• 09.10.2014

  De voorversterker die in de afbeelding wordt getoond, is ontworpen voor gebruik met 4 soorten geluidsbronnen, zoals een microfoon, cd-speler, radiobandrecorder, enz. Tegelijkertijd heeft de voorversterker één ingang die de gevoeligheid kan wijzigen van 50mV tot 500mV . de uitgangsspanning van de versterker is 1000mV. Door verschillende signaalbronnen aan te sluiten bij het wisselen van schakelaar SA1, krijgen we altijd ...

• 20.09.2014

  De PSU is ontworpen voor een belasting met een vermogen van 15 ... 20 watt. De bron is gemaakt volgens het schema van een gepulseerde hoogfrequente omzetter met één cyclus. Op de transistor is een oscillator gemonteerd die werkt met een frequentie van 20 ... 40 kHz. De frequentie wordt aangepast door de capaciteit C5. Elementen VD5, VD6 en C6 vormen een circuit voor het starten van een oscillator. In secundair circuit na de bruggelijkrichter is er een conventionele lineaire stabilisator op de chip, waarmee u ...

• 28.09.2014

  De afbeelding toont een generator op een K174XA11-chip, waarvan de frequentie wordt geregeld door spanning. Door de capaciteit C1 te wijzigen van 560 naar 4700pF kan een breed frequentiebereik worden verkregen, terwijl de frequentie wordt aangepast door de weerstand R4 te veranderen. De auteur ontdekte bijvoorbeeld dat bij C1 \u003d 560pF de generatorfrequentie kan worden gewijzigd met R4 van 600Hz naar 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Het apparaat is ontworpen om een ​​krachtige ULF van stroom te voorzien, het is ontworpen voor een uitgangsspanning van ± 27V en laadt dus tot 3A op elke arm. De PSU is bipolair, gemaakt op complete composiettransistors KT825-KT827. Beide armen van de stabilisator zijn gemaakt volgens hetzelfde schema, maar in de andere arm (deze wordt niet getoond), wordt de polariteit van de condensatoren veranderd en worden transistors van de andere gebruikt ...

Piramide. afgeknotte piramide

Piramide wordt een veelvlak genoemd, waarvan een van de vlakken een veelhoek is ( baseren ), en alle andere vlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt ( zijvlakken ) (Afb. 15). De piramide heet juist als de basis is regelmatige veelhoek en de top van de piramide wordt in het midden van de basis geprojecteerd (Fig. 16). Een driehoekige piramide waarin alle randen gelijk zijn heet tetraëder .

Zijrib piramide wordt de zijde van het zijvlak genoemd die niet bij de basis hoort Hoogte piramide is de afstand van de top tot het vlak van de basis. Allemaal zijribben van een regelmatige piramide gelijk aan elkaar zijn, zijn alle zijvlakken gelijkbenige driehoeken. De hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide die vanaf het hoekpunt wordt getrokken, wordt genoemd apothema . diagonale doorsnede Een sectie van een piramide wordt een vlak genoemd dat door twee zijranden gaat die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Zijoppervlak piramide wordt de som van de oppervlakten van alle zijvlakken genoemd. Oppervlakte volledige oppervlakte is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken en de basis.

stellingen

1. Als in een piramide alle zijranden gelijk hellen met het vlak van de basis, dan wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.

2. Als in de piramide alle zijranden even lang zijn, wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de omgeschreven cirkel nabij de basis.

3. Als in de piramide alle vlakken even hellen ten opzichte van het vlak van de basis, dan wordt de bovenkant van de piramide geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven.

Om het volume van een willekeurige piramide te berekenen, is de formule correct:

waar V- volume;

S hoofd- basisgebied;

H is de hoogte van de piramide.

Voor een regelmatige piramide zijn de volgende formules waar:

waar p- de omtrek van de basis;

h a- apothem;

H- hoogte;

S vol

S kant

S hoofd- basisgebied;

V is het volume van een regelmatige piramide.

afgeknotte piramide het deel van de piramide dat is ingesloten tussen de basis en het snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide (Fig. 17). Correcte afgeknotte piramide het deel van een regelmatige piramide genoemd, ingesloten tussen de basis en een snijvlak evenwijdig aan de basis van de piramide.

Stichtingen afgeknotte piramide - vergelijkbare veelhoeken. Zijvlakken - trapezium. Hoogte afgeknotte piramide wordt de afstand tussen de bases genoemd. Diagonaal Een afgeknotte piramide is een segment dat de hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen. diagonale doorsnede Een gedeelte van een afgeknotte piramide wordt een vlak genoemd dat door twee zijranden gaat die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Voor een afgeknotte piramide zijn de formules geldig:

(4)

waar S 1 , S 2 - gebieden van de bovenste en onderste bases;

S vol is de totale oppervlakte;

S kant is het laterale oppervlak;

H- hoogte;

V is het volume van de afgeknotte piramide.

Voor een regelmatige afgeknotte piramide geldt de volgende formule:

waar p 1 , p 2 - basisomtrekken;

h a- het apothema van een regelmatige afgeknotte piramide.

voorbeeld 1 In een regelmatige driehoekige piramide is de tweevlakshoek aan de basis 60º. Zoek de raaklijn van de hellingshoek van de zijrand aan het vlak van de basis.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 18).

De piramide is regelmatig, wat betekent dat de basis een gelijkzijdige driehoek is en dat alle zijvlakken gelijkbenige driehoeken zijn. De tweevlakshoek aan de basis is de hellingshoek van het zijvlak van de piramide naar het vlak van de basis. De lineaire hoek is de hoek a tussen twee loodlijnen: d.w.z. De top van de piramide wordt geprojecteerd in het midden van de driehoek (het middelpunt van de omgeschreven cirkel en de ingeschreven cirkel in de driehoek abc). De hellingshoek van de zijrib (bijvoorbeeld SB) is de hoek tussen de rand zelf en zijn projectie op het basisvlak. voor rib SB deze hoek zal de hoek zijn SBD. Om de raaklijn te vinden, moet je de benen kennen DUS en OB. Laat de lengte van het segment BD is 3 a. punt O lijnstuk BD is verdeeld in delen: en Van vinden we DUS: Van vinden we:

Antwoorden:

Voorbeeld 2 Vind het volume van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide, als de diagonalen van de basis cm en cm zijn en de hoogte 4 cm is.

Oplossing. Om het volume van een afgeknotte piramide te vinden, gebruiken we formule (4). Om de gebieden van de basis te vinden, moet je de zijkanten van de basisvierkanten vinden, wetende hun diagonalen. De zijkanten van de bases zijn respectievelijk 2 cm en 8 cm. Dit betekent de oppervlakten van de bases en door alle gegevens in de formule in te vullen, berekenen we het volume van de afgeknotte piramide:

Antwoorden: 112cm3.

Voorbeeld 3 Zoek het gebied van het zijvlak van een regelmatige driehoekige afgeknotte piramide, waarvan de basiszijden 10 cm en 4 cm zijn, en de hoogte van de piramide is 2 cm.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 19).

De zijkant van deze piramide is gelijkbenige trapezium. Om het gebied van een trapezium te berekenen, moet u de basis en de hoogte weten. De sokkels zijn gegeven per staat, alleen de hoogte is onbekend. Vind het van waar MAAR 1 E loodrecht vanuit een punt MAAR 1 op het vlak van de onderste basis, EEN 1 D- loodrecht van MAAR 1 op AU. MAAR 1 E\u003d 2 cm, aangezien dit de hoogte van de piramide is. voor het vinden van DE we zullen een extra tekening maken, waarin we een bovenaanzicht zullen weergeven (Fig. 20). Punt O- projectie van de middelpunten van de bovenste en onderste bases. sinds (zie Afb. 20) en Aan de andere kant Oké is de straal van de ingeschreven cirkel en OM is de straal van de ingeschreven cirkel:

MK=DE.

Volgens de stelling van Pythagoras uit

Zijvlak gebied:

Antwoorden:

Voorbeeld 4 Aan de basis van de piramide ligt een gelijkbenig trapezium, waarvan de basis: a en b (a> b). Elk zijvlak vormt een hoek gelijk aan het vlak van de basis van de piramide j. Zoek de totale oppervlakte van de piramide.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 21). Totale oppervlakte van de piramide SABCD is gelijk aan de som van de oppervlakten en de oppervlakte van de trapezium ABCD.

Laten we de stelling gebruiken dat als alle vlakken van de piramide gelijk hellen ten opzichte van het vlak van de basis, het hoekpunt wordt geprojecteerd in het midden van de cirkel die in de basis is ingeschreven. Punt O- hoekpunt projectie S aan de voet van de piramide. Driehoek ZODE is de orthogonale projectie van de driehoek CSD naar het basisvlak. Door de orthogonale projectiegebiedstelling platte figuur we krijgen:

Evenzo betekent het: Het probleem werd dus teruggebracht tot het vinden van het gebied van de trapezium ABCD. Teken een trapezium ABCD afzonderlijk (afb. 22). Punt O is het middelpunt van een cirkel ingeschreven in een trapezium.

Aangezien een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium, dan of Volgens de stelling van Pythagoras hebben we

- Dit is een veelvlak, dat wordt gevormd door de basis van de piramide en een gedeelte evenwijdig daaraan. We kunnen zeggen dat een afgeknotte piramide een piramide is met een afgesneden bovenkant. Dit figuur heeft veel unieke eigenschappen:

• De zijvlakken van de piramide zijn trapezoïden;
• De zijribben van een regelmatige afgeknotte piramide zijn even lang en staan ​​onder dezelfde hoek ten opzichte van de basis;
• De bases zijn gelijkaardige polygonen;
• In een regelmatige afgeknotte piramide zijn de gezichten identieke gelijkbenige trapezoïden, waarvan de oppervlakte gelijk is. Ze zijn ook onder een hoek naar de basis geneigd.

De formule voor het oppervlak van het zijoppervlak van een afgeknotte piramide is de som van de oppervlakken van de zijkanten:

Aangezien de zijkanten van de afgeknotte piramide trapezoïden zijn, moet u de formule gebruiken om de parameters te berekenen trapeziumvormig gebied. Voor een regelmatige afgeknotte piramide kan een andere formule voor het berekenen van de oppervlakte worden toegepast. Omdat alle zijden, vlakken en hoeken aan de basis gelijk zijn, is het mogelijk om de omtrekken van de basis en het apothema toe te passen, en ook het gebied af te leiden door de hoek aan de basis.

Als, volgens de voorwaarden in een regelmatige afgeknotte piramide, het apothema (hoogte van de zijde) en de lengtes van de zijden van de basis worden gegeven, dan kan de oppervlakte worden berekend door het halfproduct van de som van de omtrekken van de bases en het apothema:

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van het berekenen van het zijoppervlak van een afgeknotte piramide.
Gegeven een regelmatige vijfhoekige piramide. Apothem ik\u003d 5 cm, de lengte van het gezicht in de grote basis is a\u003d 6 cm, en het gezicht bevindt zich aan de kleinere basis b\u003d 4 cm Bereken de oppervlakte van de afgeknotte piramide.

Laten we eerst de omtrekken van de bases zoeken. Omdat we een vijfhoekige piramide hebben gekregen, begrijpen we dat de basen vijfhoeken zijn. Dit betekent dat de basis een figuur is met vijf identieke zijden. Vind de omtrek van de grotere basis:

Op dezelfde manier vinden we de omtrek van de kleinere basis:

Nu kunnen we de oppervlakte van een regelmatige afgeknotte piramide berekenen. We vervangen de gegevens in de formule:

Zo hebben we het gebied van een regelmatige afgeknotte piramide berekend door de omtrekken en apothema.

Een andere manier om het zijoppervlak van een regelmatige piramide te berekenen, is de formule: door de hoeken aan de basis en het gebied van deze zeer basen.

Laten we een voorbeeldberekening bekijken. Onthoud dat deze formule alleen van toepassing is op een regelmatige afgeknotte piramide.

Laat een regelmatige vierhoekige piramide worden gegeven. Het vlak van de onderste basis is a = 6 cm en het vlak van de bovenste b = 4 cm De tweevlakshoek aan de basis is β = 60°. Zoek het laterale oppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide.

Laten we eerst het gebied van de bases berekenen. Omdat de piramide regelmatig is, zijn alle vlakken van de bases gelijk aan elkaar. Aangezien de basis een vierhoek is, begrijpen we dat het nodig zal zijn om te berekenen vierkante oppervlakte. Het is het product van breedte en lengte, maar in het kwadraat zijn deze waarden hetzelfde. Zoek het gebied van de grotere basis:


Nu gebruiken we de gevonden waarden om het laterale oppervlak te berekenen.

Met een paar eenvoudige formules hebben we gemakkelijk het gebied van de laterale trapezium van een afgeknotte piramide berekend door middel van verschillende waarden.

In deze les zullen we een afgeknotte piramide beschouwen, kennis maken met de juiste afgeknotte piramide en hun eigenschappen bestuderen.

Laten we ons het concept van een n-gonale piramide herinneren aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide. Driehoek ABC wordt gegeven. Buiten het vlak van de driehoek wordt een punt P genomen, verbonden met de hoekpunten van de driehoek. Het resulterende veelvlakkige oppervlak wordt een piramide genoemd (Fig. 1).

Rijst. 1. Driehoekige piramide

Laten we de piramide snijden met een vlak evenwijdig aan het vlak van de basis van de piramide. De figuur die tussen deze vlakken wordt verkregen, wordt een afgeknotte piramide genoemd (Fig. 2).

Rijst. 2. Afgeknotte piramide

Belangrijkste elementen:

Bovenste basis;

Lagere basis ABC;

Zijkant ;

Als PH de hoogte is van de oorspronkelijke piramide, dan is dat ook de hoogte van de afgeknotte piramide.

De eigenschappen van een afgeknotte piramide volgen uit de methode van constructie, namelijk uit het parallellisme van de vlakken van de bases:

Alle zijvlakken van een afgeknotte piramide zijn trapezoïden. Denk bijvoorbeeld aan een gezicht. Het heeft de eigenschap van parallelle vlakken (aangezien de vlakken evenwijdig zijn, snijden ze het zijvlak van de originele ABP-piramide langs evenwijdige lijnen), terwijl ze tegelijkertijd niet parallel zijn. Het is duidelijk dat de vierhoek een trapezium is, zoals alle zijvlakken van een afgeknotte piramide.

De verhouding van de basen is hetzelfde voor alle trapezoïden:

We hebben verschillende paren gelijkaardige driehoeken met dezelfde overeenkomstcoëfficiënt. Bijvoorbeeld, driehoeken en RAB zijn vergelijkbaar vanwege het parallellisme van de vlakken en de overeenkomstcoëfficiënt:

Tegelijkertijd zijn driehoeken en RCS vergelijkbaar met overeenkomstcoëfficiënt:

Het is duidelijk dat de overeenkomstcoëfficiënten voor alle drie paren gelijkaardige driehoeken gelijk zijn, dus de verhouding van de basen is hetzelfde voor alle trapezoïden.

Een regelmatige afgeknotte piramide is een afgeknotte piramide die wordt verkregen door het snijden van een regelmatige piramide met een vlak evenwijdig aan de basis (Fig. 3).

Rijst. 3. Correcte afgeknotte piramide

Definitie.

Een regelmatige piramide wordt een piramide genoemd, aan de basis waarvan een regelmatige n-gon ligt, en het hoekpunt wordt geprojecteerd in het middelpunt van deze n-gon (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkel).

In dit geval ligt een vierkant aan de basis van de piramide en wordt het hoekpunt geprojecteerd op het snijpunt van zijn diagonalen. De resulterende regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide heeft ABCD - de onderste basis, - de bovenste basis. De hoogte van de originele piramide - RO, afgeknotte piramide - (Fig. 4).

Rijst. 4. Regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide

Definitie.

De hoogte van een afgeknotte piramide is een loodlijn getrokken van elk punt van een basis naar het vlak van de tweede basis.

Het apothema van de oorspronkelijke piramide is RM (M is het midden van AB), het apothema van de afgeknotte piramide is (Fig. 4).

Definitie.

Het apothema van een afgeknotte piramide is de hoogte van elk zijvlak.

Het is duidelijk dat alle zijranden van de afgeknotte piramide gelijk aan elkaar zijn, dat wil zeggen dat de zijvlakken gelijke gelijkbenige trapezoïden zijn.

Het oppervlak van het zijoppervlak van een regelmatige afgeknotte piramide is gelijk aan het product van de helft van de som van de omtrekken van de bases en het apothema.

Bewijs (voor een regelmatige vierhoekige afgeknotte piramide - Fig. 4):

We moeten dus bewijzen:

Het zijoppervlak zal hier bestaan ​​uit de som van de gebieden van de zijvlakken - trapezoïden. Omdat de trapezoïden hetzelfde zijn, hebben we:

Vierkant gelijkbenig trapezium is het product van de helft van de som van de basen en de hoogte, het apothema is de hoogte van het trapezium. Wij hebben:

QED

Voor een n-gonale piramide:

Waar n het aantal zijvlakken van de piramide is, a en b de basis van het trapezium, is het apothema.

Zijden van de basis van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide zijn gelijk aan 3 cm en 9 cm, hoogte - 4 cm Vind het gebied van het zijoppervlak.

Rijst. 5. Illustratie voor probleem 1

Oplossing. Laten we de toestand illustreren:

Gegeven: , ,

Trek een rechte lijn MN door het punt O evenwijdig aan de twee zijden van de onderste basis, trek op dezelfde manier een rechte lijn door het punt (Fig. 6). Omdat de vierkanten en constructies evenwijdig zijn aan de basis van de afgeknotte piramide, krijgen we een trapezium gelijk aan de zijvlakken. Bovendien zal de zijkant ervan door het midden van de bovenste en onderste ribben van de zijvlakken gaan en de belichaming zijn van een afgeknotte piramide.

Rijst. 6. Aanvullende constructies

Overweeg het resulterende trapezium (Fig. 6). In dit trapezium zijn de bovenste basis, onderste basis en hoogte bekend. Het is nodig om de zijkant te vinden, wat het apothema is van de gegeven afgeknotte piramide. Teken loodrecht op MN. Laten we de loodrechte NQ van het punt laten vallen. We krijgen dat de grotere basis is verdeeld in segmenten van drie centimeter (). Beschouw een rechthoekige driehoek, de benen erin zijn bekend, dit is Egyptische driehoek, volgens de stelling van Pythagoras bepalen we de lengte van de hypotenusa: 5 cm.

Nu zijn er alle elementen om het gebied van het zijoppervlak van de piramide te bepalen:

De piramide wordt doorkruist door een vlak evenwijdig aan de basis. Bewijs aan de hand van het voorbeeld van een driehoekige piramide dat de zijranden en de hoogte van de piramide door dit vlak in evenredige delen worden verdeeld.

Een bewijs. Laten we illustreren:

Rijst. 7. Illustratie voor probleem 2

De piramide RABC wordt gegeven. RO is de hoogte van de piramide. De piramide wordt doorsneden door een vlak, bovendien wordt een afgeknotte piramide verkregen. Punt - het snijpunt van de hoogte van de RO met het vlak van de basis van de afgeknotte piramide. Het is noodzakelijk om te bewijzen:

De sleutel tot de oplossing is de eigenschap van parallelle vlakken. Twee evenwijdige vlakken snijden door een derde vlak zodat de snijlijnen evenwijdig zijn. Vanaf hier: . Het parallellisme van de overeenkomstige lijnen impliceert de aanwezigheid van vier paar gelijkaardige driehoeken:

Uit de gelijkvormigheid van driehoeken volgt de evenredigheid van de overeenkomstige zijden. Belangrijke functie is dat de overeenkomstcoëfficiënten voor deze driehoeken hetzelfde zijn:

QED

Juist driehoekige piramide RABC met de hoogte en zijkant van de basis wordt ontleed door een vlak dat door het midden van de hoogte van de PH gaat, evenwijdig aan de basis van het ABC. Zoek het gebied van het zijoppervlak van de resulterende afgeknotte piramide.

Oplossing. Laten we illustreren:

Rijst. 8. Illustratie voor probleem 3

DIA is een regelmatige driehoek, H is het middelpunt van deze driehoek (het middelpunt van de ingeschreven en omgeschreven cirkels). RM is het apothema van de gegeven piramide. - het apothema van de afgeknotte piramide. Volgens de eigenschap van evenwijdige vlakken (twee evenwijdige vlakken snijden elk derde vlak zodat de snijlijnen evenwijdig zijn), hebben we verschillende paren gelijkaardige driehoeken met een gelijke overeenkomstcoëfficiënt. In het bijzonder zijn we geïnteresseerd in de relatie:

Laten we NM zoeken. Dit is de straal van een cirkel ingeschreven in de basis, we kennen de bijbehorende formule:

Nu, uit de rechthoekige driehoek РНМ, volgens de stelling van Pythagoras, vinden we РМ - het apothema van de oorspronkelijke piramide:

Uit de beginverhouding:

Nu kennen we alle elementen voor het vinden van het zijoppervlak van een afgeknotte piramide:

Dus we maakten kennis met de concepten van een afgeknotte piramide en een regelmatige afgeknotte piramide, gaven basisdefinities, overwogen eigenschappen en bewezen de stelling op het zijoppervlak. De volgende les gaat over het oplossen van problemen.

Bibliografie

1. I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. Geometrie. Graad 10-11: een leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen (basis- en profielniveaus) / I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. - 5e druk, ds. en extra - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: afb.
2. Sharygin I.F. Geometrie. Graad 10-11: Leerboek voor algemeen vormend onderwijs onderwijsinstellingen/ Sharygin I.F. - M.: Trap, 1999. - 208 p.: ill.
3. E.V. Potoskuev, L.I. Zvalich. Geometrie. Graad 10: Leerboek voor algemene onderwijsinstellingen met diepgaande en profielstudie wiskunde / E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e druk, stereotype. - M.: Trap, 2008. - 233 p.: afb.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Huiswerk