Cách trừ một số nguyên từ một phân số không đúng. Cộng phân số

Phân số là số bình thường và cũng có thể được cộng và trừ. Nhưng do thực tế là chúng chứa mẫu số, nhiều hơn quy tắc phức tạp hơn đối với số nguyên.

Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất khi có hai phân số có cùng mẫu số. Sau đó:

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Để trừ các phân số có cùng mẫu số, bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và một lần nữa giữ nguyên mẫu số.

Trong mỗi biểu thức, mẫu số của các phân số bằng nhau. Theo định nghĩa cộng trừ phân số ta có:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp cả: chúng ta chỉ cần cộng hoặc trừ các tử số và thế là xong.

Nhưng ngay cả trong những hành động đơn giản như vậy, con người vẫn có thể mắc sai lầm. Điều thường bị lãng quên nhất là mẫu số không thay đổi. Ví dụ, khi thêm chúng, chúng cũng bắt đầu cộng lại và điều này về cơ bản là sai.

Thoát khỏi thói quen xấu Việc cộng các mẫu số khá đơn giản. Hãy thử điều tương tự khi trừ. Kết quả là mẫu số sẽ bằng 0 và phân số sẽ (đột ngột!) mất đi ý nghĩa.

Vì vậy, hãy nhớ một lần và mãi mãi: khi cộng và trừ, mẫu số không thay đổi!

Nhiều người cũng mắc lỗi khi cộng nhiều phân số âm. Có sự nhầm lẫn về các dấu hiệu: chỗ nào ghi dấu trừ và chỗ nào ghi dấu cộng.

Vấn đề này cũng rất dễ giải quyết. Chỉ cần nhớ rằng dấu trừ trước dấu của phân số luôn có thể được chuyển sang tử số - và ngược lại. Và tất nhiên, đừng quên hai quy tắc đơn giản:

1. Cộng với trừ cho ra trừ;
2. Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Hãy phá vỡ tất cả ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, mọi thứ đều đơn giản, nhưng trong trường hợp thứ hai, hãy thêm dấu trừ vào tử số của phân số:

Phải làm gì nếu mẫu số khác nhau

Cộng trực tiếp các phân số với mẫu số khác nhau nó bị cấm. Ít nhất, phương pháp này tôi chưa biết. Tuy nhiên, các phân số ban đầu luôn có thể được viết lại sao cho mẫu số giống nhau.

Có nhiều cách để chuyển đổi phân số. Ba trong số chúng sẽ được thảo luận trong bài học “Giảm phân số về mẫu số chung”, vì vậy chúng ta sẽ không tập trung vào chúng ở đây. Hãy xem xét một số ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi giảm các phân số về mẫu số chung bằng phương pháp "chéo". Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ tìm kiếm NOC. Lưu ý rằng 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Các thừa số cuối cùng trong các khai triển này bằng nhau và các thừa số đầu tiên là nguyên tố cùng nhau. Do đó, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Phải làm gì nếu một phân số có phần nguyên

Tôi có thể làm hài lòng bạn: các mẫu số khác nhau trong phân số không phải là tội ác lớn nhất. Nhiều lỗi xảy ra hơn khi toàn bộ phần được đánh dấu trong các phân số bổ sung.

Tất nhiên, có các thuật toán cộng và trừ riêng cho các phân số như vậy, nhưng chúng khá phức tạp và cần nghiên cứu lâu dài. sử dụng tốt hơn sơ đồ đơn giản, cho dưới đây:

1. Chuyển đổi tất cả các phân số chứa phần nguyên thành phần không chính xác. Chúng tôi thu được các số hạng thông thường (thậm chí với các mẫu số khác nhau), được tính theo các quy tắc đã thảo luận ở trên;
2. Trên thực tế, hãy tính tổng hoặc hiệu của các phân số thu được. Kết quả là chúng ta sẽ tìm được câu trả lời một cách thực tế;
3. Nếu đây là tất cả những gì được yêu cầu trong bài toán, chúng ta thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, tức là Chúng tôi loại bỏ một phần không chính xác bằng cách làm nổi bật toàn bộ phần.

Các quy tắc chuyển sang phân số không chính xác và tô màu toàn bộ phần được mô tả chi tiết trong bài “Phân số là gì”. Nếu bạn không nhớ, hãy nhớ lặp lại nó. Ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Mẫu số bên trong mỗi biểu thức đều bằng nhau, vì vậy tất cả những gì còn lại là chuyển đổi tất cả các phân số thành phân số không chính xác và đếm. Chúng ta có:

Để đơn giản hóa việc tính toán, tôi đã bỏ qua một số bước rõ ràng trong các ví dụ trước.

Một lưu ý nhỏ ở hai ví dụ cuối, trong đó các phân số có phần được đánh dấu sẽ bị trừ Toàn bộ phần. Dấu trừ trước phân số thứ hai có nghĩa là toàn bộ phân số bị trừ chứ không chỉ toàn bộ phần của nó.

Đọc lại câu này một lần nữa, xem các ví dụ - và suy nghĩ về nó. Đây là nơi mà người mới bắt đầu mắc rất nhiều sai lầm. Họ thích giao những nhiệm vụ như vậy cho kiểm tra. Bạn cũng sẽ gặp chúng nhiều lần trong các bài kiểm tra của bài học này, bài học này sẽ sớm được xuất bản.

Tóm tắt: sơ đồ tính toán chung

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra một thuật toán chung giúp bạn tìm tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều phân số:

1. Nếu một hoặc nhiều phân số có phần nguyên, hãy chuyển các phân số này thành phân số không chính xác;
2. Đưa tất cả các phân số về một mẫu số chung theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho bạn (tất nhiên trừ khi người viết bài đã làm điều này);
3. Cộng hoặc trừ các số thu được theo quy tắc cộng, trừ các phân số cùng mẫu số;
4. Nếu có thể, hãy rút ngắn kết quả. Nếu phân số sai thì chọn toàn bộ phần đó.

Hãy nhớ rằng tốt hơn hết bạn nên đánh dấu toàn bộ phần ở cuối bài, ngay trước khi viết ra câu trả lời.

Phân số hỗn hợp, giống như phân số đơn giản, có thể được trừ. Mang đi hỗn số phân số bạn cần biết một số quy tắc trừ. Hãy nghiên cứu các quy tắc này bằng các ví dụ.

Phép trừ các phân số có cùng mẫu số.

Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện số nguyên bị giảm và phần phân số lần lượt lớn hơn phần nguyên và phần phân số bị trừ. Trong những điều kiện như vậy, phép trừ xảy ra riêng biệt. Chúng tôi trừ toàn bộ phần từ toàn bộ phần, và phần phân đoạn từ phân số.

Hãy xem một ví dụ:

Trừ các phân số hỗn hợp \(5\frac(3)(7)\) và \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ phân đoạn(2)(7)\)

Tính đúng đắn của phép trừ được kiểm tra bằng phép cộng. Hãy kiểm tra phép trừ:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ phân đoạn(3)(7)\)

Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện khi phần phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số tương ứng của số bị trừ. Trong trường hợp này, chúng ta mượn một từ tổng thể trong phần rút gọn.

Hãy xem một ví dụ:

Trừ các phân số hỗn hợp \(6\frac(1)(4)\) và \(3\frac(3)(4)\).

Số trừ \(6\frac(1)(4)\) có phần phân số nhỏ hơn phần phân số của phần phụ \(3\frac(3)(4)\). Tức là, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Ví dụ tiếp theo:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Trừ một hỗn số từ một số nguyên.

Ví dụ: \(3-1\frac(2)(5)\)

Số trừ 3 không có phần phân số nên không thể trừ ngay được. Hãy mượn một phần của toàn bộ 3 rồi thực hiện phép trừ. Chúng ta sẽ viết đơn vị là \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Phép trừ các phân số khác mẫu số.

Hãy xem xét một ví dụ với điều kiện là phần phân số của số bị trừ và số bị trừ có mẫu số khác nhau. Bạn cần đưa nó về mẫu số chung, sau đó thực hiện phép trừ.

Trừ hai phân số hỗn hợp có mẫu số khác nhau \(2\frac(2)(3)\) và \(1\frac(1)(4)\).

Mẫu số chung sẽ là số 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Câu hỏi liên quan:
Làm thế nào để trừ các phân số hỗn hợp? Làm thế nào để giải các phân số hỗn hợp?
Trả lời: bạn cần quyết định loại biểu thức thuộc về loại nào và áp dụng thuật toán giải dựa trên loại biểu thức đó. Từ phần nguyên chúng ta trừ số nguyên, từ phần phân số chúng ta trừ phần phân số.

Làm thế nào để trừ một phân số từ một số nguyên? Làm thế nào để trừ một phân số từ một số nguyên?
Trả lời: bạn cần lấy đơn vị từ một số nguyên và viết đơn vị này dưới dạng phân số

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

rồi trừ toàn bộ khỏi tổng thể, trừ phần phân số khỏi phần phân số. Ví dụ:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Ví dụ 1:
Trừ một phân số thích hợp khỏi một: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Giải pháp:
a) Hãy tưởng tượng một phân số có mẫu số 33. Chúng ta nhận được \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Hãy tưởng tượng một phân số có mẫu số là 7. Chúng ta nhận được \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Ví dụ #2:
Trừ một hỗn số từ một số nguyên: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Giải pháp:
a) Hãy mượn 21 đơn vị của số nguyên và viết nó như thế này \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Hãy lấy một từ số nguyên 2 và viết nó như thế này \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Ví dụ #3:
Trừ một số nguyên từ một hỗn số: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Ví dụ #4:
Trừ một phân số thích hợp từ một phân số hỗn hợp: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Ví dụ #5:
Tính \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(red) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21 )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(căn chỉnh)\)

Trong bài viết chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải phân số bằng những ví dụ đơn giản, dễ hiểu. Hãy cùng tìm hiểu phân số là gì và xem xét giải phân số!

Ý tưởng phân sốđược đưa vào giảng dạy môn toán bắt đầu từ lớp 6 trung học cơ sở.

Phân số có dạng: ±X/Y, trong đó Y là mẫu số, cho biết toàn bộ được chia thành bao nhiêu phần và X là tử số, cho biết có bao nhiêu phần như vậy đã được lấy. Để rõ ràng, hãy lấy một ví dụ với một chiếc bánh:

Trong trường hợp đầu tiên, chiếc bánh được cắt bằng nhau và lấy một nửa, tức là. 1/2. Trong trường hợp thứ hai, chiếc bánh được cắt thành 7 phần, trong đó có 4 phần được lấy, tức là. 4/7.

Nếu phần chia của một số cho một số khác không phải là số nguyên thì nó được viết dưới dạng phân số.

Ví dụ: biểu thức 4:2 = 2 cho một số nguyên, nhưng 4:7 không chia hết cho một số nguyên, vì vậy biểu thức này được viết dưới dạng phân số 4/7.

Nói cách khác phân số là một biểu thức biểu thị phép chia của hai số hoặc biểu thức và được viết bằng dấu gạch chéo phân số.

Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó là phân số đúng, nếu ngược lại thì đó là phân số không đúng. Một phân số có thể chứa một số nguyên.

Ví dụ: 5 toàn bộ 3/4.

Mục này có nghĩa là để có được toàn bộ 6, thiếu một phần của bốn.

Nếu bạn muốn nhớ, cách giải phân số lớp 6, bạn cần hiểu rằng giải phân số về cơ bản là hiểu được một số điều đơn giản.

• Một phân số về cơ bản là một biểu thức của một phân số. Đó là, một biểu thức số của phần nào là giá trị đã cho từ một tổng thể. Ví dụ: phân số 3/5 biểu thị rằng nếu chúng ta chia một số nguyên thành 5 phần và số phần hoặc phần của tổng thể này là ba.
• Phân số có thể nhỏ hơn 1, ví dụ 1/2 (hoặc về cơ bản là một nửa), thì phân số đó đúng. Nếu phân số lớn hơn 1, ví dụ 3/2 (ba nửa hoặc một rưỡi) thì sai và để đơn giản hóa lời giải, tốt hơn chúng ta nên chọn cả phần 3/2 = 1 toàn 1 /2.
• Phân số là những số giống như 1, 3, 10 và thậm chí 100, chỉ khác là các số không phải là số nguyên mà là phân số. Bạn có thể thực hiện tất cả các thao tác tương tự với chúng như với các con số. Việc đếm phân số không còn khó khăn nữa và chúng tôi sẽ trình bày thêm điều này bằng các ví dụ cụ thể.

Cách giải phân số. Ví dụ.

Có rất nhiều phép tính số học có thể áp dụng cho phân số.

Quy đổi một phân số về mẫu số chung

Ví dụ: bạn cần so sánh các phân số 3/4 và 4/5.

Để giải quyết vấn đề, trước tiên chúng ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất, tức là số nhỏ nhất chia hết cho mỗi mẫu số của phân số mà không để lại phần dư

Mẫu số chung nhỏ nhất(4.5) = 20

Khi đó mẫu số của cả hai phân số được rút gọn về mẫu số chung nhỏ nhất

Đáp án: 20/15

Cộng và trừ các phân số

Nếu cần tính tổng của hai phân số thì trước tiên chúng đưa về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số, còn mẫu số không đổi. Sự khác biệt giữa các phân số được tính theo cùng một cách, điểm khác biệt duy nhất là các tử số bị trừ.

Ví dụ: bạn cần tìm tổng của các phân số 1/2 và 1/3

Bây giờ chúng ta hãy tìm sự khác biệt giữa các phân số 1/2 và 1/4

Nhân và chia phân số

Ở đây giải phân số không khó, ở đây mọi thứ khá đơn giản:

• Phép nhân - tử số và mẫu số của phân số được nhân với nhau;
• Phép chia - đầu tiên chúng ta lấy phân số nghịch đảo của phân số thứ hai, tức là Chúng ta hoán đổi tử số và mẫu số của nó, sau đó chúng ta nhân các phân số thu được.

Ví dụ:

Đó là về nó cách giải phân số, Tất cả. Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giải phân số, nếu có điều gì chưa rõ, hãy viết bình luận và chúng tôi chắc chắn sẽ trả lời bạn.

Nếu bạn là giáo viên, bạn có thể tải xuống bài thuyết trình để trường tiểu học(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matemaike.html) sẽ có ích cho bạn.

Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea đã xây dựng nên những câu aporia nổi tiếng của mình, trong đó nổi tiếng nhất là câu aporia “Achilles và Rùa”. Đây là âm thanh của nó:

Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.

Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Họ đều coi lời ngụy biện của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay; cộng đồng khoa học vẫn chưa thể đi đến thống nhất về bản chất của nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp vật lý và triết học mới đã tham gia vào nghiên cứu vấn đề này ; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu hành vi lừa dối đó bao gồm những gì.

Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học sử dụng các đơn vị đo lường thay đổi vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, điều này trông giống như thời gian chậm lại cho đến khi nó dừng lại hoàn toàn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.

Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.

Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Giữ nguyên đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang đơn vị nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:

Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.

Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.

Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:

Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.

Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định một ô tô có chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm những khoảnh khắc khác nhau thời gian nhưng không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách đến một ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian tại một thời điểm, nhưng từ chúng, bạn không thể xác định được thực tế chuyển động (tất nhiên, bạn vẫn cần thêm dữ liệu để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn ). Điều tôi muốn chỉ ra Đặc biệt chú ý, đó là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.

Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018

Sự khác biệt giữa bộ và nhiều bộ được mô tả rất rõ trên Wikipedia. Hãy xem nào.

Như bạn có thể thấy, “không thể có hai phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp”, nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp thì tập hợp đó được gọi là “multiset”. Những sinh vật có lý trí sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là trình độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, những kẻ không có trí thông minh từ chữ “hoàn toàn”. Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng cho chúng ta những ý tưởng ngớ ngẩn của họ.

Ngày xửa ngày xưa, những người kỹ sư xây dựng cây cầu đang ở trên một chiếc thuyền dưới cầu để thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng thì người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.

Cho dù các nhà toán học có ẩn náu đằng sau cụm từ “nhớ tôi, tôi đang ở trong nhà” hay đúng hơn là “toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng” thì vẫn có một sợi dây rốn kết nối chúng với thực tế một cách chặt chẽ. Dây rốn này là tiền. Chúng ta hãy áp dụng lý thuyết tập hợp toán học cho chính các nhà toán học.

Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở quầy tính tiền, phát lương. Vì vậy, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó trên bàn của chúng tôi thành các chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt các tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi chồng tiền và đưa cho nhà toán học “bảng lương toán học” của anh ta. Hãy để chúng tôi giải thích cho nhà toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được số tiền còn lại khi anh ta chứng minh được rằng một tập hợp không có các phần tử giống nhau thì không bằng một tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi vui vẻ bắt đầu.

Trước hết, logic của các cấp phó sẽ phát huy tác dụng: “Điều này có thể áp dụng cho người khác, nhưng với tôi thì không!” Sau đó, họ sẽ bắt đầu trấn an chúng ta rằng các tờ tiền cùng mệnh giá có số tờ tiền khác nhau, nghĩa là chúng không thể được coi là những thành phần giống nhau. Được rồi, hãy đếm tiền lương bằng tiền xu - không có con số nào trên đồng tiền cả. Ở đây nhà toán học sẽ bắt đầu nhớ lại vật lý một cách điên cuồng: trên các đồng tiền khác nhau có số lượng khác nhau bụi bẩn, cấu trúc tinh thể và sự sắp xếp nguyên tử của mỗi đồng tiền là duy nhất...

Và bây giờ tôi có câu hỏi thú vị nhất: đâu là ranh giới mà các phần tử của nhiều tập hợp biến thành các phần tử của tập hợp và ngược lại? Đường lối như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học thậm chí còn chưa thể nằm ở đây.

Nhìn đây. Chúng tôi chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường giống nhau - có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu nhìn vào tên của những sân vận động này, chúng ta sẽ thấy rất nhiều vì tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là tập hợp vừa là tập hợp nhiều tập hợp. Cái nào đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-người sắc bén rút ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một bộ hoặc một bộ nhiều. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.

Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có "có thể tưởng tượng được như không phải một tổng thể" hay "không thể tưởng tượng được như một tổng thể duy nhất".

Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018

Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với một chiếc tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng, trong các bài học toán, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng đó là lý do tại sao họ là pháp sư, để dạy cho con cháu những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì pháp sư sẽ chết.

Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức toán học nào có thể được sử dụng để tìm tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Suy cho cùng, những con số là ký hiệu đồ họa, với sự trợ giúp của nó, chúng tôi viết các số và bằng ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ này có vẻ như sau: “Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào”. Các nhà toán học không thể giải được bài toán này nhưng các pháp sư lại có thể làm được một cách dễ dàng.

Chúng ta hãy tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số cho trước. Và vì vậy, chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.

1. Viết số đó lên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu số đồ họa. Đây không phải là một hoạt động toán học.

2. Chúng tôi cắt một hình ảnh thu được thành nhiều hình ảnh chứa các số riêng lẻ. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.

3. Chuyển đổi các ký hiệu đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.

4. Cộng các số có kết quả. Bây giờ đây là toán học.

Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là những “khóa học cắt may” do các pháp sư dạy mà các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.

Từ quan điểm toán học, việc chúng ta viết số theo hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong hệ thống khác nhau Trong phép tính, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số dưới bên phải của số. Với con số lớn 12345, tôi không muốn đánh lừa mình nữa, hãy xem xét con số 26 trong bài viết về. Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi; chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.

Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Tương tự như khi bạn xác định diện tích hình chữ nhật theo mét và cm, bạn sẽ nhận được kết quả hoàn toàn khác.

Số 0 trông giống nhau trong mọi hệ thống số và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế đó. Câu hỏi dành cho các nhà toán học: làm thế nào mà một thứ không phải là một con số được chỉ định trong toán học? Cái gì, đối với các nhà toán học thì không có gì tồn tại ngoại trừ những con số? Tôi có thể cho phép điều này xảy ra với các pháp sư, nhưng với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.

Kết quả thu được phải được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của số. Suy cho cùng, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.

Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một phép toán không phụ thuộc vào kích thước của số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động này.

Ký tên vào cửa Anh mở cửa và nói:

Ồ! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
- Người phụ nữ trẻ tuổi! Đây là phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô song của các linh hồn trong quá trình họ thăng thiên! Halo trên đầu và mũi tên lên. WC gì nữa?

Nữ... Quầng sáng trên và mũi tên xuống là nam.

Nếu một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy hiện lên trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,

Vậy thì không có gì đáng ngạc nhiên khi bạn bất ngờ tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:

Cá nhân tôi cố gắng nhìn ra âm bốn độ ở một người đang đi ị (một bức ảnh) (sự kết hợp của một số bức ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không nghĩ cô gái này là một kẻ ngốc không biết vật lý. Cô ấy chỉ có khuôn mẫu mạnh mẽ về cảm nhận hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.

1A không phải là “âm bốn độ” hay “một a”. Đây là "người đàn ông đi ị" hoặc số "hai mươi sáu" theo ký hiệu thập lục phân. Những người thường xuyên làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động nhận biết một con số và một chữ cái dưới dạng một ký hiệu đồ họa.

Các hành động với phân số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ, mọi thứ một cách chi tiết kèm theo lời giải thích. Chúng tôi sẽ xem xét phân số chung. Chúng ta sẽ xem xét số thập phân sau. Tôi khuyên bạn nên xem toàn bộ và nghiên cứu nó một cách tuần tự.

1. Tổng các phân số, hiệu của các phân số.

Quy tắc: khi cộng các phân số có mẫu số bằng nhau thì kết quả là một phân số - mẫu số của nó giữ nguyên và tử số của nó sẽ bằng tổng các tử số của các phân số đó.

Quy tắc: Khi tính hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, ta thu được một phân số - mẫu số giữ nguyên và tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất.

Ký hiệu chính thức cho tổng và hiệu của các phân số có mẫu số bằng nhau:

Ví dụ (1):

Rõ ràng là khi đưa ra các phân số thông thường thì mọi thứ đều đơn giản, nhưng nếu chúng trộn lẫn với nhau thì sao? Không có gì phức tạp ...

lựa chọn 1– bạn có thể chuyển đổi chúng thành những cái bình thường và sau đó tính toán chúng.

Lựa chọn 2– bạn có thể “làm việc” riêng biệt với phần nguyên và phần phân số.

Ví dụ (2):

Hơn:

Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu của hai phân số hỗn hợp và tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai? Bạn cũng có thể hành động theo hai cách.

Ví dụ (3):

*Chuyển đổi thành phân số thông thường, tính chênh lệch, chuyển đổi phân số thu được thành phân số hỗn hợp.

*Chúng tôi chia nó thành các phần nguyên và phần phân số, nhận được 3, sau đó trình bày 3 dưới dạng tổng của 2 và 1, với một được biểu thị là 11/11, sau đó tìm sự khác biệt giữa 11/11 và 7/11 và tính kết quả . Ý nghĩa của các phép biến đổi trên là lấy (chọn) một đơn vị và biểu diễn nó dưới dạng một phân số với mẫu số mà chúng ta cần, sau đó chúng ta có thể trừ một phân số khác từ phân số này.

Một vi dụ khac:

Kết luận: có một cách tiếp cận phổ quát - để tính tổng (chênh lệch) của các phân số hỗn hợp có mẫu số bằng nhau, chúng luôn có thể được chuyển đổi thành các phân số không chính xác, sau đó thực hiện hành động cần thiết. Sau đó, nếu kết quả là một phân số không chính xác, chúng ta chuyển nó thành một phân số hỗn hợp.

Ở trên chúng ta đã xem xét các ví dụ về phân số có mẫu số bằng nhau. Nếu mẫu số khác nhau thì sao? Trong trường hợp này, các phân số được giảm về cùng mẫu số và hành động đã chỉ định được thực hiện. Để thay đổi (biến đổi) một phân số, tính chất cơ bản của phân số được sử dụng.

Hãy xem xét các ví dụ đơn giản:

Trong những ví dụ này, chúng ta thấy ngay cách biến đổi một trong các phân số để có mẫu số bằng nhau.

Nếu chúng ta chỉ định các cách giảm phân số về cùng mẫu số thì chúng ta sẽ gọi đây là cách PHƯƠNG PHÁP MỘT.

Nghĩa là, ngay khi “đánh giá” một phân số, bạn cần tìm hiểu xem cách tiếp cận này có hiệu quả hay không - chúng tôi kiểm tra xem mẫu số lớn hơn có chia hết cho mẫu số nhỏ hơn hay không. Và nếu nó chia hết thì chúng ta thực hiện một phép biến đổi - chúng ta nhân tử số và mẫu số sao cho mẫu số của cả hai phân số đều bằng nhau.

Bây giờ hãy xem những ví dụ sau:

Cách tiếp cận này không thể áp dụng cho họ. Cũng có nhiều cách để rút gọn phân số về mẫu số chung; hãy xem xét chúng.

Phương pháp HAI.

Chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất:

*Trên thực tế, chúng ta rút gọn các phân số để tạo thành khi mẫu số bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta áp dụng quy tắc cộng các phân số có mẫu số bằng nhau.

Ví dụ:

*Phương pháp này có thể được gọi là phổ quát và nó luôn hoạt động. Nhược điểm duy nhất là sau khi tính toán, bạn có thể thu được một phân số cần phải giảm thêm.

Hãy xem một ví dụ:

Có thể thấy tử số và mẫu số đều chia hết cho 5:

Phương pháp BA.

Bạn cần tìm bội số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số. Đây sẽ là mẫu số chung. Đây là loại số gì? Đây là ít nhất số tự nhiên, chia hết cho mỗi số.

Nhìn xem, đây là hai số: 3 và 4, có nhiều số chia hết cho chúng - đó là 12, 24, 36, ... Số nhỏ nhất trong số đó là 12. Hoặc 6 và 15, chúng chia hết cho 30, 60, 90.... Nhỏ nhất là 30. Câu hỏi đặt ra là - làm thế nào để xác định bội số chung nhỏ nhất này?

Có một thuật toán rõ ràng, nhưng thường việc này có thể được thực hiện ngay lập tức mà không cần tính toán. Ví dụ: theo các ví dụ trên (3 và 4, 6 và 15) không cần thuật toán, chúng tôi lấy số lớn (4 và 15), nhân đôi chúng và thấy rằng chúng chia hết cho số thứ hai, nhưng các cặp số có thể là những người khác, ví dụ 51 và 119.

Thuật toán. Để xác định bội số chung nhỏ nhất của một số số, bạn phải:

- Phân tích mỗi số thành yếu tố ĐƠN GIẢN

— viết ra sự phân hủy LỚN HƠN của chúng

- nhân nó với các hệ số MISSING của các số khác

Hãy xem xét các ví dụ:

50 và 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

đang trong quá trình phân hủy hơn thiếu một năm

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 và 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

trong việc mở rộng số lớn hơn hai và ba bị thiếu

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố tương đương với sản phẩm của họ

Câu hỏi! Tại sao việc tìm bội số chung nhỏ nhất lại hữu ích vì bạn có thể sử dụng phương pháp thứ hai và chỉ cần rút gọn phân số thu được? Có, có thể, nhưng không phải lúc nào cũng thuận tiện. Nhìn vào mẫu số của các số 48 và 72 nếu bạn chỉ nhân chúng với 48∙72 = 3456. Bạn sẽ đồng ý rằng sẽ dễ chịu hơn khi làm việc với các số nhỏ hơn.

Hãy xem xét các ví dụ:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

sự mở rộng của một số lớn hơn thiếu một bộ ba

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Bây giờ hãy sử dụng phương pháp đầu tiên:

* Hãy xem sự khác biệt trong các phép tính, trong trường hợp đầu tiên có ít nhất chúng, nhưng trong trường hợp thứ hai, bạn cần phải làm việc riêng trên một tờ giấy và thậm chí cả phần bạn nhận được cũng cần phải giảm đi. Việc tìm kiếm LOC giúp đơn giản hóa công việc một cách đáng kể.

Thêm ví dụ:

*Trong ví dụ thứ hai, rõ ràng số nhỏ nhất chia hết cho 40 và 60 là 120.

KẾT QUẢ! Thuật toán tính toán tổng quát!

— chúng ta giảm phân số thành phân số thông thường nếu có phần nguyên.

- chúng ta đưa các phân số về một mẫu số chung (đầu tiên chúng ta xem liệu một mẫu số có chia hết cho một mẫu số khác hay không; nếu nó chia hết thì chúng ta nhân tử số và mẫu số của phân số kia; nếu nó không chia hết, chúng ta hành động bằng các phương pháp khác đã nêu ở trên).

- Nhận được các phân số có mẫu số bằng nhau, ta thực hiện các phép tính (cộng, trừ).

- nếu cần, chúng tôi giảm kết quả.

- nếu cần thì chọn toàn bộ phần.

2. Tích của phân số.

Quy tắc rất đơn giản. Khi nhân các phân số, tử số và mẫu số của chúng được nhân với nhau:

Ví dụ: