Hoe breuken met verschillende noemers aftrekken? Aftrekken van breuken met verschillende noemers. Optellen en aftrekken van gewone breuken

Acties met breuken.

Aandacht!
Er zijn extra
materiaal in speciale sectie 555.
Voor degenen die sterk "niet erg..."
En voor degenen die "heel veel ...")

Dus wat zijn breuken, soorten breuken, transformaties - we herinnerden ons. Laten we de hoofdvraag aanpakken.

Wat kun je met breuken? Ja, alles is hetzelfde als bij gewone nummers. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen.

Al deze acties met decimale bewerkingen met breuken verschillen niet van bewerkingen met gehele getallen. Daar zijn ze eigenlijk goed voor, decimaal. Het enige is dat je de komma correct moet plaatsen.

gemengde nummers, zoals ik al zei, hebben voor de meeste acties weinig zin. Ze moeten nog worden omgezet in gewone breuken.

En hier zijn de acties met gewone breuken zal slimmer zijn. En nog veel belangrijker! Laat me je herinneren: alle acties met fractionele uitdrukkingen met letters, sinussen, onbekenden, enzovoort, enzovoort, verschillen niet van acties met gewone fracties! Bewerkingen met gewone breuken vormen de basis voor alle algebra. Het is om deze reden dat we al deze rekenkunde hier in detail zullen analyseren.

Optellen en aftrekken van breuken.

Iedereen kan breuken met dezelfde noemer optellen (aftrekken) (ik hoop het echt!). Nou, laat me je eraan herinneren dat ik volledig vergeetachtig ben: bij optellen (aftrekken) verandert de noemer niet. De tellers worden opgeteld (afgetrokken) om de teller van het resultaat te geven. Type:

Kortom, in algemeen beeld:

Wat als de noemers anders zijn? Vervolgens gebruiken we de hoofdeigenschap van de breuk (hier kwam het weer van pas!), We maken de noemers hetzelfde! Bijvoorbeeld:

Hier moesten we de breuk 4/10 maken van de breuk 2/5. Alleen om de noemers hetzelfde te maken. Ik merk op, voor het geval dat 2/5 en 4/10 zijn dezelfde breuk! Slechts 2/5 is ongemakkelijk voor ons, en 4/10 is zelfs niets.

Trouwens, dit is de essentie van het oplossen van taken in de wiskunde. Als we weg zijn ongemakkelijk uitdrukkingen doen hetzelfde, maar handiger op te lossen.

Een ander voorbeeld:

De situatie is vergelijkbaar. Hier maken we 48 van de 16. Door eenvoudig te vermenigvuldigen met 3. Dit is allemaal duidelijk. Maar hier komen we iets tegen als:

Hoe te zijn?! Het is moeilijk om van een zeven een negen te maken! Maar we zijn slim, we kennen de regels! Laten we transformeren elk breuk zodat de noemers gelijk zijn. Dit wordt "verminderen tot een gemene deler" genoemd:

Hoe! Hoe wist ik over 63? Erg makkelijk! 63 is een getal dat deelbaar is door 7 en 9 tegelijk. Zo'n getal kan altijd worden verkregen door de noemers te vermenigvuldigen. Als we bijvoorbeeld een getal met 7 vermenigvuldigen, wordt het resultaat zeker gedeeld door 7!

Als u meerdere breuken moet optellen (aftrekken), hoeft u dit niet stap voor stap in paren te doen. Je hoeft alleen de noemer te vinden die alle breuken gemeen hebben, en elke breuk naar dezelfde noemer te brengen. Bijvoorbeeld:

En wat zal de gemene deler zijn? Je kunt natuurlijk 2, 4, 8 en 16 vermenigvuldigen. We krijgen 1024. Nachtmerrie. Het is gemakkelijker in te schatten dat het getal 16 perfect deelbaar is door 2, 4 en 8. Daarom is het gemakkelijk om uit deze getallen 16 te halen.Dit getal zal de gemeenschappelijke noemer zijn. Laten we 1/2 veranderen in 8/16, 3/4 in 12/16, enzovoort.

Trouwens, als we 1024 als gemene deler nemen, komt alles ook goed, uiteindelijk wordt alles verminderd. Alleen zal niet iedereen dit bereiken, vanwege de berekeningen ...

Los het voorbeeld zelf op. Geen logaritme... Het zou 29/16 moeten zijn.

Dus met het optellen (aftrekken) van breuken is het duidelijk, hoop ik? Het is natuurlijk makkelijker om in een verkorte versie te werken, met extra vermenigvuldigers. Maar dit plezier is beschikbaar voor degenen die eerlijk hebben gewerkt in lagere cijfers... En niets vergeten.

En nu zullen we dezelfde acties doen, maar niet met breuken, maar met fractionele uitdrukkingen. Nieuwe harken zullen hier worden gevonden, ja ...

We moeten dus twee fractionele uitdrukkingen toevoegen:

We moeten de noemers gelijk maken. En alleen met de hulp vermenigvuldiging! Dus de hoofdeigenschap van de breuk zegt. Daarom kan ik geen één toevoegen aan x in de eerste breuk in de noemer. (Maar dat zou leuk zijn!). Maar als je de noemers vermenigvuldigt, zie je, alles groeit samen! Dus we schrijven, verdomme de breuk, van bovenaf lege plek vertrekken, dan toevoegen, en hieronder schrijven we het product van de noemers, om niet te vergeten:

En natuurlijk vermenigvuldigen we niets aan de rechterkant, we openen geen haakjes! En nu, kijkend naar de gemeenschappelijke noemer van de rechterkant, denken we: om de noemer x (x + 1) in de eerste breuk te krijgen, moeten we de teller en noemer van deze breuk vermenigvuldigen met (x + 1) . En in de tweede breuk - x. Je krijgt dit:

Opmerking! Haakjes zijn hier! Dit is de hark waar velen op stappen. Geen haakjes natuurlijk, maar hun afwezigheid. Haakjes verschijnen omdat we vermenigvuldigen het geheel teller en het geheel noemer! En niet hun individuele stukken...

In de teller van de rechterkant schrijven we de som van de tellers, alles is zoals in numerieke breuken, dan openen we de haakjes in de teller van de rechterkant, d.w.z. vermenigvuldig alles en geef like. U hoeft de haakjes in de noemers niet te openen, u hoeft niets te vermenigvuldigen! Over het algemeen is het product in noemers (elke) altijd prettiger! We krijgen:

Hier hebben we het antwoord. Het proces lijkt lang en moeilijk, maar het hangt af van de praktijk. Los voorbeelden op, wen er maar aan, alles wordt eenvoudig. Degenen die de breuken in de toegewezen tijd onder de knie hebben, doen al deze bewerkingen met één hand, op de machine!

En nog een opmerking. Velen hebben het over breuken, maar houd voorbeelden met geheel nummers. Soort: 2 + 1/2 + 3/4= ? Waar een tweeling vastmaken? Je hoeft nergens vast te maken, je moet een breuk maken van een deuce. Het is niet gemakkelijk, het is heel eenvoudig! 2=2/1. Soortgelijk. Elk geheel getal kan worden geschreven als een breuk. De teller is het getal zelf, de noemer is één. 7 is 7/1, 3 is 3/1 enzovoort. Zo is het ook met brieven. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, enz. En dan werken we met deze breuken volgens alle regels.

Welnu, bij optellen - aftrekken van breuken, werd de kennis opgefrist. Transformaties van breuken van het ene type naar het andere - herhaald. U kunt ook controleren. Zullen we een beetje afspreken?)

Berekenen:

Antwoorden (in wanorde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Vermenigvuldigen / delen van breuken - in de volgende les. Er zijn ook taken voor alle acties met breuken.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau te weten komen. Testen met directe verificatie. Leren - met interesse!)

je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

De volgende actie die met gewone breuken kan worden uitgevoerd, is aftrekken. Als onderdeel van dit materiaal zullen we bekijken hoe we het verschil tussen breuken met dezelfde en verschillende noemers correct kunnen berekenen, hoe we een breuk van een natuurlijk getal kunnen aftrekken en omgekeerd. Alle voorbeelden worden geïllustreerd met opdrachten. Laten we van tevoren duidelijk maken dat we alleen gevallen zullen analyseren waarin het verschil van breuken resulteert in een positief getal.

Yandex.RTB RA-339285-1

Hoe het verschil te vinden tussen breuken met dezelfde noemer?

Laten we meteen beginnen met goed voorbeeld: laten we zeggen dat we een appel hebben die in acht delen is verdeeld. Laten we vijf delen op het bord laten en er twee nemen. Deze actie kan als volgt worden geschreven:

We eindigen met 3 achtsten omdat 5 − 2 = 3 . Het blijkt dat 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Daarbij een eenvoudig voorbeeld we hebben precies gezien hoe de aftrekregel werkt voor breuken waarvan de noemers hetzelfde zijn. Laten we het formuleren.

Definitie 1

Om het verschil tussen breuken met dezelfde noemer te vinden, moet je de teller van de ene aftrekken van de teller van de andere en de noemer hetzelfde laten. Deze regel kan worden geschreven als a b - c b = a - c b .

We zullen deze formule gebruiken in wat volgt.

Laten we concrete voorbeelden nemen.

voorbeeld 1

Trek van de breuk 24 15 de gewone breuk 17 15 af.

Oplossing

We zien dat deze breuken dezelfde noemers hebben. Dus alles wat we hoeven te doen is 17 aftrekken van 24. We krijgen 7 en voegen er een noemer aan toe, we krijgen 7 15 .

Onze berekeningen kunnen als volgt worden geschreven: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Indien nodig kunt u een complexe breuk verkleinen of het hele deel scheiden van een onjuiste breuk om het tellen gemakkelijker te maken.

Voorbeeld 2

Zoek het verschil 37 12 - 15 12 .

Oplossing

Laten we de hierboven beschreven formule gebruiken en berekenen: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Het is gemakkelijk in te zien dat teller en noemer deelbaar zijn door 2 (we hebben hier al eerder over gesproken toen we de tekens van deelbaarheid analyseerden). Als we het antwoord verkleinen, krijgen we 11 6 . Dit is een onjuiste breuk, waaruit we het hele deel zullen selecteren: 11 6 \u003d 1 5 6.

Hoe het verschil te vinden tussen breuken met verschillende noemers

Zo'n wiskundige bewerking kan worden teruggebracht tot wat we hierboven al hebben beschreven. Om dit te doen, brengt u eenvoudig de gewenste breuken naar dezelfde noemer. Laten we de definitie formuleren:

definitie 2

Om het verschil te vinden tussen breuken met verschillende noemers, moet je ze naar dezelfde noemer brengen en het verschil tussen de tellers vinden.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van hoe dit wordt gedaan.

Voorbeeld 3

Trek 1 15 af van 2 9 .

Oplossing

De noemers zijn verschillend en je moet ze tot de kleinste reduceren gezond verstand. In dit geval is de LCM 45. Voor de eerste fractie is een extra factor 5 vereist en voor de tweede - 3.

Laten we berekenen: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

We hebben twee breuken met dezelfde noemer, en nu kunnen we hun verschil gemakkelijk vinden met behulp van het eerder beschreven algoritme: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Een kort overzicht van de oplossing ziet er als volgt uit: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Verwaarloos niet de reductie van het resultaat of de selectie van een heel onderdeel ervan, indien nodig. BIJ dit voorbeeld dat hoeven wij niet te doen.

Voorbeeld 4

Zoek het verschil 19 9 - 7 36 .

Oplossing

We brengen de in de voorwaarde aangegeven breuken naar de kleinste gemene deler 36 en krijgen respectievelijk 76 9 en 7 36.

We beschouwen het antwoord: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Het resultaat kan met 3 worden verminderd om 23 12 te krijgen. De teller is groter dan de noemer, wat betekent dat we het hele deel kunnen extraheren. Het uiteindelijke antwoord is 1 11 12 .

De samenvatting van de hele oplossing is 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Hoe een natuurlijk getal van een gewone breuk af te trekken?

Een dergelijke actie kan ook gemakkelijk worden teruggebracht tot een eenvoudige aftrekking van gewone breuken. Dit kan door een natuurlijk getal als een breuk weer te geven. Laten we een voorbeeld laten zien.

Voorbeeld 5

Zoek het verschil 83 21 - 3 .

Oplossing

3 is hetzelfde als 3 1 . Dan kun je als volgt berekenen: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Als het in de voorwaarde nodig is om een ​​geheel getal af te trekken van onechte breuk, is het handiger om er eerst een geheel getal uit te extraheren en het als een gemengd getal te schrijven. Dan kan het vorige voorbeeld anders worden opgelost.

Van de breuk 83 21, wanneer u het gehele deel selecteert, krijgt u 83 21 \u003d 3 20 21.

Trek er nu gewoon 3 van af: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Hoe een breuk van een natuurlijk getal af te trekken?

Deze actie wordt op dezelfde manier gedaan als de vorige: we herschrijven een natuurlijk getal als een breuk, brengen beide naar een gemeenschappelijke noemer en vinden het verschil. Laten we dit illustreren met een voorbeeld.

Voorbeeld 6

Zoek het verschil: 7 - 5 3 .

Oplossing

Laten we 7 een breuk 7 1 maken. We doen de aftrekking en transformeren het eindresultaat, waarbij we het gehele deel eruit halen: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Er is een andere manier om berekeningen te maken. Het heeft enkele voordelen die kunnen worden gebruikt in gevallen waarin de tellers en noemers van de breuken in het probleem grote getallen zijn.

Definitie 3

Als de af te trekken breuk juist is, dan moet het natuurlijke getal waarvan we aftrekken worden weergegeven als de som van twee getallen, waarvan er één gelijk is aan 1. Daarna moet je de gewenste breuk van eenheid aftrekken en het antwoord krijgen.

Voorbeeld 7

Bereken het verschil 1 065 - 13 62 .

Oplossing

De af te trekken breuk is correct, omdat de teller kleiner is dan de noemer. Daarom moeten we er één van 1065 aftrekken en de gewenste breuk ervan aftrekken: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Nu moeten we het antwoord vinden. Met behulp van de eigenschappen van aftrekken kan de resulterende uitdrukking worden geschreven als 1064 + 1 - 13 62 . Laten we het verschil tussen haakjes berekenen. Om dit te doen, stellen we de eenheid voor als een breuk 1 1 .

Het blijkt dat 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Laten we nu ongeveer 1064 onthouden en het antwoord formuleren: 1064 49 62 .

We gebruiken oude weg om te bewijzen dat het minder handig is. Dit zijn de berekeningen die we zouden krijgen:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Het antwoord is hetzelfde, maar de berekeningen zijn duidelijk omslachtiger.

We hebben het geval overwogen waarin u de juiste breuk moet aftrekken. Als het fout is, vervangen we het door een gemengd getal en trekken we het af volgens de bekende regels.

Voorbeeld 8

Bereken het verschil 644-73 5 .

Oplossing

De tweede breuk is onjuist en het hele deel moet ervan worden gescheiden.

Nu rekenen we op dezelfde manier als in het vorige voorbeeld: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Aftrekeigenschappen bij het werken met breuken

De eigenschappen die aftrekken heeft natuurlijke getallen, strekken zich uit tot het aftrekken van gewone breuken. Laten we eens kijken hoe we ze kunnen gebruiken bij het oplossen van voorbeelden.

Voorbeeld 9

Zoek het verschil 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Oplossing

We hebben al soortgelijke voorbeelden opgelost toen we het aftrekken van een som van een getal analyseerden, dus we handelen volgens het al bekende algoritme. Eerst berekenen we het verschil 25 4 - 3 2 en trekken er vervolgens de laatste breuk van af:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Laten we het antwoord transformeren door het gehele deel eruit te extraheren. Het resultaat is 3 11 12.

Korte samenvatting van de hele oplossing:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Als de uitdrukking zowel breuken als natuurlijke getallen bevat, is het raadzaam om ze bij het berekenen te groeperen op type.

Voorbeeld 10

Zoek het verschil 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Oplossing

Als we de basiseigenschappen van aftrekken en optellen kennen, kunnen we getallen als volgt groeperen: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Laten we de berekeningen voltooien: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Gemengde breuken kunnen net als eenvoudige breuken worden afgetrokken. Om gemengde aantallen breuken af ​​te trekken, moet u een paar regels voor aftrekken kennen. Laten we deze regels met voorbeelden bestuderen.

Aftrekken van gemengde breuken met dezelfde noemers.

Beschouw een voorbeeld met de voorwaarde dat het gehele en het breukdeel dat moet worden verminderd groter zijn dan het gehele getal en het breukdeel dat respectievelijk moet worden afgetrokken. Onder dergelijke omstandigheden vindt de aftrekking afzonderlijk plaats. Het gehele deel wordt afgetrokken van het gehele deel en het breukdeel van het breukdeel.

Overweeg een voorbeeld:

Aftrekken gemengde breuken\(5\frac(3)(7)\) en \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

De juistheid van de aftrekking wordt gecontroleerd door optellen. Laten we de aftrekking controleren:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Overweeg een voorbeeld met de voorwaarde dat het fractionele deel van de minuend respectievelijk kleiner is dan het fractionele deel van de subtrahend. In dit geval lenen we er een van het gehele getal in de minuend.

Overweeg een voorbeeld:

Trek de gemengde breuken \(6\frac(1)(4)\) en \(3\frac(3)(4)\) af.

De gereduceerde \(6\frac(1)(4)\) heeft een kleiner breukdeel dan het breukdeel van de afgetrokken \(3\frac(3)(4)\). Dat wil zeggen, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \kleur(rood) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \kleur(rood) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Volgend voorbeeld:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Een gemengde breuk aftrekken van een geheel getal.

Voorbeeld: \(3-1\frac(2)(5)\)

De gereduceerde 3 heeft geen fractioneel deel, dus we kunnen niet meteen aftrekken. Laten we het gehele deel van de eenheid y 3 nemen en vervolgens de aftrekking uitvoeren. We schrijven de eenheid als \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \kleur(rood) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \kleur(rood) (\frac(5 )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Aftrekken van gemengde breuken met verschillende noemers.

Beschouw een voorbeeld met de voorwaarde als de fractionele delen van de minuend en de subtrahend verschillende noemers hebben. Het is noodzakelijk om tot een gemeenschappelijke noemer te reduceren en vervolgens een aftrekking uit te voeren.

Trek twee gemengde breuken met verschillende noemers \(2\frac(2)(3)\) en \(1\frac(1)(4)\) af.

De gemene deler is 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Gerelateerde Vragen:
Hoe gemengde breuken aftrekken? Hoe gemengde breuken op te lossen?
Antwoord: u moet beslissen tot welk type de uitdrukking behoort en het oplossingsalgoritme toepassen op basis van het type uitdrukking. Trek het gehele getal af van het gehele deel, trek het breukdeel af van het breukdeel.

Hoe trek je een breuk af van een geheel getal? Hoe trek je een breuk af van een geheel getal?
Antwoord: je moet een eenheid van een geheel getal nemen en deze eenheid als een breuk schrijven

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

en dan het geheel van het geheel aftrekken, het fractionele deel van het fractionele deel aftrekken. Voorbeeld:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \kleur(rood) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \kleur(rood) (\frac(7 )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Voorbeeld 1:
Trek een juiste breuk van één af: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Oplossing:
a) Laten we de eenheid voorstellen als een breuk met een noemer van 33. We krijgen \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Laten we de eenheid voorstellen als een breuk met een noemer van 7. We krijgen \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Voorbeeld #2:
Trek een gemengde breuk af van een geheel getal: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Oplossing:
a) Laten we 21 eenheden van een geheel getal nemen en dit zo schrijven \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Laten we 1 nemen van het gehele getal 2 en dat zo schrijven \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Voorbeeld #3:
Trek een geheel getal af van een gemengde breuk: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Voorbeeld #4:
Trek een juiste breuk af van een gemengde breuk: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Voorbeeld #5:
Bereken \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \kleur(rood) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \kleur(rood) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \kleur(rood) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(uitlijnen)\)

Deze les gaat over optellen en aftrekken. algebraïsche breuken met dezelfde noemers. We weten al hoe we gewone breuken met dezelfde noemers moeten optellen en aftrekken. Het blijkt dat algebraïsche breuken dezelfde regels volgen. Het vermogen om met breuken met dezelfde noemers te werken, is een van de hoekstenen bij het leren van de regels voor het werken met algebraïsche breuken. In het bijzonder zal het begrijpen van dit onderwerp het gemakkelijk maken om een ​​meer complex onderwerp onder de knie te krijgen - optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. Als onderdeel van de les bestuderen we de regels voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met dezelfde noemers, en analyseren we een aantal typische voorbeelden

Regel voor het optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met dezelfde noemers

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (jij-chi-ta-niya) al-geb-ra-en-che-dro-bey met een-op-je- mi-know-on-te-la-mi (het is co-pa-yes-et met de analoge duim voor gewone-maar-ven-nyh-dr-bay): Dat is voor de toevoeging of jij-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey met one-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi is noodzakelijk -ho-di-mo met -sta met-van-vet-stu-u-th al-geb-ra-i-che-som van het aantal-li-te-lei, en de sign-me-on-tel vertrekken zonder iz-me- nee-geen.

We zullen deze rechts-vi-lo analyseren zowel naar het voorbeeld van gewone-maar-ader-shot-beats, als naar het voorbeeld van al-geb-ra-en-che-drobey.

Voorbeelden van het toepassen van de regel voor gewone breuken

Voorbeeld 1. Breuken optellen:.

Oplossing

Laten we het nummer-of-zij-of-draw-beat toevoegen, en laten we de sign-me-on-tel hetzelfde laten. Daarna verdelen we de numer-li-tel en de sign-me-on-tel in eenvoudige vermenigvuldigers en zo-kra-tim. Laten we het gaan halen: .

Opmerking: standaardfout, ik zal iets opstarten bij het oplossen in een goed soort voorbeeld, voor -key-cha-et-sya in de volgende-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Dit is een grove fout, aangezien de sign-on-tel hetzelfde blijft als in de oorspronkelijke fracties.

Voorbeeld 2. Breuken optellen:.

Oplossing

Deze za-da-cha is niets van-cha-et-sya van de vorige:.

Voorbeelden van het toepassen van de regel voor algebraïsche breuken

Van de gebruikelijke-maar-ader-nyh dro-bay per-rey-dem tot al-geb-ra-i-che-skim.

Voorbeeld 3. Breuken optellen:.

Oplossing: zoals hierboven al vermeld, is de toevoeging van al-geb-ra-en-che-dro-bey niets van-is-cha-is-sya van de zhe-niya meestal-maar-ader-nyh dro-bay. Daarom is de oplossingsmethode hetzelfde:.

Voorbeeld 4. U-eerbreuken:.

Oplossing

You-chi-ta-nie al-geb-ra-and-che-dro-bey van-of-cha-et-sya van de complicatie alleen door het feit dat in het aantal pi-sy-va-et-sya verschil in het aantal-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Dat is waarom .

Voorbeeld 5. U-eerbreuken:.

Oplossing: .

Voorbeeld 6. Vereenvoudig:.

Oplossing: .

Voorbeelden van het toepassen van de regel gevolgd door reductie

In een fractie, iemand-paradijs is in een re-zul-ta-die toevoeging of jij-chi-ta-nia, het is mogelijk om co-prachtig niya. Bovendien mag u de ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey niet vergeten.

Voorbeeld 7. Vereenvoudig:.

Oplossing: .

waarin. In het algemeen, als de ODZ van de out-of-hot-drow-bay uilen-pa-yes-et met de ODZ van de total-go-howl, dan kun je het niet aangeven (per slot van rekening een fractie, in een lu-chen-naya in van-ve-die, zal ook niet bestaan ​​met co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). Maar als de ODZ de bron is van de lopende dro-bay en van-ve-dat doet niet mee-ja-et, dan geeft de ODZ de noodzaak-ho-di-mo aan.

Voorbeeld 8. Vereenvoudig:.

Oplossing: . Tegelijkertijd valt y (ODZ van de uitgaande draw-bay niet samen met de ODZ van re-zul-ta-ta).

Optellen en aftrekken van gewone breuken met verschillende noemers

Om op te slaan en je-chi-tat al-geb-ra-en-che-fracties met verschillende-we-know-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo -gyu van de gebruikelijke- but-ven-ny-mi dro-bya-mi en re-re-not-sem het in al-geb-ra-en-che-fracties.

Ras-kijk naar het eenvoudigste voorbeeld voor gewone veneuze injecties.

Voorbeeld 1. Voeg breuken toe:.

Oplossing:

Laten we de rechter-vi-lo-slo-drow-baai niet vergeten. Voor na-cha-la-breuken is het nodig om-ve-sti toe te voegen aan het gemeenschappelijke teken-me-naar-te-lu. In de rol van een algemeen teken-me-op-te-la voor gewone-maar-ader-draw-beats, jij-stu-pa-et kleinste gemene veelvoud(NOK) de bron van de bordjes-mij-op-de-lei.

Definitie

Het kleinste-nek-naar-tu-ral-nummer, iemands-zwerm wordt tegelijkertijd ontstoken in cijfers en.

Om het NOC te vinden, moet je weten-me-van-de-of-te-leven in eenvoudige vermenigvuldigers, en dan ervoor kiezen om alles te nemen voor - er zijn er veel, veel, sommige zijn inbegrepen in het verschil tussen beide tekent-mij-op-de-lei.

; . Dan moet de LCM van getallen twee tweeën en twee drieën bevatten:.

Na het vinden van de algemene sign-on-te-la, is het noodzakelijk voor elk van de dro-bays om een ​​extra multi-zhi-tel (fak-ti-che-ski, bij het uitgieten van een gemeenschappelijke sign-me- on-tel op sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th fraction).

Vervolgens wordt elke breuk vermenigvuldigd met een semi-chen-ny tot half-no-tel-ny vermenigvuldiger. Breuken met dezelfde-naar-je-ken-mij-op-te-la-mi, magazijnen en jij-chi-tat iemand waar we mee bezig zijn - bestudeerd in de afgelopen lessen.

Door-lu-cha-eten: .

Antwoorden:.

Ras-look-rim nu de vouw van al-geb-ra-en-che-dro-bey met verschillende tekens-me-on-te-la-mi. Slaap-cha-la, we-kijken naar de breuken, weet-me-aan-de-of sommigen van hen-la-yut-sya nummer-la-mi zijn.

Optellen en aftrekken van algebraïsche breuken met verschillende noemers

Voorbeeld 2. Voeg breuken toe:.

Oplossing:

Al-go-ritme van re-she-niya ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen vorige-du-sche-mu p-me-ru. Het is gemakkelijk om een ​​gemeenschappelijke noemer te nemen voor de gegeven breuken: en vermenigvuldigers bij elkaar op te tellen voor elk van hen.

.

Antwoorden:.

Dus, sfor-mu-li-ru-em al-go-ritme van complicatie en jij-chi-ta-niya al-geb-ra-en-che-dro-beats met verschillende-we-know-me-on-te-la-mi:

1. Vind de kleinste veelvoorkomende sign-me-on-tel draw-bay.

2. Vind extra vermenigvuldigers voor elk van de draw-bay-breuken).

3. Doe-vermenigvuldig-live nummers-of-de-of op de co-ot-vet-stu-u-s-up tot-half-geen-tel-nye-veelvoud-die.

4. Add-to-live of jij-eer de breuken, gebruik de rechter-wi-la-mi van de fold en you-chi-ta-niya draw-bay met one-to-you-know -me-on- te-la-mi.

Ras-look-rim nu een voorbeeld met dro-bya-mi, in de know-me-on-the-le-er-zijn-er-zijn-beuken-ven-nye you-ra-same - ie.

Opmerking! Kijk voordat u een definitief antwoord schrijft of u de ontvangen breuk kunt verkleinen.

Aftrekken van breuken met dezelfde noemers voorbeelden:

,

,

Een juiste breuk van één aftrekken.

Als het nodig is om een ​​breuk van de eenheid af te trekken die correct is, wordt de eenheid omgezet in de vorm van een onechte breuk, de noemer is gelijk aan de noemer van de afgetrokken breuk.

Een voorbeeld van het aftrekken van een juiste breuk van één:

De noemer van de af te trekken breuk = 7 , d.w.z. we stellen de eenheid voor als een oneigenlijke breuk 7/7 en trekken af ​​volgens de regel voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemers.

Een juiste breuk aftrekken van een geheel getal.

Regels voor het aftrekken van breuken - correct van geheel getal (natuurlijk nummer):

• We vertalen de gegeven breuken, die een geheel getal bevatten, naar oneigenlijke. We krijgen normale termen (het maakt niet uit of ze verschillende noemers hebben), die we beschouwen volgens de bovenstaande regels;
• Vervolgens berekenen we het verschil van de breuken die we hebben ontvangen. Hierdoor zullen we bijna het antwoord vinden;
• We voeren de inverse transformatie uit, dat wil zeggen, we verwijderen de onjuiste breuk - we selecteren het gehele deel in de breuk.

Trek een echte breuk af van een geheel getal: we stellen een natuurlijk getal voor als een gemengd getal. Die. we nemen een eenheid in een natuurlijk getal en vertalen deze in de vorm van een oneigenlijke breuk, de noemer is dezelfde als die van de afgetrokken breuk.

Voorbeeld van aftrekken van breuken:

In het voorbeeld hebben we de eenheid vervangen door een oneigenlijke breuk 7/7 en in plaats van 3 hebben we een gemengd getal opgeschreven en een breuk van het breukdeel afgetrokken.

Aftrekken van breuken met verschillende noemers.

Of, om het anders te zeggen, aftrekken van verschillende breuken.

Regel voor het aftrekken van breuken met verschillende noemers. Om breuken met verschillende noemers af te trekken, is het noodzakelijk deze breuken eerst naar de kleinste gemene deler (LCD) te brengen, en pas daarna af te trekken zoals bij breuken met dezelfde noemer.

De gemeenschappelijke noemer van meerdere breuken is LCM (kleinste gemene veelvoud) natuurlijke getallen die de noemers zijn van de gegeven breuken.

Aandacht! Als in laatste breuk de teller en noemer gemeenschappelijke factoren hebben, dan moet de breuk worden verkleind. Een onechte breuk wordt het best weergegeven als een gemengde breuk. Het resultaat van de aftrekking laten staan ​​zonder de breuk waar mogelijk te verminderen, is een onvoltooide oplossing voor het voorbeeld!

Procedure voor het aftrekken van breuken met verschillende noemers.

• vind de LCM voor alle noemers;
• zet extra vermenigvuldigers voor alle breuken;
• vermenigvuldig alle tellers met een extra factor;
• we schrijven de resulterende producten in de teller en ondertekenen een gemeenschappelijke noemer onder alle breuken;
• trek de tellers van breuken af ​​en onderteken de gemeenschappelijke noemer onder het verschil.

Op dezelfde manier wordt het optellen en aftrekken van breuken uitgevoerd in aanwezigheid van letters in de teller.

Aftrekken van breuken, voorbeelden:

Aftrekken van gemengde breuken.

Bij aftrekken van gemengde breuken (getallen) afzonderlijk wordt het gehele deel afgetrokken van het gehele deel en het fractionele deel wordt afgetrokken van het fractionele deel.

De eerste optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Als fractionele delen hetzelfde noemers en teller van het fractionele deel van de minuend (we trekken ervan af) ≥ de teller van het fractionele deel van de subtrahend (we trekken het af).

Bijvoorbeeld:

De tweede optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Wanneer de fractionele delen verscheidene noemers. Om te beginnen reduceren we de breuken tot een gemeenschappelijke noemer, en dan trekken we het gehele deel af van het gehele getal, en het breukdeel van het breukdeel.

Bijvoorbeeld:

De derde optie is om gemengde breuken af ​​te trekken.

Het fractionele deel van de minuend is kleiner dan het fractionele deel van de subtrahend.

Voorbeeld:

Omdat breuken hebben verschillende noemers, wat betekent dat we, net als bij de tweede optie, eerst gewone breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen.

De teller van het fractionele deel van de minuend is kleiner dan de teller van het fractionele deel van de subtrahend.3 < 14. We nemen dus een eenheid van het gehele deel en brengen deze eenheid in de vorm van een onechte breuk met dezelfde noemer en teller = 18.

In de teller vanaf de rechterkant schrijven we de som van de tellers, dan openen we de haakjes in de teller vanaf de rechterkant, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen alles en geven soortgelijke. We openen geen haakjes in de noemer. Het is gebruikelijk om het product in de noemers te laten staan. We krijgen: