Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra. Tài liệu lý thuyết học phần “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học”

LUẬT PHÂN PHỐI VÀ ĐẶC ĐIỂM

BIẾN NGẪU NHIÊN

Các biến ngẫu nhiên, phân loại và phương pháp mô tả của chúng.

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của thí nghiệm có thể nhận giá trị này hoặc giá trị khác nhưng giá trị đó không được biết trước. Do đó, đối với một biến ngẫu nhiên, bạn chỉ có thể chỉ định các giá trị, một trong số đó chắc chắn sẽ là kết quả của thử nghiệm. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ gọi những giá trị này là giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. Vì một biến ngẫu nhiên đặc trưng về mặt định lượng cho kết quả ngẫu nhiên của một thí nghiệm nên nó có thể được coi là đặc điểm định lượng của một sự kiện ngẫu nhiên.

Các biến ngẫu nhiên thường được biểu thị bằng chữ in hoa của bảng chữ cái Latinh, ví dụ: X..Y..Z và các giá trị có thể có của chúng bằng các chữ cái nhỏ tương ứng.

Có ba loại biến ngẫu nhiên:

rời rạc; Tiếp diễn; Trộn.

rời rạc là một biến ngẫu nhiên có số lượng giá trị có thể tạo thành một tập hợp đếm được. Ngược lại, một tập hợp có các phần tử có thể đánh số được gọi là tập hợp đếm được. Từ "rời rạc" xuất phát từ tiếng Latin discretus, có nghĩa là "không liên tục, bao gồm các phần riêng biệt".

Ví dụ 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số bộ phận X bị lỗi trong một lô sản phẩm. Thật vậy, các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên này là một dãy số nguyên từ 0 đến n.

Ví dụ 2. Biến ngẫu nhiên rời rạc là số lần bắn trước khi phát đạn đầu tiên vào mục tiêu. Ở đây, như trong Ví dụ 1, các giá trị có thể có thể được đánh số, mặc dù trong trường hợp giới hạn, giá trị có thể là một số lớn vô hạn.

Tiếp diễn là một biến ngẫu nhiên mà các giá trị có thể có của nó liên tục lấp đầy một khoảng nhất định của trục số, đôi khi gọi là khoảng tồn tại của biến ngẫu nhiên này. Như vậy, trên bất kỳ khoảng tồn tại hữu hạn nào, số lượng giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên liên tục là vô cùng lớn.

Ví dụ 3. Biến ngẫu nhiên liên tục là lượng điện tiêu thụ hàng tháng của doanh nghiệp.

Ví dụ 4. Biến ngẫu nhiên liên tục là sai số khi đo độ cao bằng máy đo độ cao. Cho biết nguyên lý hoạt động của máy đo độ cao rằng sai số nằm trong khoảng từ 0 đến 2 m. Do đó, khoảng thời gian tồn tại của biến ngẫu nhiên này là khoảng từ 0 đến 2 m.

Luật phân phối các biến ngẫu nhiên.

Một biến ngẫu nhiên được coi là hoàn toàn xác định nếu các giá trị có thể có của nó được biểu thị trên trục số và quy luật phân phối được thiết lập.

Luật phân phối của một biến ngẫu nhiên là mối quan hệ thiết lập mối liên hệ giữa các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.

Một biến ngẫu nhiên được cho là được phân phối theo một quy luật nhất định hoặc tuân theo một quy luật phân phối nhất định. Một số xác suất, hàm phân phối, mật độ xác suất và hàm đặc tính được sử dụng làm luật phân phối.

Luật phân phối đưa ra mô tả đầy đủ về khả năng xảy ra của một biến ngẫu nhiên. Theo quy luật phân phối, trước khi thử nghiệm, người ta có thể phán đoán giá trị nào có thể có của một biến ngẫu nhiên sẽ xuất hiện thường xuyên hơn và giá trị nào ít thường xuyên hơn.

Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, luật phân phối có thể được xác định dưới dạng bảng, giải tích (dưới dạng công thức) và bằng đồ họa.

Hình thức đơn giản nhất để xác định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một bảng (ma trận), liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng của chúng, tức là.

Bảng như vậy được gọi là chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. 1

Các sự kiện X 1, X 2,..., X n, bao gồm kết quả của phép thử, biến ngẫu nhiên X sẽ lấy các giá trị x 1, x 2,... x n lần lượt là không nhất quán và là những giá trị duy nhất có thể (vì bảng liệt kê tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên), tức là. tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Do đó, tổng xác suất của chúng bằng 1. Do đó, với bất kỳ biến ngẫu nhiên rời rạc nào

(Đơn vị này được phân phối bằng cách nào đó giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên, do đó có thuật ngữ "phân phối").

Chuỗi phân phối có thể được mô tả bằng đồ họa nếu các giá trị của biến ngẫu nhiên được vẽ dọc theo trục hoành và xác suất tương ứng của chúng được vẽ dọc theo trục tọa độ. Sự kết nối của các điểm thu được tạo thành một đường đứt quãng gọi là đa giác hoặc đa giác phân bố xác suất (Hình 1).

Ví dụ Vé xổ số bao gồm: một ô tô trị giá 5.000đ. căn hộ, 4 TV giá 250 den. máy, 5 máy ghi hình trị giá 200 den. các đơn vị Tổng cộng có 1000 vé được bán trong 7 ngày. các đơn vị Hãy xây dựng luật phân phối số tiền thắng ròng mà người tham gia xổ số đã mua một vé nhận được.

Giải pháp. Các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X - số tiền thắng ròng trên mỗi vé - bằng 0-7 = -7 tiền. các đơn vị (nếu vé không trúng), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. các đơn vị (nếu vé có giải thưởng lần lượt là VCR, TV hoặc ô tô). Xem xét rằng trong số 1000 vé, số người không thắng là 990 và số tiền thắng được chỉ định lần lượt là 5, 4 và 1 và sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất, chúng ta thu được.

rời rạc được gọi là một biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị riêng lẻ, biệt lập với xác suất nhất định.

VÍ DỤ 1. Số lần huy hiệu xuất hiện trong ba lần tung đồng xu. Các giá trị có thể có: 0, 1, 2, 3, xác suất của chúng tương ứng bằng nhau:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

VÍ DỤ 2. Số phần tử bị lỗi trong một thiết bị bao gồm năm phần tử. Các giá trị có thể có: 0, 1, 2, 3, 4, 5; xác suất của chúng phụ thuộc vào độ tin cậy của từng phần tử.

Biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể được đưa ra bởi chuỗi phân phối hoặc hàm phân phối (luật phân phối tích phân).

Gần phân phối là tập hợp tất cả các giá trị có thể XTôi và xác suất tương ứng của chúng Rtôi = P(X = xTôi), nó có thể được chỉ định dưới dạng bảng:

x tôi				xn
số Pi				р n

Đồng thời, xác suất RTôi thỏa mãn điều kiện

RTôi= 1 vì

số lượng giá trị có thể ở đâu N có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.

Biểu diễn đồ họa của chuỗi phân phối gọi là đa giác phân bố . Để xây dựng nó, các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên ( XTôi) được vẽ dọc theo trục x và xác suất RTôi- dọc theo trục tọa độ; điểm MỘTTôi có tọa độ ( Xtôi, рTôi) được nối với nhau bằng những đường đứt nét.

Chức năng phân phối biến ngẫu nhiên X gọi là hàm F(X), giá trị của nó tại điểm X bằng với xác suất mà biến ngẫu nhiên X sẽ nhỏ hơn giá trị này X, đó là

F(x) = P(X< х).

Chức năng F(X) Vì biến ngẫu nhiên rời rạc tính theo công thức

F(X) = RTôi , (1.10.1)

trong đó việc tính tổng được thực hiện trên tất cả các giá trị Tôi, mà XTôi< х.

VÍ DỤ 3. Từ một lô có 100 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm bị lỗi, chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra chất lượng. Xây dựng chuỗi phân phối của một số ngẫu nhiên X sản phẩm bị lỗi có trong mẫu.

Giải pháp. Vì trong mẫu, số lượng sản phẩm bị lỗi có thể là số nguyên bất kỳ nằm trong khoảng từ 0 đến 5, nên các giá trị có thể có XTôi biến ngẫu nhiên Xđều bằng nhau:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Xác suất R(X = k) mẫu đó chứa chính xác k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) sản phẩm bị lỗi, bằng

P(X=k) = .

Kết quả tính toán sử dụng công thức này với độ chính xác 0,001, chúng tôi thu được:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Dùng đẳng thức để kiểm tra Rk=1, chúng tôi đảm bảo rằng các phép tính và làm tròn được thực hiện chính xác (xem bảng).

x tôi
số Pi

VÍ DỤ 4. Cho chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên X :

x tôi
số Pi

Tìm hàm phân bố xác suất F(X) của biến ngẫu nhiên này và xây dựng nó.

Giải pháp. Nếu như X£10 rồi F(X)= P(X<X) = 0;

nếu 10<X£20 rồi F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

nếu 20<X£30 rồi F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

nếu 30<X£40 rồi F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

nếu 40<X£50 rồi F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Nếu như X> 50 thì F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Ví dụ giải bài toán về chủ đề “Biến ngẫu nhiên”.

Nhiệm vụ 1 . Có 100 vé được phát hành để xổ số. Một chiến thắng trị giá 50 USD đã được rút ra. và mười chiến thắng trị giá 10 USD mỗi chiến thắng. Tìm quy luật phân phối của giá trị X - chi phí của số tiền thắng có thể có.

Giải pháp. Các giá trị có thể có của X: x 1 = 0; x 2 = 10 và x 3 = 50. Vì có 89 vé trống nên p 1 = 0,89, xác suất trúng 10$. (10 vé) – p 2 = 0,10 và giành được 50 USD -P 3 = 0,01. Như vậy:

	0,89	0,10	0,01

Dễ dàng điều khiển: .

Nhiệm vụ 2. Xác suất người mua đã đọc trước quảng cáo sản phẩm là 0,6 (p = 0,6). Việc kiểm soát có chọn lọc chất lượng quảng cáo được thực hiện bằng cách khảo sát người mua trước người đầu tiên đã nghiên cứu trước về quảng cáo. Vẽ một chuỗi phân phối cho số lượng người mua được khảo sát.

Giải pháp. Theo điều kiện bài toán, p = 0,6. Từ: q=1 -p = 0,4. Thay thế các giá trị này, chúng tôi nhận được: và xây dựng một chuỗi phân phối:

số Pi		0,24

Nhiệm vụ 3. Một máy tính bao gồm ba thành phần hoạt động độc lập: bộ phận hệ thống, màn hình và bàn phím. Với một lần tăng mạnh điện áp, xác suất hỏng hóc của từng phần tử là 0,1. Dựa trên phân bố Bernoulli, hãy vẽ luật phân bố cho số phần tử bị lỗi khi có sự đột biến điện năng trong mạng.

Giải pháp. Hãy xem xét Phân phối Bernoulli(hoặc nhị thức): xác suất để N kiểm tra, sự kiện A sẽ xuất hiện chính xác k một lần: , hoặc:

	q N					P N

TRONG Hãy quay trở lại nhiệm vụ.

Các giá trị có thể có cho X (số lần thất bại):

x 0 =0 – không có phần tử nào bị lỗi;

x 1 =1 – hỏng một phần tử;

x 2 =2 – hỏng hai phần tử;

x 3 =3 – hỏng toàn bộ phần tử.

Vì, theo điều kiện, p = 0,1 thì q = 1 – p = 0,9. Sử dụng công thức Bernoulli, chúng ta có được

, ,

, .

Điều khiển: .

Do đó, luật phân phối cần thiết:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Vấn đề 4. 5.000 viên đạn được sản xuất Xác suất một hộp mực bị lỗi . Xác suất để có đúng 3 hộp mực bị lỗi trong cả lô là bao nhiêu?

Giải pháp. Áp dụng Phân bố Poisson: Phân phối này được sử dụng để xác định xác suất rằng, đối với rất lớn

số lần thử nghiệm (thử nghiệm hàng loạt), trong đó xác suất xảy ra sự kiện A rất nhỏ thì sự kiện A sẽ xảy ra k lần: , Ở đâu .

Ở đây n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Khi đó ta tìm được xác suất mong muốn: .

Vấn đề 5. Khi bắn cho đến phát đầu tiên với xác suất trúng p = 0,6 khi bắn, bạn cần tìm xác suất để lần bắn thứ 3 sẽ trúng đích.

Giải pháp. Chúng ta hãy áp dụng phân bố hình học: tiến hành các thử nghiệm độc lập, trong đó mỗi biến cố A có xác suất xảy ra p (và không xảy ra q = 1 – p). Thử nghiệm kết thúc ngay khi sự kiện A xảy ra.

Trong điều kiện như vậy, xác suất để sự kiện A xảy ra ở lần thử thứ k được xác định theo công thức: . Ở đây p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Do đó, .

Vấn đề 6. Cho định luật phân phối của biến ngẫu nhiên X:

Tìm kỳ vọng toán học.

Giải pháp. .

Lưu ý rằng ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

Vấn đề 7. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối sau:

Giải pháp. Đây .

Luật phân phối cho giá trị bình phương của X 2 :

X 2

Phương sai yêu cầu: .

Độ phân tán đặc trưng cho thước đo độ lệch (độ phân tán) của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó.

Vấn đề 8. Cho một biến ngẫu nhiên theo phân phối:

			10m

Tìm các đặc tính số của nó.

Giải: m, m 2 ,

M 2 , m.

Về biến ngẫu nhiên X chúng ta có thể nói: kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với phương sai là 13,04 m 2 , hoặc – kỳ vọng toán học của nó là 6,4 m với độ lệch m. Công thức thứ hai rõ ràng hơn.

Nhiệm vụ 9. Giá trị ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối:
.

Tìm xác suất mà kết quả của phép thử là giá trị X sẽ lấy giá trị chứa trong khoảng .

Giải pháp. Xác suất X sẽ lấy một giá trị từ một khoảng nhất định bằng với mức tăng của hàm tích phân trong khoảng này, tức là. . Trong trường hợp của chúng tôi và do đó

.

Nhiệm vụ 10. Biến ngẫu nhiên rời rạc X được cho bởi luật phân phối:

Tìm hàm phân phối F(x ) và vẽ đồ thị đó.

Giải pháp. Vì hàm phân phối

Vì , Cái đó

Tại ;

Tại ;

Tại ;

Tại ;

Biểu đồ liên quan:

Vấn đề 11. Biến ngẫu nhiên liên tục X được đưa ra bởi hàm phân phối vi phân: .

Tìm xác suất trúng X mỗi khoảng

Giải pháp. Lưu ý rằng đây là trường hợp đặc biệt của luật phân phối mũ.

Hãy sử dụng công thức: .

Nhiệm vụ 12. Tìm các đặc tính số của biến ngẫu nhiên rời rạc X theo quy luật phân phối:

	–5
	X2: X 2 . , Ở đâu – Hàm Laplace. Các giá trị của hàm này được tìm thấy bằng bảng. Trong trường hợp của chúng ta: . Từ bảng chúng tôi tìm thấy: , do đó:

X; nghĩa F(5); xác suất mà biến ngẫu nhiên X sẽ lấy các giá trị từ phân khúc. Xây dựng một đa giác phân phối.

1. Hàm phân phối F(x) của một biến ngẫu nhiên rời rạc đã biết X:

Đặt luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X dưới dạng một cái bàn.

1. Định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên được đưa ra X:

X	–28	–20	–12	–4
P	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Xác suất để cửa hàng có giấy chứng nhận chất lượng cho toàn bộ sản phẩm là 0,7. Ủy ban đã kiểm tra tính sẵn có của chứng chỉ tại bốn cửa hàng trong khu vực. Xây dựng luật phân phối, tính toán kỳ vọng toán học và độ phân tán của số lượng cửa hàng không tìm thấy chứng chỉ chất lượng trong quá trình kiểm tra.

1. Để xác định thời gian cháy trung bình của các đèn điện trong một lô 350 hộp giống hệt nhau, mỗi hộp lấy một đèn điện để thử nghiệm. Hãy ước tính từ dưới đây xác suất để thời gian cháy trung bình của các đèn điện được chọn khác với thời gian cháy trung bình của cả lô theo giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 7 giờ, nếu biết độ lệch chuẩn của thời gian cháy của các đèn điện trong mỗi hộp ít hơn 9 giờ.

1. Tại một tổng đài điện thoại, xảy ra kết nối không chính xác với xác suất là 0,002. Tìm xác suất để trong số 500 kết nối xảy ra trường hợp sau:

Tìm hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X. Xây dựng đồ thị hàm số và . Tính toán kỳ vọng, phương sai, mode và trung vị của một biến ngẫu nhiên X.

1. Một máy tự động làm con lăn. Người ta tin rằng đường kính của chúng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 mm. Độ lệch chuẩn là bao nhiêu nếu với xác suất 0,99, đường kính nằm trong khoảng từ 9,7 mm đến 10,3 mm.

Mẫu A: 6 9 7 6 4 4

Mẫu B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Phương án 17.

1. Trong số 35 phần, có 7 phần không đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để hai phần được lấy ngẫu nhiên sẽ trở thành tiêu chuẩn.

1. Ba con xúc xắc được ném. Tìm xác suất để tổng số điểm ở các cạnh bị bỏ là bội số của 9.

1. Từ “ADVENTURE” được tạo thành từ các tấm thẻ, mỗi tấm có một chữ cái viết trên đó. Các lá bài được xáo trộn và lấy ra lần lượt mà không cần trả lại. Tìm xác suất để các chữ cái được lấy theo thứ tự xuất hiện tạo thành từ: a) PHIÊU LƯU; b) TÙ NHÂN.

1. Một chiếc bình chứa 6 quả bóng đen và 5 quả bóng trắng. 5 quả bóng được rút ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
1. 2 quả bóng trắng;
2. ít hơn 2 quả bóng trắng;
3. ít nhất một quả bóng màu đen.

1. MỘT trong một bài kiểm tra là bằng 0,4. Tìm xác suất của các biến cố sau:
1. sự kiện MỘT xuất hiện 3 lần trong chuỗi 7 phiên tòa độc lập;
2. sự kiện MỘT sẽ xuất hiện không dưới 220 và không quá 235 lần trong chuỗi 400 lần thử.

1. Nhà máy đã gửi 5.000 sản phẩm chất lượng tốt về cơ sở. Xác suất hư hỏng của mỗi sản phẩm trong quá trình vận chuyển là 0,002. Tìm xác suất để không quá 3 sản phẩm bị hư hỏng trong quá trình vận chuyển.

1. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng và 9 bi đen, hộp thứ hai chứa 7 bi trắng và 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng từ thùng thứ nhất và 4 quả bóng từ thùng thứ hai, tính xác suất để tất cả các quả bóng được rút ra đều có cùng màu.

1. Định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên được đưa ra X:

Tính toán kỳ vọng và phương sai toán học của nó.

1. Trong hộp có 10 cây bút chì. Rút ngẫu nhiên 4 chiếc bút chì. Giá trị ngẫu nhiên X- số bút chì màu xanh trong số những người được chọn. Tìm quy luật phân phối của nó, mômen đầu và mômen trung tâm của bậc 2 và bậc 3.

1. Bộ phận kiểm soát kỹ thuật kiểm tra 475 sản phẩm để phát hiện lỗi. Xác suất để sản phẩm bị lỗi là 0,05. Tìm, với xác suất 0,95, ranh giới chứa số lượng sản phẩm bị lỗi trong số những sản phẩm được kiểm tra.

1. Tại một tổng đài điện thoại, xảy ra kết nối không chính xác với xác suất là 0,003. Tìm xác suất để trong số 1000 kết nối xảy ra trường hợp sau:
1. ít nhất 4 kết nối không chính xác;
2. nhiều hơn hai kết nối không chính xác.

1. Biến ngẫu nhiên được xác định bởi hàm mật độ phân phối:

Tìm hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X. Xây dựng đồ thị hàm số và . Tính kỳ vọng toán học, phương sai, mode và trung vị của biến ngẫu nhiên X.

1. Biến ngẫu nhiên được xác định bởi hàm phân phối:

1. Theo mẫu MỘT giải quyết các vấn đề sau:
1. tạo ra một chuỗi biến thể;

· mẫu trung bình;

· phương sai mẫu;

Chế độ và trung vị;

Mẫu A: 0 0 2 2 1 4

1. tính các đặc tính số của chuỗi biến thiên:

· mẫu trung bình;

· phương sai mẫu;

độ lệch mẫu chuẩn;

· Chế độ và trung vị;

Mẫu B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Phương án 18.

1. Trong số 10 tờ vé số có 2 tờ trúng thưởng. Tính xác suất để trong 5 vé lấy ngẫu nhiên có 1 vé trúng thưởng.

1. Ba con xúc xắc được ném. Tìm xác suất để tổng số điểm lăn được lớn hơn 15.

1. Từ “PERIMETER” được tạo thành từ các tấm thẻ, mỗi tấm có một chữ cái viết trên đó. Các lá bài được xáo trộn và lấy ra lần lượt mà không cần trả lại. Tìm xác suất để các chữ cái được lấy ra tạo thành từ: a) PERIMETER; b) Đồng hồ đo.

1. Một chiếc bình chứa 5 quả bóng đen và 7 quả bóng trắng. 5 quả bóng được rút ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:
1. 4 quả bóng trắng;
2. ít hơn 2 quả bóng trắng;
3. ít nhất một quả bóng màu đen.

1. Xác suất xảy ra một sự kiện MỘT trong một lần thử là bằng 0,55. Tìm xác suất của các biến cố sau:
1. sự kiện MỘT sẽ xuất hiện 3 lần trong chuỗi 5 thử thách;
2. sự kiện MỘT sẽ xuất hiện không dưới 130 và không quá 200 lần trong chuỗi 300 lần thử.

1. Xác suất để một lon đồ hộp bị vỡ là 0,0005. Tìm xác suất để trong số 2000 lon có 2 lon bị thủng.

1. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng và 8 bi đen, hộp thứ hai chứa 7 bi trắng và 4 bi đen. Hai quả bóng được lấy ngẫu nhiên từ chiếc bình thứ nhất và ba quả bóng được rút ngẫu nhiên từ chiếc bình thứ hai. Tìm xác suất để tất cả các viên bi được rút ra có cùng màu.

1. Trong số các bộ phận được đưa đến lắp ráp, 0,1% bị lỗi từ máy đầu tiên, 0,2% từ máy thứ hai, 0,25% từ máy thứ ba và 0,5% từ máy thứ tư. Tỷ lệ năng suất của máy lần lượt là 4:3:2:1. Phần được lấy ngẫu nhiên hóa ra lại là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó được sản xuất trên máy thứ nhất.

1. Định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên được đưa ra X:

Tính toán kỳ vọng và phương sai toán học của nó.

1. Một người thợ điện có ba bóng đèn, mỗi bóng đèn bị hỏng với xác suất 0,1. Người ta vặn các bóng đèn vào ổ cắm thì có dòng điện chạy qua. Khi bật dòng điện lên, bóng đèn bị lỗi ngay lập tức cháy và được thay thế bằng bóng đèn khác. Tìm định luật phân bố, kỳ vọng toán học và độ phân tán của số bóng đèn thử nghiệm.

1. Xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,3 cho mỗi lần bắn độc lập trong số 900 lần bắn. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, ước tính xác suất mục tiêu sẽ bị bắn trúng ít nhất 240 lần và nhiều nhất là 300 lần.

1. Tại một tổng đài điện thoại, xảy ra kết nối không chính xác với xác suất là 0,002. Tìm xác suất để trong số 800 kết nối xảy ra trường hợp sau:
1. ít nhất ba kết nối không chính xác;
2. nhiều hơn bốn kết nối không chính xác.

1. Biến ngẫu nhiên được xác định bởi hàm mật độ phân phối:

Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Vẽ đồ thị của hàm số và . Tính toán kỳ vọng, phương sai, mode và trung vị của một biến ngẫu nhiên X.

1. Biến ngẫu nhiên được xác định bởi hàm phân phối:

1. Theo mẫu MỘT giải quyết các vấn đề sau:
1. tạo ra một chuỗi biến thể;
2. tính toán tần số tương đối và tích lũy;
3. biên soạn một hàm phân phối theo kinh nghiệm và vẽ đồ thị đó;
4. tính các đặc tính số của chuỗi biến thiên:

· mẫu trung bình;

· phương sai mẫu;

độ lệch mẫu chuẩn;

· Chế độ và trung vị;

Mẫu A: 4 7 6 3 3 4

1. Sử dụng mẫu B, giải các bài toán sau:
1. tạo một chuỗi biến thể được nhóm lại;
2. xây dựng biểu đồ và đa giác tần số;
3. tính các đặc tính số của chuỗi biến thiên:

· mẫu trung bình;

· phương sai mẫu;

độ lệch mẫu chuẩn;

· Chế độ và trung vị;

Mẫu B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Phương án 19.

1. Có 16 phụ nữ và 5 nam giới làm việc tại công trường. 3 người được chọn ngẫu nhiên dựa trên số lượng nhân sự của họ. Tìm xác suất để tất cả những người được chọn đều là nam giới.

2. Tung bốn đồng xu. Tìm xác suất để chỉ có hai đồng xu có “huy hiệu”.

3. Từ “TÂM LÝ” được tạo thành từ các tấm thẻ, mỗi tấm thẻ có một chữ cái viết trên đó. Các lá bài được xáo trộn và lấy ra lần lượt mà không cần trả lại. Tìm xác suất để các chữ cái được lấy ra tạo thành một từ: a) TÂM LÝ; b) NHÂN VIÊN.

4. Chiếc bình chứa 6 quả bóng đen và 7 quả bóng trắng. 5 quả bóng được rút ngẫu nhiên. Tìm xác suất để trong số đó có:

Một. 3 quả bóng trắng;

b. ít hơn 3 quả bóng màu trắng;

c. ít nhất một quả bóng màu trắng.

5. Xác suất xảy ra sự kiện MỘT trong một bài kiểm tra là bằng 0,5. Tìm xác suất của các biến cố sau:

Một. sự kiện MỘT xuất hiện 3 lần trong chuỗi 5 thử nghiệm độc lập;

b. sự kiện MỘT sẽ xuất hiện ít nhất 30 và không quá 40 lần trong chuỗi 50 lần thử.

6. Có 100 máy có cùng công suất, hoạt động độc lập với nhau trong cùng một chế độ, trong đó bộ dẫn động của chúng được bật trong 0,8 giờ làm việc. Xác suất để tại một thời điểm bất kỳ có từ 70 đến 86 máy được bật là bao nhiêu?

7. Chiếc bình thứ nhất chứa 4 quả bóng trắng và 7 quả bóng đen, chiếc bình thứ hai chứa 8 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ thùng thứ nhất và 1 quả bóng từ thùng thứ hai. Tìm xác suất để trong số bi rút ra chỉ có 4 bi đen.

8. Showroom bán xe hàng ngày tiếp nhận xe của 3 hãng với số lượng: “Moskvich” – 40%; "Được" - 20%; "Volga" - 40% tổng số ô tô nhập khẩu. Trong số xe Moskvich, 0,5% có thiết bị chống trộm, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Tìm xác suất để chiếc xe được đem đi kiểm tra có thiết bị chống trộm.

9. Các số và được chọn ngẫu nhiên trên đoạn đó. Tìm xác suất để những số này thỏa mãn các bất đẳng thức.

10. Đưa ra định luật phân phối biến ngẫu nhiên X:

X
P	0,1	0,2	0,3	0,4

Tìm hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên X; nghĩa F(2); xác suất mà biến ngẫu nhiên X sẽ lấy các giá trị từ khoảng . Xây dựng một đa giác phân phối.

Biến ngẫu nhiên Một biến được gọi là một biến mà kết quả của mỗi phép thử sẽ nhận một giá trị chưa biết trước đó, tùy thuộc vào các lý do ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh viết hoa: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Tùy theo loại, các biến ngẫu nhiên có thể là rời rạc Và tiếp diễn.

Biến ngẫu nhiên rời rạc- đây là một biến ngẫu nhiên có giá trị không thể nhiều hơn số đếm được, nghĩa là hữu hạn hoặc có thể đếm được. Theo khả năng đếm được, chúng tôi muốn nói rằng các giá trị của một biến ngẫu nhiên có thể được đánh số.

ví dụ 1 . Dưới đây là ví dụ về các biến ngẫu nhiên rời rạc:

a) số lần bắn $n$ vào mục tiêu, ở đây các giá trị có thể là $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) số lượng biểu tượng rơi ra khi tung đồng xu, ở đây các giá trị có thể là $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) số lượng tàu đến trên tàu (tập hợp các giá trị đếm được).

d) số lượng cuộc gọi đến PBX (bộ giá trị có thể đếm được).

1. Định luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có thể nhận các giá trị $x_1,\dots ,\ x_n$ với xác suất $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Sự tương ứng giữa các giá trị này và xác suất của chúng được gọi là luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc. Theo quy định, sự tương ứng này được chỉ định bằng cách sử dụng một bảng, dòng đầu tiên cho biết các giá trị $x_1,\dots ,\ x_n$ và dòng thứ hai chứa các xác suất $p_1,\dots ,\ p_n$ tương ứng với những giá trị.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(mảng)$

Ví dụ 2 . Gọi biến ngẫu nhiên $X$ là số điểm được tung khi tung xúc xắc. Một biến ngẫu nhiên như vậy $X$ có thể nhận các giá trị sau: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Xác suất của tất cả các giá trị này bằng $1/6$. Khi đó định luật phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(mảng)$

Bình luận. Vì trong luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc $X$, các sự kiện $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện, nên tổng các xác suất phải bằng một, tức là $ \sum(p_i)=1$.

2. Kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiênđặt ra ý nghĩa “trung tâm” của nó. Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, kỳ vọng toán học được tính bằng tổng các tích của các giá trị $x_1,\dots ,\ x_n$ và xác suất $p_1,\dots ,\ p_n$ tương ứng với các giá trị này, tức là : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Trong tài liệu tiếng Anh, một ký hiệu khác $E\left(X\right)$ được sử dụng.

Tính chất của kỳ vọng toán học$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biến ngẫu nhiên $X$.
2. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó, tức là $M\left(C\right)=C$.
3. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của kỳ vọng toán học: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Kỳ vọng toán học của tích các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng toán học của chúng: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ví dụ 3 . Hãy tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên $X$ từ ví dụ $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\trên (6))=3,5.$$

Chúng ta có thể nhận thấy rằng $M\left(X\right)$ nằm giữa các giá trị nhỏ nhất ($1$) và lớn nhất ($6$) ​​của biến ngẫu nhiên $X$.

Ví dụ 4 . Được biết, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên $X$ bằng $M\left(X\right)=2$. Tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên $3X+5$.

Sử dụng các thuộc tính trên, chúng ta nhận được $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Ví dụ 5 . Được biết, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên $X$ bằng $M\left(X\right)=4$. Tìm kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên $2X-9$.

Sử dụng các thuộc tính trên, chúng ta nhận được $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Sự phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Các giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học bằng nhau có thể phân tán khác nhau xung quanh giá trị trung bình của chúng. Ví dụ, ở hai nhóm học sinh, điểm trung bình của bài kiểm tra lý thuyết xác suất là 4, nhưng ở một nhóm tất cả đều là học sinh giỏi, còn ở nhóm còn lại chỉ có học sinh C và học sinh xuất sắc. Do đó, cần có một đặc tính số của một biến ngẫu nhiên để thể hiện sự phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng toán học của nó. Đặc điểm này là sự phân tán.

Phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc$X$ bằng:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Trong văn học Anh, ký hiệu $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ được sử dụng. Thông thường, phương sai $D\left(X\right)$ được tính bằng công thức $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ trái(X \right)\right))^2$.

Đặc tính phân tán$D\left(X\right)$:

1. Phương sai luôn lớn hơn hoặc bằng 0, tức là $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Phương sai của hằng số bằng 0, tức là $D\left(C\right)=0$.
3. Hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của độ phân tán với điều kiện là nó bình phương, tức là $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của chúng, tức là $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Phương sai của chênh lệch giữa các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng phương sai của chúng, tức là $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Ví dụ 6 . Hãy tính phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ từ ví dụ $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\khoảng 2,92.$$

Ví dụ 7 . Được biết, phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ bằng $D\left(X\right)=2$. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên $4X+1$.

Sử dụng các thuộc tính trên, chúng ta tìm thấy $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2=32$.

Ví dụ 8 . Được biết, phương sai của biến ngẫu nhiên $X$ bằng $D\left(X\right)=3$. Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên $3-2X$.

Sử dụng các thuộc tính trên, chúng ta tìm thấy $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Phương pháp biểu diễn một biến ngẫu nhiên rời rạc dưới dạng chuỗi phân phối không phải là phương pháp duy nhất và quan trọng nhất là nó không phổ biến, vì không thể xác định biến ngẫu nhiên liên tục bằng cách sử dụng chuỗi phân phối. Có một cách khác để biểu diễn một biến ngẫu nhiên - hàm phân phối.

Chức năng phân phối Biến ngẫu nhiên $X$ được gọi là hàm $F\left(x\right)$, hàm này xác định xác suất để biến ngẫu nhiên $X$ sẽ nhận một giá trị nhỏ hơn một giá trị cố định $x$ nào đó, tức là $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Tính chất của hàm phân phối:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Xác suất để biến ngẫu nhiên $X$ sẽ lấy các giá trị từ khoảng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ bằng hiệu giữa các giá trị của hàm phân phối ở hai đầu của khoảng này khoảng: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - không giảm.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Ví dụ 9 . Chúng ta hãy tìm hàm phân phối $F\left(x\right)$ cho luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ từ ví dụ $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(mảng)$

Nếu $x\le 1$, thì rõ ràng là $F\left(x\right)=0$ (bao gồm cả $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Nếu $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nếu $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nếu $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nếu $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nếu $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nếu $x > 6$, thì $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Vì vậy $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ tại\ x\le 1,\\
1/6, lúc 1< x\le 2,\\
1/3,\ tại\ 2< x\le 3,\\
1/2, lúc 3< x\le 4,\\
2/3,\ lúc\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ lúc\ 4< x\le 5,\\
1,\với\x > 6.
\end(ma trận)\right.$