. Có số ba ở bên trái. Với dấu hiệu gì? Câu trả lời “không có” không được chấp nhận!) Thực sự, trước mặt ba người, không có gì được rút ra. Và điều này có nghĩa là trước ba cái đó có thêm. Vì thế các nhà toán học đã đồng ý. Không có gì được viết, có nghĩa là thêm. Vì vậy, bộ ba sẽ được chuyển sang vế phải với một điểm trừ. Chúng tôi nhận được:
-2x+3x=5-3
Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Ở bên trái - mang những cái tương tự, ở bên phải - đếm. Câu trả lời đến ngay lập tức:
Trong ví dụ này, một lần chuyển đổi danh tính là đủ. Cái thứ hai là không cần thiết. Ờ, được thôi.)
Một ví dụ cho trẻ lớn hơn.)
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.