Hàm số mũ y e x. Hàm số mũ, tính chất và đồ thị của nó

27.04.2021

Hãy tìm giá trị biểu thức cho các giá trị hữu tỉ khác nhau của biến x=2; 0; -3; -

Lưu ý rằng bất kể chúng ta thay thế biến x bằng số nào, chúng ta luôn có thể tìm thấy giá trị của biểu thức này. Điều này có nghĩa là chúng ta đang xem xét một hàm số mũ (E bằng ba lũy thừa của x), được xác định trên tập hợp số hữu tỷ: .

Hãy xây dựng biểu đồ của hàm này bằng cách lập bảng các giá trị của nó.

Hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm này (Hình 1)

Sử dụng biểu đồ của hàm này, hãy xem xét các thuộc tính của nó:

3. Tăng trên toàn bộ vùng định hình.

phạm vi giá trị từ 0 đến cộng vô cùng.

8. Hàm lồi hướng xuống.

Nếu chúng ta xây dựng đồ thị hàm số trong một hệ tọa độ; y=(y bằng hai lũy thừa của x, y bằng năm lũy thừa của x, y bằng bảy lũy thừa của x), thì bạn có thể thấy rằng chúng có cùng các tính chất như y= (y bằng ba lũy thừa của x) (Hình .2), nghĩa là, tất cả các hàm có dạng y = (y bằng a lũy thừa x, đối với a lớn hơn một) sẽ có như vậy của cải.

Hãy vẽ đồ thị hàm số:

1. Lập bảng các giá trị của nó.

Chúng ta hãy đánh dấu các điểm thu được trên mặt phẳng tọa độ.

Hãy vẽ một đường thẳng đi qua các điểm này (Hình 3).

Sử dụng biểu đồ của hàm này, chúng tôi chỉ ra các thuộc tính của nó:

1. Miền định nghĩa là tập hợp tất cả các số thực.

2. Không chẵn cũng không lẻ.

3. Giảm trong toàn bộ phạm vi định nghĩa.

4. Không có giá trị lớn nhất cũng không có giá trị nhỏ nhất.

5.Giới hạn ở bên dưới, nhưng không giới hạn ở trên.

6. Liên tục trong toàn bộ phạm vi định nghĩa.

7. phạm vi giá trị từ 0 đến cộng vô cùng.

8. Hàm lồi hướng xuống.

Tương tự, nếu chúng ta vẽ đồ thị hàm số trong một hệ tọa độ; y=(y bằng một giây với lũy thừa của x, y bằng 1/5 với lũy thừa của x, y bằng 1/7 với lũy thừa của x), bạn có thể thấy rằng chúng có cùng các tính chất như y=(y bằng 1/3 với lũy thừa của x).x) (Hình 4), nghĩa là tất cả các hàm có dạng y \u003d (y bằng một chia cho a lũy thừa của x, với a lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn một) sẽ có những tính chất như vậy

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số trong một hệ tọa độ

điều này có nghĩa là đồ thị của các hàm y \u003d y \u003d (y bằng a lũy thừa của x và y bằng một chia cho a lũy thừa của x) cũng sẽ đối xứng với cùng một giá trị của a .

Chúng tôi tóm tắt những gì đã nói bằng cách đưa ra định nghĩa về hàm số mũ và chỉ ra các tính chất chính của nó:

Sự định nghĩa: Hàm số có dạng y=, trong đó (a bằng a lũy thừa x, trong đó a dương và khác 1), được gọi là hàm mũ.

Cần nhớ sự khác nhau giữa hàm mũ y= và hàm lũy thừa y=, a=2,3,4,…. cả về thính giác và thị giác. Hàm số mũ X là một lũy thừa, và đối với một hàm lũy thừa X Là cơ sở.

Ví dụ1: Giải phương trình (ba lũy thừa x bằng chín)

(Y bằng ba lũy thừa của X và Y bằng chín) Hình 7

Lưu ý rằng chúng có một điểm chung M (2;9) (em với tọa độ hai; chín), có nghĩa là trục hoành của điểm sẽ là nghiệm của phương trình này. Tức là phương trình có một nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 2: Giải phương trình

Trong một hệ tọa độ, chúng ta sẽ dựng hai đồ thị của hàm y= (y bằng 5 lũy thừa của x và y bằng 1/25) Hình 8. Các đồ thị giao nhau tại một điểm T (-2; (te với tọa độ trừ hai; một phần hai mươi lăm). Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình là x = -2 (số trừ hai).

Ví dụ 3: Giải bất đẳng thức

Trong một hệ tọa độ, chúng ta sẽ xây dựng hai đồ thị của hàm y=

(Y bằng ba lũy thừa của X và Y bằng hai mươi bảy).

Hình.9 Đồ thị của hàm số nằm phía trên đồ thị của hàm y=at

x Do đó, nghiệm của bất đẳng thức là khoảng (từ âm vô cực đến ba)

Ví dụ 4: Giải bất đẳng thức

Trong một hệ tọa độ, chúng ta sẽ dựng hai đồ thị của hàm y= (y bằng một phần tư lũy thừa của x và y bằng mười sáu). (Hình 10). Các đồ thị cắt nhau tại một điểm K (-2;16). Điều này có nghĩa là nghiệm của bất đẳng thức là khoảng (-2; (từ âm hai đến cộng vô cùng), vì đồ thị của hàm y= nằm bên dưới đồ thị của hàm tại x

Lý luận của chúng tôi cho phép chúng tôi xác minh tính hợp lệ của các định lý sau:

Chủ đề 1: Nếu đúng khi và chỉ khi m=n.

Định lý 2: Nếu đúng khi và chỉ khi, bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi (Hình *)

Định lý 4: Nếu đúng khi và chỉ khi (Hình**), bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi Định lý 3: Nếu đúng khi và chỉ khi m=n.

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị hàm số y=

Hãy sửa đổi hàm bằng cách áp dụng thuộc tính bậc y=

Hãy xây dựng một hệ tọa độ bổ sung và trong hệ tọa độ mới chúng ta sẽ xây dựng đồ thị của hàm y = (y bằng hai lũy thừa x) Hình 11.

Ví dụ 6: Giải phương trình

Trong một hệ tọa độ, chúng ta sẽ xây dựng hai đồ thị của hàm y=

(Y bằng bảy lũy thừa của X và Y bằng tám trừ X) Hình 12.

Các đồ thị cắt nhau tại một điểm E (1; (e có tọa độ một; bảy). Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình là x = 1 (x bằng một).

Ví dụ 7: Giải bất đẳng thức

Trong một hệ tọa độ, chúng ta sẽ xây dựng hai đồ thị của hàm y=

(Y bằng một phần tư lũy thừa của x và Y bằng x cộng năm). Đồ thị của hàm số y=nằm bên dưới đồ thị của hàm số y=x+5 khi nghiệm của bất phương trình là khoảng x (từ trừ một đến cộng vô cùng).

Kiến thức các hàm cơ bản cơ bản, tính chất và đồ thị của chúng không kém phần quan trọng so với việc biết bảng cửu chương. Chúng giống như một nền tảng, mọi thứ đều dựa trên chúng, mọi thứ đều được xây dựng từ chúng và mọi thứ đều do chúng tạo ra.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ liệt kê tất cả các hàm cơ bản chính, cung cấp biểu đồ của chúng và đưa ra mà không cần kết luận hay chứng minh tính chất của các hàm cơ bản cơ bản theo sơ đồ:

hành vi của hàm số tại các ranh giới của miền định nghĩa, tiệm cận đứng (nếu cần, xem phần phân loại bài viết về điểm gián đoạn của hàm số);
chẵn và lẻ;
các khoảng lồi (lồi hướng lên) và độ lõm (lồi hướng xuống), các điểm uốn (nếu cần, xem bài viết độ lồi của hàm số, hướng lồi, điểm uốn, điều kiện lồi và uốn);
tiệm cận xiên và ngang;
điểm số ít của chức năng;
tính chất đặc biệt của một số hàm (ví dụ: chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm lượng giác).

Nếu bạn quan tâm hoặc có thể vào các phần lý thuyết này.

Các hàm cơ bản cơ bản là: hàm hằng (hằng số), căn bậc n, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo.

Điều hướng trang.

Chức năng vĩnh viễn.

Một hàm hằng được xác định trên tập hợp tất cả các số thực theo công thức , trong đó C là một số thực. Hàm hằng liên kết từng giá trị thực của biến độc lập x với cùng giá trị của biến phụ thuộc y - giá trị C. Hàm hằng còn được gọi là hằng số.

Đồ thị của hàm số là đường thẳng song song với trục x và đi qua điểm có tọa độ (0,C). Ví dụ: chúng ta sẽ hiển thị đồ thị của các hàm không đổi y=5, y=-2 và trong hình bên dưới tương ứng với các đường màu đen, đỏ và xanh lam.

Tính chất của hàm hằng.

Miền: toàn bộ tập hợp số thực.
Hàm hằng số là số chẵn.
Phạm vi giá trị: một tập hợp bao gồm số ít C.
Hàm hằng là không tăng và không giảm (đó là lý do tại sao nó không đổi).
Thật vô nghĩa khi nói về độ lồi và độ lõm của một hằng số.
Không có tiệm cận.
Hàm đi qua điểm (0,C) của mặt phẳng tọa độ.

Căn bậc thứ n.

Hãy xem xét hàm cơ bản cơ bản, được tính theo công thức , trong đó n là số tự nhiên lớn hơn một.

Căn bậc n, n là số chẵn.

Hãy bắt đầu với hàm căn bậc n cho các giá trị chẵn của số mũ căn n.

Ví dụ: đây là hình ảnh có hình ảnh của đồ thị hàm số và , chúng tương ứng với các đường màu đen, đỏ và xanh.

Đồ thị của hàm số gốc bậc chẵn có dạng tương tự đối với các giá trị khác của chỉ báo.

Tính chất của hàm nghiệm thứ n với n chẵn.

Căn bậc n, n là số lẻ.

Hàm căn bậc n với số mũ căn lẻ n được xác định trên toàn bộ tập hợp số thực. Ví dụ: đây là đồ thị hàm số và , chúng tương ứng với các đường cong màu đen, đỏ và xanh.

Đối với các giá trị lẻ khác của số mũ gốc, đồ thị hàm số sẽ có hình thức tương tự.

Thuộc tính của hàm căn bậc n cho n lẻ.

Chức năng điện.

Hàm công suất được cho bởi công thức có dạng .

Chúng ta hãy xem xét dạng đồ thị của hàm lũy thừa và các tính chất của hàm lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của số mũ.

Hãy bắt đầu với hàm lũy thừa với số mũ nguyên a . Trong trường hợp này, sự xuất hiện của đồ thị hàm lũy thừa và tính chất của hàm phụ thuộc vào số chẵn hoặc số lẻ của số mũ, cũng như dấu của nó. Do đó, trước tiên chúng ta sẽ xem xét các hàm lũy thừa đối với các giá trị dương lẻ của số mũ a, sau đó đối với số mũ dương chẵn, sau đó đối với số mũ âm lẻ và cuối cùng, đối với a chẵn.

Các tính chất của hàm lũy thừa với số mũ phân số và số mũ vô tỷ (cũng như loại đồ thị của các hàm lũy thừa đó) phụ thuộc vào giá trị của số mũ a. Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét chúng đối với a từ 0 đến một, thứ hai, đối với số lớn hơn một, thứ ba, đối với a từ âm một đến 0, thứ tư, đối với số nhỏ hơn âm một.

Ở cuối phần này, để hoàn thiện, chúng tôi sẽ mô tả hàm lũy thừa có số mũ bằng 0.

Hàm lũy thừa với số mũ dương lẻ.

Xét hàm lũy thừa có số mũ dương lẻ, tức là với a = 1,3,5,....

Hình bên dưới hiển thị đồ thị của các hàm công suất – đường màu đen, – đường màu xanh lam, – đường màu đỏ, – đường màu xanh lá cây. Với a=1 ta có hàm tuyến tính y=x.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ dương lẻ.

Hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn, nghĩa là với a = 2,4,6,....

Ví dụ: chúng tôi đưa ra đồ thị của hàm lũy thừa – đường màu đen, – đường màu xanh, – đường màu đỏ. Với a=2 chúng ta có hàm bậc hai có đồ thị là parabol bậc hai.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ dương chẵn.

Hàm lũy thừa với số mũ âm lẻ.

Nhìn vào đồ thị hàm lũy thừa để biết giá trị âm lẻ của số mũ, tức là với a = -1, -3, -5,....

Hình vẽ hiển thị đồ thị của các hàm công suất làm ví dụ - đường màu đen, - đường màu xanh lam, - đường màu đỏ, - đường màu xanh lá cây. Với a=-1 ta có tỷ lệ nghịch đảo, đồ thị của nó là hypebol.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm lẻ.

Hàm lũy thừa với số mũ âm chẵn.

Hãy chuyển sang hàm lũy thừa của a=-2,-4,-6,….

Hình vẽ hiển thị đồ thị của các hàm công suất – đường màu đen, – đường màu xanh, – đường màu đỏ.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm chẵn.

Hàm lũy thừa có số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ có giá trị lớn hơn 0 và nhỏ hơn một.

Ghi chú! Nếu a là một phân số dương có mẫu số lẻ thì một số tác giả coi phạm vi định nghĩa của hàm lũy thừa là khoảng. Người ta quy định rằng số mũ a là một phân số tối giản. Hiện nay, tác giả của nhiều sách giáo khoa về đại số và nguyên lý giải tích KHÔNG ĐỊNH NGHĨA hàm lũy thừa với số mũ ở dạng phân số có mẫu số lẻ cho các giá trị âm của đối số. Chúng tôi sẽ tuân thủ chính xác quan điểm này, nghĩa là, chúng tôi sẽ coi tập hợp là các miền định nghĩa của hàm lũy thừa với số mũ dương phân số. Chúng tôi khuyến nghị học sinh nên tìm hiểu ý kiến của giáo viên về điểm tế nhị này để tránh xảy ra bất đồng.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ a, và .

Chúng ta hãy trình bày đồ thị hàm lũy thừa của a=11/12 (đường màu đen), a=5/7 (đường màu đỏ), (đường màu xanh), a=2/5 (đường màu xanh lá cây).

Hàm lũy thừa có số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ không nguyên lớn hơn một.

Chúng ta hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ hữu tỉ hoặc vô tỉ không nguyên a, và .

Hãy biểu diễn đồ thị hàm số lũy thừa theo công thức (lần lượt là các đường màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục).

Đối với các giá trị khác của số mũ a, đồ thị của hàm sẽ có hình thức tương tự.

Thuộc tính hàm lũy thừa cho .

Hàm lũy thừa có số mũ thực lớn hơn âm một và nhỏ hơn 0.

Ghi chú! Nếu a là một phân số âm có mẫu số lẻ thì một số tác giả coi phạm vi định nghĩa của hàm lũy thừa là khoảng . Đồng thời, người ta quy định số mũ a là phân số tối giản. Hiện nay, tác giả của nhiều sách giáo khoa về đại số và nguyên lý giải tích KHÔNG ĐỊNH NGHĨA hàm lũy thừa với số mũ ở dạng phân số có mẫu số lẻ cho các giá trị âm của đối số. Chúng tôi sẽ tuân thủ chính xác quan điểm này, nghĩa là, chúng tôi sẽ coi các miền định nghĩa của hàm lũy thừa với số mũ âm phân số tương ứng là một tập hợp. Chúng tôi khuyến nghị học sinh nên tìm hiểu ý kiến của giáo viên về điểm tế nhị này để tránh xảy ra bất đồng.

Hãy chuyển sang chức năng nguồn, kgod.

Để hình dung rõ dạng đồ thị hàm lũy thừa của , ta đưa ra ví dụ về đồ thị hàm số (tương ứng là các đường cong màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục).

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ a, .

Hàm lũy thừa có số mũ thực không nguyên nhỏ hơn âm một.

Hãy cho ví dụ về đồ thị hàm số lũy thừa của , chúng được mô tả lần lượt bằng các đường màu đen, đỏ, xanh lam và xanh lục.

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ âm không nguyên nhỏ hơn âm một.

Khi a = 0, chúng ta có một hàm - đây là một đường thẳng trong đó điểm (0;1) bị loại trừ (người ta đã đồng ý không gán bất kỳ ý nghĩa nào cho biểu thức 0 0).

Hàm số mũ.

Một trong những hàm cơ bản chính là hàm mũ.

Đồ thị của hàm số mũ, trong đó và có các dạng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của cơ số a. Hãy tìm hiểu điều này.

Đầu tiên, hãy xem xét trường hợp cơ số của hàm số mũ nhận một giá trị từ 0 đến một, nghĩa là .

Ví dụ: chúng tôi trình bày đồ thị của hàm số mũ cho a = 1/2 – đường màu xanh, a = 5/6 – đường màu đỏ. Đồ thị của hàm số mũ có hình thức tương tự đối với các giá trị cơ số khác trong khoảng.

Tính chất của hàm mũ có cơ số nhỏ hơn một.

Chúng ta hãy chuyển sang trường hợp khi cơ số của hàm số mũ lớn hơn một, nghĩa là .

Để minh họa, chúng tôi trình bày đồ thị của hàm số mũ - đường màu xanh và - đường màu đỏ. Đối với các giá trị cơ số khác lớn hơn một, đồ thị của hàm số mũ sẽ có hình thức tương tự.

Tính chất của hàm mũ có cơ số lớn hơn một.

Hàm logarit.

Hàm cơ bản cơ bản tiếp theo là hàm logarit, trong đó , . Hàm logarit chỉ được xác định cho các giá trị dương của đối số, nghĩa là đối với .

Đồ thị của hàm logarit có dạng khác nhau tùy thuộc vào giá trị của cơ số a.

Đầu tiên chúng ta hãy giới thiệu định nghĩa của hàm số mũ.

Hàm số mũ $f\left(x\right)=a^x$, trong đó $a >1$.

Hãy để chúng tôi giới thiệu các tính chất của hàm số mũ, với $a >1$.

\ \[không có rễ\] \

Giao điểm với các trục tọa độ. Hàm không cắt trục $Ox$ mà cắt trục $Oy$ tại điểm $(0,1)$.

$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$

\ \[không có rễ\] \

Đồ thị (Hình 1).

Hình 1. Đồ thị của hàm $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$.

Hàm số mũ $f\left(x\right)=a^x$, trong đó $0

Hãy để chúng tôi giới thiệu các tính chất của hàm số mũ, ở mức $0

Miền định nghĩa là tất cả các số thực.

$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- hàm số không chẵn cũng không lẻ.

$f(x)$ liên tục trên toàn bộ miền định nghĩa.

Phạm vi giá trị là khoảng $(0,+\infty)$.

$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$

\ \[không có rễ\] \ \[không có rễ\] \

Hàm lồi trên toàn bộ miền định nghĩa.

Hành vi ở cuối miền:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]

Đồ thị (Hình 2).

Ví dụ về bài toán xây dựng hàm số mũ

Khám phá và vẽ đồ thị của hàm $y=2^x+3$.

Giải pháp.

Hãy tiến hành nghiên cứu bằng sơ đồ ví dụ trên:

Miền định nghĩa là tất cả các số thực.

$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- hàm số không chẵn cũng không lẻ.

$f(x)$ liên tục trên toàn bộ miền định nghĩa.

Phạm vi giá trị là khoảng $(3,+\infty)$.

$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$

Hàm tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

$f(x)\ge 0$ trong toàn bộ miền định nghĩa.

Giao điểm với các trục tọa độ. Hàm không cắt trục $Ox$ mà cắt trục $Oy$ tại điểm ($0,4)$

$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$

Hàm lồi trên toàn bộ miền định nghĩa.

Hành vi ở cuối miền:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]

Đồ thị (Hình 3).

Hình 3. Đồ thị của hàm $f\left(x\right)=2^x+3$

1. Hàm mũ là hàm số có dạng y(x) = a x, phụ thuộc vào số mũ x, có giá trị không đổi cơ số bậc a, trong đó a > 0, a ≠ 0, xϵR (R là tập số thực).

Hãy xem xét đồ thị của hàm số nếu cơ số không thỏa mãn điều kiện: a>0
a) một< 0
Nếu một< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
một = -2

Nếu a = 0 thì hàm y = được xác định và có giá trị không đổi là 0

c) a = 1
Nếu a = 1 thì hàm y = được xác định và có giá trị không đổi là 1

2. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về hàm mũ:

0

Miền chức năng (DOF)

Phạm vi giá trị hàm cho phép (APV)

3. Các điểm 0 của hàm số (y = 0)

4. Giao điểm với trục tọa độ oy (x = 0)

5. Hàm tăng, giảm

Nếu , thì hàm f(x) tăng
Nếu , thì hàm f(x) giảm
Hàm số y= , tại 0 Hàm số y =, với a > 1, tăng đơn điệu
Điều này xuất phát từ tính chất đơn điệu của một bậc với số mũ thực.

6. Hàm chẵn, hàm lẻ

Hàm số y = không đối xứng theo trục 0y và đối với gốc tọa độ nên không chẵn cũng không lẻ. (Chức năng chung)

7. Hàm số y \u003d không có cực trị

8. Tính chất của bậc với số mũ thực:

Cho a > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Khi đó với xϵR; yϵR: