Người ta biết rằng trong toán học không có cách nào làm được nếu không đơn giản hóa các biểu thức. Điều này là cần thiết để giải quyết chính xác và nhanh chóng nhiều loại vấn đề, cũng như các loại phương trình khác nhau. Việc đơn giản hóa được thảo luận ở đây ngụ ý việc giảm số lượng hành động cần thiết để đạt được mục tiêu. Kết quả là, việc tính toán được đơn giản hóa đáng kể và thời gian được tiết kiệm đáng kể. Nhưng làm thế nào để đơn giản hóa biểu thức? Để làm điều này, các mối quan hệ toán học đã thiết lập được sử dụng, thường được gọi là công thức hoặc định luật, cho phép thực hiện các biểu thức ngắn hơn nhiều, do đó đơn giản hóa các phép tính.

Không có gì bí mật rằng ngày nay việc đơn giản hóa cách diễn đạt trực tuyến không khó. Dưới đây là các liên kết đến một số trong những cái phổ biến nhất:

Tuy nhiên, điều này là không thể với mọi biểu thức. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn các phương pháp truyền thống hơn.

Loại bỏ ước chung

Trong trường hợp khi một biểu thức chứa các đơn thức có cùng thừa số, bạn có thể tìm tổng các hệ số của chúng rồi nhân với thừa số chung của chúng. Thao tác này còn được gọi là "loại bỏ ước chung". Kiên trì sử dụng phương pháp này, đôi khi bạn có thể đơn giản hóa đáng kể biểu thức. Xét cho cùng, đại số nói chung được xây dựng dựa trên việc nhóm và sắp xếp lại các thừa số và ước số.

Các công thức đơn giản nhất cho phép nhân viết tắt

Một trong những hệ quả của phương pháp được mô tả trước đây là các công thức nhân viết tắt. Làm thế nào để đơn giản hóa các biểu thức với sự trợ giúp của chúng rõ ràng hơn nhiều đối với những người thậm chí chưa thuộc lòng các công thức này, nhưng biết chúng có nguồn gốc như thế nào, nghĩa là chúng đến từ đâu và theo đó, bản chất toán học của chúng. Về nguyên tắc, tuyên bố trước đó vẫn có giá trị trong tất cả các môn toán hiện đại, từ lớp một đến các khóa học cao hơn của khoa cơ khí và toán học. Hiệu bình phương, bình phương hiệu và tổng, tổng và hiệu lập phương - tất cả các công thức này đều được sử dụng rộng rãi trong toán tiểu học cũng như toán cao cấp trong những trường hợp cần đơn giản hóa biểu thức để giải bài toán. Ví dụ về các phép biến đổi như vậy có thể dễ dàng tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa đại số nào ở trường, hoặc thậm chí dễ dàng hơn là trên World Wide Web.

Rễ độ

Toán tiểu học, nếu nhìn một cách tổng thể, không có nhiều cách để đơn giản hóa một biểu thức. Bằng cấp và các thao tác với chúng, theo quy luật, tương đối dễ dàng đối với hầu hết sinh viên. Nhưng nhiều học sinh và sinh viên hiện đại gặp khó khăn đáng kể khi cần đơn giản hóa một biểu thức có gốc. Và điều này hoàn toàn vô căn cứ. Bởi vì bản chất toán học của các nghiệm không khác với bản chất của các cấp độ tương tự, theo quy luật, có ít khó khăn hơn nhiều. Người ta biết rằng Căn bậc hai của một số, biến hoặc biểu thức không gì khác hơn là cùng một số, biến hoặc biểu thức lũy thừa một nửa, căn bậc ba bằng lũy ​​thừa một phần ba, v.v. theo sự tương ứng.

Rút gọn biểu thức bằng phân số

Chúng ta cũng hãy xem một ví dụ phổ biến về cách đơn giản hóa biểu thức bằng phân số. Trong trường hợp biểu thức là phân số tự nhiên, bạn nên tách nhân tử chung ra khỏi mẫu số và tử số, sau đó rút gọn phân số đó. Khi các đơn thức có các thừa số giống nhau được nâng lên lũy thừa thì khi cộng các lũy thừa phải đảm bảo bằng nhau.

Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác cơ bản

Điều nổi bật đối với một số người là cuộc trò chuyện về cách đơn giản hóa biểu thức lượng giác. Nhánh lượng giác rộng nhất có lẽ là giai đoạn đầu tiên mà học sinh toán học sẽ gặp phải những khái niệm, bài toán và phương pháp giải chúng hơi trừu tượng. Có các công thức tương ứng ở đây, công thức đầu tiên là đồng nhất thức lượng giác cơ bản. Có đủ tư duy toán học, bạn có thể theo dõi nguồn gốc có hệ thống từ đồng nhất thức này của tất cả các công thức và nhận dạng lượng giác cơ bản, bao gồm các công thức hiệu và tổng các đối số, đối số kép, ba, công thức rút gọn và nhiều công thức khác. Tất nhiên, ở đây không nên quên những phương pháp đầu tiên, chẳng hạn như thêm một thừa số chung, được sử dụng đầy đủ cùng với các phương pháp và công thức mới.

Tóm lại, chúng tôi sẽ cung cấp cho người đọc một số lời khuyên chung:

• Đa thức phải được nhân tử hóa, nghĩa là chúng phải được biểu diễn dưới dạng tích của một số thừa số nhất định - đơn thức và đa thức. Nếu có khả năng như vậy thì cần phải loại hệ số chung ra khỏi ngoặc.
• Tốt hơn hết bạn nên ghi nhớ tất cả các công thức nhân viết tắt mà không có ngoại lệ. Không có nhiều trong số chúng, nhưng chúng là cơ sở để đơn giản hóa các biểu thức toán học. Đừng quên phương pháp lựa chọn hình vuông đầy đủ trong tam thức, là nghịch đảo của một trong các công thức nhân viết tắt.
• Tất cả các phân số có trong biểu thức nên được rút gọn thường xuyên nhất có thể. Tuy nhiên, đừng quên rằng chỉ có số nhân là giảm. Trường hợp mẫu số và tử số phân số đại số nhân với cùng một số khác 0 thì ý nghĩa của các phân số không thay đổi.
• Nói chung, tất cả các biểu thức có thể được chuyển đổi bằng hành động hoặc theo chuỗi. Phương pháp đầu tiên thích hợp hơn vì kết quả của các hành động trung gian được xác minh dễ dàng hơn.
• Khá thường xuyên trong các biểu thức toán học, chúng ta phải rút ra các nghiệm. Cần nhớ rằng các nghiệm bậc chẵn chỉ có thể được rút ra từ số không âm hoặc biểu thức, và gốc của lũy thừa lẻ hoàn toàn bắt nguồn từ bất kỳ biểu thức hoặc số nào.

Chúng tôi hy vọng bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn trong tương lai hiểu được các công thức toán học và hướng dẫn bạn cách áp dụng chúng vào thực tế.

Cấp độ đầu tiên

Chuyển đổi biểu thức. Lý thuyết chi tiết (2019)

Chuyển đổi biểu thức

Chúng ta thường nghe thấy cụm từ khó chịu này: “đơn giản hóa cách diễn đạt”. Thông thường chúng ta thấy một số loại quái vật như thế này:

“Nó đơn giản hơn nhiều,” chúng tôi nói, nhưng câu trả lời như vậy thường không hiệu quả.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn đừng sợ bất kỳ nhiệm vụ nào như vậy. Hơn nữa, vào cuối bài học, chính bạn sẽ đơn giản hóa ví dụ này thành (chỉ!) một số bình thường (vâng, chết tiệt với những chữ cái này).

Nhưng trước khi bắt đầu bài học này, bạn cần có khả năng xử lý phân số và nhân tử đa thức. Vì vậy, trước tiên, nếu bạn chưa từng làm việc này trước đây, hãy nhớ nắm vững chủ đề “” và “”.

Bạn đọc nó xong chưa? Nếu có thì bây giờ bạn đã sẵn sàng.

Các thao tác đơn giản hóa cơ bản

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các kỹ thuật cơ bản được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức.

Đơn giản nhất là

1. Mang theo tương tự

Tương tự là gì? Bạn học điều này vào năm lớp 7, khi các chữ cái thay vì số lần đầu tiên xuất hiện trong toán học. Tương tự là các thuật ngữ (đơn thức) có cùng một phần chữ cái. Ví dụ, trong tổng, các số hạng tương tự là và.

Bạn có nhớ?

Mang các phương tiện tương tự để thêm một số thuật ngữ tương tự với nhau và nhận được một thuật ngữ.

Làm thế nào chúng ta có thể ghép các chữ cái lại với nhau? - bạn hỏi.

Điều này rất dễ hiểu nếu bạn tưởng tượng rằng các chữ cái là một loại đồ vật nào đó. Ví dụ, một lá thư là một cái ghế. Khi đó biểu thức bằng là gì? Hai cái ghế cộng với ba cái ghế thì sẽ bằng bao nhiêu? Đúng rồi ghế: .

Bây giờ hãy thử biểu thức này: .

Để tránh nhầm lẫn, hãy để các chữ cái khác nhau đại diện cho các đối tượng khác nhau. Ví dụ, - là (như thường lệ) một cái ghế, và - là một cái bàn. Sau đó:

ghế bàn ghế bàn ghế ghế bàn

Các số mà các chữ cái trong các thuật ngữ đó được nhân với nhau được gọi là hệ số. Ví dụ, trong một đơn thức thì hệ số bằng nhau. Và trong đó là bình đẳng.

Vì vậy, quy tắc mang theo những thứ tương tự là:

Ví dụ:

Cho những cái tương tự:

Câu trả lời:

2. (và tương tự, vì các thuật ngữ này có phần chữ cái giống nhau).

2. Phân tích nhân tố

Đây thường là phần quan trọng nhất trong việc đơn giản hóa các biểu thức. Sau khi bạn đưa ra những cái tương tự, thông thường, biểu thức kết quả cần phải được phân tích thành thừa số, nghĩa là được trình bày dưới dạng tích. Điều này đặc biệt quan trọng trong phân số: để có thể rút gọn một phân số, tử số và mẫu số phải được biểu diễn dưới dạng tích.

Các bạn đã tìm hiểu chi tiết các phương pháp phân tích nhân tử trong chủ đề “”, đến đây các bạn chỉ cần nhớ lại những gì đã học. Để làm điều này, hãy quyết định một số ví dụ(cần được nhân tử hóa):

Các giải pháp:

3. Rút gọn một phân số.

Chà, còn gì dễ chịu hơn việc gạch bỏ một phần tử số và mẫu số và ném chúng ra khỏi cuộc sống của bạn?

Đó là vẻ đẹp của việc thu nhỏ.

Thật đơn giản:

Nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống nhau thì chúng có thể được rút gọn, nghĩa là loại bỏ khỏi phân số.

Quy tắc này tuân theo tính chất cơ bản của phân số:

Nghĩa là, bản chất của hoạt động rút gọn là Chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số (hoặc cho cùng một biểu thức).

Để giảm một phần bạn cần:

1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số

2) nếu tử số và mẫu số chứa yếu tố chung, chúng có thể bị gạch bỏ.

Nguyên tắc, tôi nghĩ, là rõ ràng?

Tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn vào một điều sai lầm điển hình khi ký hợp đồng. Chủ đề này tuy đơn giản nhưng nhiều người làm sai mà không hiểu giảm bớt- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số đều bằng nhau.

Không viết tắt nếu tử số hoặc mẫu số là tổng.

Ví dụ: chúng ta cần đơn giản hóa.

Một số người làm điều này: điều này hoàn toàn sai.

Một ví dụ khác: giảm.

Người “thông minh nhất” sẽ làm điều này: .

Nói cho tôi biết có chuyện gì ở đây vậy? Có vẻ như: - đây là một số nhân, có nghĩa là nó có thể giảm đi.

Nhưng không: - đây chỉ là thừa số của một số hạng trong tử số, nhưng bản thân tử số nói chung không được phân tích thành thừa số.

Đây là một ví dụ khác: .

Biểu thức này được phân tích thành thừa số, có nghĩa là bạn có thể rút gọn nó, nghĩa là chia tử số và mẫu số cho rồi chia cho:

Bạn có thể ngay lập tức chia nó thành:

Để tránh những sai lầm như vậy, hãy nhớ cách dễ dàng cách xác định xem một biểu thức có được nhân tử hóa hay không:

Phép toán số học được thực hiện cuối cùng khi tính giá trị của một biểu thức là phép toán “chính”. Nghĩa là, nếu bạn thay thế một số (bất kỳ) số nào thay vì các chữ cái và cố gắng tính giá trị của biểu thức, thì nếu hành động cuối cùng là phép nhân, thì chúng ta có một tích (biểu thức được phân tích thành thừa số). Nếu hành động cuối cùng là cộng hoặc trừ, điều này có nghĩa là biểu thức không được phân tích thành thừa số (và do đó không thể rút gọn).

Để củng cố, tự mình giải quyết một số vấn đề ví dụ:

Câu trả lời:

1. Tôi hy vọng bạn không vội vàng cắt và? “Giảm” đơn vị như thế này vẫn chưa đủ:

Bước đầu tiên phải là nhân tố hóa:

4. Cộng và trừ các phân số. Quy đổi phân số về mẫu số chung.

Cộng và trừ các phân số thông thường là một thao tác quen thuộc: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân mỗi phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số. Xin hãy nhớ:

Câu trả lời:

1. Các mẫu số và nguyên tố cùng nhau, nghĩa là chúng không có ước chung. Do đó, LCM của những số này bằng tích của chúng. Đây sẽ là mẫu số chung:

2. Mẫu số chung ở đây là:

3. Điều đầu tiên ở đây phân số hỗn hợp chúng tôi biến chúng thành những cái không chính xác và sau đó làm theo mẫu thông thường:

Đó là một vấn đề hoàn toàn khác nếu phân số chứa các chữ cái, ví dụ:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:

a) Mẫu số không chứa chữ cái

Ở đây mọi thứ đều giống như với các phân số thông thường: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân từng phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số:

Bây giờ trong tử số, bạn có thể đưa ra những số tương tự, nếu có, và phân tích chúng:

Hãy tự mình thử:

b) Mẫu số chứa các chữ cái

Chúng ta hãy nhớ nguyên tắc tìm mẫu số chung không có chữ cái:

Trước hết, chúng ta xác định các nhân tố chung;

Sau đó chúng ta viết ra tất cả các ước chung một lần;

và nhân chúng với tất cả các yếu tố khác, không phải những yếu tố chung.

Để xác định các thừa số chung của các mẫu số, trước tiên chúng ta phân tích chúng thành thừa số nguyên tố:

Chúng tôi nhấn mạnh những yếu tố chung:

Bây giờ chúng ta hãy viết ra từng thừa số chung và thêm vào đó tất cả các thừa số không phổ biến (không được gạch chân):

Đây là mẫu số chung.

Hãy quay lại với những lá thư. Các mẫu số được đưa ra theo cùng một cách:

· Phân tích mẫu số;

· xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau);

· viết ra tất cả các thừa số chung một lần;

· nhân chúng với tất cả các yếu tố không phổ biến khác.

Vì vậy, theo thứ tự:

1) nhân tử mẫu số:

2) xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau):

3) viết ra tất cả các thừa số chung một lần và nhân chúng với tất cả các thừa số khác (không gạch chân):

Vậy có một mẫu số chung ở đây. Phân số thứ nhất phải được nhân với, phân số thứ hai - với:

Nhân tiện, có một mẹo:

Ví dụ: .

Chúng ta thấy các yếu tố giống nhau ở mẫu số, chỉ có điều tất cả đều có các chỉ số khác nhau. Mẫu số chung sẽ là:

đến một mức độ

đến một mức độ

đến một mức độ

đến một mức độ.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Làm thế nào để phân số có cùng mẫu số?

Hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số:

Không nơi nào nói rằng cùng một số có thể được trừ (hoặc cộng) từ tử số và mẫu số của một phân số. Bởi vì nó không đúng sự thật!

Hãy tự mình xem: lấy bất kỳ phân số nào, ví dụ, và thêm một số số vào tử số và mẫu số, ví dụ: . Bạn đã học được gì?

Vì vậy, một quy tắc không thể lay chuyển khác:

Khi bạn rút gọn phân số về mẫu số chung, chỉ sử dụng phép nhân!

Nhưng bạn cần nhân lên để có được gì?

Vì vậy, hãy nhân lên. Và nhân với:

Chúng ta sẽ gọi những biểu thức không thể phân tích thành nhân tử là “các thừa số cơ bản”. Ví dụ, là một yếu tố cơ bản. - Như nhau. Nhưng - không: nó bị phân hủy thành các yếu tố.

Còn biểu hiện thì sao? Nó có phải là tiểu học không?

Không, bởi vì nó có thể được phân tích thành nhân tử:

(bạn đã đọc về phân tích nhân tử trong chủ đề “”).

Vì vậy, các yếu tố cơ bản mà bạn mở rộng biểu thức bằng các chữ cái là một yếu tố tương tự thừa số nguyên tố, trong đó bạn phân tách các số. Và chúng ta sẽ giải quyết chúng theo cách tương tự.

Chúng ta thấy rằng cả hai mẫu số đều có một số nhân. Nó sẽ đi đến mẫu số chung ở mức độ nào đó (bạn nhớ tại sao không?).

Yếu tố này là cơ bản và chúng không có yếu tố chung, điều đó có nghĩa là phân số đầu tiên sẽ chỉ cần được nhân với nó:

Một vi dụ khac:

Giải pháp:

Trước khi nhân các mẫu số này một cách hoảng loạn, bạn cần suy nghĩ về cách phân tích chúng? Cả hai đều đại diện:

Tuyệt vời! Sau đó:

Một vi dụ khac:

Giải pháp:

Như thường lệ, hãy phân tích các mẫu số. Trong mẫu số đầu tiên, chúng ta chỉ cần đặt nó ra khỏi ngoặc; trong phần thứ hai - sự khác biệt của hình vuông:

Có vẻ như không có yếu tố chung. Nhưng nếu bạn nhìn kỹ, chúng giống nhau... Và đó là sự thật:

Vì vậy hãy viết:

Tức là mọi chuyện diễn ra như thế này: bên trong ngoặc, chúng ta đổi chỗ các số hạng, đồng thời dấu đứng trước phân số đổi thành ngược lại. Hãy lưu ý, bạn sẽ phải làm điều này thường xuyên.

Bây giờ hãy đưa nó về mẫu số chung:

Hiểu rồi? Hãy kiểm tra nó ngay bây giờ.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

Ở đây chúng ta cần nhớ một điều nữa - sự khác biệt của hình khối:

Xin lưu ý rằng mẫu số của phân số thứ hai không chứa công thức “bình phương của tổng”! Bình phương của tổng sẽ có dạng như sau: .

A được gọi là bình phương không đầy đủ của tổng: số hạng thứ hai trong đó là tích của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chứ không phải tích kép của chúng. Bình phương một phần của tổng là một trong những yếu tố làm mở rộng hiệu của các lập phương:

Phải làm gì nếu đã có ba phân số?

Vâng, điều tương tự! Trước hết, hãy đảm bảo rằng số tiền tối đa các thừa số ở mẫu số là như nhau:

Xin lưu ý: nếu bạn thay đổi dấu bên trong một dấu ngoặc, dấu ở phía trước phân số sẽ thay đổi thành dấu ngược lại. Khi đổi dấu ngoặc thứ hai thì dấu đứng trước phân số lại đổi thành dấu ngược lại. Kết quả là nó (dấu đứng trước phân số) không thay đổi.

Chúng ta viết toàn bộ mẫu số thứ nhất vào mẫu số chung, sau đó thêm vào đó tất cả các thừa số chưa được viết, từ mẫu số thứ hai, rồi từ mẫu số thứ ba (v.v., nếu có nhiều phân số hơn). Tức là nó thành ra thế này:

Hmm... Rõ ràng phải làm gì với phân số. Nhưng còn hai người thì sao?

Thật đơn giản: bạn biết cách cộng phân số phải không? Vì vậy, chúng ta cần biến hai thành một phân số! Hãy nhớ: phân số là phép chia (tử số được chia cho mẫu số, trong trường hợp bạn quên). Và không có gì dễ dàng hơn việc chia một số cho. Trong trường hợp này, bản thân số đó sẽ không thay đổi mà sẽ chuyển thành phân số:

Chính xác những gì cần thiết!

5. Nhân và chia phân số.

Chà, phần khó nhất bây giờ đã qua rồi. Và trước mắt chúng ta là điều đơn giản nhất nhưng đồng thời cũng là điều quan trọng nhất:

Thủ tục

Trình tự tính một biểu thức số là gì? Hãy nhớ bằng cách tính toán ý nghĩa của biểu thức này:

Bạn đã đếm chưa?

Nó sẽ hoạt động.

Vì vậy, hãy để tôi nhắc nhở bạn.

Bước đầu tiên là tính toán mức độ.

Thứ hai là phép nhân và phép chia. Nếu có nhiều phép nhân và chia cùng một lúc, chúng có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào.

Và cuối cùng, chúng tôi thực hiện phép cộng và phép trừ. Một lần nữa, theo thứ tự bất kỳ.

Nhưng: biểu thức trong ngoặc được đánh giá sai lần lượt!

Nếu nhân hoặc chia nhiều dấu ngoặc với nhau, trước tiên chúng ta tính biểu thức trong mỗi dấu ngoặc, sau đó nhân hoặc chia chúng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu có nhiều dấu ngoặc bên trong dấu ngoặc? Chà, hãy nghĩ xem: một số biểu thức được viết bên trong dấu ngoặc. Khi tính một biểu thức, đầu tiên bạn phải làm gì? Đúng rồi, hãy tính dấu ngoặc. Chà, chúng tôi đã tìm ra cách: đầu tiên chúng tôi tính toán các dấu ngoặc bên trong, sau đó là mọi thứ khác.

Vì vậy, quy trình cho biểu thức trên như sau (hành động hiện tại được đánh dấu màu đỏ, nghĩa là hành động mà tôi đang thực hiện ngay bây giờ):

Được rồi, tất cả đều đơn giản.

Nhưng điều này không giống như cách diễn đạt bằng chữ cái?

Không, nó giống nhau! Chỉ thay vì thực hiện các phép tính số học, bạn cần thực hiện các phép tính đại số, tức là các hành động được mô tả trong phần trước: mang lại tương tự, cộng phân số, rút ​​gọn phân số, v.v. Sự khác biệt duy nhất sẽ là hoạt động phân tích thành nhân tử của đa thức (chúng ta thường sử dụng điều này khi làm việc với phân số). Thông thường, để phân tích nhân tử, bạn cần sử dụng I hoặc đơn giản là đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Thông thường mục tiêu của chúng ta là biểu diễn biểu thức dưới dạng tích hoặc thương.

Ví dụ:

Hãy đơn giản hóa biểu thức.

1) Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức trong ngoặc. Ở đó chúng ta có hiệu của các phân số và mục tiêu của chúng ta là biểu thị nó dưới dạng tích hoặc thương. Vì vậy, chúng ta đưa các phân số về mẫu số chung và cộng:

Không thể đơn giản hóa biểu thức này hơn nữa; tất cả các hệ số ở đây đều là cơ bản (bạn vẫn nhớ điều này có nghĩa là gì?).

2) Chúng tôi nhận được:

Nhân phân số: điều gì có thể đơn giản hơn.

3) Bây giờ bạn có thể rút ngắn:

Được rồi, mọi chuyện đã kết thúc rồi. Không có gì phức tạp phải không?

Một vi dụ khac:

Đơn giản hóa biểu thức.

Đầu tiên, hãy cố gắng tự giải quyết và chỉ sau đó mới nhìn vào giải pháp.

Trước hết, hãy xác định thứ tự các hành động. Đầu tiên, hãy cộng các phân số trong ngoặc đơn để thay vì hai phân số, chúng ta có một phân số. Sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép chia phân số. Vâng, hãy cộng kết quả với phân số cuối cùng. Tôi sẽ đánh số các bước theo sơ đồ:

Bây giờ tôi sẽ chỉ cho bạn quy trình, tô màu đỏ cho hành động hiện tại:

Cuối cùng, tôi sẽ cung cấp cho bạn hai lời khuyên hữu ích:

1. Nếu có những cái tương tự thì phải mang đi ngay. Bất cứ khi nào những vấn đề tương tự xuất hiện ở nước ta, chúng ta nên đưa chúng ra ngay lập tức.

2. Việc rút gọn phân số cũng vậy: ngay khi có cơ hội rút gọn thì phải tận dụng. Ngoại lệ dành cho các phân số mà bạn cộng hoặc trừ: nếu bây giờ chúng có cùng mẫu số thì việc rút gọn sẽ được để lại sau.

Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn tự giải quyết:

Và những gì đã được hứa ngay từ đầu:

Giải pháp (ngắn gọn):

Nếu bạn đã giải quyết được ít nhất ba ví dụ đầu tiên thì bạn đã nắm vững chủ đề.

Bây giờ vào việc học!

CHUYỂN ĐỔI BIỂU TƯỢNG. CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN

Các thao tác đơn giản hóa cơ bản:

• Mang tương tự: để thêm (rút gọn) các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và gán phần chữ cái.
• Nhân tố hóa:đưa yếu tố chung ra khỏi ngoặc, áp dụng nó, v.v.
• Giảm một phần: Tử số và mẫu số của một phân số có thể nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0 mà không làm thay đổi giá trị của phân số.
  1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số
  2) nếu tử số và mẫu số có thừa số chung thì có thể gạch bỏ.

  QUAN TRỌNG: chỉ có thể giảm số nhân!

• Cộng và trừ các phân số:
  ;
• Nhân và chia phân số:
  ;

Toán-Máy tính-Trực tuyến v.1.0

Máy tính thực hiện các thao tác sau: cộng, trừ, nhân, chia, làm việc với số thập phân, trích rút căn, lũy thừa, tính phần trăm và các phép toán khác.

Giải pháp:

Cách sử dụng máy tính toán

Chìa khóa	chỉ định	Giải trình
5	số 0-9	chữ số Ả Rập. Nhập số nguyên tự nhiên, bằng không. Để lấy số nguyên âm, bạn phải nhấn phím +/-
.	dấu chấm phẩy)	Dấu phân cách để biểu thị một phần thập phân. Nếu không có số trước dấu phẩy (dấu phẩy), máy tính sẽ tự động thay thế số 0 trước dấu phẩy. Ví dụ: 0,5 - 0,5 sẽ được viết
+	dấu cộng	Cộng các số (số nguyên, số thập phân)
-	dấu trừ	Trừ số (số nguyên, số thập phân)
÷	dấu hiệu chia	Chia số (số nguyên, số thập phân)
X	dấu nhân	Nhân các số (số nguyên, số thập phân)
√	nguồn gốc	Trích xuất gốc của một số. Khi bạn nhấn nút “root” lần nữa, nghiệm của kết quả sẽ được tính toán. Ví dụ: căn của 16 = 4; căn bậc 4 = 2
x 2	bình phương	Bình phương một số. Khi nhấn nút "bình phương" lần nữa, kết quả sẽ là bình phương, ví dụ: bình phương 2 = 4; hình vuông 4 = 16
1/x	phân số	Đầu ra ở dạng phân số thập phân. Tử số là 1, mẫu số là số được nhập
%	phần trăm	Lấy phần trăm của một số. Để làm việc, bạn cần nhập: số mà phần trăm sẽ được tính, dấu (cộng, trừ, chia, nhân), bao nhiêu phần trăm ở dạng số, nút "%"
(	dấu ngoặc đơn mở	Dấu ngoặc đơn mở để xác định mức độ ưu tiên tính toán. Cần có dấu ngoặc đơn đóng. Ví dụ: (2+3)*2=10
)	dấu ngoặc đóng	Dấu ngoặc đơn đóng để xác định mức độ ưu tiên tính toán. Cần có dấu ngoặc đơn mở
±	cộng trừ	Dấu hiệu đảo ngược
=	bằng	Hiển thị kết quả của giải pháp. Cũng phía trên máy tính, trong trường “Giải pháp”, các phép tính trung gian và kết quả sẽ được hiển thị.
←	xóa một ký tự	Xóa ký tự cuối cùng
VỚI	cài lại	Nút reset. Đặt lại hoàn toàn máy tính về vị trí "0"

Thuật toán của máy tính trực tuyến sử dụng ví dụ

Phép cộng.

Phép cộng các số nguyên số tự nhiên { 5 + 7 = 12 }

Bổ sung toàn bộ tự nhiên và số âm { 5 + (-2) = 3 }

Cộng phân số thập phân (0,3 + 5,2 = 5,5)

Phép trừ.

Trừ các số nguyên tự nhiên ( 7 - 5 = 2 )

Trừ số nguyên tự nhiên và số âm ( 5 - (-2) = 7 )

Trừ các phân số thập phân ( 6.5 - 1.2 = 4.3 )

Phép nhân.

Tích các số nguyên tự nhiên (3 * 7 = 21)

Tích của số nguyên tự nhiên và số nguyên âm ( 5 * (-3) = -15 )

Tích của phân số thập phân ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Phân công.

Phép chia số nguyên tự nhiên (27/3 = 9)

Chia số tự nhiên và số nguyên âm (15 / (-3) = -5)

Chia phân số thập phân (6,2/2 = 3,1)

Trích xuất gốc của một số.

Trích xuất căn nguyên của một số nguyên ( root(9) = 3)

Trích xuất gốc từ số thập phân( gốc(2.5) = 1.58 )

Trích xuất căn của tổng các số ( root(56 + 25) = 9)

Trích xuất căn của sự khác biệt giữa các số (root (32 – 7) = 5)

Bình phương một số.

Bình phương một số nguyên ( (3) 2 = 9 )

Bình phương số thập phân ((2,2)2 = 4,84)

Chuyển đổi sang phân số thập phân.

Tính phần trăm của một số

Tăng số 230 lên 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Giảm số 510 đi 35% ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )

18% của số 140 là (140 * 0,18 = 25,2)

Trong số các biểu thức khác nhau được xem xét trong đại số là nơi quan trọng chiếm tổng các đơn thức. Dưới đây là ví dụ về các biểu thức như vậy:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Tổng các đơn thức được gọi là đa thức. Các số hạng trong đa thức được gọi là các số hạng của đa thức. Đơn thức còn được gọi là đa thức, coi đơn thức là đa thức gồm một phần tử.

Ví dụ, một đa thức
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
có thể được đơn giản hóa.

Hãy biểu diễn tất cả các số hạng dưới dạng đơn thức chế độ xem chuẩn:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Hãy để chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự trong đa thức kết quả:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Kết quả là một đa thức, tất cả các phần tử của chúng đều là các đơn thức có dạng chuẩn và không có phần tử nào giống nhau trong số đó. Những đa thức như vậy được gọi là đa thức có dạng chuẩn.

Phía sau bậc đa thức theo hình thức tiêu chuẩn sẽ nắm quyền cao nhất của các thành viên. Vì vậy, nhị thức \(12a^2b - 7b \) có bậc ba, và tam thức \(2b^2 -7b + 6 \) có bậc hai.

Thông thường, các số hạng của đa thức dạng chuẩn chứa một biến được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của số mũ của nó. Ví dụ:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Tổng của một số đa thức có thể được chuyển đổi (đơn giản hóa) thành dạng đa thức chuẩn.

Đôi khi các thành viên của đa thức cần được chia thành các nhóm, đặt mỗi nhóm trong dấu ngoặc đơn. Vì dấu ngoặc đơn trái ngược với dấu ngoặc đơn nên dễ dàng xây dựng Quy tắc mở ngoặc:

Nếu dấu + đặt trước dấu ngoặc thì các thuật ngữ trong ngoặc được viết cùng dấu.

Nếu đặt dấu "-" trước dấu ngoặc thì các từ trong ngoặc được viết bằng dấu ngược lại.

Biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và đa thức

Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân, người ta có thể biến đổi (đơn giản hóa) tích của một đơn thức và một đa thức thành đa thức. Ví dụ:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Tích của một đơn thức và một đa thức bằng tổng các tích của đơn thức đó và từng số hạng của đa thức đó.

Kết quả này thường được xây dựng như một quy luật.

Để nhân một đơn thức với một đa thức, người ta phải nhân đơn thức này với mỗi số hạng của đa thức.

Chúng ta đã sử dụng nhiều lần quy tắc này để nhân với một tổng.

Sản phẩm của đa thức. Phép biến đổi (đơn giản hóa) tích của hai đa thức

Nói chung, tích của hai đa thức bằng tổng tích từng số hạng của đa thức này và từng số hạng của đa thức kia.

Thông thường quy tắc sau được sử dụng.

Để nhân một đa thức với một đa thức, bạn cần nhân mỗi số hạng của đa thức này với mỗi số hạng của đa thức kia và cộng các tích thu được.

Công thức nhân viết tắt. Tổng bình phương, hiệu và hiệu của bình phương

Bạn phải xử lý một số biểu thức trong các phép biến đổi đại số thường xuyên hơn những biểu thức khác. Có lẽ các biểu thức phổ biến nhất là \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) và \(a^2 - b^2 \), tức là bình phương của tổng, bình phương của sự khác biệt và khác biệt của hình vuông. Bạn nhận thấy rằng tên của các biểu thức này dường như chưa đầy đủ, ví dụ: \((a + b)^2 \) tất nhiên không chỉ là bình phương của tổng mà còn là bình phương của tổng của a và b . Tuy nhiên, bình phương của tổng a và b không xảy ra thường xuyên, theo quy luật, thay vì các chữ cái a và b, nó chứa nhiều biểu thức khác nhau, đôi khi khá phức tạp.

Các biểu thức \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) có thể dễ dàng chuyển đổi (đơn giản hóa) thành đa thức có dạng chuẩn; trên thực tế, bạn đã gặp phải nhiệm vụ này khi nhân các đa thức:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Sẽ rất hữu ích khi ghi nhớ các kết quả nhận dạng và áp dụng chúng mà không cần tính toán trung gian. Công thức bằng lời nói ngắn gọn giúp ích cho việc này.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - bình phương của tổng bằng tổng bình phương và tích kép.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - bình phương của hiệu là tổng các bình phương mà không nhân đôi tích.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - hiệu của các bình phương bằng tích của hiệu và tổng.

Ba danh tính này cho phép các phép biến đổi thay thế phần bên trái của chúng bằng phần bên phải và ngược lại - phần bên phải bằng phần bên trái. Điều khó khăn nhất trong trường hợp này là xem các biểu thức tương ứng và hiểu biến a và b được thay thế trong chúng là gì. Hãy xem xét một số ví dụ về cách sử dụng công thức nhân viết tắt.

Cấp độ đầu tiên

Chuyển đổi biểu thức. Lý Thuyết Chi Tiết (2019)

Chúng ta thường nghe thấy cụm từ khó chịu này: "Đơn giản hóa biểu thức." Thông thường chúng ta thấy một số loại quái vật như thế này:

“Nó đơn giản hơn nhiều,” chúng tôi nói, nhưng câu trả lời như vậy thường không hiệu quả.

Bây giờ tôi sẽ dạy bạn đừng sợ bất kỳ nhiệm vụ nào như vậy.

Hơn nữa, vào cuối bài học, chính bạn sẽ đơn giản hóa ví dụ này thành (chỉ!) một số bình thường (vâng, chết tiệt với những chữ cái này).

Nhưng trước khi bắt đầu hoạt động này, bạn cần có khả năng xử lý phân số Và nhân tử đa thức.

Vì vậy, nếu bạn chưa từng làm việc này trước đây, hãy nhớ nắm vững chủ đề “” và “”.

Bạn đọc nó xong chưa? Nếu có thì bây giờ bạn đã sẵn sàng.

Đi thôi đi thôi!)

Lưu ý quan trọng!Nếu bạn thấy gobbledygook thay vì công thức, hãy xóa bộ nhớ đệm. Để thực hiện việc này, nhấn CTRL+F5 (trên Windows) hoặc Cmd+R (trên Mac).

Các thao tác đơn giản hóa biểu thức cơ bản

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các kỹ thuật cơ bản được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức.

Đơn giản nhất là

1. Mang theo tương tự

Tương tự là gì? Bạn học điều này vào năm lớp 7, khi các chữ cái thay vì số lần đầu tiên xuất hiện trong toán học.

Tương tự- đây là những thuật ngữ (đơn thức) có cùng một phần chữ cái.

Ví dụ, trong tổng, các số hạng tương tự là và.

Bạn có nhớ?

Mang theo tương tự- có nghĩa là thêm một số thuật ngữ tương tự với nhau và nhận được một thuật ngữ.

Làm thế nào chúng ta có thể ghép các chữ cái lại với nhau? - bạn hỏi.

Điều này rất dễ hiểu nếu bạn tưởng tượng rằng các chữ cái là một loại đồ vật nào đó.

Ví dụ, một lá thư là một cái ghế. Khi đó biểu thức bằng là gì?

Hai cái ghế cộng với ba cái ghế thì sẽ bằng bao nhiêu? Đúng rồi ghế: .

Bây giờ hãy thử biểu thức này: .

Để tránh nhầm lẫn, hãy để các chữ cái khác nhau đại diện cho các đối tượng khác nhau.

Ví dụ, - là (như thường lệ) một cái ghế, và - là một cái bàn.

ghế bàn ghế bàn ghế ghế bàn

Các số mà các chữ cái trong các thuật ngữ đó được nhân với nhau được gọi là hệ số.

Ví dụ, trong một đơn thức thì hệ số bằng nhau. Và trong đó là bình đẳng.

Vì vậy, quy tắc mang theo những thứ tương tự là:

Ví dụ:

Cho những cái tương tự:

Câu trả lời:

2. (và tương tự, vì các thuật ngữ này có phần chữ cái giống nhau).

2. Phân tích nhân tố

Đây thường là phần quan trọng nhất trong việc đơn giản hóa biểu thức.

Sau khi bạn đã đưa ra những cái tương tự, thường cần có biểu thức thu được phân tích thành thừa số, nghĩa là, được trình bày dưới dạng một sản phẩm.

Đặc biệt là cái này quan trọng trong phân số: xét cho cùng, để có thể giảm phân số, Tử số và mẫu số phải được biểu diễn dưới dạng tích.

Các bạn đã tìm hiểu chi tiết các phương pháp phân tích nhân tử trong chủ đề “”, đến đây các bạn chỉ cần nhớ lại những gì đã học.

Để làm điều này, hãy giải một số ví dụ (bạn cần phân tích chúng)

Ví dụ:

Các giải pháp:

3. Rút gọn một phân số.

Chà, còn gì dễ chịu hơn việc gạch bỏ một phần tử số và mẫu số và ném chúng ra khỏi cuộc sống của bạn?

Đó là vẻ đẹp của việc thu nhỏ.

Thật đơn giản:

Nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống nhau thì chúng có thể được rút gọn, nghĩa là loại bỏ khỏi phân số.

Quy tắc này tuân theo tính chất cơ bản của phân số:

Nghĩa là, bản chất của hoạt động rút gọn là Chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số cho cùng một số (hoặc cho cùng một biểu thức).

Để giảm một phần bạn cần:

1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số

2) nếu tử số và mẫu số chứa yếu tố chung, chúng có thể bị gạch bỏ.

Ví dụ:

Nguyên tắc, tôi nghĩ, là rõ ràng?

Tôi muốn bạn chú ý đến một lỗi điển hình khi viết tắt. Chủ đề này tuy đơn giản nhưng nhiều người làm sai mà không hiểu giảm bớt- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số đều bằng nhau.

Không viết tắt nếu tử số hoặc mẫu số là tổng.

Ví dụ: chúng ta cần đơn giản hóa.

Một số người làm điều này: điều này hoàn toàn sai.

Một ví dụ khác: giảm.

Người “thông minh nhất” sẽ làm điều này:

Nói cho tôi biết có chuyện gì ở đây vậy? Có vẻ như: - đây là một số nhân, có nghĩa là nó có thể giảm đi.

Nhưng không: - đây chỉ là thừa số của một số hạng trong tử số, nhưng bản thân tử số nói chung không được phân tích thành thừa số.

Đây là một ví dụ khác: .

Biểu thức này được phân tích thành thừa số, có nghĩa là bạn có thể rút gọn nó, nghĩa là chia tử số và mẫu số cho rồi chia cho:

Bạn có thể ngay lập tức chia nó thành:

Để tránh những sai lầm như vậy, hãy nhớ một cách dễ dàng để xác định xem một biểu thức có được phân tích thành thừa số hay không:

Phép toán số học được thực hiện cuối cùng khi tính giá trị của một biểu thức là phép toán “chính”.

Nghĩa là, nếu bạn thay thế một số (bất kỳ) số nào thay vì các chữ cái và cố gắng tính giá trị của biểu thức, thì nếu hành động cuối cùng là phép nhân, thì chúng ta có một tích (biểu thức được phân tích thành thừa số).

Nếu hành động cuối cùng là cộng hoặc trừ, điều này có nghĩa là biểu thức không được phân tích thành thừa số (và do đó không thể rút gọn).

Để củng cố điều này, hãy tự mình giải một vài ví dụ:

Ví dụ:

Các giải pháp:

1. Tôi hy vọng bạn không vội vàng cắt và? “Giảm” đơn vị như thế này vẫn chưa đủ:

Bước đầu tiên phải là nhân tố hóa:

4. Cộng và trừ các phân số. Quy đổi phân số về mẫu số chung.

Cộng và trừ các phân số thông thường là một thao tác quen thuộc: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân mỗi phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số.

Xin hãy nhớ:

Câu trả lời:

1. Các mẫu số và nguyên tố cùng nhau, nghĩa là chúng không có ước chung. Do đó, LCM của những số này bằng tích của chúng. Đây sẽ là mẫu số chung:

2. Mẫu số chung ở đây là:

3. Ở đây, trước hết, chúng ta chuyển các phân số hỗn hợp thành các phân số không đúng, sau đó theo sơ đồ thông thường:

Đó là một vấn đề hoàn toàn khác nếu phân số chứa các chữ cái, ví dụ:

Hãy bắt đầu với một cái gì đó đơn giản:

a) Mẫu số không chứa chữ cái

Ở đây mọi thứ đều giống như với các phân số thông thường: chúng ta tìm mẫu số chung, nhân từng phân số với thừa số còn thiếu và cộng/trừ các tử số:

Bây giờ trong tử số, bạn có thể đưa ra những số tương tự, nếu có, và phân tích chúng:

Hãy tự mình thử:

Câu trả lời:

b) Mẫu số chứa các chữ cái

Chúng ta hãy nhớ nguyên tắc tìm mẫu số chung không có chữ cái:

Trước hết, chúng ta xác định các nhân tố chung;

Sau đó chúng ta viết ra tất cả các ước chung một lần;

và nhân chúng với tất cả các yếu tố khác, không phải những yếu tố chung.

Để xác định các thừa số chung của các mẫu số, trước tiên chúng ta phân tích chúng thành thừa số nguyên tố:

Chúng tôi nhấn mạnh những yếu tố chung:

Bây giờ chúng ta hãy viết ra từng thừa số chung và thêm vào đó tất cả các thừa số không phổ biến (không được gạch chân):

Đây là mẫu số chung.

Hãy quay lại với những lá thư. Các mẫu số được đưa ra theo cùng một cách:

· Phân tích mẫu số;

· xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau);

· viết ra tất cả các thừa số chung một lần;

· nhân chúng với tất cả các yếu tố không phổ biến khác.

Vì vậy, theo thứ tự:

1) nhân tử mẫu số:

2) xác định các yếu tố chung (giống hệt nhau):

3) viết ra tất cả các thừa số chung một lần và nhân chúng với tất cả các thừa số khác (không gạch chân):

Vậy có một mẫu số chung ở đây. Phân số thứ nhất phải được nhân với, phân số thứ hai - với:

Nhân tiện, có một mẹo:

Ví dụ: .

Chúng ta thấy các yếu tố giống nhau ở mẫu số, chỉ có điều tất cả đều có các chỉ số khác nhau. Mẫu số chung sẽ là:

đến một mức độ

đến một mức độ

đến một mức độ

đến một mức độ.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ:

Làm thế nào để phân số có cùng mẫu số?

Hãy nhớ tính chất cơ bản của phân số:

Không nơi nào nói rằng cùng một số có thể được trừ (hoặc cộng) từ tử số và mẫu số của một phân số. Bởi vì nó không đúng sự thật!

Hãy tự mình xem: lấy bất kỳ phân số nào, ví dụ, và thêm một số số vào tử số và mẫu số, ví dụ: . Bạn đã học được gì?

Vì vậy, một quy tắc không thể lay chuyển khác:

Khi bạn rút gọn phân số về mẫu số chung, chỉ sử dụng phép nhân!

Nhưng bạn cần nhân lên để có được gì?

Vì vậy, hãy nhân lên. Và nhân với:

Chúng ta sẽ gọi những biểu thức không thể phân tích thành nhân tử là “các thừa số cơ bản”.

Ví dụ, là một yếu tố cơ bản. - Như nhau. Nhưng - không: nó bị phân hủy thành các yếu tố.

Còn biểu hiện thì sao? Nó có phải là tiểu học không?

Không, bởi vì nó có thể được phân tích thành nhân tử:

(bạn đã đọc về phân tích nhân tử trong chủ đề “”).

Vì vậy, các thừa số cơ bản mà bạn phân tách một biểu thức bằng các chữ cái cũng tương tự như các thừa số đơn giản mà bạn phân tách các số. Và chúng ta sẽ giải quyết chúng theo cách tương tự.

Chúng ta thấy rằng cả hai mẫu số đều có một số nhân. Nó sẽ đi đến mẫu số chung ở mức độ nào đó (bạn nhớ tại sao không?).

Yếu tố này là cơ bản và chúng không có yếu tố chung, điều đó có nghĩa là phân số đầu tiên sẽ chỉ cần được nhân với nó:

Một vi dụ khac:

Giải pháp:

Trước khi nhân các mẫu số này một cách hoảng loạn, bạn cần suy nghĩ về cách phân tích chúng? Cả hai đều đại diện:

Tuyệt vời! Sau đó:

Một vi dụ khac:

Giải pháp:

Như thường lệ, hãy phân tích các mẫu số. Trong mẫu số đầu tiên, chúng ta chỉ cần đặt nó ra khỏi ngoặc; trong phần thứ hai - sự khác biệt của hình vuông:

Có vẻ như không có yếu tố chung. Nhưng nếu bạn nhìn kỹ, chúng giống nhau... Và đó là sự thật:

Vì vậy hãy viết:

Tức là mọi chuyện diễn ra như thế này: bên trong ngoặc, chúng ta đổi chỗ các số hạng, đồng thời dấu đứng trước phân số đổi thành ngược lại. Hãy lưu ý, bạn sẽ phải làm điều này thường xuyên.

Bây giờ hãy đưa nó về mẫu số chung:

Hiểu rồi? Hãy kiểm tra nó ngay bây giờ.

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập:

Câu trả lời:

Ở đây chúng ta cần nhớ một điều nữa - sự khác biệt của hình khối:

Xin lưu ý rằng mẫu số của phân số thứ hai không chứa công thức “bình phương của tổng”! Bình phương của tổng sẽ có dạng như sau: .

A được gọi là bình phương không đầy đủ của tổng: số hạng thứ hai trong đó là tích của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng, chứ không phải tích kép của chúng. Bình phương một phần của tổng là một trong những yếu tố làm mở rộng hiệu của các lập phương:

Phải làm gì nếu đã có ba phân số?

Vâng, điều tương tự! Trước hết, hãy đảm bảo rằng số lượng thừa số tối đa trong mẫu số là như nhau:

Xin lưu ý: nếu bạn thay đổi dấu bên trong một dấu ngoặc, dấu ở phía trước phân số sẽ thay đổi thành dấu ngược lại. Khi đổi dấu ngoặc thứ hai thì dấu đứng trước phân số lại đổi thành dấu ngược lại. Kết quả là nó (dấu đứng trước phân số) không thay đổi.

Chúng ta viết toàn bộ mẫu số thứ nhất vào mẫu số chung, sau đó thêm vào đó tất cả các thừa số chưa được viết, từ mẫu số thứ hai, rồi từ mẫu số thứ ba (v.v., nếu có nhiều phân số hơn). Tức là nó thành ra thế này:

Hmm... Rõ ràng phải làm gì với phân số. Nhưng còn hai người thì sao?

Thật đơn giản: bạn biết cách cộng phân số phải không? Vì vậy, chúng ta cần biến hai thành một phân số! Hãy nhớ: phân số là phép chia (tử số được chia cho mẫu số, trong trường hợp bạn quên). Và không có gì dễ dàng hơn việc chia một số cho. Trong trường hợp này, bản thân số đó sẽ không thay đổi mà sẽ chuyển thành phân số:

Chính xác những gì cần thiết!

5. Nhân và chia phân số.

Chà, phần khó nhất bây giờ đã qua rồi. Và trước mắt chúng ta là điều đơn giản nhất nhưng đồng thời cũng là điều quan trọng nhất:

Thủ tục

Trình tự tính một biểu thức số là gì? Hãy nhớ bằng cách tính toán ý nghĩa của biểu thức này:

Bạn đã đếm chưa?

Nó sẽ hoạt động.

Vì vậy, hãy để tôi nhắc nhở bạn.

Bước đầu tiên là tính toán mức độ.

Thứ hai là phép nhân và phép chia. Nếu có nhiều phép nhân và chia cùng một lúc, chúng có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào.

Và cuối cùng, chúng tôi thực hiện phép cộng và phép trừ. Một lần nữa, theo thứ tự bất kỳ.

Nhưng: biểu thức trong ngoặc được đánh giá sai lần lượt!

Nếu nhân hoặc chia nhiều dấu ngoặc với nhau, trước tiên chúng ta tính biểu thức trong mỗi dấu ngoặc, sau đó nhân hoặc chia chúng.

Điều gì sẽ xảy ra nếu có nhiều dấu ngoặc bên trong dấu ngoặc? Chà, hãy nghĩ xem: một số biểu thức được viết bên trong dấu ngoặc. Khi tính một biểu thức, đầu tiên bạn phải làm gì? Đúng rồi, hãy tính dấu ngoặc. Chà, chúng tôi đã tìm ra cách: đầu tiên chúng tôi tính toán các dấu ngoặc bên trong, sau đó là mọi thứ khác.

Vì vậy, quy trình cho biểu thức trên như sau (hành động hiện tại được đánh dấu màu đỏ, nghĩa là hành động mà tôi đang thực hiện ngay bây giờ):

Được rồi, tất cả đều đơn giản.

Nhưng điều này không giống như cách diễn đạt bằng chữ cái?

Không, nó giống nhau! Chỉ thay vì thực hiện các phép tính số học, bạn cần thực hiện các phép tính đại số, tức là các hành động được mô tả trong phần trước: mang lại tương tự, cộng phân số, rút ​​gọn phân số, v.v. Sự khác biệt duy nhất sẽ là hoạt động phân tích thành nhân tử của đa thức (chúng ta thường sử dụng điều này khi làm việc với phân số). Thông thường, để phân tích nhân tử, bạn cần sử dụng I hoặc đơn giản là đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Thông thường mục tiêu của chúng ta là biểu diễn biểu thức dưới dạng tích hoặc thương.

Ví dụ:

Hãy đơn giản hóa biểu thức.

1) Đầu tiên, chúng ta rút gọn biểu thức trong ngoặc. Ở đó chúng ta có hiệu của các phân số và mục tiêu của chúng ta là biểu thị nó dưới dạng tích hoặc thương. Vì vậy, chúng ta đưa các phân số về mẫu số chung và cộng:

Không thể đơn giản hóa biểu thức này hơn nữa; tất cả các hệ số ở đây đều là cơ bản (bạn vẫn nhớ điều này có nghĩa là gì?).

2) Chúng tôi nhận được:

Nhân phân số: điều gì có thể đơn giản hơn.

3) Bây giờ bạn có thể rút ngắn:

Được rồi, mọi chuyện đã kết thúc rồi. Không có gì phức tạp phải không?

Một vi dụ khac:

Đơn giản hóa biểu thức.

Đầu tiên, hãy cố gắng tự giải quyết và chỉ sau đó mới nhìn vào giải pháp.

Giải pháp:

Trước hết, hãy xác định thứ tự các hành động.

Đầu tiên, hãy cộng các phân số trong ngoặc đơn để thay vì hai phân số, chúng ta có một phân số.

Sau đó chúng ta sẽ thực hiện phép chia phân số. Vâng, hãy cộng kết quả với phân số cuối cùng.

Tôi sẽ đánh số các bước theo sơ đồ:

Bây giờ tôi sẽ chỉ cho bạn quy trình, tô màu đỏ cho hành động hiện tại:

Cuối cùng, tôi sẽ cung cấp cho bạn hai lời khuyên hữu ích:

1. Nếu có những cái tương tự thì phải mang đi ngay. Bất cứ khi nào những vấn đề tương tự xuất hiện ở nước ta, chúng ta nên đưa chúng ra ngay lập tức.

2. Việc rút gọn phân số cũng vậy: ngay khi có cơ hội rút gọn thì phải tận dụng. Ngoại lệ dành cho các phân số mà bạn cộng hoặc trừ: nếu bây giờ chúng có cùng mẫu số thì việc rút gọn sẽ được để lại sau.

Dưới đây là một số nhiệm vụ để bạn tự giải quyết:

Và những gì đã được hứa ngay từ đầu:

Câu trả lời:

Giải pháp (ngắn gọn):

Nếu bạn đã giải quyết được ít nhất ba ví dụ đầu tiên thì bạn đã nắm vững chủ đề.

Bây giờ vào việc học!

CHUYỂN ĐỔI BIỂU TƯỢNG. CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN

Các thao tác đơn giản hóa cơ bản:

• Mang tương tự: để thêm (rút gọn) các số hạng tương tự, bạn cần cộng các hệ số của chúng và gán phần chữ cái.
• Nhân tố hóa:đưa yếu tố chung ra khỏi ngoặc, áp dụng nó, v.v.
• Giảm một phần: Tử số và mẫu số của một phân số có thể nhân hoặc chia cho cùng một số khác 0 mà không làm thay đổi giá trị của phân số.
  1) tử số và mẫu số phân tích thành thừa số
  2) nếu tử số và mẫu số có thừa số chung thì có thể gạch bỏ.

  QUAN TRỌNG: chỉ có thể giảm số nhân!

• Cộng và trừ các phân số:
  ;
• Nhân và chia phân số:
  ;