Grafische vergelijking x y. Vergelijkingen, ongelijkheden en systemen oplossen met behulp van grafieken van functies

Je bent al kwadratische vergelijkingen tegengekomen in de cursus algebra van de 7e graad. Bedenk dat een kwadratische vergelijking een vergelijking is van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a, b, c willekeurige getallen (coëfficiënten) zijn, en a. Met behulp van onze kennis over sommige functies en hun grafieken zijn we nu al in staat, zonder te wachten op een systematische studie van het onderwerp "Kwadratische vergelijkingen", enkele kwadratische vergelijkingen op te lossen, en verschillende manieren; we zullen deze methoden overwegen aan de hand van het voorbeeld van een kwadratische vergelijking.

Voorbeeld. Los de vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 op.
Oplossing.
Methode I ... Laten we een grafiek maken van de functie y = x 2 - 2x - 3, met behulp van het algoritme van § 13:

1) We hebben: a = 1, b = -2, x 0 = = 1, y 0 = f (1) = 1 2 - 2 - 3 = -4. Het hoekpunt van de parabool is dus het punt (1; -4) en de as van de parabool is de rechte lijn x = 1.

2) Neem twee punten op de x-as die symmetrisch zijn rond de paraboolas, bijvoorbeeld de punten x = -1 en x = 3.

We hebben f (-1) = f (3) = 0. Laten we de punten (-1; 0) en (3; 0) op het coördinatenvlak construeren.

3) Teken een parabool door de punten (-1; 0), (1; -4), (3; 0) (Fig. 68).

De wortels van de vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de x-as; daarom zijn de wortels van de vergelijking als volgt: x 1 = - 1, x 2 - 3.

Methode II. Laten we de vergelijking transformeren naar de vorm x 2 = 2x + 3. Laten we in één coördinatenstelsel de grafieken van de functies y - x 2 en y = 2x + 3 construeren (Fig. 69). Ze snijden elkaar in twee punten A (- 1; 1) en B (3; 9). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, wat betekent dat x 1 = - 1, x 2 - 3.

III manier ... We transformeren de vergelijking naar de vorm x 2 - 3 = 2x. Laten we in één coördinatensysteem de grafieken construeren van de functies y = x 2 - 3 en y = 2x (Fig. 70). Ze snijden elkaar in twee punten A (-1; - 2) en B (3; 6). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = - 1, x 2 = 3.

Methode IV. We transformeren de vergelijking naar de vorm x 2 -2x 4-1-4 = 0
en verder
x 2 - 2x + 1 = 4, d.w.z. (x - IJ = 4.
Laten we in één coördinatensysteem een ​​parabool y = (x - 1) 2 en een rechte lijn y = 4 construeren (Fig. 71). Ze snijden elkaar in twee punten A (-1; 4) en B (3; 4). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = -1, x 2 = 3.

V-methode. Als we beide zijden van de vergelijkingsterm delen door x, krijgen we

Laten we een hyperbool en een rechte lijn y = x - 2 construeren in één coördinatensysteem (Fig. 72).

Ze snijden elkaar in twee punten A (-1; -3) en B (3; 1). De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de punten A en B, dus x 1 = - 1, x 2 = 3.

We hebben de kwadratische vergelijking x 2 - 2x - 3 = 0 dus grafisch op vijf manieren opgelost. Laten we analyseren wat de essentie van deze methoden is.

Methode I. Er wordt een grafiek gemaakt van de functie op het snijpunt met de x-as.

Methode II. Transformeer de vergelijking naar de vorm ax 2 = -bx - c, construeer een parabool y = ax 2 en een rechte lijn y = -bx - c, vind hun snijpunten (de wortels van de vergelijking zijn de abscis van de snijpunten, als die er zijn natuurlijk).

Methode III. De vergelijking wordt omgezet in de vorm ax 2 + c = - bx, een parabool y - ax 2 + c en een rechte lijn y = -bx (deze gaat door de oorsprong van coördinaten); hun snijpunten vinden.

Methode IV. Door de methode van selectie van een volledig vierkant toe te passen, transformeert u de vergelijking naar de vorm

Bouw een parabool y = a (x + I) 2 en een rechte lijn y = - m evenwijdig aan de x-as; zoek de snijpunten van een parabool en een rechte lijn.

V-methode. Zet de vergelijking om in de vorm

Er wordt een hyperbool gebouwd (dit is een hyperbool, mits) en een rechte lijn y = - ax - b; hun snijpunten vinden.

Merk op dat de eerste vier methoden van toepassing zijn op alle vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx + c = 0, en de vijfde - alleen op die met c. In de praktijk kun je de methode kiezen die je het meest geschikt lijkt voor de gegeven vergelijking, of die je leuk vindt (of begrijpelijker).

Commentaar ... Ondanks de overvloed aan manieren grafische oplossing kwadratische vergelijkingen, het vertrouwen dat elke kwadratische vergelijking we
we kunnen grafisch oplossen, nee. Stel dat u bijvoorbeeld de vergelijking x 2 - x - 3 = 0 moet oplossen (we nemen speciaal een vergelijking die lijkt op die in
beschouwd voorbeeld). Laten we het bijvoorbeeld op de tweede manier proberen op te lossen: transformeer de vergelijking naar de vorm x 2 = x + 3, bouw een parabool y = x 2 en
rechte lijn y = x + 3, ze snijden elkaar in de punten A en B (Fig. 73), wat betekent dat de vergelijking twee wortels heeft. Maar waar zijn deze wortels aan gelijk, met behulp van een tekening
We kunnen niet zeggen - de punten A en B hebben niet zulke "goede" coördinaten als in het bovenstaande voorbeeld. Beschouw nu de vergelijking
x 2 - 16x - 95 = 0. Laten we proberen het op te lossen, laten we zeggen, op de derde manier. We transformeren de vergelijking naar de vorm x 2 - 95 = 16x. Hier moet je een parabool bouwen
y \ u003d x 2 - 95 en een rechte lijn y \ u003d 16x. Maar de beperkte grootte van een blad van het notitieboekje laat dit niet toe, omdat de parabool y = x 2 95 cellen naar beneden moet worden verlaagd.

Dus de grafische methoden voor het oplossen van een kwadratische vergelijking zijn mooi en aangenaam, maar ze geven geen honderd procent garantie voor het oplossen van een kwadratische vergelijking. Wij zullen hier in de toekomst rekening mee houden.

Presentatie en les over het onderwerp: "Grafische oplossing van kwadratische vergelijkingen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, beoordelingen, wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 8
Graden en wortels Functies en grafieken

Kwadratische functiegrafieken

In de laatste les hebben we geleerd hoe we een grafiek kunnen maken van elke kwadratische functie... Met behulp van dergelijke functies kunnen we de zogenaamde kwadratische vergelijkingen oplossen, die in algemeen beeld worden als volgt geschreven: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 $,
$ a, b, c $ - alle getallen, maar $ a ≠ 0 $.
Jongens, vergelijk de bovenstaande vergelijking en dit: $ y = ax ^ 2 + bx + c $.
Ze zijn bijna identiek. Het verschil is dat we in plaats van $ y $ $ 0 $ schreven, d.w.z. $j = 0 $. Hoe los je dan kwadratische vergelijkingen op? Het eerste dat in je opkomt is om een ​​grafiek te maken van de parabool $ ax ^ 2 + bx + c $ en de snijpunten van deze grafiek met de rechte lijn $ y = 0 $ te vinden. Er zijn ook andere oplossingen. Laten we ze eens bekijken met een specifiek voorbeeld.

Methoden voor het oplossen van kwadratische functies

Voorbeeld.
Los de vergelijking op: $ x ^ 2 + 2x-8 = 0 $.

Oplossing.
Methode 1. Laten we een grafiek maken van de functie $ y = x ^ 2 + 2x-8 $ en de snijpunten zoeken met de lijn $ y = 0 $. De coëfficiënt in de hoogste graad is positief, wat betekent dat de takken van de parabool omhoog kijken. Laten we de coördinaten van het hoekpunt vinden:
$ x_ (c) = - \ frac (b) (2a) = \ frac (-2) (2) = - 1 $.
$ y_ (in) = (- 1) ^ 2 + 2 * (- 1) -8 = 1-2-8 = -9 $.

Het punt met coördinaten $ (- 1; -9) $ wordt als begin genomen nieuw systeem coördinaten en plot de grafiek van de parabool $ y = x ^ 2 $ erin.

We zien twee snijpunten. Ze zijn gemarkeerd met zwarte stippen op de grafiek. We lossen de vergelijking voor x op, dus we moeten de abscis van deze punten kiezen. Ze zijn gelijk aan $ -4 $ en $ 2 $.
De oplossing van de kwadratische vergelijking $ x ^ 2 + 2x-8 = 0 $ is dus twee wortels: $ x_1 = -4 $ en $ x_2 = 2 $.

Methode 2. We transformeren de oorspronkelijke vergelijking naar de vorm: $ x ^ 2 = 8-2x $.
We kunnen deze vergelijking dus op de gebruikelijke grafische manier oplossen door de abscis van de snijpunten van twee grafieken te vinden $ y = x ^ 2 $ en $ y = 8-2x $.
We hebben twee snijpunten, waarvan de abscis samenvalt met de oplossingen verkregen in de eerste methode, namelijk: $ x_1 = -4 $ en $ x_2 = 2 $.

Methode 3.
Laten we de oorspronkelijke vergelijking in deze vorm transformeren: $ x ^ 2-8 = -2x $.
Laten we twee grafieken $ y = x ^ 2-8 $ en $ y = -2x $ maken en hun snijpunten vinden.
De grafiek van $ y = x ^ 2-8 $ is een parabool die 8 eenheden naar beneden is verschoven.
Twee snijpunten ontvangen en de abscis van deze punten is hetzelfde als bij de twee voorgaande methoden, namelijk: $ x_1 = -4 $ en $ x_2 = 2 $.

Methode 4.
Laten we markeren vol plein in de oorspronkelijke vergelijking: $ x ^ 2 + 2x-8 = x ^ 2 + 2x + 1-9 = (x + 1) ^ 2-9 $.
Laten we twee grafieken maken van de functies $ y = (x + 1) ^ 2 $ en $ y = 9 $. De grafiek van de eerste functie is een parabool die één eenheid naar links is verschoven. De grafiek van de tweede functie is een rechte lijn evenwijdig aan de as van de abscis en door de ordinaat die gelijk is aan $ 9 $.
Nogmaals, we hebben twee snijpunten van de grafieken, en de abscis van deze punten vallen samen met die verkregen in de vorige methoden $ x_1 = -4 $ en $ x_2 = 2 $.

Methode 5.
Deel de oorspronkelijke vergelijking door x: $ \ frac (x ^ 2) (x) + \ frac (2x) (x) - \ frac (8) (x) = \ frac (0) (x) $.
$ x + 2- \ frac (8) (x) = 0 $.
$ x + 2 = \ frac (8) (x) $.
Laten we deze vergelijking grafisch oplossen, twee grafieken maken $ y = x + 2 $ en $ y = \ frac (8) (x) $.
Nogmaals, we hebben twee snijpunten en de abscis van deze punten valt samen met die verkregen boven $ x_1 = -4 $ en $ x_2 = 2 $.

Algoritme voor grafische oplossing van kwadratische functies

Jongens, we hebben vijf manieren bekeken om kwadratische vergelijkingen grafisch op te lossen. In elk van deze methoden bleken de wortels van de vergelijkingen hetzelfde te zijn, wat betekent dat de oplossing correct is.

De belangrijkste manieren om kwadratische vergelijkingen grafisch op te lossen $ ax ^ 2 + bx + c = 0 $, $ a, b, c $ - alle getallen, maar $ a ≠ 0 $:
1. Construeer een grafiek van de functie $ y = ax ^ 2 + bx + c $, zoek de snijpunten met de abscis, die de oplossing van de vergelijking zullen zijn.
2. Construeer twee grafieken $ y = ax ^ 2 $ en $ y = -bx-c $, bepaal de abscis van de snijpunten van deze grafieken.
3. Construeer twee grafieken $ y = ax ^ 2 + c $ en $ y = -bx $, bepaal de abscis van de snijpunten van deze grafieken. De grafiek van de eerste functie is een parabool die naar beneden of naar boven is verschoven, afhankelijk van het teken van het getal c. De tweede grafiek is een rechte lijn door de oorsprong.
4. Selecteer een compleet vierkant, dat wil zeggen, breng de oorspronkelijke vergelijking in de vorm: $ a (x + l) ^ 2 + m = 0 $.
Construeer twee grafieken van de functie $ y = a (x + l) ^ 2 $ en $ y = -m $, zoek hun snijpunten. De grafiek van de eerste functie zal een parabool zijn die naar links of naar rechts verschoven is, afhankelijk van het teken van het getal $ l $. De grafiek van de tweede functie is een rechte lijn evenwijdig aan de abscis en snijdt de ordinaat op een punt gelijk aan $ -m $.
5. Deel de oorspronkelijke vergelijking door x: $ ax + b + \ frac (c) (x) = 0 $.
Converteren naar: $ \ frac (c) (x) = - ax-b $.
Bouw opnieuw twee grafieken en vind hun snijpunten. De eerste grafiek is hyperbool, de tweede grafiek is een rechte lijn. Helaas is de grafische methode voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen niet altijd: op een goede manier oplossingen. De snijpunten van verschillende grafieken zijn niet altijd gehele getallen of kunnen zeer grote getallen die niet op een gewoon vel papier bouwen.

Laten we al deze methoden duidelijker demonstreren met een voorbeeld.

Voorbeeld.
Los de vergelijking op: $ x ^ 2 + 3x-12 = 0 $,

Oplossing.
Laten we een grafiek van de parabool maken en de coördinaten van de hoekpunten vinden: $ x_ (в) = - \ frac (b) (2a) = \ frac (-3) (2) = - 1,5 $.
$ y_ (in) = (- 1.5) ^ 2 + 2 * (- 1.5) -8 = 2.25-3-8 = -8.75 $.
Bij het construeren van zo'n parabool ontstaan ​​direct problemen om bijvoorbeeld het hoekpunt van de parabool correct te markeren. Om de vertex-ordinaat nauwkeurig te markeren, moet u één vak selecteren, gelijk aan 0,25 schaaleenheden. Op deze schaal moet je 35 eenheden verlagen, wat onhandig is. Laten we toch onze grafiek maken.
Het tweede probleem waarmee we worden geconfronteerd, is dat de grafiek van onze functie de abscis kruist op een punt met coördinaten die niet nauwkeurig kunnen worden bepaald. Misschien een grove oplossing, maar wiskunde is een exacte wetenschap.
De grafische methode is dus niet de handigste. Daarom is voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen een meer universele methode vereist, die we in de volgende lessen zullen bestuderen.

Taken voor onafhankelijke oplossing

1. Los de vergelijking grafisch op (op alle vijf manieren): $ x ^ 2 + 4x-12 = 0 $.
2. Los de vergelijking op een grafische manier op: $ -x ^ 2 + 6x + 16 = 0 $.

>> Wiskunde: Grafische oplossing van vergelijkingen

Grafische oplossing van vergelijkingen

Laten we onze kennis samenvatten over: grafieken functies. We hebben geleerd hoe we grafieken kunnen maken van de volgende functies:

y = b (rechte lijn evenwijdig aan de x-as);

y = kx (rechte lijn die door de oorsprong gaat);

y - kx + m (rechte lijn);

y = x 2 (parabool).

Kennis van deze grafieken stelt ons in staat om, indien nodig, de analytische model- geometrisch (grafisch), bijvoorbeeld, in plaats van het model y = x 2 (wat een gelijkheid is met twee variabelen x en y), overweeg dan een parabool in het coördinatenvlak. In het bijzonder is het soms nuttig voor het oplossen van vergelijkingen. We zullen aan de hand van verschillende voorbeelden bespreken hoe dit gebeurt.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor de rangen 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Inhoud van de les les overzicht ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Oefening opdrachten en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten thuis opdrachten discussievragen retorische vragen van leerlingen Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, schema's humor, grappen, grappen, stripverhalen, spreuken, kruiswoordraadsels, citaten supplementen samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierigen spiekbriefjes leerboeken basis- en aanvullende woordenschat van termen anderen Leerboeken en lessen verbeterenbugfixes in de tutorial een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar richtlijnen discussie agenda Geïntegreerde lessen

In deze video-tutorial is het onderwerp "Functie y = x 2. Grafische oplossing van vergelijkingen ". Tijdens deze les kunnen studenten kennis maken met een nieuwe manier om vergelijkingen op te lossen - grafisch, die gebaseerd is op kennis van de eigenschappen van grafieken van functies. De docent laat zien hoe je de functie y = x 2 grafisch kunt oplossen.

Onderwerp:Functie

Les:Functie... Grafische oplossing van vergelijkingen

Grafische oplossing van vergelijkingen is gebaseerd op kennis van grafieken van functies en hun eigenschappen. Laten we de functies opsommen waarvan we de grafieken kennen:

1), is de grafiek een rechte lijn evenwijdig aan de abscis en door een punt op de ordinaat. Beschouw een voorbeeld: y = 1:

Bij verschillende betekenissen we krijgen een familie van rechte lijnen evenwijdig aan de as van de abscis.

2) Functie van directe evenredigheid, de grafiek van deze functie is een rechte lijn die door de oorsprong gaat. Laten we een voorbeeld bekijken:

We hebben deze grafieken al in eerdere lessen gemaakt, onthoud dat om elke rechte lijn te bouwen, je een punt moet selecteren dat eraan voldoet en de oorsprong van de coördinaten als het tweede punt neemt.

Laten we ons de rol van de coëfficiënt k herinneren: wanneer de functie toeneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. Bovendien bestaat de volgende relatie tussen twee parameters k van hetzelfde teken: voor positieve k geldt: hoe groter deze is, hoe sneller de functie toeneemt, en voor negatieve k neemt de functie sneller af voor grote waarden k modulo.

3) Lineaire functie... Wanneer - krijgen we het snijpunt met de y-as en alle lijnen van deze soort gaan door het punt (0; m). Bovendien, wanneer de functie toeneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. En natuurlijk heeft de waarde van k invloed op de mate van verandering van de waarde van de functie.

4). De grafiek van deze functie is een parabool.

Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden.

Voorbeeld 1 - Los de vergelijking grafisch op:

We kennen dit soort functies niet, dus we moeten de gegeven vergelijking transformeren om met bekende functies te kunnen werken:

We hebben bekende functies aan beide kanten van de vergelijking:

Laten we grafieken van functies maken:

De grafieken hebben twee snijpunten: (-1; 1); (2; 4)

Laten we controleren of de oplossing correct is gevonden, vervang de coördinaten in de vergelijking:

Het eerste punt is goed gevonden.

, , , , , ,

Het tweede punt werd ook correct gevonden.

Dus de oplossingen van de vergelijking zijn en

We gaan op dezelfde manier te werk als in het vorige voorbeeld: we transformeren de gegeven vergelijking naar functies die ons bekend zijn, bouwen hun grafieken, vinden de snijstromen en geven van hieruit de oplossingen aan.

We krijgen twee functies:

Laten we grafieken maken:

Deze grafieken hebben geen snijpunten, wat betekent dat de gegeven vergelijking geen oplossingen heeft.

Conclusie: in deze les hebben we de functies en hun grafieken die ons bekend zijn bekeken, hun eigenschappen onthouden en een grafische manier overwogen om vergelijkingen op te lossen.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. en anderen Algebra 7. 6e editie. M.: Onderwijs. 2010 r.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7.M .: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva MV, Fedorova N.Ye. en anderen Algebra 7. M.: Verlichting. 2006 jaar

Taak 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. e.a. Algebra 7, nr. 494, art. 110;

Taak 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. e.a. Algebra 7, nr. 495, art. 110;

Taak 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. e.a. Algebra 7, nr. 496, art. 110;

Laat er een volledige kwadratische vergelijking zijn: A * x2 + B * x + C = 0, waarbij A, B en C willekeurige getallen zijn, en A niet gelijk is aan nul. Dit is het algemene geval van een kwadratische vergelijking. Er is ook een gereduceerde vorm waarin A = 1. Om elke vergelijking grafisch op te lossen, moet u de term met de grootste graad naar het andere deel overbrengen en beide delen gelijkstellen aan een willekeurige variabele.

Daarna blijft A * x2 aan de linkerkant van de vergelijking en B * x-C aan de rechterkant (we kunnen aannemen dat B is negatief nummer, dit verandert niets aan de essentie). Je krijgt de vergelijking A * x2 = B * x-C = y. Voor de duidelijkheid: in dit geval worden beide delen gelijkgesteld aan de variabele y.

Grafische weergave en verwerking van resultaten

Nu kun je twee vergelijkingen schrijven: y = A * x2 en y = B * x-C. Vervolgens moet u een grafiek van elk van deze functies plotten. De grafiek y = A * x2 is een parabool met apex aan de oorsprong, waarvan de takken naar boven of naar beneden gericht zijn, afhankelijk van het teken van het getal A. Als het negatief is, zijn de takken naar beneden gericht, indien positief, omhoog .

De y = B * x-C-plot is een gewone rechte lijn. Als C = 0, gaat de lijn door de oorsprong. In het algemeen snijdt het een segment af dat gelijk is aan C. De hellingshoek van deze rechte lijn ten opzichte van de abscis wordt bepaald door de coëfficiënt B. Het is gelijk aan de helling van deze hoek.

Nadat de grafieken zijn getekend, zal men zien dat ze elkaar in twee punten snijden. De coördinaten van deze punten langs de abscis bepalen de wortels van de kwadratische vergelijking. Om ze nauwkeurig te bepalen, moet u duidelijke grafieken maken en de juiste schaal kiezen.

Een andere manier om grafisch op te lossen

Er is nog een andere manier om een ​​kwadratische vergelijking grafisch op te lossen. Het is niet nodig om B * x + C naar een ander deel van de vergelijking te dragen. Je kunt meteen de functie y = A * x2 + B * x + C plotten. Zo'n grafiek is een parabool met de top op een willekeurig punt. Deze methode is ingewikkelder dan de vorige, maar je kunt er maar één grafiek op bouwen.

Eerst moet je het hoekpunt van de parabool bepalen met de coördinaten x0 en y0. De abscis wordt berekend met de formule x0 = -B / 2 * a. Om de ordinaat te bepalen, moet u de resulterende waarde van de abscis in de oorspronkelijke functie vervangen. Wiskundig is deze verklaring als volgt geschreven: y0 = y (x0).

Dan moet je twee punten vinden die symmetrisch zijn met de as van de parabool. Daarin moet de oorspronkelijke functie verdwijnen. Daarna kun je een parabool bouwen. De punten van zijn snijpunt met de X-as geven twee wortels van de kwadratische vergelijking.