Số Fibonacci và tỷ lệ vàng: mối quan hệ. dãy Fibonacci

dựa trên tài liệu từ cuốn sách của B. Biggs “Một con hàng rào xuất hiện từ sương mù”

Về dãy số Fibonacci và giao dịch

Để giới thiệu chủ đề, chúng ta hãy chuyển sang phân tích kỹ thuật một cách ngắn gọn. Nói tóm lại, phân tích kỹ thuật nhằm mục đích dự đoán biến động giá trong tương lai của một tài sản dựa trên dữ liệu lịch sử trong quá khứ. Công thức nổi tiếng nhất của những người ủng hộ nó là giá đã bao gồm tất cả các thông tin cần thiết. Việc thực hiện phân tích kỹ thuật bắt đầu với sự phát triển của hoạt động đầu cơ trên thị trường chứng khoán và có lẽ vẫn chưa hoàn toàn kết thúc vì nó có khả năng hứa hẹn thu nhập không giới hạn. Các phương pháp (thuật ngữ) nổi tiếng nhất trong phân tích kỹ thuật là mức hỗ trợ và kháng cự, nến Nhật Bản, các số liệu báo trước sự đảo chiều giá, v.v.

Theo tôi, nghịch lý của tình huống là như sau - hầu hết các phương pháp được mô tả đã trở nên phổ biến đến mức, mặc dù thiếu bằng chứng dựa trên tính hiệu quả của chúng, nhưng chúng thực sự có cơ hội tác động đến hành vi thị trường. Do đó, ngay cả những người hoài nghi sử dụng dữ liệu cơ bản cũng nên tính đến những khái niệm này đơn giản vì chúng được tính đến rất nhiều. số lượng lớn những người chơi khác (“techies”). Phân tích kỹ thuật có thể hoạt động tốt trong lịch sử, nhưng trên thực tế, hầu như không ai có thể kiếm tiền ổn định với sự trợ giúp của nó - việc làm giàu sẽ dễ dàng hơn nhiều bằng cách xuất bản một cuốn sách lớn “làm thế nào để trở thành triệu phú bằng phân tích kỹ thuật”. ..

Theo nghĩa này, lý thuyết Fibonacci nổi bật và cũng được sử dụng để dự đoán giá cho điều khoản khác nhau. Những người theo dõi cô thường được gọi là "những người dao động". Nó nổi bật vì nó không xuất hiện đồng thời với thị trường mà sớm hơn nhiều - khoảng 800 năm. Một đặc điểm khác của nó là lý thuyết này được phản ánh gần như một khái niệm thế giới để mô tả mọi thứ và mọi người, và thị trường chỉ là một trường hợp đặc biệt cho việc ứng dụng nó. Hiệu quả của lý thuyết và thời gian tồn tại của nó mang lại cho nó những người ủng hộ mới và những nỗ lực mới để tạo ra mô tả ít gây tranh cãi nhất và được chấp nhận rộng rãi nhất về hành vi của thị trường trên cơ sở nó. Nhưng than ôi, lý thuyết này vẫn chưa tiến xa hơn những dự đoán thị trường thành công của từng cá nhân, điều này có thể coi là may mắn.

Bản chất của lý thuyết Fibonacci

Fibonacci đã sống một cuộc đời rất dài, đặc biệt là trong thời gian của mình, ông đã cống hiến để giải một số bài toán toán học, trình bày chúng trong tác phẩm đồ sộ “The Book of Abacus” (đầu thế kỷ 13). Ông luôn quan tâm đến sự huyền bí của các con số - có lẽ ông tài giỏi không kém Archimedes hay Euclid. Nhiệm vụ liên quan đến phương trình bậc hai, đã được đặt ra và giải quyết một phần trước Fibonacci, ví dụ như bởi Omar Khayyam, một nhà khoa học và nhà thơ nổi tiếng; tuy nhiên, Fibonacci đã đưa ra vấn đề về sự sinh sản của loài thỏ, những kết luận từ đó đã mang lại cho ông điều gì đó giúp tên tuổi của ông không bị mất đi trong nhiều thế kỷ.

Tóm lại, nhiệm vụ như sau. Một cặp thỏ được đặt ở một nơi có tường rào bốn phía và mỗi cặp thỏ đều sinh ra một cặp khác, bắt đầu từ tháng thứ hai sau khi tồn tại. Quá trình sinh sản của thỏ theo thời gian sẽ được mô tả theo trình tự: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, v.v. Từ quan điểm toán học, chuỗi hóa ra đơn giản là duy nhất vì nó có một số tính chất nổi bật:

• tổng của hai số liên tiếp bất kỳ là số tiếp theo trong dãy;

• tỷ lệ của mỗi số trong dãy, bắt đầu từ số thứ năm đến số trước đó là 1,618;

• hiệu giữa bình phương của một số bất kỳ và bình phương của một số ở hai vị trí bên trái sẽ là số Fibonacci;

• tổng bình phương của các số liền kề sẽ là số Fibonacci, là hai vị trí sau số lớn nhất trong các số bình phương

Trong số những phát hiện này, phát hiện thứ hai là thú vị nhất vì nó sử dụng con số 1.618, được gọi là " tỷ lệ vàng" Con số này đã được người Hy Lạp cổ đại biết đến, họ đã sử dụng nó trong quá trình xây dựng đền Parthenon (nhân tiện, theo một số nguồn tin, Ngân hàng Trung ương đã phục vụ người Hy Lạp). Không kém phần thú vị là con số 1.618 có thể được tìm thấy trong tự nhiên ở cả quy mô vi mô và vĩ mô - từ đường xoắn ốc quay trên vỏ ốc sên cho đến những đường xoắn ốc lớn của các thiên hà vũ trụ. Các kim tự tháp ở Giza do người Ai Cập cổ đại tạo ra cũng chứa đựng một số thông số của dãy Fibonacci trong quá trình xây dựng. Một hình chữ nhật, một cạnh lớn hơn cạnh kia 1,618 lần, trông đẹp mắt nhất - tỷ lệ này đã được Leonardo da Vinci sử dụng cho các bức tranh của ông và trong thuật ngữ đời thường hơn, đôi khi nó được sử dụng khi tạo cửa sổ hoặc những ô cửa. Ngay cả một làn sóng, như trong hình ở đầu bài viết, cũng có thể được biểu diễn dưới dạng đường xoắn ốc Fibonacci.

Trong tự nhiên sống, dãy Fibonacci xuất hiện không kém thường xuyên - nó có thể được tìm thấy trong móng vuốt, răng, hoa hướng dương, mạng nhện và thậm chí cả sự phát triển của vi khuẩn. Nếu muốn, sự nhất quán được tìm thấy ở hầu hết mọi thứ, kể cả khuôn mặt và cơ thể con người. Chưa hết, người ta tin rằng nhiều tuyên bố tìm thấy số Fibonacci trong các hiện tượng tự nhiên và lịch sử là không chính xác - đây là một lầm tưởng phổ biến thường hóa ra lại không phù hợp với kết quả mong muốn.

Dãy số Fibonacci trên thị trường tài chính

Một trong những người đầu tiên tham gia chặt chẽ nhất vào việc áp dụng số Fibonacci vào thị trường tài chính là R. Elliot. Công trình của ông không hề vô ích khi các mô tả thị trường sử dụng lý thuyết Fibonacci thường được gọi là “sóng Elliott”. Sự phát triển của chợ ở đây dựa trên mô hình phát triển con người từ siêu xe ba bước tiến, hai bước lùi. Việc nhân loại đang phát triển phi tuyến tính là điều hiển nhiên đối với hầu hết mọi người - kiến ​​thức Ai Cập cổ đại và học thuyết nguyên tử của Democritus đã hoàn toàn biến mất vào thời Trung cổ, tức là. sau khoảng 2000 năm; Thế kỷ 20 đã làm nảy sinh sự kinh hoàng và tầm thường của cuộc sống con người đến mức khó có thể tưởng tượng được ngay cả trong thời đại Chiến tranh Punic của người Hy Lạp. Tuy nhiên, ngay cả khi chúng ta chấp nhận lý thuyết về các bước và số lượng của chúng là đúng thì kích thước của mỗi bước vẫn chưa rõ ràng, điều này khiến sóng Elliott có thể so sánh được với khả năng dự đoán của đầu và đuôi. Điểm khởi đầu và cách tính toán chính xác số lượng sóng dường như sẽ là điểm yếu chính của lý thuyết.

Tuy nhiên, lý thuyết đã có những thành công cục bộ. Bob Pretcher, người có thể coi là học trò của Elliott, đã dự đoán chính xác thị trường giá lên vào đầu những năm 1980 và coi năm 1987 là bước ngoặt. Điều này thực sự đã xảy ra, sau đó Bob rõ ràng cảm thấy mình là một thiên tài - ít nhất trong mắt người khác, anh ấy chắc chắn đã trở thành một chuyên gia đầu tư. Số người đăng ký Lý thuyết sóng Elliott của Prechter đã tăng lên 20.000 vào năm đó.tuy nhiên, nó đã giảm vào đầu những năm 1990 khi "sự diệt vong và u ám" được dự đoán thêm của thị trường Mỹ đã quyết định trì hoãn một chút. Tuy nhiên, nó có tác dụng với thị trường Nhật Bản, và một số người ủng hộ lý thuyết này, những người “đến muộn” trong một làn sóng, đã mất vốn hoặc vốn của các khách hàng của công ty họ. Theo cùng một cách và với cùng một thành công, họ thường cố gắng áp dụng lý thuyết vào giao dịch trên thị trường ngoại hối.

Lý thuyết này bao gồm nhiều khoảng thời gian giao dịch khác nhau - từ hàng tuần, khiến nó tương tự như các chiến lược phân tích kỹ thuật tiêu chuẩn, cho đến các tính toán trong nhiều thập kỷ, tức là. đi vào lãnh thổ của những dự đoán cơ bản. Điều này có thể thực hiện được bằng cách thay đổi số lượng sóng. Những điểm yếu của lý thuyết đã được đề cập ở trên cho phép những người theo đuổi nó không nói về sự mâu thuẫn của các sóng mà về những tính toán sai lầm của chính họ giữa chúng và định nghĩa không chính xác về vị trí bắt đầu. Nó giống như một mê cung - ngay cả khi bạn có bản đồ phù hợp, bạn chỉ có thể theo dõi nó nếu bạn hiểu chính xác mình đang ở đâu. Nếu không thì thẻ sẽ không có tác dụng. Trong trường hợp sóng Elliott, có mọi dấu hiệu nghi ngờ không chỉ về tính chính xác của vị trí của bạn mà còn cả tính chính xác của bản đồ.

Kết luận

Làn sóng phát triển của nhân loại có cơ sở thực sự - vào thời Trung cổ, các làn sóng lạm phát và giảm phát xen kẽ nhau, khi chiến tranh nhường chỗ cho cuộc sống yên bình tương đối êm đềm. Việc quan sát dãy Fibonacci trong tự nhiên, ít nhất là trong một số trường hợp, cũng không gây nghi ngờ. Vì vậy, mọi người đều có quyền đưa ra câu trả lời của riêng mình cho câu hỏi Chúa là ai: một nhà toán học hay một người tạo số ngẫu nhiên. Ý kiến ​​​​cá nhân của tôi là mặc dù tất cả lịch sử và thị trường của loài người có thể được thể hiện trong khái niệm sóng, nhưng không ai có thể dự đoán được chiều cao và thời gian tồn tại của mỗi làn sóng.

Đồng thời, 200 năm quan sát thị trường Mỹ và hơn 100 năm quan sát thị trường khác cho thấy rõ thị trường chứng khoán đang phát triển, trải qua nhiều thời kỳ tăng trưởng và trì trệ. Thực tế này là khá đủ cho thu nhập dài hạn trên thị trường chứng khoán mà không cần dùng đến các lý thuyết gây tranh cãi và tin tưởng giao cho họ nhiều vốn hơn mức rủi ro hợp lý.

Dãy số Fibonacci, được mọi người biết đến từ bộ phim “Mật mã Da Vinci”, là một chuỗi số được mô tả dưới dạng câu đố của nhà toán học người Ý Leonardo xứ Pisa, hay còn được gọi là Fibonacci, vào thế kỷ 13. Tóm tắt bản chất của câu đố:

Có người đặt một cặp thỏ vào một không gian kín nhất định để tìm xem trong năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ được sinh ra, nếu bản chất của loài thỏ là cứ mỗi tháng một cặp thỏ lại sinh ra một cặp khác và chúng trở nên có khả năng sinh sản. sinh con khi chúng được hai tháng tuổi.

Chuỗi Fibonacci và con thỏ
Kết quả là dãy số sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, trong đó số lượng cặp thỏ trong mỗi tháng trong số 12 tháng được hiển thị, tách biệt bằng dấu phẩy. Nó có thể được tiếp tục vô thời hạn. Bản chất của nó là mỗi số tiếp theo là tổng của hai số trước đó.

Loạt bài này có một số tính năng toán học chắc chắn cần được đề cập đến. Nó tiệm cận (tiếp cận ngày càng chậm hơn) có xu hướng đạt đến một tỷ lệ không đổi nào đó. Tuy nhiên, tỷ lệ này là không hợp lý, nghĩa là nó là một số có dãy chữ số thập phân vô hạn, không thể đoán trước ở phần phân số. Không thể diễn đạt nó một cách chính xác.

Do đó, tỷ lệ của bất kỳ thành viên nào trong chuỗi so với thành viên trước nó dao động quanh con số 1.618, đôi khi vượt quá nó, đôi khi không đạt được. Tỷ lệ tiếp theo tương tự tiến tới số 0,618, tỷ lệ nghịch với 1,618. Nếu chia các phần tử cho một, chúng ta sẽ nhận được các số 2,618 và 0,382, cũng tỷ lệ nghịch. Đây được gọi là tỷ lệ Fibonacci.

Tất cả những điều này là để làm gì?

Vì vậy chúng ta đang tiếp cận một trong những hiện tượng bí ẩn thiên nhiên. Leonardo hiểu biết về cơ bản không khám phá ra điều gì mới; ông chỉ đơn giản nhắc nhở thế giới về một hiện tượng như Tỷ lệ vàng, có tầm quan trọng không thua kém định lý Pythagore.

Chúng ta phân biệt tất cả các đồ vật xung quanh chúng ta bằng hình dạng của chúng. Chúng tôi thích một số nhiều hơn, một số ít hơn và một số hoàn toàn không phù hợp. Đôi khi lãi suất có thể được quyết định hoàn cảnh cuộc sống và đôi khi là vẻ đẹp của vật được quan sát. Hình dạng đối xứng và tỷ lệ thúc đẩy nhận thức thị giác tốt nhất và gợi lên cảm giác về vẻ đẹp và sự hài hòa. Một hình ảnh hoàn chỉnh luôn bao gồm các phần kích cỡ khác nhau, có mối quan hệ nhất định với nhau và với tổng thể. Tỷ lệ vàng là biểu hiện cao nhất cho sự hoàn hảo của tổng thể và các bộ phận của nó trong khoa học, nghệ thuật và tự nhiên.

Nếu bật ví dụ đơn giản, thì Tỷ lệ vàng là việc chia một đoạn thành hai phần theo tỷ lệ trong đó phần lớn hơn có liên quan đến phần nhỏ hơn, vì tổng của chúng (toàn bộ đoạn) bằng phần lớn hơn.

Tỷ Lệ Vàng - Phần
Nếu lấy toàn bộ đoạn c là 1 thì đoạn a sẽ bằng 0,618, đoạn b - 0,382, chỉ bằng cách này mới thỏa mãn điều kiện của Tỷ lệ vàng (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Tỉ số của c trên a là 1,618 và c trên b là 2,618. Đây là những tỷ lệ Fibonacci tương tự đã quen thuộc với chúng ta.

Tất nhiên là có hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng và thậm chí cả hình khối vàng. Tỷ lệ cơ thể con người ở nhiều khía cạnh gần với Phần Vàng.

Tỷ lệ vàng và cơ thể con người


Hình ảnh: marcus-frings.de

Chuỗi Fibonacci - Hoạt hình

Nhưng niềm vui bắt đầu khi chúng ta kết hợp những kiến ​​thức đã thu được. Hình vẽ thể hiện rõ ràng mối quan hệ giữa dãy Fibonacci và Tỷ lệ vàng. Chúng tôi bắt đầu với hai hình vuông có kích thước đầu tiên. Thêm một hình vuông có kích thước thứ hai lên trên. Vẽ một hình vuông bên cạnh nó có cạnh bằng tổng các cạnh của hai hình vuông trước đó, kích thước thứ ba. Bằng cách tương tự, một hình vuông có kích thước năm xuất hiện. Và cứ như vậy cho đến khi mỏi, điều chính là độ dài cạnh của mỗi hình vuông tiếp theo bằng tổng độ dài các cạnh của hai hình vuông trước đó. Chúng ta thấy một loạt các hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số Fibonacci, và thật kỳ lạ, chúng được gọi là hình chữ nhật Fibonacci.

Nếu chúng ta vẽ những đường thẳng qua các góc của các hình vuông, chúng ta sẽ không nhận được gì khác ngoài một hình xoắn ốc Archimedes, số gia của nó luôn đồng đều.

đường xoắn ốc Fibonacci

Không nhắc nhở bạn về bất cứ điều gì?

Ảnh: ethanhein trên Flickr

Và không chỉ trong vỏ của động vật thân mềm, bạn có thể tìm thấy các hình xoắn ốc của Archimedes, mà ở nhiều loài hoa và thực vật, chúng không quá rõ ràng.

Lô hội nhiều lá:


Ảnh: brewbooks trên Flickr

Bông cải xanh Romanesco:


Ảnh: beart.org.uk

Hướng dương:


Ảnh: esdrascalderan trên Flickr

Nón thông:


Ảnh: mandj98 trên Flickr

Và bây giờ là lúc để nhớ đến Phần Vàng! Những sáng tạo đẹp đẽ và hài hòa nhất của thiên nhiên có được miêu tả trong những bức ảnh này không? Và đó không phải là tất cả. Nếu bạn nhìn kỹ, bạn có thể tìm thấy các mẫu tương tự ở nhiều dạng.

Tất nhiên, tuyên bố rằng tất cả những hiện tượng này đều dựa trên dãy Fibonacci nghe có vẻ quá ồn ào, nhưng xu hướng này là hiển nhiên. Và bên cạnh đó, bản thân cô ấy cũng không hề hoàn hảo, giống như mọi thứ trên đời này.

Có giả định rằng chuỗi Fibonacci là một nỗ lực về bản chất nhằm thích ứng với một chuỗi logarit tỷ lệ vàng cơ bản và hoàn hảo hơn, gần như giống nhau, chỉ có điều nó bắt đầu từ hư không và không đi đến đâu. Tự nhiên chắc chắn cần một sự khởi đầu hoàn chỉnh nào đó để từ đó nó có thể bắt đầu; nó không thể tạo ra thứ gì đó từ hư không. Tỷ lệ của các số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci khác xa với Tỷ lệ vàng. Nhưng chúng ta càng di chuyển dọc theo nó, những sai lệch này càng được làm phẳng đi. Để xác định bất kỳ chuỗi nào, chỉ cần biết ba số hạng của nó, nối tiếp nhau là đủ. Nhưng không phải đối với chuỗi vàng, hai là đủ cho nó, đó là một cấp số nhân và số học cùng một lúc. Người ta có thể nghĩ rằng nó là cơ sở cho tất cả các chuỗi khác.

Mỗi số hạng của dãy logarit vàng là lũy thừa của Tỷ lệ vàng (z). Một phần của bộ truyện trông giống như thế này: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Nếu chúng ta làm tròn giá trị của Tỷ lệ vàng thành ba chữ số, chúng ta nhận được z = 1,618, thì chuỗi trông như thế này: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4.236; 6,854; 11.090 ... Mỗi số hạng tiếp theo có thể thu được không chỉ bằng cách nhân số hạng trước với 1,618 mà còn bằng cách cộng hai số hạng trước đó. Do đó, sự tăng trưởng theo cấp số nhân đạt được bằng cách thêm hai phần tử liền kề. Đó là một chuỗi không có điểm bắt đầu hay kết thúc, và đó chính là điều mà chuỗi Fibonacci cố gắng thể hiện. Có một khởi đầu rất rõ ràng, cô ấy phấn đấu cho lý tưởng nhưng không bao giờ đạt được nó. Đó là cuộc sống.

Chưa hết, liên quan đến mọi thứ chúng ta đã thấy và đọc, những câu hỏi khá logic được đặt ra:
Những con số này đến từ đâu? Ai là kiến ​​trúc sư của vũ trụ, người đã cố gắng biến nó thành lý tưởng? Mọi chuyện có bao giờ như anh mong muốn không? Và nếu vậy thì tại sao nó lại sai? Đột biến? Tự do lựa chọn? Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo? Hình xoắn ốc đang cuộn tròn hay bung ra?

Sau khi tìm thấy câu trả lời cho một câu hỏi, bạn sẽ nhận được câu hỏi tiếp theo. Nếu bạn giải quyết nó, bạn sẽ nhận được hai cái mới. Một khi bạn giải quyết được chúng, ba cái nữa sẽ xuất hiện. Sau khi giải được chúng, bạn sẽ có năm cái chưa được giải. Rồi tám, rồi mười ba, 21, 34, 55...

Thế giới xung quanh chúng ta, từ những hạt vô hình nhỏ nhất cho đến những thiên hà xa xôi trong không gian vô tận, chứa đựng rất nhiều bí ẩn chưa được giải đáp. Tuy nhiên, bức màn bí ẩn đã được vén lên trên một số người trong số họ nhờ trí óc tò mò của một số nhà khoa học.

Một ví dụ như vậy là "tỷ lệ vàng" và số Fibonacci , tạo thành cơ sở của nó. Mô hình này được phản ánh dưới dạng toán học và thường được tìm thấy trong vây quanh một người tự nhiên, một lần nữa loại trừ khả năng nó nảy sinh do ngẫu nhiên.

Số Fibonacci và trình tự của chúng

Dãy số Fibonacci là một dãy số, mỗi số bằng tổng của hai số trước:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Điểm đặc biệt của chuỗi này là các giá trị số có được bằng cách chia các số của chuỗi này cho nhau.

Chuỗi số Fibonacci có những mẫu thú vị riêng:

• Trong dãy số Fibonacci, mỗi số chia cho số tiếp theo sẽ hiển thị một giá trị có xu hướng 0,618 . Các số càng xa đầu chuỗi thì tỷ lệ sẽ càng chính xác. Ví dụ: các số được lấy ở đầu hàng 5 Và 8 sẽ hiển thị 0,625 (5/8=0,625 ). Nếu chúng ta lấy số 144 Và 233 , sau đó họ sẽ hiển thị tỷ lệ 0.618 .
• Ngược lại, nếu trong một dãy số Fibonacci chúng ta chia một số cho số trước đó thì kết quả của phép chia sẽ có xu hướng 1,618 . Ví dụ: các số tương tự đã được sử dụng như đã thảo luận ở trên: 8/5=1,6 Và 233/144=1,618 .
• Một số chia cho số tiếp theo sẽ có giá trị gần bằng 0,382 . Và các số càng được lấy từ đầu chuỗi thì giá trị của tỷ lệ càng chính xác: 5/13=0,385 Và 144/377=0,382 . Chia các số theo thứ tự ngược lại sẽ cho kết quả 2,618 : 13/5=2,6 Và 377/144=2,618 .

Bằng cách sử dụng các phương pháp tính toán được mô tả ở trên và tăng khoảng cách giữa các số, bạn có thể rút ra chuỗi giá trị sau: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, được sử dụng rộng rãi trong các công cụ Fibonacci trên thị trường Forex.

Tỷ lệ vàng hoặc tỷ lệ thần thánh

Sự tương tự với một đoạn thể hiện rất rõ ràng “tỷ lệ vàng” và các số Fibonacci. Nếu đoạn AB được chia cho điểm C theo tỷ lệ thỏa mãn điều kiện:

AC/BC=BC/AB thì đó sẽ là “tỷ lệ vàng”

ĐỌC CŨNG CÁC BÀI VIẾT SAU ĐÂY:

Điều đáng ngạc nhiên là đây chính xác là mối quan hệ có thể được tìm thấy trong chuỗi Fibonacci. Bằng cách lấy một vài số từ chuỗi, bạn có thể kiểm tra bằng phép tính xem điều này có đúng như vậy không. Ví dụ: dãy số Fibonacci này... 55, 89, 144 ... Gọi số 144 là đoạn nguyên AB nêu trên. Vì 144 là tổng của hai số trước đó nên 55+89=AC+BC=144.

Chia các đoạn sẽ cho kết quả như sau:

AC/BC=55/89=0,618

BC/AB=89/144=0,618

Nếu chúng ta lấy đoạn AB làm một tổng thể hoặc một đơn vị thì AC=55 sẽ bằng 0,382 của toàn bộ này và BC=89 sẽ bằng 0,618.

Các số Fibonacci xảy ra ở đâu?

Người Hy Lạp và Ai Cập đã biết đến dãy số Fibonacci đều đặn từ rất lâu trước cả Leonardo Fibonacci. Chuỗi số này có được tên này sau khi nhà toán học nổi tiếng đảm bảo sự phổ biến rộng rãi hiện tượng toán học này trong các nhà khoa học.

Điều quan trọng cần lưu ý là các số Fibonacci vàng không chỉ là khoa học mà còn là sự biểu diễn toán học của thế giới xung quanh chúng ta. Nhiều hiện tượng tự nhiên, đại diện của hệ thực vật và động vật có “tỷ lệ vàng” trong tỷ lệ của chúng. Đó là những lọn tóc xoắn ốc của vỏ và sự sắp xếp của hạt hướng dương, xương rồng và quả dứa.

Hình xoắn ốc, tỷ lệ của các nhánh tuân theo quy luật “tỷ lệ vàng”, là cơ sở cho sự hình thành của một cơn bão, sự dệt mạng của một con nhện, hình dạng của nhiều thiên hà, sự đan xen của các phân tử DNA và nhiều hiện tượng khác.

Chiều dài của đuôi thằn lằn so với thân có tỷ lệ từ 62 đến 38. Chồi rau diếp xoăn phóng ra trước khi nhả ra một chiếc lá. Sau khi tấm đầu tiên được thả ra, lần phóng thứ hai xảy ra trước khi tấm thứ hai được thả ra, với lực bằng 0,62 đơn vị lực thông thường của lần phóng đầu tiên. Giá trị ngoại lệ thứ ba là 0,38 và giá trị thứ tư là 0,24.

Đối với một nhà giao dịch, điều quan trọng nữa là biến động giá trên thị trường Forex thường tuân theo mô hình các số Fibonacci vàng. Dựa trên trình tự này, một số công cụ đã được tạo ra mà nhà giao dịch có thể sử dụng trong kho vũ khí của mình

Công cụ “ ” thường được các nhà giao dịch sử dụng có thể độ chính xác cao hiển thị các mục tiêu chuyển động giá, cũng như mức độ điều chỉnh của nó.

Dãy số Fibonacci, nổi tiếng nhờ bộ phim và cuốn sách Mật mã Da Vinci, là một dãy số được nhà toán học người Ý Leonardo xứ Pisa, hay còn gọi là Fibonacci, bắt nguồn vào thế kỷ thứ mười ba. Những người theo dõi nhà khoa học nhận thấy rằng công thức loạt bài này những con số, tìm thấy sự phản ánh của nó trong thế giới xung quanh chúng ta và lặp lại những khám phá toán học khác, từ đó mở ra cánh cửa cho chúng ta tiếp cận những bí mật của vũ trụ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cho bạn biết dãy Fibonacci là gì, xem xét các ví dụ về cách mô hình này được hiển thị trong tự nhiên và cũng so sánh nó với các lý thuyết toán học khác.

Xây dựng và định nghĩa khái niệm

Chuỗi Fibonacci là một chuỗi toán học trong đó mỗi phần tử bằng tổng của hai phần tử trước đó. Chúng ta hãy biểu thị một thành viên nhất định của dãy là x n. Vì vậy, chúng ta thu được một công thức đúng cho toàn bộ chuỗi: x n+2 = x n + x n+1. Trong trường hợp này, thứ tự của dãy sẽ như sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Số tiếp theo sẽ là 55, vì tổng của 21 và 34 là 55. Và cứ như vậy theo cùng một nguyên tắc.

Ví dụ trong môi trường

Nếu chúng ta nhìn vào cái cây, đặc biệt là ở ngọn lá, chúng ta sẽ nhận thấy chúng nở hoa theo hình xoắn ốc. Các góc được hình thành giữa các lá liền kề, từ đó tạo thành chuỗi Fibonacci toán học chính xác. Nhờ tính năng này, mỗi chiếc lá mọc trên cây sẽ nhận được số lượng tối đaánh sáng mặt trời và sự ấm áp.

Câu đố toán học của Fibonacci

Nhà toán học nổi tiếng đã trình bày lý thuyết của mình dưới dạng một câu đố. Nghe có vẻ như thế này. Bạn có thể thả một vài con thỏ vào không gian hạn chếđể biết có bao nhiêu cặp thỏ sẽ được sinh ra trong vòng một năm. Xem xét bản chất của những con vật này, thực tế là mỗi tháng một cặp vợ chồng có khả năng sinh ra một cặp mới và chúng sẵn sàng sinh sản sau khi được hai tháng, cuối cùng anh ta đã nhận được dãy số nổi tiếng của mình: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - hiển thị số lượng cặp thỏ mới trong mỗi tháng.

Chuỗi Fibonacci và mối quan hệ tỉ lệ

Loạt bài này có một số sắc thái toán học phải được xem xét. Càng tiếp cận càng chậm (tiệm cận), nó có xu hướng đi đến một mối quan hệ tỷ lệ nhất định. Nhưng nó là vô lý. Nói cách khác, nó là một số có trình tự vô hạn và không thể đoán trước được. số thập phânở phần phân số. Ví dụ: tỷ lệ của bất kỳ phần tử nào của chuỗi thay đổi xung quanh con số 1.618, đôi khi vượt quá nó, đôi khi đạt tới nó. Số tiếp theo bằng cách tương tự sẽ tiến tới 0,618. Tỷ lệ nghịch với số 1,618. Nếu chúng ta chia các phần tử cho một, chúng ta nhận được 2,618 và 0,382. Như bạn đã hiểu, chúng cũng tỷ lệ nghịch. Các số kết quả được gọi là tỷ lệ Fibonacci. Bây giờ hãy giải thích lý do tại sao chúng tôi thực hiện những tính toán này.

Tỷ lệ vàng

Chúng ta phân biệt mọi vật thể xung quanh mình theo những tiêu chí nhất định. Một trong số đó là hình thức. Một số người thu hút chúng ta nhiều hơn, một số ít thu hút chúng ta hơn và một số chúng ta không thích chút nào. Người ta nhận thấy rằng một vật thể đối xứng và cân xứng sẽ dễ dàng được con người cảm nhận hơn nhiều và gợi lên cảm giác hài hòa và đẹp đẽ. Một hình ảnh hoàn chỉnh luôn bao gồm các phần có kích thước khác nhau có mối quan hệ nhất định với nhau. Từ đây sẽ có câu trả lời cho câu hỏi về cái được gọi là Tỷ lệ vàng. Khái niệm này có nghĩa là sự hoàn thiện các mối quan hệ giữa tổng thể và các bộ phận trong tự nhiên, khoa học, nghệ thuật, v.v. Từ góc độ toán học, hãy xem xét ví dụ sau. Chúng ta hãy lấy một đoạn có độ dài bất kỳ và chia nó thành hai phần sao cho phần nhỏ hơn có liên quan đến phần lớn hơn vì tổng (độ dài của toàn bộ đoạn) bằng phần lớn hơn. Vì vậy, chúng ta hãy lấy phân khúc Với mỗi giá trị một. Phần của anh ấy MỘT sẽ bằng 0,618, phần thứ hai b, hóa ra là bằng 0,382. Vì vậy, chúng tôi tuân thủ điều kiện Tỷ lệ vàng. Tỷ lệ đoạn đường cĐẾN Một bằng 1,618. Và mối quan hệ của các bộ phận c Và b- 2.618. Chúng ta có được tỷ lệ Fibonacci mà chúng ta đã biết. Hình tam giác vàng, hình chữ nhật vàng và hình khối vàng đều được xây dựng theo cùng một nguyên tắc. Điều đáng chú ý là tỷ lệ cân đối của các bộ phận trên cơ thể con người gần với Tỷ lệ vàng.

Chuỗi Fibonacci có phải là nền tảng của mọi thứ không?

Hãy thử kết hợp lý thuyết về Phần Vàng và loạt phim nổi tiếng Nhà toán học người Ý. Hãy bắt đầu với hai hình vuông có kích thước đầu tiên. Sau đó thêm một hình vuông khác có kích thước thứ hai lên trên. Hãy vẽ hình tương tự bên cạnh với độ dài cạnh bằng tổng của hai cạnh trước đó. Tương tự, vẽ một hình vuông có kích thước năm. Và bạn có thể tiếp tục quảng cáo này vô tận cho đến khi bạn cảm thấy mệt mỏi với nó. Điều chính là kích thước cạnh của mỗi hình vuông tiếp theo bằng tổng kích thước cạnh của hai hình vuông trước đó. Chúng ta nhận được một chuỗi đa giác có độ dài các cạnh là số Fibonacci. Những hình này được gọi là hình chữ nhật Fibonacci. Hãy vẽ một đường thẳng qua các góc của đa giác của chúng ta và có được... một hình xoắn ốc Archimedes! Sự gia tăng bước của một con số nhất định, như đã biết, luôn đồng đều. Nếu bạn sử dụng trí tưởng tượng của mình, bản vẽ kết quả có thể được liên kết với vỏ nhuyễn thể. Từ đây có thể kết luận dãy Fibonacci là cơ sở của mối quan hệ tỷ lệ, hài hòa giữa các yếu tố trong thế giới xung quanh.

Trình tự toán học và vũ trụ

Nếu bạn nhìn kỹ hơn, đường xoắn ốc Archimedes (đôi khi rõ ràng, đôi khi ẩn giấu) và do đó, nguyên lý Fibonacci có thể được bắt nguồn từ nhiều ví dụ quen thuộc. yếu tố tự nhiên, vây quanh một người. Ví dụ, cùng một vỏ của động vật thân mềm, chùm hoa của bông cải xanh thông thường, hoa hướng dương, hình nón của cây lá kim, và những thứ tương tự. Nếu nhìn xa hơn, chúng ta sẽ thấy dãy Fibonacci trong vô số thiên hà. Ngay cả con người, lấy cảm hứng từ thiên nhiên và áp dụng các hình thức của nó, cũng tạo ra những đồ vật trong đó có thể theo dõi chuỗi nói trên. Bây giờ là lúc để nhớ đến Tỷ lệ vàng. Cùng với mô hình Fibonacci, các nguyên tắc của lý thuyết này có thể được vạch ra. Có phiên bản cho rằng dãy Fibonacci là một loại thử nghiệm tự nhiên để thích ứng với dãy logarit cơ bản và hoàn hảo hơn của Tỷ lệ vàng, gần như giống hệt nhau, nhưng không có điểm bắt đầu và là vô hạn. Khuôn mẫu của tự nhiên là nó phải có điểm quy chiếu riêng, từ đó bắt đầu sáng tạo ra cái gì đó mới. Tỷ lệ của các phần tử đầu tiên của chuỗi Fibonacci khác xa với các nguyên tắc của Tỷ lệ vàng. Tuy nhiên, chúng ta càng tiếp tục, sự khác biệt này càng được giải quyết. Để xác định một dãy, bạn cần biết ba phần tử đứng sau nhau. Đối với Danh sách Hoàng kim, hai là đủ. Vì nó vừa là một cấp số cộng vừa là cấp số nhân.

Phần kết luận

Tuy nhiên, dựa trên những điều trên, người ta có thể đặt ra những câu hỏi khá logic: “Những con số này đến từ đâu? Ai là tác giả của cấu trúc của cả thế giới, ai đã cố gắng biến nó thành lý tưởng? vậy tại sao lại xảy ra sự cố? Điều gì sẽ xảy ra tiếp theo? Khi bạn tìm thấy câu trả lời cho một câu hỏi, bạn sẽ nhận được câu hỏi tiếp theo. Tôi đã giải quyết nó - hai cái nữa xuất hiện. Giải quyết xong chúng, bạn sẽ có thêm ba cái nữa. Sau khi xử lý chúng, bạn sẽ nhận được năm cái chưa được giải quyết. Rồi tám, rồi mười ba, hai mươi mốt, ba mươi bốn, năm mươi lăm...

Dãy số Fibonacci... trong thiên nhiên và cuộc sống

Leonardo Fibonacci là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thời Trung cổ. Trong một trong những tác phẩm của mình, “Sách tính toán”, Fibonacci đã mô tả hệ thống tính toán Ấn-Ả Rập và những lợi thế của việc sử dụng nó so với hệ thống tính toán của người La Mã.

Sự định nghĩa
Số Fibonacci hoặc Chuỗi Fibonacci là một dãy số có một số thuộc tính. Ví dụ: tổng của hai số liền kề trong một chuỗi sẽ cho giá trị của số tiếp theo (ví dụ: 1+1=2; 2+3=5, v.v.), điều này xác nhận sự tồn tại của cái gọi là hệ số Fibonacci , tức là các tỷ lệ không đổi.

Dãy số Fibonacci bắt đầu như sau: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

Định nghĩa đầy đủ về số Fibonacci

3.


Thuộc tính của dãy Fibonacci

4.

1. Tỷ lệ của mỗi số với số tiếp theo có xu hướng ngày càng nhiều đến 0,618 khi số sê-ri tăng lên. Tỷ lệ của mỗi số với số trước có xu hướng là 1,618 (đảo ngược của 0,618). Số 0,618 được gọi là (FI).

2. Khi chia mỗi số cho số liền sau nó thì số đứng sau số đó là 0,382; ngược lại – tương ứng là 2,618.

3. Chọn các tỷ lệ theo cách này, chúng ta thu được bộ tỷ lệ Fibonacci chính: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Mối liên hệ giữa dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng”

6.

Chuỗi Fibonacci tiệm cận (ngày càng tiến tới chậm hơn) có xu hướng có một số mối quan hệ không đổi. Tuy nhiên, tỷ lệ này là không hợp lý, nghĩa là nó biểu thị một số có dãy chữ số thập phân vô hạn, không thể đoán trước ở phần phân số. Không thể diễn đạt nó một cách chính xác.

Nếu bất kỳ thành viên nào của dãy Fibonacci bị chia cho phần trước của nó (ví dụ: 13:8), kết quả sẽ là một giá trị dao động quanh giá trị vô tỷ 1.61803398875... và có khi vượt quá, có khi không đạt tới. Nhưng ngay cả sau khi chi Eternity cho việc này, cũng không thể tìm ra tỷ lệ chính xác, đến chữ số thập phân cuối cùng. Để cho ngắn gọn, chúng tôi sẽ trình bày nó dưới dạng 1.618. Những cái tên đặc biệt bắt đầu được đặt cho tỷ lệ này ngay cả trước khi Luca Pacioli (một nhà toán học thời Trung cổ) gọi nó là tỷ lệ Thần thánh. Trong số những cái tên hiện đại của nó có Tỷ lệ vàng, Tỷ lệ trung bình vàng và tỷ lệ hình vuông quay. Kepler gọi mối quan hệ này là một trong những “kho báu của hình học”. Trong đại số, nó thường được chấp nhận để ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp phi

Hãy tưởng tượng tỷ lệ vàng bằng ví dụ về một đoạn.

Xét đoạn thẳng có hai đầu A và B. Giả sử điểm C chia đoạn AB sao cho:

AC/CB = CB/AB hoặc

AB/CB = CB/AC.

Bạn có thể tưởng tượng nó như thế này: A-–C---–B

7.

Tỷ lệ vàng là sự chia một đoạn theo tỷ lệ thành các phần không bằng nhau, trong đó toàn bộ đoạn có liên quan đến phần lớn hơn cũng như bản thân phần lớn hơn có liên quan đến phần nhỏ hơn; hay nói cách khác, phần nhỏ hơn đối với phần lớn hơn và phần lớn hơn đối với tổng thể.

8.

Các đoạn có tỷ lệ vàng được biểu thị dưới dạng phân số vô tỷ vô hạn 0,618..., nếu lấy AB bằng một thì AC = 0,382.. Như chúng ta đã biết, các số 0,618 và 0,382 là các hệ số của dãy Fibonacci.

9.

Tỷ lệ Fibonacci và tỷ lệ vàng trong tự nhiên và lịch sử

10.


Điều quan trọng cần lưu ý là Fibonacci dường như nhắc nhở nhân loại về trình tự của nó. Nó được người Hy Lạp và Ai Cập cổ đại biết đến. Và quả thực, kể từ đó trong thiên nhiên, kiến ​​trúc, mỹ thuật, toán học, vật lý, thiên văn học, sinh học và nhiều lĩnh vực khác, các mô hình được mô tả bằng hệ số Fibonacci đã được tìm thấy. Thật ngạc nhiên là có bao nhiêu hằng số có thể được tính toán bằng cách sử dụng dãy Fibonacci và cách các thuật ngữ của nó xuất hiện trong một số lượng lớn các kết hợp. Tuy nhiên, sẽ không quá lời khi nói rằng đây không chỉ là một trò chơi về những con số mà còn là trò chơi quan trọng nhất. biểu thức toán học hiện tượng tự nhiên từng được khám phá.

11.

Các ví dụ dưới đây cho thấy một số ứng dụng thú vị của chuỗi toán học này.

12.

1. Bồn rửa bị xoắn theo hình xoắn ốc. Nếu bạn mở nó ra, bạn sẽ có chiều dài ngắn hơn một chút so với chiều dài của con rắn. Lớp vỏ nhỏ mười cm có hình xoắn ốc dài 35 cm. Hình dạng của lớp vỏ cuộn xoắn ốc đã thu hút sự chú ý của Archimedes. Thực tế là tỷ lệ kích thước của các lọn tóc của vỏ không đổi và bằng 1,618. Archimedes đã nghiên cứu đường xoắn ốc của vỏ sò và rút ra phương trình xoắn ốc. Hình xoắn ốc được vẽ theo phương trình này được gọi bằng tên của ông. Sự gia tăng bước đi của cô ấy luôn đồng đều. Hiện nay, đường xoắn ốc Archimedes được ứng dụng rộng rãi trong công nghệ.

2. Thực vật và động vật. Goethe cũng nhấn mạnh xu hướng xoắn ốc của tự nhiên. Sự sắp xếp xoắn ốc và xoắn ốc của lá trên cành cây đã được chú ý từ lâu. Hình xoắn ốc được nhìn thấy trong cách sắp xếp hạt hướng dương, quả thông, quả dứa, xương rồng, v.v. Công việc chung của các nhà thực vật học và toán học đã làm sáng tỏ những hiện tượng tự nhiên đáng kinh ngạc này. Hóa ra chuỗi Fibonacci thể hiện ở cách sắp xếp các lá trên cành hạt hướng dương và quả thông, và do đó, quy luật tỷ lệ vàng được thể hiện. Con nhện dệt mạng của nó theo hình xoắn ốc. Một cơn bão đang quay tròn như một vòng xoáy. Một đàn tuần lộc sợ hãi chạy tán loạn theo hình xoắn ốc. Phân tử DNA được xoắn thành một chuỗi xoắn kép. Goethe gọi đường xoắn ốc là “đường cong của cuộc sống”.

Trong số các loại thảo mộc ven đường mọc lên một loại cây không mấy nổi bật - rau diếp xoăn. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó. Một chồi đã hình thành từ thân chính. Chiếc lá đầu tiên nằm ngay tại đó. Cú bắn phóng mạnh vào không gian, dừng lại, giải phóng một chiếc lá, nhưng lần này nó ngắn hơn lần đầu tiên, lại phóng vào không gian, nhưng với lực ít hơn, giải phóng một chiếc lá có kích thước thậm chí còn nhỏ hơn và lại bị đẩy ra . Nếu lần phát xạ đầu tiên lấy là 100 đơn vị thì lần phát thứ hai bằng 62 đơn vị, lần thứ ba là 38, lần thứ tư là 24, v.v. Chiều dài của cánh hoa cũng tuân theo tỷ lệ vàng. Trong quá trình phát triển và chinh phục không gian, cây vẫn duy trì được những tỷ lệ nhất định. Động lực tăng trưởng của nó giảm dần theo tỷ lệ vàng.

Thằn lằn là loài sống động. Thoạt nhìn, con thằn lằn có tỷ lệ đẹp mắt - chiều dài đuôi của nó liên quan đến chiều dài của phần còn lại của cơ thể là 62 đến 38.

Trong cả thế giới thực vật và động vật, xu hướng hình thành của tự nhiên liên tục bị phá vỡ - tính đối xứng về hướng phát triển và chuyển động. Ở đây tỷ lệ vàng xuất hiện ở tỷ lệ các bộ phận vuông góc với hướng phát triển. Thiên nhiên đã tiến hành phân chia thành các phần đối xứng và tỷ lệ vàng. Các bộ phận bộc lộ sự lặp lại cấu trúc của tổng thể.

Pierre Curie vào đầu thế kỷ này đã đưa ra một số ý tưởng sâu sắc về tính đối xứng. Ông lập luận rằng người ta không thể xét tính đối xứng của bất kỳ vật thể nào mà không tính đến tính đối xứng môi trường. Các định luật đối xứng vàng được thể hiện ở sự chuyển dịch năng lượng của các hạt cơ bản, trong cấu trúc của một số hạt hợp chất hóa học, trong các hệ hành tinh và không gian, trong cấu trúc gen của các sinh vật sống. Những mô hình này, như đã chỉ ra ở trên, tồn tại trong cấu trúc của từng cơ quan con người và toàn bộ cơ thể, đồng thời cũng biểu hiện trong nhịp sinh học và chức năng của não cũng như nhận thức thị giác.

3. Không gian. Từ lịch sử thiên văn học, người ta biết rằng I. Titius, một nhà thiên văn học người Đức ở thế kỷ 18, với sự trợ giúp của loạt bài này (Fibonacci) đã tìm ra mô hình và trật tự về khoảng cách giữa các hành tinh trong hệ mặt trời

Tuy nhiên, có một trường hợp dường như mâu thuẫn với định luật: không có hành tinh nào nằm giữa Sao Hỏa và Sao Mộc. Việc quan sát tập trung phần bầu trời này đã dẫn đến việc phát hiện ra vành đai tiểu hành tinh. Điều này xảy ra sau cái chết của Titius vào năm đầu thế kỷ XIX V.

Chuỗi Fibonacci được sử dụng rộng rãi: nó được dùng để thể hiện kiến ​​trúc của sinh vật sống, các cấu trúc nhân tạo và cấu trúc của các Thiên hà. Những sự thật này là bằng chứng về sự độc lập của dãy số với các điều kiện biểu hiện của nó, đây là một trong những dấu hiệu cho thấy tính phổ quát của nó.

4. Kim tự tháp. Nhiều người đã cố gắng làm sáng tỏ bí mật của kim tự tháp Giza. Không giống như các kim tự tháp Ai Cập khác, đây không phải là một ngôi mộ mà là một câu đố không thể giải được về các tổ hợp số. Sự khéo léo, kỹ năng, thời gian và công sức đáng chú ý mà các kiến ​​trúc sư của kim tự tháp sử dụng để xây dựng biểu tượng vĩnh cửu cho thấy tầm quan trọng tột độ của thông điệp mà họ mong muốn truyền tải đến các thế hệ tương lai. Thời đại của họ là thời kỳ tiền chữ tượng hình, tiền tượng hình và các biểu tượng là phương tiện duy nhất để ghi lại những khám phá. Chìa khóa giải mã bí mật hình học-toán học của Kim tự tháp Giza vốn là bí ẩn đối với nhân loại bấy lâu nay thực ra đã được các thầy tu trong đền trao cho Herodotus, người đã thông báo cho ông rằng kim tự tháp được xây dựng sao cho diện tích của mỗi mặt của nó bằng bình phương chiều cao của nó.

Diện tích của một hình tam giác

356 x 440/2 = 78320

Diện tích hình vuông

280 x 280 = 78400

Chiều dài cạnh đáy của kim tự tháp ở Giza là 783,3 feet (238,7 m), chiều cao của kim tự tháp là 484,4 feet (147,6 m). Lấy chiều dài cạnh đáy chia cho chiều cao dẫn đến tỉ số Ф=1,618. Chiều cao 484,4 feet tương ứng với 5813 inch (5-8-13) - đây là những con số trong dãy Fibonacci. Những quan sát thú vị này cho thấy rằng thiết kế của kim tự tháp dựa trên tỷ lệ Ф=1,618. Một số học giả hiện đại có xu hướng giải thích rằng người Ai Cập cổ đại xây dựng nó với mục đích duy nhất là truyền lại kiến ​​thức mà họ muốn bảo tồn cho thế hệ tương lai. Các nghiên cứu chuyên sâu về kim tự tháp ở Giza cho thấy kiến ​​thức về toán học và chiêm tinh học vào thời điểm đó sâu rộng đến mức nào. Trong tất cả các tỷ lệ bên trong và bên ngoài của kim tự tháp, con số 1.618 đóng vai trò trung tâm.

Kim tự tháp ở Mexico. Không chỉ các kim tự tháp Ai Cập được xây dựng theo tỷ lệ hoàn hảo theo tỷ lệ vàng, hiện tượng tương tự cũng được tìm thấy ở các kim tự tháp Mexico. Ý tưởng nảy sinh là cả kim tự tháp Ai Cập và Mexico đều được xây dựng vào khoảng cùng thời gian bởi những người có nguồn gốc chung.