Tất cả các số z. Các loại số

Cụm từ " bộ số" khá phổ biến trong sách giáo khoa toán học. Ở đó bạn thường có thể tìm thấy những cụm từ như thế này:

“Blah blah blah, nơi nào thuộc về tập hợp số tự nhiên.”

Thông thường, thay vì kết thúc một cụm từ, bạn có thể thấy nội dung như thế này. Nó có nghĩa giống như văn bản ở trên một chút - một con số thuộc tập hợp số tự nhiên. Nhiều người thường không chú ý đến tập hợp biến này hoặc biến kia được xác định. Kết quả là, các phương pháp hoàn toàn không chính xác được sử dụng khi giải một bài toán hoặc chứng minh một định lý. Điều này xảy ra vì các thuộc tính của các số thuộc các bộ khác nhau có thể khác nhau.

Không có nhiều bộ số. Dưới đây bạn có thể xem định nghĩa của các bộ số khác nhau.

Tập hợp số tự nhiên bao gồm tất cả các số nguyên lớn hơn 0—số nguyên dương.

Ví dụ: 1, 3, 20, 3057. Bộ này không bao gồm số 0.

Bộ số này bao gồm tất cả các số nguyên lớn hơn và nhỏ hơn 0, và cũng bằng không.

Ví dụ: -15, 0, 139.

Nói chung, các số hữu tỉ là một tập hợp các phân số không thể hủy (nếu một phân số bị hủy thì nó đã là một số nguyên và trong trường hợp này không cần phải đưa vào một bộ số khác).

Một ví dụ về các số có trong tập hữu tỉ: 3/5, 9/7, 1/2.

,

trong đó là dãy hữu hạn các chữ số của phần nguyên của một số thuộc tập hợp số thực. Dãy số này là hữu hạn, nghĩa là số chữ số trong phần nguyên của số thực là hữu hạn.

– một dãy vô hạn các số nằm trong phần phân số của một số thực. Hóa ra phần phân số chứa vô số số.

Những số như vậy không thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Mặt khác, một số như vậy có thể được phân loại là một tập hợp các số hữu tỷ.

Ví dụ về số thực:

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn ý nghĩa của gốc số hai. Phần nguyên chỉ chứa một chữ số - 1 nên ta có thể viết:

Ở phần phân số (sau dấu chấm), các số 4, 1, 4, 2, v.v. xuất hiện tuần tự. Vì vậy, với bốn chữ số đầu tiên chúng ta có thể viết:

Tôi dám hy vọng rằng bây giờ định nghĩa về tập hợp số thực đã trở nên rõ ràng hơn.

Phần kết luận

Cần nhớ rằng cùng một hàm có thể biểu hiện các thuộc tính hoàn toàn khác nhau tùy thuộc vào tập hợp biến đó thuộc về. Vì vậy, hãy nhớ những điều cơ bản - chúng sẽ có ích.

Lượt xem bài viết: 5,198

Thông tin trong bài viết này cung cấp một sự hiểu biết chung về số nguyên. Đầu tiên, đưa ra định nghĩa về số nguyên và đưa ra ví dụ. Tiếp theo, chúng ta xem xét các số nguyên trên trục số, từ đó thấy rõ số nào được gọi là số nguyên dương và số nào được gọi là số nguyên âm. Sau đó, nó cho thấy những thay đổi về số lượng được mô tả như thế nào bằng cách sử dụng số nguyên và số nguyên âm được xem xét theo nghĩa nợ.

Điều hướng trang.

Số nguyên - Định nghĩa và ví dụ

Sự định nghĩa.

Số nguyên– đây là các số tự nhiên, số 0 và các số đối diện với số tự nhiên.

Định nghĩa về số nguyên nêu rõ rằng bất kỳ số nào trong số 1, 2, 3, …, số 0, cũng như bất kỳ số nào −1, −2, −3, … đều là số nguyên. Bây giờ chúng ta có thể dễ dàng mang ví dụ về số nguyên. Ví dụ: số 38 là số nguyên, số 70.040 cũng là số nguyên, số 0 là số nguyên (hãy nhớ rằng số 0 KHÔNG phải là số tự nhiên, số 0 là số nguyên), các số −999, −1, −8,934,832 cũng là ví dụ về số nguyên.

Thật thuận tiện khi biểu diễn tất cả các số nguyên dưới dạng một chuỗi các số nguyên, có dạng sau: 0, ±1, ±2, ±3, ... Một chuỗi các số nguyên có thể được viết như sau: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Từ định nghĩa số nguyên, suy ra tập hợp số tự nhiên là tập con của tập hợp số nguyên. Vì vậy, bất kỳ số tự nhiên là số nguyên nhưng không phải số nguyên nào cũng là số tự nhiên.

Số nguyên trên đường tọa độ

Sự định nghĩa.

Những số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0.

Sự định nghĩa.

số nguyên âm là các số nguyên nhỏ hơn 0.

Các số nguyên dương và âm cũng có thể được xác định bằng vị trí của chúng trên đường tọa độ. Trên đường tọa độ ngang, các điểm có tọa độ là số nguyên dương nằm ở bên phải gốc tọa độ. Ngược lại, các điểm có tọa độ nguyên âm nằm ở bên trái điểm O.

Rõ ràng tập hợp tất cả các số nguyên dương là tập hợp các số tự nhiên. Ngược lại, tập hợp tất cả các số nguyên âm là tập hợp tất cả các số đối diện với các số tự nhiên.

Riêng biệt, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là chúng ta có thể gọi bất kỳ số tự nhiên nào là số nguyên một cách an toàn, nhưng chúng ta không thể gọi bất kỳ số nguyên nào là số tự nhiên. Chúng ta chỉ có thể gọi bất kỳ số nguyên dương nào là số tự nhiên, vì số nguyên âm và số 0 không phải là số tự nhiên.

Số nguyên không dương và không âm

Hãy đưa ra định nghĩa về số nguyên không dương và số nguyên không âm.

Sự định nghĩa.

Mọi số nguyên dương cùng với số 0 được gọi là số nguyên không âm.

Sự định nghĩa.

số nguyên không dương– đây đều là số nguyên âm cùng với số 0.

Nói cách khác, toàn bộ số không âm là số nguyên lớn hơn 0 hoặc bằng 0 và số nguyên không dương là số nguyên nhỏ hơn 0 hoặc bằng 0.

Ví dụ về số nguyên không dương là các số −511, −10.030, 0, −2 và để lấy ví dụ về số nguyên không âm, chúng tôi đưa ra các số 45, 506, 0, 900.321.

Thông thường, các thuật ngữ “số nguyên không dương” và “số nguyên không âm” được sử dụng để cho ngắn gọn. Ví dụ: thay vì cụm từ “số a là số nguyên và a lớn hơn 0 hoặc bằng 0”, bạn có thể nói “a là số nguyên không âm”.

Mô tả sự thay đổi về số lượng bằng số nguyên

Đã đến lúc nói về lý do tại sao số nguyên lại cần thiết ngay từ đầu.

Mục đích chính của số nguyên là với sự trợ giúp của chúng, sẽ thuận tiện hơn khi mô tả những thay đổi về số lượng của bất kỳ đối tượng nào. Hãy hiểu điều này với các ví dụ.

Hãy để có một số lượng nhất định các bộ phận trong kho. Ví dụ: nếu có thêm 400 bộ phận được đưa vào kho thì số lượng bộ phận trong kho sẽ tăng lên và con số 400 thể hiện sự thay đổi về số lượng trong mặt tích cực(tăng dần). Ví dụ: nếu 100 bộ phận được lấy từ kho thì số lượng bộ phận trong kho sẽ giảm và con số 100 sẽ biểu thị sự thay đổi về số lượng theo hướng tiêu cực (hướng xuống). Các bộ phận sẽ không được đưa vào kho và các bộ phận sẽ không được đưa ra khỏi kho, khi đó chúng ta có thể nói về số lượng các bộ phận không đổi (nghĩa là chúng ta có thể nói về số lượng không thay đổi).

Trong các ví dụ đã cho, sự thay đổi về số phần có thể được mô tả bằng các số nguyên lần lượt là 400, −100 và 0. Số nguyên dương 400 biểu thị sự thay đổi về số lượng theo hướng dương (tăng). Số nguyên âm −100 biểu thị sự thay đổi về số lượng theo hướng âm (giảm). Số nguyên 0 chỉ ra rằng số lượng không thay đổi.

Sự tiện lợi của việc sử dụng số nguyên so với sử dụng số tự nhiên là bạn không cần phải chỉ rõ số lượng đang tăng hay giảm - số nguyên định lượng sự thay đổi và dấu của số nguyên cho biết hướng thay đổi.

Các số nguyên cũng có thể biểu thị không chỉ sự thay đổi về số lượng mà còn có thể biểu thị sự thay đổi về một số lượng nào đó. Hãy hiểu điều này bằng cách sử dụng ví dụ về sự thay đổi nhiệt độ.

Ví dụ, sự tăng nhiệt độ 4 độ được biểu thị dưới dạng số nguyên dương 4. Ví dụ, nhiệt độ giảm 12 độ có thể được mô tả bằng số nguyên âm −12. Và tính bất biến của nhiệt độ là sự thay đổi của nó, được xác định bởi số nguyên 0.

Riêng biệt, cần phải nói về việc giải thích số nguyên âm là số tiền nợ. Ví dụ: nếu chúng ta có 3 quả táo thì số nguyên dương 3 biểu thị số quả táo chúng ta sở hữu. Mặt khác, nếu chúng ta phải đưa 5 quả táo cho ai đó nhưng chúng ta không có chúng trong kho thì tình huống này có thể được mô tả bằng số nguyên âm −5. Trong trường hợp này, chúng ta “sở hữu” −5 quả táo, dấu trừ biểu thị khoản nợ và số 5 biểu thị khoản nợ.

Ví dụ, việc hiểu một số nguyên âm như một khoản nợ cho phép chứng minh quy tắc cộng các số nguyên âm. Hãy đưa ra một ví dụ. Nếu ai đó nợ người này 2 quả táo và người khác 1 quả táo thì tổng số nợ là 2+1=3 quả táo, do đó −2+(−1)=−3.

Thư mục.

• Vilenkin N.Ya. và những môn Toán khác. Lớp 6: Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông.

ĐẾN số nguyên bao gồm các số tự nhiên, số 0 và các số đối diện với số tự nhiên.

số nguyên là các số nguyên dương.

Ví dụ: 1, 3, 7, 19, 23, v.v. Chúng ta sử dụng những con số như vậy để đếm (có 5 quả táo trên bàn, một chiếc ô tô có 4 bánh, v.v.)

Chữ Latinh \mathbb(N) - ký hiệu tập hợp số tự nhiên.

Số tự nhiên không thể bao gồm số âm (cái ghế không được có số chân âm) và số phân số (Ivan không thể bán được 3,5 chiếc xe đạp).

Ngược lại với số tự nhiên là các số nguyên âm: −8, −148, −981, ….

Các phép toán với số nguyên

Bạn có thể làm gì với số nguyên? Chúng có thể được nhân, cộng và trừ với nhau. Hãy xem xét từng thao tác bằng một ví dụ cụ thể.

Cộng các số nguyên

Hai số nguyên có cùng dấu được cộng như sau: môđun của các số này được cộng và tổng kết quả được đặt trước dấu cuối cùng:

(+11) + (+9) = +20

Trừ số nguyên

Hai số nguyên với dấu hiệu khác nhauđược cộng lại như sau: từ mô-đun hơn mô đun của số nhỏ hơn bị trừ đi và dấu của số mô đun lớn hơn được đặt trước câu trả lời thu được:

(-7) + (+8) = +1

Nhân số nguyên

Để nhân một số nguyên với một số khác, bạn cần nhân mô đun của các số này và đặt dấu “+” trước câu trả lời kết quả nếu các số ban đầu có cùng dấu và dấu “-” nếu các số ban đầu có dấu khác nhau. dấu hiệu:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

Cần ghi nhớ những điều sau quy tắc nhân các số nguyên:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Có quy tắc nhân nhiều số nguyên. Chúng ta hãy nhớ nó:

Dấu của tích sẽ là “+” nếu số phần tử mang dấu âm là số chẵn và “-” nếu số phần tử mang dấu âm là số lẻ.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Phép chia số nguyên

Việc chia hai số nguyên được thực hiện như sau: mô đun của một số được chia cho mô đun của số kia và nếu dấu của các số giống nhau thì dấu “+” được đặt trước thương số thu được. , và nếu dấu của các số ban đầu khác nhau thì đặt dấu “-”.

(-25) : (+5) = -5

Tính chất của phép cộng và phép nhân số nguyên

Hãy xem xét các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân đối với mọi số nguyên a, b và c:

1. a + b = b + a - tính chất giao hoán của phép cộng;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - tính chất tổ hợp của phép cộng;
3. a \cdot b = b \cdot a - tính chất giao hoán của phép nhân;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- tính chất kết hợp của phép nhân;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- tính chất phân phối của phép nhân.

Nếu cộng số 0 vào bên trái dãy số tự nhiên, ta được dãy số nguyên dương:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

số nguyên âm

Hãy xem xét ví dụ nhỏ. Hình bên trái là một nhiệt kế hiển thị nhiệt độ 7°C. Nếu nhiệt độ giảm 4°, nhiệt kế sẽ hiển thị nhiệt độ 3°. Nhiệt độ giảm tương ứng với hành động trừ:

Nếu nhiệt độ giảm 7°, nhiệt kế sẽ hiển thị 0°. Nhiệt độ giảm tương ứng với hành động trừ:

Nếu nhiệt độ giảm 8°, nhiệt kế sẽ hiển thị -1° (1° dưới 0). Nhưng kết quả của phép trừ 7 - 8 không thể viết được bằng số tự nhiên và số 0.

Hãy minh họa phép trừ bằng cách sử dụng một chuỗi số nguyên dương:

1) Từ số 7 đếm 4 số bên trái được 3:

2) Từ số 7 đếm 7 số bên trái tìm 0:

Không thể đếm được 8 số từ số 7 sang trái trong dãy số nguyên dương. Để thực hiện các hành động 7 - 8 khả thi, chúng tôi mở rộng phạm vi số nguyên dương. Để làm điều này, ở bên trái số 0, chúng ta viết (từ phải sang trái) theo thứ tự tất cả các số tự nhiên, thêm dấu - vào mỗi số, cho biết số này nằm ở bên trái của số 0.

Các mục -1, -2, -3, ... đọc là trừ 1, trừ 2, trừ 3, v.v.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Dãy số thu được gọi là dãy số nguyên. Các dấu chấm ở bên trái và bên phải trong mục này có nghĩa là chuỗi có thể được tiếp tục vô tận ở bên phải và bên trái.

Bên phải số 0 ở hàng này là các số được gọi là tự nhiên hoặc những số nguyên dương(Tóm tắt - tích cực).

Bên trái số 0 ở hàng này là các số được gọi là số nguyên âm(Tóm tắt - tiêu cực).

Số 0 là số nguyên nhưng không dương cũng không số âm. Nó tách số dương và số âm.

Kể từ đây, dãy số nguyên bao gồm các số nguyên âm, số nguyên 0 và số nguyên dương.

So sánh số nguyên

So sánh hai số nguyên- có nghĩa là tìm ra số nào lớn hơn, số nào nhỏ hơn hoặc xác định các số bằng nhau.

Bạn có thể so sánh các số nguyên bằng cách sử dụng một hàng số nguyên, vì các số trong đó được sắp xếp từ nhỏ nhất đến lớn nhất nếu bạn di chuyển dọc theo hàng từ trái sang phải. Do đó, trong một dãy số nguyên, bạn có thể thay thế dấu phẩy bằng dấu nhỏ hơn:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Kể từ đây, trong hai số nguyên, số nào ở bên phải của dãy số càng lớn, số nào ở bên trái càng nhỏ, Có nghĩa:

1) Mọi số dương đều lớn hơn 0 và lớn hơn mọi số âm:

1 > 0; 15 > -16

2) Bất kỳ số âm nào nhỏ hơn 0:

7 < 0; -357 < 0

3) Trong hai số âm, số nào ở bên phải dãy số nguyên lớn hơn.

Trong bài viết này chúng ta sẽ định nghĩa tập hợp các số nguyên, xem xét số nguyên nào được gọi là dương và số nào là âm. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra cách sử dụng số nguyên để mô tả những thay đổi ở một số lượng nhất định. Hãy bắt đầu với định nghĩa và ví dụ về số nguyên.

Yandex.RTB RA-339285-1

Toàn bộ số. Định nghĩa, ví dụ

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ về số tự nhiên ℕ. Bản thân cái tên đã gợi ý rằng đây là những con số đã được sử dụng để đếm một cách tự nhiên từ thời xa xưa. Để bao quát khái niệm số nguyên, chúng ta cần mở rộng định nghĩa về số tự nhiên.

Định nghĩa 1. Số nguyên

Số nguyên là các số tự nhiên, số đối của chúng và số 0.

Tập hợp các số nguyên được ký hiệu bằng chữ cái ℤ.

Tập hợp số tự nhiên ℕ là tập con của số nguyên ℤ. Mọi số tự nhiên đều là số nguyên nhưng không phải số nguyên nào cũng là số tự nhiên.

Từ định nghĩa, mọi số 1, 2, 3 đều là số nguyên. . , số 0, cũng như các số - 1, - 2, - 3, . .

Theo đó, chúng tôi sẽ đưa ra ví dụ. Các số 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 là số nguyên.

Hãy để đường tọa độ được vẽ theo chiều ngang và hướng về bên phải. Chúng ta hãy nhìn vào nó để hình dung vị trí của các số nguyên trên một dòng.

Điểm gốc trên đường tọa độ tương ứng với số 0 và các điểm nằm ở hai bên số 0 tương ứng với các số nguyên dương và âm. Mỗi điểm tương ứng với một số nguyên duy nhất.

Bạn có thể đến bất kỳ điểm nào trên một đường có tọa độ là số nguyên bằng cách dành một số phân đoạn đơn vị nhất định khỏi điểm gốc.

Số nguyên dương và số âm

Trong tất cả các số nguyên, việc phân biệt số nguyên dương và số nguyên âm là điều hợp lý. Hãy đưa ra định nghĩa của họ.

Định nghĩa 2: Số nguyên dương

Số nguyên dương là số nguyên có dấu cộng.

Ví dụ: số 7 là số nguyên có dấu cộng, nghĩa là số nguyên dương. Trên đường tọa độ, số này nằm bên phải điểm quy chiếu, được lấy là số 0. Các ví dụ khác về số nguyên dương: 12, 502, 42, 33, 100500.

Định nghĩa 3: Số nguyên âm

Số nguyên âm là số nguyên có dấu trừ.

Ví dụ về số nguyên âm: - 528, - 2568, - 1.

Số 0 phân cách các số nguyên dương và âm và bản thân nó không dương cũng không âm.

Theo định nghĩa, bất kỳ số nào đối lập với số nguyên dương đều là số nguyên âm. Điều ngược lại cũng đúng. Nghịch đảo của mọi số nguyên âm đều là số nguyên dương.

Có thể đưa ra các công thức khác về định nghĩa số nguyên âm và số nguyên dương bằng cách so sánh chúng với số 0.

Định nghĩa 4. Số nguyên dương

Số nguyên dương là số nguyên lớn hơn 0.

Định nghĩa 5: Số nguyên âm

Số nguyên âm là số nguyên nhỏ hơn 0.

Theo đó, các số dương nằm ở bên phải gốc tọa độ và các số nguyên âm nằm ở bên trái số 0.

Trước đây chúng ta đã nói rằng số tự nhiên là tập con của số nguyên. Hãy làm rõ điểm này. Tập hợp số tự nhiên gồm các số nguyên dương. Ngược lại, tập hợp các số nguyên âm là tập hợp các số đối diện với các số tự nhiên.

Quan trọng!

Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được gọi là số nguyên, nhưng bất kỳ số nguyên nào cũng không thể được gọi là số tự nhiên. Khi trả lời câu hỏi số âm có phải là số tự nhiên hay không, chúng ta phải mạnh dạn nói - không, không phải vậy.

Số nguyên không dương và không âm

Hãy đưa ra một số định nghĩa.

Định nghĩa 6. Số nguyên không âm

Số nguyên không âm là số nguyên dương và số 0.

Định nghĩa 7. Số nguyên không dương

Số nguyên không dương là số nguyên âm và số 0.

Như bạn có thể thấy, số 0 không dương cũng không âm.

Ví dụ về số nguyên không âm: 52, 128, 0.

Ví dụ về số nguyên không dương: - 52, - 128, 0.

Số không âm là số lớn hơn hoặc bằng 0. Theo đó, số nguyên không dương là số nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Thuật ngữ “số không dương” và “số không âm” được sử dụng để cho ngắn gọn. Ví dụ, thay vì nói số a là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 0, bạn có thể nói: a là số nguyên không âm.

Sử dụng số nguyên để mô tả sự thay đổi về số lượng

Số nguyên dùng để làm gì? Trước hết, với sự giúp đỡ của họ, thật thuận tiện để mô tả và xác định những thay đổi về số lượng của bất kỳ đối tượng nào. Hãy đưa ra một ví dụ.

Để một số lượng trục khuỷu nhất định được cất giữ trong kho. Nếu đưa thêm 500 trục khuỷu vào kho thì số lượng của chúng sẽ tăng lên. Con số 500 thể hiện chính xác sự thay đổi (tăng) về số lượng bộ phận. Nếu 200 bộ phận sau đó được lấy từ kho, thì con số này cũng sẽ đặc trưng cho sự thay đổi số lượng trục khuỷu. Lần này đi xuống.

Nếu không có gì được lấy ra khỏi kho và không có gì được giao thì số 0 sẽ cho biết số lượng bộ phận không thay đổi.

Sự tiện lợi rõ ràng của việc sử dụng số nguyên, trái ngược với số tự nhiên, là dấu của chúng chỉ rõ hướng thay đổi của giá trị (tăng hoặc giảm).

Nhiệt độ giảm 30 độ có thể được đặc trưng bằng số nguyên âm - 30 và tăng 2 độ - bằng số nguyên dương 2.

Hãy đưa ra một ví dụ khác sử dụng số nguyên. Lần này, hãy tưởng tượng rằng chúng ta phải đưa 5 đồng xu cho ai đó. Khi đó, chúng ta có thể nói rằng chúng ta có - 5 đồng xu. Số 5 mô tả số tiền nợ và dấu trừ cho biết chúng ta phải trả lại số tiền.

Nếu chúng ta nợ một người 2 xu và một người khác 3 xu thì tổng số nợ (5 xu) có thể được tính bằng quy tắc cộng các số âm:

2 + (- 3) = - 5

Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter