Deze video-tutorial helpt gebruikers een idee te krijgen van het Pyramid-thema. Correcte piramide. In deze les maken we kennis met het begrip piramide, we geven er een definitie aan. Overweeg wat is juiste piramide en welke eigenschappen het heeft. Dan bewijzen we de stelling op het zijoppervlak van een regelmatige piramide.

In deze les maken we kennis met het begrip piramide, we geven er een definitie aan.

Overweeg een polygoon A 1 A 2...Een, die in het vlak ligt, en het punt P, die niet in het vlak α ligt (Fig. 1). Laten we het punt verbinden P met pieken A 1, A 2, A 3, … Een... We krijgen N driehoeken: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R enzovoort.

Definitie... veelvlak RA 1 A 2 ... A n bestaande uit N-gonaal A 1 A 2...Een en N driehoeken RA 1 A 2, RA 2 A 3 …PA n n-1 heet N-gonale piramide. Rijst. een.

Rijst. een

Overweeg een vierhoekige piramide PABCD(Figuur 2).

R- de top van de piramide.

ABCD- de basis van de piramide.

RA- zijrib.

AB- de rand van de basis.

vanaf punt R laat de loodlijn weg PH op het vlak van de basis ABCD... De getekende loodlijn is de hoogte van de piramide.

Rijst. 2

Volledig oppervlak de piramide bestaat uit een zijoppervlak, dat wil zeggen het gebied van alle zijvlakken en het gebied van de basis:

S vol = S kant + S hoofd

Een piramide heet correct als:

• zijn basis - regelmatige veelhoek;
• het lijnsegment dat de top van de piramide verbindt met het midden van de basis is de hoogte.

Uitleg bij het voorbeeld van de juiste vierhoekige piramide

Overweeg een regelmatige vierhoekige piramide PABCD(afb. 3).

R- de top van de piramide. Basis van de piramide ABCD- een gewone vierhoek, dat wil zeggen een vierkant. Punt O, het snijpunt van de diagonalen, is het middelpunt van het vierkant. Middelen, RO is de hoogte van de piramide.

Rijst. 3

Uitleg: juist N-gon, het middelpunt van de ingeschreven cirkel en het middelpunt van de omgeschreven cirkel vallen samen. Dit middelpunt wordt het middelpunt van de veelhoek genoemd. Er wordt wel eens gezegd dat de bovenkant naar het midden wordt geprojecteerd.

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide die vanaf de bovenkant wordt getrokken, wordt genoemd apothem en aangegeven h a.

1.allemaal zijribben de juiste piramides zijn gelijk;

2. de zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken.

Het bewijs van deze eigenschappen wordt gegeven door het voorbeeld van een regelmatige vierhoekige piramide.

Gegeven: PAVSD- regelmatige vierhoekige piramide,

ABCD- vierkant,

RO- de hoogte van de piramide.

Bewijzen:

1. PA = PB = PC = PD

2.∆АВР = ∆ВСР = ∆СDP = ∆DAP Zie afb. 4.

Rijst. 4

Bewijs.

RO- de hoogte van de piramide. Dat wil zeggen, rechtstreeks RO loodrecht op het vlak abc, en dus direct AO, VO, SO en DOEN erin liggen. Dus de driehoeken ROA, ROV, ROS, POD- rechthoekig.

Overweeg een vierkant ABCD... Uit de eigenschappen van het vierkant volgt dat AO = BO = CO = DOEN.

Dan hebben rechthoekige driehoeken ROA, ROV, ROS, POD been RO- algemeen en benen AO, VO, SO en DOEN zijn gelijk, wat betekent dat deze driehoeken in twee benen gelijk zijn. De gelijkheid van de driehoeken impliceert de gelijkheid van de segmenten, PA = PB = PC = PD. Punt 1 is bewezen.

Segmenten AB en zon gelijk zijn, omdat ze zijden van hetzelfde vierkant zijn, RA = PB = RS... Dus de driehoeken ABP en HRV - gelijkbenig en aan drie zijden gelijk.

Op dezelfde manier vinden we dat de driehoeken ATS, BCP, CDP, DAP gelijkbenig en gelijk zijn, zoals vereist om te bewijzen in paragraaf 2.

Het laterale oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan de helft van het product van de basisomtrek maal het apothema:

Als bewijs kiezen we een regelmatige driehoekige piramide.

Gegeven: RAVS- regelmatige driehoekige piramide.

AB = BC = AC.

RO- hoogte.

Bewijzen: ... Zie afb. 5.

Rijst. 5

Bewijs.

RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Dat is AB= AC = BC... Laat O- het midden van de driehoek abc, dan RO is de hoogte van de piramide. Een gelijkzijdige driehoek ligt aan de basis van de piramide abc... Let erop dat .

driehoeken RAV, RVS, RSA- gelijke gelijkbenige driehoeken (per eigenschap). Hebben driehoekige piramide drie zijvlakken: RAV, RVS, RSA... Dit betekent dat de oppervlakte van het zijoppervlak van de piramide gelijk is aan:

S-zijde = 3S RAV

De stelling is bewezen.

De straal van een cirkel ingeschreven in de basis van een regelmatige vierhoekige piramide is 3 m, de hoogte van de piramide is 4 m. Zoek het gebied van het zijoppervlak van de piramide.

Gegeven: regelmatige vierhoekige piramide ABCD,

ABCD- vierkant,

R= 3 meter,

RO- de hoogte van de piramide,

RO= 4 meter.

Vinden: S-kant. Zie afb. 6.

Rijst. 6

Oplossing.

Volgens de bewezen stelling,.

Laten we eerst de zijkant van de basis zoeken AB... We weten dat de straal van een cirkel ingeschreven aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide 3 m is.

Dan, m.

Vind de omtrek van het vierkant ABCD met een zijde van 6 m:

Overweeg een driehoek BCD... Laat m- midden van de zijkant gelijkstroom... Omdat O- midden BD, dan (m).

Driehoek DPC- gelijkbenig. m- midden gelijkstroom... Dat is, RM- de mediaan, en dus de hoogte in de driehoek DPC... Dan RM- het apothema van de piramide.

RO- de hoogte van de piramide. Dan, rechtdoor RO loodrecht op het vlak abc, en vandaar de rechte lijn OM erin liggen. Vind apothem RM uit een rechthoekige driehoek rom.

Nu kunnen we het zijoppervlak van de piramide vinden:

Antwoord: 60 m2.

De straal van een cirkel beschreven rond de basis van een regelmatige driehoekige piramide is m. Het zijoppervlak is 18 m 2. Zoek de lengte van het apothema.

Gegeven: ABCP- regelmatige driehoekige piramide,

AB = BC = CA,

R= m,

S-zijde = 18 m2.

Vinden:. Zie afb. 7.

Rijst. 7

Oplossing.

In een regelmatige driehoek abc de straal van de omgeschreven cirkel wordt gegeven. Laten we een kant zoeken AB deze driehoek met behulp van de sinusstelling.

Als we de zijde van een regelmatige driehoek (m) kennen, vinden we de omtrek ervan.

Volgens de stelling op het zijoppervlak van een regelmatige piramide, waarbij: h a- het apothema van de piramide. Dan:

Antwoord: 4 meter.

Dus we onderzochten wat een piramide is, wat een regelmatige piramide is, en bewezen de stelling op het zijoppervlak van een regelmatige piramide. In de volgende les maken we kennis met de afgeknotte piramide.

Bibliografie

1. Geometrie. Cijfers 10-11: leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen (basis- en profielniveaus) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e druk, ds. en voeg toe. - M.: Mnemosina, 2008 .-- 288 d.: Ill.
2. Geometrie. Graad 10-11: Leerboek voor algemeen vormend onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin I.F. - M .: Trap, 1999 .-- 208 d.: Ill.
3. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor onderwijsinstellingen met diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, Stereotype. - M.: Trap, 008 .-- 233 d.: ill.

1. Internetportaal "Yaklass" ()
2. Internetportaal "Festival van pedagogische ideeën" 1 september "()
3. Internetportaal "Slideshare.net" ()

Huiswerk

1. Kan een regelmatige veelhoek de basis zijn van een onregelmatige piramide?
2. Bewijs dat onsamenhangende randen van een regelmatige piramide loodrecht op elkaar staan.
3. Zoek de waarde van de tweevlakshoek aan de zijkant van de basis van een regelmatige vierhoekige piramide als het apothema van de piramide gelijk is aan de zijkant van de basis.
4. RAVS- regelmatige driehoekige piramide. Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoek aan de basis van de piramide.

Definitie

Piramide Is een veelvlak samengesteld uit een veelhoek \ (A_1A_2 ... A_n \) en \ (n \) driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt \ (P \) (niet liggend in het vlak van de veelhoek) en overstaande zijden die samenvallen met de zijden van de veelhoek.
Aanduiding: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Voorbeeld: vijfhoekige piramide \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).

Driehoeken \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) enz. worden genoemd zijvlakken piramides, segmenten \ (PA_1, PA_2 \), enz. - laterale ribben, veelhoek \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - basis, punt \ (P \) - top.

Hoogte piramides zijn een loodlijn die van de top van de piramide naar het vlak van de basis valt.

Een piramide met een driehoek aan de basis heet tetraëder.

De piramide heet correct als de basis een regelmatige veelhoek is en aan een van de volgende voorwaarden is voldaan:

\ ((a) \) de zijranden van de piramide zijn gelijk;

\ ((b) \) de hoogte van de piramide gaat door het middelpunt van de beschreven cirkel nabij de basis;

\ ((c) \) zijribben hellen onder dezelfde hoek naar het vlak van de basis.

\ ((d) \) zijvlakken hellen onder dezelfde hoek naar het vlak van de basis.

regelmatige tetraëder- dit is een driehoekige piramide, waarvan alle vlakken gelijkzijdige driehoeken zijn.

Stelling

Voorwaarden \ ((a), (b), (c), (d) \) zijn equivalent.

Bewijs

Laten we de hoogte van de piramide \ (PH \) tekenen. Zij \ (\ alpha \) het vlak van de basis van de piramide.

1) Laten we bewijzen dat \ ((a) \) \ ((b) \) impliceert. Laat \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

Omdat \ (PH \ perp \ alpha \), dan staat \ (PH \) loodrecht op een rechte lijn die in dit vlak ligt, dus de driehoeken zijn rechthoekig. Deze driehoeken zijn dus gelijk in gemeenschappelijk been \ (PH \) en hypotenusa \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Dus \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Dit betekent dat de punten \ (A_1, A_2, ..., A_n \) op dezelfde afstand van het punt \ (H \) liggen, ze liggen dus op dezelfde cirkel met de straal \ (A_1H \). Deze cirkel is per definitie omgeschreven om de veelhoek \ (A_1A_2 ... A_n \).

2) Laten we bewijzen dat \ ((b) \) \ ((c) \) impliceert.

\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) rechthoekig en gelijk in twee poten. Daarom zijn hun hoeken ook gelijk, daarom \ (\ hoek PA_1H = \ hoek PA_2H = ... = \ hoek PA_nH \).

3) Laten we bewijzen dat \ ((c) \) \ ((a) \) impliceert.

Vergelijkbaar met het eerste punt, driehoeken \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) rechthoekig en langs het been en scherpe hoek. Dit betekent dat hun hypotenusa ook gelijk is, dat wil zeggen \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).

4) Laten we bewijzen dat \ ((b) \) \ ((d) \) impliceert.

Omdat in een regelmatige veelhoek vallen de middelpunten van de omgeschreven en de ingeschreven cirkel samen (in het algemeen wordt dit punt het middelpunt van de regelmatige veelhoek genoemd), dan is \ (H \) het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Laten we loodlijnen tekenen van het punt \ (H \) naar de zijkanten van de basis: \ (HK_1, HK_2 \), enz. Dit zijn de stralen van de ingeschreven cirkel (per definitie). Dan, volgens de TTP (\ (PH \) - loodrecht op het vlak, \ (HK_1, HK_2 \), enz. - projecties loodrecht op de zijkanten) schuin \ (PK_1, PK_2 \), enz. loodrecht op de zijkanten \ (A_1A_2, A_2A_3 \), enz. respectievelijk. Dus per definitie \ (\ hoek PK_1H, \ hoek PK_2H \) gelijk aan de hoeken tussen de zijvlakken en de basis. Omdat driehoeken \ (PK_1H, PK_2H, ... \) gelijk zijn (als rechthoekig in twee benen), dan zijn de hoeken \ (\ hoek PK_1H, \ hoek PK_2H, ... \) zijn gelijk.

5) Laten we bewijzen dat \ ((d) \) \ ((b) \) impliceert.

Net als bij het vierde punt zijn de driehoeken \ (PK_1H, PK_2H, ... \) gelijk (als rechthoekig in been en scherpe hoek), dus de segmenten \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) zijn gelijk. Daarom is \ (H \) per definitie het middelpunt van een cirkel die aan de basis is ingeschreven. Maar sinds voor regelmatige veelhoeken vallen de middelpunten van de ingeschreven en de omgeschreven samen, dan is \ (H \) het middelpunt van de omgeschreven. thtd.

Gevolg

De zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijkbenige driehoeken.

Definitie

De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide die vanaf de bovenkant wordt getrokken, wordt genoemd apothem.
Apothemes van alle zijvlakken van een regelmatige piramide zijn gelijk aan elkaar en zijn ook medianen en bissectrices.

Belangrijke aantekeningen

1. De hoogte van een regelmatige driehoekige piramide valt op het snijpunt van de hoogten (of bissectrices, of medianen) van de basis (de basis is een regelmatige driehoek).

2. De hoogte van een regelmatige vierhoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (basis is een vierkant).

3. De hoogte van een regelmatige zeshoekige piramide valt op het snijpunt van de diagonalen van de basis (de basis is een regelmatige zeshoek).

4. De hoogte van de piramide staat loodrecht op elke rechte lijn die aan de basis ligt.

Definitie

De piramide heet rechthoekig als een van zijn zijranden loodrecht staat op het vlak van de basis.

Belangrijke aantekeningen

1. In een rechthoekige piramide is de rand loodrecht op de basis de hoogte van de piramide. Dat wil zeggen, \ (SR \) is de hoogte.

2. Omdat \ (SR \) staat loodrecht op een rechte lijn vanaf de basis, dan \ (\ driehoek SRM, \ driehoek SRP \)- rechthoekige driehoeken.

3. Driehoeken \ (\ driehoek SRN, \ driehoek SRK \)- ook rechthoekig.
Dat wil zeggen, elke driehoek gevormd door deze rand en de diagonaal die zich uitstrekt vanaf het hoekpunt van deze rand die aan de basis ligt, zal rechthoekig zijn.

\ [(\ Groot (\ tekst (Volume en oppervlakte van de piramide))) \]

Stelling

Het volume van de piramide is gelijk aan een derde van het product van het basisoppervlak met de hoogte van de piramide: \

Gevolgen

Laat \ (a \) de zijde van de basis zijn, \ (h \) de hoogte van de piramide.

1. Het volume van een regelmatige driehoekige piramide is \ (V _ (\ tekst (rechts driehoekige pyr.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),

2. Het volume van een regelmatige vierhoekige piramide is \ (V _ (\ tekst (rechts vier pyr.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).

3. Het volume van een regelmatige zeshoekige piramide is \ (V _ (\ text (rechter hex)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).

4. Het volume van een gewone tetraëder is \ (V _ (\ tekst (rechts tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).

Stelling

Het laterale oppervlak van een regelmatige piramide is gelijk aan het halfproduct van de basisomtrek door het apothema.

\ [(\ Groot (\ tekst (afgeknotte piramide))) \]

Definitie

Beschouw een willekeurige piramide \ (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Laten we een vlak tekenen evenwijdig aan de basis van de piramide door een punt dat op de zijrand van de piramide ligt. Dit vlak zal de piramide in twee veelvlakken splitsen, waarvan er één een piramide is (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), en de andere heet afgeknotte piramide(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).

Afgeknotte piramide heeft twee basen - polygonen \ (A_1A_2 ... A_n \) en \ (B_1B_2 ... B_n \), die op elkaar lijken.

De hoogte van de afgeknotte piramide is een loodlijn getrokken van een punt op de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis.

Belangrijke aantekeningen

1. Alle zijvlakken van de afgeknotte piramide zijn trapeziums.

2. Het segment dat de middelpunten van de basis van een regelmatige afgeknotte piramide verbindt (dat wil zeggen, een piramide verkregen door het snijden van een regelmatige piramide) is de hoogte.

• apothem- de hoogte van het zijvlak van de regelmatige piramide, die vanaf de bovenkant wordt getekend (bovendien is het apothema de lengte van de loodlijn, die wordt verlaagd van het midden van de regelmatige veelhoek naar 1 van zijn zijden);
• zijvlakken (ASB, BSC, CSD, DSA) - driehoeken die samenkomen op het hoekpunt;
• zijribben ( ALS , BS , Cs , DS ) - gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken;
• top van de piramide (t.S) - een punt dat de zijranden verbindt en dat niet in het vlak van de basis ligt;
• hoogte ( DUS ) - een segment van de loodlijn, dat door de bovenkant van de piramide naar het vlak van zijn basis wordt getrokken (de uiteinden van een dergelijk segment zijn de bovenkant van de piramide en de basis van de loodlijn);
• diagonale doorsnede van de piramide- sectie van de piramide, die door de bovenkant en de diagonaal van de basis gaat;
• baseren (ABD) - een veelhoek waartoe de top van de piramide niet behoort.

Piramide eigenschappen.

1. Als alle zijribben even groot zijn, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, terwijl de top van de piramide in het midden van deze cirkel wordt geprojecteerd;
• zijribben vormen gelijke hoeken met het basisvlak;
• bovendien is het omgekeerde ook waar, d.w.z. wanneer de zijranden gelijke hoeken vormen met het basisvlak, of wanneer een cirkel kan worden beschreven nabij de basis van de piramide en de top van de piramide wordt geprojecteerd op het middelpunt van deze cirkel, dan hebben alle zijranden van de piramide de zelfde maat.

2. Wanneer de zijvlakken een hellingshoek hebben met het vlak van de basis van dezelfde grootte, dan:

• het is gemakkelijk om een ​​cirkel nabij de basis van de piramide te beschrijven, terwijl de top van de piramide in het midden van deze cirkel wordt geprojecteerd;
• de hoogten van de zijvlakken zijn even lang;
• het zijoppervlak is ½ van het product van de basisomtrek door de hoogte van het zijvlak.

3. Een bol kan in de buurt van de piramide worden beschreven als aan de basis van de piramide een veelhoek ligt waarrond een cirkel kan worden beschreven (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Het middelpunt van de bol zal het snijpunt zijn van de vlakken die door de middelpunten van de randen van de piramide loodrecht daarop gaan. Uit deze stelling concluderen we dat een bol zowel rond elke driehoekige als rond elke regelmatige piramide kan worden beschreven.

4. Een bol kan in de piramide worden ingeschreven als de bissectrices van de binnenste tweevlakshoeken van de piramide elkaar snijden op het 1e punt (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Dit punt wordt het middelpunt van de bol.

De eenvoudigste piramide.

Door het aantal hoeken is de basis van de piramide verdeeld in driehoekig, vierhoekig, enzovoort.

De piramide zal driehoekig, vierhoekig, enzovoort, wanneer de basis van de piramide een driehoek is, een vierhoek, enzovoort. Een driehoekige piramide is een tetraëder - een tetraëder. Vierhoekig - pentahedron enzovoort.

Eerste level

Piramide. Visuele gids (2019)

Wat is een piramide?

Hoe ziet ze eruit?

Je ziet: bij de piramide hieronder (ze zeggen “ aan de onderkant") Sommige veelhoeken en alle hoekpunten van deze veelhoek zijn verbonden met een punt in de ruimte (dit punt heet" hoekpunt»).

Deze hele structuur heeft nog steeds: zijvlakken, zijribben en basisranden... Laten we de piramide opnieuw tekenen samen met al deze namen:

Sommige piramides zien er misschien heel vreemd uit, maar het zijn nog steeds piramides.

Bijvoorbeeld volledig "schuin" piramide.

En iets meer over de namen: als er een driehoek aan de basis van de piramide is, dan wordt de piramide driehoekig genoemd, als het een vierhoek is, dan is het vierhoekig, en als het een stagon is, dan ... raad eens jezelf.

In dit geval, het punt waar het afdaalde hoogte wordt genoemd basis hoogte... Let op dat in de "scheve" piramides hoogte kan zelfs buiten de piramide zijn. Soortgelijk:

En daar is niets mis mee. Het ziet eruit als een stompe driehoek.

Correcte piramide.

Kavel Samengestelde woorden? Laten we ontcijferen: "Aan de basis - correct" - dit is begrijpelijk. Laten we nu onthouden dat een regelmatige veelhoek een middelpunt heeft - een punt dat het middelpunt is van en, en.

Welnu, de woorden "de bovenkant wordt geprojecteerd op het midden van de basis" betekent dat de basis van de hoogte precies in het midden van de basis valt. Zie hoe glad en mooi het eruit ziet juiste piramide.

zeshoekig: aan de basis - een regelmatige zeshoek, het hoekpunt wordt geprojecteerd naar het midden van de basis.

Vierhoekig: aan de basis - een vierkant, de bovenkant wordt geprojecteerd op het snijpunt van de diagonalen van dit vierkant.

Driehoekig: aan de basis - een regelmatige driehoek, wordt het hoekpunt geprojecteerd op het snijpunt van de hoogten (ze zijn ook de medianen en de bissectrices) van deze driehoek.

Heel belangrijke eigenschappen de juiste piramide:

In de juiste piramide

• alle zijranden zijn gelijk.
• alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.

Piramidevolume

De hoofdformule voor het volume van een piramide is:

Waar kwam het precies vandaan? Dit is niet zo eenvoudig, en eerst moet je gewoon onthouden dat de piramide en de kegel volume hebben in de formule, maar de cilinder niet.

Laten we nu het volume van de meest populaire piramides berekenen.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk. Je moet vinden en.

Dit is de oppervlakte van een regelmatige driehoek.

Laten we onthouden hoe we dit gebied kunnen vinden. We gebruiken de oppervlakteformule:

We hebben "" - dit, en "" - dit ook, en.

Nu zullen we vinden.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Wat is gelijk? Dit is de straal van de omgeschreven omdat piramidecorrect en daarom - het centrum.

Sinds - het snijpunt en de medianen ook.

(stelling van Pythagoras voor)

Laten we de formule vervangen door.

En vervang alles in de volumeformule:

Aandacht: als je een gewone tetraëder hebt (d.w.z.), dan is de formule als volgt:

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn en de zijkant gelijk.

U hoeft hier niet te zoeken; aan de basis is er immers een vierkant, en dus.

We zullen het vinden. Volgens de stelling van Pythagoras voor

Weten we? Bijna. Kijk:

(we zagen dit toen we ernaar keken).

Vervang in de formule door:

En nu vervangen we het ook in de volumeformule.

Laat de zijkant van de basis gelijk zijn, en de zijkant.

Hoe te vinden? Kijk, een zeshoek bestaat uit precies zes identieke regelmatige driehoeken. We hebben al gezocht naar de oppervlakte van een regelmatige driehoek bij het berekenen van het volume van een regelmatige driehoekige piramide, hier gebruiken we de gevonden formule.

Nu zullen we (dit) vinden.

Volgens de stelling van Pythagoras voor

Maar wat maakt het uit? Het is gemakkelijk omdat (en ook alle anderen) gelijk heeft.

Wij vervangen:

\ displaystyle V = \ frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

PIRAMIDE. KORT OVER DE HOOFDSTUK

Een piramide is een veelvlak dat bestaat uit een willekeurige vlakke veelhoek (), een punt dat niet in het vlak van de basis ligt (de bovenkant van de piramide) en alle segmenten die de bovenkant van de piramide verbinden met de punten van de basis (zijranden) .

Loodrecht, verlaagd van de top van de piramide naar het vlak van de basis.

Juiste piramide- een piramide, waarin een regelmatige veelhoek aan de basis ligt, en de top van de piramide wordt geprojecteerd naar het midden van de basis.

Juiste piramide-eigenschap:

• In een regelmatige piramide zijn alle zijranden gelijk.
• Alle zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken en al deze driehoeken zijn gelijk.