Số không âm. Bài ngoại khóa - module số Giải bất phương trình
Là số đặc biệt nên không có dấu.
Ví dụ về cách viết số: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Số cuối cùng không có dấu nên là số dương.
Cần lưu ý rằng dấu cộng và dấu trừ biểu thị dấu cho các số, nhưng không biểu thị dấu cho các biến bằng chữ hoặc biểu thức đại số. Ví dụ, trong các công thức − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Các ký hiệu cộng và trừ không xác định dấu của biểu thức mà chúng đứng trước mà là dấu của phép tính số học, vì vậy dấu của kết quả có thể là bất cứ thứ gì; nó chỉ được xác định sau khi biểu thức đã được ước tính.
Ngoài số học, khái niệm dấu hiệu còn được sử dụng trong các ngành toán học khác, bao gồm cả các đối tượng toán học phi số (xem bên dưới). Khái niệm dấu hiệu cũng quan trọng trong các ngành vật lý trong đó các đại lượng vật lý được chia thành hai loại, thường được gọi là dương và âm - ví dụ, điện tích, phản hồi dương và âm, các lực hút và lực đẩy khác nhau.
Số hiệu
Số dương và số âm
Số 0 không được gán bất kỳ dấu hiệu nào, nghĩa là + 0 (\displaystyle +0) Và − 0 (\displaystyle -0)- đây là con số tương tự trong số học. Trong phân tích toán học, ý nghĩa của các ký hiệu + 0 (\displaystyle +0) Và − 0 (\displaystyle -0) có thể khác nhau, hãy xem về số 0 âm và dương này; trong khoa học máy tính, mã hóa máy tính của hai số 0 (kiểu số nguyên) có thể khác nhau, xem Mã trực tiếp.
Liên quan đến những điều trên, một số thuật ngữ hữu ích hơn được giới thiệu:
- Con số không tiêu cực, nếu nó lớn hơn hoặc bằng 0.
- Con số tiêu cực, nếu nó nhỏ hơn hoặc bằng 0.
- Các số dương không có số 0 và số âm không có số 0 đôi khi (để nhấn mạnh rằng chúng khác 0) được gọi lần lượt là "hoàn toàn dương" và "hoàn toàn âm".
Thuật ngữ tương tự đôi khi được sử dụng cho các hàm thực. Ví dụ, hàm được gọi là tích cực, nếu tất cả các giá trị của nó đều dương, không tiêu cực, nếu tất cả các giá trị của nó không âm, v.v. Họ cũng nói rằng một hàm là dương/âm trên một khoảng nhất định trong định nghĩa của nó..
Để biết ví dụ về cách sử dụng hàm, hãy xem bài viết Căn bậc hai#Số phức.
Mô đun (giá trị tuyệt đối) của một số
Nếu số x (\displaystyle x) loại bỏ dấu, giá trị kết quả được gọi mô-đun hoặc giá trị tuyệt đối con số x (\displaystyle x), nó được chỉ định | x | . (\displaystyle |x|.) Ví dụ: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)
Với mọi số thực a , b (\displaystyle a,b) các thuộc tính sau giữ nguyên.
Ký hiệu cho các đối tượng không phải là số
Dấu hiệu góc
Giá trị của một góc trên mặt phẳng được coi là dương nếu nó được đo ngược chiều kim đồng hồ, nếu không thì âm. Hai trường hợp xoay được phân loại tương tự nhau:
- quay trên mặt phẳng - ví dụ: quay theo (–90°) xảy ra theo chiều kim đồng hồ;
- chuyển động quay trong không gian xung quanh một trục định hướng thường được coi là dương nếu “quy tắc gimlet” được thỏa mãn, nếu không thì nó được coi là âm.
Dấu chỉ hướng
Trong hình học giải tích và vật lý, những tiến bộ dọc theo một đường thẳng hoặc đường cong nhất định thường được chia thành tích cực và tiêu cực. Việc phân chia như vậy có thể phụ thuộc vào cách trình bày bài toán hoặc vào hệ tọa độ đã chọn. Ví dụ, khi tính độ dài cung của một đường cong, thường thuận tiện hơn khi gán dấu trừ cho độ dài này theo một trong hai hướng có thể.
Đăng nhập máy tính
| điều ý nghĩa nhất | |||||||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | 127 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | 126 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | = | 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | = | −1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | = | −2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | = | −127 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | = | −128 |
| Để biểu thị dấu của một số nguyên, hầu hết các máy tính đều sử dụng | |||||||||
Bao gồm các số dương (tự nhiên), số âm và số không.
Tất cả các số âm và chỉ chúng đều nhỏ hơn 0. Trên trục số, các số âm nằm ở bên trái số 0. Đối với họ, cũng như đối với các số dương, một mối quan hệ thứ tự được xác định, cho phép người ta so sánh số nguyên này với số nguyên khác.
Với mọi số tự nhiên N có một và chỉ một số âm, ký hiệu -N, bổ sung N về không: N + (− N) = 0 . Cả hai số đều được gọi đối diện dành cho nhau. Trừ một số nguyên Một tương đương với việc thêm nó với số đối diện của nó: -Một.
Tính chất của số âm
Số âm tuân theo các quy tắc gần như giống như số tự nhiên nhưng có một số tính năng đặc biệt.
phác họa lịch sử
Văn học
- Vygodsky M. Ya. Sổ tay Toán tiểu học. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Glazer G.I. Lịch sử toán học ở trường. - M.: Giáo dục, 1964. - 376 tr.
Liên kết
Quỹ Wikimedia. 2010.
- Vô tâm gây tổn hại
- Tân nhiệt đới
Xem “Số không âm” là gì trong các từ điển khác:
Số thực- Số thực hay số thực là một sự trừu tượng toán học nảy sinh từ nhu cầu đo lường hình học và đại lượng vật lý thế giới xung quanh, cũng như thực hiện các thao tác như trích rút nghiệm, tính logarit, giải... ... Wikipedia
thường là một số nguyên nhỏ không âm- Một phần của mã hóa biểu thị các giá trị của số nguyên không âm không giới hạn, nhưng trong đó các giá trị nhỏ có nhiều khả năng xảy ra thường xuyên hơn (ITU T X.691). Chủ đề... ... Hướng dẫn dịch thuật kỹ thuật
SỐ THỰC- số thực, số dương, số âm hoặc bằng không. Khái niệm của D. h. nảy sinh bằng cách mở rộng khái niệm Số hữu tỉ. Sự cần thiết phải mở rộng này là do: công dụng thực tế toán học khi biểu diễn.... Bách khoa toàn thư toán học
số nguyên tố- Số nguyên tố là số tự nhiên, có đúng hai ước tự nhiên phân biệt: một và chính nó. Tất cả các số tự nhiên khác, ngoại trừ một, được gọi là hợp số. Vì vậy, mọi số tự nhiên đều lớn hơn một... ... Wikipedia
số tự nhiên- ▲ biểu diễn số nguyên, số thực, số tự nhiên số nguyên không âm; biểu thị số lượng các đối tượng riêng lẻ trong l. cốt liệu; biểu thị số lượng vật thể nguyên vẹn thực sự; biểu hiện của con số. bốn... Từ điển tư tưởng của tiếng Nga
Số thập phân - Số thập phân một loại phân số, là cách biểu diễn số thực ở dạng trong đó dấu của phân số là hoặc dấu thập phân dùng làm dấu phân cách giữa số nguyên và phần phân đoạn số... ... Wikipedia Wikipedia
Trưởng phòng SHMO
giáo viên toán _______Kalashnikova Zh.YuCơ sở giáo dục ngân sách thành phố
"Trường cấp hai số 89"
Các bài kiểm tra chuyên đề môn toán lớp 6
theo sách giáo khoa của I.I. Zubareva và A.G. Mordkovic
Biên soạn bởi: giáo viên toán:
Kalashnikova Zhanna Yuryevna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Nội dung
Bài kiểm tra số 1……………………………….3-6
Bài kiểm tra số 2…………………………………………………….7-10
Bài kiểm tra số 3…………………………………….11-14
Câu trả lời ……….…………………………..15
Bài kiểm tra số 1 “Số dương và số âm”
lựa chọn 1
Nhập số phân số âm:
-165
38
-7.92
67Mô tả sự kiện “Bật tia tọa độ số được đánh dấu -5,5"
Đáng tin cậy
Không thể nào
Ngẫu nhiên
Trong bốn số đó số nào lớn nhất?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Điểm nào nằm trên đường tọa độ bên phải điểm O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1.2)
Vào ban đêm nhiệt độ không khí là -5°C. Trong ngày nhiệt kế đã +3 ° C. Nhiệt độ không khí đã thay đổi như thế nào?
Tăng thêm 8o
Giảm đi 2o
Tăng thêm 2o
Giảm đi 8o
Điểm x(-2) được đánh dấu trên đường tọa độ – tâm đối xứng. Cho biết tọa độ các điểm nằm trên đường thẳng này đối xứng với điểm x.
(-1) và (1)
(-1) và (1)
(3) và (-3)
(0) và (-4)
Những điểm nào trên đường tọa độ không đối xứng với gốc tọa độ - điểm O (0).
B(-5) và C(5)
D(0,5) và E(-0,5)
M(-3) và K(13)
A(18) và X(-18)
Tổng của các số 0,316+0,4 là bao nhiêu?
0,356
0,716
4,316
0,32
Tính 25% của số 0,4.
0,1
0,001
10
100
Tính chênh lệch của 9100 và 0,03
0,05
0,6
9,03
350Phương án 2
Nhập số phân số âm.
8,63
-1045
913-0,2
Mô tả sự kiện “Số 7 được đánh dấu trên tia tọa độ.”
Ngẫu nhiên
Không thể nào
Đáng tin cậy
Con số nào là nhỏ nhất?
15,49
154,9
1,549
1549
Điểm nào nằm trên đường tọa độ bên trái điểm O(0).
A(-0.5)
Lúc 6)
M(0,5)
K(38)
Vào ban ngày, nhiệt kế hiển thị +5°C và vào buổi tối -2°C. Nhiệt độ không khí đã thay đổi như thế nào?
Tăng thêm 3o
Giảm đi 7o
Giảm đi 3o
Tăng thêm 7o
Tâm đối xứng được đánh dấu trên đường tọa độ - điểm A(-3). Cho biết tọa độ các điểm nằm trên đường thẳng này đối xứng với điểm A.
(-2) và (2)
(0) và (-5)
(-6) và (1)
(-1) và (-5)
Những điểm nào của đường tọa độ không đối xứng với gốc tọa độ - điểm O(0).
A(6) và B(-6)
C(12) và D(-2)
M(-1) và K(1)
X (-9) và Y (9)
Tổng của các số 0,237 và 0,3 là bao nhiêu?
0,24
3,237
0,537
0,267
Tính 20% của 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Tính hiệu của 0,07 và 31001250,5
1
425Bài kiểm tra số 2. Giá trị tuyệt đối của một số. Những con số đối nghịch.
lựa chọn 1
Số nào trong số đã cho có mô đun nhỏ nhất
-11
1013-4,196
-4,2
Chỉ định một phương trình sai
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Mô-đun không số âm là số không âm. Tuyên bố này có đúng không?
Đúng
KHÔNG
Số nào trong số này đối diện với số -34?43-43-3434Giá trị của biểu thức -(-m) nếu m = -15
+15
-15
Tính giá trị của biểu thức: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Giải phương trình: x=40-40
40
40 hoặc -40
Những số nguyên nào nằm trên đường tọa độ giữa các số 2,75 và 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Bất đẳng thức -30>-50 có đúng không?
KHÔNG
Liệt kê tất cả các số nguyên x nếu x<30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Lựa chọn 2
Số nào có mô đun lớn nhất?
-0,6
-50,603
493550,530
Chỉ định một phương trình sai
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325Mô đun của số âm có thể là số âm không
Đúng
KHÔNG
Số nào trong số này là số đối của 124?
-24
24
-124124Giá trị của biểu thức –(-k), nếu k = -9
-9
+9
Tính giá trị của biểu thức: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Giải phương trình x=100100
-100
100 hoặc -100
Những số nguyên nào nằm trên đường tọa độ giữa các số 1 và - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Bất đẳng thức -25 có đúng không?<-10?
Đúng
KHÔNG
Liệt kê tất cả các số nguyên x nếu x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Bài kiểm tra số 3. So sánh các con số
lựa chọn 1
Bất đẳng thức nào sai?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3
-320 -920>
<
=
Có đúng là số 0 lớn hơn mọi số âm không?
Đúng
KHÔNG
Số a không âm. Làm thế nào chúng ta có thể viết tuyên bố này như là một bất đẳng thức?
Một<0a≤0a≥0a>0 Hãy chỉ số lớn nhất trong các số đã cho.
0,16
-3018-0,4
0,01
Với giá trị tự nhiên nào của x thì bất đẳng thức x<44, 3, 2 đúng?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Với những giá trị nguyên nào của y thì bất đẳng thức y đúng?<-2?0
-1
0, -1, 1
Không có giá trị như vậy
Số -6; -3,8; -115; 0,8 nằm ở:
Theo thứ tự giảm dần
Theo thứ tự tăng dần
Trong tình trạng lộn xộn
Dự báo thời tiết được phát trên đài: nhiệt độ dự kiến sẽ giảm xuống -20°C. Mô tả sự kiện này:
Không thể nào
Đáng tin cậy
Ngẫu nhiên
Lựa chọn 2
Bất đẳng thức nào đúng?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Dấu hiệu nào phải được viết giữa các phân số này để bất đẳng thức đúng?
-1315 -715<
>
=
Có đúng là số 0 nhỏ hơn bất kỳ số âm nào không?
Đúng
KHÔNG
Số x không lớn hơn 0. Làm thế nào chúng ta có thể viết tuyên bố này như là một bất đẳng thức?
x ≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Với giá trị tự nhiên nào của a thì bất đẳng thức a<3 đúng?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Với những giá trị nguyên nào của m thì bất đẳng thức m đúng?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Không có giá trị như vậy
Số 1,2; -1,2; -427; -100 nằm:
Trong tình trạng lộn xộn
Theo thứ tự tăng dần
Theo thứ tự giảm dần
Điểm A(5) được đánh dấu trên đường tọa độ. Một điểm B khác được đánh dấu ngẫu nhiên trên đường thẳng này, tọa độ của nó đối diện với 5. Hãy mô tả sự kiện này.
Ngẫu nhiên
Đáng tin cậy
Không thể nào
câu trả lời
Bài kiểm tra số 1 Bài kiểm tra số 2
STT Phương án 1 Phương án 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
STT Phương án 1 Phương án 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4
Bài kiểm tra số 3
STT Phương án 1 Phương án 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3
Hôm nay, các bạn ơi, sẽ không còn nước mũi hay đa cảm nữa. Thay vào đó, tôi sẽ cử bạn tham gia trận chiến với một trong những đối thủ đáng gờm nhất của môn đại số lớp 8-9 mà không cần đặt câu hỏi.
Vâng, bạn đã hiểu đúng mọi thứ: chúng ta đang nói về bất đẳng thức với mô đun. Chúng ta sẽ xem xét bốn kỹ thuật cơ bản mà bạn sẽ học để giải quyết khoảng 90% những vấn đề như vậy. Còn 10% còn lại thì sao? Chà, chúng ta sẽ nói về chúng trong một bài học riêng. :)
Tuy nhiên, trước khi phân tích bất kỳ kỹ thuật nào, tôi muốn nhắc bạn về hai sự thật mà bạn cần biết. Nếu không, bạn có nguy cơ không hiểu được nội dung của bài học hôm nay.
Những gì bạn đã cần biết
Captain Obviousness dường như gợi ý rằng để giải bất đẳng thức bằng môđun bạn cần biết hai điều:
- Sự bất bình đẳng được giải quyết như thế nào;
- Mô-đun là gì?
Hãy bắt đầu với điểm thứ hai.
Định nghĩa mô-đun
Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Có hai định nghĩa: đại số và đồ họa. Để bắt đầu - đại số:
Sự định nghĩa. Mô đun của một số $x$ hoặc là chính số đó, nếu nó không âm, hoặc là số đối diện với nó, nếu $x$ ban đầu vẫn âm.
Nó được viết như thế này:
\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Nói một cách đơn giản, mô đun là một “con số không có điểm trừ”. Và chính ở tính hai mặt này (ở một số nơi bạn không phải làm bất cứ điều gì với số ban đầu, nhưng ở những nơi khác, bạn sẽ phải loại bỏ một số loại trừ) đó là toàn bộ khó khăn đối với những học sinh mới bắt đầu.
Ngoài ra còn có một định nghĩa hình học. Việc biết này cũng hữu ích, nhưng chúng ta sẽ chỉ đề cập đến nó trong những trường hợp phức tạp và một số trường hợp đặc biệt, trong đó cách tiếp cận hình học thuận tiện hơn cách tiếp cận đại số (spoiler: không phải hôm nay).
Sự định nghĩa. Cho điểm $a$ được đánh dấu trên tia số. Sau đó, mô-đun $\left| x-a \right|$ là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $a$ trên đường thẳng này.
Nếu bạn vẽ một bức tranh, bạn sẽ nhận được một cái gì đó như thế này:
Định nghĩa mô-đun đồ họa Bằng cách này hay cách khác, từ định nghĩa của một mô-đun, thuộc tính khóa của nó ngay lập tức như sau: mô đun của một số luôn là đại lượng không âm. Sự thật này sẽ là sợi chỉ đỏ xuyên suốt toàn bộ câu chuyện của chúng ta ngày hôm nay.
Giải quyết các bất đẳng thức. Phương pháp ngắt quãng
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào sự bất bình đẳng. Có rất nhiều trong số đó, nhưng nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là có thể giải được ít nhất những câu đơn giản nhất trong số đó. Những phương pháp quy về bất đẳng thức tuyến tính cũng như phương pháp khoảng.
Tôi có hai bài học lớn về chủ đề này (nhân tiện, rất RẤT hữu ích - tôi khuyên bạn nên nghiên cứu chúng):
- Phương pháp khoảng cho bất đẳng thức (đặc biệt là xem video);
- Bất đẳng thức hữu tỉ phân số là một bài học rất sâu rộng, nhưng sau đó bạn sẽ không còn thắc mắc gì nữa.
Nếu bạn biết tất cả những điều này, nếu cụm từ “hãy chuyển từ bất đẳng thức sang phương trình” không khiến bạn mơ hồ muốn đập mình vào tường, thì bạn đã sẵn sàng: chào mừng bạn đến với chủ đề chính của bài học. :)
1. Bất đẳng thức có dạng “Môđun nhỏ hơn hàm số”
Đây là một trong những vấn đề phổ biến nhất với các mô-đun. Cần giải bất đẳng thức có dạng:
\[\left| f\right| \ltg\]
Các hàm $f$ và $g$ có thể là bất cứ thứ gì, nhưng thông thường chúng là các đa thức. Ví dụ về những bất bình đẳng như vậy:
\[\begin(căn chỉnh) & \left| 2x+3 \phải| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(căn chỉnh)\]
Tất cả chúng có thể được giải quyết theo nghĩa đen trong một dòng theo sơ đồ sau:
\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \đúng đúng)\]
Dễ dàng nhận thấy rằng chúng ta loại bỏ mô-đun, nhưng đổi lại chúng ta nhận được một bất đẳng thức kép (hoặc, cũng tương tự, một hệ hai bất đẳng thức). Nhưng quá trình chuyển đổi này hoàn toàn tính đến tất cả các vấn đề có thể xảy ra: nếu số trong mô đun là dương thì phương pháp sẽ hoạt động; nếu âm tính thì nó vẫn hoạt động; và ngay cả với hàm không đầy đủ nhất thay cho $f$ hoặc $g$, phương thức vẫn sẽ hoạt động.
Đương nhiên, câu hỏi được đặt ra: nó không thể đơn giản hơn sao? Thật không may, điều đó là không thể. Đây là toàn bộ điểm của mô-đun.
Tuy nhiên, đủ với triết lý. Hãy giải quyết một số vấn đề:
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| 2x+3 \phải| \lt x+7\]
Giải pháp. Vì vậy, trước mắt chúng ta có một bất đẳng thức cổ điển có dạng “mô đun nhỏ hơn” - thậm chí không có gì để biến đổi. Chúng tôi làm việc theo thuật toán:
\[\begin(căn chỉnh) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \phải| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(căn chỉnh)\]
Đừng vội mở các dấu ngoặc đơn có dấu “trừ” đứng trước: rất có thể do nóng vội mà bạn sẽ mắc phải sai lầm phản cảm.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Bài toán được rút gọn thành hai bất đẳng thức cơ bản. Hãy để chúng tôi lưu ý các giải pháp của họ trên các dòng số song song:
Giao lộ của nhiều
Giao điểm của các bộ này sẽ là câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Giải pháp. Nhiệm vụ này khó khăn hơn một chút. Đầu tiên, hãy tách mô-đun bằng cách di chuyển số hạng thứ hai sang phải:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]
Rõ ràng, chúng ta lại có bất đẳng thức có dạng “mô-đun nhỏ hơn”, vì vậy chúng ta loại bỏ mô-đun bằng thuật toán đã biết:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Bây giờ hãy chú ý: ai đó sẽ nói rằng tôi hơi hư hỏng với tất cả những dấu ngoặc đơn này. Nhưng hãy để tôi nhắc bạn một lần nữa rằng mục tiêu chính của chúng ta là giải đúng bất đẳng thức và nhận được câu trả lời. Sau này, khi bạn đã nắm vững hoàn toàn mọi thứ được mô tả trong bài học này, bạn có thể tự mình biến tấu nó theo ý muốn: mở dấu ngoặc đơn, thêm dấu trừ, v.v.
Để bắt đầu, chúng ta chỉ cần loại bỏ dấu trừ kép ở bên trái:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]
Bây giờ hãy mở tất cả các dấu ngoặc trong bất đẳng thức kép:
Hãy chuyển sang bất đẳng thức kép. Lần này tính toán sẽ nghiêm túc hơn:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(căn chỉnh) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( sắp xếp đúng.\]
Cả hai bất đẳng thức đều là bậc hai và có thể giải bằng phương pháp khoảng (đó là lý do tại sao tôi nói: nếu bạn không biết đây là gì thì tốt hơn hết là đừng sử dụng các mô-đun). Hãy chuyển sang phương trình trong bất đẳng thức đầu tiên:
\[\begin(căn chỉnh) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(căn chỉnh)\]
Như bạn có thể thấy, đầu ra là một phương trình bậc hai không đầy đủ, có thể được giải theo cách cơ bản. Bây giờ hãy xét bất đẳng thức thứ hai của hệ. Ở đó bạn sẽ phải áp dụng định lý Vieta:
\[\begin(căn chỉnh) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi đánh dấu các số kết quả trên hai đường thẳng song song (riêng cho bất đẳng thức thứ nhất và riêng cho bất đẳng thức thứ hai):
Một lần nữa, vì chúng ta đang giải một hệ bất phương trình, nên chúng ta quan tâm đến giao của các tập hợp được tô bóng: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Đây là câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Tôi nghĩ rằng sau những ví dụ này, sơ đồ giải pháp cực kỳ rõ ràng:
- Cô lập mô-đun bằng cách di chuyển tất cả các số hạng khác sang phía đối diện của bất đẳng thức. Do đó, chúng ta nhận được bất đẳng thức có dạng $\left| f\right| \ltg$.
- Giải quyết sự bất bình đẳng này bằng cách loại bỏ mô-đun theo sơ đồ được mô tả ở trên. Tại một thời điểm nào đó, sẽ cần phải chuyển từ bất đẳng thức kép sang hệ gồm hai biểu thức độc lập, mỗi biểu thức đều có thể được giải riêng biệt.
- Cuối cùng, tất cả những gì còn lại là giao nghiệm của hai biểu thức độc lập này - và chỉ vậy thôi, chúng ta sẽ có được đáp án cuối cùng.
Một thuật toán tương tự tồn tại cho các bất đẳng thức thuộc loại sau, khi mô đun lớn hơn hàm. Tuy nhiên, có một vài chữ “nhưng” nghiêm trọng. Bây giờ chúng ta sẽ nói về những “nhưng” này.
2. Bất đẳng thức có dạng “Môđun lớn hơn hàm số”
Chúng trông như thế này:
\[\left| f\right| \gtg\]
Tương tự như lần trước? Dường như. Tuy nhiên, những vấn đề như vậy được giải quyết theo một cách hoàn toàn khác. Về mặt hình thức, sơ đồ như sau:
\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
Nói cách khác, ta xét hai trường hợp:
- Đầu tiên, chúng ta chỉ cần bỏ qua mô-đun và giải bất đẳng thức thông thường;
- Sau đó, về bản chất, chúng ta mở rộng mô-đun với dấu trừ, rồi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với −1, trong khi tôi có dấu.
Trong trường hợp này, các tùy chọn được kết hợp với dấu ngoặc vuông, tức là. Trước mắt chúng ta có sự kết hợp của hai yêu cầu.
Xin lưu ý lại: đây không phải là một hệ thống, mà là một tổng thể, do đó trong câu trả lời các bộ được kết hợp chứ không phải giao nhau. Đây là điểm khác biệt cơ bản so với điểm trước!
Nói chung, nhiều học sinh hoàn toàn bối rối với công đoàn và giao lộ, vì vậy chúng ta hãy giải quyết vấn đề này một lần và mãi mãi:
- "∪" là dấu hiệu công đoàn. Trên thực tế, đây là một chữ cái cách điệu “U”, đến với chúng ta từ tiếng Anh và là tên viết tắt của “Union”, tức là. "Hiệp hội".
- "∩" là biển báo giao lộ. Chuyện tào lao này không đến từ đâu cả, mà chỉ đơn giản xuất hiện như một đối trọng với “∪”.
Để dễ nhớ hơn, bạn chỉ cần vẽ chân vào các biển báo này để làm kính (đừng buộc tội tôi cổ vũ chứng nghiện ma túy và nghiện rượu: nếu bạn học nghiêm túc bài học này thì bạn đã là người nghiện ma túy rồi):
Sự khác biệt giữa giao điểm và hợp nhất của các tập hợp Được dịch sang tiếng Nga, điều này có nghĩa như sau: sự kết hợp (tổng thể) bao gồm các phần tử từ cả hai bộ, do đó nó không hề kém hơn mỗi bộ trong số đó; nhưng giao điểm (hệ thống) chỉ bao gồm những phần tử đồng thời ở cả tập thứ nhất và tập thứ hai. Do đó, giao của các tập hợp không bao giờ lớn hơn các tập hợp nguồn.
Vì vậy, nó đã trở nên rõ ràng hơn? Cái đó thật tuyệt. Hãy chuyển sang thực hành.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| 3x+1 \phải| \gt 5-4x\]
Giải pháp. Chúng ta tiến hành theo sơ đồ:
\[\left| 3x+1 \phải| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Phải.\]
Chúng tôi giải quyết từng bất bình đẳng trong dân số:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Chúng tôi đánh dấu từng tập hợp kết quả trên trục số, sau đó kết hợp chúng:
Liên minh các bộ
Khá rõ ràng rằng câu trả lời sẽ là $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Trả lời: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
Giải pháp. Tốt? Không có gì - mọi thứ đều giống nhau. Chúng ta chuyển từ bất đẳng thức có môđun sang tập hợp hai bất đẳng thức:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(căn chỉnh) \right.\]
Chúng tôi giải quyết mọi bất bình đẳng. Thật không may, rễ ở đó sẽ không tốt lắm:
\[\begin(căn chỉnh) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(căn chỉnh)\]
Bất đẳng thức thứ hai cũng hơi hoang đường:
\[\begin(căn chỉnh) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(căn chỉnh)\]
Bây giờ bạn cần đánh dấu những số này trên hai trục - một trục cho mỗi bất đẳng thức. Tuy nhiên, bạn cần đánh dấu các điểm theo đúng thứ tự: số càng lớn thì điểm càng di chuyển về bên phải.
Và ở đây một thiết lập đang chờ chúng ta. Nếu mọi thứ đều rõ ràng với các số $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (các số hạng trong tử số của số đầu tiên phân số nhỏ hơn các số hạng ở tử số của số thứ hai , do đó tổng cũng nhỏ hơn), với các số $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ cũng sẽ không có khó khăn gì (số dương rõ ràng là âm hơn), thì với cặp cuối cùng thì mọi chuyện không quá rõ ràng. Cái nào lớn hơn: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ hay $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Vị trí của các điểm trên trục số và trên thực tế đáp án sẽ phụ thuộc vào đáp án của câu hỏi này.
Vậy hãy so sánh:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
Ta đã tách được nghiệm, được các số không âm ở hai vế của bất đẳng thức nên ta có quyền bình phương cả hai vế:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
Tôi nghĩ không cần phải đắn đo khi $4\sqrt(13) \gt 3$, vì vậy $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, các điểm cuối cùng trên các trục sẽ được đặt như thế này:
Một trường hợp rễ xấu xí
Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta đang giải một tập hợp, vì vậy câu trả lời sẽ là một tập hợp chứ không phải là giao điểm của các tập hợp được tô bóng.
Trả lời: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
Như bạn có thể thấy, sơ đồ của chúng tôi hoạt động rất tốt cho cả những vấn đề đơn giản và rất khó khăn. “Điểm yếu” duy nhất trong cách tiếp cận này là bạn cần so sánh chính xác các số vô tỷ (và tin tôi đi: đây không chỉ là gốc). Nhưng một bài học riêng biệt (và rất nghiêm túc) sẽ được dành cho các vấn đề so sánh. Và chúng ta tiếp tục.
3. Bất đẳng thức có “đuôi” không âm
Bây giờ chúng ta đến phần thú vị nhất. Đây là các bất đẳng thức có dạng:
\[\left| f\right| \gt\trái| g\phải|\]
Nói chung, thuật toán mà chúng ta sẽ nói đến bây giờ chỉ đúng cho mô-đun. Nó hoạt động trong mọi bất đẳng thức trong đó đảm bảo các biểu thức không âm ở bên trái và bên phải:
Phải làm gì với những nhiệm vụ này? Chỉ cần nhớ:
Trong những bất bình đẳng có “đuôi” không âm, cả hai bên đều có thể nâng lên bất kỳ sức mạnh tự nhiên nào. Sẽ không có hạn chế bổ sung.
Trước hết, chúng ta sẽ quan tâm đến việc bình phương - nó đốt cháy các mô-đun và nghiệm:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(căn chỉnh)\]
Đừng nhầm lẫn điều này với việc lấy căn bậc hai:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
Vô số lỗi đã xảy ra khi học sinh quên cài đặt module! Nhưng đây là một câu chuyện hoàn toàn khác (có thể nói đây là những phương trình vô tỷ), vì vậy chúng ta sẽ không đi sâu vào vấn đề này ngay bây giờ. Hãy giải quyết một số vấn đề tốt hơn:
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \phải|\]
Giải pháp. Chúng ta hãy nhận thấy ngay hai điều:
- Đây không phải là một sự bất bình đẳng nghiêm ngặt. Các điểm trên trục số sẽ bị thủng.
- Cả hai vế của bất đẳng thức rõ ràng là không âm (đây là thuộc tính của mô-đun: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Do đó, chúng ta có thể bình phương cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ mô đun và giải bài toán bằng phương pháp khoảng thông thường:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(căn chỉnh)\]
Ở bước cuối cùng, tôi đã gian lận một chút: Tôi đã thay đổi trình tự các số hạng, lợi dụng tính chẵn lẻ của mô-đun (thực tế là tôi đã nhân biểu thức $1-2x$ với −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ phải)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp khoảng. Hãy chuyển từ bất đẳng thức sang phương trình:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi đánh dấu các gốc tìm thấy trên dòng số. Một lần nữa: tất cả các điểm đều được tô bóng vì bất đẳng thức ban đầu không nghiêm ngặt!
Loại bỏ dấu hiệu mô đun
Hãy để tôi nhắc bạn với những người đặc biệt cứng đầu: chúng ta lấy dấu từ bất đẳng thức cuối cùng, được viết ra trước khi chuyển sang phương trình. Và chúng tôi vẽ lên các khu vực cần thiết trong cùng một bất đẳng thức. Trong trường hợp của chúng tôi, nó là $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
Được rồi, mọi chuyện đã kết thúc rồi. Vấn đề đã được giải quyết.
Trả lời: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Giải pháp. Chúng tôi làm mọi thứ giống nhau. Tôi sẽ không bình luận - chỉ nhìn vào chuỗi hành động.
Làm vuông nó:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ đúng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Phương pháp khoảng:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Mũi tên phải x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(căn chỉnh)\]
Chỉ có một nghiệm duy nhất trên trục số:
Câu trả lời là cả một khoảng thời gian
Trả lời: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Một lưu ý nhỏ về nhiệm vụ cuối cùng. Như một trong những học sinh của tôi đã lưu ý chính xác, cả hai biểu thức mô đun phụ trong bất đẳng thức này rõ ràng đều dương, vì vậy dấu mô đun có thể được bỏ qua mà không gây hại cho sức khỏe.
Nhưng đây là một mức độ suy nghĩ hoàn toàn khác và một cách tiếp cận khác - nó có thể được gọi một cách có điều kiện là phương pháp hậu quả. Về nó - trong một bài học riêng biệt. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần cuối cùng của bài học hôm nay và xem xét một thuật toán phổ quát luôn hoạt động. Ngay cả khi tất cả các cách tiếp cận trước đó đều bất lực. :)
4. Phương pháp liệt kê các phương án
Điều gì sẽ xảy ra nếu tất cả những kỹ thuật này không giúp ích gì? Nếu bất đẳng thức không thể quy về đuôi không âm, nếu không thể cô lập mô-đun, nếu nói chung có đau đớn, buồn bã, u sầu?
Sau đó, “pháo hạng nặng” của toàn bộ toán học xuất hiện – phương pháp vũ lực. Liên quan đến sự bất bình đẳng với mô đun, nó trông như thế này:
- Viết ra tất cả các biểu thức mô đun con và đặt chúng bằng 0;
- Giải các phương trình thu được và đánh dấu các nghiệm tìm được trên một trục số;
- Đường thẳng sẽ được chia thành nhiều đoạn, trong đó mỗi mô-đun có một dấu hiệu cố định và do đó được bộc lộ duy nhất;
- Giải bất đẳng thức trên từng phần như vậy (bạn có thể xem xét riêng ranh giới gốc thu được ở bước 2 - để biết độ tin cậy). Kết hợp các kết quả - đây sẽ là câu trả lời. :)
Rồi sao? Yếu đuối? Một cách dễ dàng! Chỉ trong một thời gian dài. Hãy xem trong thực tế:
Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:
\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Giải pháp. Chuyện tào lao này không tập trung vào những bất bình đẳng như $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ hoặc $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, vì vậy chúng tôi hành động trước.
Chúng tôi viết ra các biểu thức mô đun con, đánh đồng chúng bằng 0 và tìm nghiệm:
\[\begin(căn chỉnh) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(căn chỉnh)\]
Tổng cộng, chúng ta có hai gốc chia trục số thành ba phần, trong đó mỗi mô-đun được hiển thị duy nhất:
Phân chia trục số theo số 0 của hàm mô đun con
Chúng ta hãy xem xét từng phần riêng biệt.
1. Giả sử $x \lt -2$. Khi đó cả hai biểu thức mô đun con đều âm và bất đẳng thức ban đầu sẽ được viết lại như sau:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(căn chỉnh)\]
Chúng tôi có một hạn chế khá đơn giản. Hãy giao nó với giả định ban đầu rằng $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Rõ ràng, biến $x$ không thể đồng thời nhỏ hơn −2 và lớn hơn 1,5. Không có giải pháp trong lĩnh vực này.
1.1. Chúng ta hãy xem xét riêng trường hợp đường biên: $x=-2$. Chúng ta hãy thay số này vào bất đẳng thức ban đầu và kiểm tra: nó có đúng không?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(căn chỉnh)\]
Rõ ràng chuỗi tính toán đã đưa chúng ta đến một bất đẳng thức không chính xác. Do đó, bất đẳng thức ban đầu cũng sai và $x=-2$ không có trong câu trả lời.
2. Bây giờ đặt $-2 \lt x \lt 1$. Mô-đun bên trái sẽ mở bằng dấu “cộng”, nhưng mô-đun bên phải vẫn sẽ mở bằng dấu “trừ”. Chúng ta có:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(căn chỉnh)\]
Một lần nữa chúng tôi giao nhau với yêu cầu ban đầu:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Và một lần nữa, tập nghiệm rỗng, vì không có số nào vừa nhỏ hơn −2,5 vừa lớn hơn −2.
2.1. Và lại là một trường hợp đặc biệt: $x=1$. Ta thay vào bất đẳng thức ban đầu:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\phải| \lt \left| 0\phải|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(căn chỉnh)\]
Tương tự như “trường hợp đặc biệt” trước, số $x=1$ rõ ràng không có trong câu trả lời.
3. Đoạn cuối cùng của dòng: $x \gt 1$. Ở đây tất cả các mô-đun được mở bằng dấu cộng:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
Và một lần nữa chúng ta giao tập hợp tìm được với ràng buộc ban đầu:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
Cuối cùng! Chúng tôi đã tìm thấy một khoảng thời gian sẽ là câu trả lời.
Trả lời: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Cuối cùng, một nhận xét có thể giúp bạn tránh khỏi những sai lầm ngu ngốc khi giải các bài toán thực tế:
Giải bất đẳng thức bằng môđun thường biểu diễn các tập hợp liên tục trên trục số - các khoảng và đoạn. Điểm biệt lập ít phổ biến hơn nhiều. Và thậm chí ít thường xuyên hơn, xảy ra trường hợp ranh giới của lời giải (điểm cuối của đoạn) trùng với ranh giới của phạm vi đang xem xét.
Do đó, nếu các ranh giới (các “trường hợp đặc biệt” tương tự) không được đưa vào câu trả lời thì các khu vực bên trái và bên phải của các ranh giới này gần như chắc chắn sẽ không được đưa vào câu trả lời. Và ngược lại: đường viền được nhập vào đáp án, tức là một số khu vực xung quanh nó cũng sẽ là đáp án.
Hãy ghi nhớ điều này khi xem xét các giải pháp của bạn.
Mô-đun số bản thân số này được gọi nếu nó không âm hoặc cùng một số có dấu ngược lại nếu nó âm.
Ví dụ: mô đun của số 5 là 5 và mô đun của số –5 cũng là 5.
Nghĩa là mô đun của một số được hiểu là giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối của số này mà không xét đến dấu của nó.
Ký hiệu như sau: |5|, | X|, |MỘT| vân vân.
Luật lệ:
Giải trình:
|5| = 5
Nó như thế này: mô đun của số 5 là 5.
|–5| = –(–5) = 5
Nó như thế này: mô đun của số –5 là 5.
|0| = 0
Nó đọc như thế này: mô đun của số 0 bằng không.
Thuộc tính mô-đun:
1) Mô đun của một số là số không âm: |MỘT| ≥ 0 2) Các mô-đun có số đối diện bằng nhau: |MỘT| = |–MỘT| 3) Bình phương mô đun của một số bằng bình phương của số này: |MỘT| 2 = một 2 4) Mô đun của tích các số bằng tích của mô đun của các số sau: |MỘT · b| = |MỘT| · | b| 6) Mô đun của một số thương bằng tỷ số mô đun của các số đó: |MỘT : b| = |MỘT| : |b| 7) Mô đun của tổng các số nhỏ hơn hoặc bằng tổng các mô đun của chúng: |MỘT + b| ≤ |MỘT| + |b| 8) Mô đun chênh lệch giữa các số nhỏ hơn hoặc bằng tổng mô đun của chúng: |MỘT – b| ≤ |MỘT| + |b| 9) Mô đun tổng/hiệu của các số lớn hơn hoặc bằng mô đun hiệu của các mô đun của chúng: |MỘT ± b| ≥ ||MỘT| – |b|| 10) Một số nhân dương không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu mô đun: |tôi · Một| = tôi · | MỘT|, tôi >0 11) Có thể rút lũy thừa của một số từ dấu mô đun: |MỘT k | = | MỘT| k nếu k tồn tại 12) Nếu | MỘT| = |b| thì Một = ± b |
Ý nghĩa hình học của mô-đun.
Mô đun của một số là khoảng cách từ số 0 đến số đó.
Ví dụ: lấy lại số 5. Khoảng cách từ 0 đến 5 giống như từ 0 đến –5 (Hình 1). Và khi điều quan trọng là chúng ta chỉ biết độ dài của đoạn đó, thì dấu hiệu không chỉ có ý nghĩa mà còn có ý nghĩa. Tuy nhiên, điều này không hoàn toàn đúng: chúng ta chỉ đo khoảng cách bằng số dương - hoặc số không âm. Gọi giá chia của thước đo của chúng ta là 1 cm thì độ dài đoạn từ 0 đến 5 là 5 cm, từ 0 đến –5 cũng là 5 cm.
Trong thực tế, khoảng cách thường được đo không chỉ từ 0 - điểm tham chiếu có thể là bất kỳ số nào (Hình 2). Nhưng điều này không thay đổi bản chất. Ký hiệu dạng |a – b| thể hiện khoảng cách giữa các điểm MỘT Và b trên trục số.
Ví dụ 1. Giải phương trình | X – 1| = 3.
Giải pháp .
Ý nghĩa của phương trình là khoảng cách giữa các điểm X và 1 bằng 3 (Hình 2). Do đó, từ điểm 1, chúng ta đếm ba phần ở bên trái và ba phần ở bên phải - và chúng ta thấy rõ cả hai giá trị X:
X 1 = –2, X 2 = 4.
Chúng ta có thể tính toán nó.
│X – 1 = 3
│X – 1 = –3
│X = 3 + 1
│X = –3 + 1
│X = 4
│ X = –2.
Trả lời : X 1 = –2; X 2 = 4.
Ví dụ 2. Tìm mô-đun biểu thức:
Giải pháp .
Đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu xem biểu thức là dương hay âm. Để làm điều này, chúng ta biến đổi biểu thức sao cho nó bao gồm các số đồng nhất. Chúng ta đừng tìm nghiệm của 5 - nó khá khó. Hãy làm đơn giản hơn: hãy nâng cấp 3 và 10 lên tận gốc. Sau đó so sánh độ lớn của các số tạo nên hiệu:
3 = √9. Do đó, 3√5 = √9 √5 = √45
10 = √100.
Ta thấy số thứ nhất nhỏ hơn số thứ hai. Điều này có nghĩa là biểu thức âm, nghĩa là kết quả của nó nhỏ hơn 0:
3√5 – 10 < 0.
Nhưng theo quy luật, mô đun của số âm là số có dấu ngược lại. Chúng tôi có một biểu hiện tiêu cực. Vì vậy cần phải đổi dấu của nó sang dấu ngược lại. Biểu thức ngược lại của 3√5 – 10 là –(3√5 – 10). Hãy mở dấu ngoặc trong đó và nhận được câu trả lời:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Trả lời .
