§6. Các định lý về tập mở và tập đóng

19.06.2022

Một trong những nhiệm vụ chính của lý thuyết tập hợp điểm là nghiên cứu các tính chất của các loại tập hợp điểm khác nhau. Chúng ta hãy làm quen với lý thuyết này bằng hai ví dụ và nghiên cứu các tính chất của cái gọi là tập đóng và tập mở.

Bộ đó được gọi là đóng cửa , nếu nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. Nếu một tập hợp không có một điểm giới hạn nào thì nó cũng được coi là đóng. Ngoài các điểm giới hạn của nó, một tập đóng còn có thể chứa các điểm cô lập. Bộ đó được gọi là mở , nếu mỗi điểm của nó là nội bộ của nó.

Hãy cung cấp cho ví dụ về tập đóng và tập mở .

Mọi đoạn đều là tập đóng và mọi khoảng (a, b) là tập mở. Nửa khoảng không hợp lý và đóng cửa, và khoảng thời gian không thích hợp và mở. Toàn bộ dòng vừa là một tập hợp đóng vừa là một tập hợp mở. Thật thuận tiện khi coi tập rỗng là tập đóng và tập mở cùng một lúc. Bất kỳ tập hợp điểm hữu hạn nào trên một đường thẳng đều đóng vì nó không có điểm giới hạn.

Một tập hợp bao gồm các điểm:

đóng cửa; tập hợp này có một điểm giới hạn duy nhất x=0, thuộc về tập hợp đó.

Nhiệm vụ chính là tìm ra cách cấu trúc một tập đóng hoặc tập mở tùy ý. Để làm được điều này, chúng ta sẽ cần một số sự kiện phụ trợ mà chúng ta sẽ chấp nhận mà không cần chứng minh.

1. Giao của bất kỳ số tập hợp đóng nào đều đóng.
2. Tổng của một số tập mở bất kỳ là một tập mở.
3. Nếu một tập đóng bị chặn ở trên thì nó chứa giá trị tối cao của nó. Tương tự, nếu một tập đóng bị chặn bên dưới thì nó chứa cực tiểu của nó.

Cho E là tập hợp các điểm tùy ý trên một đường thẳng. Ta gọi phần bù của tập E và ký hiệu CE là tập hợp tất cả các điểm trên đường thẳng không thuộc tập E. Rõ ràng nếu x là điểm ngoài của E thì nó là điểm trong của tập E. tập CE và ngược lại.

4. Nếu tập F đóng thì phần bù CF của nó mở và ngược lại.

Mệnh đề 4 cho thấy có một mối liên hệ rất chặt chẽ giữa các tập đóng và tập mở: một số là phần bù của các tập khác. Vì lý do này, chỉ cần nghiên cứu các tập đóng hoặc chỉ các tập mở là đủ. Biết các thuộc tính của các tập hợp thuộc loại này cho phép bạn tìm ra ngay các thuộc tính của các tập hợp thuộc loại khác. Ví dụ: bất kỳ tập mở nào cũng thu được bằng cách loại bỏ một số tập đóng khỏi một dòng.

Hãy bắt đầu nghiên cứu các tính chất của tập hợp đóng. Hãy giới thiệu một định nghĩa. Cho F là một tập đóng. Một khoảng (a, b) có tính chất là không có điểm nào thuộc tập F mà các điểm a và b thuộc F, được gọi là khoảng liền kề của tập F.

Chúng ta cũng sẽ bao gồm các khoảng không thích hợp giữa các khoảng liền kề, hoặc nếu điểm a hoặc điểm b thuộc tập F và bản thân các khoảng không giao nhau với F. Chứng minh rằng nếu một điểm x không thuộc tập đóng F thì nó thuộc một trong các khoảng liền kề của nó.

Chúng ta ký hiệu bằng phần của tập F nằm bên phải điểm x. Vì bản thân điểm x không thuộc tập F nên nó có thể biểu diễn dưới dạng giao:

Mỗi tập hợp là F và đóng. Do đó, theo Mệnh đề 1, tập hợp đóng. Nếu tập rỗng thì toàn bộ nửa khoảng không thuộc tập F. Bây giờ chúng ta giả sử rằng tập đó không trống. Vì tập hợp này nằm hoàn toàn trên một nửa khoảng nên nó bị giới hạn bên dưới. Chúng ta hãy biểu thị giới hạn dưới của nó bằng b. Theo Dự Luật 3, có nghĩa là. Hơn nữa, vì b là vô phân của tập hợp nên nửa khoảng (x, b) nằm bên trái điểm b không chứa các điểm của tập hợp và do đó không chứa các điểm của tập F. Vì vậy, chúng ta đã xây dựng nửa khoảng (x, b) không chứa các điểm của tập F và một trong hai hoặc điểm b thuộc tập F. Tương tự, nửa khoảng (a, x) được xây dựng không chứa điểm của tập F và hoặc hoặc. Bây giờ rõ ràng rằng khoảng (a, b) chứa điểm x và là khoảng liền kề của tập F. Dễ dàng thấy rằng nếu và là hai khoảng liền kề của tập F thì các khoảng này trùng nhau hoặc bằng nhau không giao nhau.

Từ phần trên, ta suy ra rằng bất kỳ tập đóng nào trên một đường đều thu được bằng cách loại bỏ một số khoảng nhất định khỏi đường đó, cụ thể là các khoảng liền kề của tập F. Vì mỗi khoảng chứa ít nhất một điểm hữu tỷ và có một tập hợp đếm được gồm tất cả các điểm hữu tỉ trên đường thẳng, thật dễ dàng đảm bảo rằng số lượng các khoảng liền kề là nhiều nhất có thể đếm được. Từ đây chúng ta có được kết luận cuối cùng. Mỗi tập hợp đóng trên một dòng có được bằng cách loại bỏ khỏi dòng nhiều nhất một tập hợp các khoảng cách nhau có thể đếm được.

Theo Dự luật 4, ngay lập tức suy ra rằng mọi tập mở trên một đường thẳng không gì khác hơn là một tổng đếm được của các khoảng rời nhau. Theo Mệnh đề 1 và 2, cũng rõ ràng rằng bất kỳ tập hợp nào được sắp xếp như đã chỉ ra ở trên thực sự là tập hợp đóng (mở).

Như có thể thấy từ ví dụ sau, các tập đóng có thể có cấu trúc rất phức tạp.

Kế hoạch

Không gian vectơ .
Điểm trong của một tập hợp Tập mở trong không gian
Thuộc tính của tập mở
Điểm giới hạn của một tập hợp Tập đóng trong không gian
Tính chất của tập đóng trong không gian

1. Không gian vectơ . Khái niệm về thước đo. Thuộc tính số liệu

Để cho được. Các phần tử của không gian là vectơ, ở đâu. Hai phép toán đã được giới thiệu trong không gian: phép cộng vectơ và nhân vectơ với đại lượng vô hướng, các tính chất của chúng sẽ được thảo luận trong chương trình đại số và hình học.

Hãy định nghĩa chuẩn vectơ là một hàm:

Hàm định mức vectơ thỏa mãn các tính chất sau:

Định nghĩa 1. Khoảng cách trong không gian giữa các vectơ được gọi là

Thuộc tính khoảng cách:

1. tôi nếu và chỉ khi;

Định nghĩa 2. Để cho được. Một quả cầu mở bán kính có tâm tại một điểm (ký hiệu) là tập hợp các điểm sao cho

Ví dụ. - đây là khoảng thời gian (Hình 1).

Ví dụ. (Hình 2).

Định nghĩa 3. Để cho được. Một quả cầu khép kín có bán kính tâm tại một điểm (ký hiệu) là tập hợp các điểm sao cho

Định nghĩa 4. Một điểm được gọi là điểm trong của tập hợp này nếu có một quả cầu mở nằm hoàn toàn trong tập hợp đó.

Định nghĩa 5. Một tập được gọi là tập mở nếu mỗi điểm của nó là điểm trong.

Ví dụ. Tập rỗng và tập hợp là tập mở.

Ví dụ. Chứng minh rằng đó là tập mở (Hình 3).

Hãy lấy nó. Nó có nghĩa là. Hãy biểu thị Hãy xem xét một quả bóng mở. Hãy chứng minh điều đó. Để làm điều này, chúng ta hãy chỉ ra những gì đồng thời thuộc về:

Vì vậy, và điều này có nghĩa là như vậy.

Định nghĩa 6. Một hình song song mở trong là một tập hợp các điểm thỏa mãn các bất đẳng thức sau:

Bài tập. Chứng minh rằng một hình bình hành mở là một tập mở.

Định lý 1. Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở.

Bằng chứng. Giả sử là các tập mở, . Hãy chứng minh rằng đó là một tập mở. Để làm điều này, hãy xem và chỉ ra rằng điểm này là nội bộ của:

Vì mỗi hiệp đều mở nên sẽ có một quả bóng mở. Hãy biểu thị Sau đó

Do đó, là nội bộ của tập hợp này và bản thân tập hợp đó là mở.

Bình luận. Giao của vô số tập mở có thể không phải là tập mở.

Ví dụ. Chúng ta hãy xem xét một tập hợp vô hạn các tập mở Đối với chúng. Một tập hợp chứa một điểm không mở.

Định lý 2. Hợp của một số tập mở bất kỳ là tập mở.

Bằng chứng. Hãy để một số tập hợp các chỉ số. Hãy để bộ này được mở cho. Hãy xem xét. Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng nó là mở. Để làm điều này, hãy xem và chỉ ra rằng điểm này là nội bộ của:

Vì là tập mở nên nó có nghĩa là tập mở.

Định nghĩa 19. Một loạt E gọi điện mở , nếu tất cả các điểm của nó là nội bộ, nghĩa là nếu nó không chứa các điểm biên của nó.

Định nghĩa 20. Một loạt E gọi điện đóng cửa , nghĩa là nếu nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. (Nếu không thì,
).

Ví dụ 1. Bất kì N tích phân chiều là một tập mở. Mọi đoạn đều là một tập đóng.

Cần đặc biệt chú ý đến thực tế là các lớp của tập đóng và tập mở không bao gồm tất cả các tập hợp với nhau; ngoài ra, các lớp này giao nhau. Có những tập hợp không đóng cũng không mở, cũng như những tập hợp vừa đóng vừa mở.

Ví dụ 2. Tập trống nên được coi là đóng, mặc dù đồng thời nó cũng mở. Một loạt R các số thực vừa đóng vừa mở.

Một loạt Q các số hữu tỉ không đóng cũng không mở. Nửa khoảng tuyến tính không phải là tập đóng cũng không phải là tập mở.

Định lý 3. Bất kỳ quả bóng nào S(Một, r) - bộ mở.

Bằng chứng:

Cho phép . Hãy lấy
. Hãy chứng minh rằng quả bóng
(điều này có nghĩa là bất kỳ điểm nào trên quả bóng
- nội bộ, đó là
- tập mở). Hãy lấy nó. Hãy chứng minh điều đó
, đối với điều này chúng tôi ước tính khoảng cách
:

Kể từ đây,
, đó là
, đó là S(Một, r) - bộ mở.

Định lý 4. Tập dẫn xuất
bất kỳ bộ nào Eđóng cửa.

Bằng chứng:

Cho phép
. Sau đó trong bất kỳ môi trường xung quanh
điểm có ít nhất một điểm bộ
, khác với . Bởi vì - điểm giới hạn của tập hợp E, thì trong bất kỳ lân cận nào của nó (kể cả những lân cận nhỏ tùy ý chứa trong
) tồn tại ít nhất một điểm bộ E, khác với điểm . Như vậy, theo định nghĩa, điểm là điểm giới hạn của tập hợp E. Vì thế,
, theo định nghĩa có nghĩa là tập hợp đóng E.

Cần lưu ý rằng trong một trường hợp cụ thể, tập dẫn xuất
có thể trống rỗng.

Tính chất của tập mở và tập đóng

Định lý 5. Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.

Bằng chứng:

Cho phép
- bộ đóng. Hãy chứng minh điều đó
- tập đóng.

Cho phép - điểm giới hạn của tập hợp

. Sau đó - điểm giới hạn của ít nhất một trong các bộ
(chứng minh bằng phản chứng). Bởi vì là một tập đóng thì
. Nhưng sau đó
. Vì vậy, điểm giới hạn bất kỳ của tập hợp
thuộc về anh ấy, đó là
đóng cửa.

Định lý 6. Giao của một số tập đóng bất kỳ là tập đóng.

Bằng chứng:

Cho phép
- bất kỳ tập hợp đóng nào. Hãy chứng minh điều đó
- tập đóng.

Cho phép - điểm giới hạn của tập hợp

. Khi đó, theo Định lý 1, trong bất kỳ lân cận nào

. Nhưng tất cả các điểm của tập hợp
cũng là điểm của tập hợp
. Vì vậy, trong
chứa vô số điểm từ
. Nhưng tất cả đám đông do đó đã đóng cửa

Và
, đó là
đóng cửa.

Định lý 7. Nếu bộ F là đóng thì phần bù của nó CF mở.

Bằng chứng:

Cho phép . Bởi vì
đóng cửa rồi không phải là điểm giới hạn của nó (
). Nhưng điều này có nghĩa là có một lân cận
điểm , không chứa các điểm của tập hợp F, đó là
. Sau đó
và do đó - điểm bên trong của bộ
. Bởi vì - điểm tùy ý của tập hợp CF, thì tất cả các điểm của tập hợp này đều là nội bộ, nghĩa là CF mở.

Định lý 8. Nếu bộ G mở thì phần bù của nó C.G.đóng cửa.

Bằng chứng:

Hãy cùng với một số môi trường xung quanh. Kể từ đây, không phải là điểm giới hạn của tập hợp C.G.. Vì thế,
không phải là điểm giới hạn
, đó là
chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. A-tu viện,
đóng cửa.

Định lý 9. Hợp của một số tập mở bất kỳ là tập mở.

Bằng chứng:

Cho phép
- một tập hợp tùy ý các tập mở Và
. Hãy chứng minh điều đó - bộ mở. Chúng ta có:

Kể từ khi các bộ mở
, thì theo Định lý 8 các tập hợp
đóng cửa
. Khi đó, theo Định lý 6, giao điểm của chúng

mở.

Định lý 10. Giao của một số hữu hạn các tập mở là một tập mở.

Bằng chứng:

Cho phép
- giao của một số hữu hạn các tập mở
. Hãy chứng minh điều đó - bộ mở. Chúng ta có:

Kể từ khi các bộ mở
, thì theo Định lý 8 các tập hợp
đóng cửa
. Khi đó, theo Định lý 5, hợp của chúng

đóng cửa. Theo Định lý 7, tập hợp
mở.

Bộ mở và đóng

phụ lục 1 . Bộ mở và đóng

Một loạt M trên một đường thẳng được gọi là mở, nếu mỗi điểm của nó nằm trong tập hợp này cùng với một khoảng nhất định. Đã đóng là một tập hợp chứa tất cả các điểm giới hạn của nó (tức là sao cho bất kỳ khoảng nào chứa điểm này đều cắt tập hợp đó ít nhất tại một điểm nữa). Ví dụ: một đoạn là một tập đóng nhưng không mở và ngược lại, một khoảng là một tập mở nhưng không đóng. Có những tập hợp không mở cũng không đóng (ví dụ: nửa khoảng). Có hai bộ vừa đóng vừa mở - bộ này trống và thế là xong Z(chứng minh rằng không có ai khác). Dễ dàng nhận thấy rằng nếu M mở thì [` M] (hoặc Z \ M- phép cộng vào tập hợp M trước Z) bị đóng. Thật vậy, nếu [` M] không đóng thì nó không chứa điểm giới hạn nào của chính nó tôi. Nhưng sau đó tôi VỀ M và mỗi khoảng chứa tôi, giao với tập [` M], tức là có điểm không nằm trong M, và điều này mâu thuẫn với thực tế là M- mở. Tương tự, cũng trực tiếp từ định nghĩa, chứng minh được rằng nếu Mđược đóng lại thì [` M] mở (kiểm tra!).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý quan trọng sau đây.

Định lý. Bất kỳ tập mở nào M có thể được biểu diễn dưới dạng hợp các khoảng với các đầu hữu tỉ (nghĩa là có các đầu tại các điểm hữu tỉ).

Bằng chứng . Hãy xem xét công đoàn bạn tất cả các khoảng có kết thúc hợp lý là tập hợp con của tập hợp của chúng tôi. Hãy chứng minh rằng phép hợp này trùng với toàn bộ tập hợp. Thật vậy, nếu tôi- một số điểm từ M, thì tồn tại một khoảng ( tôi 1 , tôi 2) M M chứa đựng tôi(điều này xuất phát từ thực tế là M- mở). Trên bất kỳ khoảng thời gian nào bạn có thể tìm thấy một điểm hợp lý. Hãy để ( tôi 1 , tôi) - Cái này tôi 3, trên ( tôi, tôi 2) – đây là tôi 4 . Sau đó chỉ tôiđược công đoàn bảo vệ bạn, cụ thể là khoảng ( tôi 3 , tôi 4). Như vậy ta đã chứng minh được rằng mỗi điểm tôi từ Mđược công đoàn bảo vệ bạn. Hơn nữa, như nó hiển nhiên xuất phát từ việc xây dựng bạn, không có điểm nào không chứa trong M, không được che phủ bạn. Có nghĩa, bạn Và M phù hợp.

Một hệ quả quan trọng của định lý này là thực tế là mọi tập mở đều đếm được các khoảng kết hợp.

Không nơi nào tập hợp dày đặc và tập hợp số đo bằng không. Bộ Cantor>

Phụ lục 2 . Không nơi nào tập hợp dày đặc và tập hợp số đo bằng không. Bộ cantor

Một loạt MỘT gọi điện dày đặc, nếu có điểm khác Một Và b có một đoạn [ c, d] M [ Một, b], không giao nhau với MỘT. Ví dụ: tập hợp các điểm trong dãy Một N = [ 1/(N)] không dày đặc, nhưng tập hợp các số hữu tỷ thì không.

Định lý Baire. Một phân đoạn không thể được biểu diễn dưới dạng tập hợp đếm được của các tập hợp dày đặc.

Bằng chứng . Giả sử có một trình tự MỘT k hư không tập hợp dày đặc như vậy Và Tôi MỘT Tôi = [Một, b]. Hãy xây dựng chuỗi các phân đoạn sau đây. Cho phép TÔI 1 – một số phân đoạn được nhúng trong [ Một, b] và không cắt nhau MỘT 1 . Theo định nghĩa, một tập hợp dày đặc hư không trên một khoảng TÔI 1 có một đoạn không giao nhau với tập hợp MỘT 2. Hãy gọi cho anh ấy TÔI 2. Hơn nữa, trên phân khúc TÔI 2, tương tự lấy đoạn TÔI 3, không giao nhau với MỘT 3, v.v. Trình tự TÔI k các đoạn lồng nhau có một điểm chung (đây là một trong những tính chất chính của số thực). Theo cách xây dựng, điểm này không nằm trong bất kỳ tập hợp nào MỘT k, có nghĩa là các bộ này không bao gồm toàn bộ phân khúc [ Một, b].

Hãy gọi tập hợp M có số đo bằng 0, nếu với e dương bất kỳ có một dãy TÔI k các khoảng có tổng chiều dài nhỏ hơn e, bao gồm M. Rõ ràng, bất kỳ tập hợp đếm được nào cũng có số đo bằng 0. Tuy nhiên, cũng có những tập hợp không đếm được có số đo bằng 0. Hãy xây dựng một cái rất nổi tiếng tên là Cantor's.

Cơm. mười một

Hãy lấy một phân đoạn. Hãy chia nó thành ba phần bằng nhau. Hãy vứt bỏ đoạn giữa (Hình 11, MỘT). Sẽ có hai đoạn có tổng chiều dài [2/3]. Chúng tôi sẽ thực hiện chính xác thao tác tương tự với từng thao tác (Hình 11, b). Sẽ còn lại bốn đoạn có tổng chiều dài [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Tiếp tục như vậy (Hình 11, V.–e) đến vô cùng, chúng ta thu được một tập hợp có số đo nhỏ hơn bất kỳ số đo dương nào được xác định trước, tức là số đo bằng 0. Có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa các điểm của tập hợp này và chuỗi vô hạn các số 0 và số 1. Nếu trong lần “ném ra” đầu tiên, điểm của chúng ta rơi vào đoạn bên phải, chúng ta sẽ đặt 1 ở đầu chuỗi, nếu ở bên trái - 0 (Hình 11, MỘT). Tiếp theo, sau lần “ném ra” đầu tiên, chúng ta nhận được một bản sao nhỏ của đoạn lớn, chúng ta làm điều tương tự: nếu điểm của chúng ta sau khi ném ra rơi vào đoạn bên phải, thì ta đặt 1, nếu nó ở đoạn bên trái – 0, v.v. (kiểm tra mối quan hệ một-một), gạo. mười một, b, V.. Vì tập hợp các chuỗi số 0 và số 1 có tính liên tục về số lượng nên tập Cantor cũng có tính liên tục về số lượng. Hơn nữa, dễ dàng chứng minh được rằng nó không dày đặc ở bất cứ đâu. Tuy nhiên, việc nó có thước đo nghiêm ngặt bằng 0 là không đúng (xem định nghĩa về thước đo nghiêm ngặt). Ý tưởng chứng minh sự thật này như sau: lấy dãy Một N, có xu hướng về 0 rất nhanh. Ví dụ, trình tự Một N = [ 1/(2 2 N)]. Sau đó chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy này không thể bao trùm được tập Cantor (hãy làm đi!).

Phụ lục 3 . Nhiệm vụ

Đặt hoạt động

bộ MỘT Và Bđược gọi là bình đẳng, nếu mỗi phần tử của tập hợp MỘT thuộc về bộ B, và ngược lại. Chỉ định: MỘT = B.

Một loạt MỘT gọi điện tập hợp con bộ B, nếu mỗi phần tử của tập hợp MỘT thuộc về bộ B. Chỉ định: MỘT M B.

1. Đối với mỗi hai tập hợp sau đây, hãy cho biết liệu tập hợp này có phải là tập hợp con của tập hợp kia hay không:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Chứng minh rằng tập MỘT khi và chỉ khi là tập con của tập hợp B, khi mọi phần tử không thuộc về B, Không thuộc vê MỘT.

3. Chứng minh rằng với các tập hợp tùy ý MỘT, B Và C

MỘT) MỘT M MỘT; b) nếu MỘT M B Và B M C, Cái đó MỘT M C;

V) MỘT = B, nếu và chỉ nếu MỘT M B Và B M MỘT.

Bộ đó được gọi là trống, nếu nó không chứa bất kỳ phần tử nào. Ký hiệu: F

4. Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. Một tập hợp gồm ba phần tử có bao nhiêu tập con?

6. Một tập hợp có thể có chính xác a) 0; b*) 7; c) 16 tập con?

Sự kết hợp bộ MỘT Và B x, Cái gì x VỀ MỘT hoặc x VỀ B. Chỉ định: MỘT VÀ B.

Bằng cách vượt qua bộ MỘT Và Bđược gọi là một tập hợp bao gồm x, Cái gì x VỀ MỘT Và x VỀ B. Chỉ định: MỘT Z B.

Bằng sự khác biệt bộ MỘT Và Bđược gọi là một tập hợp bao gồm x, Cái gì x VỀ MỘT Và x P B. Chỉ định: MỘT \ B.

7. Tập hợp đã cho MỘT = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Tìm các bộ:

MỘT) MỘT VÀ B;	b) MỘT Z B;	V) ( MỘT Z B)VÀ D;
G) C Z ( D Z B);	d) ( MỘT VÀ B)Z ( C VÀ D);	đ) ( MỘT VÀ ( B Z C))Z D;
Và) ( C Z MỘT)VÀ (( MỘT VÀ ( C Z D))Z B);	h) ( MỘT VÀ B) \ (C Z D);	Và) MỘT \ (B \ (C \ D));
ĐẾN) (( MỘT \ (B VÀ D)) \ C)VÀ B.

8. Cho phép MỘT là tập hợp các số chẵn và B– tập hợp các số chia hết cho 3. Tìm MỘT Z B.

9. Chứng minh rằng với mọi tập hợp MỘT, B, C

MỘT) MỘT VÀ B = B VÀ MỘT, MỘT Z B = B Z MỘT;

b) MỘT VÀ ( B VÀ C) = (MỘT VÀ B)VÀ C, MỘT Z ( B Z C) = (MỘT Z B)Z C;

V) MỘT Z ( B VÀ C) = (MỘT Z B)VÀ ( MỘT Z C), MỘT VÀ ( B Z C) = (MỘT VÀ B)Z ( MỘT VÀ C);

G) MỘT \ (B VÀ C) = (MỘT \ B)Z ( MỘT \ C), MỘT \ (B Z C) = (MỘT \ B)VÀ ( MỘT \ C).

10. Có đúng là với bất kỳ bộ nào MỘT, B, C

MỘT) MỘT Z ZH = F, MỘT tôi F = MỘT;	b) MỘT VÀ MỘT = MỘT, MỘT Z MỘT = MỘT;	V) MỘT Z B = MỘT Y MỘT M B;
G) ( MỘT \ B)VÀ B = MỘT; 7 ngày) MỘT \ (MỘT \ B) = MỘT Z B;	đ) MỘT \ (B \ C) = (MỘT \ B)VÀ ( MỘT Z C);
Và) ( MỘT \ B)VÀ ( B \ MỘT) = MỘT VÀ B?

Đặt ánh xạ

Nếu mỗi phần tử x bộ X chính xác một phần tử được khớp f(x) bộ Y, sau đó họ nói rằng nó được đưa ra trưng bày f từ nhiều X vào vô số Y. Đồng thời, nếu f(x) = y, thì phần tử y gọi điện đường yếu tố x khi hiển thị f, và phần tử x gọi điện nguyên mẫu yếu tố y khi hiển thị f. Chỉ định: f: X ® Y.

11. Vẽ tất cả các ánh xạ có thể có từ tập hợp (7,8,9) đến tập hợp (0,1).

Cho phép f: X ® Y, y VỀ Y, MỘT M X, B M Y. Nguyên mẫu đầy đủ của phần tử y khi hiển thị fđược gọi là một tập hợp ( x VỀ X | f(x) = y). Chỉ định: f - 1 (y). Hình ảnh của số đông MỘT M X khi hiển thị fđược gọi là một tập hợp ( f(x) | x VỀ MỘT). Chỉ định: f(MỘT). Nguyên mẫu của bộ B M Y được gọi là một tập hợp ( x VỀ X | f(x) VỀ B). Chỉ định: f - 1 (B).

12. Để hiển thị f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), theo hình ảnh cho trước, tìm f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

a B C)

13. Cho phép f: X ® Y, MỘT 1 , MỘT 2 triệu X, B 1 , B 2 triệu Y. Có phải điều đó luôn đúng

MỘT) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

V) f(MỘT 1 tôi MỘT 2) = f(MỘT 1) Và f(MỘT 2);

G) f(MỘT 1 W MỘT 2) = f(MỘT 1)Z f(MỘT 2);

d) f - 1 (B 1 tôi B 2) = f - 1 (B 1) Và f - 1 (B 2);

đ) f - 1 (B 1 W B 2) = f - 1 (B 1)Z f - 1 (B 2);

g) nếu f(MỘT 1 triệu f(MỘT 2), sau đó MỘT 1 triệu MỘT 2 ;

h) nếu f - 1 (B 1 triệu f - 1 (B 2), sau đó B 1 triệu B 2 ?

Thành phầnánh xạ f: X ® Y Và g: Y ® Zđược gọi là ánh xạ liên kết một phần tử x bộ X yếu tố g(f(x)) bộ Z. Chỉ định: g° f.

14. Chứng minh rằng với ánh xạ tùy ý f: X ® Y, g: Y ® Z Và h: Z ® W sau đây được thực hiện: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Cho phép f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – ánh xạ hiển thị trong hình:

f: g: h:

Vẽ hình cho các hình sau:

MỘT) g° f; b) h° g; V) f° h° g; G) g° h° f.

Trưng bày f: X ® Y gọi điện tính từ, nếu với mỗi y VỀ Y có chính xác một x VỀ X như vậy mà f(x) = y.

16. Cho phép f: X ® Y, g: Y ® Z. Có đúng là nếu f Và g là khách quan thì g° f một cách khách quan?

17. Cho phép f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – ánh xạ thể hiện trong hình:

18. Đối với mỗi hai tập hợp sau đây, hãy tìm hiểu xem có tồn tại song ánh từ tập thứ nhất đến tập thứ hai hay không (giả sử rằng số 0 là số tự nhiên):

a) tập hợp số tự nhiên;

b) tập hợp các số tự nhiên chẵn;

c) tập hợp các số tự nhiên không có số 3.

Không gian số liệu gọi là một bộ X với một nhất định Hệ mét r: X× X ® Z

1) " x,y VỀ X r( x,y) i 0, và r ( x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (không tiêu cực ); 2) " x,y VỀ X r( x,y) = r ( y,x) (đối diện ); 3) " x,y,z VỀ X r( x,y) + r ( y,z) tôi r ( x,z) (bất đẳng thức tam giác ). 19 19. X

MỘT) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[Một,bMột,b] chức năng,

Ở đâu D

Mở(tương ứng, đóng cửa) quả bóng bán kính r trong không gian X tập trung tại một điểm x gọi là một bộ bạn r (x) = {y VỀ x:r( x,y) < r) (tương ứng, B r (x) = {y VỀ X:r( x,y) Ј r}).

Điểm nội bộ bộ bạn M X bạn

mở vùng lân cậnđiểm này.

Điểm giới hạn bộ F M X F.

đóng cửa

20. Chứng minh rằng

21. Chứng minh rằng

b) hợp của một tập hợp MỘT ngắn mạch MỘT

Trưng bày f: X ® Y gọi điện tiếp diễn

22.

23. Chứng minh rằng

F (x) = thông tin y VỀ F r( x,y

24. Cho phép f: X ® Y– . Có đúng là nghịch đảo của nó là liên tục?

Ánh xạ một-một liên tục f: X ® Y sự đồng hình. Không gian X, Yđồng hình.

25.

26. Dành cho những cặp đôi nào? X, Y f: X ® Y, cái mà không dính vào nhauđiểm (tức là f(x) № f(y) Tại x № y đầu tư)?

27*. đồng cấu địa phương(tức là tại mỗi điểm x máy bay và f(x) hình xuyến có những vùng lân cận như vậy bạn Và V., Cái gì f bản đồ đồng phôi bạn TRÊN V.).

Không gian số liệu và ánh xạ liên tục

Không gian số liệu gọi là một bộ X với một nhất định Hệ mét r: X× X ® Z, thỏa mãn tiên đề sau:

MỘT) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2 , r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[Một,b] – tập hợp liên tục trên [ Một,b] chức năng,

Ở đâu D– một đường tròn bán kính đơn vị có tâm ở gốc tọa độ.

Điểm nội bộ bộ bạn M X là một điểm chứa trong bạn cùng với một số quả cầu có bán kính khác 0.

Tập hợp mà tất cả các điểm đều nằm trong được gọi là mở. Tập mở chứa một điểm cho trước được gọi là vùng lân cậnđiểm này.

Điểm giới hạn bộ F M X là một điểm sao cho bất kỳ lân cận nào của nó chứa vô số điểm của tập hợp F.

Một tập hợp chứa tất cả các điểm giới hạn của nó được gọi là đóng cửa(so sánh định nghĩa này với định nghĩa ở Phụ lục 1).

29. Chứng minh rằng

a) một tập hợp mở khi và chỉ khi phần bù của nó đóng;

b) liên hữu hạn và giao đếm được của các tập đóng là đóng;

c) Hợp đếm được và giao hữu hạn của các tập mở là mở.

30. Chứng minh rằng

a) tập hợp các điểm giới hạn của một tập hợp bất kỳ là tập hợp đóng;

b) hợp của một tập hợp MỘT và tập hợp các điểm giới hạn của nó ( ngắn mạch MỘT) là một tập đóng.

Trưng bày f: X ® Y gọi điện tiếp diễn, nếu ảnh nghịch đảo của mọi tập mở đều là tập mở.

31. Chứng minh định nghĩa này phù hợp với định nghĩa về tính liên tục của hàm số trên một đường thẳng.

32. Chứng minh rằng

a) khoảng cách để đặt r F (x) = thông tin y VỀ F r( x,y) là hàm liên tục;

b) tập các số 0 của hàm ở mục a) trùng với bao đóng F.

33. Cho phép f: X ® Y

Ánh xạ một-một liên tục f: X ® Y, nghịch đảo của nó cũng liên tục được gọi là sự đồng hình. Không gian X, Y, mà một ánh xạ như vậy tồn tại, được gọi là đồng hình.

34. Với mỗi cặp tập hợp sau đây, hãy xác định xem chúng có đồng phôi hay không:

35. Dành cho những cặp đôi nào? X, Y khoảng trắng từ bài toán trước có một ánh xạ liên tục f: X ® Y, cái mà không dính vào nhauđiểm (tức là f(x) № f(y) Tại x № y– những ánh xạ như vậy được gọi là đầu tư)?

36*. Hãy đưa ra một ánh xạ liên tục từ một mặt phẳng tới một hình xuyến sẽ đồng cấu địa phương(tức là tại mỗi điểm x máy bay và f(x) hình xuyến có những vùng lân cận như vậy bạn Và V., Cái gì f bản đồ đồng phôi bạn TRÊN V.).

Sự hoàn thiện. Định lý Baire

Cho phép X– không gian mêtric. Tiếp theo x N các phần tử của nó được gọi là cơ bản, Nếu như

" e > 0 $ N " k,tôi > N r( x k ,x tôi) < e .

37. Chứng minh rằng dãy hội tụ là dãy cơ bản. Tuyên bố ngược lại có đúng không?

Không gian mêtric được gọi là hoàn thành, nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ trong đó.

38. Có đúng là một không gian đồng phôi với một không gian hoàn chỉnh là đầy đủ không?

39. Chứng minh rằng không gian con đóng của một không gian đầy đủ cũng là không gian đầy đủ; không gian con đầy đủ của một không gian tùy ý bị đóng trong đó.

40. Chứng minh rằng trong một không gian mêtric đầy đủ, một dãy các quả cầu đóng lồng nhau có bán kính tiến tới 0 có một phần tử chung.

41. Trong bài toán trước có thể loại bỏ điều kiện về không gian đầy đủ hoặc xu hướng bán kính của các quả bóng về 0 không?

Trưng bày f không gian số liệu Xđược gọi vào chính mình nén, Nếu như

$ c (0 Ј c < 1): " x,y VỀ X r( f(x),f(y)) < c r( x,y).

42. Chứng minh rằng bản đồ co là liên tục.

43. a) Chứng minh rằng ánh xạ thu gọn của một không gian mêtric đầy đủ vào chính nó có đúng một điểm cố định.

b) Đặt bản đồ nước Nga tỷ lệ 1:20.000.000 lên bản đồ nước Nga tỷ lệ 1:5.000.000, chứng minh rằng có một điểm có ảnh trên cả hai bản đồ trùng nhau.

44*. Có một không gian mêtric không đầy đủ trong đó mệnh đề bài toán eh là đúng không?

Một tập con của không gian mêtric được gọi là dày đặc khắp mọi nơi, nếu bao đóng của nó trùng với toàn bộ không gian; dày đặc– nếu bao đóng của nó không có các tập con mở khác rỗng (so sánh định nghĩa này với định nghĩa trong Phụ lục 2).

45. a) Hãy để Một, b, a , b O Z Và Một < a < b < b. Chứng minh rằng tập hàm số liên tục trên [ Một,b], đều đều trên , không nơi nào dày đặc trong không gian của mọi hàm số liên tục trên [ Một,b] với số liệu thống nhất.

b) Hãy để Một, b, c, e O Z Và Một < b, c> 0, e > 0. Khi đó tập hàm số liên tục trên [ Một,b], như vậy mà

$ x VỀ [ Một,b]: " y (0 < | x - y| < e ) Ю

| f(x) - f(y)| | x - y|

Ј c,

không nơi nào dày đặc trong không gian của tất cả các hàm liên tục trên [ Một,b] với số liệu thống nhất.

46. (Định lý Baire tổng quát .) Chứng minh rằng một không gian mêtric đầy đủ không thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số tập hợp dày đặc không đếm được.

47. Chứng minh rằng tập hợp liên tục, không đơn điệu trên bất kỳ khoảng không trống nào và các hàm khả vi không ở đâu được xác định trên khoảng đó dày đặc ở mọi nơi trong không gian của tất cả các hàm liên tục trên với một phép đo đều.

48*. Cho phép f– hàm khả vi trên khoảng. Chứng minh rằng đạo hàm của nó liên tục trên một tập điểm dày đặc khắp mọi nơi. Đây là định nghĩa Lebesgue số đo bằng không. Nếu thay số khoảng đếm được bằng một khoảng hữu hạn, ta có định nghĩa Jordanova số đo bằng không.

Một trong những nhiệm vụ chính của lý thuyết tập hợp điểm là nghiên cứu các tính chất của các loại tập hợp điểm khác nhau. Chúng tôi sẽ giới thiệu cho người đọc lý thuyết này bằng hai ví dụ. Cụ thể, ở đây chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của cái gọi là tập đóng và tập mở.

Một tập được gọi là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. Nếu một tập hợp không có một điểm giới hạn nào thì nó cũng được coi là đóng. Ngoài các điểm giới hạn của nó, một tập đóng còn có thể chứa các điểm cô lập. Một tập được gọi là mở nếu mỗi điểm của nó đều nằm trong nó.

Hãy cho ví dụ về tập đóng và tập mở. Mỗi đoạn là một tập đóng và mọi khoảng là một tập mở. Nửa khoảng không hợp lý

được đóng lại và các khoảng không thích hợp được mở. Toàn bộ dòng vừa là một tập hợp đóng vừa là một tập hợp mở. Thật thuận tiện khi coi tập rỗng là tập đóng và tập mở cùng một lúc. Bất kỳ tập hợp điểm hữu hạn nào trên một đường thẳng đều đóng vì nó không có điểm giới hạn. Một tập hợp gồm các điểm

đóng cửa; tập hợp này có một điểm giới hạn duy nhất thuộc về tập hợp đó.

Nhiệm vụ của chúng ta là tìm ra cách cấu trúc một tập đóng hoặc tập mở tùy ý. Để làm được điều này, chúng ta sẽ cần một số sự kiện phụ trợ mà chúng ta sẽ chấp nhận mà không cần chứng minh.

1. Giao của bất kỳ số tập hợp đóng nào đều đóng.

2. Tổng của một số tập mở bất kỳ là một tập mở.

3. Nếu một tập đóng bị chặn ở trên thì nó chứa giá trị tối cao của nó. Tương tự, nếu một tập đóng bị chặn bên dưới thì nó chứa cực tiểu của nó.

Cho E là tập hợp các điểm tùy ý trên một đường thẳng. Gọi nó là phần bù của tập E và biểu thị bằng tập hợp tất cả các điểm trên đường thẳng không thuộc tập E. Rõ ràng rằng nếu x là điểm ngoài của E thì nó là điểm trong của tập E. đặt và ngược lại.

4. Nếu tập F đóng thì phần bù của nó là mở và ngược lại.

Hãy bắt đầu nghiên cứu các tính chất của tập hợp đóng. Hãy giới thiệu một định nghĩa. Cho F là một tập đóng. Khoảng có tính chất là không có điểm nào thuộc tập a và không có điểm a thuộc tập hợp được gọi là khoảng liền kề của tập hợp. Chúng ta cũng sẽ bao gồm các khoảng không thích hợp như các khoảng liền kề, hoặc nếu điểm a hoặc điểm thuộc tập hợp a thì bản thân các khoảng đó không giao nhau với F. Hãy chứng minh rằng nếu một điểm x không thuộc một tập đóng thì nó thuộc một trong các khoảng liền kề của nó.

Chúng ta biểu thị bằng phần của tập hợp nằm bên phải điểm x. Vì bản thân điểm x không thuộc tập hợp nên nó có thể được biểu diễn dưới dạng giao

Mỗi tập F đều đóng. Do đó, theo Mệnh đề 1, tập hợp đóng. Nếu tập hợp rỗng thì toàn bộ nửa khoảng thuộc về tập hợp.Bây giờ chúng ta giả sử rằng tập hợp đó không rỗng. Vì tập hợp này nằm hoàn toàn trên một nửa khoảng nên nó bị giới hạn bên dưới. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng cạnh dưới của nó. Theo đề xuất và do đó . Hơn nữa, vì có một phần vô cùng của tập hợp nên nửa khoảng nằm bên trái điểm không chứa các điểm của tập hợp và do đó không chứa các điểm của tập hợp. không chứa các điểm của tập hợp và một trong hai hoặc điểm đó thuộc về tập hợp. Tương tự, nửa khoảng không chứa các điểm của tập hợp và hoặc hoặc a Bây giờ rõ ràng khoảng chứa điểm x và là khoảng liền kề của Dễ dàng nhận thấy rằng nếu - hai khoảng liền kề của tập hợp thì các khoảng này trùng nhau hoặc không cắt nhau.

Từ phần trước, bất kỳ tập đóng nào trên một đường đều thu được bằng cách loại bỏ một số khoảng nhất định khỏi đường đó, cụ thể là các khoảng liền kề của tập hợp.Vì mỗi khoảng chứa ít nhất một điểm hữu tỉ, và tất cả các điểm hữu tỷ trên đường thẳng đều là một tập hợp đếm được, thật dễ dàng để xác minh rằng số lượng của tất cả các khoảng liền kề lớn hơn số đếm được. Từ đây chúng ta có được kết luận cuối cùng. Mỗi tập hợp đóng trên một dòng có được bằng cách loại bỏ khỏi dòng nhiều nhất một tập hợp các khoảng cách nhau có thể đếm được.

Như có thể thấy từ ví dụ sau, các tập đóng có thể có cấu trúc rất phức tạp.

Bộ hoàn hảo của Cantor. Chúng ta hãy xây dựng một tập đóng đặc biệt có một số tính chất đáng chú ý. Trước hết, hãy loại bỏ các khoảng không phù hợp khỏi dòng. Sau thao tác này, chúng ta sẽ còn lại một đoạn. Tiếp theo, hãy loại bỏ khỏi phân đoạn này khoảng thời gian chiếm một phần ba ở giữa.

Từ mỗi đoạn trong số hai đoạn còn lại, hãy loại bỏ phần ba ở giữa của nó. Chúng tôi sẽ tiếp tục quá trình loại bỏ phần ba ở giữa khỏi các phân đoạn còn lại vô thời hạn. Tập hợp các điểm còn lại trên đường thẳng sau khi loại bỏ tất cả các khoảng này được gọi là tập hợp hoàn hảo Cantor; chúng ta sẽ biểu thị nó bằng chữ R.

Hãy xem xét một số tính chất của tập hợp này. Tập P đóng, vì nó được hình thành bằng cách loại bỏ khỏi một đường thẳng một tập hợp các khoảng rời nhau nhất định. Tập P không trống; trong mọi trường hợp, nó chứa phần cuối của tất cả các khoảng bị loại bỏ.

Một tập đóng F được gọi là hoàn hảo nếu nó không chứa các điểm cô lập, nghĩa là nếu mỗi điểm của nó là một điểm giới hạn. Ta chứng minh tập P là hoàn hảo. Thật vậy, nếu một điểm x nào đó là điểm cô lập của tập P thì nó sẽ đóng vai trò là điểm cuối chung của hai khoảng liền kề của tập hợp này. Tuy nhiên, theo cách xây dựng, các khoảng liền kề của tập P không có điểm chung.

Tập P không chứa một khoảng duy nhất. Trên thực tế, chúng ta hãy giả sử rằng một khoảng nhất định hoàn toàn thuộc về tập P. Khi đó nó hoàn toàn thuộc về một trong các đoạn thu được ở bước xây dựng tập P. Nhưng điều này là không thể, vì khi độ dài của các đoạn này có xu hướng thay đổi viên đạn.

Có thể chứng minh rằng tập P có số lượng của một tập liên tục. Đặc biệt, theo đó, tập hoàn hảo Cantor còn chứa các điểm khác, ngoài các điểm cuối của các khoảng liền kề. Thật vậy, phần cuối của các khoảng liền kề chỉ tạo thành một tập hợp đếm được.

Nhiều loại tập điểm khác nhau thường xuyên gặp phải trong các ngành toán học khác nhau và kiến thức về các tính chất của chúng là hoàn toàn cần thiết khi nghiên cứu nhiều bài toán. Lý thuyết về tập hợp điểm đặc biệt quan trọng đối với phân tích toán học và cấu trúc liên kết.

Chúng ta hãy đưa ra một số ví dụ về sự xuất hiện của tập hợp điểm trong các phần phân tích cổ điển. Giả sử là một hàm liên tục xác định trên đoạn thẳng. Ta cố định số a và xét tập hợp các điểm x sao cho dễ chứng minh rằng tập hợp này có thể là một tập đóng tùy ý nằm trên đoạn thẳng. Tương tự như vậy, tập hợp các điểm x có thể là bất kỳ tập mở nào. Nếu có một chuỗi các hàm liên tục được xác định trên một khoảng, thì tập hợp các điểm x nơi chuỗi này hội tụ không thể tùy ý mà thuộc về một loại rất cụ thể.

Môn toán nghiên cứu cấu trúc của tập hợp điểm được gọi là lý thuyết tập hợp mô tả. Những thành tựu to lớn trong việc phát triển lý thuyết tập hợp mô tả thuộc về các nhà toán học Liên Xô - N. N. Luzin và các học trò của ông là P. S. Aleksandrov, M. Ya. Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov và những người khác.

Nghiên cứu của N. N. Luzin và các sinh viên của ông cho thấy có mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết tập hợp mô tả và logic toán học. Những khó khăn nảy sinh khi xem xét một số bài toán trong lý thuyết tập hợp mô tả (cụ thể là bài toán xác định số lượng của một số tập hợp) là những khó khăn có tính chất logic. Ngược lại, các phương pháp logic toán học cho phép chúng ta đi sâu hơn vào một số vấn đề của lý thuyết tập hợp mô tả.